ដើម្បីស្វែងយល់ពីរបៀបស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតនៃចំនួនពីរ ឬច្រើន អ្នកត្រូវយល់ពីអ្វីដែលជាចំនួនធម្មជាតិ បឋម និងចំនួនកុំផ្លិច។

លេខធម្មជាតិគឺជាលេខណាមួយដែលប្រើដើម្បីរាប់ចំនួនគត់។

ប្រសិនបើលេខធម្មជាតិអាចបែងចែកដោយខ្លួនវា និងមួយ នោះគេហៅថាបឋម។

លេខធម្មជាតិទាំងអស់អាចបែងចែកដោយខ្លួនឯង និងលេខមួយ ប៉ុន្តែលេខគូតែមួយគត់គឺ 2 ហើយលេខផ្សេងទៀតទាំងអស់អាចបែងចែកដោយពីរ។ ដូច្នេះមានតែលេខសេសប៉ុណ្ណោះដែលអាចក្លាយជាលេខដំបូង។

មានលេខសំខាន់ៗជាច្រើន មិនមានបញ្ជីពេញលេញនៃពួកវាទេ។ ដើម្បីស្វែងរក GCD វាងាយស្រួលប្រើតារាងពិសេសដែលមានលេខបែបនេះ។

លេខធម្មជាតិភាគច្រើនអាចត្រូវបានបែងចែកមិនត្រឹមតែដោយមួយ, ខ្លួនគេ, ប៉ុន្តែក៏ដោយលេខផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍ លេខ ១៥ អាចចែកនឹង ៣ និង ៥។ ពួកគេទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថាចែកលេខ ១៥។

ដូច្នេះ ការបែងចែក A ណាមួយ គឺជាចំនួនដែលវាអាចត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់។ ប្រសិនបើលេខមួយមានការបែងចែកធម្មជាតិច្រើនជាងពីរ វាត្រូវបានគេហៅថាសមាសធាតុ។

លេខ 30 មានការបែងចែកដូចជា 1, 3, 5, 6, 15, 30 ។

អ្នកអាចមើលឃើញថា 15 និង 30 មានអ្នកចែកដូចគ្នា 1, 3, 5, 15 ។ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងពីរនេះគឺ 15 ។

ដូច្នេះ ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ A និង B គឺជាលេខដែលអ្នកអាចបែងចែកបានទាំងស្រុង។ អតិបរមាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំនួនសរុបអតិបរមាដែលពួកគេអាចបែងចែកបាន។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា សិលាចារឹកអក្សរកាត់ខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖

GCD (A; B) ។

ឧទាហរណ៍ GCD (15; 30) = 30 ។

ដើម្បីសរសេរការបែងចែកទាំងអស់នៃចំនួនធម្មជាតិ សញ្ញាសម្គាល់ត្រូវបានប្រើ៖

ឃ(១៥) = (១, ៣, ៥, ១៥)

gcd (9; 15) = 1

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ លេខធម្មជាតិមានការបែងចែកធម្មតាតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថា coprime រៀងគ្នា ឯកតាគឺជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ។

របៀបស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ

ដើម្បីស្វែងរក GCD នៃលេខជាច្រើន អ្នកត្រូវការ៖

ស្វែងរកការបែងចែកទាំងអស់នៃចំនួនធម្មជាតិនីមួយៗដាច់ដោយឡែក ពោលគឺបំបែកពួកវាទៅជាកត្តា (លេខបឋម);

ជ្រើសរើសកត្តាដូចគ្នាទាំងអស់សម្រាប់លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ;

គុណពួកវាជាមួយគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ដើម្បី​គណនា​លេខ​ចែក​ទូទៅ​បំផុត​នៃ​លេខ 30 និង 56 អ្នក​នឹង​សរសេរ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំ វាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរមេគុណដោយប្រើជួរឈរបញ្ឈរ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់អ្នកត្រូវដាក់ភាគលាភហើយនៅខាងស្តាំ - ការបែងចែក។ នៅក្រោមភាគលាភ អ្នកគួរតែបង្ហាញពីផលចំណេញ។

ដូច្នេះនៅក្នុងជួរឈរខាងស្តាំនឹងជាកត្តាទាំងអស់ដែលត្រូវការសម្រាប់ដំណោះស្រាយ។

ការបែងចែកដូចគ្នាបេះបិទ (កត្តាដែលបានរកឃើញ) អាចត្រូវបានគូសបញ្ជាក់សម្រាប់ភាពងាយស្រួល។ ពួកគេគួរតែត្រូវបានសរសេរឡើងវិញ និងគុណ ហើយការបែងចែកធម្មតាបំផុតគួរតែត្រូវបានសរសេរចុះ។

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

វាពិតជាសាមញ្ញណាស់ក្នុងការស្វែងរកអ្នកចែកលេខទូទៅធំបំផុត។ ជាមួយនឹងការអនុវត្តតិចតួច អ្នកអាចធ្វើបានស្ទើរតែដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

លេខធម្មជាតិដ៏ធំបំផុតដែលលេខ a និង b ត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់ត្រូវបានគេហៅថា ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតលេខទាំងនេះ។ សម្គាល់ GCD(a, b) ។

ពិចារណាស្វែងរក GCD ដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃលេខធម្មជាតិពីរ 18 និង 60៖

1 ចូរបំបែកលេខទៅជាកត្តាចម្បង៖
18 = 2 × 3 × 3
60 = ២ × ២ × ៣ × ៥

2 លុបពីការពង្រីកលេខទីមួយ កត្តាទាំងអស់ដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងការពង្រីកលេខទីពីរ យើងទទួលបាន 2 × 3 × 3 .

3 យើងគុណកត្តាសំខាន់ៗដែលនៅសេសសល់បន្ទាប់ពីឆ្លងកាត់ និងទទួលបានការបែងចែកលេខធម្មតាបំផុត៖ gcd ( 18 , 60 )=2 × 3= 6 .

៤ ចំណាំថាវាមិនសំខាន់ទេ ចាប់ពីលេខទីមួយ ឬទីពីរ ដែលយើងឆ្លងកាត់កត្តានោះ លទ្ធផលនឹងដូចគ្នា៖
18 = 2 × 3 × 3
60 = ២ × ២ × ៣ × ៥

324 , 111 និង 432

ចូរបំបែកលេខទៅជាកត្តាចម្បង៖

324 = ២ × ២ × ៣ × ៣ × ៣ × ៣

111 = ៣ × ៣៧

432 = ២ × ២ × ២ × ២ × ៣ × ៣ × ៣

លុបចេញពីលេខទីមួយ កត្តាដែលមិនមាននៅក្នុងលេខទីពីរ និងទីបី យើងទទួលបាន៖

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

ជាលទ្ធផលនៃ GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

ការស្វែងរក GCD ជាមួយនឹងក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid

វិធីទីពីរដើម្បីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតដោយប្រើ ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid. ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid គឺជាវិធីដ៏មានប្រសិទ្ធភាពបំផុតក្នុងការស្វែងរក GCDដោយប្រើវាអ្នកត្រូវស្វែងរកផ្នែកដែលនៅសល់នៃការបែងចែកលេខជានិច្ច ហើយអនុវត្ត រូបមន្តកើតឡើងវិញ។.

រូបមន្ត​ដដែលៗសម្រាប់ GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b)ដែលជាកន្លែងដែល mod b គឺជាផ្នែកដែលនៅសល់នៃការបែងចែក a ដោយ b ។

ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid

ឧទាហរណ៍ ស្វែង​រក​ផ្នែក​រួម​ដ៏​ធំ​បំផុត​នៃ​លេខ 7920 និង 594

តោះស្វែងរក GCD( 7920 , 594 ) ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclid យើងនឹងគណនាផ្នែកដែលនៅសល់ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 ម៉ូដ 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 ម៉ូដ 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 − 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 − 3 × 198 = 0

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន GCD ( 7920 , 594 ) = 198

ពហុគុណតិចបំផុត។

ដើម្បីស្វែងរកភាគបែងធម្មតានៅពេលបូក និងដកប្រភាគដែលមានភាគបែងផ្សេងៗគ្នា អ្នកត្រូវដឹង និងអាចគណនាបាន។ ពហុគុណទូទៅតិចបំផុត។(NOC) ។

ពហុគុណនៃលេខ "a" គឺជាលេខដែលបែងចែកដោយខ្លួនវាដោយលេខ "a" ដោយគ្មានសល់។

លេខដែលគុណនឹង ៨ (នោះគឺលេខទាំងនេះនឹងចែកនឹង ៨ ដោយគ្មានសល់)៖ ទាំងនេះគឺជាលេខ ១៦, ២៤, ៣២ ...

គុណនៃ ៩:១៨, ២៧, ៣៦, ៤៥…

មានការគុណច្រើនឥតកំណត់នៃចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ផ្ទុយទៅនឹងការបែងចែកនៃចំនួនដូចគ្នា។ ការបែងចែក - ចំនួនកំណត់។

ផលគុណទូទៅនៃចំនួនធម្មជាតិពីរគឺជាលេខដែលបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយលេខទាំងពីរនេះ។.

ពហុគុណតិចបំផុត។(LCM) នៃចំនួនធម្មជាតិពីរ ឬច្រើន គឺជាចំនួនធម្មជាតិតូចបំផុត ដែលត្រូវបានបែងចែកដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ដោយលេខនីមួយៗទាំងនេះ។

វិធីស្វែងរក NOC

LCM អាចត្រូវបានរកឃើញ និងសរសេរតាមពីរវិធី។

វិធីដំបូងដើម្បីស្វែងរក LCM

វិធីសាស្រ្តនេះជាធម្មតាត្រូវបានប្រើសម្រាប់លេខតូច។

1. យើងសរសេរពហុគុណសម្រាប់លេខនីមួយៗក្នុងបន្ទាត់មួយ រហូតដល់មានពហុគុណដែលដូចគ្នាសម្រាប់លេខទាំងពីរ។
2. ពហុគុណនៃលេខ "a" ត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរធំ "K" ។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរក LCM 6 និង 8 ។

វិធីទីពីរដើម្បីស្វែងរក LCM

វិធីសាស្រ្តនេះគឺងាយស្រួលប្រើដើម្បីស្វែងរក LCM សម្រាប់លេខបី ឬច្រើន។

ចំនួននៃកត្តាដូចគ្នានៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួនអាចខុសគ្នា។

នៅក្នុងការពង្រីកចំនួនតូច (លេខតូច) គូសបញ្ជាក់កត្តាដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងការពង្រីកចំនួនធំជាង (ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងវាគឺ 2) ហើយបន្ថែមកត្តាទាំងនេះទៅការពង្រីកចំនួនធំ។
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

កត់ត្រាលទ្ធផលការងារជាការឆ្លើយតប។
ចម្លើយ៖ LCM (24, 60) = 120

អ្នកក៏អាចកំណត់ជាផ្លូវការនូវការស្វែងរកពហុគុណតិចបំផុត (LCM) ដូចខាងក្រោម។ ចូរយើងស្វែងរក LCM (12, 16, 24) ។

២៤ = ២ ២ ២ ៣

ដូចដែលយើងអាចមើលឃើញពីការពង្រីកលេខ កត្តាទាំងអស់នៃ 12 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃ 24 (ធំបំផុតនៃចំនួន) ដូច្នេះយើងបន្ថែមតែ 2 មួយប៉ុណ្ណោះពីការពង្រីកលេខ 16 ទៅ LCM ។

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

ចម្លើយ៖ LCM (12, 16, 24) = 48

ករណីពិសេសនៃការស្វែងរក NOCs

ប្រសិនបើលេខមួយត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយលេខផ្សេងទៀត នោះផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខទាំងនេះគឺស្មើនឹងលេខនេះ។

ឧទាហរណ៍ LCM(60, 15) = 60
ដោយសារលេខ coprime មិនមានការបែងចែកបឋមធម្មតាទេ ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងផលគុណនៃលេខទាំងនេះ។

នៅលើគេហទំព័ររបស់យើង អ្នកក៏អាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខពិសេស ដើម្បីស្វែងរកលេខច្រើនធម្មតាបំផុតតាមអ៊ីនធឺណិត ដើម្បីពិនិត្យមើលការគណនារបស់អ្នក។

ប្រសិនបើចំនួនធម្មជាតិត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 និងខ្លួនវានោះវាត្រូវបានគេហៅថាបឋម។

លេខធម្មជាតិណាមួយតែងតែបែងចែកដោយ 1 និងខ្លួនវាផ្ទាល់។

លេខ 2 គឺជាលេខបឋមតូចបំផុត។ នេះ​គឺ​ជា​លេខ​គូ​តែ​មួយ​គត់ លេខ​សំខាន់​ដែល​នៅ​សល់​គឺ​សេស។

មានលេខសំខាន់ៗជាច្រើន ហើយលេខដំបូងក្នុងចំណោមពួកគេគឺលេខ 2 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានលេខបឋមចុងក្រោយទេ។ នៅក្នុងផ្នែក "សម្រាប់ការសិក្សា" អ្នកអាចទាញយកតារាងនៃលេខបឋមរហូតដល់ 997 ។

ប៉ុន្តែលេខធម្មជាតិជាច្រើនត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយលេខធម្មជាតិផ្សេងទៀត។

• លេខ 12 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 ដោយ 2 ដោយ 3 ដោយ 4 ដោយ 6 ដោយ 12;
• 36 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 ដោយ 2 ដោយ 3 ដោយ 4 ដោយ 6 ដោយ 12 ដោយ 18 ដោយ 36 ។

លេខដែលលេខអាចបែងចែកស្មើៗគ្នា (សម្រាប់ 12 ទាំងនេះគឺ 1, 2, 3, 4, 6 និង 12) ត្រូវបានគេហៅថា ចែកលេខ។

ការបែងចែកនៃចំនួនធម្មជាតិ a គឺជាចំនួនធម្មជាតិដែលបែងចែកលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ "a" ដោយគ្មានសល់។

លេខធម្មជាតិដែលមានកត្តាច្រើនជាងពីរត្រូវបានគេហៅថា លេខផ្សំ។

ចំណាំថាលេខ 12 និង 36 មានការបែងចែកទូទៅ។ ទាំងនេះគឺជាលេខ៖ ១, ២, ៣, ៤, ៦, ១២។ ការបែងចែកធំបំផុតនៃលេខទាំងនេះគឺ 12 ។

ការបែងចែកទូទៅនៃលេខពីរ "a" និង "b" គឺជាលេខដែលលេខទាំងពីរ "a" និង "b" ត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់។

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។(GCD) នៃលេខពីរ "a" និង "b" គឺជាលេខធំបំផុតដែលលេខទាំងពីរ "a" និង "b" អាចបែងចែកដោយគ្មានសល់។

ដោយសង្ខេប ការបែងចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតនៃលេខ "a" និង "b" ត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ឧទាហរណ៍៖ gcd (12; 36) = 12 ។

ការបែងចែកលេខនៅក្នុងកំណត់ត្រាដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរធំ "D" ។

លេខ 7 និង 9 មានការបែងចែកធម្មតាតែមួយ - លេខ 1 ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា លេខ coprime.

លេខចម្លងជា​លេខ​ធម្មជាតិ​ដែល​មាន​អ្នក​ចែក​ទូទៅ​តែ​មួយ​គត់ - លេខ 1 ។ GCD របស់ពួកគេគឺ 1 ។

វិធីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅបំផុត។

ដើម្បីស្វែងរក gcd នៃលេខធម្មជាតិពីរ ឬច្រើន អ្នកត្រូវការ៖

• decompose ការបែងចែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់;

ការគណនាត្រូវបានសរសេរយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរបារបញ្ឈរ។ នៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ដំបូងសរសេរភាគលាភទៅខាងស្តាំ - ការបែងចែក។ បន្ថែមទៀតនៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេងយើងសរសេរចុះតម្លៃនៃឯកជន។

ចូរយើងពន្យល់ភ្លាមៗជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរធ្វើកត្តាលេខ 28 និង 64 ទៅជាកត្តាសំខាន់។

គូសបញ្ជាក់កត្តាបឋមដូចគ្នានៅក្នុងលេខទាំងពីរ។
២៨ = ២ ២ ៧

64 = 2 2 2 2 2
យើងរកឃើញផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់ដូចគ្នា ហើយសរសេរចម្លើយ។
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

ចម្លើយ៖ GCD (28; 64) = 4

អ្នកអាចរៀបចំទីតាំងរបស់ GCD តាមពីរវិធី៖ នៅក្នុងជួរឈរមួយ (ដូចដែលបានធ្វើខាងលើ) ឬ "នៅក្នុងបន្ទាត់មួយ" ។

វិធីដំបូងដើម្បីសរសេរ GCD

ស្វែងរក GCD 48 និង 36 ។

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

វិធីទីពីរដើម្បីសរសេរ GCD

ឥឡូវនេះសូមសរសេរដំណោះស្រាយស្វែងរក GCD នៅក្នុងបន្ទាត់មួយ។ ស្វែងរក GCD 10 និង 15 ។

នៅលើគេហទំព័រព័ត៌មានរបស់យើង អ្នកក៏អាចរកឃើញផ្នែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតតាមអ៊ីនធឺណិតដោយប្រើកម្មវិធីជំនួយដើម្បីពិនិត្យមើលការគណនារបស់អ្នក។

ការស្វែងរកពហុគុណសាមញ្ញបំផុត វិធីសាស្រ្ត ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរក LCM ។

សម្ភារៈដែលបានបង្ហាញខាងក្រោមគឺជាការបន្តតក្កវិជ្ជានៃទ្រឹស្តីពីអត្ថបទក្រោមចំណងជើង LCM - Least Common Multiple និយមន័យ ឧទាហរណ៍ ទំនាក់ទំនងរវាង LCM និង GCD ។ នៅទីនេះយើងនឹងនិយាយអំពី ការស្វែងរកពហុគុណតិចបំផុត (LCM)ហើយយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះការដោះស្រាយឧទាហរណ៍។ ចូរយើងបង្ហាញជាដំបូងពីរបៀបដែល LCM នៃចំនួនពីរត្រូវបានគណនាក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ GCD នៃលេខទាំងនេះ។ បន្ទាប់មក ពិចារណារកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតដោយរាប់លេខទៅជាកត្តាចម្បង។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងផ្តោតលើការស្វែងរក LCM នៃលេខបីឬច្រើនហើយក៏យកចិត្តទុកដាក់លើការគណនា LCM នៃលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។

ការរុករកទំព័រ។

ការគណនាពហុគុណទូទៅតិចបំផុត (LCM) តាមរយៈ gcd

វិធីមួយដើម្បីស្វែងរកពហុគុណសាមញ្ញបំផុតគឺផ្អែកលើទំនាក់ទំនងរវាង LCM និង GCD ។ ទំនាក់ទំនងដែលមានស្រាប់រវាង LCM និង GCD អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនគត់វិជ្ជមានពីរតាមរយៈការបែងចែកទូទៅធំបំផុតដែលគេស្គាល់។ រូបមន្តដែលត្រូវគ្នាមានទម្រង់ LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរក LCM តាមរូបមន្តខាងលើ។

ស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនពីរ 126 និង 70 ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ a=126, b=70 ។ ចូរប្រើតំណភ្ជាប់នៃ LCM ជាមួយ GCD ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) ។ នោះហើយជាដំបូងយើងត្រូវស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 70 និង 126 បន្ទាប់មកយើងអាចគណនា LCM នៃលេខទាំងនេះតាមរូបមន្តដែលបានសរសេរ។

ស្វែងរក gcd(126, 70) ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4 ដូច្នេះ gcd(126, 70)=14 ។

ឥឡូវ​នេះ​យើង​រក​ឃើញ​ពហុគុណ​ធម្មតា​តិច​បំផុត៖ LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 ។

តើ LCM (68, 34) ជាអ្វី?

ដោយសារ 68 ត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយ 34 បន្ទាប់មក gcd(68, 34) = 34 ។ ឥឡូវ​យើង​គណនា​ពហុគុណ​សាមញ្ញ​បំផុត៖ LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 ។

ចំណាំថាឧទាហរណ៍មុនសមនឹងច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់ការស្វែងរក LCM សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន a និង b៖ ប្រសិនបើលេខ a ត្រូវបានបែងចែកដោយ b នោះផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខទាំងនេះគឺ a ។

ការស្វែងរក LCM ដោយការចាត់ថ្នាក់លេខទៅជាកត្តាសំខាន់

វិធីមួយទៀតដើម្បីស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតគឺផ្អែកលើលេខកត្តាទៅជាកត្តាសំខាន់។ ប្រសិនបើយើងបង្កើតផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់ៗទាំងអស់នៃលេខទាំងនេះ បន្ទាប់ពីនោះយើងដកចេញពីផលិតផលនេះ កត្តាសំខាន់ទូទៅទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទាំងនេះ នោះផលិតផលលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខទាំងនេះ។

ច្បាប់ដែលបានប្រកាសសម្រាប់ការស្វែងរក LCM ធ្វើតាមពីសមភាព LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) ។ ជាការពិតណាស់ ផលិតផលនៃលេខ a និង b គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាទាំងអស់ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការពង្រីកនៃលេខ a និង b ។ នៅក្នុងវេន gcd(a, b) គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់ៗទាំងអស់ដែលមានវត្តមានក្នុងពេលដំណាលគ្នាក្នុងការពង្រីកលេខ a និង b (ដែលត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកស្តីពីការស្វែងរក gcd ដោយប្រើការបំបែកលេខទៅជាកត្តាបឋម )

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងថា 75 = 3 5 5 និង 210 = 2 3 5 7 ។ ផ្សំផលិតផលនៃកត្តាទាំងអស់នៃការពង្រីកទាំងនេះ៖ 2 3 3 5 5 5 7 . ឥឡូវនេះយើងដកចេញពីផលិតផលនេះនូវកត្តាទាំងអស់ដែលមានវត្តមានទាំងនៅក្នុងការពង្រីកលេខ 75 និងក្នុងការពង្រីកលេខ 210 (កត្តាបែបនេះគឺ 3 និង 5) បន្ទាប់មកផលិតផលនឹងយកទម្រង់ 2 3 5 5 7 ។ តម្លៃនៃផលិតផលនេះគឺស្មើនឹងផលគុណសាមញ្ញតិចបំផុតនៃ 75 និង 210 ពោលគឺ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 ។

បន្ទាប់ពីរាប់លេខ 441 និង 700 ទៅជាកត្តាសំខាន់ សូមស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខទាំងនេះ។

ចូរបំបែកលេខ 441 និង 700 ទៅជាកត្តាចម្បង៖

យើងទទួលបាន 441 = 3 3 7 7 និង 700 = 2 2 5 5 7 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតផលិតផលនៃកត្តាទាំងអស់ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការពង្រីកនៃលេខទាំងនេះ៖ 2 2 3 3 5 5 7 7 7 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដកចេញពីផលិតផលនេះនូវកត្តាទាំងអស់ដែលមានវត្តមានក្នុងពេលដំណាលគ្នាក្នុងការពង្រីកទាំងពីរ (មានកត្តាបែបនេះតែមួយគត់ - នេះគឺជាលេខ 7): 2 2 3 3 5 5 5 7 7 ។ ដូច្នេះ LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 ។

LCM(441, 700) = 44 100 .

ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរក LCM ដោយប្រើការបំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់អាចត្រូវបានបង្កើតខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច។ ប្រសិនបើយើងបន្ថែមកត្តាដែលបាត់ពីការពង្រីកលេខ b ទៅកត្តាពីការពង្រីកលេខ a នោះតម្លៃនៃផលិតផលលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ a និង b ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកលេខដូចគ្នាទាំងអស់ 75 និង 210 ការពង្រីករបស់ពួកគេទៅជាកត្តាបឋមមានដូចខាងក្រោម៖ 75 = 3 5 5 និង 210 = 2 3 5 7 ។ ចំពោះកត្តា 3, 5 និង 5 ពីការពង្រីកលេខ 75 យើងបន្ថែមកត្តាដែលបាត់ 2 និង 7 ពីការពង្រីកលេខ 210 យើងទទួលបានផលិតផល 2 3 5 5 7 ដែលតម្លៃគឺ LCM (75 , 210) ។

ស្វែងរកផលបូករួមតិចបំផុតនៃ 84 និង 648 ។

ដំបូងយើងទទួលបានការបំបែកលេខ 84 និង 648 ទៅជាកត្តាសំខាន់។ ពួកវាមើលទៅដូចជា 84=2 2 3 7 និង 648=2 2 2 3 3 3 3 ។ ចំពោះកត្តា 2, 2, 3 និង 7 ពីការរលួយនៃលេខ 84 យើងបន្ថែមកត្តាដែលបាត់ 2 3 3 និង 3 ពីការរលួយនៃលេខ 648 យើងទទួលបានផលិតផល 2 2 2 3 3 3 3 3 7 , ដែលស្មើនឹង 4 536 ។ ដូច្នេះ ផលគុណទូទៅតិចបំផុតដែលចង់បាននៃលេខ 84 និង 648 គឺ 4,536 ។

ស្វែងរក LCM នៃលេខបី ឬច្រើន។

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើនអាចត្រូវបានរកឃើញដោយការស្វែងរក LCM នៃចំនួនពីរជាបន្តបន្ទាប់។ រំលឹកទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នា ដែលផ្តល់មធ្យោបាយដើម្បីស្វែងរក LCM នៃចំនួនបី ឬច្រើន។

អនុញ្ញាតឱ្យចំនួនគត់វិជ្ជមាន a 1 , a 2 , … , a k ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ពហុគុណសាមញ្ញបំផុត m k នៃលេខទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការគណនាតាមលំដាប់ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM ( m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) ។

ពិចារណាលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះលើឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនបួន។

ស្វែងរក LCM នៃលេខទាំងបួន 140, 9, 54 និង 250 ។

ដំបូងយើងរកឃើញ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclidean យើងកំណត់ gcd(140, 9) យើងមាន 140=9 15+5 9=5 1+4 5=4 1+1 4=1 4 ដូច្នេះ gcd( 140, 9)=1, ពេលណា LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 ។ នោះគឺ m 2 = 1 260 ។

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញ m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) ។ ចូរយើងគណនាវាតាមរយៈ gcd(1 260, 54) ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយ Euclid algorithm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 ។ បន្ទាប់មក gcd(1 260, 54)=18, whence LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 ។ នោះគឺ m 3 \u003d 3 780 ។

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញ GCD (3 780, 250) ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 ។ ដូច្នេះ gcd(3 780, 250)=10 ដូច្នេះ LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 ។ នោះគឺ m 4 \u003d 94 500 ។

ដូច្នេះផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខដើមទាំងបួនគឺ 94,500 ។

LCM(140, 9, 54, 250) = 94500 ។

ក្នុង​ករណី​ជា​ច្រើន ផលគុណ​សាមញ្ញ​តិច​បំផុត​នៃ​លេខ​បី​ឬ​ច្រើន​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​យ៉ាង​ងាយ​ស្រួល​ដោយ​ប្រើ​កត្តា​ចម្បង​នៃ​លេខ​ដែល​បាន​ផ្តល់។ ក្នុងករណីនេះច្បាប់ខាងក្រោមគួរតែត្រូវបានអនុវត្តតាម។ ផលគុណទូទៅតិចបំផុតនៃលេខជាច្រើនគឺស្មើនឹងផលិតផលដែលផ្សំឡើងដូចខាងក្រោមៈ កត្តាបាត់ពីការពង្រីកលេខទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅកត្តាទាំងអស់ពីការពង្រីកលេខទីមួយ កត្តាបាត់ពីការពង្រីកលេខ។ លេខទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅកត្តាដែលទទួលបាន ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកពហុគុណតិចបំផុតដោយប្រើការបំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់។

ស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនប្រាំ 84 , 6 , 48 , 7 , 143 ។

ដំបូងយើងទទួលបានការបំបែកនៃលេខទាំងនេះទៅជាកត្តាចម្បង: 84 = 2 2 3 7 6 = 2 3 48 = 2 2 2 2 3 7 (7 គឺជាលេខបឋមវាស្របពេលជាមួយនឹងការបំបែករបស់វាទៅជាកត្តាបឋម) និង ១៤៣=១១ ១៣ .

ដើម្បីស្វែងរក LCM នៃលេខទាំងនេះ ចំពោះកត្តានៃលេខទីមួយ 84 (ពួកវាគឺ 2, 2, 3 និង 7) អ្នកត្រូវបន្ថែមកត្តាដែលបាត់ពីការរលួយនៃលេខទីពីរ 6 ។ ការ​ពង្រីក​លេខ​៦​មិន​មាន​កត្តា​បាត់​ទេ ព្រោះ​លេខ​២ និង​លេខ​៣ មាន​ស្រាប់​ហើយ​ក្នុង​ការ​ពង្រីក​លេខ​៨៤​ដំបូង។ បន្ថែមពីលើកត្តា 2, 2, 3 និង 7 យើងបន្ថែមកត្តាដែលបាត់ 2 និង 2 ពីការពង្រីកលេខទីបី 48 យើងទទួលបានសំណុំនៃកត្តា 2 2 2 2 3 និង 7 ។ មិនចាំបាច់បន្ថែមកត្តាទៅឈុតនេះក្នុងជំហានបន្ទាប់ទេ ដោយសារ 7 មាននៅក្នុងវារួចហើយ។ ជាចុងក្រោយ ចំពោះកត្តា 2 , 2 , 2 , 2 , 3 និង 7 យើងបន្ថែមកត្តាដែលបាត់ 11 និង 13 ពីការពង្រីកលេខ 143 ។ យើងទទួលបានផលិតផល 2 2 2 2 3 7 11 13 ដែលស្មើនឹង 48 048 ។

ដូច្នេះ LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 ។

LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 ។

ស្វែងរកលេខអវិជ្ជមានតិចបំផុត។

ពេលខ្លះមានភារកិច្ចដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុត ក្នុងចំណោមលេខមួយណា លេខមួយចំនួន ឬទាំងអស់គឺអវិជ្ជមាន។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ លេខអវិជ្ជមានទាំងអស់ត្រូវតែត្រូវបានជំនួសដោយលេខផ្ទុយរបស់ពួកគេ បន្ទាប់ពីនោះ LCM នៃចំនួនវិជ្ជមានគួរតែត្រូវបានរកឃើញ។ នេះគឺជាវិធីដើម្បីស្វែងរក LCM នៃលេខអវិជ្ជមាន។ ឧទាហរណ៍ LCM(54, −34)=LCM(54, 34) និង LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) ។

យើង​អាច​ធ្វើ​ដូច្នេះ​បាន​ដោយ​សារ​សំណុំ​គុណ​នៃ a គឺ​ដូច​គ្នា​នឹង​សំណុំ​នៃ​គុណ​នៃ −a (a និង −a ជា​លេខ​ផ្ទុយ​គ្នា)។ ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យ b ជាពហុគុណនៃ a បន្ទាប់មក b ត្រូវបានបែងចែកដោយ a ហើយគោលគំនិតនៃការបែងចែកអះអាងពីអត្ថិភាពនៃចំនួនគត់ q ដែល b = a q ។ ប៉ុន្តែសមភាព b=(−a)·(−q) ក៏នឹងជាការពិតដែរ ដែលដោយសារគោលគំនិតដូចគ្នានៃការបែងចែក មានន័យថា b ត្រូវបានបែងចែកដោយ −a ពោលគឺ b គឺជាពហុគុណនៃ −a ។ សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើ b គឺជាពហុគុណនៃ −a នោះ b ក៏ជាពហុគុណនៃ a ផងដែរ។

ស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន −145 និង −45 ។

ចូរជំនួសលេខអវិជ្ជមាន −145 និង −45 ដោយលេខផ្ទុយគ្នា 145 និង 45 ។ យើងមាន LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) ។ ដោយបានកំណត់ gcd(145, 45)=5 (ឧទាហរណ៍ ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclid) យើងគណនា LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 ។ ដូច្នេះ ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនគត់អវិជ្ជមាន −145 និង −45 គឺ 1,305 ។

www.cleverstudents.ru

យើងបន្តសិក្សាផ្នែក។ នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលគោលគំនិតដូចជា GCDនិង NOC.

GCDគឺជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុត។

NOCគឺជាពហុគុណធម្មតាតិចបំផុត។

ប្រធានបទគឺគួរឱ្យធុញ ប៉ុន្តែចាំបាច់ត្រូវយល់។ បើគ្មានការយល់ដឹងអំពីប្រធានបទនេះទេ អ្នកនឹងមិនអាចធ្វើការប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពជាមួយប្រភាគ ដែលជាឧបសគ្គពិតប្រាកដនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។

និយមន័យ។ ការបែងចែកលេខទូទៅធំបំផុត កនិង ខ កនិង ខបែងចែកដោយគ្មានសល់។

ដើម្បីយល់ពីនិយមន័យនេះឱ្យបានល្អ យើងជំនួសអថេរជំនួសវិញ។ កនិង ខឧទាហរណ៍ លេខពីរ ជំនួសឱ្យអថេរ កជំនួសលេខ 12 ហើយជំនួសឱ្យអថេរ ខលេខ ៩ ឥឡូវ​នេះ​យើង​ព្យាយាម​អាន​និយមន័យ​នេះ៖

ការបែងចែកលេខទូទៅធំបំផុត 12 និង 9 គឺជាចំនួនធំបំផុត 12 និង 9 បែងចែកដោយគ្មានសល់។

វាច្បាស់ណាស់ពីនិយមន័យដែលយើងកំពុងនិយាយអំពីការចែកទូទៅនៃលេខ 12 និង 9 ហើយការបែងចែកនេះគឺធំបំផុតនៃការបែងចែកដែលមានស្រាប់ទាំងអស់។ ការបែងចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតនេះ (gcd) ត្រូវតែត្រូវបានរកឃើញ។

ដើម្បីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរ វិធីសាស្ត្របីត្រូវបានប្រើ។ វិធីសាស្រ្តដំបូងគឺចំណាយពេលច្រើន ប៉ុន្តែវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកយល់ពីខ្លឹមសារនៃប្រធានបទបានយ៉ាងល្អ ហើយមានអារម្មណ៍ថាអត្ថន័យរបស់វាទាំងមូល។

វិធីសាស្រ្តទីពីរនិងទីបីគឺសាមញ្ញណាស់ហើយធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរក GCD យ៉ាងឆាប់រហ័ស។ យើងនឹងពិចារណាវិធីសាស្រ្តទាំងបី។ ហើយអ្វីដែលត្រូវអនុវត្តក្នុងការអនុវត្ត - អ្នកជ្រើសរើស។

វិធីទីមួយគឺត្រូវស្វែងរកផ្នែកដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃចំនួនពីរ ហើយជ្រើសរើសធំបំផុតនៃពួកគេ។ ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តនេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖ ស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 12 និង 9.

ដំបូងយើងរកឃើញផ្នែកដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃលេខ 12 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែក 12 ទៅជាផ្នែកទាំងអស់ក្នុងចន្លោះពី 1 ដល់ 12 ។ ប្រសិនបើផ្នែកអនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែក 12 ដោយគ្មានសល់ នោះយើងនឹងគូសវាសជាពណ៌ខៀវ និង ធ្វើការពន្យល់សមស្របនៅក្នុងតង្កៀប។

12: 1 = 12
(១២ ចែកនឹង ១ ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ ១ ជាចែក ១២)

12: 2 = 6
(12 ចែកនឹង 2 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ 2 គឺជាការបែងចែក 12)

12: 3 = 4
(១២ ចែកនឹង ៣ ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ ៣ ជាចែក ១២)

12: 4 = 3
(12 ចែកនឹង 4 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ 4 គឺជាការបែងចែក 12)

12:5 = 2 (ឆ្វេង 2)
(១២ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៥ ដោយ​គ្មាន​សល់ ដូច្នេះ ៥ មិន​មែន​ជា​ការ​ចែក ១២)

12: 6 = 2
(12 ចែកនឹង 6 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ 6 គឺជាការបែងចែក 12)

12:7 = 1 (សល់ 5)
(១២ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៧ ដោយ​គ្មាន​សល់ ដូច្នេះ ៧ មិន​មែន​ជា​ការ​ចែក ១២)

12:8 = 1 (4 ឆ្វេង)
(១២ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៨ ដោយ​គ្មាន​សល់ ដូច្នេះ ៨ មិន​មែន​ជា​ការ​ចែក ១២)

12:9 = 1 (3 ឆ្វេង)
(១២ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៩ ដោយ​គ្មាន​សល់​ទេ ដូច្នេះ ៩ មិន​មែន​ចែក ១២)

12:10 = 1 (2 ឆ្វេង)
(១២ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ១០ ដោយ​គ្មាន​សល់ ដូច្នេះ ១០ មិន​មែន​ជា​ការ​ចែក ១២)

12:11 = 1 (សល់ 1)
(១២ មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ ១១ ដោយគ្មានសល់ទេ ដូច្នេះ ១១ មិនមែនជាការបែងចែក ១២)

12: 12 = 1
(12 ចែកនឹង 12 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ 12 គឺជាការបែងចែក 12)

ឥឡូវ​យើង​រក​អ្នក​ចែក​លេខ ៩។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច​នេះ សូម​ពិនិត្យ​លេខ​ចែក​ទាំងអស់​ពី ១ ដល់ ៩

9: 1 = 9
(9 ចែកនឹង 1 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ 1 គឺជាការបែងចែក 9)

9: 2 = 4 (ឆ្វេង 1)
(៩ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ២ ដោយ​គ្មាន​សល់​ទេ ដូច្នេះ ២ មិន​មែន​ចែក​ ៩ ទេ)

9: 3 = 3
(9 ចែកនឹង 3 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ 3 គឺជាការបែងចែក 9)

9: 4 = 2 (ឆ្វេង 1)
(៩ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៤ ដោយ​គ្មាន​សល់​ទេ ដូច្នេះ ៤ មិន​មែន​ជា​ចំណែក ៩)

9:5 = 1 (សល់ 4)
(៩ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៥ ដោយ​គ្មាន​សល់ ដូច្នេះ ៥ មិន​មែន​ជា​ការ​ចែក ៩)

9: 6 = 1 (3 ឆ្វេង)
(៩ មិនបានចែកនឹង ៦ ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ ៦ មិនមែនជាការបែងចែក ៩)

9:7 = 1 (2 ឆ្វេង)
(៩ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៧ ដោយ​គ្មាន​សល់​ទេ ដូច្នេះ ៧ មិន​មែន​ជា​ចំណែក ៩)

