Šajā lapā jūs atradīsiet:

1. Faktiski antiatvasinājumu tabula - to var lejupielādēt PDF formātā un izdrukāt;

2. Video par šīs tabulas lietošanu;

3. Piemēri antiatvasinājuma aprēķināšanai no dažādām mācību grāmatām un testiem.

Pašā videoklipā mēs analizēsim daudzas problēmas, kurās jums jāaprēķina funkciju antiatvasinājumi, bieži vien ir diezgan sarežģītas, bet pats galvenais, tās nav jaudas funkcijas. Visas funkcijas, kas apkopotas iepriekš piedāvātajā tabulā, ir jāzina no galvas, tāpat kā atvasinājumi. Bez tiem nav iespējama tālāka integrāļu izpēte un to pielietošana praktisku problēmu risināšanā.

Šodien mēs turpinām pētīt primitīvus un pāriet uz nedaudz sarežģītāku tēmu. Ja pagājušajā reizē apskatījām tikai jaudas funkciju antiatvasinājumus un nedaudz sarežģītākas konstrukcijas, tad šodien aplūkosim trigonometriju un daudz ko citu.

Kā jau teicu pēdējā nodarbībā, pretatvasinājumi, atšķirībā no atvasinājumiem, nekad netiek atrisināti “uzreiz”, izmantojot kādus standarta noteikumus. Turklāt sliktā ziņa ir tā, ka atšķirībā no atvasinājuma antiderivatīvu var vispār neņemt vērā. Ja mēs uzrakstām pilnīgi nejaušu funkciju un mēģināsim atrast tās atvasinājumu, tad ar ļoti lielu varbūtību mums tas izdosies, bet antiatvasinājums šajā gadījumā gandrīz nekad netiks aprēķināts. Bet ir labas ziņas: ir diezgan liela funkciju klase, ko sauc par elementārfunkcijām, kuru antiatvasinājumus ir ļoti viegli aprēķināt. Un visas pārējās sarežģītākās struktūras, kas tiek dotas visu veidu kontroldarbos, neatkarīgos testos un eksāmenos, faktiski sastāv no šīm elementārajām funkcijām, izmantojot saskaitīšanu, atņemšanu un citas vienkāršas darbības. Šādu funkciju prototipi jau sen ir aprēķināti un apkopoti īpašās tabulās. Tieši ar šīm funkcijām un tabulām mēs šodien strādāsim.

Bet sāksim, kā vienmēr, ar atkārtojumu: atcerēsimies, kas ir antiatvasinājums, kāpēc to ir bezgala daudz un kā noteikt to kopējo izskatu. Lai to izdarītu, es paņēmu divas vienkāršas problēmas.

Vienkāršu piemēru risināšana

1. piemērs

Uzreiz atzīmēsim, ka $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ un vispār $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ mums uzreiz dod mājienu, ka nepieciešamais funkcijas antiatvasinājums ir saistīts ar trigonometriju. Un patiešām, ja mēs skatāmies uz tabulu, mēs atklāsim, ka $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ir nekas vairāk kā $\text(arctg)x$. Tātad pierakstīsim to:

Lai atrastu, jums ir jāpieraksta:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Piemērs Nr.2

Šeit mēs runājam arī par trigonometriskām funkcijām. Ja mēs paskatāmies uz tabulu, tad patiešām notiek šādi:

No visa antiatvasinājumu komplekta jāatrod tas, kas iet caur norādīto punktu:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Beidzot pierakstīsim:

Tas ir tik vienkārši. Vienīgā problēma ir tā, ka, lai aprēķinātu vienkāršu funkciju antiatvasinājumus, ir jāapgūst antiatvasinājumu tabula. Tomēr, izpētot atvasinājumu tabulu, es domāju, ka tā nebūs problēma.

Problēmu risināšana, kas satur eksponenciālu funkciju

Lai sāktu, uzrakstīsim šādas formulas:

\[((e)^(x))\uz ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\uz \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Apskatīsim, kā tas viss darbojas praksē.

1. piemērs

Ja skatāmies uz iekavu saturu, tad pamanīsim, ka antiatvasinājumu tabulā nav tādas izteiksmes, lai $((e)^(x))$ būtu kvadrātā, tāpēc šis kvadrāts ir jāpaplašina. Lai to izdarītu, mēs izmantojam saīsinātās reizināšanas formulas:

Atradīsim antiatvasinājumu katram terminam:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\uz \frac(((\left(((e)^) (2)) \labais))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\uz \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \pa labi))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Tagad apkoposim visus terminus vienā izteiksmē un iegūstam vispārējo antiatvasinājumu:

Piemērs Nr.2

Šoreiz pakāpe ir lielāka, tāpēc saīsinātā reizināšanas formula būs diezgan sarežģīta. Tātad, atvērsim iekavas:

Tagad mēģināsim ņemt mūsu formulas antiatvasinājumu no šīs konstrukcijas:

Kā redzat, eksponenciālās funkcijas antiatvasinājumos nav nekā sarežģīta vai pārdabiska. Tie visi ir aprēķināti, izmantojot tabulas, taču vērīgi studenti droši vien ievēros, ka antiatvasinājums $((e)^(2x))$ ir daudz tuvāks vienkārši $((e)^(x))$ nekā $((a). )^(x ))$. Tātad, varbūt ir kāds īpašs noteikums, kas ļauj, zinot antiatvasinājumu $((e)^(x))$, atrast $((e)^(2x))$? Jā, šāds noteikums pastāv. Un turklāt tā ir neatņemama sastāvdaļa darbā ar antiderivatīvu tabulu. Tagad mēs to analizēsim, izmantojot tās pašas izteiksmes, ar kurām mēs tikko strādājām kā piemēru.

