អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា (ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រ ចំណុចពីរ និងវ៉ិចទ័រ បីចំណុច។ល។)។ វាគឺនៅក្នុងចិត្តថាសមីការយន្តហោះអាចមានទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, ស្ថិតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់, យន្តហោះអាចស្របគ្នា, កាត់កែង, ប្រសព្វ។ល។ យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ យើងនឹងរៀនពីរបៀបបង្កើតសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ និងច្រើនទៀត។

ទម្រង់ធម្មតានៃសមីការ

ចូរនិយាយថាមានចន្លោះ R 3 ដែលមានប្រព័ន្ធកូអរដោនេ XYZ ចតុកោណ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់វ៉ិចទ័រ α ដែលនឹងត្រូវបានបញ្ចេញពីចំណុចដំបូង O. តាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ α យើងគូរប្លង់ P ដែលនឹងកាត់កែងទៅវា។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំណុចបំពានលើ P ជា Q = (x, y, z) ។ តោះចុះហត្ថលេខាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q ដោយអក្សរ p ។ ក្នុងករណីនេះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ α គឺស្មើនឹង р=IαI និង Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)។

នេះគឺជាវ៉ិចទ័រឯកតាដែលត្រូវបានតម្រង់ទៅចំហៀង ដូចជាវ៉ិចទ័រ α ។ α, β និង γ គឺជាមុំដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងវ៉ិចទ័រ Ʋ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សលំហ x, y, z រៀងគ្នា។ ការព្យាករនៃចំណុចណាមួយ QϵП ទៅលើវ៉ិចទ័រ Ʋ គឺជាតម្លៃថេរដែលស្មើនឹង p: (p,Ʋ) = p(p≥0) ។

សមីការខាងលើមានន័យនៅពេល p=0។ រឿងតែមួយគត់គឺថាយន្តហោះ P ក្នុងករណីនេះនឹងប្រសព្វចំនុច O (α=0) ដែលជាប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតា Ʋ ដែលបញ្ចេញចេញពីចំណុច O នឹងកាត់កែងទៅ P ទោះបីជាទិសដៅរបស់វាក៏ដោយ។ មានន័យថាវ៉ិចទ័រ ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវទៅនឹងសញ្ញា។ សមីការមុនគឺជាសមីការនៃយន្តហោះរបស់យើង P ដែលបង្ហាញជាទម្រង់វ៉ិចទ័រ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងកូអរដោនេវានឹងមើលទៅដូចនេះ:

P នៅទីនេះធំជាង ឬស្មើ 0។ យើងបានរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះក្នុងលំហក្នុងទម្រង់ធម្មតា។

សមីការទូទៅ

ប្រសិនបើយើងគុណសមីការក្នុងកូអរដោណេដោយលេខណាមួយដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះយើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងលេខនេះ ដោយកំណត់ប្លង់នោះ។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

នៅទីនេះ A, B, C គឺជាលេខដែលខុសគ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីសូន្យ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការយន្តហោះទូទៅ។

សមីការនៃយន្តហោះ។ ករណីពិសេស

សមីការក្នុងទម្រង់ទូទៅអាចត្រូវបានកែប្រែនៅក្នុងវត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។ សូមក្រឡេកមើលពួកគេខ្លះ។

ចូរសន្មតថាមេគុណ A គឺ 0 ។ នេះមានន័យថាយន្តហោះនេះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះ ទម្រង់សមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរ៖ Ву+Cz+D=0។

ដូចគ្នានេះដែរ ទម្រង់នៃសមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖

• ទីមួយ ប្រសិនបើ B = 0 នោះសមីការនឹងប្តូរទៅជា Ax + Cz + D = 0 ដែលនឹងបង្ហាញពីភាពស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្ស Oy ។
• ទីពីរ ប្រសិនបើ C=0 នោះសមីការនឹងត្រូវបានបំលែងទៅជា Ax+By+D=0 ដែលនឹងបង្ហាញពីភាពស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្ស Oz ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
• ទីបី ប្រសិនបើ D=0 សមីការនឹងមើលទៅដូច Ax+By+Cz=0 ដែលនឹងមានន័យថា យន្តហោះប្រសព្វ O (ប្រភពដើម)។
• ទីបួន ប្រសិនបើ A=B=0 នោះសមីការនឹងប្តូរទៅ Cz+D=0 ដែលនឹងបង្ហាញថាស្របទៅនឹង Oxy ។
• ទីប្រាំ ប្រសិនបើ B=C=0 នោះសមីការក្លាយជា Ax+D=0 ដែលមានន័យថា យន្តហោះទៅ Oyz គឺស្របគ្នា។
• ទីប្រាំមួយ ប្រសិនបើ A=C=0 នោះសមីការនឹងយកទម្រង់ Ву+D=0 នោះគឺវានឹងរាយការណ៍ពីភាពស្របទៅ Oxz ។

ប្រភេទនៃសមីការនៅក្នុងផ្នែក

ក្នុងករណីដែលលេខ A, B, C, D ខុសពីសូន្យ ទម្រង់សមីការ (0) អាចមានដូចខាងក្រោម៖

x/a + y/b + z/c = 1,

ដែលក្នុងនោះ a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C ។

យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​គួរ​ឱ្យ​កត់​សម្គាល់​ថា យន្តហោះ​នេះ​នឹង​កាត់​អ័ក្ស​អុក​នៅ​ចំណុច​មួយ​ជាមួយ​កូអរដោណេ (a,0,0), Oy - (0,b,0) និង Oz - (0,0,c ។ )

ដោយគិតពីសមីការ x/a + y/b + z/c = 1 វាមិនពិបាកក្នុងការស្រមៃមើលទីតាំងនៃយន្តហោះដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

កូអរដោនេវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វ៉ិចទ័រធម្មតា n ទៅយន្តហោះ P មានកូអរដោណេដែលជាមេគុណនៃសមីការទូទៅនៃយន្តហោះនេះ នោះគឺ n (A, B, C)។

ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃ n ធម្មតា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅពេលប្រើសមីការក្នុងផ្នែកដែលមានទម្រង់ x/a + y/b + z/c = 1 ក៏ដូចជាពេលប្រើសមីការទូទៅ អ្នកអាចសរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាណាមួយនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ (1 /a + 1/b + 1/ ជាមួយ) ។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាវ៉ិចទ័រធម្មតាជួយដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។ បញ្ហាទូទៅបំផុតរួមមានបញ្ហាដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការបញ្ជាក់ពីភាពកាត់កែង ឬភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះ បញ្ហានៃការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ ឬមុំរវាងយន្តហោះ និងបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រភេទនៃសមីការយន្តហោះយោងទៅតាមកូអរដោនេនៃចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វ៉ិចទ័រ nonzero n កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ត្រូវបានគេហៅថាធម្មតាសម្រាប់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មតថានៅក្នុងលំហកូអរដោនេ (ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ) Oxyz ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:

• ចំណុច Mₒ ជាមួយកូអរដោនេ (xₒ, yₒ, zₒ);
• វ៉ិចទ័រសូន្យ n=A*i+B*j+C*k។

វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុច Mₒ កាត់កែងទៅនឹង n ធម្មតា។

យើងជ្រើសរើសចំណុចបំពានណាមួយក្នុងលំហ ហើយសម្គាល់វា M (x y, z) ។ សូមឱ្យវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចណាមួយ M (x,y,z) ជា r=x*i+y*j+z*k ហើយវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k។ ចំណុច M នឹង​ជា​របស់​យន្តហោះ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ MₒM កាត់​កែង​ទៅ​វ៉ិចទ័រ n ។ ចូរយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌ orthogonality ដោយប្រើផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖

[MₒM, n] = 0 ។

ចាប់តាំងពី MₒM = r-rₒ សមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

សមីការនេះអាចមានទម្រង់ផ្សេងទៀត។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ លក្ខណសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានប្រើ ហើយផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវបានបំប្លែង។ = - ។ ប្រសិនបើយើងសម្គាល់វាជា c យើងទទួលបានសមីការដូចខាងក្រោមៈ - c = 0 ឬ = c ដែលបង្ហាញពីភាពជាប់លាប់នៃការព្យាករលើវ៉ិចទ័រធម្មតានៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលជារបស់យន្តហោះ។

ឥឡូវនេះយើងអាចទទួលបានទម្រង់កូអរដោនេនៃការសរសេរសមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះរបស់យើង = 0។ ចាប់តាំងពី r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, និង n = A*i+B*j+S*k យើងមាន៖

វាប្រែថាយើងមានសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹង n ធម្មតា៖

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0 ។

ប្រភេទនៃសមីការយន្តហោះយោងទៅតាមកូអរដោនេនៃចំនុចពីរ និងវ៉ិចទ័រ collinear ទៅនឹងយន្តហោះ

ចូរយើងកំណត់ចំណុចបំពានពីរ M′ (x′,y′,z′) និង M″ (x″,y″,z″) ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រ a (a′,a″,a‴)។

ឥឡូវនេះយើងអាចបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានស្រាប់ M′ និង M″ ក៏ដូចជាចំណុច M ដែលមានកូអរដោណេ (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ។

ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) និង M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ត្រូវតែជា coplanar ជាមួយវ៉ិចទ័រ a=(a′,a″,a‴) ដែលមានន័យថា (M′M, M″M, a)=0។

ដូច្នេះ សមីការយន្តហោះរបស់យើងក្នុងលំហនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ប្រភេទនៃសមីការនៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នាបីចំណុច

ឧបមាថាយើងមានបីចំនុច៖ (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់តែមួយ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបីពិន្ទុ។ ទ្រឹស្ដីធរណីមាត្របានអះអាងថា យន្តហោះប្រភេទនេះពិតជាមានមែន ប៉ុន្តែវាមានតែមួយ និងមានតែមួយគត់។ ដោយសារយន្តហោះនេះប្រសព្វចំនុច (x′,y′,z′) ទម្រង់សមីការរបស់វានឹងមានដូចខាងក្រោម៖

នៅទីនេះ A, B, C គឺខុសគ្នាពីសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់ចំនុចពីរបន្ថែមទៀត៖ (x″,y″,z″) និង (x‴,y‴,z‴)។ ក្នុងន័យនេះ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវតែបំពេញ៖

ឥឡូវនេះយើងអាចបង្កើតប្រព័ន្ធដូចគ្នាជាមួយមិនស្គាល់ u, v, w:

ក្នុងករណីរបស់យើង x, y ឬ z គឺជាចំណុចបំពានដែលបំពេញសមីការ (1) ។ ដោយផ្តល់សមីការ (1) និងប្រព័ន្ធសមីការ (2) និង (3) ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងលើត្រូវបានពេញចិត្តដោយវ៉ិចទ័រ N (A, B, C) ដែលមិនមែនជារឿងតូចតាច។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

សមីការ (1) ដែលយើងទទួលបានគឺជាសមីការនៃយន្តហោះ។ វាឆ្លងកាត់ 3 ពិន្ទុយ៉ាងពិតប្រាកដហើយនេះងាយស្រួលពិនិត្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវពង្រីកកត្តាកំណត់របស់យើងទៅក្នុងធាតុនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ពីលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានស្រាប់នៃកត្តាកំណត់ វាធ្វើតាមដែលយន្តហោះរបស់យើងប្រសព្វគ្នាបីចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដំបូង (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . នោះគឺយើងបានដោះស្រាយភារកិច្ចដែលបានប្រគល់ឱ្យយើង។

មុំ Dihedral រវាងយន្តហោះ

មុំ dihedral គឺជាតួលេខធរណីមាត្រលំហដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលចេញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ និយាយម្យ៉ាងទៀតនេះគឺជាផ្នែកនៃលំហដែលត្រូវបានកំណត់ដោយពាក់កណ្តាលយន្តហោះទាំងនេះ។

ឧបមាថាយើងមានប្លង់ពីរដែលមានសមីការដូចខាងក្រោមៈ

យើងដឹងថា វ៉ិចទ័រ N=(A,B,C) និង N¹=(A¹,B¹,C¹) កាត់កែងគ្នាតាមប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងន័យនេះ មុំ φ រវាងវ៉ិចទ័រ N និង N¹ គឺស្មើនឹងមុំ (ឌីអេដ្រាល) ដែលស្ថិតនៅចន្លោះយន្តហោះទាំងនេះ។ ផលិតផលចំនុចមានទម្រង់៖

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ច្បាស់ណាស់ដោយសារតែ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))។

វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីថា 0≤φ≤π។

តាមការពិត យន្តហោះពីរដែលប្រសព្វគ្នាបង្កើតបានជាមុំពីរ (dihedral): φ 1 និង φ 2 ។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង π (φ 1 + φ 2 = π) ។ ចំណែក​កូស៊ីនុស​វិញ តម្លៃ​ដាច់ខាត​របស់​វា​គឺ​ស្មើគ្នា ប៉ុន្តែ​វា​ខុសគ្នា​ក្នុង​សញ្ញា នោះ​គឺ cos φ 1 = -cos φ 2 ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (0) យើងជំនួស A, B និង C ដោយលេខ -A, -B និង -C រៀងគ្នា នោះសមីការដែលយើងទទួលបាននឹងកំណត់ប្លង់តែមួយ មុំតែមួយ មុំφ ក្នុងសមីការ cos φ= NN 1 /| N||N 1| នឹងត្រូវបានជំនួសដោយ π-φ ។

សមីការនៃយន្តហោះកាត់កែង

ប្លង់រវាងមុំ 90 ដឺក្រេត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែង។ ដោយប្រើសម្ភារៈដែលបានបង្ហាញខាងលើ យើងអាចរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះកាត់កែងទៅមួយទៀត។ ឧបមាថាយើងមានយន្តហោះពីរគឺ Ax+By+Cz+D=0 និង A¹x+B¹y+C¹z+D=0។ យើងអាចនិយាយបានថាពួកវានឹងកាត់កែងប្រសិនបើ cosφ=0 ។ នេះមានន័យថា NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0។

សមីការយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល

យន្តហោះពីរដែលមិនមានចំណុចរួមត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាឡែល។

លក្ខខណ្ឌ (សមីការរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នាទៅនឹងកថាខណ្ឌមុន) គឺថា វ៉ិចទ័រ N និង N¹ ដែលកាត់កែងទៅនឹងពួកវាគឺជាប់គ្នា។ នេះមានន័យថា លក្ខខណ្ឌសមាមាត្រខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

A/A¹=B/B¹=C/C¹។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌសមាមាត្រត្រូវបានពង្រីក - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

នេះបង្ហាញថាយន្តហោះទាំងនេះស្របគ្នា។ នេះមានន័យថាសមីការ Ax+By+Cz+D=0 និង A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ពិពណ៌នាអំពីយន្តហោះមួយ។

ចម្ងាយទៅយន្តហោះពីចំណុច

ចូរនិយាយថាយើងមានយន្តហោះ P ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (0) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកចម្ងាយទៅវាពីចំណុចដែលមានកូអរដោណេ (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវនាំយកសមីការនៃយន្តហោះ P ទៅជាទម្រង់ធម្មតា៖

(ρ,v)=р (р≥0)។

ក្នុងករណីនេះ ρ (x, y, z) គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q របស់យើងដែលមានទីតាំងនៅ P, p គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែង P ដែលត្រូវបានបញ្ចេញចេញពីចំនុចសូន្យ, v គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតា ដែលមានទីតាំងនៅ ទិសដៅ ក.

ភាពខុសគ្នា ρ-ρº វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចមួយចំនួន Q = (x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ P ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) គឺជាវ៉ិចទ័របែបនេះ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃការព្យាករដែលនៅលើ v ស្មើនឹងចម្ងាយ d ដែលត្រូវការរកពី Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) ទៅ P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ប៉ុន្តែ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)។

ដូច្នេះវាប្រែចេញ

d=|(ρ 0 ,v)-р|។

ដូច្នេះ យើងនឹងរកឃើញតម្លៃដាច់ខាតនៃកន្សោមលទ្ធផល នោះគឺ ឃ ដែលចង់បាន។

ដោយប្រើភាសាប៉ារ៉ាម៉ែត្រយើងទទួលបានជាក់ស្តែង៖

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²)។

ប្រសិនបើចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Q 0 គឺនៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃយន្តហោះ P ដូចជាប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ នោះរវាងវ៉ិចទ័រ ρ-ρ 0 និង v ដូច្នេះមាន៖

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0។

ក្នុងករណីដែលចំនុច Q 0 រួមជាមួយនឹងប្រភពដើមនៃកូអរដោណេស្ថិតនៅលើផ្នែកដូចគ្នានៃ P បន្ទាប់មកមុំដែលបានបង្កើតគឺស្រួច នោះគឺ៖

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0។

ជាលទ្ធផលវាប្រែថានៅក្នុងករណីដំបូង (ρ 0 ,v)>р, នៅក្នុងករណីទីពីរ (ρ 0 ,v)<р.