9:8 = 1 (សល់ 1)
(៩ មិន​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៨ ដោយ​គ្មាន​សល់ ដូច្នេះ ៨ មិន​មែន​ជា​ការ​ចែក ៩)

9: 9 = 1
(9 ចែកនឹង 9 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះ 9 គឺជាការបែងចែក 9)

ឥឡូវសរសេរការចែកលេខទាំងពីរ។ លេខ​ដែល​បន្លិច​ជា​ពណ៌​ខៀវ​គឺ​ជា​ផ្នែក​ចែក។ ចូរយើងសរសេរពួកវាចេញ៖

ដោយបានសរសេរចេញនូវការបែងចែក អ្នកអាចកំណត់ភ្លាមៗថាមួយណាធំជាងគេ និងទូទៅបំផុត។

តាមនិយមន័យ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃ 12 និង 9 គឺជាចំនួនដែល 12 និង 9 ត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នា។ ការបែងចែកដ៏ធំបំផុត និងទូទៅនៃលេខ 12 និង 9 គឺលេខ 3

ទាំងលេខ 12 និងលេខ 9 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដោយគ្មានសល់:

ដូច្នេះ gcd (12 និង 9) = 3

វិធីទីពីរដើម្បីស្វែងរក GCD

ឥឡូវនេះសូមពិចារណាវិធីទីពីរដើម្បីស្វែងរកការបែងចែកទូទៅធំបំផុត។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺដើម្បីបំបែកលេខទាំងពីរទៅជាកត្តាសំខាន់ ហើយគុណនឹងចំនួនធម្មតា។

ឧទាហរណ៍ ១. ស្វែងរក GCD នៃលេខ 24 និង 18

ដំបូង​យើង​យក​លេខ​ទាំងពីរ​មក​ជា​កត្តា​សំខាន់៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគុណកត្តារួមរបស់ពួកគេ។ ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំកត្តាទូទៅអាចត្រូវបានគូសបញ្ជាក់។

យើងក្រឡេកមើលការរលួយនៃលេខ 24 ។ កត្តាទីមួយរបស់វាគឺ 2. យើងកំពុងស្វែងរកកត្តាដូចគ្នាក្នុងការរលួយនៃលេខ 18 ហើយឃើញថាវាក៏មានផងដែរ។ យើងគូសបញ្ជាក់ទាំងពីរ៖

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងពិនិត្យមើលការរលួយនៃលេខ 24 ។ កត្តាទីពីររបស់វាគឺ 2 ។ យើងកំពុងស្វែងរកកត្តាដូចគ្នានៅក្នុងការរលួយនៃលេខ 18 ហើយឃើញថាវាមិននៅទីនោះជាលើកទីពីរទេ។ បន្ទាប់មកយើងមិនគូសបញ្ជាក់អ្វីនោះទេ។

ពីរបន្ទាប់ក្នុងការពង្រីកលេខ 24 ក៏បាត់ដែរក្នុងការពង្រីកលេខ 18 ។

យើងឆ្លងទៅកត្តាចុងក្រោយក្នុងការរលួយនៃលេខ 24 ។ នេះគឺជាកត្តាទី 3 ។ យើងកំពុងស្វែងរកកត្តាដូចគ្នាក្នុងការ decomposition នៃលេខ 18 ហើយឃើញថាវាក៏មានផងដែរ។ យើងគូសបញ្ជាក់ទាំងបី៖

ដូច្នេះកត្តាទូទៅនៃលេខ 24 និង 18 គឺជាកត្តាទី 2 និងទី 3 ។ ដើម្បីទទួលបាន GCD កត្តាទាំងនេះត្រូវតែគុណ:

ដូច្នេះ gcd (24 និង 18) = 6

វិធីទីបីដើម្បីស្វែងរក GCD

ឥឡូវនេះសូមពិចារណាវិធីទីបីដើម្បីស្វែងរកការបែងចែកទូទៅធំបំផុត។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រនេះ គឺស្ថិតនៅត្រង់ថា លេខដែលត្រូវស្វែងរកសម្រាប់ការបែងចែកធម្មតាបំផុត ត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាចម្បង។ បន្ទាប់មកពីការរលួយនៃលេខទីមួយកត្តាដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងការរលួយនៃលេខទីពីរត្រូវបានលុប។ លេខដែលនៅសល់នៅក្នុងការពង្រីកដំបូងត្រូវបានគុណនិងទទួលបាន GCD ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរក GCD សម្រាប់លេខ 28 និង 16 តាមវិធីនេះ។ ជាបឋម យើងបំបែកលេខទាំងនេះទៅជាកត្តាចម្បង៖

យើងទទួលបានការពង្រីកពីរ៖ និង

ឥឡូវនេះពីការពង្រីកលេខទីមួយ យើងលុបកត្តាដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងការពង្រីកលេខទីពីរ។ ការពង្រីកលេខទីពីរមិនរាប់បញ្ចូលទាំងប្រាំពីរទេ។ យើងនឹងលុបវាចេញពីការពង្រីកដំបូង៖

ឥឡូវនេះយើងគុណកត្តាដែលនៅសល់ហើយទទួលបាន GCD៖

លេខ 4 គឺជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 28 និង 16 ។ លេខទាំងពីរនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ដោយគ្មានសល់៖

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរក GCD នៃលេខ 100 និង 40

ការគណនាលេខ 100

ការគណនាលេខ 40

យើងទទួលបានការពង្រីកពីរ៖

ឥឡូវនេះពីការពង្រីកលេខទីមួយ យើងលុបកត្តាដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងការពង្រីកលេខទីពីរ។ ការពង្រីកលេខទីពីរមិនរាប់បញ្ចូលមួយប្រាំទេ (មានតែមួយប្រាំ)។ យើងលុបវាពីការរលួយដំបូង

គុណលេខដែលនៅសល់៖

យើងទទួលបានចំលើយ 20។ ដូច្នេះលេខ 20 គឺជាអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 100 និង 40។ លេខទាំងពីរនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 20 ដោយគ្មានសល់៖

GCD (100 និង 40) = 20 ។

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរក gcd នៃលេខ 72 និង 128

ការគណនាលេខ ៧២

ការគណនាលេខ ១២៨

២ × ២ × ២ × ២ × ២ × ២ × ២

ឥឡូវនេះពីការពង្រីកលេខទីមួយ យើងលុបកត្តាដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងការពង្រីកលេខទីពីរ។ ការពង្រីកលេខទីពីរមិនរាប់បញ្ចូលទាំងបីដងទេ (មិនមានអ្វីទាំងអស់)។ យើងលុបពួកវាពីការពង្រីកដំបូង៖

យើងទទួលបានចំលើយ 8។ ដូច្នេះលេខ 8 គឺជាអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 72 និង 128។ លេខទាំងពីរនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 8 ដោយគ្មានសល់៖

GCD (72 និង 128) = 8

ស្វែងរក GCD សម្រាប់លេខច្រើន។

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតអាចរកបានសម្រាប់លេខជាច្រើន ហើយមិនត្រឹមតែសម្រាប់ពីរប៉ុណ្ណោះទេ។ សម្រាប់ការនេះ លេខដែលត្រូវស្វែងរកសម្រាប់ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាបឋម បន្ទាប់មកផលិតផលនៃកត្តាបឋមទូទៅនៃលេខទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរក GCD សម្រាប់លេខ 18, 24 និង 36

ការគណនាលេខ 18

ការគណនាលេខ 24

ការគណនាលេខ ៣៦

យើងទទួលបានការពង្រីកចំនួនបី៖

ឥឡូវនេះ យើងជ្រើសរើស និងគូសបញ្ជាក់កត្តាទូទៅនៅក្នុងលេខទាំងនេះ។ កត្តាទូទៅត្រូវតែបញ្ចូលក្នុងលេខទាំងបី៖

យើងឃើញថាកត្តាទូទៅសម្រាប់លេខ 18, 24 និង 36 គឺជាកត្តាទី 2 និងទី 3 ។ ដោយគុណកត្តាទាំងនេះ យើងទទួលបាន GCD ដែលយើងកំពុងស្វែងរក៖

យើងទទួលបានចំលើយ 6។ ដូច្នេះលេខ 6 គឺជាអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 18, 24 និង 36។ លេខទាំងបីនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់៖

GCD (18, 24 និង 36) = 6

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរក gcd សម្រាប់លេខ 12, 24, 36 និង 42

ចូរ​ធ្វើ​កត្តា​លេខ​នីមួយៗ។ បន្ទាប់មកយើងរកឃើញផលិតផលនៃកត្តាទូទៅនៃលេខទាំងនេះ។

ការគណនាលេខ 12

ការគណនាលេខ 42

យើងទទួលបានការពង្រីកចំនួនបួន៖

ឥឡូវនេះ យើងជ្រើសរើស និងគូសបញ្ជាក់កត្តាទូទៅនៅក្នុងលេខទាំងនេះ។ កត្តាទូទៅត្រូវតែបញ្ចូលក្នុងលេខទាំងបួន៖

យើងឃើញថាកត្តាទូទៅសម្រាប់លេខ 12, 24, 36, និង 42 គឺជាកត្តា 2 និង 3។ ដោយគុណកត្តាទាំងនេះ យើងទទួលបាន GCD ដែលយើងកំពុងស្វែងរក៖

យើងទទួលបានចំលើយ 6។ ដូច្នេះលេខ 6 គឺជាអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 12, 24, 36 និង 42។ លេខទាំងនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់៖

gcd(12, 24, 36 និង 42) = 6

ពីមេរៀនមុន យើងដឹងថាប្រសិនបើចំនួនមួយចំនួនត្រូវបានចែកដោយមួយទៀតដោយគ្មានសល់នោះ វាត្រូវបានគេហៅថាពហុគុណនៃចំនួននេះ។

វាប្រែថាពហុគុណអាចជារឿងធម្មតាទៅលេខជាច្រើន។ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងចាប់អារម្មណ៍លើពហុគុណនៃចំនួនពីរ ខណៈដែលវាគួរតែតូចតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។

និយមន័យ។ ពហុទូទៅតិចបំផុត (LCM) នៃលេខ កនិង ខ- កនិង ខ កនិងលេខ ខ.