Noteikumi darbam ar antiatvasinājumu tabulu

Vēlreiz uzrakstīsim savu funkciju:

Iepriekšējā gadījumā, lai atrisinātu, mēs izmantojām šādu formulu:

\[((a)^(x))\uz \frac(((a)^(x)))(\operatora nosaukums(lna))\]

Bet tagad darīsim to nedaudz savādāk: atcerēsimies, uz kāda pamata $((e)^(x))\uz ((e)^(x))$. Kā jau teicu, jo atvasinājums $((e)^(x))$ nav nekas vairāk kā $((e)^(x))$, tāpēc tā antiatvasinājums būs vienāds ar to pašu $((e) ^ (x)) $. Bet problēma ir tā, ka mums ir $((e)^(2x))$ un $((e)^(-2x))$. Tagad mēģināsim atrast $((e)^(2x))$ atvasinājumu:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Pārrakstīsim mūsu konstrukciju vēlreiz:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Tas nozīmē, ka, atrodot antiatvasinājumu $((e)^(2x))$, mēs iegūstam sekojošo:

\[((e)^(2x))\uz \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Kā redzat, mēs saņēmām tādu pašu rezultātu kā iepriekš, taču mēs neizmantojām formulu, lai atrastu $((a)^(x))$. Tagad tas var šķist muļķīgi: kāpēc sarežģīt aprēķinus, ja ir standarta formula? Tomēr nedaudz sarežģītākos izteicienos jūs atklāsit, ka šis paņēmiens ir ļoti efektīvs, t.i. izmantojot atvasinājumus, lai atrastu antiatvasinājumus.

Kā iesildīšanās, līdzīgā veidā atrodam $((e)^(2x))$ antiatvasinājumu:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Aprēķinot, mūsu konstrukcija tiks rakstīta šādi:

\[((e)^(-2x))\uz -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\uz -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Mēs saņēmām tieši tādu pašu rezultātu, bet izvēlējāmies citu ceļu. Tieši šis ceļš, kas mums šobrīd šķiet nedaudz sarežģītāks, nākotnē izrādīsies efektīvāks sarežģītāku antiatvasinājumu aprēķināšanai un tabulu izmantošanai.

Piezīme! Tas ir ļoti svarīgs punkts: antiderivatīvus, tāpat kā atvasinājumus, var uzskaitīt dažādos veidos. Tomēr, ja visi aprēķini un aprēķini ir vienādi, tad atbilde būs vienāda. Mēs to tikko redzējām ar $((e)^(-2x))$ piemēru - no vienas puses, mēs aprēķinājām šo antiatvasinājumu “tieši cauri”, izmantojot definīciju un aprēķinot to, izmantojot transformācijas, no otras puses, atcerējāmies, ka $ ((e)^(-2x))$ var attēlot kā $((\left(((e)^(-2)) \right)))^(x))$ un tikai tad izmantojām funkcijas $((a)^(x))$ antiatvasinājums. Tomēr pēc visām pārvērtībām rezultāts bija tāds pats, kā gaidīts.

Un tagad, kad mēs to visu saprotam, ir pienācis laiks pāriet pie kaut kā nozīmīgāka. Tagad mēs analizēsim divas vienkāršas konstrukcijas, taču tehnika, kas tiks izmantota to risināšanā, ir jaudīgāks un noderīgāks rīks nekā vienkārši “skraidīšana” starp blakus esošajiem antiatvasinājumiem no tabulas.

Problēmu risināšana: funkcijas antiatvasinājuma atrašana

1. piemērs

Skaitītājos norādīto summu sadalīsim trīs atsevišķās daļās:

Šī ir diezgan dabiska un saprotama pāreja – lielākajai daļai skolēnu ar to nav problēmu. Pārrakstīsim savu izteiksmi šādi:

Tagad atcerēsimies šo formulu:

Mūsu gadījumā mēs iegūsim sekojošo:

Lai atbrīvotos no visām šīm trīsstāvu daļām, iesaku rīkoties šādi:

Piemērs Nr.2

Atšķirībā no iepriekšējās daļas, saucējs nav reizinājums, bet gan summa. Šajā gadījumā mēs vairs nevaram sadalīt savu daļu vairāku vienkāršu daļskaitļu summā, bet mums kaut kā jāmēģina pārliecināties, ka skaitītājs satur aptuveni tādu pašu izteiksmi kā saucējs. Šajā gadījumā to izdarīt ir pavisam vienkārši:

Šis apzīmējums, ko matemātiskā valodā sauc par “nulles pievienošanu”, ļaus mums vēlreiz sadalīt daļskaitli divās daļās:

Tagad atradīsim to, ko meklējām:

Tie ir visi aprēķini. Neskatoties uz šķietamo sarežģītību nekā iepriekšējā uzdevumā, aprēķinu apjoms izrādījās vēl mazāks.

