Šajā rakstā mēs atradīsim atbildes uz jautājumiem par to, kā izveidot punkta projekciju uz plakni un kā noteikt šīs projekcijas koordinātas. Teorētiskajā daļā balstīsimies uz projekcijas jēdzienu. Mēs definēsim noteikumus un sniegsim informāciju ar ilustrācijām. Nostiprināsim iegūtās zināšanas, risinot piemērus.

Projekcija, projekcijas veidi

Telpisko figūru apskates ērtībai tiek izmantoti zīmējumi, kuros attēlotas šīs figūras.

1. definīcija

Figūras projekcija plaknē– telpiskas figūras zīmējums.

Acīmredzot projekcijas izveidošanai tiek izmantoti vairāki noteikumi.

2. definīcija

Projekcija– telpiskās figūras zīmējuma konstruēšanas process plaknē, izmantojot konstruēšanas noteikumus.

Projekcijas plakne- šī ir plakne, kurā tiek konstruēts attēls.

Noteiktu noteikumu izmantošana nosaka projekcijas veidu: centrālais vai paralēli.

Īpašs paralēlās projekcijas gadījums ir perpendikulāra projekcija jeb ortogonāla: ģeometrijā to galvenokārt izmanto. Šī iemesla dēļ runā bieži tiek izlaists pats īpašības vārds “perpendikulārs”: ģeometrijā viņi vienkārši saka “figūras projicēšana” un ar to saprot projekcijas konstruēšanu, izmantojot perpendikulārās projekcijas metodi. Īpašos gadījumos, protams, var vienoties par ko citu.

Atzīmēsim faktu, ka figūras projekcija uz plakni būtībā ir visu šīs figūras punktu projekcija. Tāpēc, lai zīmējumā varētu pētīt telpisku figūru, ir jāapgūst pamatprasme punkta projicēšanai plaknē. Par ko mēs runāsim tālāk.

Atcerēsimies, ka visbiežāk ģeometrijā, runājot par projekciju uz plakni, ar to saprot perpendikulāras projekcijas izmantošanu.

Izgatavosim konstrukcijas, kas dos mums iespēju iegūt definīciju punkta projekcijai uz plakni.

Pieņemsim, ka ir dota trīsdimensiju telpa, un tajā ir plakne α un punkts M 1, kas nepieder plaknei α. Novelciet taisnu līniju caur norādīto punktu M A perpendikulāri noteiktai plaknei α. Taisnes a un plaknes α krustošanās punktu apzīmējam kā H 1; pēc konstrukcijas tas kalpos par pamatu perpendikulam, kas nomests no punkta M 1 uz plakni α.

Ja dots punkts M 2, kas pieder dotai plaknei α, tad M 2 kalpos kā sevis projekcija uz plakni α.

3. definīcija

- tas ir vai nu pats punkts (ja tas pieder noteiktai plaknei), vai perpendikula pamats, kas nomests no dotā punkta uz noteiktu plakni.

Punkta projekcijas plaknē koordinātu atrašana, piemēri

Trīsdimensiju telpā doti: taisnstūra koordinātu sistēma O x y z, plakne α, punkts M 1 (x 1, y 1, z 1). Jāatrod punkta M 1 projekcijas koordinātas uz doto plakni.

Risinājums acīmredzami izriet no iepriekš sniegtās punkta projekcijas plaknē definīcijas.

Punkta M 1 projekciju uz plaknes α apzīmēsim kā H 1 . Saskaņā ar definīciju H 1 ir dotās plaknes α un caur punktu M 1 novilktas taisnes a krustpunkts (perpendikulāri plaknei). Tie. Mums nepieciešamās punkta M1 projekcijas koordinātas ir taisnes a un plaknes α krustošanās punkta koordinātas.

Tādējādi, lai atrastu punkta projekcijas koordinātas plaknē, ir nepieciešams:

Iegūstiet plaknes α vienādojumu (ja tas nav norādīts). Šeit jums palīdzēs raksts par plakņu vienādojumu veidiem;

Noteikt vienādojumu taisnei a, kas iet caur punktu M 1 un ir perpendikulāra plaknei α (izpētiet tēmu par taisnes vienādojumu, kas iet caur doto punktu perpendikulāri noteiktai plaknei);

Atrodiet taisnes a un plaknes α krustošanās punkta koordinātas (raksts - plaknes un taisnes krustošanās punkta koordināšu atrašana). Iegūtie dati būs koordinātas, kas mums vajadzīgas punkta M 1 projekcijai uz plakni α.

