អ័ក្ស x ដែល​មាន​ព្រំដែន ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍​រួម​បញ្ចូល​គ្នា និង​ផ្នែក​បន្ទាត់ x=a\,\!និង x=b\,\!កន្លែងណា មួយ\,\!និង ប\,\!- ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល (សូមមើលរូបភាព) ។

តម្រូវការដើម្បីអនុវត្តការរួមបញ្ចូលលេខច្រើនតែអាចបណ្តាលមកពីអវត្តមាននៃតំណាងនៅក្នុង ហើយដូច្នេះ ភាពមិនអាចទៅរួចនៃការវិភាគលើតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយលើស។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានផងដែរដែលទម្រង់នៃអង្គបដិប្រាណគឺស្មុគ្រស្មាញដូច្នេះវាលឿនក្នុងការគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលជាលេខ។

ករណីមួយវិមាត្រ

គំនិតចម្បងនៃវិធីសាស្រ្តភាគច្រើននៃការរួមបញ្ចូលលេខគឺដើម្បីជំនួសអាំងតេក្រាលដោយសាមញ្ញជាង អាំងតេក្រាលដែលអាចគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួលតាមការវិភាគ។ ក្នុងករណីនេះដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល រូបមន្តនៃទម្រង់

ខ្ញុំ \ ប្រហាក់ប្រហែល \ sum_ (i = 1) ^ (n) w_i \, f (x_i),

កន្លែងណា n\,\!គឺជាចំនួនពិន្ទុដែលតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនា។ ពិន្ទុ x_i\,\!ត្រូវបានគេហៅថាថ្នាំងវិធីសាស្រ្តលេខ w_i\,\!- ទម្ងន់ថ្នាំង។ នៅពេលដែលអាំងតេក្រាលត្រូវបានជំនួសដោយពហុនាមនៃសូន្យ ដឺក្រេទីមួយ និងទីពីរ វិធីសាស្ត្រ និង (ស៊ីមសុន) ត្រូវបានទទួលរៀងគ្នា។ ជាញឹកញាប់រូបមន្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត quadrature ។

វិធីសាស្ត្រចតុកោណ

វិធីសាស្ត្រចតុកោណត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសអាំងតេក្រាលដោយថេរ។ ក្នុងនាមជាថេរ អ្នកអាចយកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចណាមួយនៅលើផ្នែក \left\,\!. តម្លៃមុខងារដែលប្រើជាទូទៅបំផុតគឺនៅចំកណ្តាលផ្នែកមួយ និងនៅចុងបញ្ចប់របស់វា។ ការកែប្រែដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្ត ចតុកោណកែងមធ្យម, ចតុកោណកែងខាងឆ្វេងនិង ចតុកោណកែងស្តាំ. រូបមន្តសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្ត្រនៃចតុកោណគឺ

ខ្ញុំ \ ប្រហែល f (x) (b-a),

កន្លែងណា x=\frac(\left(a+b\right))(2), មួយ\,\!ឬ ប\,\!រៀងៗខ្លួន។

វិធីសាស្រ្ត Trapezoidal

ប្រសិនបើយើងគូរបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកសមាហរណកម្ម យើងទទួលបាន វិធីសាស្រ្ត trapezoidal. ពីការពិចារណាធរណីមាត្រវាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបាន

ខ្ញុំ \\ ប្រហែល \\ frac (f (a) + f (b)) (2) (b-a).

វិធីសាស្រ្តប៉ារ៉ាបូឡា

ដោយប្រើចំណុចបីនៃផ្នែកសមាហរណកម្ម យើងអាចជំនួសអាំងតេក្រាលដោយប៉ារ៉ាបូឡា។ ជាធម្មតា ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងចំណុចកណ្តាលរបស់វាត្រូវបានប្រើជាចំណុចបែបនេះ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់។

ខ្ញុំ \\ ប្រហែល \\ frac (b-a) (6) \\ ឆ្វេង (f (a) + 4f \\ ឆ្វេង (\\ frac (a + b) (2) \\ ស្តាំ) + f (b) \\ ស្តាំ).

ការបង្កើនភាពត្រឹមត្រូវ

ការប៉ាន់ប្រមាណនៃអនុគមន៍ដោយពហុនាមមួយលើចន្លោះពេលទាំងមូលនៃការរួមបញ្ចូល ជាក្បួននាំឱ្យមានកំហុសដ៏ធំមួយក្នុងការប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។

ដើម្បីកាត់បន្ថយកំហុស ផ្នែករួមបញ្ចូលត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែក ហើយវិធីសាស្ត្រជាលេខត្រូវបានប្រើដើម្បីវាយតម្លៃអាំងតេក្រាលលើពួកវានីមួយៗ។

ដោយសារចំនួនភាគថាសមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់ ការប៉ាន់ប្រមាណនៃអាំងតេក្រាលមាននិន្នាការទៅតម្លៃពិតរបស់វាសម្រាប់វិធីសាស្ត្រលេខណាមួយ។

វិធីសាស្រ្តខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យមាននីតិវិធីសាមញ្ញមួយនៃការបន្ថយជំហាន ខណៈពេលដែលនៅជំហាននីមួយៗវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាតម្លៃនៃមុខងារតែនៅថ្នាំងដែលបានបន្ថែមថ្មី។ ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុសក្នុងការគណនាត្រូវបានប្រើ។