និយមន័យមានអថេរពីរ កនិង ខ. ចូរជំនួសលេខទាំងពីរសម្រាប់អថេរទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍ជំនួសឱ្យអថេរ កជំនួសលេខ 9 ហើយជំនួសឱ្យអថេរ ខចូរយើងជំនួសលេខ 12 ឥឡូវនេះ ចូរយើងព្យាយាមអាននិយមន័យ៖

ពហុទូទៅតិចបំផុត (LCM) នៃលេខ 9 និង 12 - គឺជាចំនួនតូចបំផុតដែលជាពហុគុណ 9 និង 12 . ម៉្យាងទៀត វាជាចំនួនតូចមួយដែលអាចបែងចែកដោយគ្មានសល់ដោយលេខ 9 និងនៅលើលេខ 12 .

វាច្បាស់ណាស់ពីនិយមន័យថា LCM គឺជាចំនួនតូចបំផុតដែលអាចបែងចែកដោយគ្មានសល់ដោយ 9 និង 12។ LCM នេះតម្រូវឱ្យត្រូវបានរកឃើញ។

មានវិធីពីរយ៉ាងដើម្បីស្វែងរកពហុគុណតិចបំផុត (LCM)។ វិធីទីមួយគឺអ្នកអាចសរសេរលេខគុណដំបូងនៃចំនួនពីរ ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសក្នុងចំណោមផលគុណទាំងនេះដូចជាលេខដែលនឹងជារឿងធម្មតាសម្រាប់ទាំងលេខតូច។ តោះអនុវត្តវិធីនេះ។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកផលគុណដំបូងសម្រាប់លេខ 9។ ដើម្បីរកផលគុណសម្រាប់លេខ 9 អ្នកត្រូវគុណលេខប្រាំបួននេះដោយលេខពី 1 ដល់ 9 ជាវេន។ ចម្លើយដែលអ្នកទទួលបាននឹងមានគុណនឹងលេខ 9។ តោះ​ចាប់​ផ្ដើម។ ច្រើននឹងត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ក្រហម៖

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញពហុគុណសម្រាប់លេខ 12 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណ 12 ដោយលេខទាំងអស់ពី 1 ទៅ 12 នៅក្នុងវេន។

ពិចារណាវិធីពីរយ៉ាងដើម្បីស្វែងរកការបែងចែកទូទៅធំបំផុត។

ការស្វែងរកដោយកត្តា

មធ្យោបាយទីមួយគឺស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតដោយយកលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាកត្តាសំខាន់។

ដើម្បីស្វែងរក GCD នៃលេខជាច្រើន វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបំបែកពួកវាទៅជាកត្តាសំខាន់ ហើយគុណក្នុងចំណោមពួកគេ ដែលជារឿងធម្មតាសម្រាប់លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍ ១ចូរយើងស្វែងរក GCD (84, 90) ។

យើងបំបែកលេខ 84 និង 90 ទៅជាកត្តាចម្បង៖

ដូច្នេះ យើង​បាន​គូសបញ្ជាក់​ពី​កត្តា​សំខាន់​ទូទៅ​ទាំងអស់ វា​នៅ​តែ​ត្រូវ​គុណ​ពួកគេ​ក្នុង​ចំណោម​ពួកគេ​ពួកគេ៖ 1 2 3 = 6 ។

ដូច្នេះ gcd(84, 90) = 6 ។

ឧទាហរណ៍ ២ចូរយើងស្វែងរក GCD (15, 28) ។

យើងបំបែក 15 និង 28 ទៅជាកត្តាចម្បង:

លេខ 15 និង 28 គឺជា coprime ពីព្រោះការបែងចែកធម្មតាបំផុតរបស់ពួកគេគឺមួយ។

gcd (15, 28) = 1 ។

ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid

វិធីសាស្រ្តទីពីរ (បើមិនដូច្នេះទេហៅថាវិធីសាស្ត្រ Euclid) គឺដើម្បីស្វែងរក GCD ដោយការបែងចែកជាបន្តបន្ទាប់។

ជាដំបូង យើងនឹងពិនិត្យមើលវិធីសាស្ត្រនេះ ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះតែលេខពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងរកវិធីអនុវត្តវាទៅលេខបី ឬច្រើន។

ប្រសិនបើចំនួនធំជាងនៃចំនួនពីរត្រូវបានបែងចែកដោយតូចជាង នោះលេខដែលតូចជាងនឹងក្លាយជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ។

ឧទាហរណ៍ ១យកលេខពីរលេខ 27 និង 9។ ចាប់តាំងពីលេខ 27 ចែកនឹង 9 ហើយលេខ 9 ចែកនឹង 9 នោះលេខ 9 គឺជាការចែកទូទៅនៃលេខ 27 និង 9។ លេខចែកនេះធំជាងគេផងដែរ ព្រោះលេខ 9 មិនអាចបែងចែកដោយលេខណាមួយទេ ធំជាង។ ជាង 9. ដូច្នេះ gcd (27, 9) = 9 ។

ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ដើម្បីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរ នីតិវិធីខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖

1. ក្នុងចំណោមលេខទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ លេខធំជាងត្រូវបានបែងចែកដោយលេខតូចជាង។
2. បន្ទាប់មក លេខតូចត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនដែលនៅសល់ ដែលជាលទ្ធផលនៃការបែងចែកលេខធំដោយលេខតូច។
3. លើសពីនេះ នៅសល់ទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយសេសសល់ទីពីរ ដែលត្រូវបានទទួលដោយបែងចែកចំនួនតូចជាងដោយសល់ទីមួយ។
4. នៅសល់ទីពីរចែកនឹងទីបី ដែលទទួលបានដោយបែងចែកសល់ទីមួយដោយទីពីរ។ល។
5. ដូច្នេះការបែងចែកបន្តរហូតដល់នៅសល់គឺសូន្យ។ ការបែងចែកចុងក្រោយនឹងជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុត។

ឧទាហរណ៍ ២ចូរយើងស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 140 និង 96៖

1) 140: 96 = 1 (នៅសល់ 44)

2) 96: 44 = 2 (នៅសល់ 8)

3) 44: 8 = 5 (នៅសល់ 4)

ការបែងចែកចុងក្រោយគឺ 4 ដែលមានន័យថា gcd(140, 96) = 4 ។

ការបែងចែកតាមលំដាប់លំដោយ ក៏អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរ៖

ដើម្បីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ 3 ឬច្រើន សូមប្រើនីតិវិធីខាងក្រោម៖

1. ជាដំបូង ស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងពីរពីសំណុំទិន្នន័យច្រើន។
2. បន្ទាប់មកយើងរកឃើញ GCD នៃផ្នែកដែលបានរកឃើញ និងចំនួនទីបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
3. បន្ទាប់មកយើងរកឃើញ GCD នៃផ្នែកដែលរកឃើញចុងក្រោយ និងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទី 4 ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ឧទាហរណ៍ ៣ចូរយើងស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃលេខ 140, 96 និង 48។ យើងបានរកឃើញ GCD នៃលេខ 140 និង 96 រួចហើយនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន (នេះគឺជាលេខ 4)។ វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 4 និងលេខទីបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ - 48:

48 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ដោយគ្មានសល់។ ដូច្នេះ gcd(140, 96, 48) = 4 ។

ចាំ!

ប្រសិនបើចំនួនធម្មជាតិត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 និងខ្លួនវានោះវាត្រូវបានគេហៅថាបឋម។

លេខធម្មជាតិណាមួយតែងតែបែងចែកដោយ 1 និងខ្លួនវាផ្ទាល់។

លេខ 2 គឺជាលេខបឋមតូចបំផុត។ នេះ​គឺ​ជា​លេខ​គូ​តែ​មួយ​គត់ លេខ​សំខាន់​ដែល​នៅ​សល់​គឺ​សេស។

មានលេខសំខាន់ៗជាច្រើន ហើយលេខដំបូងក្នុងចំណោមពួកគេគឺលេខ 2 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានលេខបឋមចុងក្រោយទេ។ នៅក្នុងផ្នែក "សម្រាប់ការសិក្សា" អ្នកអាចទាញយកតារាងនៃលេខបឋមរហូតដល់ 997 ។

ប៉ុន្តែលេខធម្មជាតិជាច្រើនត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយលេខធម្មជាតិផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍:

• លេខ 12 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 ដោយ 2 ដោយ 3 ដោយ 4 ដោយ 6 ដោយ 12;
• 36 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 ដោយ 2 ដោយ 3 ដោយ 4 ដោយ 6 ដោយ 12 ដោយ 18 ដោយ 36 ។

លេខដែលលេខអាចបែងចែកស្មើៗគ្នា (សម្រាប់ 12 ទាំងនេះគឺ 1, 2, 3, 4, 6 និង 12) ត្រូវបានគេហៅថា ចែកលេខ។

ចាំ!

ការបែងចែកនៃចំនួនធម្មជាតិ a គឺជាចំនួនធម្មជាតិដែលបែងចែកលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ "a" ដោយគ្មានសល់។

លេខធម្មជាតិដែលមានកត្តាច្រើនជាងពីរត្រូវបានគេហៅថា លេខផ្សំ។

ចំណាំថាលេខ 12 និង 36 មានការបែងចែកទូទៅ។ ទាំងនេះគឺជាលេខ៖ ១, ២, ៣, ៤, ៦, ១២។ ការបែងចែកធំបំផុតនៃលេខទាំងនេះគឺ 12 ។

ការបែងចែកទូទៅនៃលេខពីរ "a" និង "b" គឺជាលេខដែលលេខទាំងពីរ "a" និង "b" ត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់។

ចាំ!