Apskatīsim teoriju ar praktiskiem piemēriem.

1. piemērs

Nosakiet punkta M 1 (- 2, 4, 4) projekcijas koordinātas uz plakni 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Risinājums

Kā redzam, mums ir dots plaknes vienādojums, t.i. nav vajadzības to apkopot.

Pierakstīsim kanoniskos vienādojumus taisnei a, kas iet caur punktu M 1 un ir perpendikulāra dotajai plaknei. Šiem nolūkiem mēs nosakām taisnes a virzošā vektora koordinātas. Tā kā taisne a ir perpendikulāra noteiktai plaknei, tad taisnes a virziena vektors ir plaknes 2 x - 3 y + z - 2 = 0 normālvektors. Tādējādi a → = (2, - 3, 1) – taisnes a virziena vektors.

Tagad sastādīsim kanoniskos vienādojumus tai līnijai telpā, kas iet caur punktu M 1 (- 2, 4, 4) un kurai ir virziena vektors a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Lai atrastu nepieciešamās koordinātas, nākamais solis ir noteikt taisnes x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 un plaknes krustošanās punkta koordinātas. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Šiem nolūkiem mēs pārejam no kanoniskajiem vienādojumiem uz divu krustojošu plakņu vienādojumiem:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Izveidosim vienādojumu sistēmu:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Un atrisināsim to, izmantojot Cramer metodi:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 32 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = ∆ 140–28 = 5

Tādējādi noteiktā punkta M 1 nepieciešamās koordinātas uz dotās plaknes α būs: (0, 1, 5).

Atbilde: (0 , 1 , 5) .

2. piemērs

Trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z ir doti punkti A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) un M 1 (-1, -2, 5). Jāatrod projekcijas M 1 koordinātas uz plakni A B C

Risinājums

Pirmkārt, mēs pierakstām plaknes vienādojumu, kas iet cauri trim dotiem punktiem:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 g + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Pierakstīsim taisnes a parametriskos vienādojumus, kas iet caur punktu M 1 perpendikulāri plaknei A B C. Plaknei x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ir normāls vektors ar koordinātām (1, - 2, 2), t.i. vektors a → = (1, - 2, 2) – taisnes a virziena vektors.

Tagad, ņemot vērā līnijas M 1 punkta koordinātas un šīs līnijas virziena vektora koordinātas, mēs ierakstām līnijas parametriskos vienādojumus telpā:

Tad nosakām plaknes x – 2 y + 2 z – 4 = 0 un taisnes krustpunkta koordinātas.

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Lai to izdarītu, mēs aizvietojam plaknes vienādojumu:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Tagad, izmantojot parametru vienādojumus x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, mēs atrodam mainīgo x, y un z vērtības λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Tādējādi punkta M 1 projekcijai uz plakni A B C būs koordinātes (- 2, 0, 3).

Atbilde: (- 2 , 0 , 3) .

Atsevišķi pakavēsimies pie jautājuma par punkta projekcijas koordinātu atrašanu uz koordinātu plaknēm un plaknēm, kas ir paralēlas koordinātu plaknēm.

Doti punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) un koordinātu plaknes O x y, O x z un O y z. Šī punkta projekcijas koordinātas uz šīm plaknēm būs attiecīgi: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) un (0, y 1, z 1). Apskatīsim arī plaknes, kas ir paralēlas dotajām koordinātu plaknēm:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Un dotā punkta M 1 projekcijas uz šīm plaknēm būs punkti ar koordinātām x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 un - D A, y 1, z 1.

Parādīsim, kā šis rezultāts tika iegūts.

Kā piemēru definēsim punkta M 1 (x 1, y 1, z 1) projekciju uz plakni A x + D = 0. Pārējie gadījumi ir līdzīgi.