វិធីសាស្រ្ត Gauss

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នាខាងលើប្រើចំណុចផ្នែកបន្ទាត់ថេរ (ចុង និងចំណុចកណ្តាល) និងទាប (1, 1 និង 3 រៀងគ្នា)។ ប្រសិនបើយើងអាចជ្រើសរើសចំណុចដែលយើងគណនាតម្លៃមុខងារ f(x)\,\!បន្ទាប់មក វាគឺអាចធ្វើទៅបានជាមួយនឹងចំនួនដូចគ្នានៃការគណនានៃអាំងតេក្រាល ដើម្បីទទួលបានវិធីសាស្រ្តនៃលំដាប់ខ្ពស់នៃភាពត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះសម្រាប់ការគណនាចំនួនពីរ (ដូចនៅក្នុងវិធី trapezoid) នៃតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល អ្នកអាចទទួលបានវិធីសាស្រ្តមួយមិនមែនជាលើកទី 1 ទៀតទេ ប៉ុន្តែនៃលំដាប់ទី 3 នៃភាពត្រឹមត្រូវ៖

ខ្ញុំ \\ ប្រហែល \\ frac (b-a) (2) \\ ឆ្វេង (f ឆ្វេង (\\ frac (a + b) (2) - \\ frac (b-a) (2 \\ sqrt (3)) \\ ស្តាំ) + f ឆ្វេង ( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \\right) \\right).

ជាទូទៅការប្រើប្រាស់ n\,\!ពិន្ទុ អ្នកអាចទទួលបានវិធីសាស្រ្តជាមួយនឹងលំដាប់នៃភាពត្រឹមត្រូវមួយ។ 2n-1\,\!. តម្លៃនៃថ្នាំងនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដោយ n\,\!ចំនុចគឺជាឫសគល់នៃពហុនាម Legendre នៃដឺក្រេ n\,\!.

តម្លៃនៃថ្នាំងនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian និងទម្ងន់របស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសៀវភៅយោងនៃមុខងារពិសេស។ វិធីសាស្រ្តប្រាំចំណុច Gaussian ដែលគេស្គាល់ជាងគេ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss-Kronrod

គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺថាវាមិនមានភាពងាយស្រួល (តាមទស្សនៈនៃការគណនា) ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃតម្លៃដែលទទួលបាននៃអាំងតេក្រាលនោះទេ។ ការប្រើប្រាស់ក្បួនរបស់ Runge តម្រូវឱ្យមានការគណនានៃអាំងតេក្រាលនៅប្រហែលចំនួនដូចគ្នានៃពិន្ទុ ដោយមិនផ្តល់ផលចំណេញណាមួយនៅក្នុងភាពត្រឹមត្រូវ ផ្ទុយទៅនឹងវិធីសាស្ត្រសាមញ្ញ ដែលភាពត្រឹមត្រូវកើនឡើងច្រើនដងជាមួយនឹងភាគថ្មីនីមួយៗ។ Kronrod បានស្នើវិធីសាស្រ្តខាងក្រោមសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។

ខ្ញុំ \ ប្រហាក់ប្រហែល \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

កន្លែងណា x_i\,\!- ថ្នាំងវិធីសាស្រ្ត Gauss ដោយ n\,\!ពិន្ទុ និង 3n+2\,\!ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\!ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបដែលលំដាប់នៃភាពត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្ត្រគឺស្មើនឹង 3n+1\,\!.

បន្ទាប់មក ដើម្បីប៉ាន់ស្មានកំហុស គេអាចប្រើរូបមន្តជាក់ស្តែង

\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^(1.5),

កន្លែងណា I_G\,\!- តម្លៃនៃអាំងតេក្រាល ប៉ាន់ស្មានដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss យោងតាម n\,\!ពិន្ទុ។ បណ្ណាល័យ [

កម្មវិធីរូបមន្តរួមបញ្ចូលលេខ

សេចក្តីផ្តើម

1. វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលលេខ

2. រូបមន្តបួនជ្រុង

3. ការជ្រើសរើសដោយស្វ័យប្រវត្តិនៃជំហាននៃការរួមបញ្ចូល

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

បញ្ជីគន្ថនិទ្ទេស

សេចក្តីផ្តើម

គោលបំណងនៃអរូបីគឺដើម្បីសិក្សានិងការវិភាគប្រៀបធៀបនៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលលេខនៃអនុគមន៍; ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តទាំងនេះក្នុងទម្រង់នៃកម្មវិធីម៉ាស៊ីនជាភាសាកម្រិតខ្ពស់ និងដំណោះស្រាយជាក់ស្តែងនៃបញ្ហារួមបញ្ចូលលេខនៅលើកុំព្យូទ័រ។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាវិស្វកម្ម វាច្រើនតែចាំបាច់ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់នៃទម្រង់

. (1)

ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅចន្លោះពេល [ ក , ខ] ហើយ antiderivative របស់វាអាចត្រូវបានកំណត់តាមរយៈមុខងារដែលគេស្គាល់ បន្ទាប់មកការគណនានៃអាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានអនុវត្តតាមរូបមន្ត Newton-Leibniz៖

.