Risinājuma nianses

Un tieši šeit slēpjas galvenās grūtības strādāt ar tabulu antiatvasinājumiem, tas ir īpaši pamanāms otrajā uzdevumā. Fakts ir tāds, ka, lai atlasītu dažus elementus, kurus var viegli aprēķināt, izmantojot tabulu, mums ir jāzina, ko tieši mēs meklējam, un tieši šo elementu meklējumos sastāv viss antiatvasinājumu aprēķins.

Citiem vārdiem sakot, nepietiek tikai iegaumēt antiatvasinājumu tabulu - jums ir jāspēj redzēt kaut ko, kas vēl neeksistē, bet gan to, ko domāja šīs problēmas autors un sastādītājs. Tāpēc daudzi matemātiķi, skolotāji un profesori pastāvīgi strīdas: "Kas ir antiatvasinājumu ņemšana vai integrācija - vai tas ir tikai instruments vai arī tā ir īsta māksla?" Patiesībā, manuprāt, integrācija nemaz nav māksla - tajā nav nekā cildena, tā ir tikai prakse un vairāk prakse. Un, lai praktizētu, atrisināsim trīs nopietnākus piemērus.

Mēs apmācām integrāciju praksē

Uzdevums Nr.1

Uzrakstīsim šādas formulas:

\[((x)^(n))\uz \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\uz \text(arctg)x\]

Uzrakstīsim sekojošo:

Problēma Nr.2

Pārrakstīsim to šādi:

Kopējais antiderivatīvs būs vienāds ar:

Problēma Nr.3

Šī uzdevuma sarežģītība ir tāda, ka atšķirībā no iepriekš minētajām funkcijām mainīgā $x$ vispār nav, t.i. mums nav skaidrs, ko pievienot vai atņemt, lai iegūtu vismaz kaut ko līdzīgu tam, kas ir zemāk. Tomēr patiesībā šī izteiksme tiek uzskatīta par pat vienkāršāku nekā jebkura no iepriekšējām izteiksmēm, jo ​​šo funkciju var pārrakstīt šādi:

Tagad jūs varat jautāt: kāpēc šīs funkcijas ir vienādas? Pārbaudīsim:

Pārrakstīsim vēlreiz:

Nedaudz pārveidosim savu izteiksmi:

Un, kad es to visu skaidroju saviem studentiem, gandrīz vienmēr rodas viena un tā pati problēma: ar pirmo funkciju viss ir vairāk vai mazāk skaidrs, ar otro var arī izdomāt ar veiksmi vai praksi, bet kāda veida alternatīva apziņa jums nepieciešams, lai atrisinātu trešo piemēru? Patiesībā, nebaidieties. Paņēmienu, ko izmantojām, aprēķinot pēdējo antiatvasinājumu, sauc par “funkcijas sadalīšanu vienkāršākajā”, un tas ir ļoti nopietns paņēmiens, un tam tiks veltīta atsevišķa video nodarbība.

Tikmēr es ierosinu atgriezties pie tā, ko tikko pētījām, proti, pie eksponenciālajām funkcijām un nedaudz sarežģīt problēmas ar to saturu.

Sarežģītākas problēmas antiderivatīvu eksponenciālo funkciju risināšanai

Uzdevums Nr.1

Atzīmēsim sekojošo:

\[((2)^(x))\cpunkts ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Lai atrastu šīs izteiksmes antiatvasinājumu, vienkārši izmantojiet standarta formulu - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Mūsu gadījumā antiatvasinājums būs šāds:

Protams, salīdzinot ar tikko atrisināto dizainu, šis izskatās vienkāršāks.

Problēma Nr.2

Atkal ir viegli saprast, ka šo funkciju var viegli sadalīt divos atsevišķos terminos — divās atsevišķās daļās. Pārrakstīsim:

Atliek atrast katra no šiem terminiem antiatvasinājumu, izmantojot iepriekš aprakstīto formulu:

Neskatoties uz šķietamo eksponenciālo funkciju sarežģītību salīdzinājumā ar jaudas funkcijām, kopējais aprēķinu un aprēķinu apjoms izrādījās daudz vienkāršāks.

Protams, zinošiem studentiem tikko apspriestais (it īpaši uz iepriekš apspriestā fona) var šķist elementāri izteicieni. Tomēr, izvēloties šīs divas problēmas šodienas video nodarbībai, es neizvirzījos sev mērķi pastāstīt jums vēl vienu sarežģītu un izsmalcinātu paņēmienu — viss, ko es gribēju jums parādīt, ir tas, ka jums nav jābaidās izmantot standarta algebras metodes, lai pārveidotu oriģinālās funkcijas. .

Izmantojot "slepeno" tehniku

Nobeigumā vēlos aplūkot vēl vienu interesantu paņēmienu, kas, no vienas puses, pārsniedz to, ko šodien galvenokārt apspriedām, bet, no otras puses, tas, pirmkārt, nemaz nav sarežģīts, t.i. Pat iesācēji to var apgūt, un, otrkārt, tas diezgan bieži sastopams visādos ieskaitēs un patstāvīgajos darbos, t.i. zināšanas par to ļoti noderēs papildus zināšanām par antiatvasinājumu tabulu.