Dotā plakne ir paralēla koordinātu plaknei O y z un i → = (1, 0, 0) ir tās normāls vektors. Tas pats vektors kalpo kā O y z plaknei perpendikulāras taisnes virziena vektors. Tad caur punktu M 1 novilktas taisnes, kas ir perpendikulāra noteiktai plaknei, parametriskajiem vienādojumiem būs šāda forma:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Atradīsim šīs taisnes un dotās plaknes krustošanās punkta koordinātas. Vispirms aizvietosim vienādības vienādojumā A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 un iegūsim: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Pēc tam mēs aprēķinām vajadzīgās koordinātas, izmantojot taisnes ar λ = - D A - x 1 parametriskos vienādojumus:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Tas ir, punkta M 1 (x 1, y 1, z 1) projekcija uz plakni būs punkts ar koordinātām - D A, y 1, z 1.

2. piemērs

Nepieciešams noteikt punkta M 1 (- 6, 0, 1 2) projekcijas koordinātas uz koordinātu plakni O x y un uz plakni 2 y - 3 = 0.

Risinājums

Koordinātu plakne O x y atbildīs plaknes z = 0 nepilnīgajam vispārīgajam vienādojumam. Punkta M 1 projekcijai plaknē z = 0 būs koordinātes (- 6, 0, 0).

Plaknes vienādojumu 2 y - 3 = 0 var uzrakstīt kā y = 3 2 2. Tagad vienkārši pierakstiet punkta M 1 (- 6, 0, 1 2) projekcijas koordinātas uz plaknes y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Atbilde:(- 6 , 0 , 0) un - 6 , 3 2 2 , 1 2

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Atrodiet akūto leņķi starp paralelograma diagonālēm, kas konstruētas, izmantojot vektorus

5) Noteikt vektora c koordinātes, kas vērstas pa leņķa bisektrisi starp vektoriem a un b, ja vektors c = 3 saknes no 42. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

Atradīsim vienvirziena vektoru e_a ar a:

līdzīgi e_b = b/|b|,

tad vēlamais vektors tiks virzīts tāpat kā vektora summa e_a+e_b, jo (e_a+e_b) ir romba diagonāle, kas ir tā leņķa bisektrise.

Apzīmēsim (e_a+e_b)=d,

Atradīsim vienības vektoru, kas ir vērsts pa bisektrisi: e_c = d/|d|

Ja |c| = 3*sqrt(42), tad c = |c|*e_c. Tas ir viss.

Atrodi lineāro sakarību starp šiem četriem nekopplanāriem vektoriem: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

No pirmajām trim vienādībām mēģiniet izteikt "a,b,c" kā "p,q,r" (sāciet, pievienojot otro un trešo vienādojumu). Pēc tam aizstājiet "b" un "c" pēdējā vienādojumā ar izteiksmēm, kuras atradāt kā "p, q, r".

13) Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem A(2, -1, 4) un B(3, 2, -1), kas ir perpendikulāra plaknei x + y + 2z – 3 = 0. Nepieciešamajam plaknes vienādojumam ir šāda forma: Ax + By + Cz + D = 0, šīs plaknes normālvektors (A, B, C). Vektors (1, 3, -5) pieder plaknei. Mums dotajai plaknei, kas ir perpendikulāra vēlamajai, ir normāls vektors (1, 1, 2). Jo punkti A un B pieder abām plaknēm, un plaknes ir savstarpēji perpendikulāras, tad normālvektors ir (11, -7, -2). Jo punkts A pieder vēlamajai plaknei, tad tā koordinātēm jāapmierina šīs plaknes vienādojums, t.i. 11 × 2 + 7 × 1 - 2 × 4 + D = 0; D = -21. Kopumā mēs iegūstam plaknes vienādojumu: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.

14) Vienādojums plaknei, kas iet caur taisni, kas ir paralēla vektoram.

Ļaujiet vēlamajai plaknei iet caur līniju (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 paralēli līnijai (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z -z2)/c2 .

Tad plaknes normālais vektors ir šo līniju virziena vektoru vektorreizinājums:

Lai vektora reizinājuma koordinātas ir (A;B;C). Vēlamā plakne iet caur punktu (x1;y1;z1). Normālais vektors un punkts, caur kuru plakne iet, unikāli nosaka vajadzīgās plaknes vienādojumu:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu A(5, -1), kas ir perpendikulāra taisnei 3x - 7y + 14 = 0.

18) Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M perpendikulāri dotajai plaknei M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) — jūsu punkts M(4,3,1)

(n, m, p) - līnijas virzošais vektors, kas pazīstams arī kā normālais vektors noteiktai virsmai (1, 3, 5) (koeficienti mainīgajiem x, y, z plaknes vienādojumā)

Atrodiet punkta projekciju plaknē

Punkts M(1,-3,2), plakne 2x+5y-3z-19=0

Figūru īpašību izpēte telpā un plaknē nav iespējama, nezinot attālumus starp punktu un tādiem ģeometriskiem objektiem kā taisne un plakne. Šajā rakstā mēs parādīsim, kā atrast šos attālumus, ņemot vērā punkta projekciju uz plakni un uz taisnes.

Taisnas līnijas vienādojums divdimensiju un trīsdimensiju telpām

Punkta attālumu aprēķins līdz taisnei un plaknei tiek veikts, izmantojot tā projekciju uz šiem objektiem. Lai varētu atrast šīs projekcijas, jums jāzina, kādā formā ir doti vienādojumi taisnēm un plaknēm. Sāksim ar pirmajiem.

Taisne ir punktu kopums, no kuriem katru var iegūt no iepriekšējā, pārnesot to uz vektoriem, kas ir paralēli viens otram. Piemēram, ir punkts M un N. Vektors MN¯, kas tos savieno M ar N. Ir arī trešais punkts P. Ja vektors MP¯ vai NP¯ ir paralēls MN¯, tad visi trīs punkti atrodas uz to pašu līniju un veido to.

Atkarībā no telpas dimensijas vienādojums, kas nosaka līniju, var mainīt savu formu. Tādējādi labi zināmā koordinātas y lineārā atkarība no x telpā apraksta plakni, kas ir paralēla trešajai asij z. Šajā rakstā mēs aplūkosim tikai līnijas vektora vienādojumu. Tam ir vienāds izskats plaknei un trīsdimensiju telpai.

Telpā taisnu līniju var definēt ar šādu izteiksmi:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Šeit koordinātu vērtības ar nulles indeksiem atbilst noteiktam līnijas punktam, u¯(a; b; c) ir virziena vektora koordinātas, kas atrodas uz šīs taisnes, α ir patvaļīgs reāls skaitlis, ar kuru mainot var iegūt visus līnijas punktus. Šo vienādojumu sauc par vektora vienādojumu.

Iepriekš minētais vienādojums bieži tiek uzrakstīts paplašinātā formā:

Līdzīgā veidā jūs varat uzrakstīt vienādojumu līnijai, kas atrodas plaknē, tas ir, divdimensiju telpā:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

Plaknes vienādojums

Lai varētu atrast attālumu no punkta līdz projekcijas plaknēm, jums jāzina, kā tiek definēta plakne. Tāpat kā taisnu līniju, to var attēlot vairākos veidos. Šeit mēs apskatīsim tikai vienu: vispārējo vienādojumu.

Pieņemsim, ka punkts M(x 0 ; y 0 ; z 0) pieder plaknei un vektors n¯(A; B; C) ir tam perpendikulārs, tad visiem plaknes punktiem (x; y; z) plaknē vienlīdzība būs spēkā:

A*x + B*y + C*z + D = 0, kur D = -1* (A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Jāatceras, ka šajā vispārējā plaknes vienādojumā koeficienti A, B un C ir plaknei normālā vektora koordinātas.

Attālumu aprēķināšana pēc koordinātām

Pirms pāriet uz projekciju apsvēršanu punkta plaknē un taisnē, ir vērts atcerēties, kā aprēķināt attālumu starp diviem zināmiem punktiem.

Lai ir divi telpiskie punkti:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) un A 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2)

Tad attālumu starp tiem aprēķina pēc formulas:

A 1 A 2 = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)

Izmantojot šo izteiksmi, tiek noteikts arī vektora A 1 A 2 ¯ garums.

Gadījumam plaknē, kad divus punktus nosaka tikai koordinātu pāris, mēs varam uzrakstīt līdzīgu vienādību bez termina ar z klātbūtni:

A 1 A 2 = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Tagad apskatīsim dažādus gadījumus, kad punkts plaknē projicējas uz taisnes un uz plaknes telpā.

Punkts, līnija un attālums starp tiem

Pieņemsim, ka ir punkts un līnija:

P 2 (x 1 ; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Attālums starp šiem ģeometriskajiem objektiem atbildīs vektora garumam, kura sākums atrodas punktā P 2, bet beigas atrodas punktā P uz norādītās taisnes, kurai vektors P 2 P ¯ ir perpendikulārs šim. līniju. Punktu P sauc par punkta P 2 projekciju uz aplūkojamo taisni.

Zemāk ir attēls, kas parāda punktu P 2, tā attālumu d līdz līnijai, kā arī virziena vektoru v 1 ¯. Tāpat uz līnijas tiek izvēlēts patvaļīgs punkts P 1 un no tā uz P 2 tiek uzzīmēts vektors. Punkts P šeit sakrīt ar vietu, kur perpendikuls krusto līniju.

Redzams, ka oranžās un sarkanās bultiņas veido paralelogramu, kura malas ir vektori P 1 P 2 ¯ un v 1 ¯, un augstums ir d. No ģeometrijas ir zināms, ka, lai atrastu paralelograma augstumu, tā laukums jāsadala ar pamatnes garumu, uz kura ir nolaists perpendikuls. Tā kā paralelograma laukums tiek aprēķināts kā tā malu vektorreizinājums, mēs iegūstam formulu d aprēķināšanai:

d = ||/|v 1 ¯|

Visi šīs izteiksmes punktu vektori un koordinātas ir zināmi, tāpēc varat to izmantot, neveicot nekādas transformācijas.

Šo problēmu varēja atrisināt savādāk. Lai to izdarītu, uzrakstiet divus vienādojumus:

• P 2 P ¯ skalārajam reizinājumam ar v 1 ¯ jābūt vienādam ar nulli, jo šie vektori ir savstarpēji perpendikulāri;
• punkta P koordinātām jāapmierina taisnes vienādojums.

Šie vienādojumi ir pietiekami, lai atrastu koordinātas P un pēc tam garumu d, izmantojot iepriekšējā punktā norādīto formulu.

Uzdevums atrast attālumu starp taisni un punktu

Mēs parādīsim, kā izmantot šo teorētisko informāciju, lai atrisinātu konkrētu problēmu. Pieņemsim, ka ir zināms šāds punkts un līnija:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Plaknē jāatrod projekcijas punkti uz taisnes līnijas, kā arī attālums no M līdz taisnei.

Atrodamo projekciju apzīmēsim ar punktu M 1 (x 1 ; y 1). Atrisināsim šo problēmu divos veidos, kas aprakstīti iepriekšējā punktā.

1. metode. Virziena vektoram v 1 ¯ ir koordinātas (0; 2). Lai izveidotu paralelogramu, mēs izvēlamies kādu punktu, kas pieder pie taisnes. Piemēram, punkts ar koordinātām (3; 1). Tad paralelograma otrās puses vektoram būs koordinātas:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Tagad jums jāaprēķina vektoru reizinājums, kas nosaka paralelograma malas:

Mēs aizstājam šo vērtību formulā un iegūstam attālumu d no M līdz taisnei:

2. metode. Tagad noskaidrosim citā veidā ne tikai attālumu, bet arī projekcijas M koordinātas uz taisnes, kā to prasa uzdevuma nosacījums. Kā minēts iepriekš, problēmas risināšanai ir nepieciešams izveidot vienādojumu sistēmu. Tas izskatīsies šādi:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Atrisināsim šo sistēmu:

Sākotnējā koordinātu punkta projekcijai ir M 1 (3; -3). Tad nepieciešamais attālums ir:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Kā redzams, abas risināšanas metodes deva vienādu rezultātu, kas norāda uz veikto matemātisko darbību pareizību.

Punkta projekcija plaknē

Tagad apskatīsim, kāda ir kosmosa punkta projekcija uz noteiktu plakni. Ir viegli uzminēt, ka šī projekcija ir arī punkts, kas kopā ar sākotnējo veido vektoru, kas ir perpendikulārs plaknei.

Pieņemsim, ka projekcijai uz punkta M plakni ir šādas koordinātas:

Pašu plakni apraksta ar vienādojumu:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Pamatojoties uz šiem datiem, mēs varam izveidot vienādojumu taisnei, kas šķērso plakni taisnā leņķī un iet caur M un M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Šeit mainīgie lielumi ar nulles indeksiem ir punkta M koordinātas. Pozīciju uz punkta M 1 plaknes var aprēķināt, pamatojoties uz to, ka tā koordinātām ir jāatbilst abiem uzrakstītajiem vienādojumiem. Ja ar šiem vienādojumiem nepietiek, lai atrisinātu problēmu, varat izmantot paralēlisma nosacījumu starp MM 1 ¯ un virzošo vektoru konkrētai plaknei.

Acīmredzot plaknei piederoša punkta projekcija sakrīt ar sevi, un atbilstošais attālums ir nulle.

Problēma ar punktu un plakni

Ir dots punkts M(1; -1; 3) un plakne, ko apraksta šāds vispārīgais vienādojums:

Ir jāaprēķina projekcijas koordinātas uz punkta plakni un jāaprēķina attālums starp šiem ģeometriskajiem objektiem.

Vispirms izveidosim taisnes vienādojumu, kas iet caur M un ir perpendikulāra norādītajai plaknei. Tas izskatās:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Punktu, kur šī taisne krusto plakni, apzīmēsim kā M 1 . Plaknes un taisnes vienādības ir jāizpilda, ja tajās tiek aizstātas koordinātas M 1. Skaidri uzrakstot līnijas vienādojumu, mēs iegūstam šādas četras vienādības:

X 1 + 3 * y 1 - 2 * z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3*α;

No pēdējās vienādības iegūstam parametru α, pēc tam aizstājam to priekšpēdējā un otrajā izteiksmē, iegūstam:

y 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2 * z 1 - 1/2

Mēs aizstājam izteiksmi y 1 un x 1 plaknes vienādojumā, mums ir:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

No kurienes mēs to iegūstam:

y 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Esam noteikuši, ka punkta M projekcija uz doto plakni atbilst koordinātām (4/7; 2/7; 15/7).

Tagad aprēķināsim attālumu |MM 1 ¯|. Atbilstošā vektora koordinātas ir:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Nepieciešamais attālums ir:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Trīs punktu projekcija

Izgatavojot rasējumus, bieži vien ir nepieciešams iegūt sekciju projekcijas uz savstarpēji perpendikulārām trim plaknēm. Tāpēc ir lietderīgi apsvērt, ar ko būs vienādas noteikta punkta M ar koordinātām (x 0 ; y 0 ; z 0) projekcijas uz trim koordinātu plaknēm.

Nav grūti parādīt, ka xy plakne ir aprakstīta ar vienādojumu z = 0, xz plakne atbilst izteiksmei y = 0, bet atlikušo yz plakni apzīmē ar x = 0. Nav grūti uzminēt, ka punkta projekcijas uz 3 plaknēm būs vienādas:

ja x = 0: (0; y 0; z 0);

ja y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

ja z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Kur ir svarīgi zināt punkta projekciju un attālumu līdz plaknēm?

Punktu projekcijas stāvokļa noteikšana uz doto plakni ir svarīga, meklējot tādus lielumus kā virsmas laukums un tilpums slīpām prizmām un piramīdām. Piemēram, attālums no piramīdas augšdaļas līdz pamatplaknei ir augstums. Pēdējais ir iekļauts šī skaitļa apjoma formulā.

Aplūkotās formulas un metodes projekciju un attālumu noteikšanai no punkta līdz taisnei un plaknei ir diezgan vienkāršas. Svarīgi ir tikai atcerēties atbilstošās plaknes un taisnes vienādojumu formas, kā arī laba telpiskā iztēle, lai tās veiksmīgi pielietotu.

Risinot ģeometriskos uzdevumus telpā, bieži rodas problēma noteikt attālumu starp plakni un punktu. Dažos gadījumos tas ir nepieciešams visaptverošam risinājumam. Šo vērtību var aprēķināt, atrodot projekciju uz punkta plakni. Apskatīsim šo jautājumu sīkāk rakstā.