នៅក្នុងបញ្ហាវិស្វកម្ម វាកម្រអាចទទួលបានតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលក្នុងទម្រង់វិភាគមួយ។ លើសពីនេះទៀតមុខងារ f (x) អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យឧទាហរណ៍ដោយតារាងនៃទិន្នន័យពិសោធន៍។ ដូច្នេះក្នុងការអនុវត្ត ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ វិធីសាស្ត្រពិសេសត្រូវបានប្រើ ដែលផ្អែកលើបរិធាន interpolation ។

គំនិតនៅពីក្រោយវិធីសាស្រ្តទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម។ ជំនួសឱ្យការគណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើរូបមន្ត (1) តម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគណនាជាមុនសិន។ f (x ខ្ញុំ) = y ខ្ញុំនៅថ្នាំងមួយចំនួន x ខ្ញុំ Î[ ក , ខ] បន្ទាប់មក ពហុនាមអន្តរប៉ូលត្រូវបានជ្រើសរើស ទំ (x) ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលទទួលបាន ( x ខ្ញុំ , y ខ្ញុំ) ដែលត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាល (1):

.

នៅពេលអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ រូបមន្តរួមបញ្ចូលលេខយកទម្រង់ទូទៅដូចខាងក្រោមៈ

, (2) - ថ្នាំង interpolation, អាយគឺជាមេគុណមួយចំនួន រ- ពាក្យដែលនៅសល់កំណត់លក្ខណៈនៃកំហុសនៃរូបមន្ត។ ចំណាំថារូបមន្តនៃទម្រង់ (2) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត quadrature ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃការរួមបញ្ចូលលេខគឺដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ចងដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (X) អ័ក្ស abscissa និងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ x = កនិង x = ខ។ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃផ្ទៃនាំទៅដល់ការបដិសេធនៃពាក្យដែលនៅសេសសល់ក្នុងរូបមន្ត quadrature រកំណត់លក្ខណៈនៃកំហុសនៃវិធីសាស្ត្រ ដែលត្រូវបានបន្ថែមដោយកំហុសគណនា។

1. វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលលេខ

នៅក្នុងការស្រាវជ្រាវដែលបានអនុវត្ត វាច្រើនតែចាំបាច់ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីវគ្គសិក្សានៃគណិតវិទ្យាការគណនាវិភាគនៃអាំងតេក្រាលមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់។ ហើយសូម្បីតែនៅក្នុងករណីនៅពេលដែលអាចរកឃើញទម្រង់វិភាគនៃអាំងតេក្រាលនេះ នីតិវិធីគណនាផ្តល់នូវលទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែល ដូច្នេះបញ្ហានៃតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលនេះកើតឡើង។

ខ្លឹមសារនៃការគណនាប្រហាក់ប្រហែលមាននៅក្នុងប្រតិបត្តិការពីរ៖ 1. ក្នុងការជ្រើសរើសលេខកំណត់ជំនួសឱ្យ n; 2. នៅក្នុងការជ្រើសរើសចំណុច

នៅក្នុងផ្នែកដែលត្រូវគ្នា។

អាស្រ័យលើជម្រើស

យើងទទួលបានរូបមន្តផ្សេងៗសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាល៖ រូបមន្តសម្រាប់ចតុកោណកែងឆ្វេង និងស្តាំ (៥), (៦) (5) (6)

រូបមន្ត Trapezium៖

រូបមន្ត Simpson

b, a - ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកដែលបានពិចារណា។

ដើម្បីប្រៀបធៀបលទ្ធផលនៃការគណនាដោយរូបមន្តរួមបញ្ចូលលេខខាងលើ យើងគណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោមជា 3 វិធី ដោយបែងចែកចម្រៀកជា 6 ផ្នែកស្មើៗគ្នា៖ h=

យោងតាមរូបមន្តនៃចតុកោណកែងខាងឆ្វេង៖

យោងតាមរូបមន្ត trapezoid:

យោងតាមរូបមន្តរបស់ Simpson៖

ហើយលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយវិភាគគឺស្មើនឹង

=1

ដូច្នេះហើយ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា វិធីសាស្ត្រជាលេខនៃការធ្វើសមាហរណកម្មដោយយោងតាមរូបមន្ត Simpson គឺត្រឹមត្រូវជាង ប៉ុន្តែត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងករណីទូទៅនៅពេលបែងចែកផ្នែកត្រូវបានបំបែកទៅជាចំនួនគូនៃចន្លោះពេល។

2. រូបមន្តបួនជ្រុង

រូបមន្តចតុកោណគឺជារូបមន្តបួនជ្រុងសាមញ្ញបំផុត។ ចូរយើងបំបែកផ្នែកសមាហរណកម្ម [ ក, ខ] នៅ​លើ ទំប្រវែងផ្នែកស្មើគ្នា

. ចំណាំថាតម្លៃ ម៉ោងត្រូវបានគេហៅថាជាជំហាននៃការរួមបញ្ចូល។ នៅចំណុចបំបែក X 0 = ក ,X 1 = a + h , ..., x n = ខកំណត់ចំណាំ y 0 ,y 1 ,…,y nកោង f (x), i.e. គណនា ខ្ញុំ = f (x ខ្ញុំ), x i = a+ ih = x i -1 + ម៉ោង (ខ្ញុំ =) នៅលើផ្នែកនីមួយៗនៃប្រវែង ម៉ោងសង់ចតុកោណជាមួយភាគី ម៉ោងនិង y ខ្ញុំកន្លែងណា ខ្ញុំ =, i.e. ដោយតម្លៃនៃលំដាប់ដែលបានគណនានៅចុងខាងឆ្វេងនៃផ្នែក។ បន្ទាប់មកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលកំណត់តម្លៃនៃអាំងតេក្រាល (1) អាចត្រូវបានតំណាងប្រមាណជាផលបូកនៃតំបន់នៃចតុកោណកែង (រូបភាពទី 1) ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានរូបមន្តនៃចតុកោណកែង៖
. (3)

ប្រសិនបើនៅពេលគណនាផលបូកអាំងតេក្រាលយើងយកតម្លៃនៃអនុគមន៍ f (x) មិននៅខាងឆ្វេងទេប៉ុន្តែនៅចុងខាងស្តាំនៃផ្នែកនៃប្រវែង ម៉ោងដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 1 ជាមួយបន្ទាត់ចំនុច បន្ទាប់មកយើងទទួលបានកំណែទីពីរនៃរូបមន្តចតុកោណកែង៖

. (4)

វ៉ារ្យ៉ង់ទីបីនៃរូបមន្តចតុកោណអាចទទួលបានដោយប្រើតម្លៃនៃអនុគមន៍ f (x) ត្រូវបានគណនានៅចំកណ្តាលនៃផ្នែកនីមួយៗនៃប្រវែង ម៉ោង(រូបទី 2)៖

. (5)

រូបមន្ត (3), (4) និង (4) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តនៃចតុកោណកែងខាងឆ្វេង ខាងស្តាំ និងកណ្តាលរៀងៗខ្លួន។

រូបមន្ត Simpson ។យើងបែងចែកចន្លោះពេលសមាហរណកម្មជា 2 នប្រវែងផ្នែកស្មើគ្នា

. នៅលើផ្នែកនីមួយៗ [ x ខ្ញុំ , x i+2] រួម f (X) ត្រូវបានជំនួសដោយប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ចំនុច ( x ខ្ញុំ , y ខ្ញុំ), (x ខ្ញុំ +1 , y ខ្ញុំ +1), (x ខ្ញុំ +2 , y ខ្ញុំ+2). បន្ទាប់មកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត Simpson៖ . (7)

នៅពេលគណនាលើកុំព្យូទ័រ រូបមន្តខាងក្រោមគឺងាយស្រួលជាង៖

វិធីសាស្រ្តរបស់ Simpson គឺជាវិធីសាស្រ្តមួយដែលគេស្គាល់ និងប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយបំផុតនៃការរួមបញ្ចូលលេខ វាផ្តល់តម្លៃពិតប្រាកដនៃអាំងតេក្រាលនៅពេលបញ្ចូលពហុនាមរហូតដល់លំដាប់ទីបីរួមបញ្ចូល។

រូបមន្តរបស់ញូតុន។តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលយោងតាមរូបមន្តរបស់ញូតុនត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោមៈ

ដែលចំនួនផ្នែកនៃភាគថាសគឺជាពហុគុណនៃបី ពោលគឺ គឺ 3 ន. នៅពេលបង្កើតកម្មវិធីកុំព្យូទ័រ វាកាន់តែងាយស្រួលប្រើរូបមន្តសមមូល៖

វិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុនផ្តល់តម្លៃពិតប្រាកដនៃអាំងតេក្រាលនៅពេលបញ្ចូលពហុនាមរហូតដល់លំដាប់ទីបួនរួមបញ្ចូល។

3. ការជ្រើសរើសដោយស្វ័យប្រវត្តិនៃជំហាននៃការរួមបញ្ចូល

ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយោងតាមរូបមន្ត (3) - (8) តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានទទួល ដែលអាចខុសគ្នាពីតម្លៃជាក់លាក់មួយដោយតម្លៃជាក់លាក់មួយ ដែលហៅថា កំហុសការរួមបញ្ចូល។ កំហុសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តដែលនៅសល់ រខុសគ្នាសម្រាប់វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលនីមួយៗ។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលដែលមានកំហុសមិនលើសពី e នោះវាចាំបាច់ត្រូវជ្រើសរើសជំហាននៃការរួមបញ្ចូលបែបនេះ។ ម៉ោងដើម្បីបំពេញវិសមភាព រ (ម៉ោង) £អ៊ី។ នៅក្នុងការអនុវត្ត ការជ្រើសរើសតម្លៃដោយស្វ័យប្រវត្តិត្រូវបានប្រើប្រាស់ ម៉ោងដែលធានាដល់ការសម្រេចបាននូវកំហុសដែលបានបញ្ជាក់។ ដំបូងគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។ ខ្ញុំ (ន) បែងចែកចន្លោះពេលសមាហរណកម្មទៅជា ទំផ្នែក បន្ទាប់មកចំនួននៃផ្នែកត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង ហើយអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនា ខ្ញុំ (2ន) ដំណើរការគណនាត្រូវបានបន្តរហូតដល់លក្ខខណ្ឌក្លាយជាការពិត។

ការរួមបញ្ចូលលេខ

សំណួរសំខាន់ៗដែលបានពិភាក្សានៅឯសិក្ខាសាលា៖

2. រូបមន្តបួនជ្រុងរបស់ Newton-Cotes

3. រូបមន្តនៃចតុកោណកែង

4. រូបមន្ត Trapezoidal

5. រូបមន្ត Simpson

6. រូបមន្ត Quadrature នៃ Gauss

7. វិធីសាស្រ្ត Monte Carlo

1. សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីបញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលលេខ

វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ហើយមុខងារអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាំងក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត និងក្នុងទម្រង់តារាង។

រូបមន្តបួនជ្រុង Newton-Cotes

,
កន្លែងណា - មេគុណ Cotes ។
រូបមន្តទាំងនេះផ្តល់នូវតំណាងផ្សេងគ្នាសម្រាប់ចំនួន n ផ្សេងគ្នានៃផ្នែកភាគថាសនៅលើផ្នែករួមបញ្ចូលដូចគ្នា។

រូបមន្តចតុកោណ

អនុញ្ញាតឱ្យវាទាមទារដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាល។
ប្រសិនបើផ្នែកសមាហរណកម្មមានទំហំធំល្មម នោះអ្នកត្រូវបំបែកវាទៅជាផ្នែកតូចៗដែលមានប្រវែងស្មើគ្នា ដែល n ជាចំនួនចម្រៀក ហើយការជំនួស curvilinear trapezoid ជាមួយនឹងចតុកោណកែងលើផ្នែកនីមួយៗ គណនាផ្ទៃដីនៃចតុកោណកែងទាំងនេះ។ បន្ទាប់មកតំបន់លទ្ធផលត្រូវតែត្រូវបានបន្ថែមហើយចំនួននេះនឹងត្រូវបានយកជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បាន។
ចំពោះការសាងសង់ចតុកោណវិញ គេអាចសាងសង់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖ អ្នកអាចគូរកាត់កែងទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយខ្សែកោង f (x) ពីចុងខាងស្តាំនៃផ្នែកនីមួយៗ (រូបភាពទី 1) អ្នកអាច - ពីចុងខាងឆ្វេង។ (រូបទី 2)

អង្ករ។ មួយ។

អង្ករ។ ២

អាស្រ័យលើនេះ រូបមន្តសម្រាប់គណនាមានភាពខុសប្លែកគ្នាខ្លះ ហើយត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តនៃចតុកោណកែង ដែលមានតម្រឹមស្តាំ ឬឆ្វេង រៀងគ្នា៖

(រូបមន្តនៃចតុកោណកែង "ស្តាំ")

(រូបមន្តនៃចតុកោណកែងខាងឆ្វេង)
វាក៏មានរូបមន្តសម្រាប់ចតុកោណកែង "កណ្តាល" ផងដែរ៖ ដែលការសាងសង់ចតុកោណកែងត្រូវបានអនុវត្តតាមរយៈចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែកនីមួយៗនៃភាគថាស៖

· រូបមន្ត Trapezoidal

· រូបមន្ត Simpson

ការជំនួសនៅលើផ្នែកនីមួយៗនៃភាគថាសមួយផ្នែកនៃខ្សែកោង y = f(x)នៅលើខ្សែកោងប៉ារ៉ាបូល ដោយគណនាតំបន់នៃតួលេខលទ្ធផល និងបូកសរុបពួកវា យើងទទួលបានរូបមន្ត Simpson៖

·

· រូបមន្ត Quadrature នៃ Gauss

ជាប្រពៃណី នៅពេលទទួលបានរូបមន្ត quadrature Gaussian នៅក្នុងអាំងតេក្រាលដើម ការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរត្រូវបានអនុវត្ត ដោយបកប្រែអាំងតេក្រាលលើផ្នែកទៅជាអាំងតេក្រាលលើចម្រៀក [-1; មួយ]:

.
បន្ទាប់មក។
យើងនឹងប្រើអន្តរប៉ូលលីនេអ៊ែរនៃអាំងតេក្រាល
ប្រសិនបើជំនួសឱ្យផ្នែក [-1; 1] ដើម្បីយកថ្នាំងផ្លាស់ទី t1, t2 ជាថ្នាំង interpolation បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវជ្រើសរើសតម្លៃទាំងនេះដើម្បីឱ្យផ្ទៃនៃ trapezoid ចងពីខាងលើដោយបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A1 (t1, φ(t1) ។ ) និង A2 (t2, φ(t2)) គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាលនៃពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុតមួយចំនួន។
ដោយសន្មតថានេះជាពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រទីបី យើងគណនា t1, t2 ដែលប្រែទៅជាស្មើ និង , ខុសគ្នាតែនៅក្នុងលេខរៀងនៃតម្លៃប៉ុណ្ណោះ។
លើសពីនេះ ការបំបែកផ្នែកសមាហរណកម្មទៅជាផ្នែក n ដោយអនុវត្តគំនិតដែលបានពិពណ៌នាខាងលើចំពោះពួកគេនីមួយៗ យើងអាចទទួលបានរូបមន្ត Gauss៖

ការរួមបញ្ចូលលេខ

ការរួមបញ្ចូលលេខ(ឈ្មោះប្រវត្តិសាស្ត្រ៖ (លេខ) បួនជ្រុង ) - ការគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ (ជាធម្មតាប្រហាក់ប្រហែល) ។ ការរួមបញ្ចូលលេខត្រូវបានគេយល់ថាជាសំណុំនៃវិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ។

ការរួមបញ្ចូលលេខត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែល៖

ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានផងដែរដែលទម្រង់នៃអង្គបដិប្រាណគឺស្មុគ្រស្មាញដូច្នេះវាលឿនក្នុងការគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលជាលេខ។

ករណីមួយវិមាត្រ

គំនិតចម្បងនៃវិធីសាស្រ្តភាគច្រើននៃការរួមបញ្ចូលលេខគឺដើម្បីជំនួសអាំងតេក្រាលដោយសាមញ្ញជាង អាំងតេក្រាលដែលអាចគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួលតាមការវិភាគ។ ក្នុងករណីនេះដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល រូបមន្តនៃទម្រង់

តើចំនួនចំនុចណាដែលតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនា។ ពិន្ទុត្រូវបានគេហៅថាថ្នាំងនៃវិធីសាស្ត្រ លេខគឺជាទម្ងន់នៃថ្នាំង។ នៅពេលដែលអាំងតេក្រាលត្រូវបានជំនួសដោយពហុនាមនៃសូន្យ ដឺក្រេទីមួយ និងទីពីរ វិធីសាស្ត្រនៃចតុកោណកែង ចតុកោណ និងប៉ារ៉ាបូឡា (ស៊ីមសុន) ត្រូវបានទទួលរៀងគ្នា។ ជាញឹកញាប់រូបមន្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត quadrature ។

ករណីពិសេសមួយគឺជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់បង្កើតរូបមន្ត quadrature អាំងតេក្រាលសម្រាប់ក្រឡាចត្រង្គឯកសណ្ឋាន ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា រូបមន្ត Cotes. វិធីសាស្រ្តត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម Roger Coates ។ គំនិតចម្បងនៃវិធីសាស្រ្តគឺដើម្បីជំនួសអាំងតេក្រាលជាមួយនឹងប្រភេទនៃពហុធា interpolation មួយចំនួន។ បន្ទាប់ពីទទួលយកអាំងតេក្រាលយើងអាចសរសេរបាន។

កន្លែងដែលលេខត្រូវបានហៅ មេគុណ Cotesហើយ​ត្រូវ​បាន​គណនា​ជា​អាំងតេក្រាល​នៃ​ពហុនាម​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​ក្នុង​ពហុនាម​ interpolation ដើម​សម្រាប់​អាំងតេក្រាល​ជាមួយ​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​នៅ​ថ្នាំង (ជា​ជំហាន​ក្រឡាចត្រង្គ; ជា​ចំនួន​ថ្នាំង​ក្រឡាចត្រង្គ ហើយ​សន្ទស្សន៍​ថ្នាំង​គឺ )។ ពាក្យ​ជា​កំហុស​នៃ​វិធីសាស្ត្រ​ដែល​អាច​រក​ឃើញ​តាម​វិធី​ផ្សេងៗ។ សម្រាប់​សេស កំហុស​អាច​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​កំហុស​នៃ​ពហុធា​នៃ​អាំងតេក្រាល​។

ករណីពិសេសនៃរូបមន្ត Cotes គឺ៖ រូបមន្តចតុកោណកែង (n=0) រូបមន្ត trapezoid (n=1) រូបមន្ត Simpson (n=2) រូបមន្តញូតុន (n=3) ។ល។

វិធីសាស្ត្រចតុកោណ

អនុញ្ញាតឱ្យវាទាមទារដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល។ ចម្រៀក​នេះ​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ដោយ​ពិន្ទុ​ជា​ផ្នែក​ស្មើគ្នា​នៃ​ប្រវែង សម្គាល់​ដោយ​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​នៅ​ចំណុច បន្ទាប់​យើង​បង្កើត​ផលបូក​នីមួយៗ​ជា​ផលបូក​អាំងតេក្រាល​សម្រាប់​លើ ហើយ​ដូច្នេះ​ប្រមាណ​ជា​បង្ហាញ​អាំងតេក្រាល

ប្រសិនបើមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមានភាពវិជ្ជមាន និងកើនឡើង នោះរូបមន្តនេះបង្ហាញពីផ្ទៃនៃតួលេខជំហានដែលបង្កើតឡើងដោយចតុកោណកែង "ចូល" ដែលហៅថារូបមន្តនៃចតុកោណកែងខាងឆ្វេង និងរូបមន្ត

បង្ហាញ​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​មាន​ចតុកោណកែង "ចេញ" ដែល​គេ​ហៅ​ផង​ដែរ​ថា​រូបមន្ត​នៃ​ចតុកោណកែង​ស្តាំ។ ប្រវែងនៃផ្នែកដែលផ្នែកត្រូវបានបែងចែកកាន់តែខ្លី តម្លៃដែលគណនាដោយរូបមន្តនៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បាននេះកាន់តែត្រឹមត្រូវ។