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។(GCD) នៃលេខពីរ "a" និង "b" - នេះគឺជាលេខធំបំផុតដែលលេខទាំងពីរ "a" និង "b" ត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់។

ដោយសង្ខេប ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ "a" និង "b" ត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

gcd (a; b) ។

ឧទាហរណ៍៖ gcd (12; 36) = 12 ។

ការបែងចែកលេខនៅក្នុងកំណត់ត្រាដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរធំ "D" ។

ឃ(7) = (1, 7)

ឃ(៩) = (១, ៩)

gcd (7; 9) = 1

លេខ 7 និង 9 មានការបែងចែកធម្មតាតែមួយ - លេខ 1 ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា លេខ coprime.

ចាំ!

លេខចម្លងជា​លេខ​ធម្មជាតិ​ដែល​មាន​អ្នក​ចែក​ទូទៅ​តែ​មួយ​គត់ - លេខ 1 ។ GCD របស់ពួកគេគឺ 1 ។

វិធីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅបំផុត។

ដើម្បីស្វែងរក gcd នៃលេខធម្មជាតិពីរ ឬច្រើន អ្នកត្រូវការ៖

1. decompose ការបែងចែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់;

ការគណនាត្រូវបានសរសេរយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរបារបញ្ឈរ។ នៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ដំបូងសរសេរភាគលាភទៅខាងស្តាំ - ការបែងចែក។ បន្ថែមទៀតនៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេងយើងសរសេរចុះតម្លៃនៃឯកជន។

ចូរយើងពន្យល់ភ្លាមៗជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរធ្វើកត្តាលេខ 28 និង 64 ទៅជាកត្តាសំខាន់។

1. គូសបញ្ជាក់កត្តាបឋមដូចគ្នានៅក្នុងលេខទាំងពីរ។
   28 = ២ ២ ៧

   64 = 2 2 2 2 2

2. យើងរកឃើញផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់ដូចគ្នា ហើយសរសេរចម្លើយ។
   GCD (28; 64) = 2 2 = 4

   ចម្លើយ៖ GCD (28; 64) = 4

អ្នកអាចរៀបចំទីតាំងរបស់ GCD តាមពីរវិធី៖ នៅក្នុងជួរឈរមួយ (ដូចដែលបានធ្វើខាងលើ) ឬ "នៅក្នុងបន្ទាត់មួយ" ។

ឥឡូវនេះ និងនៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងសន្មត់ថាយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះគឺខុសពីលេខសូន្យ។ ប្រសិនបើលេខដែលបានផ្តល់ទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ នោះផ្នែកទូទៅរបស់ពួកគេគឺជាចំនួនគត់ ហើយដោយសារមានចំនួនគត់ច្រើនគ្មានកំណត់ យើងមិនអាចនិយាយអំពីចំនួនធំបំផុតនៃពួកវាបានទេ។ ដូច្នេះ គេមិនអាចនិយាយអំពីការចែកលេខធម្មតាបំផុតនៃចំនួនដែលនីមួយៗស្មើនឹងសូន្យបានទេ។

ឥឡូវនេះយើងអាចផ្តល់ឱ្យ ការស្វែងរកផ្នែកទូទៅធំបំផុតលេខពីរ។

និយមន័យ។

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។នៃចំនួនគត់ពីរគឺជាចំនួនគត់ធំបំផុតដែលបែងចែកចំនួនគត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងពីរ។

អក្សរកាត់ GCD ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីកាត់ឱ្យខ្លីនៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត - Greatest Common Divisor ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ ការបែងចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតនៃចំនួនពីរ a និង b ជាញឹកញាប់ត្រូវបានតំណាងថាជា gcd(a, b) ។

ចូរនាំមក ឧទាហរណ៍នៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត (gcd)ចំនួនគត់ពីរ។ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃ 6 និង −15 គឺ 3 ។ ចូរយើងបញ្ជាក់រឿងនេះ។ ចូរយើងសរសេរផ្នែកទាំងអស់នៃលេខប្រាំមួយ៖ ±6, ±3, ±1 ហើយផ្នែកនៃលេខ −15 គឺជាលេខ ±15, ±5, ±3 និង ±1។ ឥឡូវនេះអ្នកអាចរកឃើញផ្នែកចែកទូទៅទាំងអស់នៃលេខ 6 និង −15 ទាំងនេះគឺជាលេខ −3 −1 1 និង 3 ។ ចាប់តាំងពី −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

និយមន័យនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនគត់បី ឬច្រើនគឺស្រដៀងនឹងនិយមន័យនៃ gcd នៃចំនួនពីរ។

និយមន័យ។

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។ចំនួនគត់បី ឬច្រើន គឺជាចំនួនគត់ធំបំផុតដែលបែងចែកលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់ក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនគត់ n a 1 , a 2 , …, a n យើងនឹងសម្គាល់ថា gcd(a 1 , a 2 , …, a n) ។ ប្រសិនបើតម្លៃ b នៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញ នោះយើងអាចសរសេរបាន។ GCD(a 1, a 2, …, a n) = ខ.

ជាឧទាហរណ៍ ដែលបានផ្តល់ឱ្យ gcd នៃចំនួនគត់បួន −8 , 52 , 16 និង −12 វាស្មើនឹង 4 នោះគឺ gcd(−8, 52, 16, −12)=4 ។ វាអាចត្រូវបានពិនិត្យដោយសរសេរផ្នែកចែកទាំងអស់នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ជ្រើសរើសផ្នែកចែកទូទៅពីពួកវា និងកំណត់ផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុត។

ចំណាំថា ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនគត់អាចស្មើនឹងលេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតប្រសិនបើលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់ត្រូវបានបែងចែកដោយមួយក្នុងចំណោមពួកគេ (ភស្តុតាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងកថាខណ្ឌបន្ទាប់នៃអត្ថបទនេះ) ។ ឧទាហរណ៍ gcd(15, 60, −45)=15 ។ នេះជាការពិត ពីព្រោះ 15 ចែក 15 60 និង −45 ហើយមិនមានការបែងចែកធម្មតានៃ 15 60 និង −45 ដែលធំជាង 15 ។

ការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសគឺអ្វីដែលហៅថាចំនួនបឋមដែលទាក់ទង - ចំនួនគត់ដែលជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលស្មើនឹងមួយ។

គុណលក្ខណៈបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតមានលទ្ធផលលក្ខណៈមួយចំនួន និយាយម្យ៉ាងទៀត លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន។ ឥឡូវនេះយើងនឹងរាយបញ្ជីចម្បង លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុត (gcd)យើងនឹងបង្កើតវាតាមទម្រង់ទ្រឹស្តីបទ ហើយផ្តល់ភស្តុតាងភ្លាមៗ។

យើង​នឹង​បង្កើត​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ទាំងអស់​នៃ​ផ្នែក​រួម​ធំ​បំផុត​សម្រាប់​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន ខណៈ​ពេល​ដែល​យើង​នឹង​ពិចារណា​តែ​ផ្នែក​វិជ្ជមាន​នៃ​លេខ​ទាំងនេះ។

ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃ a និង b គឺស្មើនឹង ចែកទូទៅធំបំផុតនៃ b និង a នោះគឺ gcd(a, b) = gcd(a, b) ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ GCD នេះធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុត។

ប្រសិនបើ a ត្រូវបានបែងចែកដោយ b នោះសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃ a និង b គឺដូចគ្នាទៅនឹងសំណុំនៃការបែងចែក b ជាពិសេស gcd(a, b) = b ។

ភស្តុតាង។

ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b គឺជាអ្នកចែកនៃលេខនីមួយៗ រួមទាំងលេខ b ។ ម៉្យាងវិញទៀត ដោយសារ a គឺជាពហុគុណនៃ b នោះផ្នែកណាមួយនៃលេខ b ក៏ជាផ្នែកនៃចំនួន a ដោយសារតែការពិតដែលថាការបែងចែកមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការឆ្លងកាត់ ដូច្នេះ ការបែងចែកណាមួយនៃលេខ b គឺជា ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b ។ នេះបង្ហាញថាប្រសិនបើ a ត្រូវបានបែងចែកដោយ b នោះសំណុំនៃការបែងចែកលេខ a និង b ស្របគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃការបែងចែកនៃចំនួនមួយ b ។ ហើយចាប់តាំងពីការបែងចែកដ៏ធំបំផុតនៃលេខ b គឺជាលេខ b ខ្លួនវា នោះការបែងចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតនៃលេខ a និង b ក៏ស្មើនឹង b នោះគឺ gcd(a, b) = b ។

ជាពិសេសប្រសិនបើលេខ a និង b ស្មើគ្នានោះ gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. ឧទាហរណ៍ gcd(132, 132)=132 ។

ទ្រព្យសម្បត្តិបែងចែកដ៏អស្ចារ្យបំផុតដែលបានបញ្ជាក់អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរក gcd នៃចំនួនពីរនៅពេលដែលមួយក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវបានបែងចែកដោយផ្សេងទៀត។ ក្នុងករណីនេះ GCD គឺស្មើនឹងលេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះ ដែលលេខផ្សេងទៀតអាចបែងចែកបាន។ ឧទាហរណ៍ gcd(8, 24)=8 ចាប់តាំងពី 24 គឺជាពហុគុណនៃប្រាំបី។

ប្រសិនបើ a=b q+c ដែល a , b , c និង q ជាចំនួនគត់ នោះសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b ស្របគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ b និង c ជាពិសេស gcd( a, b) = gcd (b, c) ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ GCD ។

ចាប់តាំងពីសមភាព a=b·q+c ទទួលបាន នោះការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b ក៏បែងចែក c (វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែក)។ សម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នា រាល់ផ្នែកទូទៅនៃ b និង c បែងចែក a ។ ដូច្នេះ សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b គឺដូចគ្នាទៅនឹងសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ b និង c ។ ជាពិសេស ការបែងចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតទាំងនេះក៏ត្រូវតែផ្គូផ្គងដែរ នោះគឺសមភាពខាងក្រោមត្រូវតែមានសុពលភាព gcd(a, b)=gcd(b, c) ។

ឥឡូវនេះយើងបង្កើត និងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទមួយ ដែលជា ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid. ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរក GCD នៃចំនួនពីរ (សូមមើលការស្វែងរក GCD ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclid) ។ ជាងនេះទៅទៀត ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមនៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។

មុននឹងផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទ យើងសូមណែនាំឱ្យធ្វើការចងចាំឡើងវិញនៃទ្រឹស្តីបទពីផ្នែកទ្រឹស្តី ដែលចែងថាភាគលាភ a អាចត្រូវបានតំណាងជា b q + r ដែល b ជាផ្នែកចែក q គឺជាចំនួនគត់ខ្លះហៅថា កូតាភាគ។ ហើយ r គឺជាចំនួនគត់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ ហៅថានៅសល់។

ដូច្នេះ សូម​ឱ្យ​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន​មិន​សូន្យ​ពីរ a និង b ស៊េរី​នៃ​សមភាព​គឺ​ពិត

បញ្ចប់នៅពេលដែល r k + 1 = 0 (ដែលជៀសមិនរួច ចាប់តាំងពី b>r 1 > r 2 > r 3 , … គឺជាស៊េរីនៃចំនួនគត់ថយចុះ ហើយស៊េរីនេះមិនអាចមានលើសពីចំនួនកំណត់នៃចំនួនវិជ្ជមានទេ) បន្ទាប់មក r k - គឺជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃ a និង b នោះគឺ r k = gcd(a, b) ។

ភស្តុតាង។

ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថា r k គឺជាអ្នកចែកទូទៅនៃលេខ a និង b បន្ទាប់មកយើងនឹងបង្ហាញថា r k មិនមែនគ្រាន់តែជាការចែកនោះទេ ប៉ុន្តែជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួន a និង b ។

យើងនឹងផ្លាស់ទីតាមសមភាពសរសេរពីបាតទៅកំពូល។ ពីសមភាពចុងក្រោយ យើងអាចនិយាយបានថា r k−1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ។ ដោយសារការពិតនេះ ក៏ដូចជាទ្រព្យសម្បត្តិ GCD ពីមុន សមភាពចុងក្រោយ r k−2 =r k−1 q k + r k អនុញ្ញាតឱ្យយើងអះអាងថា r k−2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ចាប់តាំងពី r k−1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k និង r k ត្រូវបានបែងចែក។ ដោយ r k ។ ដោយភាពស្រដៀងគ្នាពីសមភាពទីបីពីបាតយើងសន្និដ្ឋានថា r k−3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ។ ល​ល។ ពីសមភាពទីពីរយើងទទួលបានថា b ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ហើយពីសមភាពទីមួយយើងទទួលបានថា a ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ។ ដូច្នេះ r k គឺជាការបែងចែកទូទៅនៃ a និង b ។

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា r k = gcd(a, b) ។ សម្រាប់ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថា ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b (យើងកំណត់វាដោយ r 0) បែងចែក r k ។

យើងនឹងផ្លាស់ទីតាមសមភាពដំបូងពីកំពូលទៅបាត។ ដោយគុណធម៌នៃទ្រព្យសម្បត្តិមុន វាធ្វើតាមពីសមភាពទីមួយដែល r 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r 0 ។ បន្ទាប់មកពីសមភាពទីពីរយើងទទួលបានថា r 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r 0 ។ ល​ល។ ពីសមភាពចុងក្រោយយើងទទួលបានថា r k ត្រូវបានបែងចែកដោយ r 0 ។ ដូច្នេះ r k = gcd(a, b) ។

វាធ្វើតាមពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតដែលសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b ស្របគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃការបែងចែកនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនទាំងនេះ។ corollary នេះពីក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅទាំងអស់នៃចំនួនពីរជាការបែងចែក gcd នៃលេខទាំងនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ a និង b ជាចំនួនគត់មិនស្មើនឹងសូន្យនៅពេលតែមួយ បន្ទាប់មកមានចំនួនគត់ u 0 និង v 0 បន្ទាប់មកសមភាព gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 គឺពិត។ សមភាពចុងក្រោយគឺជាតំណាងលីនេអ៊ែរនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ a និង b សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាមាត្រ Bezout ហើយលេខ u 0 និង v 0 គឺជាមេគុណ Bezout ។

ភស្តុតាង។

យោងតាមក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid យើងអាចសរសេរសមភាពដូចខាងក្រោម



ពីសមភាពទីមួយ យើងមាន r 1 = a −b q 1 ហើយតំណាង 1 = s 1 និង −q 1 = t 1 សមភាពនេះយកទម្រង់ r 1 = s 1 a + t 1 b និងលេខ s 1 និង t 1 គឺជាចំនួនគត់។ បន្ទាប់មកពីសមភាពទីពីរយើងទទួលបាន r 2 = b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. កំណត់ −s 1 q 2 =s 2 និង 1−t 1 q 2 = t 2 សមភាពចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរជា r 2 = s 2 a + t 2 b ហើយ s 2 និង t 2 គឺជាចំនួនគត់ (ព្រោះផលបូក ភាពខុសគ្នា និងផលគុណនៃចំនួនគត់ គឺជាចំនួនគត់)។ ដូចគ្នានេះដែរពីសមភាពទីបីយើងទទួលបាន r 3 = s 3 ·a + t 3 ·b ពីទី 4 r 4 = s 4 ·a + t 4 · b ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ទីបំផុត r k = s k·a+t k·b ដែល s k និង t k ជាចំនួនគត់។ ចាប់តាំងពី r k = gcd(a, b) និងការបង្ហាញពី s k = u 0 និង t k = v 0 យើងទទួលបានតំណាងលីនេអ៊ែរនៃ gcd នៃទម្រង់ដែលត្រូវការ៖ gcd(a, b) = a u 0 +b v 0 ។

ប្រសិនបើ m ជាលេខធម្មជាតិ នោះ gcd(m a,m b)=m gcd(a, b).

ហេតុផលសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតគឺដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើយើងគុណនឹង m ទាំងសងខាងនៃសមភាពនីមួយៗនៃក្បួនដោះស្រាយ Euclid យើងទទួលបាន gcd(m a,m b)=m r k ហើយ r k គឺ gcd(a, b) ។ អាស្រ័យហេតុនេះ gcd(m a,m b)=m gcd(a, b).

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនេះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរក GCD ដោយប្រើកត្តាបឋម។

អនុញ្ញាតឱ្យ p ជាការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b បន្ទាប់មក gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b): ទំជាពិសេសប្រសិនបើ p=gcd(a, b) យើងមាន gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1នោះគឺលេខ a: gcd(a, b) និង b: gcd(a, b) គឺជា coprime ។

ចាប់តាំងពី a=p (a:p) និង b=p (b:p) ហើយដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិពីមុន យើងអាចសរសេរខ្សែសង្វាក់នៃភាពស្មើគ្នានៃទម្រង់ gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p,b:p) តើសមភាពដែលត្រូវបង្ហាញដូចខាងក្រោមមកពីណា។

ទ្រព្យសម្បត្តិបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតទើបតែបង្ហាញឱ្យឃើញពីមូលដ្ឋាន។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបញ្ចេញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ GCD ដែលកាត់បន្ថយបញ្ហានៃការស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើន ដើម្បីស្វែងរក GCD នៃចំនួនពីរជាបន្តបន្ទាប់។

ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ a 1 , a 2 , ... , a k គឺស្មើនឹងលេខ d k ដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការគណនាតាមលំដាប់នៃ GCD(a 1 , a 2) = d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4, …, GCD(d k-1, a k)=d k ។

ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើកូរ៉ូឡារីពីក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ។ ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a 1 និង a 2 គឺដូចគ្នាទៅនឹងការបែងចែកនៃ d 2 ។ បន្ទាប់មក ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a 1 , a 2 និង a 3 ស្របគ្នាជាមួយនឹងការបែងចែកទូទៅនៃលេខ d 2 និង a 3 ដូច្នេះពួកវាស្របគ្នាជាមួយនឹងការបែងចែកនៃ d 3 ។ ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a 1 , a 2 , a 3 និង a 4 គឺដូចគ្នាទៅនឹងការបែងចែកទូទៅនៃ d 3 និង a 4 ដូច្នេះដូចគ្នាទៅនឹងការបែងចែកនៃ d 4 ។ ល​ល។ ទីបំផុត ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a 1 , a 2 , … , a k ស្របគ្នាជាមួយនឹងការបែងចែកនៃ d k ។ ហើយចាប់តាំងពីការបែងចែកដ៏ធំបំផុតនៃលេខ d k គឺជាលេខ d k ខ្លួនវាបន្ទាប់មក GCD(a 1, a 2, …, a k) = ឃ k.

នេះបញ្ចប់ការពិនិត្យឡើងវិញនៃលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុត។

គន្ថនិទ្ទេស។

• Vilenkin N.Ya. ល។ គណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី៦៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។
• Vinogradov I.M. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីលេខ។
• លោក Mikhelovich Sh.Kh. ទ្រឹស្តីលេខ។
• Kulikov L.Ya. និងផ្សេងៗទៀត ការប្រមូលបញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីពិជគណិត និងលេខ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សនៃ fiz.-mat ។ ឯកទេសនៃវិទ្យាស្ថានគរុកោសល្យ។