យន្តហោះតង់សង់ និងសមីការរបស់វា។

យន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃនៅចំណុចនៃទំនាក់ទំនង Mº គឺជាយន្តហោះដែលមានតង់ហ្សង់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ទៅនឹងខ្សែកោងដែលកាត់តាមចំណុចនេះលើផ្ទៃ។

ជាមួយនឹងប្រភេទនៃសមីការផ្ទៃ F(x,y,z)=0 សមីការនៃប្លង់តង់សង់នៅចំណុចតង់សង់ Mº(xº,yº,zº) នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0 ។

ប្រសិនបើអ្នកបញ្ជាក់ផ្ទៃក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់ z=f (x,y) នោះប្លង់តង់សង់នឹងត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ៖

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº)។

ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (រាងចតុកោណ) Oxyz មានទីតាំងនៅ យន្តហោះពីរ П′ និង П″ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលប្រសព្វគ្នានិងមិនស្របគ្នា។ ដោយសារយន្តហោះណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅ យើងនឹងសន្មត់ថា P′ និង P″ ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ A′x+B′y+C′z+D′=0 និង A″x +B″y+ С″z+D″=0។ ក្នុងករណីនេះ យើងមាន n′ (A′, B′, C′) ធម្មតានៃយន្តហោះ P′ និង N″ (A″, B″, C″) ធម្មតានៃយន្តហោះ P″ ។ ដោយសារប្លង់របស់យើងមិនស្របគ្នា ហើយមិនស្របគ្នា វ៉ិចទ័រទាំងនេះមិនជាប់គ្នាទេ។ ដោយប្រើភាសាគណិតវិទ្យា យើងអាចសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះដូចខាងក្រោម៖ n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR ។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ដែលនៅប្រសព្វ P′ និង P″ ត្រូវបានតាងដោយអក្សរ a ក្នុងករណីនេះ a = P′ ∩ P″ ។

a គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានសំណុំនៃចំនុចទាំងអស់នៃប្លង់ (ទូទៅ) P′ និង P″ ។ នេះមានន័យថា កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ ត្រូវតែបំពេញសមីការ A′x+B′y+C′z+D′=0 និង A″x+B″y+C″z+D″=0 . នេះមានន័យថា កូអរដោនេនៃចំនុចនឹងជាដំណោះស្រាយមួយផ្នែកនៃប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖

ជាលទ្ធផល វាប្រែថាដំណោះស្រាយ (ទូទៅ) នៃប្រព័ន្ធសមីការនេះនឹងកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់ ដែលនឹងដើរតួជាចំនុចប្រសព្វនៃ P′ និង P″ ហើយកំណត់បន្ទាត់ត្រង់។ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Oxyz (ចតុកោណ) ក្នុងលំហ។

ដើម្បីឱ្យយន្តហោះតែមួយគូរកាត់តាមចំណុចបីណាមួយក្នុងលំហ វាចាំបាច់ដែលចំណុចទាំងនេះមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។

ពិចារណាចំណុច M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ទូទៅ។

ដើម្បីឱ្យចំណុចបំពាន M(x, y, z) ស្ថិតនៅលើប្លង់តែមួយដែលមានចំណុច M 1, M 2, M 3 នោះវាចាំបាច់ដែលវ៉ិចទ័រជា coplanar ។

(
) = 0

ដូច្នេះ

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច៖

សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ពីរ​ចំណុច និង​វ៉ិចទ័រ​ជាប់​នឹង​យន្តហោះ។

សូម​ឲ្យ​ពិន្ទុ M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) ហើយ​ត្រូវ​ផ្តល់​វ៉ិចទ័រ
.

ចូរបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 1 និង M 2 និងចំណុចបំពាន M (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ .

វ៉ិចទ័រ
និងវ៉ិចទ័រ
ត្រូវតែជា coplanar, i.e.

(
) = 0

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការនៃយន្តហោះដោយប្រើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រពីរ

collinear ទៅយន្តហោះ។

សូមឱ្យវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
និង
, យន្តហោះ collinear ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ វ៉ិចទ័រ
ត្រូវតែជា coplanar ។

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការនៃយន្តហោះដោយចំណុច និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ .

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើចំណុច M ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) បន្ទាប់មកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (ក, ខ, គ) មានទម្រង់៖

ក(x – x 0 ) + ខ(y – y 0 ) + គ(z – z 0 ) = 0.

ភស្តុតាង។ សម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ យើងតែងវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារតែ វ៉ិចទ័រ គឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ធម្មតា បន្ទាប់មក​វា​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​យន្តហោះ ហើយ​ដូច្នេះ​កាត់​កែង​ទៅ​វ៉ិចទ័រ
. បន្ទាប់មកផលិតផលធ្វើមាត្រដ្ឋាន

= 0

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅ Ax + By + Cz + D = 0 យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ (-D)

,

ការជំនួស
យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះជាផ្នែកៗ៖

លេខ a, b, c គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលមានអ័ក្ស x, y, z រៀងគ្នា។

សមីការនៃយន្តហោះក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ។

កន្លែងណា

- វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចបច្ចុប្បន្ន M(x, y, z)

វ៉ិចទ័រ​ឯកតា​ដែល​មាន​ទិសដៅ​កាត់​កែង​ធ្លាក់​លើ​យន្តហោះ​ពី​ដើម។

,  និង  គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រនេះជាមួយនឹងអ័ក្ស x, y, z ។

p គឺជាប្រវែងកាត់កែងនេះ។

នៅក្នុងកូអរដោណេ សមីការនេះមើលទៅដូចជា៖

xcos + ycos + zcos − p = 0 ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។

ចម្ងាយពីចំណុចបំពាន M 0 (x 0, y 0, z 0) ទៅយន្តហោះ Ax+By+Cz+D=0 គឺ៖

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះ ដោយដឹងថាចំណុច P(4; -3; 12) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។

ដូច្នេះ A = 4/13; ខ = -៣/១៣; C = 12/13 យើងប្រើរូបមន្ត៖

ក (x − x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច P(2; 0; -1) និង

Q(1; -1; 3) កាត់កែងទៅនឹងប្លង់ 3x + 2y – z + 5 = 0 ។

វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅប្លង់ 3x + 2y – z + 5 = 0
ស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។

យើង​ទទួល​បាន:

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច A(2, -1,4) និង

B(3, 2, -1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ X + នៅ + 2z – 3 = 0.

សមីការដែលត្រូវការនៃយន្តហោះមានទម្រង់៖ ក x+ ខ y+ គ z+ D = 0, វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះនេះ។ (A, B, C) ។ វ៉ិចទ័រ
(1, 3, -5) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងកាត់កែងទៅនឹងអ្វីដែលចង់បានមានវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (១, ១, ២)។ ដោយសារតែ ចំនុច A និង B ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះទាំងពីរ ហើយយន្តហោះគឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (១១, -៧, -២) ។ ដោយសារតែ ចំណុច A ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដែលចង់បាន បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាត្រូវតែបំពេញសមីការនៃយន្តហោះនេះ i.e. 112 + 71 − 24 +D= 0;D= −21 ។

សរុបមក យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ៖ ១១ x - 7y – 2z – 21 = 0.

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះ ដោយដឹងថាចំណុច P(4, -3, 12) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។
= (4, -3, 12) ។ សមីការដែលត្រូវការនៃយន្តហោះមានទម្រង់៖ ៤ x – 3y + 12z+ D = 0. ដើម្បីរកមេគុណ D យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច P ទៅក្នុងសមីការ៖

16 + 9 + 144 + D = 0

សរុបមក យើងទទួលបានសមីការដែលត្រូវការ៖ ៤ x – 3y + 12z – 169 = 0

ឧទាហរណ៍។កូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលនៃពីរ៉ាមីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) ។

រកប្រវែងគែម A 1 A 2 ។

រកមុំរវាងគែម A 1 A 2 និង A 1 A 4 ។

រកមុំរវាងគែម A 1 A 4 និងមុខ A 1 A 2 A 3 ។

ដំបូងយើងរកវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅមុខ A 1 A 2 A 3 ជាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ
និង
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

ចូរយើងរកមុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតា និងវ៉ិចទ័រ
.

-4 – 4 = -8.

មុំដែលចង់បាន  រវាងវ៉ិចទ័រ និងប្លង់នឹងស្មើ  = 90 0 −  ។

រកតំបន់មុខ A 1 A 2 A 3 ។

ស្វែងរកបរិមាណពីរ៉ាមីត។

រកសមីការនៃយន្តហោះ A 1 A 2 A 3 ។

ចូរប្រើរូបមន្តសម្រាប់សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច។

2x + 2y + 2z − 8 = 0

x + y + z − 4 = 0;

នៅពេលប្រើកំណែកុំព្យូទ័រ " វគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់" អ្នកអាចដំណើរការកម្មវិធីដែលនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងលើសម្រាប់កូអរដោនេណាមួយនៃចំនុចកំពូលនៃពីរ៉ាមីត។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមកម្មវិធី ចុចពីរដងលើរូបតំណាង៖

នៅក្នុងបង្អួចកម្មវិធីដែលបើក សូមបញ្ចូលកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលនៃសាជីជ្រុង ហើយចុច Enter ។ តាមវិធីនេះ រាល់ចំណុចសម្រេចចិត្តទាំងអស់អាចទទួលបានម្តងមួយៗ។

ចំណាំ៖ ដើម្បីដំណើរការកម្មវិធីនេះ កម្មវិធី Maple ( Waterloo Maple Inc.) នៃកំណែណាមួយ ដែលចាប់ផ្តើមជាមួយ MapleV Release 4 ត្រូវតែដំឡើងនៅលើកុំព្យូទ័ររបស់អ្នក។

ដើម្បីកំណត់ភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃយន្តហោះ ក៏ដូចជាដើម្បីគណនាចម្ងាយរវាងវត្ថុធរណីមាត្រទាំងនេះ វាងាយស្រួលប្រើមុខងារលេខមួយ ឬប្រភេទផ្សេងទៀត។ សម្រាប់បញ្ហាអ្វីដែលវាងាយស្រួលប្រើសមីការយន្តហោះជាផ្នែក? នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលថាតើវាជាអ្វីនិងរបៀបប្រើវាក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង។

តើសមីការបន្ទាត់គឺជាអ្វី?

