Integrālā (galīgā) forma. Teorēma par materiāla punkta kinētiskās enerģijas izmaiņām: materiāla punkta kinētiskās enerģijas izmaiņas kādā no tā pārvietojumiem ir vienādas ar visu to spēku darba algebrisko summu, kas iedarbojas uz šo punktu vienā un tajā pašā pārvietojumā.

Teorēma par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām ir formulēta: mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņas, kad tā pārvietojas no vienas pozīcijas uz otru, ir vienāda ar visu ārējo un iekšējo spēku darba summu, kas tiek pielietoti sistēmai šīs kustības laikā:

Nemainīgas sistēmas gadījumā iekšējo spēku veiktā darba summa uz jebkuru pārvietojumu ir vienāda ar nulli (), tad

Mehāniskās enerģijas nezūdamības likums. Kad mehāniskā sistēma pārvietojas potenciālu spēku ietekmē, sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņas nosaka atkarības:

kur,

Tiek saukta sistēmas kinētiskās un potenciālās enerģijas summa kopējā mehāniskā enerģija sistēmas.

Tādējādi, Kad mehāniskā sistēma pārvietojas stacionārā potenciālā laukā, sistēmas kopējā mehāniskā enerģija kustības laikā paliek nemainīga.

Uzdevums. Mehāniskā sistēma gravitācijas ietekmē sāk kustēties no miera stāvokļa. Ņemot vērā ķermeņa 3 slīdēšanas berzi, neņemot vērā citus pretestības spēkus un vītņu masas, kas pieņemtas par nestiepjamām, noteikt ķermeņa 1 ātrumu un paātrinājumu brīdī, kad tā nobrauktais ceļš kļūst vienāds. s(3.70. att.).

Uzdevumā pieņemiet:

Risinājums. Mehānisko sistēmu iedarbojas aktīvi spēki , , . Pielietojot sistēmas atbrīvošanas no ierobežojumiem principu, parādīsim eņģes fiksētā atbalsta 2 un raupjas slīpās virsmas reakcijas. Sistēmas ķermeņu ātrumu virzienus attēlosim, ņemot vērā to, ka ķermenis 1 ir lejupejošs.

Atrisināsim uzdevumu, pielietojot teorēmu par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām:

Kur T un ir sistēmas kinētiskā enerģija sākuma un beigu pozīcijās; - darba algebriskā summa, ko veic ārējie spēki, kas pielikti sistēmai, lai pārvietotu sistēmu no sākuma stāvokļa uz galīgo stāvokli; - sistēmas iekšējo spēku veiktā darba summa vienā un tajā pašā pārvietojumā.

Aplūkojamai sistēmai, kas sastāv no absolūti stingriem korpusiem, kas savienoti ar nepaplašināmiem pavedieniem:

Tā kā sistēma atradās miera stāvoklī sākotnējā stāvoklī, tad . Tātad:

Sistēmas kinētiskā enerģija ir ķermeņu 1, 2, 3 kinētisko enerģiju summa:

Slodzes 1 kinētiskā enerģija, kas virzās uz priekšu, ir vienāda ar:

2. bloka kinētiskā enerģija, kas rotē ap asi Oz, perpendikulāri zīmēšanas plaknei:

Ķermeņa 3 kinētiskā enerģija kustībā uz priekšu:

Tādējādi

Kinētiskās enerģijas izteiksme satur visu sistēmas ķermeņu nezināmos ātrumus. Definīcijai jāsākas ar . Atbrīvosimies no nevajadzīgiem nezināmajiem, veidojot savienojumu vienādojumus.

Ierobežojumu vienādojumi ir nekas cits kā kinemātiskas attiecības starp sistēmas punktu ātrumiem un kustībām. Sastādot ierobežojumu vienādojumus, visus nezināmos sistēmas ķermeņu ātrumus un kustības izteiksim caur slodzes 1 ātrumu un kustību.

Jebkura maza rādiusa loka punkta ātrums ir vienāds ar ķermeņa 1 ātrumu, kā arī ķermeņa 2 leņķiskā ātruma un griešanās rādiusa reizinājumu r:

No šejienes mēs izsakām ķermeņa 2 leņķisko ātrumu:

Jebkura liela rādiusa bloka malas punkta rotācijas ātrums, no vienas puses, ir vienāds ar bloka leņķiskā ātruma un griešanās rādiusa reizinājumu, un, no otras puses, ar ķermeņa ātrumu 3 :

Aizvietojot leņķiskā ātruma vērtību, mēs iegūstam:

Sākotnējos apstākļos integrējot izteiksmes (a) un (b), mēs rakstām sistēmas punktu nobīdes attiecību:

Zinot sistēmas punktu ātrumu pamatatkarības, mēs atgriežamies pie kinētiskās enerģijas izteiksmes un tajā aizstājam vienādojumus (a) un (b):

Ķermeņa 2 inerces moments ir vienāds ar:

Aizvietojot ķermeņa masu vērtības un ķermeņa 2 inerces momentu, mēs rakstām:

Visu sistēmas ārējo spēku darba summas noteikšana pie dotā pārvietojuma.

Tagad saskaņā ar teorēmu par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām mēs vienādojam vērtības T Un

Ķermeņa 1 ātrumu iegūst no izteiksmes (g)

Ķermeņa 1 paātrinājumu var noteikt, diferencējot vienādību (g) ​​attiecībā pret laiku.

Ieviesīsim vēl vienu kustības pamata dinamisko raksturlielumu - kinētiskās enerģijas jēdzienu. Materiāla punkta kinētiskā enerģija ir skalārs lielums, kas vienāds ar pusi no punkta masas un tā ātruma kvadrāta reizinājuma.

Kinētiskās enerģijas mērvienība ir tāda pati kā darbam (SI - 1 J). Atradīsim attiecības, kas savieno šos divus lielumus.

Apskatīsim materiālu punktu ar masu, kas pārvietojas no vietas, kur tam ir ātrums, uz vietu, kur tā ātrums

Lai iegūtu vēlamo atkarību, pievērsīsimies dinamikas pamatlikumu izsakaošajam vienādojumam, kura abas tā daļas projicējot uz punkta M trajektorijas pieskares, kas vērsta kustības virzienā, iegūstam.

Attēlosim šeit veidlapā iekļautā punkta tangenciālo paātrinājumu

Rezultātā mēs to atklājam

Reizināsim abas šī vienādības puses ar un ievadīsim to zem diferenciālzīmes. Pēc tam, atzīmējot, kur ir elementārais spēka darbs, iegūstam teorēmas izteiksmi par punkta kinētiskās enerģijas izmaiņām diferenciālā formā:

Tagad, integrējot abas šīs vienādības puses robežās, kas atbilst mainīgo vērtībām punktos, mēs beidzot atradīsim

Vienādojums (52) izsaka teorēmu par punkta kinētiskās enerģijas izmaiņām galīgajā formā: punkta kinētiskās enerģijas izmaiņas kādas nobīdes laikā ir vienādas ar visu to spēku darba algebrisko summu, kas iedarbojas uz punktu plkst. tāda pati nobīde.

Nebrīvas pārvietošanās gadījums. Kad punkts pārvietojas nebrīvi, vienādības (52) labā puse ietvers doto (aktīvo) spēku darbu un savienojuma reakcijas darbu. Aplūkosim tikai punkta kustību pa stacionāru gludu (bezberzes) virsmu vai līkni. Šajā gadījumā reakcija N (skat. 233. att.) tiks virzīta normāli pret punkta trajektoriju un. Tad saskaņā ar formulu (44) stacionāras gludas virsmas (vai līknes) reakcijas darbs jebkurai punkta kustībai būs vienāds ar nulli, un no (52) vienādojuma iegūstam

Līdz ar to, pārvietojoties pa stacionāru gludu virsmu (vai līkni), punkta kinētiskās enerģijas izmaiņas ir vienādas ar šim punktam pielikto aktīvo spēku kustībā veiktā darba summu.

Ja virsma (līkne) nav gluda, tad berzes spēka darbs tiks pieskaitīts aktīvo spēku darbam (sk. § 88). Ja virsma (līkne) kustas, tad punkta M absolūtā nobīde var nebūt perpendikulāra N un tad reakcijas darbs N nebūs vienāds ar nulli (piemēram, lifta platformas reakcijas darbs).

Problēmu risināšana. Teorēma par kinētiskās enerģijas izmaiņām [formula (52)] ļauj, zinot, kā mainās punkta ātrums, punktam kustoties, noteikt iedarbīgo spēku darbu (pirmā dinamikas problēma) vai, zinot darbojošos spēkus, lai noteiktu, kā mainās punkta ātrums kustībā (otrā dinamikas problēma). Atrisinot otro uzdevumu, kad ir doti spēki, ir jāaprēķina viņu darbs. Kā redzams no formulām (44), (44), to var izdarīt tikai tad, ja spēki ir nemainīgi vai atkarīgi tikai no kustīgā punkta stāvokļa (koordinātām), piemēram, elastības spēka vai gravitācijas spēka (sk. § 88 ).

Tādējādi formulu (52) var tieši izmantot, lai atrisinātu otro dinamikas problēmu, kad uzdevumā norādītie dati un nepieciešamie lielumi ietver: iedarbīgos spēkus, punkta nobīdi un tā sākotnējos un beigu ātrumus (t.i., lielumus ) un spēkiem jābūt nemainīgiem vai atkarīgiem tikai no punkta stāvokļa (koordinātām).

Teorēmu diferenciālā formā [formula (51)], protams, var piemērot jebkuriem iedarbīgajiem spēkiem.

98. uzdevums. Kg smagai kravai, kas izmesta ar ātrumu no punkta A, kas atrodas augstumā (235. att.), ir ātrums kritiena punktā C. Nosaki, kādu darbu veic gaisa pretestības spēks, kas iedarbojas uz kravu. tās kustības laikā

Risinājums. Slodzei kustoties, uz slodzi iedarbojas gravitācijas spēks P un gaisa pretestības spēks R. Saskaņā ar teorēmu par kinētiskās enerģijas izmaiņām, uzskatot slodzi par materiālu punktu, mums ir

No šīs vienlīdzības, jo saskaņā ar formulu mēs atrodam

99. uzdevums. 96. uzdevuma apstākļos (sk. [§ 84) nosakiet, kādu ceļu krava brauks pirms apstāšanās (skat. 223. att., kur ir kravas sākuma pozīcija un beigu pozīcija).

Risinājums. Slodzi, tāpat kā 96. uzdevumā, iedarbojas spēki P, N, F. Bremzēšanas ceļa noteikšanai, ņemot vērā, ka šī uzdevuma nosacījumi ietver arī pastāvīgu spēku F, izmantosim teorēmu par izmaiņām bremzēšanas ceļā. kinētiskā enerģija

Izskatāmajā gadījumā - kravas ātrums apstāšanās brīdī). Turklāt, tā kā spēki P un N ir perpendikulāri pārvietojumam, rezultātā mēs iegūstam no kurienes atrodam

Saskaņā ar 96. uzdevuma rezultātiem bremzēšanas laiks palielinās proporcionāli sākotnējam ātrumam, un bremzēšanas ceļš, kā konstatējām, ir proporcionāls sākotnējā ātruma kvadrātam. Lietojot uz sauszemes transportu, tas parāda, kā briesmas palielinās, palielinoties ātrumam.

100. uzdevums. Uz vītnes, kuras garums ir l, tiek piekārta P smaguma slodze Vītne kopā ar slodzi tiek novirzīta no vertikāles leņķī (236. att., a) un atbrīvota bez sākuma ātruma. Kustoties, uz slodzi iedarbojas pretestības spēks R, kuru aptuveni aizstājam ar tās vidējo vērtību Atrodi slodzes ātrumu brīdī, kad vītne veido leņķi ar vertikāli.

Risinājums. Ņemot vērā problēmas nosacījumus, mēs atkal izmantojam teorēmu (52):

Slodzi iedarbojas gravitācijas spēks P, pretestības vītnes reakcija, ko attēlo tā vidējā vērtība R. Spēkam P saskaņā ar formulu (47) spēkam N, jo galu galā iegūstam spēku jo saskaņā ar formulu (45) tā būs (loka garums s ir vienāds ar reizinājuma rādiusu l uz centrālo leņķi). Turklāt atbilstoši problēmas nosacījumiem Rezultātā vienlīdzība (a) dod:

Ja nav pretestības, no šejienes iegūstam labi zināmo Galileja formulu, kas acīmredzot derīga arī brīvi krītošas ​​slodzes ātrumam (236. att., b).

Apskatāmajā uzdevumā Tad, ieviešot citu apzīmējumu - vidējo pretestības spēku uz slodzes svara vienību), beidzot iegūstam

101. uzdevums. Nedeformētā stāvoklī vārsta atsperes garums ir cm Kad vārsts ir pilnībā atvērts, tā garums ir cm, un vārsta pacēluma augstums ir cm (237. att.). Atsperu stinguma vārsta svars kg. Neņemot vērā gravitācijas un pretestības spēku ietekmi, nosakiet vārsta ātrumu brīdī, kad tas ir aizvērts.

Risinājums, izmantosim vienādojumu

Atbilstoši problēmas apstākļiem darbu veic tikai ar atsperes elastīgo spēku. Tad saskaņā ar formulu (48) tas būs

Šajā gadījumā

Turklāt, aizstājot visas šīs vērtības vienādojumā (a), mēs beidzot iegūstam

102. uzdevums. Slodze, kas atrodas elastīgās sijas vidū (238. att.), to novirza par lielumu (statiskā sijas novirze) Neņemot vērā sijas svaru, noteikt, kāda būs tās maksimālā novirze, ja slodze krīt uz sijas no augstuma H.

Risinājums. Tāpat kā iepriekšējā uzdevumā, mēs izmantosim vienādojumu (52), lai atrisinātu. Šajā gadījumā slodzes sākotnējais ātrums un beigu ātrums (Sijas maksimālās novirzes brīdī) ir vienāds ar nulli, un vienādojums (52) iegūst formu

Darbu šeit veic gravitācijas spēks P uz pārvietojumu un sijas elastības spēks F uz pārvietojumu. Turklāt, tā kā staram, aizstājot šos lielumus vienādībā (a), mēs iegūstam

Bet, kad slodze ir līdzsvarā uz siju, gravitācijas spēks tiek līdzsvarots ar elastības spēku, tāpēc iepriekšējo vienādību var attēlot formā

Atrisinot šo kvadrātvienādojumu un ņemot vērā to, ka atbilstoši uzdevuma nosacījumiem jāatrod

Interesanti atzīmēt, ka tad, kad tas izrādās Tāpēc, ja slodze tiek novietota horizontālas sijas vidū, tad tās maksimālā novirze, nolaižot slodzi, būs vienāda ar divreiz statisko. Pēc tam slodze sāks svārstīties kopā ar siju ap līdzsvara stāvokli. Pretestības ietekmē šīs svārstības slāpēsies un sistēma tiks līdzsvarota pozīcijā, kurā stara novirze ir vienāda ar

103. uzdevums. Nosakiet minimālo vertikāli virzīto sākuma ātrumu, kas jāpiešķir ķermenim, lai tas paceltos no Zemes virsmas līdz noteiktam augstumam H (239. att.) Tiek uzskatīts, ka pievilkšanas spēks mainās apgriezti ar ķermeņa kvadrātu. attālums no Zemes centra. Neņemiet vērā gaisa pretestību.

Risinājums. Uzskatot ķermeni kā materiālu punktu ar masu, mēs izmantojam vienādojumu

Darbu šeit veic gravitācijas spēks F. Tad, izmantojot formulu (50), ņemot vērā, ka šajā gadījumā, kur R ir Zemes rādiuss, iegūstam

Tā kā augstākajā punktā ar atrasto darba vērtību vienādojums (a) dod

Apskatīsim īpašus gadījumus:

a) pieņemsim, ka H ir ļoti mazs salīdzinājumā ar R. Tad - vērtība, kas ir tuvu nullei. Sadalot skaitītāju un saucēju, mēs iegūstam

Tādējādi mazajam H mēs nonākam pie Galileja formulas;

b) noskaidrosim, ar kādu sākotnējo ātrumu izmestais ķermenis aizies līdz bezgalībai. Dalot skaitītāju un saucēju ar A, iegūstam

Skatīt:Šis raksts ir lasīts 49915 reizes

Pdf Izvēlieties valodu... Krievu Ukraiņu Angļu

Īss apskats

Viss materiāls tiek lejupielādēts iepriekš, pēc valodas izvēles

Divi materiāla punkta vai punktu sistēmas mehāniskās kustības transformācijas gadījumi:

1. mehāniskā kustība tiek pārnesta no vienas mehāniskās sistēmas uz otru kā mehāniska kustība;
2. mehāniskā kustība pārvēršas citā matērijas kustības formā (potenciālās enerģijas, siltuma, elektrības utt. formā).

Aplūkojot mehāniskās kustības transformāciju bez tās pārejas uz citu kustības veidu, mehāniskās kustības mērs ir materiāla punkta vai mehāniskās sistēmas impulsa vektors. Spēka mērs šajā gadījumā ir spēka impulsa vektors.

Kad mehāniskā kustība pārvēršas citā matērijas kustības formā, materiāla punkta vai mehāniskās sistēmas kinētiskā enerģija darbojas kā mehāniskās kustības mērs. Spēka darbības mērs, pārveidojot mehānisko kustību citā kustības formā, ir spēka darbs

Kinētiskā enerģija

Kinētiskā enerģija ir ķermeņa spēja pārvarēt šķērsli, pārvietojoties.

Materiāla punkta kinētiskā enerģija

Materiāla punkta kinētiskā enerģija ir skalārs lielums, kas ir vienāds ar pusi no punkta masas un tā ātruma kvadrāta reizinājuma.

Kinētiskā enerģija:

• raksturo gan translācijas, gan rotācijas kustības;
• nav atkarīgs no sistēmas punktu kustības virziena un neraksturo izmaiņas šajos virzienos;
• raksturo gan iekšējo, gan ārējo spēku darbību.

Mehāniskās sistēmas kinētiskā enerģija

Sistēmas kinētiskā enerģija ir vienāda ar sistēmas ķermeņu kinētisko enerģiju summu. Kinētiskā enerģija ir atkarīga no sistēmas ķermeņu kustības veida.

Cieta ķermeņa kinētiskās enerģijas noteikšana dažādiem kustības veidiem.

Translācijas kustības kinētiskā enerģija
Translācijas kustības laikā ķermeņa kinētiskā enerģija ir vienāda ar T=m V 2 /2.

Ķermeņa inerces mērs translācijas kustības laikā ir masa.

Ķermeņa rotācijas kustības kinētiskā enerģija

Ķermeņa rotācijas kustības laikā kinētiskā enerģija ir vienāda ar pusi no ķermeņa inerces momenta reizinājuma attiecībā pret rotācijas asi un tā leņķiskā ātruma kvadrātu.

Ķermeņa inerces mērs rotācijas kustības laikā ir inerces moments.

Ķermeņa kinētiskā enerģija nav atkarīga no ķermeņa rotācijas virziena.

Ķermeņa plaknes paralēlas kustības kinētiskā enerģija

Ar plakni paralēlu ķermeņa kustību kinētiskā enerģija ir vienāda ar

Spēka darbs

Spēka darbs raksturo spēka iedarbību uz ķermeni kādas kustības laikā un nosaka kustīgā punkta ātruma moduļa izmaiņas.

Elementārs spēka darbs

Spēka elementārais darbs tiek definēts kā skalārs lielums, kas vienāds ar spēka projekcijas uz trajektorijas pieskari, kas vērsta punkta kustības virzienā, un punkta bezgalīgi mazo nobīdi, kas vērsta pa šo pieskares.

Darbs, kas veikts ar spēku pie galīgās pārvietošanas

Darbs, ko spēks veic uz galīgo pārvietojumu, ir vienāds ar tā darba summu elementārajās sekcijās.

Spēka darbs pie galīgā pārvietojuma M 1 M 0 ir vienāds ar elementārā darba integrāli pa šo pārvietojumu.

Spēka darbību uz pārvietojumu M 1 M 2 attēlo figūras laukums, ko ierobežo abscisu ass, līkne un ordinātas, kas atbilst punktiem M 1 un M 0.

Spēka un kinētiskās enerģijas darba mērvienība SI sistēmā ir 1 (J).

Teorēmas par spēka darbu

1. teorēma. Darbs, ko veic rezultējošais spēks uz noteiktu pārvietojumu, ir vienāds ar tā darba algebrisko summu, ko veic komponentu spēki vienā un tajā pašā pārvietojumā.

2. teorēma. Darbs, ko veic konstants spēks uz iegūto pārvietojumu, ir vienāds ar šī spēka veiktā darba algebrisko summu uz komponentu pārvietojumiem.

Jauda

Jauda ir lielums, kas nosaka spēku veikto darbu laika vienībā.

Jaudas mērvienība ir 1W = 1 J/s.

Spēku darba noteikšanas gadījumi

Iekšējo spēku darbs

Cietā ķermeņa iekšējo spēku veiktā darba summa jebkuras kustības laikā ir nulle.

Gravitācijas darbs

Elastīgā spēka darbs

Berzes spēka darbs

Rotējošam ķermenim pielikto spēku darbs

Stingram ķermenim, kas rotē ap fiksētu asi, pielikto spēku elementārais darbs ir vienāds ar ārējo spēku galvenā momenta reizinājumu attiecībā pret griešanās asi un griešanās leņķa pieaugumu.

Rites pretestība

Stacionārā cilindra un plaknes saskares zonā notiek lokāla kontakta saspiešanas deformācija, spriegums tiek sadalīts pēc eliptiska likuma, un šo spriegumu rezultējošā N darbības līnija sakrīt ar slodzes darbības līniju. spēks uz cilindru Q. Kad cilindrs ripo, slodzes sadalījums kļūst asimetrisks ar maksimumu nobīdi virzienā uz kustību. Iegūtais N tiek pārvietots par lielumu k - rites berzes spēka plecu, ko sauc arī par rites berzes koeficientu un kura garums ir (cm)

Teorēma par materiāla punkta kinētiskās enerģijas izmaiņām

Materiāla punkta kinētiskās enerģijas izmaiņas noteiktā pārvietojumā ir vienādas ar visu spēku algebrisko summu, kas iedarbojas uz punktu vienā un tajā pašā pārvietojumā.

Teorēma par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām

Mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņas pie noteikta pārvietojuma ir vienādas ar iekšējo un ārējo spēku algebrisko summu, kas iedarbojas uz sistēmas materiālajiem punktiem vienā un tajā pašā pārvietojumā.

Teorēma par cieta ķermeņa kinētiskās enerģijas izmaiņām

Stingra ķermeņa (nemainītas sistēmas) kinētiskās enerģijas izmaiņas noteiktā pārvietojumā ir vienādas ar ārējo spēku summu, kas iedarbojas uz sistēmas punktiem vienā un tajā pašā pārvietojumā.

Efektivitāte

Spēki, kas darbojas mehānismos

Spēkus un spēku pārus (momentus), kas tiek pielietoti mehānismam vai mašīnai, var iedalīt grupās:

1. Piedziņas spēki un momenti, kas veic pozitīvu darbu (attiecas uz piedziņas saitēm, piemēram, gāzes spiediens uz virzuli iekšdedzes dzinējā).

2. Spēki un pretestības momenti, kas veic negatīvu darbu:

• lietderīgā pretestība (tie veic no mašīnas nepieciešamo darbu un tiek pielietoti dzenošajām saitēm, piemēram, mašīnas paceltās slodzes pretestība),
• pretestības spēki (piemēram, berzes spēki, gaisa pretestība utt.).

3. Gravitācijas spēki un atsperu elastības spēki (gan pozitīvais, gan negatīvais darbs, savukārt pilna cikla darbs ir nulle).

4. Ķermenim vai stāvam no ārpuses pielikti spēki un momenti (pamatnes reakcija utt.), kas nedara darbu.

5. Mijiedarbības spēki starp saitēm, kas darbojas kinemātiskajos pāros.

6. Saišu inerces spēki, ko rada saišu masa un kustība ar paātrinājumu, var veikt pozitīvu, negatīvu darbu un neveikt darbu.

Spēku darbs mehānismos

Mašīnai darbojoties līdzsvara stāvoklī, tās kinētiskā enerģija nemainās un tai pielikto virzošo spēku un pretestības spēku darba summa ir nulle.

Darbs, kas tiek patērēts, iedarbinot mašīnu, tiek iztērēts, lai pārvarētu noderīgas un kaitīgas pretestības.

Mehānisma efektivitāte

Mehāniskā efektivitāte vienmērīgas kustības laikā ir vienāda ar mašīnas lietderīgā darba attiecību pret darbu, kas pavadīts mašīnas iedarbināšanai:

Mašīnas elementus var savienot virknē, paralēli un jaukt.

Efektivitāte sērijveidā

Ja mehānismi ir savienoti virknē, kopējā efektivitāte ir mazāka par atsevišķa mehānisma zemāko efektivitāti.

Paralēlā savienojuma efektivitāte

Ja mehānismi ir savienoti paralēli, kopējā efektivitāte ir lielāka par individuālā mehānisma zemāko un mazāku par augstāko efektivitāti.

Formāts: pdf

Valoda: krievu, ukraiņu

Piedziņas zobrata aprēķina piemērs
Piemērs cilindriskā zobrata aprēķināšanai. Veikta materiāla izvēle, pieļaujamo spriegumu aprēķins, kontakta un lieces stiprības aprēķins.

Sijas lieces problēmas risināšanas piemērs
Piemērā tika konstruētas šķērsspēku un lieces momentu diagrammas, atrasts bīstams posms un izvēlēts I-siju. Problēmā tika analizēta diagrammu konstrukcija, izmantojot diferenciālās atkarības, un veikta dažādu sijas šķērsgriezumu salīdzinošā analīze.

Vārpstas vērpes problēmas risināšanas piemērs
Uzdevums ir pārbaudīt tērauda vārpstas izturību pie noteikta diametra, materiāla un pieļaujamā sprieguma. Risinājuma laikā tiek konstruētas griezes momentu, bīdes spriegumu un griezes leņķu diagrammas. Pašas vārpstas svars netiek ņemts vērā

Stieņa stiepes-saspiešanas problēmas risināšanas piemērs
Uzdevums ir pārbaudīt tērauda stieņa izturību pie noteiktiem pieļaujamiem spriegumiem. Risinājuma laikā tiek konstruētas garenspēku, normālo spriegumu un pārvietojumu diagrammas. Paša stieņa svars netiek ņemts vērā

Kinētiskās enerģijas saglabāšanas teorēmas pielietojums
Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot teorēmu par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas saglabāšanu

Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot teorēmu par kinētiskās enerģijas izmaiņām sistēmā ar stingriem korpusiem, blokiem, skriemeļiem un atsperi.

Saturs

Uzdevums

Mehāniskā sistēma sastāv no atsvariem 1 un 2, pakāpju skriemeļa 3 ar pakāpiena rādiusu R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m un griešanās rādiuss attiecībā pret rotācijas asi ρ 3 = 0,2 m, bloks 4 rādiuss R 4 = 0,2 m un kustīgais bloks 5. 5. bloks tiek uzskatīts par cietu viendabīgu cilindru. Slodzes 2 berzes koeficients plaknē f = 0,1 . Sistēmas korpusi ir savienoti viens ar otru ar vītnēm, kas izmestas pāri blokiem un uztītas uz skriemeļa 3. Vītņu posmi ir paralēli attiecīgajām plaknēm. Pie kustīgā bloka 5 ir piestiprināta atspere ar stinguma koeficientu c = 280 N/m.

Spēka ietekmē F = f (s) = 80 (6 + 7 s) N, atkarībā no tā pielietojuma punkta nobīdes s sistēma sāk kustēties no miera stāvokļa. Atsperes deformācija kustības sākuma brīdī ir nulle. Kustības laikā uz skriemeli 3 iedarbojas nemainīgs moments M = 1,6 Nm pretestības spēki (no berzes gultņos). Ķermeņa masas: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Nosakiet ķermeņa masas centra vērtību 5 V C 5 brīdī, kad slodzes 1 pārvietojums s kļūst vienāds ar s 1 = 0,2 m.

Piezīme. Risinot problēmu, izmantojiet kinētiskās enerģijas izmaiņu teorēma.

Problēmas risinājums

Ņemot vērā: R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80 (6 + 7 s) N, s 1 = 0,2 m.

Atrast: V C 5 .

Mainīgi apzīmējumi

R 3, r 3- skriemeļa pakāpienu rādiusi 3;
ρ 3 - skriemeļa 3 inerces rādiuss attiecībā pret griešanās asi;
R 5 - bloka rādiuss 5;
V 1 , V 2 - ķermeņu 1. un 2. ātrumi;
ω 3 - skriemeļa 3 leņķiskais griešanās ātrums;
V C 5 - masas centra C ātrums 5 5. bloks;
ω 5 - 5. bloka griešanās leņķiskais ātrums;
s 1 , s 2 - 1. un 2. ķermeņa kustība;
φ 3 - skriemeļa griešanās leņķis 3;
s C 5 - masas centra C kustība 5 5. bloks;
s A, s B - kustīgie punkti A un B.

Kinemātisko attiecību nodibināšana

Izveidosim kinemātiskās attiecības. Tā kā slodzes 1 un 2 ir savienotas ar vienu pavedienu, to ātrumi ir vienādi:
V 2 = V 1.
Tā kā vītne, kas savieno slodzes 1 un 2, ir uztīta uz skriemeļa 3 ārējās pakāpes, tad skriemeļa 3 ārējās pakāpes punkti pārvietojas ar ātrumu V 2 = V 1. Tad skriemeļa griešanās leņķiskais ātrums ir:
.
Masas centra ātrums V C 5 bloks 5 ir vienāds ar skriemeļa 3 iekšējā posma punktu ātrumu:
.
Punkta K ātrums ir nulle. Tāpēc tas ir 5. bloka momentānā ātruma centrs. 5. bloka griešanās leņķiskais ātrums:
.
Punkta B - atsperes brīvā gala - ātrums ir vienāds ar punkta A ātrumu:
.

Izteiksim ātrumus V C izteiksmē 5 .
;
;
.

Tagad instalēsim savienojumi starp ķermeņa kustībām un griešanās leņķiem skriemelis un bloks. Tā kā ātrumi un leņķiskie ātrumi ir pārvietojumu un griešanās leņķu laika atvasinājumi
,
tad tādi paši savienojumi būs starp pārvietojumiem un griešanās leņķiem:
s 2 = s 1;
;
;
.

Sistēmas kinētiskās enerģijas noteikšana

Noskaidrosim sistēmas kinētisko enerģiju. Slodze 2 veic translācijas kustību ar ātrumu V 2 . Skriemelis 3 veic rotācijas kustību ar leņķisko rotācijas ātrumu ω 3 . 5. bloks veic plaknes paralēlu kustību. Tas griežas ar leņķisko ātrumu ω 5 un tā masas centrs pārvietojas ar ātrumu V C 5 . Sistēmas kinētiskā enerģija:
.

Tā kā ir dots skriemeļa inerces rādiuss attiecībā pret griešanās asi, skriemeļa inerces momentu attiecībā pret griešanās asi nosaka pēc formulas:
Dž 3 = m 3 ρ 2 3.
Tā kā 5. bloks ir ciets viendabīgs cilindrs, tā inerces moments attiecībā pret masas centru ir vienāds ar
.

Izmantojot kinemātiskās attiecības, mēs izsakām visus ātrumus caur V C 5 un aizstājiet inerces momentu izteiksmes kinētiskās enerģijas formulā.
,
kur mēs ievadījām konstanti
Kilograms.

Tātad, mēs esam atraduši sistēmas kinētiskās enerģijas atkarību no masas centra ātruma V C 5 kustīgs bloks:
, kur m = 75 Kilograms.

Ārējo spēku darba apjoma noteikšana

Apsveriet ārējos spēkus, iedarbojoties uz sistēmu.
Tajā pašā laikā mēs neņemam vērā vītņu spriegošanas spēkus, jo pavedieni ir nestiepjami un tāpēc tie nerada darbu. Šī iemesla dēļ mēs neuzskatām iekšējos spriegumus, kas darbojas ķermeņos, jo tie ir absolūti cieti.
Uz ķermeni 1 (ar nulles masu) iedarbojas noteikts spēks F.
Slodzi 2 iedarbojas gravitācija P 2 = m 2 g 2 un berzes spēks F T .
Uz 3. skriemeli iedarbojas gravitācija P 3 = m 3 g, N ass spiediena spēks 3 un berzes spēku moments M.
4. skriemeli (ar nulles masu) ietekmē N ass spiediena spēks 4 .
Uz kustīgo bloku 5 iedarbojas gravitācija P 5 = m 5 g, atsperes elastības spēks F y un vītnes stiepes spēks T K punktā K.

Darbs, ko spēks veic, pārvietojot tā pielietojuma punktu ar nelielu nobīdi, ir vienāds ar vektoru skalāro reizinājumu, tas ir, vektoru F un ds absolūto vērtību reizinājumu ar leņķa kosinusu starp viņiem. Noteikts spēks, kas tiek pielikts ķermenim 1, ir paralēls ķermeņa 1 kustībai. Tāpēc darbs, ko veic spēks, ķermenim 1 pārvietojoties par attālumu s 1 ir vienāds ar:


Dž.

Aplūkosim slodzi 2. Uz to iedarbojas gravitācijas spēks P 2 , virsmas spiediena spēks N 2 , vītnes spriegojuma spēks T 23 , T 24 un berzes spēks F T . Tā kā slodze nepārvietojas vertikālā virzienā, tās paātrinājuma projekcija uz vertikālo asi ir nulle. Tāpēc spēku projekciju summa uz vertikālās ass ir vienāda ar nulli:
N 2 — P 2 = 0;
N 2 = P 2 = m 2 g.
Berzes spēks:
F T = f N 2 = f m 2 g.
Spēki P 2 un N 2 perpendikulāri nobīdei s 2 , lai viņi neradītu darbu.
Berzes spēka darbs:
Dž.

Ja mēs uzskatām slodzi 2 par izolētu sistēmu, tad mums jāņem vērā darbs, ko rada vītņu T stiepes spēki. 23 un T 24 . Taču mūs interesē visa sistēma, kas sastāv no ķermeņiem 1, 2, 3, 4 un 5. Šādai sistēmai pavedienu spriedzes spēki ir iekšējie spēki. Un tā kā pavedieni ir nepaplašināmi, to darba summa ir nulle. Slodzes 2 gadījumā jāņem vērā arī vītņu spriegošanas spēki, kas iedarbojas uz skriemeli 3 un bloku 4. Tie ir vienādi pēc lieluma un pretēji spēkiem T. 23 un T 24 . Tāpēc darbs, ko veic vītņu 23 un 24 spriegošanas spēki virs slodzes 2, ir vienāds pēc lieluma un ir pretējs tam darbam, ko veic šo vītņu spriegošanas spēki uz skriemeļa 3 un bloka 4. Rezultātā darbs, ko rada vītņu spriegošanas spēki, ir nulle.

Apsveriet skriemeli 3. Tā kā tā masas centrs nekustas, gravitācijas P veiktais darbs 3 vienāds ar nulli.
Tā kā C ass 3 ir nekustīgs, tad N ass spiediena spēks 3 neražo darbu.
Darbu, ko veic griezes moments, aprēķina līdzīgi spēka veiktajam darbam:
.
Mūsu gadījumā berzes spēku momenta un skriemeļa griešanās leņķa vektori ir vērsti pa skriemeļa griešanās asi, bet virzienā pretēji. Tāpēc berzes spēku momenta darbs:
Dž.

Apskatīsim 5. bloku.
Tā kā punkta K ātrums ir nulle, spēks T K nerada darbu.
C bloka masas centrs 5 pārvietots par attālumu s C 5 uz augšu. Tāpēc darbs, ko veic bloka gravitācija, ir:
Dž.
Darbs, ko veic atsperes elastīgais spēks, ir vienāds ar atsperes potenciālās enerģijas izmaiņām ar mīnusa zīmi. Tā kā atspere sākumā nav deformēta, tad
Dž.

Visu spēku darba summa:

Dž.

Teorēmas pielietojums par sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām

Pielietosim teorēmu par sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām integrālā formā.
.
Tā kā sistēma sākumā bija miera stāvoklī, tās kinētiskā enerģija tās kustības sākumā ir
T 0 = 0 .
Tad
.
No šejienes
jaunkundze.

Mehāniskās sistēmas kinētiskā enerģija sastāv no visu tās punktu kinētiskajām enerģijām:

Atšķirot katru šīs vienlīdzības daļu attiecībā uz laiku, mēs iegūstam

Izmantojot dinamikas pamatlikumu, lai Uz sistēmas punkts m k 2i k= Fj., mēs nonākam pie vienlīdzības

Tiek saukts spēka F un ātruma v skalārais reizinājums tā pielietošanas punktā spēka spēks un apzīmē R:

Izmantojot šo jauno apzīmējumu, mēs attēlojam (11.6) šādā formā:

Iegūtā vienādība izsaka teorēmas diferenciālo formu par kinētiskās enerģijas izmaiņām: mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņu ātrums ir vienāds ar visu cm, kas iedarbojas uz sistēmu, jjaudu summu.

Atvasinājuma uzrādīšana f(8.5) daļskaitļa formā -- un izpilda

tad atdalot mainīgos, mēs iegūstam:

Kur dT- kinētiskās enerģijas diferenciālis, t.i. tās izmaiņas bezgalīgi mazā laika periodā dr, dr k = k dt - elementāra kustība uz- sistēmas punkti, t.i. kustība laikā dt.

Spēka F un elementārās nobīdes skalārais reizinājums dr tā pielietojuma vietas sauc pamatdarbs spēkus un apzīmē dA:

Izmantojot skalārā reizinājuma īpašības, elementāru spēka darbu varam attēlot arī formā

Šeit ds = dr - spēka pielikšanas punkta trajektorijas loka garums, kas atbilst tā elementārajai nobīdei s/g; A - leņķis starp spēka vektora F virzieniem un elementārā nobīdes vektoru c/r; F„ F y , F,- spēka vektora F projekcijas uz Dekarta asīm; dx, dy, dz - elementārās nobīdes vektora s/g projekcijas uz Dekarta asīm.

Ņemot vērā apzīmējumu (11.9), vienlīdzību (11.8) var attēlot šādā formā:

tie. sistēmas kinētiskās enerģijas diferenciālis ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo spēku elementāro darbu summu.Šī vienādība, tāpat kā (11.7), izsaka kinētiskās enerģijas izmaiņu teorēmas diferenciālo formu, bet atšķiras no (11.7) ar to, ka izmanto nevis atvasinājumus, bet bezgalīgi mazus inkrementus – diferenciāļus.

Veicot vienlīdzības integrāciju pa termiņam (11.12.), iegūstam

kur kā integrācijas robežas tiek izmantotas: 7 0 - sistēmas kinētiskā enerģija laika momentā? 0 ; 7) - sistēmas kinētiskā enerģija laika momentā tx.

Noteikti integrāļi laika gaitā vai A(F):

Piezīme 1. Lai aprēķinātu darbu, dažreiz ir ērtāk izmantot trajektorijas parametrizāciju bez loka Jaunkundze), un koordinēt M(x(t), y(/), z(f)). Šajā gadījumā elementāram darbam ir dabiski ņemt attēlojumu (11.11) un attēlot līknes integrāli šādā formā:

Ņemot vērā gala nobīdes darba apzīmējumu (11.14), vienādība (11.13) iegūst formu

un attēlo galīgo formu teorēmai par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām.

3. teorēma. Mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņas, tai virzoties no sākuma stāvokļa uz gala stāvokli, ir vienādas ar visu spēku darba summu, kas šīs kustības laikā iedarbojas uz sistēmas punktiem.

komentēt 2. Vienlīdzības labā puse (11.16) ņem vērā darbu ar visu mūsu spēku, kas iedarbojas uz sistēmu, gan ārējo, gan iekšējo. Tomēr ir mehāniskas sistēmas, kurām visu iekšējo spēku kopējais darbs ir nulle. Ego ts nemainīgas sistēmas, kurā attālumi starp mijiedarbojošiem materiāla punktiem nemainās. Piemēram, cietu ķermeņu sistēma, kas savienota ar bezberzes eņģēm vai elastīgiem nepaplašināmiem pavedieniem. Šādām sistēmām vienādībā (11.16) pietiek ņemt vērā tikai ārējo spēku darbu, t.i. teorēma (11.16) iegūst šādu formu: