Dodieties uz mūsu vietnes youtube kanālu, lai būtu informēts par visām jaunajām video nodarbībām.

Vispirms atcerēsimies pilnvaru pamatformulas un to īpašības.

Skaitļa reizinājums a notiek uz sevi n reizes, mēs varam rakstīt šo izteiksmi kā a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Jaudas vai eksponenciālie vienādojumi– tie ir vienādojumi, kuros mainīgie ir pakāpēs (vai eksponentos), un bāze ir skaitlis.

Eksponenciālo vienādojumu piemēri:

Šajā piemērā skaitlis 6 ir bāze; tas vienmēr atrodas apakšā un mainīgais x grāds vai rādītājs.

Sniegsim vairāk eksponenciālo vienādojumu piemēru.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Tagad apskatīsim, kā tiek atrisināti eksponenciālie vienādojumi?

Ņemsim vienkāršu vienādojumu:

2 x = 2 3

Šo piemēru var atrisināt pat jūsu galvā. Var redzēt, ka x=3. Galu galā, lai kreisā un labā puse būtu vienādas, x vietā jāievieto skaitlis 3.
Tagad apskatīsim, kā formalizēt šo lēmumu:

2 x = 2 3
x = 3

Lai atrisinātu šādu vienādojumu, mēs noņēmām identisks pamatojums(tas ir, divnieki) un pierakstīja, kas bija palicis, tie ir grādi. Mēs saņēmām atbildi, ko meklējām.

Tagad apkoposim savu lēmumu.

Algoritms eksponenciālā vienādojuma risināšanai:
1. Nepieciešams pārbaudīt tas pats vai vienādojumam ir pamati labajā un kreisajā pusē. Ja iemesli nav vienādi, mēs meklējam iespējas, kā atrisināt šo piemēru.
2. Pēc tam, kad bāzes kļūst vienādas, pielīdzināt grādiem un atrisiniet iegūto jauno vienādojumu.

Tagad apskatīsim dažus piemērus:

Sāksim ar kaut ko vienkāršu.

Pamatnes kreisajā un labajā pusē ir vienādas ar skaitli 2, kas nozīmē, ka mēs varam atmest pamatni un pielīdzināt to spēkus.

x+2=4 Iegūst vienkāršāko vienādojumu.
x=4–2
x=2
Atbilde: x=2

Nākamajā piemērā var redzēt, ka bāzes atšķiras: 3 un 9.

3 3 x — 9 x+8 = 0

Pirmkārt, pārvietojiet deviņus uz labo pusi, mēs iegūstam:

Tagad jums ir jāizveido tās pašas pamatnes. Mēs zinām, ka 9 = 3 2. Izmantosim jaudas formulu (a n) m = a nm.

3 3 x = (3 2) x+8

Mēs iegūstam 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Tagad ir skaidrs, ka kreisajā un labajā pusē bāzes ir vienādas un vienādas ar trīs, kas nozīmē, ka mēs varam tās atmest un pielīdzināt pakāpes.

3x=2x+16 iegūstam vienkāršāko vienādojumu
3x - 2x = 16
x=16
Atbilde: x=16.

Apskatīsim šādu piemēru:

2 2 x+4 — 10 4 x = 2 4

Pirmkārt, mēs aplūkojam pamatnes, otrās un ceturtās bāzes. Un mums vajag, lai tie būtu vienādi. Mēs pārveidojam četrus, izmantojot formulu (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Un mēs arī izmantojam vienu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pievienojiet vienādojumam:

2 2 x 2 4 — 10 2 2 x = 24

To pašu iemeslu dēļ mēs sniedzām piemēru. Bet mums traucē citi cipari 10 un 24. Ko ar tiem darīt? Ja paskatās vērīgi, var redzēt, ka kreisajā pusē mums ir 2 2x atkārtojumi, šeit ir atbilde - mēs varam likt 2 2x no iekavām:

2 2 x (2 4–10) = 24

Aprēķināsim izteiksmi iekavās:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Mēs dalām visu vienādojumu ar 6:

Iedomāsimies 4=2 2:

2 2x = 2 2 bāzes ir vienādas, mēs tās atmetam un vienādojam pakāpes.
2x = 2 ir vienkāršākais vienādojums. Sadaliet to ar 2 un iegūstam
x = 1
Atbilde: x = 1.