យន្តហោះអាចត្រូវបានកំណត់ក្នុងលំហបីវិមាត្រតាមវិធីជាច្រើន។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ ពួកគេមួយចំនួននឹងត្រូវបានបង្ហាញខណៈពេលដែលការដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទផ្សេងៗ។ នៅទីនេះយើងនឹងផ្តល់ការពិពណ៌នាលម្អិតនៃសមីការនៅក្នុងផ្នែកនៃយន្តហោះ។ ជាទូទៅវាមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

កន្លែងដែលនិមិត្តសញ្ញា p, q, r បង្ហាញពីលេខជាក់លាក់មួយចំនួន។ សមីការនេះអាចត្រូវបានបកប្រែយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាកន្សោមទូទៅ និងទម្រង់ផ្សេងទៀតនៃមុខងារលេខសម្រាប់យន្តហោះ។

ភាពងាយស្រួលនៃការសរសេរសមីការនៅក្នុងផ្នែកគឺថាវាមានកូអរដោនេច្បាស់លាស់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេកាត់កែង។ នៅលើអ័ក្ស x ទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើមនៃកូអរដោនេយន្តហោះកាត់ផ្នែកនៃប្រវែង p នៅលើអ័ក្ស y - ស្មើនឹង q នៅលើ z - ជាមួយប្រវែង r ។

ប្រសិនបើអថេរណាមួយក្នុងចំនោមអថេរទាំងបីមិនមាននៅក្នុងសមីការ នោះមានន័យថា យន្តហោះមិនឆ្លងកាត់អ័ក្សដែលត្រូវគ្នាទេ (គណិតវិទូនិយាយថាវាប្រសព្វគ្នាក្នុងភាពគ្មានកំណត់)។

ទំនាក់ទំនងរវាងទូទៅ និងផ្នែកនៃសមីការ

គេដឹងថាយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

2*x − 3*y + z − 6 = 0 ។

វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃយន្តហោះនេះជាផ្នែកៗ។

នៅពេលដែលបញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះកើតឡើង អ្នកត្រូវធ្វើតាមបច្ចេកទេសនេះ៖ ផ្លាស់ទីពាក្យសេរីទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព។ បន្ទាប់មកយើងបែងចែកសមីការទាំងមូលដោយពាក្យនេះ ដោយព្យាយាមបង្ហាញវាក្នុងទម្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ យើង​មាន:

2*x − 3*y + z = 6 =>

2*x/6 − 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1 ។

យើងទទួលបានជាផ្នែកនៃសមីការនៃយន្តហោះ ដែលផ្តល់ដំបូងជាទម្រង់ទូទៅ។ វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាយន្តហោះកាត់ផ្នែកដែលមានប្រវែង 3, 2 និង 6 សម្រាប់អ័ក្ស x, y និង z រៀងគ្នា។ អ័ក្ស y កាត់​ប្លង់​ក្នុង​តំបន់​កូអរដោណេ​អវិជ្ជមាន។

នៅពេលបង្កើតសមីការក្នុងផ្នែក វាជារឿងសំខាន់ដែលអថេរទាំងអស់ត្រូវនាំមុខដោយសញ្ញា "+" ។ មានតែនៅក្នុងករណីនេះទេ លេខដែលអថេរនេះត្រូវបានបែងចែកនឹងបង្ហាញកូអរដោនេដែលកាត់ចេញនៅលើអ័ក្ស។

វ៉ិចទ័រធម្មតា និងចំណុចនៅលើយន្តហោះ

វាត្រូវបានគេដឹងថាយន្តហោះខ្លះមាន (3; 0; -1) ។ គេ​ដឹង​ផង​ដែរ​ថា វា​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច (១; ១; ១)។ អ្នកគួរតែសរសេរសមីការជាផ្នែកសម្រាប់យន្តហោះនេះ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ ដំបូងអ្នកត្រូវតែប្រើទម្រង់ទូទៅសម្រាប់វត្ថុធរណីមាត្រពីរវិមាត្រនេះ។ ទម្រង់ទូទៅត្រូវបានសរសេរជា៖

A*x + B*y + C*z + D = 0 ។

មេគុណបីដំបូងគឺនៅទីនេះ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រមគ្គុទ្ទេសក៍ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហានោះគឺ:

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកពាក្យឥតគិតថ្លៃ D. វាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1) ។

ដែលតម្លៃសំរបសំរួលជាមួយលិបិក្រម 1 ត្រូវគ្នានឹងកូអរដោណេនៃចំនុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។ យើងជំនួសតម្លៃរបស់ពួកគេពីលក្ខខណ្ឌបញ្ហា យើងទទួលបាន៖

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2 ។

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរសមីការពេញលេញ៖

បច្ចេកទេសនៃការបំប្លែងកន្សោមនេះទៅជាសមីការនៅក្នុងផ្នែកយន្តហោះត្រូវបានបង្ហាញរួចហើយខាងលើ។ តោះអនុវត្តវា៖

3*x − z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1 ។

ចម្លើយចំពោះបញ្ហាត្រូវបានទទួល។ ចំណាំថាយន្តហោះនេះប្រសព្វគ្នាតែអ័ក្ស x និង z ប៉ុណ្ណោះ។ សម្រាប់ y ​​វាគឺស្របគ្នា។

បន្ទាត់ត្រង់ពីរកំណត់យន្តហោះ

ពីវគ្គសិក្សានៅក្នុងធរណីមាត្រលំហ សិស្សសាលាគ្រប់រូបដឹងថាបន្ទាត់ត្រង់ពីរកំណត់កំណត់ប្លង់យន្តហោះក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ តោះដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នា។

មានសមីការបន្ទាត់ដែលគេស្គាល់ពីរ៖

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1) ។

វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរជាផ្នែក ៗ នៃសមីការនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ទាំងនេះ។

ដោយសារបន្ទាត់ទាំងពីរត្រូវតែស្ថិតនៅលើយន្តហោះ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រ (អ្នកដឹកនាំ) របស់ពួកគេត្រូវតែកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ (អ្នកដឹកនាំ) សម្រាប់យន្តហោះ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គេដឹងថាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃផ្នែកដឹកនាំពីរតាមអំពើចិត្តផ្តល់លទ្ធផលក្នុងទម្រង់នៃកូអរដោនេនៃផ្នែកទីបីកាត់កែងទៅនឹងផ្នែកដើមទាំងពីរ។ ដោយគិតពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះ យើងទទួលបានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន៖

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

ដោយសារវាអាចត្រូវបានគុណដោយលេខតាមអំពើចិត្ត ក្នុងករណីនេះផ្នែកដឹកនាំថ្មីត្រូវបានបង្កើតឡើង ស្របនឹងលេខដើម បន្ទាប់មកសញ្ញានៃកូអរដោនេដែលទទួលបានអាចត្រូវបានជំនួសដោយលេខផ្ទុយ (គុណនឹង -1) យើងទទួលបាន៖

យើងដឹងពីវ៉ិចទ័រទិសដៅ។ វានៅសល់ដើម្បីយកចំណុចបំពានលើបន្ទាត់ណាមួយ ហើយសរសេរសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ៖

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2 * y + z −1 = 0 ។

ការបកប្រែសមភាពនេះទៅជាកន្សោមក្នុងផ្នែក យើងទទួលបាន៖

x + 2 * y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1 ។

ដូច្នេះ យន្តហោះកាត់អ័ក្សទាំងបីនៅក្នុងតំបន់វិជ្ជមាននៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ។

ដូច​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​ពីរ​ដែរ ចំណុច​បី​កំណត់​ប្លង់​ដោយ​ឡែក​ក្នុង​លំហ​បី​វិមាត្រ។ ចូរ​យើង​សរសេរ​សមីការ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​ជា​ផ្នែក ប្រសិនបើ​កូអរដោនេ​ខាងក្រោម​នៃ​ចំណុច​ដែល​ស្ថិត​ក្នុង​យន្តហោះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង​ថា ៖

ចូរបន្តដូចខាងក្រោម៖ គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័របំពានពីរដែលភ្ជាប់ចំណុចទាំងនេះ បន្ទាប់មករកវ៉ិចទ័រ n¯ ធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះដោយគណនាផលិតផលនៃផ្នែកដែលដឹកនាំដែលបានរកឃើញ។ យើង​ទទួល​បាន:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6) ។

ចូរយកចំណុច P ជាឧទាហរណ៍ ហើយបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះ៖

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z=0 ឬ z=0។

យើង​មាន​កន្សោម​សាមញ្ញ​មួយ​ដែល​ត្រូវ​នឹង​យន្តហោះ xy ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។ វាមិនអាចសរសេរជាផ្នែកបានទេ ដោយសារអ័ក្ស x និង y ជារបស់យន្តហោះ ហើយប្រវែងនៃផ្នែកដែលកាត់នៅលើអ័ក្ស z គឺសូន្យ (ចំនុច (0; 0; 0) ជារបស់យន្តហោះ)។

1. ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ (មិនជាប់គ្នា)

ចំណាំ៖ 1 វិធី . ចូរយកចំណុចបំពាននៃយន្តហោះ M (x, y, z) ។ វ៉ិចទ័រនឹងជា coplanar ព្រោះពួកវាមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា។ ដូច្នេះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេ។
ការសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះក្នុងកូអរដោណេ យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន៖

វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់នេះដោយពង្រីកតាមខ្សែទីមួយ។

វិធីសាស្រ្ត 2 . វ៉ិចទ័រ
ស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ ស្មើនឹងផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ
កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនេះ។ , i.e.
និង
. វ៉ិចទ័រ គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ . ប្រសិនបើ
និង
បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

សមីការយន្តហោះ ស្វែងរកដោយចំណុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

2. ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរស្របគ្នានឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ
.(
non-collinear) ។

ចំណាំ៖ 1 វិធី។ អនុញ្ញាតឱ្យ M (x, y, z) ជាចំណុចបំពាននៅលើយន្តហោះ។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រនិង
មានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា ដូច្នេះ coplanar, i.e. ការងារចម្រុះរបស់ពួកគេ។
ដោយបានសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះនៅក្នុងកូអរដោនេ យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន .

វិធីសាស្រ្ត 2 . វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះដែលចង់បាននឹងស្មើនឹងផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ
, i.e.
ឬនៅក្នុងកូអរដោនេ៖

សមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន រកឃើញដោយវ៉ិចទ័រធម្មតា។ និងចំណុច
(ឬចំណុច
) ដោយរូបមន្ត (2.1.1)

(សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 2.2)។

3. រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច
ស្រប​នឹង​យន្តហោះ 2x – 6y – 3z +5 = 0 ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រធម្មតា។ យើងរកឃើញពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះនេះ 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1) ។
វ៉ិចទ័រ កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​យន្តហោះ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ ដូច្នេះ​វា​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​យន្តហោះ​ណា​មួយ​ដែល​ស្រប​នឹង​វា។ វ៉ិចទ័រ អាចត្រូវបានយកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលចង់បាន។ ចូរបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលចង់បានដោយផ្អែកលើចំណុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 2.2)។

ចម្លើយ៖

4. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ 2x + y - 2z + 1 = 0 និង

x + y + z − 5 = 0 ។

ចំណាំ៖ 1 វិធី។ វ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងប្លង់នីមួយៗរបស់វា (កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានរកឃើញពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ រូបមន្ត (2.2.1)) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វរបស់វា ហើយដូច្នេះស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។ យន្តហោះដែលចង់បានឆ្លងកាត់ចំណុច
ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រពីរ
(សូមមើលកិច្ចការទី 1 ចំណុច 5) ។

សមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បានមានទម្រង់៖

ការពង្រីកកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីតាមជួរទីមួយ យើងទទួលបានសមីការដែលត្រូវការ។

វិធីសាស្រ្ត 2 ។ ចូរបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះដោយផ្អែកលើចំណុចមួយ។
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ យោងតាមរូបមន្ត (2.2.1) ។ វ៉ិចទ័រធម្មតា។ ស្មើនឹងផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ
, ទាំងនោះ។
ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រ
កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ និងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។

វ៉ិចទ័រ (មើលរូបមន្ត 2.2.1) បន្ទាប់មក

ចូរបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះដោយផ្អែកលើចំណុចមួយ។
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

(សូមមើលឧទាហរណ៍ ១ ឃ្លា ២.២)

ចម្លើយ៖

5. រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច
និង
កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ 3x – y + 3z +15 = 0 ។

ចំណាំ៖ 1 វិធី។ ចូរយើងសរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ភាពរលោង

3x – y + 3z +15 = 0៖
ដោយសារ​ប្លង់​កាត់​កែង នោះ​វ៉ិចទ័រ ស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន
ដែលស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច
(សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទី 2 ចំណុចទី 5 វិធីសាស្រ្ត 1) ។

ការគណនាកត្តាកំណត់ យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y − z − 14 = 0 ។

វិធីសាស្រ្ត 2 ។ ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន ដោយចំណុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
វ៉ិចទ័រ

យើងបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (មើលបញ្ហាទី 2 ចំណុច 5 វិធីសាស្រ្ត 2) ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 5 ។

2x + 3y − z − 14 = 0 ។

ចម្លើយ៖ 2x + 3y − z − 14 = 0 ។

6. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច

និង

ចំណាំ៖ចូរបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 2.3 រូបមន្ត 2.3.1) ។

ការពង្រីកកត្តាកំណត់ យើងទទួលបាន

ចម្លើយ៖

មតិយោបល់។ដើម្បីពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាកត្តាកំណត់ វាត្រូវបានផ្ដល់អនុសាសន៍ឱ្យជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះដែលតាមរយៈយន្តហោះឆ្លងកាត់ទៅក្នុងសមីការលទ្ធផល។ លទ្ធផលគួរតែជាអត្តសញ្ញាណ; បើមិនដូច្នោះទេមានកំហុសក្នុងការគណនា។

7. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
ស្របទៅនឹងប្លង់ x – 4y + 5z + 1 = 0 ។

ចំណាំ៖ពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ
x − 4y + 5z + 1 = 0 រកវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(រូបមន្ត 2.2.1) ។ វ៉ិចទ័រ កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន
ចូរបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះដោយផ្អែកលើចំណុចមួយ។
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(សូមមើលឧទាហរណ៍ 1; កថាខណ្ឌ 2.2)៖

x − 4y + 5z + 15 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x − 4y + 5z + 15 = 0 ។

8. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទី 1 ចំណុចទី 5។ យើងដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើវិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

ចម្លើយ៖ x – y – z – 1 = 0 ។

9. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ 3x – 2y – z + 1 = 0 និង x – y – z = 0 ។

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទី 4 ចំណុចទី 5 ។ យើងដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើវិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

ចម្លើយ៖ x +2y − z − 8 = 0 ។

10. រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច

កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ 3x – y – 4z = 0 ។

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទី 5 ចំណុចទី 5 ។

ចម្លើយ៖ 9x – y +7z – 40 = 0 ។

11. រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច

ស្របទៅនឹងបន្ទាត់កំណត់ដោយចំណុច A (5; –2; 3) និង B (6; 1; 0) ។

ចំណាំ៖យន្តហោះដែលចង់បានគឺស្របនឹងបន្ទាត់ AB ដូច្នេះវាស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ
សមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន យើងរកឃើញដូចនៅក្នុងបញ្ហាទី 2 នៃកថាខណ្ឌទី 5 (ដោយវិធីសាស្រ្តមួយ) ។

ចម្លើយ៖ 3x – 4y – 3z +4 = 0 ។

12. ចំណុច P (2; –1; –2) បម្រើជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះ។ សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះនេះ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រធម្មតា។ ទៅយន្តហោះដែលចង់បានគឺវ៉ិចទ័រ
ចូរស្វែងរកកូអរដោនេរបស់វា។

ទាំងនោះ។
ចូរបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះ ដោយចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 2.2)។

ចម្លើយ៖ 2x – y – 2z – 9 = 0 ។

13. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
ស្របទៅនឹងយន្តហោះ៖ ក) xoy; ខ) យូស; គ) xoz ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រ
- អ័ក្សវ៉ិចទ័រ oz ឯកតាគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ xoy ដូច្នេះ វាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន
យើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះនៅចំណុច A (0; –1; 2) និង

= (0; 0; 1), ព្រោះ
(សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទី 3 ចំណុច 5) ។
z − 2 = 0 ។

យើងដោះស្រាយបញ្ហា b) និង c) ស្រដៀងគ្នា។

ខ)
កន្លែងណា
(1; 0; 0).

វី)
កន្លែងណា (0; 1; 0).

y + 1 = 0 ។

ចម្លើយ៖ a) z − 2 = 0; b) x = 0; គ) y + 1 = 0 ។

14. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច
និង

B (2; 1; –1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ៖ ក) xoy; ខ) xoz ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ xoy គឺជាវ៉ិចទ័រ

= (0; 0; 1) - វ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្សអោន។ ចូរបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច
និង B (2; 1; –1) និងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលមានវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(0; 0; 1) ដោយ​ប្រើ​វិធី​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​វិធី​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ទី 5 នៃ​កថាខណ្ឌ​ទី 5 ។
y − 1 = 0 ។

ដូចគ្នានេះដែរចំពោះបញ្ហា ខ)៖
កន្លែងណា = (0; 1; 0) ។

ចម្លើយ៖ក) y – 1 = 0; ខ) x + z − 1 = 0 ។

15. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច
និង

B (2; 3; -1) ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​អោន។

ចំណាំ៖នៅលើអ័ក្ស oz យើងអាចយកវ៉ិចទ័រឯកតា = (0; 0; 1) ។ ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​គឺ​ស្រដៀង​គ្នា​នឹង​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​ទី ២ ចំណុច​ទី ៥ (ដោយ​វិធី​ណា​មួយ)។

ចម្លើយ: x − y + 1 = 0 ។

16. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សគោ និងចំណុច

ចំណាំ៖យន្តហោះ
ឆ្លងកាត់អ័ក្សគោ ដូច្នេះតាមរយៈចំណុច O(0; 0; 0) ។ នៅលើអ័ក្សគោយើងអាចយកវ៉ិចទ័រឯកតា = (1; 0; 0) ។ យើងចងក្រងសមីការនៃប្លង់ដែលចង់បានដោយប្រើពីរចំណុច A(2; -1; 6) និង O(0; 0; 0) និងវ៉ិចទ័រ ស្របទៅនឹងយន្តហោះ។ (សូម​មើល​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​ទី 2 ចំណុច 5)។

ចម្លើយ៖ 6y + z = 0 ។

17. តើ Ax + 2y – 7z – 1 = 0 និង 2x – y + 2z = 0 នឹងកាត់កែងនៅតម្លៃប៉ុន្មាន?

ចំណាំ៖ពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ

អ័ក្ស + 2y – 7z – 1 = 0 និង
2x – y + 2z = 0 វ៉ិចទ័រធម្មតា។

= (A; 2; –7) និង
= (2; –1; 2) (2.2.1) ។ លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការកាត់កែងនៃយន្តហោះពីរ (2.6.1).

ចម្លើយ៖ក = ៨.

18. នៅតម្លៃអ្វី A នៃយន្តហោះ 2x + 3y – 6z – 23 = 0 និង

4x + Ay – 12z + 7 = 0 នឹងស្របគ្នា?

ចំណាំ៖
2x + 3y – 6z – 23 = 0 និង
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; −6) និង
= (4;A; –12) (2.2.1) ។ ដោយសារតែ
(2.5.1)

ចម្លើយ៖ក = ៦.

19. រកមុំរវាងប្លង់ពីរ 2x + y + z + 7 = 0 និង x − 2y + 3z = 0 ។

ចំណាំ៖
2x + y + z + 7 = 0 និង
x − 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) និង
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

ចម្លើយ:

20. ផ្សំសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។

A (1; 2; -3) ស្រប​នឹង​វ៉ិចទ័រ =(1; –2; 1).

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍នៃកថាខណ្ឌ 3.1 ។

ចម្លើយ:

21. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រសម្រាប់បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។

A (–2; 3; 1) ស្រប​នឹង​វ៉ិចទ័រ =(3; –1; 2).

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ក្នុងកថាខណ្ឌ 3.2 ។

ចម្លើយ:
.

22. ផ្សំសមីការ Canonical និង parametric នៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច A (1; 0; –2) និង B (1; 2; –4) ។

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ 1 នៃឃ្លា 3.3 ។

ចម្លើយ៖ក)
ខ)

23. ផ្សំសមីការ Canonical និង parametric នៃបន្ទាត់ដែលបានកំណត់ថាជាចំនុចប្រសព្វនៃប្លង់ពីរ x – 2y +3z – 4 = 0 និង 3x + 2y – 5z – 4 = 0 ។

ចំណាំ៖សូមមើលឧទាហរណ៍ទី 1 កថាខណ្ឌ 3.4 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ z = 0 បន្ទាប់មក x និង y កូអរដោនេនៃចំនុច
យើងរកឃើញពីដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ

ដូច្នេះចំណុច
ដេកលើបន្ទាត់ដែលចង់បានមានកូអរដោណេ

(២;–១; ០)។ ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ
x − 2y + 3z − 4 = 0 និង
3x + 2y – 5z – 4 = 0

ស្វែងរកវ៉ិចទ័រធម្មតា។ =(1; −2; 3) និង
=(3; 2; –5).

យើងរកឃើញសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ពីចំណុចមួយ។
(2; –1; 0) និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ

(សូមមើលរូបមន្ត (3.1.1)) ។

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត (3.2.1) ឬពីសមីការ Canonical៖
យើង​មាន:

ចម្លើយ:
;
.

24. តាមរយៈចំណុច
(2; -3; -4) គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់

.

ចំណាំ៖សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ដែលចង់បាន ចូរយើងស្វែងរកដោយចំណុច
និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកសម្រាប់វ៉ិចទ័រទិសដៅ ត្រង់ អ្នកអាចយកវ៉ិចទ័រទិសដៅ ត្រង់ L. បន្ទាប់មក សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា ២៣ កថាខណ្ឌ ៥ ឬឧទាហរណ៍ ១ កថាខណ្ឌ ៣.៤។

ចម្លើយ:

25. ត្រីកោណកែងដែលបានផ្តល់ឱ្យ A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) និង C (–1; 3; 5) ។ រកសមីការនៃមធ្យមនៃត្រីកោណ ABC ដែលទាញចេញពីចំនុចកំពូល B ។

ចំណាំ៖យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃចំណុច M ពីលក្ខខណ្ឌ AM = MC (BM គឺជាមធ្យមនៃត្រីកោណ ABC) ។

ជាមួយ ចូរយើងទុកសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ BM សម្រាប់ពីរពិន្ទុ B (2; 4; –1) និង
(​សូម​មើល​ឧទាហរណ៍ ១ កថាខណ្ឌ ៣.៣)។

ចម្លើយ:

26. ផ្សំសមីការ Canonical និង parametric នៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
(–1; –2; 2) ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​គោ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រ
- អ័ក្សវ៉ិចទ័រឯកតាគឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលចង់បាន។ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានយកជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់
= (1; 0; 0) ។ ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីចំណុចមួយ។

(–១; –២:២) និងវ៉ិចទ័រ = (1; 0; 0) (សូមមើលឧទាហរណ៍ កថាខណ្ឌ 3.1 និងឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 3.2)។

ចម្លើយ:
;

27. ផ្សំសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
(3; −2; 4) កាត់កែងទៅនឹងប្លង់ 5x + 3y – 7z + 1 = 0 ។

ចំណាំ៖ពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ
5x + 3y – 7z + 1 = 0 រកវ៉ិចទ័រធម្មតា។ = (៥; ៣; -៧) ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យបន្ទាត់ត្រង់
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ
ទាំងនោះ។ វ៉ិចទ័រ គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ L: = (៥; ៣; -៧) ។ យើងបង្កើតសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ពីចំណុចមួយ។
(3; -2; 4) និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ

= (៥; ៣; -៧) ។ (សូមមើលឧទាហរណ៍ចំណុច 3.1) ។

ចម្លើយ:

28. ចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃកាត់កាត់ពីដើមទៅប្លង់ 4x – y + 2z – 3 = 0 ។

ចំណាំ៖ចូរបង្កើតសមីការសម្រាប់កាត់កែងដែលចង់បាន i.e. បន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ
4x – y + 2z – 3 = 0 ហើយឆ្លងកាត់ចំនុច O (0; 0; 0) ។ ( សូម​មើល​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា ២៧ កថាខណ្ឌ ៥ និង​ឧទាហរណ៍ ១ កថាខណ្ឌ ៣.២)។

ចម្លើយ៖

29. រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់មួយ។
និងយន្តហោះ

x − 2y + z − 15 = 0 ។

ចំណាំ៖ដើម្បីរកចំណុច M នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់

អិល៖
និងយន្តហោះ

x – 2y + z – 15 = 0 យើងត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

;

