Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых. Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Навигация по странице.

Параллельные прямые – основные сведения.

Определение.

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Определение.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать а b .

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b , а также, что прямая b параллельна прямой a .

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых.

Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых . В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы . Покажем их на чертеже.

Теорема.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7 -9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Теорема.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Теорема.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Теорема.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Теорема.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Начнем с условия параллельности двух прямых на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy . В основе его доказательства лежит определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Очевидно, условие параллельности двух прямых на плоскости сводится к (направляющих векторов прямых или нормальных векторов прямых) или к (направляющего вектора одной прямой и нормального вектора второй прямой). Таким образом, если и - направляющие векторы прямых a и b , а и - нормальные векторы прямых a и b соответственно, то необходимое и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется как , или , или , где t - некоторое действительное число. В свою очередь координаты направляющих и (или) нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых.

В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой вида , а прямую b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется как .

Если прямой a соответствует уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямой b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности этих прямых примет вид . Следовательно, если прямые на плоскости в прямоугольной системе координат параллельны и могут быть заданы уравнениями прямых с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты прямых будут равны. И обратно: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат могут быть заданы уравнениями прямой с равными угловыми коэффициентами, то такие прямые параллельны.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида и , или параметрические уравнения прямой на плоскости вида и соответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности прямых a и b записывается как .

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Параллельны ли прямые и ?

Решение.

Перепишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения прямой: . Теперь видно, что - нормальный вектор прямой , а - нормальный вектор прямой . Эти векторы не коллинеарны, так как не существует такого действительного числа t , для которого верно равенство (). Следовательно, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, поэтому, заданные прямые не параллельны.

Ответ:

Нет, прямые не параллельны.

Пример.

Являются ли прямые и параллельными?

Решение.

Приведем каноническое уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом: . Очевидно, что уравнения прямых и не одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

Ответ оставил Гуру

1)Первое основное свойство плоскости
Свойство 1.

Через любые две точки плоскости можно провести прямую линию и притом только одну.

Прямую, проходящую через точки А и В, мы будем называть прямой АВ.
Как видите, обозначение АВ используется в четырех случаях: оно может обозначать и отрезок, и длину отрезка, и луч, и прямую. Но никакой путаницы в наши рассуждения это не внесет, просто в каждом случае будем указывать, о чем идет речь.

Расстояние на плоскости между двумя точками А и В равно длине отрезка АВ. Кратчайший путь из А в В - это путь по прямой, соединяющей эти точки.

На самом деле первое свойство не является чисто планиметрическим фактом. Оно справедливо и для пространства.
Второе основное свойство плоскости
Свойство 2.

Любая прямая плоскости делит эту плоскость на две части - две полуплоскости.

Что означает это свойство?

Пусть в плоскости проведена некоторая прямая, которую мы обозначим буквой а. Любая точка А, не лежащая на этой прямой, находится в одной из двух образовавшихся полуплоскостей. При этом, если точки А и В расположены в разных полуплоскостях, то отрезок АВ пересекает а. Если же точки А и B находятся в одной полуплоскости, то отрезок АВ не пересекает а.

Это же можно выразить несколько иначе.

Две точки плоскости A и B, не лежащие на прямой a этой плоскости, располагаются в разных или в одной полуплоскости относительно прямой а в зависимости от того, будет ли отрезок AВ пересекаться с прямой а или нет.
Третье основное свойство плоскости
Свойство 3.

Любая прямая плоскости является осью симметрии плоскости.
Что это означает?

Как мы знаем, прямая - это линия пересечения двух плоскостей.
Отсюда следует, что при перегибании листа бумаги, представляющего собой модель плоскости, образуется прямая линия.
Это станет яснее, если немного развести части листа, получившиеся при его перегибании. Тогда мы увидим, что линия сгиба - это линия пересечения двух плоскостей.

2)Пересекающиеся прямые - этопрямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку, которуюназывают точкой пересеченияпрямых. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначают знаком перпендикулярности «?».

3)Отрезок - множество точек на прямой, расположенных между двумя точками А и В, включая сами точки А и В.Отрезок прямой, соединяющий две точки А и В (которые называютсяконцами отрезка), обозначается следующим образом - А; В в квадратных скобках. Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезокАВ» .

4)из любых двух точек, принадлежащих одному из этих подмножеств, одна лежит между другой точкой и O. Каждое из этих множеств, называетсяоткрытым лучом с началом в O.

5)Первое свойство: Длина отрезка выражается положительным числом.
Второе свойство: равные отрезки имеют равные длины.
Третье свойство: когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

6)Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину, то есть в одинаковых единицах измерения их длины выражаютсяравными числами

7)Расстоянием между точками называется длина отрезка, заключенного между этими точками.

8)Середина отрезка-это точка, которая делит данный отрезок на две равные части.

9)Если лучом называется полупрямая или часть прямой, выходящий из одной точки (начала луча) в одну сторону, то дополнительный луч - это соседний луч, выходящий из той же точки в другую сторону и лежащий на той же прямой.

10)У? гол - геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делитсяуглом на две области

11)Равные углы - это углы, которые имеют одинаковый угол, одинаковое количество градусов, то есть равны. Развернутый угол - это угол, имеющий стороны, составляющие прямую. Прямым углом, называется угол, имеющий ровно 90 градусов.

12)Биссектриса угла треугольника - это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Любая из трех биссектрисс внутренних углов треугольника называетсябиссектрисой треугольника.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются Параллельность прямых обозначается знаком Пусть a и b – две прямые и c – пересекающая их третья прямая, называемая секущей. Обозначим углы, образованные этими прямыми, цифрами 1,..., 8, как показано на рисунке. они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если прямые a и b параллельны, то пишут ||. a || b. сответственными; углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими; углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними.

Теорема 1 Теорема. (Признак параллельности двух прямых.) Если при пересечении двух прямых третьей прямой, внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны. Следствие 1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. Следствие 2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180 o, то эти две прямые параллельны. Следствие 3. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

Аксиома параллельных Следствие 1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. Следствие 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы составляют в сумме 180 о. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. Аксиома параллельных. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Вопрос 1

Признаки:

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые

параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые

параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°,

то прямые параллельны.

Докажем третий признак.

Билет 2

Вопрос 1

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теоремы об углах образованных при пересечении:

1. если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Докажем вторую теорему: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы:

1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и

2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Параллельные прямые Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Параллельность прямых обозначается знаком ||. Если прямые a и b параллельны, то пишут a || b. Пусть a и b – две прямые и c – пересекающая их третья прямая, называемая секущей. Обозначим углы, образованные этими прямыми, цифрами 1, . . . , 8, как показано на рисунке. Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются сответственными; углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими; углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними.

Теорема 1 Теорема. (Признак параллельности двух прямых.) Если при пересечении двух прямых третьей прямой, внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны. Следствие 1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. Следствие 2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180 o, то эти две прямые параллельны. Следствие 3. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

Аксиома параллельных. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. Следствие 1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. Следствие 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние одностронние углы составляют в сумме 180 о.

История параллельных Вопрос о количестве прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой, имеет давнюю и интересную историю. Среди аксиом в "Началах" Евклида пятый по счету постулат по своему содержанию совпадает с аксиомой параллельности: "Через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной этой прямой". На протяжении двух тысячелетий после Евклида математики пытались доказать этот постулат, однако все их попытки заканчивались неудачей, рано или поздно в их рассуждениях обнаруживались ошибки. Лишь в 1826 году великий русский геометр Н. И. Лобачевский (1792 -1856), профессор Казанского университета, предположил, что этот постулат нельзя логически вывести из других постулатов (аксиом) Евклида, т. е. нельзя доказать. Поэтому его можно взять или в качестве аксиомы, или в качестве аксиомы может быть взято другое свойство о существовании нескольких прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой. Положив в основу геометрии эту новую аксиому параллельности, Лобачевский создал совершенно новую – неевклидову геометрию, которая была названа геометрией Лобачевского.

Н. И. Лобачевский Идеи Лобачевского были настолько оригинальны и настолько противоречили так называемому здравому смыслу, что их не поняли даже крупные математики того времени. Несмотря на это, Лобачевский не отказался от своих идей. Он не только был убежден в логической непротиворечивости новой геометрии, но и твердо верил в ее применимость к исследованию реального пространства. Признание геометрии Лобачевского пришло только после его смерти. Работы Лобачевского были переведены на другие языки и изучались математиками всего мира. В настоящее время геометрия Лобачевского является неотъемлемой частью современной математики и находит применение во многих областях человеческого знания, способствует более глубокому пониманию окружающего нас мира.

Вопрос 1 Как могут располагаться на плоскости две прямые относительно друга? Ответ: Две прямые на плоскости могут иметь одну общую точку или не иметь общих точек.

Вопрос 2 Какие прямые называются параллельными? Ответ: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т. е. не имеют общих точек.

Вопрос 3 Какая прямая называется секущей двух данных прямых? Ответ: Секущей называется прямая, пересекающая две данные прямые.

Вопрос 4 Назовите соответственные углы. Ответ: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Вопрос 7 Сформулируйте признак параллельности двух прямых. Ответ: Если при пересечении двух прямых третьей прямой, внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Вопрос 8 Сформулируйте аксиому параллельных. Ответ: Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Вопрос 9 Как связаны между собой внутренние накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: Равны.

Вопрос 10 Как связаны между собой соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: Равны.

Вопрос 11 Как связаны между собой внутренние односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: Составляют в сумме 180 о.

Вопрос 12 Лучи АВ и CD не имеют общих точек. Следует ли из этого, что они параллельны? Ответ: Нет.

Упражнение 5 Укажите пары параллельных прямых. Ответ: a и f, b и e, c и g, d и h, p и q.

Упражнение 7 При пересечении двух прямых третьей образуется 8 углов. Сколько из них может оказаться тупых? Ответ: 0, 2 или 4.

Упражнение 8 Могут ли оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей быть тупыми? Ответ: Да.

Упражнение 9 Могут ли быть равны внутренние односторонние углы при пересечении двух прямых третьей? Ответ: Да.

Упражнение 10 Могут ли все углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, быть равными между собой? Ответ: Да.

Упражнение 11 Сумма внутренних накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равна 70 о. Чему равен каждый из углов? Ответ: 35 о.

Упражнение 12 Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, втрое больше одного из остальных. Найдите все углы. Ответ: 135 о, 45 о.

Упражнение 13 Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) один из углов равен 150 о; б) один из углов на 70 о больше другого. Ответ: а) 150 о, 30 о; б) 55 о, 125 о.

Упражнение 14 Разность двух внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна 30 о. Найдите эти углы. Ответ: 75 о, 105 о.

Упражнение 15 Угол АВС равен 80 о, а угол BCD равен 120 о. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Ответ: Нет.

Упражнение 16 В треугольнике АВС A = 40 о, B = 70 о. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС - биссектриса угла АВD. Будут ли прямые АС и BD параллельными? Ответ: Да.

Упражнение 17 Противоположные стороны четырехугольника АВСD попарно параллельны. Найдите величины углов этого четырехугольника, если A = 30 о. Ответ: B = 150 o, C = 30 o, D = 150 o.

Упражнение 19 Проведите луч CD, для которого сумма углов ABC и BCD равна 180 о. Ответ.