Vienādojums plaknes aprakstīšanai

Pirms pāriet pie jautājuma par to, kā atrast punkta projekciju plaknē, jums vajadzētu iepazīties ar vienādojumu veidiem, kas definē pēdējo trīsdimensiju telpā. Sīkāka informācija zemāk.

Vispārīgais vienādojums, kas definē visus punktus, kas pieder noteiktai plaknei, ir šāds:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Pirmie trīs koeficienti ir vektora koordinātas, ko sauc par plaknes ceļvedi. Tas sakrīt ar parasto, tas ir, tas ir perpendikulārs. Šo vektoru apzīmē ar n¯(A; B; C). Brīvo koeficientu D unikāli nosaka, zinot jebkura plaknei piederoša punkta koordinātas.

Punktu projekcijas jēdziens un tās aprēķins

Pieņemsim, ka ir dots kāds punkts P(x 1 ; y 1 ; z 1) un plakne. To definē vienādojums vispārīgā formā. Ja mēs novelkam perpendikulāru līniju no P uz doto plakni, tad ir skaidrs, ka tā krustos pēdējo vienā noteiktā punktā Q (x 2 ; y 2 ​​; z 2). Q sauc par P projekciju uz aplūkojamo plakni. Par segmenta PQ garumu sauc attālumu no punkta P līdz plaknei. Tādējādi pats PQ ir perpendikulārs plaknei.

Kā var atrast punkta projekcijas koordinātas plaknē? To izdarīt nav grūti. Pirmkārt, jums ir jāizveido vienādojums taisnai līnijai, kas būs perpendikulāra plaknei. Tam piederēs punkts P. Tā kā šīs taisnes normālvektoram n¯(A; B; C) jābūt paralēlam, tad vienādojums tam atbilstošā formā tiks uzrakstīts šādi:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

Kur λ ir reāls skaitlis, ko parasti sauc par vienādojuma parametru. Mainot to, jūs varat iegūt jebkuru punktu uz līnijas.

Pēc tam, kad ir uzrakstīts plaknei perpendikulāras līnijas vektora vienādojums, ir jāatrod apskatāmo ģeometrisko objektu kopējais krustošanās punkts. Tā koordinātas būs projekcija P. Tā kā tām ir jāizpilda abas vienādības (taisnei un plaknei), uzdevums tiek reducēts līdz atbilstošās lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšanai.

Projekcijas jēdzienu bieži izmanto rasējumu izpētē. Tie attēlo detaļas sānu un horizontālās projekcijas uz zy, zx un xy plaknēm.

Attāluma aprēķināšana no plaknes līdz punktam

Kā minēts iepriekš, zinot projekcijas koordinātas uz punkta plakni, varat noteikt attālumu starp tām. Izmantojot iepriekšējā punktā ieviesto apzīmējumu, mēs atklājam, ka nepieciešamais attālums ir vienāds ar segmenta PQ garumu. Lai to aprēķinātu, pietiek atrast vektora PQ¯ koordinātas un pēc tam aprēķināt tā moduli, izmantojot zināmo formulu. Galīgā izteiksme d attālumam starp P punktu un plakni ir šāda:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Iegūtā d vērtība tiek parādīta vienībās, kurās ir norādīta pašreizējā Dekarta xyz koordinātu sistēma.

Uzdevuma paraugs

Pieņemsim, ka ir punkts N(0; -2; 3) un plakne, ko apraksta šāds vienādojums:

Jums jāatrod projekcijas punkti uz plaknes un jāaprēķina attālums starp tiem.

Vispirms izveidosim vienādojumu taisnei, kas šķērso plakni 90 o leņķī. Mums ir:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Skaidri uzrakstot šo vienādību, mēs nonākam pie šādas vienādojumu sistēmas:

Aizvietojot koordinātu vērtības no pirmajām trim vienādībām ar ceturto, iegūstam vērtību λ, kas nosaka taisnes un plaknes kopīgā punkta koordinātas:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Aizstāsim atrasto parametru un atradīsim sākuma punkta projekcijas koordinātas uz plakni:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Lai aprēķinātu attālumu starp uzdevumā norādītajiem ģeometriskajiem objektiem, mēs izmantojam d formulu:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

Šajā uzdevumā mēs parādījām, kā atrast punkta projekciju uz patvaļīgu plakni un kā aprēķināt attālumu starp tiem.