Atrisināsim vienādojumu:

9 x – 12*3 x +27 = 0

Pārveidosim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Mēs iegūstam vienādojumu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsu bāzes ir vienādas, vienādas ar trīs. Šajā piemērā var redzēt, ka pirmajiem trim ir grāds divreiz (2x) nekā otrajam (tikai x). Šajā gadījumā jūs varat atrisināt aizstāšanas metode. Skaitli aizstājam ar mazāko pakāpi:

Tad 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Mēs aizvietojam visus x spēkus vienādojumā ar t:

t 2 — 12t+27 = 0
Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu. Atrisinot, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Atgriežoties pie mainīgā x.

Ņem t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Tas ir,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Tika atrasta viena sakne. Meklējam otro no t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atbilde: x 1 = 2; x 2 = 1.

Mājaslapā varat uzdot visus sev interesējošos jautājumus sadaļā PALĪDZĪBA LĒMĒT, mēs noteikti jums atbildēsim.

Pievienojies grupai

Parasti vienādojumu, kura pakāpe ir lielāka par 4, nevar atrisināt radikāļos. Bet dažreiz mēs joprojām varam atrast polinoma saknes kreisajā pusē augstākās pakāpes vienādojumā, ja attēlojam to kā polinoma reizinājumu ar pakāpi, kas nepārsniedz 4. Šādu vienādojumu risināšanas pamatā ir polinoma faktorings, tāpēc pirms šī raksta izpētes iesakām pārskatīt šo tēmu.

Visbiežāk nākas saskarties ar augstākas pakāpes vienādojumiem ar veselu skaitļu koeficientiem. Šādos gadījumos mēs varam mēģināt atrast racionālas saknes un pēc tam faktorēt polinomu, lai pēc tam varētu pārveidot to zemākas pakāpes vienādojumā, ko ir viegli atrisināt. Šajā materiālā mēs aplūkosim tikai šādus piemērus.

Augstākās pakāpes vienādojumi ar veselu skaitļu koeficientiem

Visi vienādojumi formā a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0, mēs varam izveidot vienādojumu ar tādu pašu pakāpi, reizinot abas puses ar a n n - 1 un veicot mainīgās formas y = a n x izmaiņas:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Iegūtie koeficienti arī būs veseli skaitļi. Tādējādi mums būs jāatrisina n-tās pakāpes reducētais vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem, kam ir forma x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Mēs aprēķinām vienādojuma veselo skaitļu saknes. Ja vienādojumam ir veselu skaitļu saknes, tās jāmeklē starp brīvā vārda a 0 dalītājiem. Pierakstīsim tos un pa vienam aizstājam sākotnējā vienādībā, pārbaudot rezultātu. Kad esam ieguvuši identitāti un atraduši vienu no vienādojuma saknēm, varam to uzrakstīt formā x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Šeit x 1 ir vienādojuma sakne, un P n - 1 (x) ir x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0, kas dalīts ar x - x 1, koeficients.

Mēs aizstājam atlikušos dalītājus, kas izrakstīti uz P n - 1 (x) = 0, sākot ar x 1, jo saknes var atkārtot. Pēc identitātes iegūšanas sakne x 2 tiek uzskatīta par atrastu, un vienādojumu var uzrakstīt formā (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Šeit P n - 2 (x) būs P n - 1 (x) dalīšanas ar x - x 2 koeficients.

Turpinām kārtot dalītājus. Atradīsim visas veselās saknes un apzīmēsim to skaitu kā m. Pēc tam sākotnējo vienādojumu var attēlot kā x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Šeit P n - m (x) ir n - m pakāpes polinoms. Aprēķiniem ir ērti izmantot Hornera shēmu.

Ja mūsu sākotnējam vienādojumam ir veseli skaitļu koeficienti, mēs nevaram iegūt daļveida saknes.

Mēs nonācām pie vienādojuma P n - m (x) = 0, kura saknes var atrast jebkurā ērtā veidā. Tie var būt neracionāli vai sarežģīti.

Parādīsim ar konkrētu piemēru, kā šī risinājuma shēma tiek izmantota.

1. piemērs

Stāvoklis: atrodiet vienādojuma x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 risinājumu.

Risinājums

Sāksim ar veselu sakņu atrašanu.

Mums ir brīvais termiņš, kas vienāds ar mīnus trīs. Tam ir dalītāji, kas vienādi ar 1, - 1, 3 un - 3. Aizstāsim tos sākotnējā vienādojumā un redzēsim, kurš no tiem piešķir iegūtās identitātes.

Ja x ir vienāds ar vienu, mēs iegūstam 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, kas nozīmē, ka viens būs šī vienādojuma sakne.

Tagad sadalīsim polinomu x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 ar (x - 1) kolonnā:

Tātad x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Mēs ieguvām identitāti, kas nozīmē, ka atradām citu vienādojuma sakni, kas vienāda ar -1.

Sadaliet polinomu x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ar (x + 1) kolonnā:

Mēs to saņemam

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Nākamo dalītāju aizstājam vienādībā x 2 + x + 3 = 0, sākot no -1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Rezultātā iegūtās vienādības būs nepareizas, kas nozīmē, ka vienādojumam vairs nav veselu skaitļu sakņu.

Atlikušās saknes būs izteiksmes x 2 + x + 3 saknes.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

No tā izriet, ka šim kvadrātveida trinomim nav īstu sakņu, bet ir sarežģītas konjugētas saknes: x = - 1 2 ± i 11 2.

Paskaidrosim, ka sadalīšanas kolonnā vietā var izmantot Hornera shēmu. Tas tiek darīts šādi: pēc vienādojuma pirmās saknes noteikšanas mēs aizpildām tabulu.

Koeficientu tabulā uzreiz redzami polinomu dalījuma koeficienta koeficienti, kas nozīmē x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Pēc nākamās saknes atrašanas, kas ir - 1, mēs iegūstam sekojošo:

Atbilde: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.

2. piemērs

Stāvoklis: atrisiniet vienādojumu x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Risinājums

Brīvajam terminam ir dalītāji 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Pārbaudīsim tos secībā:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Tas nozīmē, ka x = 2 būs vienādojuma sakne. Sadaliet x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 ar x - 2, izmantojot Hornera shēmu:

Rezultātā mēs iegūstam x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Tas nozīmē, ka 2 atkal būs sakne. Sadaliet x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 ar x - 2:

Rezultātā mēs iegūstam (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Pārbaudīt atlikušos dalītājus nav jēgas, jo vienādību x 2 + 3 x + 3 = 0 ir ātrāk un ērtāk atrisināt, izmantojot diskriminantu.

Atrisināsim kvadrātvienādojumu:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Iegūstam kompleksu konjugētu sakņu pāri: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Atbilde: x = - 3 2 ± i 3 2 .

3. piemērs

Stāvoklis: Atrodiet vienādojuma x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 reālās saknes.

Risinājums

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Mēs reizinām 2 3 abās vienādojuma pusēs:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Aizstāt mainīgos y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 g - 48 = 0

Rezultātā mēs ieguvām 4. pakāpes standarta vienādojumu, kuru var atrisināt pēc standarta shēmas. Pārbaudīsim dalītājus, sadalīsim un galu galā iegūsim, ka tam ir 2 reālās saknes y = - 2, y = 3 un divas sarežģītas. Mēs šeit neparādīsim visu risinājumu. Aizstāšanas dēļ šī vienādojuma reālās saknes būs x = y 2 = - 2 2 = - 1 un x = y 2 = 3 2.

Atbilde: x 1 = - 1, x 2 = 3 2

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Apsvērsim risinot vienādojumus ar vienu mainīgo pakāpi augstāku par otro.

Vienādojuma pakāpe P(x) = 0 ir polinoma P(x) pakāpe, t.i. lielākais no tā skaitļu pakāpēm ar koeficientu, kas nav vienāds ar nulli.

Tā, piemēram, vienādojumam (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 ir piektā pakāpe, jo pēc iekavu atvēršanas un līdzīgu ienesšanas operācijām iegūstam ekvivalento vienādojumu x 5 – 2x 3 + 3 = 0 piektās pakāpes.

Atcerēsimies noteikumus, kas būs nepieciešami, lai atrisinātu vienādojumus, kuru pakāpe ir augstāka par diviem.

Paziņojumi par polinoma saknēm un tā dalītājiem:

1. N-tās pakāpes polinomā sakņu skaits nepārsniedz n, un daudzkārtības m saknes notiek tieši m reizes.

2. Nepāra pakāpes polinomam ir vismaz viena reāla sakne.

3. Ja α ir P(x) sakne, tad P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), kur Q n – 1 (x) ir pakāpes polinoms (n – 1) .

4.

5. Reducētajam polinomam ar veselu skaitļu koeficientiem nevar būt daļēja racionāla sakne.

6. Trešās pakāpes polinomam

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ir iespējama viena no divām lietām: vai nu tas tiek sadalīts trīs binomiālu reizinājumā

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), vai sadalās binoma un kvadrātveida trinoma reizinājumā Р 3 (x) = а(х – α)(х 2) + βх + γ).

7. Jebkuru ceturtās pakāpes polinomu var izvērst divu kvadrātveida trinomu reizinājumā.

8. Polinoms f(x) dalās ar polinomu g(x) bez atlikuma, ja ir tāds polinoms q(x), ka f(x) = g(x) · q(x). Lai sadalītu polinomus, tiek izmantots “stūra dalīšanas” noteikums.

9. Lai polinoms P(x) dalītos ar binomālu (x – c), ir nepieciešams un pietiekami, lai skaitlis c būtu P(x) sakne (Bezout teorēmas izsecinājums).

10. Vietas teorēma: Ja x 1, x 2, ..., x n ir polinoma reālās saknes

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, tad spēkā ir šādas vienādības:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3/a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Risināšanas piemēri

1. piemērs.

Atrodiet dalījuma atlikumu P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 ar (x – 1/3).

Risinājums.

Saskaņā ar Bezout teorēmu: "polinoma atlikusī daļa, kas dalīta ar binomiālu (x - c), ir vienāda ar c polinoma vērtību." Atradīsim P(1/3) = 0. Tāpēc atlikums ir 0 un skaitlis 1/3 ir polinoma sakne.

Atbilde: R = 0.

2. piemērs.

Sadaliet ar “stūri” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 ar (x + 2). Atrodiet atlikušo un nepilnīgo koeficientu.

Risinājums:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Atbilde: R = 3; koeficients: 2x 2 – x.

Augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas pamatmetodes

1. Jauna mainīgā ieviešana

Jauna mainīgā ieviešanas metode jau ir pazīstama no bikvadrātisko vienādojumu piemēra. Tas sastāv no tā, ka, lai atrisinātu vienādojumu f(x) = 0, tiek ieviests jauns mainīgais (aizvietojums) t = x n vai t = g(x) un f(x) tiek izteikts caur t, iegūstot jaunu vienādojumu r (t). Pēc tam, atrisinot vienādojumu r(t), tiek atrastas saknes:

(t 1, t 2, …, t n). Pēc tam tiek iegūta n vienādojumu kopa q(x) = t 1, q(x) = t 2, … , q(x) = t n, no kuras tiek atrastas sākotnējā vienādojuma saknes.

1. piemērs.

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Risinājums:

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Aizstāšana (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Apgrieztā aizstāšana:

x 2 + x + 1 = 2 vai x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 vai x 2 + x = 0;

Atbilde: No pirmā vienādojuma: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, no otrā: 0 un -1.

2. Faktorizācija, grupējot un saīsinātās reizināšanas formulas

Šīs metodes pamats arī nav jauns un sastāv no terminu grupēšanas tā, lai katra grupa saturētu kopīgu faktoru. Lai to izdarītu, dažreiz ir nepieciešams izmantot dažus mākslīgus paņēmienus.

1. piemērs.

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Risinājums.

Iedomāsimies - 3x 2 = -2x 2 - x 2 un sagrupējiet:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2) (x 2 – 1 + x – 2) = 0.

(x 2 – x + 1) (x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 vai x 2 + x – 3 = 0.

Atbilde: Pirmajā vienādojumā nav sakņu, no otrā: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Faktorizācija ar nenoteikto koeficientu metodi

Metodes būtība ir tāda, ka sākotnējais polinoms tiek faktorizēts ar nezināmiem koeficientiem. Izmantojot īpašību, ka polinomi ir vienādi, ja to koeficienti ir vienādi ar vienādām pakāpēm, tiek atrasti nezināmie izplešanās koeficienti.

1. piemērs.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Risinājums.

3. pakāpes polinomu var izvērst lineāro un kvadrātisko faktoru reizinājumā.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Pēc sistēmas atrisināšanas:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, t.i.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Vienādojuma (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 saknes ir viegli atrast.

Atbilde: -1; -2.

4. Saknes izvēles metode, izmantojot lielāko un brīvo koeficientu

Metode ir balstīta uz teorēmu piemērošanu:

1) Katra polinoma vesela skaitļa sakne ar veselu skaitļu koeficientiem ir brīvā vārda dalītājs.

2) Lai nesamazināmā daļa p/q (p ir vesels skaitlis, q ir naturāls skaitlis) būtu vienādojuma sakne ar veselu skaitļu koeficientiem, ir nepieciešams, lai skaitlis p būtu brīvā vārda a 0 vesels dalītājs, un q ir vadošā koeficienta dabiskais dalītājs.

1. piemērs.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Risinājums:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Tāpēc p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Atrodot vienu sakni, piemēram – 2, citas saknes atradīsim, izmantojot stūra dalījumu, nenoteikto koeficientu metodi vai Hornera shēmu.

Atbilde: -2; 1/2; 1/3.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Klase: 9

Pamatmērķi:

1. Nostipriniet jēdzienu par veselu th pakāpes racionālu vienādojumu.
2. Formulējiet pamatmetodes augstākas pakāpes vienādojumu risināšanai (n > 3).
3. Iemācīt augstākās kārtas vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
4. Iemācieties izmantot vienādojuma veidu, lai noteiktu visefektīvāko veidu, kā to atrisināt.

Formas, metodes un pedagoģiskie paņēmieni, ko skolotājs izmanto klasē:

• Lekciju-semināru mācību sistēma (lekcijas - jaunā materiāla skaidrojums, semināri - problēmu risināšana).
• Informācijas un komunikācijas tehnoloģijas (frontālā aptauja, mutisks darbs ar klasi).
• Diferencētas mācīšanās, grupu un individuālās formas.
• Pētniecības metodes izmantošana mācībās, kuras mērķis ir attīstīt katra atsevišķa skolēna matemātisko aparātu un domāšanas spējas.
• Drukāts materiāls – individuāls īss nodarbības kopsavilkums (pamatjēdzieni, formulas, apgalvojumi, lekciju materiāls saīsināts diagrammu vai tabulu veidā).

Nodarbības plāns:

1. Laika organizēšana.
   Posma mērķis: iekļaut skolēnus izglītojošās aktivitātēs, noteikt stundas saturu.
2. Studentu zināšanu papildināšana.
   Posma mērķis: papildināt studentu zināšanas par iepriekš apgūtām saistītām tēmām
3. Jaunas tēmas apgūšana (lekcija). Posma mērķis: formulēt augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas pamatmetodes (n > 3)
4. Apkopojot.
   Posma mērķis: vēlreiz izcelt galvenos punktus stundā pētītajā materiālā.
5. Mājasdarbs.
   Posma mērķis: noformulēt mājas darbus skolēniem.

Nodarbības kopsavilkums

1. Organizatoriskais moments.

Nodarbības tēmas formulējums: “Augstāko spēku vienādojumi. To risināšanas metodes.

2. Studentu zināšanu papildināšana.

Teorētiskā aptauja - saruna. Dažas iepriekš pētītas informācijas atkārtojums no teorijas. Studenti formulē pamatdefinīcijas un formulē nepieciešamās teorēmas. Sniedziet piemērus, lai parādītu iepriekš iegūto zināšanu līmeni.

• Vienādojuma jēdziens ar vienu mainīgo.
• Vienādojuma saknes jēdziens, vienādojuma atrisinājums.
• Lineāra vienādojuma ar vienu mainīgo jēdziens, kvadrātvienādojuma ar vienu mainīgo jēdziens.
• Vienādojumu ekvivalences jēdziens, vienādojumi-sekas (svešo sakņu jēdziens), pāreja nevis sekas (sakņu zaudēšanas gadījums).
• Veselas racionālas izteiksmes jēdziens ar vienu mainīgo.
• Vesela racionāla vienādojuma jēdziens n th grāds. Vesela racionāla vienādojuma standarta forma. Samazināts viss racionālais vienādojums.
• Pāreja uz zemākas pakāpes vienādojumu kopu, faktorējot sākotnējo vienādojumu.
• Polinoma jēdziens n th grāds no x. Bezout teorēma. Secinājumi no Bezout teorēmas. Sakņu teorēmas ( Z-saknes un J-saknes) no visa racionālā vienādojuma ar veselu skaitļu koeficientiem (attiecīgi samazināts un nesamazināts).
• Hornera shēma.

3. Jaunas tēmas apguve.

Mēs apsvērsim visu racionālo vienādojumu n-standarta formas pakāpe ar vienu nezināmu mainīgo x:Pn(x)= 0, kur P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- polinoms n th grāds no x, a n ≠ 0. Ja a n = 1, tad šādu vienādojumu sauc par reducētu veselu skaitļu racionālo vienādojumu n th grāds. Apskatīsim šādus vienādojumus dažādām vērtībām n un uzskaitiet galvenās metodes to risināšanai.

n= 1 – lineārais vienādojums.

n= 2 – kvadrātvienādojums. Diskriminējošā formula. Formula sakņu aprēķināšanai. Vietas teorēma. Pilna kvadrāta izvēle.

n= 3 – kubiskais vienādojums.

Grupēšanas metode.

Piemērs: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Formas abpusējs kubiskais vienādojums cirvis 3 + bx 2 + bx + a= 0. Atrisinām, apvienojot terminus ar vienādiem koeficientiem.

Piemērs: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Z-sakņu izvēle, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Lietojot šo metodi, ir jāuzsver, ka meklēšana šajā gadījumā ir ierobežota, un mēs atlasām saknes, izmantojot noteiktu algoritmu saskaņā ar teorēmu Z-dotā visa racionālā vienādojuma saknes ar veselu skaitļu koeficientiem.

Piemērs: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Vienādojums ir dots. Pierakstīsim brīvā termiņa dalītājus ( + 1; + 3; + 5; + 15). Pielietosim Hornera shēmu:

	x 3	x 2	x 1	x 0	secinājums
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15–15 = 0	1 – sakne
	x 2	x 1	x 0

Mēs saņemam ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q-sakņu izvēle, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Pielietojot šo metodi, jāuzsver, ka meklēšana šajā gadījumā ir galīga un saknes izvēlamies, izmantojot noteiktu algoritmu saskaņā ar teorēmu par J-nereducēta vesela skaitļa racionālā vienādojuma saknes ar veselu skaitļu koeficientiem.

Piemērs: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Vienādojums ir nereducēts. Pierakstīsim brīvā termiņa dalītājus ( + 1; + 3). Pierakstīsim koeficienta dalītājus pie lielākās nezināmā pakāpes. ( + 1; + 3; + 9) Līdz ar to mēs meklēsim saknes starp vērtībām ( + 1; + ; + ; + 3). Pielietosim Hornera shēmu:

	x 3	x 2	x 1	x 0	secinājums
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 — 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – nav sakne
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – nav sakne
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	sakne
	x 2	x 1	x 0

Mēs saņemam ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Aprēķinu atvieglošanai, izvēloties Q - saknes Var būt ērti veikt mainīgā lieluma izmaiņas, pārejiet uz doto vienādojumu un atlasiet Z - saknes.

• Ja fiktīvais termins ir 1

.

• Ja varat izmantot veidlapas nomaiņu y = kx

.

Cardano formula. Ir universāla metode kubisko vienādojumu risināšanai - tā ir Kardano formula. Šī formula ir saistīta ar itāļu matemātiķu Džerolamo Kardano (1501–1576), Nikola Tartaglia (1500–1557) un Scipione del Ferro (1465–1526) vārdiem. Šī formula ir ārpus mūsu kursa darbības jomas.

n= 4 – ceturtās pakāpes vienādojums.

Grupēšanas metode.

Piemērs: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Mainīgā aizstāšanas metode.

• Formas bikvadrātiskais vienādojums cirvis 4 + bx 2 + s = 0 .

Piemērs: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Nomaiņa y = x 2. No šejienes y 1 = 4, y 2 = -9. Tāpēc x 1,2 = + 2 .

• Formas ceturtās pakāpes abpusējs vienādojums cirvis 4 + bx 3+c x 2 + bx + a = 0.

Mēs risinām, apvienojot terminus ar vienādiem koeficientiem, aizstājot formu

• cirvis 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Formas ceturtās pakāpes vispārināts atkārtots vienādojums cirvis 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Vispārējā nomaiņa. Dažas standarta nomaiņas.

3. piemērs . Vispārējā skata nomaiņa(seko no specifiskā vienādojuma veida).

n = 3.

Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q-sakņu izvēle n = 3.

Vispārējā formula. Ir universāla metode ceturtās pakāpes vienādojumu risināšanai. Šī formula ir saistīta ar Ludoviko Ferrari (1522–1565) vārdu. Šī formula ir ārpus mūsu kursa darbības jomas.

n > 5 – piektās un augstākas pakāpes vienādojumi.

Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Z-sakņu izvēle, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Algoritms ir līdzīgs tam, kas tika apspriests iepriekš n = 3.

Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q-sakņu izvēle pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Algoritms ir līdzīgs tam, kas tika apspriests iepriekš n = 3.

Simetriskie vienādojumi. Jebkuram nepāra pakāpes abpusējam vienādojumam ir sakne x= -1 un pēc to iedalīšanas faktoros mēs atklājam, ka vienam faktoram ir forma ( x+ 1), un otrais faktors ir pāra pakāpes abpusējs vienādojums (tā pakāpe ir par vienu mazāka nekā sākotnējā vienādojuma pakāpe). Jebkurš pāra pakāpes abpusējs vienādojums kopā ar formas sakni x = φ satur arī sugas sakni. Izmantojot šos apgalvojumus, mēs atrisinām problēmu, pazeminot pētāmā vienādojuma pakāpi.

Mainīgā aizstāšanas metode. Viendabīguma izmantošana.

Nav vispārējas formulas veselu piektās pakāpes vienādojumu risināšanai (to parādīja itāļu matemātiķis Paolo Ruffini (1765–1822) un norvēģu matemātiķis Nīls Henriks Abels (1802–1829)) un augstākas pakāpes (to parādīja franču matemātiķis Evariste Galuā (1811–1832) )).

• Atgādināsim vēlreiz, ka praksē to ir iespējams izmantot kombinācijas iepriekš uzskaitītajām metodēm. Ir ērti pāriet uz zemākas pakāpes vienādojumu kopu faktorējot sākotnējo vienādojumu.
• Ārpus mūsu šodienas diskusijas jomas ir tie, kas tiek plaši izmantoti praksē. grafiskās metodes vienādojumu risināšana un aptuvenās risināšanas metodes augstāku pakāpju vienādojumi.
• Ir situācijas, kad vienādojumam nav R-sakņu.
Tad risinājums ir parādīt, ka vienādojumam nav sakņu. Lai to pierādītu, mēs analizējam aplūkojamo funkciju uzvedību monotonitātes intervālos. Piemērs: vienādojums x 8 – x 3 + 1 = 0 nav sakņu.
• Izmantojot funkciju monotonitātes īpašību
. Pastāv situācijas, kad dažādu funkciju īpašību izmantošana ļauj vienkāršot uzdevumu.
1. piemērs: vienādojums x 5 + 3x– 4 = 0 ir viena sakne x= 1. Sakarā ar analizējamo funkciju monotoniskuma īpašību, citu sakņu nav.
2. piemērs: vienādojums x 4 + (x– 1) 4 = 97 ir saknes x 1 = -2 un x 2 = 3. Izanalizējot atbilstošo funkciju uzvedību monotonitātes intervālos, secinām, ka citu sakņu nav.

4. Rezumējot.

Kopsavilkums: Tagad mēs esam apguvuši pamatmetodes dažādu augstākas pakāpes vienādojumu risināšanai (par n > 3). Mūsu uzdevums ir iemācīties efektīvi izmantot iepriekš uzskaitītos algoritmus. Atkarībā no vienādojuma veida mums būs jāiemācās noteikt, kura risināšanas metode konkrētajā gadījumā ir visefektīvākā, kā arī pareizi jāpiemēro izvēlētā metode.

5. Mājas darbs.

: 7. punkts, 164.–174. lpp., 33.–36., 39.–44., 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Iespējamās tēmas ziņojumiem vai kopsavilkumiem par šo tēmu:

• Cardano formula
• Grafiskā metode vienādojumu risināšanai. Risinājumu piemēri.
• Vienādojumu aptuvenās atrisināšanas metodes.

Studentu mācīšanās un intereses par tēmu analīze:

Pieredze rāda, ka skolēnu interesi pirmām kārtām rada iespēja izvēlēties Z-saknes un J-vienādojumu saknes, izmantojot diezgan vienkāršu algoritmu, izmantojot Hornera shēmu. Studentus interesē arī dažādi mainīgo lielumu aizstāšanas standarta veidi, kas var būtiski vienkāršot problēmas veidu. Grafiskā risinājuma metodes parasti ir īpaši interesantas. Šajā gadījumā jūs varat papildus analizēt problēmas, izmantojot vienādojumu risināšanas grafisko metodi; apspriest grafa vispārējo formu 3., 4., 5. pakāpes polinomam; analizējiet, kā 3., 4., 5. pakāpes vienādojumu sakņu skaits ir saistīts ar atbilstošā grafika izskatu. Zemāk ir saraksts ar grāmatām, kurās varat atrast papildu informāciju par šo tēmu.

Bibliogrāfija:

1. Viļenkins N.Ya. un citi.“Algebra. Mācību grāmata 9. klases skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi” - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 lpp.
2. Viļenkins N.Ya., Šibasovs L.P., Šibasova Z.F.“Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Aritmētika. Algebra. 10-11 klase” – M., Izglītība, 2008 – 192 lpp.
3. Vigodskis M.Ya.“Matemātikas rokasgrāmata” – M., AST, 2010 – 1055 lpp.
4. Gaļitskis M.L.“Uzdevumu apkopojums algebrā. Mācību grāmata 8.-9.klasei ar padziļinātu matemātikas apguvi” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 lpp.
5. Zvavičs L.I. un citi.“Algebra un analīzes sākums. 8-11 klases Rokasgrāmata skolām un klasēm ar padziļinātu matemātikas apguvi” - M., Drofa, 1999 - 352 lpp.
6. Zvavičs L.I., Averjanovs D.I., Pigarevs B.P., Trušaņina T.N.“Matemātikas uzdevumi, lai sagatavotos rakstiskajam eksāmenam 9. klasē” - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 lpp.
7. Ivanovs A.A., Ivanovs A.P.“Tematiskie testi zināšanu sistematizēšanai matemātikā” 1.daļa – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 lpp.
8. Ivanovs A.A., Ivanovs A.P.“Tematiskie testi zināšanu sistematizēšanai matemātikā” 2.daļa – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 lpp.
9. Ivanovs A.P.“Pārbaudes un kontroldarbi matemātikā. Apmācība". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 lpp.
10. Leibsons K.L.“Praktisko uzdevumu krājums matemātikā. 2.–9.daļa” – M., MTSNM, 2009 – 184 lpp.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebra. Papildnodaļas 9. klases skolas mācību grāmatai. Mācību grāmata skolēniem skolās un klasēs ar padziļinātu matemātikas apguvi.” – M., Izglītība, 2006 – 224 lpp.
12. Mordkovičs A.G."Algebra. Padziļināta izpēte. 8. klase. Mācību grāmata” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 lpp.
13. Savin A.P.“Jaunā matemātiķa enciklopēdiskā vārdnīca” - M., Pedagoģija, 1985 - 352 lpp.
14. Survillo G.S., Simonovs A.S.“Didaktiskie materiāli par algebru 9. klasei ar padziļinātu matemātikas izpēti” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 lpp.
15. Čulkovs P.V.“Vienādojumi un nevienādības skolas matemātikas kursā. Lekcijas 1–4” – M., 2006. gada 1. septembris – 88 lpp.
16. Čulkovs P.V.“Vienādojumi un nevienādības skolas matemātikas kursā. Lekcijas 5–8” – M., 2009. gada 1. septembris – 84 lpp.