ជាក់ស្តែង វាមានតម្លៃពឹងផ្អែកលើភាពត្រឹមត្រូវកាន់តែច្រើន ប្រសិនបើយើងយកចំណុចនៅចំកណ្តាលនៃគម្លាតជាចំណុចយោងសម្រាប់ការស្វែងរកកម្ពស់។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ចតុកោណកែងកណ្តាល៖

ដោយផ្តល់នូវភាពត្រឹមត្រូវច្រើនជាងមុននៃរូបមន្តចុងក្រោយដែលមានបរិមាណដូចគ្នា និងធម្មជាតិនៃការគណនា វាត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តនៃចតុកោណកែង

វិធីសាស្រ្ត Trapezoidal

ប្រសិនបើមុខងារនៅលើផ្នែកនីមួយៗត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់តម្លៃចុងក្រោយ នោះយើងទទួលបានវិធីសាស្ត្រ trapezoid ។

តំបន់នៃ trapezoid នៅលើផ្នែកនីមួយៗ:

កំហុសក្នុងការប៉ាន់ស្មានលើផ្នែកនីមួយៗ៖

កន្លែងណា

រូបមន្តពេញលេញសម្រាប់ trapezoids ក្នុងករណីបែងចែកចន្លោះពេលរួមបញ្ចូលទាំងមូលទៅជាផ្នែកដែលមានប្រវែងដូចគ្នា៖

កន្លែងណា

កំហុសរូបមន្ត Trapezoidal៖

កន្លែងណា

វិធីសាស្ត្រ Parabola (វិធីសាស្ត្ររបស់ Simpson)

ដោយប្រើចំណុចបីនៃផ្នែកសមាហរណកម្ម យើងអាចជំនួសអាំងតេក្រាលដោយប៉ារ៉ាបូឡា។ ជាធម្មតា ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងចំណុចកណ្តាលរបស់វាត្រូវបានប្រើជាចំណុចបែបនេះ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់។

.

ប្រសិនបើយើងបែងចែកចន្លោះពេលសមាហរណកម្មទៅជាផ្នែកស្មើគ្នា នោះយើងមាន

ការបង្កើនភាពត្រឹមត្រូវ

ការប៉ាន់ប្រមាណនៃអនុគមន៍ដោយពហុនាមមួយលើចន្លោះពេលទាំងមូលនៃការរួមបញ្ចូល ជាក្បួននាំឱ្យមានកំហុសដ៏ធំមួយក្នុងការប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។

ដើម្បីកាត់បន្ថយកំហុស ផ្នែករួមបញ្ចូលត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែក ហើយវិធីសាស្ត្រជាលេខត្រូវបានប្រើដើម្បីវាយតម្លៃអាំងតេក្រាលលើពួកវានីមួយៗ។

ដោយសារចំនួនភាគថាសមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់ ការប៉ាន់ប្រមាណនៃអាំងតេក្រាលមាននិន្នាការទៅតម្លៃពិតរបស់វាសម្រាប់មុខងារវិភាគសម្រាប់វិធីសាស្ត្រលេខណាមួយ។

វិធីសាស្រ្តខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យមាននីតិវិធីសាមញ្ញមួយនៃការពាក់កណ្តាលជំហានខណៈពេលដែលនៅជំហាននីមួយៗវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាតម្លៃមុខងារតែនៅថ្នាំងដែលបានបន្ថែមថ្មី។ ដើម្បីប៉ាន់ស្មានកំហុសក្នុងការគណនា ក្បួន Runge ត្រូវបានប្រើ។

វិធីសាស្រ្ត Gauss

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នាខាងលើប្រើចំណុចចម្រៀកថេរ (ចុង និងកណ្តាល) និងមានភាពត្រឹមត្រូវទាប (1 - វិធីសាស្ត្រចតុកោណកែងខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង 2 - វិធីសាស្ត្រចតុកោណកែងកណ្តាល និងចតុកោណកែង 3 - វិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា (ស៊ីមសុន)) ។ ប្រសិនបើយើងអាចជ្រើសរើសចំនុចដែលយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នោះ យើងអាចទទួលបានវិធីសាស្រ្តនៃលំដាប់ភាពត្រឹមត្រូវខ្ពស់ជាមួយនឹងចំនួនដូចគ្នានៃការគណនានៃអាំងតេក្រាលនោះ។ ដូច្នេះសម្រាប់ការគណនាចំនួនពីរ (ដូចនៅក្នុងវិធី trapezoid) នៃតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល អ្នកអាចទទួលបានវិធីសាស្រ្តមួយមិនមែនជាលើកទី 2 ទៀតទេ ប៉ុន្តែនៃលំដាប់ទី 3 នៃភាពត្រឹមត្រូវ៖

.

ជាទូទៅ ការប្រើពិន្ទុ អ្នកអាចទទួលបានវិធីសាស្ត្រដែលមានលំដាប់លំដោយ។ តម្លៃថ្នាំងនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ដោយចំណុចគឺជាឫសគល់នៃពហុនាម Legendre នៃដឺក្រេ។

តម្លៃនៃថ្នាំងនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian និងទម្ងន់របស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសៀវភៅយោងនៃមុខងារពិសេស។ វិធីសាស្រ្តប្រាំចំណុច Gaussian ដែលគេស្គាល់ជាងគេ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss-Kronrod

គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺថាវាមិនមានភាពងាយស្រួល (តាមទស្សនៈនៃការគណនា) ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃតម្លៃដែលទទួលបាននៃអាំងតេក្រាលនោះទេ។ ការប្រើប្រាស់ក្បួនរបស់ Runge តម្រូវឱ្យមានការគណនានៃអាំងតេក្រាលនៅប្រហែលចំនួនដូចគ្នានៃពិន្ទុ ដោយមិនផ្តល់ផលចំណេញណាមួយនៅក្នុងភាពត្រឹមត្រូវ ផ្ទុយទៅនឹងវិធីសាស្ត្រសាមញ្ញ ដែលភាពត្រឹមត្រូវកើនឡើងច្រើនដងជាមួយនឹងភាគថ្មីនីមួយៗ។ Kronrod បានស្នើវិធីសាស្រ្តខាងក្រោមសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។

,

តើថ្នាំងនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss នៅឯណាដោយចំណុច ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ , , ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបដែលលំដាប់នៃភាពត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្ត្រគឺស្មើនឹង .

បន្ទាប់មក ដើម្បីប៉ាន់ស្មានកំហុស អ្នកអាចប្រើរូបមន្តជាក់ស្តែង៖

,

តើតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលដែលទទួលបានដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss លើចំនុចណា។ បណ្ណាល័យ gsl និង SLATEC សម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មានទម្លាប់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss-Kronrod សម្រាប់ 15, 21, 31, 41, 51 និង 61 ពិន្ទុ។ បណ្ណាល័យប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss-Kronrod សម្រាប់ 15 ពិន្ទុ។

វិធីសាស្រ្ត Chebyshev

ការរួមបញ្ចូលនៅក្រោមដែនកំណត់គ្មានកំណត់

ដើម្បីរួមបញ្ចូលលើសពីដែនកំណត់គ្មានកំណត់ អ្នកត្រូវណែនាំក្រឡាចត្រង្គដែលមិនមែនជាឯកសណ្ឋាន ជំហានដែលកើនឡើងនៅពេលអ្នកទៅដល់ភាពគ្មានកំណត់ ឬអ្នកអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរបែបនេះនៅក្នុងអាំងតេក្រាល បន្ទាប់ពីនោះដែនកំណត់នឹងមានកំណត់។ មនុស្សម្នាក់អាចបន្តតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា ប្រសិនបើមុខងារគឺឯកវចនៈនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេលរួមបញ្ចូល

វិធីសាស្រ្ត Monte Carlo

រូបភាពទី 3ការរួមបញ្ចូលជាលេខនៃអនុគមន៍ដោយវិធីសាស្ត្រ Monte Carlo

ដើម្បី​កំណត់​ផ្ទៃ​ក្រោម​ក្រាហ្វិក​មុខងារ អ្នក​អាច​ប្រើ​ក្បួន​ដោះស្រាយ stochastic ខាងក្រោម៖

សម្រាប់វិមាត្រមួយចំនួនតូចនៃមុខងាររួមបញ្ចូលគ្នា ការអនុវត្តនៃការរួមបញ្ចូល Monte Carlo គឺទាបជាងការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រកំណត់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយក្នុងករណីខ្លះនៅពេលដែលមុខងារត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោលប៉ុន្តែវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តំបន់ដែលបានបញ្ជាក់ក្នុងទម្រង់នៃវិសមភាពស្មុគស្មាញនោះវិធីសាស្ត្រ stochastic ប្រហែលជាចូលចិត្តជាង។

វិធីសាស្រ្ត Runge-Kutta

វិធីសាស្រ្ត spline

ករណីចម្រុះ

ក្នុង​ទំហំ​តូច គេ​ក៏​អាច​អនុវត្ត​រូបមន្ត​រាង​បួន​ជ្រុង​ដោយ​ផ្អែក​លើ​ពហុនាម​អន្តរប៉ូល​ផងដែរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងវិមាត្រខ្ពស់ វិធីសាស្ត្រទាំងនេះមិនអាចទទួលយកបានទេ ដោយសារការកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័សនៃចំនួនចំណុចក្រឡាចត្រង្គ និង/ឬព្រំដែនស្មុគស្មាញនៃតំបន់។ ក្នុងករណីនេះវិធីសាស្ត្រ Monte Carlo ត្រូវបានអនុវត្ត។ ពិន្ទុចៃដន្យត្រូវបានបង្កើតនៅក្នុងតំបន់របស់យើងហើយតម្លៃមុខងារនៅក្នុងពួកវាគឺជាមធ្យម។ អ្នកក៏អាចប្រើវិធីសាស្រ្តចម្រុះផងដែរ - បែងចែកតំបន់ទៅជាផ្នែកជាច្រើន ដែលក្នុងផ្នែកនីមួយៗ (ឬតែនៅក្នុងផ្នែកដែលអាំងតេក្រាលមិនអាចគណនាបានដោយសារព្រំដែនស្មុគស្មាញ) អនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Monte Carlo ។

អក្សរសាស្ត្រ

1. Kahaner D., Moler K., Nash S.វិធីសាស្រ្តលេខ និងកម្មវិធី (បកប្រែពីភាសាអង់គ្លេស)។ M.: Mir, 2001, 575 ទំ។