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងបំប្លែងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ទៅជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ (​សូម​មើល​កិច្ចការ ២៣ វគ្គ ៥ )។

ចម្លើយ:

30. រកការព្យាករចំណុច M (4; –3; 1) ទៅលើប្លង់ x + 2y – z – 3 = 0 ។

ចំណាំ៖ការព្យាករណ៍នៃចំណុច M លើយន្តហោះនឹងជាចំណុច P - ចំណុច p ចំនុចប្រសព្វនៃកាត់កែងបានទម្លាក់ពីចំណុច M ទៅយន្តហោះ
និងភាពរាបស្មើ ចូរយើងចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ MR កាត់កែង (សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទី 28 ចំណុចទី 5)។

ចូរយើងស្វែងរកចំណុច P - ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ MR និងយន្តហោះ (​សូម​មើល​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​ទី ២៩ ចំណុច ៥)។

ចម្លើយ៖

31. រកការព្យាករនៃចំនុច A(1; 2; 1) ទៅលើបន្ទាត់

ចំណាំ៖ការព្យាករណ៍ចំណុច A លើបន្ទាត់ L៖
គឺ t ចំនុច B ប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ L និងប្លង់
ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច A ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ L ។ ពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ L យើងសរសេរចេញវ៉ិចទ័រទិសដៅ =(៣;–១; ២)។ យន្តហោះ កាត់កែងទៅបន្ទាត់ L ដូច្នេះ
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ អាចត្រូវបានយកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ
= (3; –1; 2) ។ ចូរបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះ នៅចំណុច A (1; 2; 1) និង = (3; –1; 2) (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 2.2)៖
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. រកចំណុច B នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់មួយ (មើលបញ្ហាទី 29 កថាខណ្ឌ 5)៖

ចម្លើយ:

32. តាមរយៈចំណុច M (3; –1; 0) គូរបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងប្លង់ពីរ x – y + z – 3 = 0 និង x + y + 2z – 3 = 0 ។

ចំណាំ៖យន្តហោះ
x − y + z − 3 = 0 និង
x + y + 2z − 3 = 0 មិនស្របគ្នាទេ ពីព្រោះ លក្ខខណ្ឌ (2.5.1) មិនត្រូវបានបំពេញ៖
យន្តហោះ
ប្រសព្វ។ បន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវការ L ស្របទៅនឹងយន្តហោះ
ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងនេះ។ (​សូម​មើល​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា 24 និង 23 កថាខណ្ឌ 5)។

ចម្លើយ:

33. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរជួរ

ចំណាំ៖1 វិធី។ ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន ដោយចំណុច
, និយាយកុហកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ . វ៉ិចទ័រ នឹងស្មើនឹងផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់
ដែលយើងរកឃើញពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់
(រូបមន្ត ៣.១.១)៖ = (7; 3; 5) និង

= (5; 5; –3)

កូអរដោនេចំណុច
យើងរកឃើញពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់

យើងបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះ ដោយចំណុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ =(–34; 46; 20) (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 2.2)
17x – 23y – 10z + 36 = 0 ។

វិធីសាស្រ្ត 2 ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅ = (7; 3; 5) និង = (5; 5; -3) ពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់
សញ្ញា​ខណ្ឌ
(0; 2; -1) ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការ

. ចូរយើងយកចំណុចបំពានមួយនៅលើយន្តហោះ

M(x; y; z) ។ វ៉ិចទ័រ
- គឺ coplanar ដូច្នេះ,
ពីលក្ខខណ្ឌនេះយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ:

ចម្លើយ: 17x – 23y – 10z +36 = 0 ។

34. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
(2; 0; 1) និងបន្ទាត់ត្រង់

ចំណាំ៖ចូរ​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ជា​ដំបូង​នៃ​ចំណុច​ទាំង​អស់​នោះ​
នៅលើបន្ទាត់ត្រង់នេះ។ របងការពារ៖
សញ្ញា​ខណ្ឌ
និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ យើងរកឃើញពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់
:
(1; –1; –1) និង

= (1; 2; -1) ។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលចង់បាន
យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាដោយដឹងពីកូអរដោនេ =(1; 2; -1) និង

= (1; 1; 2):

យើងបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះពីចំណុចមួយ។
(2; 0; 1) និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ = (–5; 3; 1):

−5(x − 2) + 3(y − 0) + 1(z − 1) = 0 ។

ចម្លើយ: 5x – 3y – z – 9 = 0 ។

សមីការនៃយន្តហោះ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការនៃយន្តហោះ?
ការរៀបចំយន្តហោះទៅវិញទៅមក។ ភារកិច្ច

ធរណីមាត្រលំហមិនមានភាពស្មុគស្មាញជាងធរណីមាត្រ "ផ្ទះល្វែង" ទេ ហើយការហោះហើររបស់យើងក្នុងលំហអាកាសចាប់ផ្តើមជាមួយអត្ថបទនេះ។ ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើប្រធានបទ អ្នកត្រូវមានការយល់ដឹងឱ្យបានល្អ។ វ៉ិចទ័រលើសពីនេះ គួរតែស្វែងយល់អំពីធរណីមាត្រនៃយន្តហោះ - វានឹងមានភាពស្រដៀងគ្នាជាច្រើន ភាពស្រដៀងគ្នាជាច្រើន ដូច្នេះព័ត៌មាននឹងត្រូវបានរំលាយកាន់តែល្អ។ នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជាបន្តបន្ទាប់ ពិភពលោក 2D បើកជាមួយអត្ថបទមួយ។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ. ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ Batman បានចាកចេញពីអេក្រង់ទូរទស្សន៍រាបស្មើ ហើយកំពុងចាប់ផ្តើមពី Baikonur Cosmodrome ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយគំនូរនិងនិមិត្តសញ្ញា។ តាមគ្រោងការណ៍ យន្តហោះអាចត្រូវបានគូរជាទម្រង់ប៉ារ៉ាឡែល ដែលបង្កើតចំណាប់អារម្មណ៍នៃលំហ៖

យន្តហោះ​គឺ​គ្មាន​ដែន​កំណត់ ប៉ុន្តែ​យើង​មាន​ឱកាស​ពណ៌នា​តែ​មួយ​ដុំ​ប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងការអនុវត្ត បន្ថែមពីលើប្រលេឡូក្រាម រាងពងក្រពើ ឬសូម្បីតែពពកក៏ត្រូវបានគូរផងដែរ។ សម្រាប់ហេតុផលបច្ចេកទេស វាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការពណ៌នាយន្តហោះតាមរបៀបនេះ និងទីតាំងនេះយ៉ាងពិតប្រាកដ។ យន្តហោះពិតដែលយើងនឹងពិចារណាក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងអាចមានទីតាំងនៅតាមមធ្យោបាយណាមួយ - យកគំនូរនៅក្នុងដៃរបស់អ្នកដោយបញ្ញាស្មារតីហើយបង្វិលវានៅក្នុងលំហដោយផ្តល់ឱ្យយន្តហោះនូវទំនោរទៅមុំណាមួយ។

ការរចនា៖ យន្តហោះជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងជាអក្សរក្រិចតូចៗ តាមមើលទៅ ដើម្បីកុំឱ្យវាច្រឡំជាមួយ បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះឬជាមួយ បន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ. ខ្ញុំធ្លាប់ប្រើអក្សរ។ នៅក្នុងគំនូរវាគឺជាអក្សរ "sigma" ហើយមិនមែនជារន្ធទាល់តែសោះ។ ទោះបីជា, យន្តហោះ holey ពិតជាគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់។

ក្នុង​ករណី​ខ្លះ វា​ងាយស្រួល​ក្នុង​ការ​ប្រើ​អក្សរ​ក្រិក​ដូចគ្នា​ដែល​មាន​អក្សរ​តូច​ក្រោម​ដើម្បី​កំណត់​ប្លង់​ជា​ឧទាហរណ៍ .

វាច្បាស់ណាស់ថាយន្តហោះត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយចំណុចបីផ្សេងគ្នាដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ ដូច្នេះការរចនាបីអក្សរនៃយន្តហោះគឺមានប្រជាប្រិយភាពណាស់ - ដោយចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេឧទាហរណ៍ជាដើម។ ជាញឹកញាប់អក្សរត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងវង់ក្រចក៖ ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំយន្តហោះជាមួយតួលេខធរណីមាត្រផ្សេងទៀត។

សម្រាប់អ្នកអានដែលមានបទពិសោធន៍ខ្ញុំនឹងផ្តល់ឱ្យ ម៉ឺនុយចូលប្រើរហ័ស:

• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះដោយប្រើចំណុចមួយនិងវ៉ិចទ័រពីរ?
• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះដោយប្រើចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា?