Uzdevums Nr.1

Acīmredzot mums ir kaut kas ļoti līdzīgs jaudas funkcijai. Kas mums jādara šajā gadījumā? Padomāsim par to: $x-5$ tik daudz neatšķiras no $x$ — viņi tikko pievienoja $-5$. Rakstīsim šādi:

\[((x)^(4))\uz \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Mēģināsim atrast atvasinājumu no $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Tas nozīmē:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ pa labi))^(\prime ))\]

Tabulā šādas vērtības nav, tāpēc tagad mēs paši esam atvasinājuši šo formulu, izmantojot standarta antiatvasinājuma formulu jaudas funkcijai. Rakstīsim atbildi šādi:

Problēma Nr.2

Daudzi studenti, kuri aplūko pirmo risinājumu, var domāt, ka viss ir ļoti vienkārši: vienkārši aizstājiet $x$ pakāpju funkcijā ar lineāru izteiksmi, un viss nostāsies savās vietās. Diemžēl viss nav tik vienkārši, un tagad mēs to redzēsim.

Pēc analoģijas ar pirmo izteiksmi mēs rakstām sekojošo:

\[((x)^(9))\uz \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Atgriežoties pie mūsu atvasinājuma, mēs varam rakstīt:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \labais))^(\prime ))\]

Tas uzreiz seko:

Risinājuma nianses

Lūdzu, ņemiet vērā: ja pagājušajā reizē nekas būtiski nemainījās, tad otrajā gadījumā $-10$ vietā parādījās -30$. Kāda ir atšķirība starp $-10 $ un $-30 $? Acīmredzot ar koeficientu USD-3 USD. Jautājums: no kurienes tas radās? Ja paskatās uzmanīgi, jūs varat redzēt, ka tas tika ņemts, aprēķinot sarežģītas funkcijas atvasinājumu - koeficients, kas bija $x$, parādās zemāk esošajā antiatvasinājumā. Šis ir ļoti svarīgs noteikums, kuru es sākotnēji nemaz neplānoju apspriest šodienas video nodarbībā, taču bez tā tabulas antiatvasinājumu prezentācija būtu nepilnīga.

Tātad darīsim to vēlreiz. Lai ir mūsu galvenā jaudas funkcija:

\[((x)^(n))\uz \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Tagad $x$ vietā aizstāsim izteiksmi $kx+b$. Kas tad notiks? Mums ir jāatrod sekojošais:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\uz \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \right)\cdot k)\]

Uz kāda pamata mēs to apgalvojam? Ļoti vienkārši. Atradīsim iepriekš uzrakstītās konstrukcijas atvasinājumu:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Tas ir tas pats izteiciens, kas sākotnēji pastāvēja. Tādējādi arī šī formula ir pareiza, un to var izmantot, lai papildinātu antiatvasinājumu tabulu, vai arī labāk ir vienkārši iegaumēt visu tabulu.

Secinājumi no “noslēpuma: tehnika:

• Abas funkcijas, kuras mēs tikko apskatījām, faktiski var reducēt līdz tabulā norādītajiem antiatvasinājumiem, paplašinot grādus, bet, ja mēs vairāk vai mazāk kaut kā varam tikt galā ar ceturto pakāpi, tad es nedarītu devīto pakāpi plkst. visi uzdrošinājās atklāt.
• Ja mēs paplašinātu grādus, mēs iegūtu tādu aprēķinu apjomu, ka vienkāršs uzdevums aizņemtu mums neatbilstoši daudz laika.
• Tāpēc šādas problēmas, kas satur lineāras izteiksmes, nav jārisina “pa galvu”. Tiklīdz jūs saskaraties ar antiatvasinājumu, kas atšķiras no tabulā redzamā tikai ar izteiksmes $kx+b$ klātbūtni iekšpusē, nekavējoties atcerieties iepriekš uzrakstīto formulu, aizstājiet to ar savu tabulas antiatvasinājumu, un viss izrādīsies daudz. ātrāk un vienkāršāk.

Protams, šīs tehnikas sarežģītības un nopietnības dēļ mēs daudzas reizes atgriezīsimies pie tās izskatīšanas turpmākajās video nodarbībās, taču šodien tas ir viss. Es ceru, ka šī nodarbība patiešām palīdzēs tiem skolēniem, kuri vēlas izprast antiderivatīvus un integrāciju.

Integrācija ir viena no galvenajām matemātiskās analīzes operācijām. Zināmo antiatvasinājumu tabulas var būt noderīgas, taču tagad, pēc datoralgebras sistēmu parādīšanās, tās zaudē savu nozīmi. Zemāk ir saraksts ar visbiežāk sastopamajiem primitīviem.

Pamatintegrāļu tabula

Vēl viena kompakta iespēja

Trigonometrisko funkciju integrāļu tabula

No racionālām funkcijām

No neracionālām funkcijām

Transcendentālo funkciju integrāļi

"C" ir patvaļīga integrācijas konstante, ko nosaka, ja ir zināma integrāļa vērtība jebkurā punktā. Katrai funkcijai ir bezgalīgs skaits antiatvasinājumu.

Lielākajai daļai skolēnu un studentu ir problēmas ar integrāļu aprēķināšanu. Šī lapa satur integrālās tabulas no trigonometriskām, racionālām, iracionālām un transcendentālām funkcijām, kas palīdzēs risinājumā. Jums palīdzēs arī atvasinājumu tabula.

Video - kā atrast integrāļus

Ja jūs nesaprotat šo tēmu, skatieties videoklipu, kurā viss ir detalizēti izskaidrots.

Antiderivatīvu ("integrāļu") tabula. Integrāļu tabula. Tabulas nenoteiktie integrāļi. (Vienkāršākie integrāļi un integrāļi ar parametru). Formulas integrēšanai pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula.

