Количество расстояния между 7 точками. Расстояние от точки до точки, формулы, примеры, решения

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

1. Метод координат: числовая прямая, координаты на прямой; прямоугольная (декартовая) система координат на плоскости; полярные координаты.

Рассмотрим какую–нибудь прямую. Выберем на ней направление (тогда она станет осью) и некоторую точку 0 (начало координат). Прямая с выбранным направлением и началом координат называется координатной прямой (при этом считаем, что единица масштаба выбрана).

Пусть М – произвольная точка на координатной прямой. Поставим в соответствии точке М вещественное число x , равное величине ОМ отрезка : x=ОМ. Число x называется координатой точки М .

Таким образом, каждой точке координатной прямой соответствует определенное вещественное число – ее координата. Справедливо и обратное, каждому вещественному числу x соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно такая точка М , координата которой равна x. Такое соответствие называется взаимно однозначным.

Итак, вещественные числа можно изображать точками координатной прямой, т.е. координатная прямая служит изображением множества всех вещественных чисел. Поэтому множество всех вещественных чисел называют числовой прямой , а любое число – точкой этой прямой. Около точки на числовой прямой часто указывают число – ее координату.

Прямоугольная (или декартовая) система координат на плоскости.

Две взаимно перпендикулярные оси О x и О y , имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартовую) систему координат на плоскости.

Ось ОХ называется осью абсцисс, ось ОY – осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси ОХ и ОY , называется координатной плоскостью и обозначается О xy .

Итак, прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применить алгебраические методы. Оси координат разбивают плоскость на 4 части их называют четвертями , квадратными или координатными углами .

Полярные координаты.

Полярная система координат состоит из некоторой точки О , называемой полюсом , и исходящего из нее луча ОЕ , называемого полярной осью. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков. Пусть задана полярная система координат и пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим через Р – расстояние точки М от точки О , а через φ – угол, на который луч повернуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом ОМ .

Полярными координатами точки М называют числа Р и φ . Число Р считают первой координатой и называют полярным радиусом , число φ – второй координатой и называют полярным углом .

Точка М с полярными координатами Р и φ обозначаются так: М( ;φ). Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.
При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть точка М имеет прямоугольные координаты X и Y и полярные координаты Р и φ .

(1)

Доказательство.

Опусти из точек М 1 и М 2 перпендикуляры М 1 В и М 1 А, . так как (x 2 ; y 2) . По теореме, если М 1 (х 1) и М 2 (х 2) – любые две точки и α– расстояние между ними, то α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

Здравствуйте,

Используется PHP:

С уважением, Александр.

Здравствуйте,

Уже достаточное время мучаюсь с проблемой: пытаюсь рассчитать расстояние между двумя произвольными точками, которые находятся на удалении от 30 до 1500 метров друг от друга.

Используется PHP:

$cx=31.319738; //координата x первой точки
$cy=60.901638; //координата y первой точки
$x=31.333312; //координата x второй точки
$y=60.933981; //координата y второй точки
$mx=abs($cx-$x); //высчитываем разницу иксов (первый катет прямоугольного треугольника), функция abs(x) - возвращает модуль числаx x
$my=abs($cy-$y); //высчитываем разницу игреков (второй катет прямоугольного треугольника)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Получаем расстояние до метро (длину гипотенузы по правилу гипотенуза равна корню из суммы квадратов катетов)

Если непонятно, поясняю: я представляю, что расстояние между двумя точками - это гипотенуза прямоугольного треугольника. Тогда разница между иксами каждой из двух точек будет одним из катетов, а другим катетом будет разница игреков этих же двух точек. Тогда, посчитав разницы иксов и игреков, можно по формуле вычислить длину гипотенузы (т.е. расстояние между двумя точками).

Я знаю, что это правило хорошо работает для декартовой системы координат, однако, оно должно более-менее работать и через координаты longlat, т.к. измеряемое расстояние между двумя точками пренебрежимо мало (от 30 до 1500 метров).

Однако, расстояние по данному алгоритму вычисляется неверно (например, расстояние1, расчитанное по этому алгоритму, превышает расстояние2 всего на 13%, тогда как в реальности расстояние1 равно 1450 метров, я расстояние2 равно 970 метров, то есть на самом делие разница достигает почти 50%).