ហើយ​យើង​នឹង​មិន​នឿយហត់​ក្នុង​ការ​រង់ចាំ​យូរ​ឡើយ៖

សមីការយន្តហោះទូទៅ

សមីការទូទៅនៃយន្តហោះមានទម្រង់ ដែលមេគុណមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។

ការគណនាទ្រឹស្តី និងបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួនមានសុពលភាពទាំងសម្រាប់មូលដ្ឋានអ័រថុនធម្មតា និងសម្រាប់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃលំហ (ប្រសិនបើប្រេងជាប្រេង សូមត្រលប់ទៅមេរៀនវិញ។ លីនេអ៊ែរ (មិន) ការពឹងផ្អែកនៃវ៉ិចទ័រ។ មូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ) សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ យើងនឹងសន្មត់ថា ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់កើតឡើងក្នុងមូលដ្ឋានអ័រថូនិក និងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងអនុវត្តការស្រមើលស្រមៃរបស់យើងបន្តិច។ វាមិនអីទេ ប្រសិនបើអ្នកមិនល្អ ឥឡូវនេះយើងនឹងអភិវឌ្ឍវាបន្តិច។ សូម្បីតែការលេងនៅលើសរសៃប្រសាទក៏ទាមទារការហ្វឹកហាត់ដែរ។

ក្នុងករណីទូទៅបំផុត នៅពេលដែលលេខមិនស្មើសូន្យ យន្តហោះកាត់អ័ក្សកូអរដោនេទាំងបី។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថា យន្តហោះបន្តមិនកំណត់គ្រប់ទិសដៅ ហើយយើងមានឱកាសពណ៌នាតែផ្នែករបស់វាប៉ុណ្ណោះ។

តោះពិចារណាសមីការសាមញ្ញបំផុតនៃយន្តហោះ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីសមីការនេះ? គិតអំពីវា៖ "Z" គឺតែងតែស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ "X" និង "Y" ។ នេះគឺជាសមីការនៃយន្តហោះកូអរដោនេ "ដើម" ។ ជាការពិត សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ ពីកន្លែងដែលអ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថាយើងមិនខ្វល់ពីអ្វីដែលតម្លៃ "x" និង "y" យកនោះទេ វាជាការសំខាន់ដែល "z" គឺស្មើនឹងសូន្យ។

ដូចគ្នានេះដែរ៖
- សមីការនៃយន្តហោះកូអរដោណេ;
- សមីការនៃយន្តហោះកូអរដោណេ។

ចូរធ្វើឱ្យបញ្ហាស្មុគស្មាញបន្តិច ពិចារណាយន្តហោះមួយ (នៅទីនេះ និងបន្ថែមទៀតនៅក្នុងកថាខណ្ឌ យើងសន្មត់ថាមេគុណលេខមិនស្មើនឹងសូន្យ)។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖ . តើ​យើង​គួរ​យល់​យ៉ាង​ណា? “X” គឺតែងតែសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ “Y” និង “Z” ស្មើនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ។ យន្តហោះនេះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោណេ។ ជាឧទាហរណ៍ យន្តហោះមួយស្របទៅនឹងយន្តហោះ ហើយឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។

ដូចគ្នានេះដែរ៖
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ;
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ។

តោះបន្ថែមសមាជិក៖ . សមីការ​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ឡើង​វិញ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ នោះ​គឺ “zet” អាច​ជា​អ្វី​ក៏​បាន។ តើ​វា​មានន័យ​យ៉ាង​ដូចម្តេច? "X" និង "Y" ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយទំនាក់ទំនងដែលគូរបន្ទាត់ត្រង់ជាក់លាក់មួយនៅក្នុងយន្តហោះ (អ្នកនឹងរកឃើញ សមីការនៃបន្ទាត់ក្នុងយន្តហោះ?) ដោយសារ "z" អាចជាណាមួយ បន្ទាត់ត្រង់នេះត្រូវបាន "ចម្លង" នៅកម្ពស់ណាមួយ។ ដូច្នេះ សមីការ​កំណត់​ប្លង់​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​កូអរដោណេ

ដូចគ្នានេះដែរ៖
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ;
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសូន្យ នោះយន្តហោះនឹងឆ្លងកាត់ដោយផ្ទាល់តាមអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា។ ឧទាហរណ៍ "សមាមាត្រផ្ទាល់" បុរាណ៖ . គូរបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ ហើយគុណវាឡើងលើចុះក្រោម (ចាប់តាំងពី "Z" គឺណាមួយ) ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ យន្តហោះដែលកំណត់ដោយសមីការឆ្លងកាត់អ័ក្សកូអរដោនេ។

យើងបញ្ចប់ការពិនិត្យឡើងវិញ៖ សមីការនៃយន្តហោះ ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ជាការប្រសើរណាស់ នៅទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាចំណុចបំពេញសមីការនេះ។

ហើយចុងក្រោយ ករណីដែលបង្ហាញក្នុងគំនូរ៖ - យន្តហោះមានភាពរួសរាយរាក់ទាក់ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេទាំងអស់ ខណៈពេលដែលវាតែងតែ "កាត់" ត្រីកោណ ដែលអាចមានទីតាំងនៅក្នុង octants ណាមួយក្នុងចំណោមប្រាំបី។

វិសមភាពលីនេអ៊ែរក្នុងលំហ

ដើម្បីយល់ព័ត៌មានអ្នកត្រូវសិក្សាឱ្យបានល្អ។ វិសមភាពលីនេអ៊ែរនៅក្នុងយន្តហោះដោយសារតែរឿងជាច្រើននឹងស្រដៀងគ្នា។ កថាខណ្ឌនឹងមានលក្ខណៈសង្ខេបខ្លីៗជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាច្រើន ដោយសារសម្ភារៈគឺកម្រមានណាស់ក្នុងការអនុវត្ត។

ប្រសិនបើសមីការកំណត់ប្លង់មួយ នោះវិសមភាព
សួរ ចន្លោះពាក់កណ្តាល. ប្រសិនបើវិសមភាពមិនមានភាពតឹងរ៉ឹង (ពីរចុងក្រោយក្នុងបញ្ជី) នោះដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព បន្ថែមពីលើលំហពាក់កណ្ដាល ក៏រួមបញ្ចូលយន្តហោះខ្លួនឯងផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ .

ដំណោះស្រាយ៖ វ៉ិចទ័រ​ឯកតា​គឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ប្រវែង​មួយ ។ ចូរយើងសម្គាល់វ៉ិចទ័រនេះដោយ . វាច្បាស់ណាស់ថាវ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា៖

ដំបូងយើងដកវ៉ិចទ័រធម្មតាចេញពីសមីការនៃយន្តហោះ៖ .

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកវ៉ិចទ័រឯកតា? ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតាអ្នកត្រូវការ រាល់បែងចែកវ៉ិចទ័រកូអរដោណេដោយប្រវែងវ៉ិចទ័រ.

ចូរយើងសរសេរវ៉ិចទ័រធម្មតាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ហើយស្វែងរកប្រវែងរបស់វា៖

នេះ​បើ​តាម​ការ​លើក​ឡើង​ខាង​លើ៖

ចម្លើយ:

ការផ្ទៀងផ្ទាត់៖ អ្វីដែលតម្រូវឱ្យផ្ទៀងផ្ទាត់។

អ្នកអានដែលបានសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវកថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃមេរៀនប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់នោះ។ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រឯកតាគឺពិតជាកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ:

តោះសម្រាកពីបញ្ហានៅនឹងដៃ៖ នៅពេលអ្នកត្រូវបានផ្តល់វ៉ិចទ័រមិនសូន្យតាមអំពើចិត្តហើយយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរក cosines ទិសដៅរបស់វា (សូមមើលបញ្ហាចុងក្រោយនៃមេរៀន ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ) តាមការពិត អ្នកស្វែងរកវ៉ិចទ័រ ឯកតា collinear ទៅនឹងមួយនេះ។ តាមពិតកិច្ចការពីរក្នុងដបតែមួយ។

តម្រូវការក្នុងការស្វែងរកវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់ឯកតាកើតឡើងនៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

យើង​បាន​រក​ឃើញ​ពី​របៀប​កាត់​វ៉ិចទ័រ​ធម្មតា​មួយ ឥឡូវ​នេះ​សូម​ឆ្លើយ​សំណួរ​ផ្ទុយ​គ្នា៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះដោយប្រើចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា?

សំណង់រឹងនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា និងចំណុចមួយត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ចំពោះ dartboard ។ សូមលាតដៃរបស់អ្នកទៅមុខ ហើយជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពានក្នុងលំហដោយគិតពិចារណា ឧទាហរណ៍ ឆ្មាតូចមួយនៅក្នុងក្តារចំហៀង។ ជាក់ស្តែង តាមរយៈចំណុចនេះ អ្នកអាចគូរប្លង់តែមួយកាត់កែងទៅនឹងដៃរបស់អ្នក។

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