Antiderivatīvu ("integrāļu") tabula. Tabulas nenoteiktie integrāļi. (Vienkāršākie integrāļi un integrāļi ar parametru).
Jaudas funkcijas integrāls.	Jaudas funkcijas integrāls.
Integrālis, kas reducējas līdz jaudas funkcijas integrālim, ja x tiek virzīts zem diferenciālzīmes.
	Eksponenta integrālis, kur a ir konstants skaitlis.
Sarežģītas eksponenciālās funkcijas integrālis.	Eksponenciālās funkcijas integrālis.
Integrālis, kas vienāds ar naturālo logaritmu.	Integrālis: "Garais logaritms".
	Integrālis: "Garais logaritms".
Integrālis: "Augsts logaritms".	Integrālis, kur x skaitītājā ir novietots zem diferenciālzīmes (konstante zem zīmes var tikt pievienota vai atņemta), galu galā ir līdzīgs integrālim, kas vienāds ar naturālo logaritmu.
Integrālis: "Augsts logaritms".
Kosinusa integrālis.	Sinusa integrālis.
Integrālis, kas vienāds ar tangensu.	Integrālis, kas vienāds ar kotangensu.
Integrālis, kas vienāds ar arkosīnu un arkosīnu
Integrālis, kas vienāds gan ar arkosīnu, gan arkosīnu.	Integrālis, kas vienāds gan ar arktangensu, gan arkotangensu.
Integrālis, kas vienāds ar kosekantu.	Integrālis vienāds ar sekantu.
Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.	Integrālis, kas vienāds ar arccosecant.
Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.	Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sinusu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosinusu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sinusu, kur sinhx ir hiperboliskais sinuss angļu valodas versijā.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosinusu, kur sinhx ir hiperboliskais sinuss angļu valodas versijā.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko tangensu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kotangensu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sekantu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosekantu.

Formulas integrēšanai pa daļām. Integrācijas noteikumi.

Formulas integrēšanai pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula.Integrācijas noteikumi.
Produkta (funkcijas) integrēšana ar konstanti:
Funkciju summas integrēšana:
nenoteiktie integrāļi:
Formula integrācijai pa daļām noteikti integrāļi:
Ņūtona-Leibnica formula noteikti integrāļi:	Kur F(a), F(b) ir antiatvasinājumu vērtības attiecīgi punktos b un a.

Atvasinājumu tabula. Tabulas atvasinājumi. Produkta atvasinājums. Koeficienta atvasinājums. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Ja x ir neatkarīgs mainīgais, tad:

Atvasinājumu tabula. Tabulas atvasinājumi."tabulas atvasinājums" - jā, diemžēl, tieši tā tie tiek meklēti internetā
	Jaudas funkcijas atvasinājums
	Eksponenta atvasinājums
Sarežģītas eksponenciālās funkcijas atvasinājums	Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
Logaritmiskās funkcijas atvasinājums	Dabiskā logaritma atvasinājums
	Funkcijas naturālā logaritma atvasinājums
Sinusa atvasinājums	Kosinusa atvasinājums
Kosekanta atvasinājums	Sekanta atvasinājums
Arksīna atvasinājums	Loka kosinusa atvasinājums
Arksīna atvasinājums	Loka kosinusa atvasinājums
Pieskares atvasinājums	Kotangensa atvasinājums
Arktangenta atvasinājums	Loka kotangensa atvasinājums
Arktangenta atvasinājums	Loka kotangensa atvasinājums
Arcsekanta atvasinājums	Arccosecant atvasinājums
Arcsekanta atvasinājums	Arccosecant atvasinājums
Hiperboliskā sinusa atvasinājums Hiperboliskā sinusa atvasinājums angļu valodas versijā	Hiperboliskā kosinusa atvasinājums Hiperboliskā kosinusa atvasinājums angļu valodā
Hiperboliskās tangensas atvasinājums	Hiperboliskā kotangenta atvasinājums
Hiperboliskā sekanta atvasinājums	Hiperboliskā kosekanta atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi. Produkta atvasinājums. Koeficienta atvasinājums. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.
Produkta (funkcijas) atvasinājums no konstantes:
Summas atvasinājums (funkcijas):
Produkta atvasinājums (funkcijas):
Koeficienta (funkciju) atvasinājums:
Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Logaritmu īpašības. Logaritmu pamatformulas. Decimālskaitļi (lg) un naturālie logaritmi (ln).

Pamatlogaritmiskā identitāte
Parādīsim, kā jebkuru formas a b funkciju var padarīt eksponenciālu. Tā kā funkciju ar formu e x sauc par eksponenciālu, tad
Jebkuru formas a b funkciju var attēlot kā desmit pakāpju

Naturālais logaritms ln (logaritms uz bāzi e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Teilora sērija. Teilora sērijas funkcijas paplašināšana.

Izrādās, ka lielākā daļa praktiski saskaras matemātiskās funkcijas var attēlot ar jebkuru precizitāti noteikta punkta tuvumā pakāpju rindu veidā, kas satur mainīgā pakāpes pieaugošā secībā. Piemēram, punkta x=1 tuvumā:

Lietojot sēriju sauc Teilora rindas jauktas funkcijas, kas satur, piemēram, algebriskas, trigonometriskas un eksponenciālas funkcijas, var izteikt kā tīri algebriskas funkcijas. Izmantojot sērijas, jūs bieži varat ātri veikt diferenciāciju un integrāciju.

Teilora sērijai punkta a tuvumā ir šāda forma:

1) , kur f(x) ir funkcija, kurai ir visu secību atvasinājumi pie x = a. R n — Teilora sērijas atlikušo terminu nosaka izteiksme

2)

Rindas k-to koeficientu (pie x k) nosaka pēc formulas

3) Īpašs Teilora sērijas gadījums ir Maclaurin (=McLaren) sērija (izplešanās notiek ap punktu a=0)

pie a=0

sērijas dalībnieki tiek noteikti pēc formulas

Taylor sērijas lietošanas nosacījumi.

1. Lai funkcija f(x) tiktu izvērsta Teilora virknē intervālā (-R;R), ir nepieciešams un pietiekami, ka Teilora (Maklaurīna (=Maklarens)) formulas atlikušais termins šim. funkcijai ir tendence uz nulli kā k →∞ norādītajā intervālā (-R;R).

2. Nepieciešams, lai punktā, kura tuvumā mēs konstruēsim Teilora sēriju, ir dotās funkcijas atvasinājumi.

Teilora sērijas īpašības.

Ja f ir analītiska funkcija, tad tās Teilora rinda jebkurā f definīcijas apgabala punktā a saplūst ar f kādā a apkārtnē.

Ir bezgalīgi diferencējamas funkcijas, kuru Teilora rinda saplūst, bet tajā pašā laikā atšķiras no funkcijas jebkurā a apkārtnē. Piemēram:

Teilora sērijas tiek izmantotas funkcijas tuvināšanai (tuvināšana ir zinātniska metode, kas sastāv no dažu objektu aizstāšanas ar citiem, vienā vai otrā nozīmē tuvu oriģinālajiem, bet vienkāršākiem) funkcijas ar polinomiem. Jo īpaši linearizācija ((no linearis - lineāra), viena no slēgtu nelineāro sistēmu aptuvenās attēlošanas metodēm, kurā nelineāras sistēmas izpēte tiek aizstāta ar lineāras sistēmas analīzi, kas savā ziņā ir līdzvērtīga oriģinālajai. .) vienādojumi rodas, izvēršot Teilora sēriju un nogriežot visus vienumus virs pirmās kārtas.

Tādējādi gandrīz jebkuru funkciju var attēlot kā polinomu ar noteiktu precizitāti.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašināšanas piemēri Maklarīna sērijās (=McLaren, Taylor 0 punkta tuvumā) un Teilors 1. punkta tuvumā. Teilora un Maklarena sēriju galveno funkciju izvēršanas pirmie termini.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašinājumu piemēri Maclaurin sērijā (=McLaren, Taylor 0 punkta tuvumā)

Dažu izplatītu Teilora sērijas paplašinājumu piemēri 1. punkta tuvumā

Uzskaitīsim elementāro funkciju integrāļus, kurus dažreiz sauc par tabulas formām:

Jebkuru no iepriekšminētajām formulām var pierādīt, ņemot labās puses atvasinājumu (rezultāts būs integrands).

Integrācijas metodes

Apskatīsim dažas pamata integrācijas metodes. Tie ietver:

1. Dekompozīcijas metode(tieša integrācija).

Šī metode ir balstīta uz tabulu integrāļu tiešu izmantošanu, kā arī uz nenoteiktā integrāļa 4. un 5. rekvizītu izmantošanu (t.i., konstantā faktora izņemšanu no iekavām un/vai integranda attēlošanu kā funkciju summu - dekompozīcija integrands terminos).

1. piemērs. Piemēram, lai atrastu(dx/x 4), var tieši izmantot tabulas integrāli priekšx n dx. Faktiski(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

2. piemērs. Lai to atrastu, mēs izmantojam to pašu integrāli:

3. piemērs. Lai to atrastu, ir jāņem

4. piemērs. Lai atrastu, formā attēlojam integrand funkciju un izmantojiet tabulas integrāli eksponenciālajai funkcijai:

Apskatīsim iekavu izmantošanu par nemainīgu faktoru.

5. piemērs.Atradīsim, piemēram . Ņemot to vērā, mēs saņemam

6. piemērs. Mēs to atradīsim. Tāpēc ka , izmantosim tabulas integrāli Mēs saņemam

Šajos divos piemēros varat izmantot arī iekavu un tabulu integrāļus:

7. piemērs.

(mēs izmantojam un );

8. piemērs.

(mēs izmantojam Un ).

Apskatīsim sarežģītākus piemērus, kuros tiek izmantots integrālis.

9. piemērs. Piemēram, atradīsim
. Lai skaitītājā izmantotu paplašināšanas metodi, mēs izmantojam summas kuba formulu  un pēc tam dalām iegūto polinomu ar saucēju, pa vārdam.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Jāņem vērā, ka risinājuma beigās tiek ierakstīta viena kopēja konstante C (nevis atsevišķas, integrējot katru terminu). Nākotnē tiek piedāvāts arī izlaist konstantes no atsevišķu terminu integrācijas risinājuma procesā, ja vien izteiksme satur vismaz vienu nenoteiktu integrāli (vienu konstanti rakstīsim risinājuma beigās).

10. piemērs. Mēs atradīsim . Lai atrisinātu šo uzdevumu, skaitītāju faktorizēsim (pēc tam varam samazināt saucēju).

11. piemērs. Mēs to atradīsim. Šeit var izmantot trigonometriskās identitātes.

Dažreiz, lai izteicienu sadalītu terminos, jums ir jāizmanto sarežģītāki paņēmieni.

12. piemērs. Mēs atradīsim . Integrandā mēs atlasām visu frakcijas daļu . Tad

13. piemērs. Mēs atradīsim

2. Mainīgā aizstāšanas metode (aizvietošanas metode)

Metodes pamatā ir šāda formula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kur x =(t) ir funkcija, kas diferencējama aplūkotajā intervālā.

Pierādījums. Atradīsim atvasinājumus attiecībā pret mainīgo t no formulas kreisās un labās puses.

Ņemiet vērā, ka kreisajā pusē ir sarežģīta funkcija, kuras starparguments ir x = (t). Tāpēc, lai to diferencētu attiecībā pret t, mēs vispirms diferencējam integrāli attiecībā pret x un pēc tam ņemam starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Atvasinājums no labās puses:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Tā kā šie atvasinājumi ir vienādi, kas izriet no Lagranža teorēmas, pierādāmās formulas kreisā un labā puse atšķiras ar noteiktu konstanti. Tā kā paši nenoteiktie integrāļi ir definēti līdz nenoteiktam konstantes termiņam, šo konstanti var izlaist galīgajā pierakstā. Pierādīts.

Veiksmīga mainīgā maiņa ļauj vienkāršot sākotnējo integrāli un visvienkāršākajos gadījumos samazināt to līdz tabulai. Lietojot šo metodi, tiek nošķirtas lineārās un nelineārās aizstāšanas metodes.

a) Lineārās aizstāšanas metode Apskatīsim piemēru.

1. piemērs.
. Ļaujiet t= 1 – 2x, tad

dx=d(½ - ½t) = - ½ dt

Jāņem vērā, ka jaunais mainīgais nav skaidri jāizraksta. Šādos gadījumos viņi runā par funkcijas pārveidošanu zem diferenciālzīmes vai par konstantu un mainīgo ieviešanu zem diferenciālzīmes, t.i. O netiešā mainīgā aizstāšana.

2. piemērs. Piemēram, atradīsimcos(3x + 2)dx. Pēc diferenciāļa īpašībām dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tadcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Abos aplūkotajos piemēros, lai atrastu integrāļus, tika izmantota lineārā aizstāšana t=kx+b(k0).

Vispārīgā gadījumā ir spēkā sekojošā teorēma.

Lineārās aizstāšanas teorēma. Lai F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums. Tadf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kur k un b ir dažas konstantes,k0.

Pierādījums.

Pēc integrāļa f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C definīcijas. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Izņemsim no integrāļa zīmes konstanto koeficientu k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Tagad mēs varam sadalīt vienādības kreiso un labo pusi divās daļās un iegūt apgalvojumu, kas jāpierāda līdz konstanta vārda apzīmējumam.

Šī teorēma nosaka, ka, ja integrāļa f(x)dx= F(x) + C definīcijā argumenta x vietā aizvietosim izteiksmi (kx+b), tas novedīs pie papildu parādīšanās. faktors 1/k antiatvasinājuma priekšā.

Izmantojot pārbaudīto teorēmu, mēs atrisinām šādus piemērus.

3. piemērs.

Mēs atradīsim . Šeit kx+b= 3 –x, t.i., k= -1,b= 3. Tad

4. piemērs.

Mēs to atradīsim. Herekx+b= 4x+ 3, t.i., k= 4,b= 3. Tad

5. piemērs.

Mēs atradīsim . Šeit kx+b= -2x+ 7, t.i., k= -2,b= 7. Tad

.

6. piemērs. Mēs atradīsim
. Šeit kx+b= 2x+ 0, t.i., k= 2,b=0.

.

Salīdzināsim iegūto rezultātu ar 8. piemēru, kas tika atrisināts ar dekompozīcijas metodi. Atrisinot to pašu problēmu, izmantojot citu metodi, mēs saņēmām atbildi
. Salīdzināsim rezultātus: Tādējādi šīs izteiksmes atšķiras viena no otras ar nemainīgu terminu , t.i. Saņemtās atbildes nav viena otrai pretrunā.

7. piemērs. Mēs atradīsim
. Izvēlēsimies perfektu kvadrātu saucējā.

Dažos gadījumos, mainot mainīgo, integrālis netiek tieši reducēts uz tabulu, bet var vienkāršot risinājumu, ļaujot nākamajā darbībā izmantot paplašināšanas metodi.

8. piemērs. Piemēram, atradīsim . Aizstāt t=x+ 2, tad dt=d(x+ 2) =dx. Tad

,

kur C = C 1 – 6 (aizvietojot izteiksmi (x+ 2) pirmo divu vārdu vietā iegūstam ½x 2 -2x– 6).

9. piemērs. Mēs atradīsim
. Pieņemsim, ka t= 2x+ 1, tad dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Aizstāsim izteiksmi (2x+ 1) ar t, atveram iekavas un dosim līdzīgas.

Ņemiet vērā, ka transformāciju procesā mēs pārgājām uz citu nemainīgu terminu, jo konstanto terminu grupu transformācijas procesā var izlaist.

b) Nelineārās aizstāšanas metode Apskatīsim piemēru.

1. piemērs.
. Lett = -x 2. Tālāk varētu izteikt x ar t, pēc tam atrast izteiksmi dx un ieviest mainīgā lieluma maiņu vēlamajā integrālī. Bet šajā gadījumā ir vieglāk rīkoties citādi. Pieņemsim, ka finddt=d(-x 2) = -2xdx. Ņemiet vērā, ka izteiksme xdx ir vajadzīgā integrāļa integrānda faktors. Izteiksim to no iegūtās vienādībasxdx= - ½dt. Tad

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

2. piemērs. Mēs atradīsim . Pieņemsim, ka t= 1 -x 2 . Tad

3. piemērs. Mēs atradīsim . Lett=. Tad

;

4. piemērs. Nelineāras aizvietošanas gadījumā ir ērti izmantot arī implicītu mainīgo aizstāšanu.

Piemēram, atradīsim
. Rakstīsim xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (netieši aizstāts ar mainīgo t= 3 - 2x 2). Tad

5. piemērs. Mēs atradīsim . Šeit mēs arī ieviešam mainīgo zem diferenciālzīmes: (netieša aizstāšana = 3 + 5x 3). Tad

6. piemērs. Mēs atradīsim . Tāpēc ka ,

7. piemērs. Mēs to atradīsim. Kopš tā laika

Apskatīsim dažus piemērus, kuros ir nepieciešams apvienot dažādas aizstāšanas.

8. piemērs. Mēs atradīsim
. Pieņemsim, ka t= 2x+ 1, tad x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

9. piemērs. Mēs atradīsim
. Lett=x- 2, tadx=t+ 2;dx=dt.

Tieša integrācija, izmantojot antiatvasinājumu tabulu (nenoteikto integrāļu tabula)

Antiatvasinājumu tabula

Mēs varam atrast antiatvasinājumu no zināma funkcijas diferenciāļa, ja izmantojam nenoteiktā integrāļa īpašības. No pamata elementārfunkciju tabulas, izmantojot vienādības ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C un ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x mēs varam izveidot antiatvasinājumu tabulu.

Rakstīsim atvasinājumu tabulu diferenciāļu veidā.

Konstante y = C C" = 0 Jaudas funkcija y = x p. (x p) " = p x p - 1	Konstante y = C d (C) = 0 d x Jaudas funkcija y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Eksponenciālā funkcija y = a x. d (a x) = a x ln α d x Jo īpaši attiecībā uz a = e mums ir y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Logaritmiskās funkcijas y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Jo īpaši attiecībā uz a = e mums ir y = ln x d (ln x) = d x x
Trigonometriskās funkcijas. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Trigonometriskās funkcijas. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Apgrieztās trigonometriskās funkcijas. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Ilustrēsim iepriekš minēto ar piemēru. Atradīsim pakāpju funkcijas f (x) = x p nenoteikto integrāli.

Saskaņā ar diferenciāļu tabulu d (x p) = p · x p - 1 · d x. Pēc nenoteiktā integrāļa īpašībām mums ir ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Tāpēc ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Ieraksta otrā versija ir šāda: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Ņemsim to vienādu ar -1 un atrodam pakāpju funkcijas f (x) = x p antiatvasinājumu kopu: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Tagad mums ir vajadzīga diferenciāļu tabula naturālajam logaritmam d (ln x) = d x x, x > 0, tāpēc ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Tāpēc ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Antiatvasinājumu tabula (nenoteiktie integrāļi)

Tabulas kreisajā kolonnā ir formulas, kuras sauc par pamata antiatvasinājumiem. Labajā kolonnā esošās formulas nav pamata, taču tās var izmantot, lai atrastu nenoteiktus integrāļus. Tos var pārbaudīt, diferencējot.

Tieša integrācija

Tiešās integrācijas veikšanai izmantosim antiatvasinājumu tabulas, integrācijas noteikumus ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, kā arī nenoteikto integrāļu ∫ k f (x) d x = k · īpašības. ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Pamatintegrāļu un integrāļu īpašību tabulu var izmantot tikai pēc vienkāršas integrāļa pārveidošanas.

1. piemērs

Atradīsim integrāli ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Risinājums

Mēs noņemam koeficientu 3 zem integrālās zīmes:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Izmantojot trigonometrijas formulas, mēs pārveidojam integrandas funkciju:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Tā kā summas integrālis ir vienāds ar integrāļu summu, tad
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Mēs izmantojam datus no antiatvasinājumu tabulas: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = tukšs 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Atbilde:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

2. piemērs

Nepieciešams atrast funkcijas f (x) = 2 3 4 x - 7 antiatvasinājumu kopu.

Risinājums

Eksponenciālajai funkcijai izmantojam antiatvasinājumu tabulu: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Tas nozīmē, ka ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Mēs izmantojam integrācijas noteikumu ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Mēs iegūstam ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Atbilde: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Izmantojot antiatvasinājumu, īpašību un integrācijas noteikumu tabulu, mēs varam atrast daudz nenoteiktu integrāļu. Tas ir iespējams gadījumos, kad ir iespējams pārveidot integrandu.

Lai atrastu logaritma funkcijas integrāli, pieskares un kotangentes funkcijas un vairākas citas, tiek izmantotas īpašas metodes, kuras apskatīsim sadaļā “Integrācijas pamatmetodes”.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter