Materiālajam punktam dinamikas pamatlikumu var attēlot kā
Reizinot abas šīs attiecības puses kreisajā pusē vektorāli ar rādiusa vektoru (3.9. att.), iegūstam
(3.32)
Šīs formulas labajā pusē ir spēka moments attiecībā pret punktu O. Mēs pārveidojam kreiso pusi, piemērojot vektora reizinājuma atvasinājuma formulu
Bet 
kā paralēlo vektoru vektorreizinājums. Pēc tam mēs saņemam
(3.33)
Pirmais atvasinājums attiecībā uz punkta impulsa momenta laiku attiecībā pret jebkuru centru ir vienāds ar spēka momentu attiecībā pret to pašu centru.
 |
Sistēmas leņķiskā impulsa aprēķināšanas piemērs. Aprēķiniet kinētisko momentu attiecībā pret punktu O sistēmai, kas sastāv no cilindriskas vārpstas ar masu M = 20 kg un rādiusu R = 0,5 m un lejupejošas slodzes ar masu m = 60 kg (3.12. attēls). Vārpsta griežas ap Oz asi ar leņķisko ātrumu ω = 10 s -1.
3.12. attēls
; ; 
Dotiem ievades datiem sistēmas leņķiskais impulss
Teorēma par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām. Mēs pieliekam radušos ārējos un iekšējos spēkus katram sistēmas punktam. Katram sistēmas punktam var pielietot teorēmu par leņķiskā impulsa izmaiņām, piemēram, formā (3.33)
Summējot visus sistēmas punktus un ņemot vērā, ka atvasinājumu summa ir vienāda ar summas atvasinājumu, iegūstam
Nosakot sistēmas kinētisko momentu un ārējo un iekšējo spēku īpašības
Tāpēc iegūto attiecību var attēlot kā
Sistēmas leņķiskā impulsa pirmais atvasinājums attiecībā pret jebkuru punktu ir vienāds ar ārējo spēku galveno momentu, kas iedarbojas uz sistēmu attiecībā pret to pašu punktu.
3.3.5. Spēka darbs
1) Spēka elementārais darbs ir vienāds ar spēka skalāro reizinājumu un spēka pielikšanas punkta vektora diferenciālo rādiusu (3.13. att.)
3.13. attēls
Izteiksmi (3.36) var uzrakstīt arī šādās līdzvērtīgās formās
kur ir spēka projekcija uz spēka pielikšanas punkta ātruma virzienu.
2) Spēka darbs pie galīgās pārvietošanas
Integrējot elementāro spēka darbu, mēs iegūstam šādas izteiksmes spēka darbam galīgajā pārvietojumā no punkta A uz punktu B
3) Pastāvīga spēka darbs
Ja spēks ir nemainīgs, tad no (3.38) tas izriet
Pastāvīga spēka darbs nav atkarīgs no trajektorijas formas, bet ir atkarīgs tikai no spēka pielikšanas punkta nobīdes vektora.
4) Svara spēka darbs
Svara spēkam (3.14. att.) un no (3.39.) iegūstam
3.14. attēls
Ja kustība notiek no punkta B uz punktu A, tad
Vispār
“+” zīme atbilst spēka pielikšanas punkta kustībai uz leju, zīme “-” – uz augšu.
4) Elastīgā spēka darbs
Lai atsperes ass ir vērsta pa x asi (3.15. att.), un atsperes gals virzās no punkta 1 uz punktu 2, tad no (3.38) iegūstam. 
Ja atsperes stīvums ir Ar, tā tad
A 
(3.41)
Ja atsperes gals virzās no punkta 0 uz punktu 1, tad šajā izteiksmē mēs aizstājam , , tad elastīgā spēka darbs iegūs formu
(3.42)
kur ir pavasara pagarinājums.
3.15. attēls
5) Rotējošam ķermenim pieliktā spēka darbs. Šī brīža darbs.
Attēlā 3.16. attēlā parādīts rotējošs ķermenis, kuram tiek pielikts patvaļīgs spēks. Rotācijas laikā šī spēka pielikšanas punkts pārvietojas pa apli.
Dažās problēmās kā kustīga punkta dinamiskais raksturlielums tiek uzskatīts paša impulsa vietā tā moments attiecībā pret kādu centru vai asi. Šie momenti tiek definēti tāpat kā spēka momenti.
Kustības impulsa daudzums materiāla punktu attiecībā pret kādu centru O sauc par vektoru, ko nosaka vienādība
To sauc arī par punkta leņķisko impulsu kinētiskais moments .
Impulss attiecībā pret jebkuru asi, kas iet caur centru O, ir vienāds ar impulsa vektora projekciju uz šo asi.
Ja impulsu nosaka tā projekcijas uz koordinātu asīm un ir dotas punkta koordinātas telpā, tad leņķisko impulsu attiecībā pret sākumpunktu aprēķina šādi:
Leņķiskā impulsa projekcijas uz koordinātu asīm ir vienādas ar:
Impulsa SI mērvienība ir –.
Darba beigas -
Šī tēma pieder sadaļai:
Dinamika
Lekcija.. kopsavilkums ievads dinamikā, klasiskās mehānikas aksiomas.. ievads..
Ja jums ir nepieciešams papildu materiāls par šo tēmu vai jūs neatradāt to, ko meklējāt, mēs iesakām izmantot meklēšanu mūsu darbu datubāzē:
Ko darīsim ar saņemto materiālu:
Ja šis materiāls jums bija noderīgs, varat to saglabāt savā lapā sociālajos tīklos:
| Čivināt |
Visas tēmas šajā sadaļā:
Vienību sistēmas
SGS Si Tehniskais [L] cm m m [M]
Punkta kustības diferenciālvienādojumi
Dinamikas pamatvienādojumu var uzrakstīt šādi
Dinamikas pamatuzdevumi
Pirmā jeb tiešā problēma: ir zināma punkta masa un tā kustības likums, ir jāatrod spēks, kas iedarbojas uz punktu. m
Svarīgākie gadījumi
1. Spēks ir nemainīgs.
Punkta kustības apjoms
Materiāla punkta kustības lielums ir vektors, kas vienāds ar reizinājumu m
Elementārs un pilna spēka impulss
Spēka iedarbība uz materiālu punktu laika gaitā
Teorēma par punkta impulsa izmaiņām
Teorēma. Punkta impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar spēku, kas iedarbojas uz punktu. Pierakstīsim dinamikas pamatlikumu
Teorēma par punkta leņķiskā impulsa izmaiņām
Teorēma. Punkta impulsa momenta laika atvasinājums attiecībā pret kādu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu
Spēka darbs. Jauda
Viens no galvenajiem spēka raksturlielumiem, kas novērtē spēka ietekmi uz ķermeni kādas kustības laikā.
Teorēma par punkta kinētiskās enerģijas izmaiņām
Teorēma. Punkta kinētiskās enerģijas diferenciālis ir vienāds ar spēka elementāru darbu, kas iedarbojas uz punktu.
D'Alemberta princips materiālam punktam
Materiāla punkta kustības vienādojumam attiecībā pret inerciālo atskaites sistēmu pielikto aktīvo spēku un savienojuma reakcijas spēku iedarbībā ir šāda forma:
Nebrīva materiāla punkta dinamika
Nebrīvs materiāls punkts ir punkts, kura kustības brīvība ir ierobežota. Ķermeņus, kas ierobežo punkta kustības brīvību, sauc par savienojumiem
Materiāla punkta relatīvā kustība
Daudzās dinamikas problēmās materiāla punkta kustība tiek uzskatīta attiecībā pret atskaites rāmi, kas pārvietojas attiecībā pret inerciālu atskaites rāmi.
Īpaši relatīvas kustības gadījumi
1. Relatīvā kustība pēc inerces Ja materiāla punkts kustas attiecībā pret kustīgu atskaites rāmi taisni un vienmērīgi, tad šādu kustību sauc par relatīvu.
Masu ģeometrija
Apsveriet mehānisko sistēmu, kas sastāv no ierobežota skaita materiālu punktu ar masām
Inerces momenti
Lai raksturotu masu sadalījumu ķermeņos, aplūkojot rotācijas kustības, nepieciešams ieviest inerces momentu jēdzienus. Inerces moments par punktu
Vienkāršāko ķermeņu inerces momenti
1. Vienveidīgs stienis 2. Taisnstūra plāksne 3. Vienveidīgs apaļš disks
Sistēmas kustības daudzums
Materiālu punktu sistēmas kustības daudzums ir lielumu vektora summa
Teorēma par sistēmas impulsa izmaiņām
Šai teorēmai ir trīs dažādas formas. Teorēma. Sistēmas impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar visu ārējo spēku vektoru summu, kas iedarbojas uz
Impulsa saglabāšanas likumi
1. Ja visu sistēmas ārējo spēku galvenais vektors ir nulle (), tad sistēmas kustības apjoms ir nemainīgs
Teorēma par masas centra kustību
Teorēma Sistēmas masas centrs kustas tāpat kā materiāls punkts, kura masa ir vienāda ar visas sistēmas masu, ja uz punktu iedarbojas visi uz punktu pieliktie ārējie spēki.
Sistēmas impulss
Materiālu punktu sistēmas leņķiskais impulss attiecībā pret dažiem
Stingra ķermeņa impulsa moments attiecībā pret rotācijas asi cieta ķermeņa rotācijas kustības laikā
Aprēķināsim stingra ķermeņa leņķisko impulsu attiecībā pret griešanās asi.
Teorēma par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām
Teorēma. Sistēmas impulsa momenta laika atvasinājums, kas ņemts attiecībā pret kādu centru, ir vienāds ar ārējo spēku momentu vektoru summu, kas iedarbojas uz
Leņķiskā impulsa saglabāšanas likumi
1. Ja sistēmas ārējo spēku galvenais moments attiecībā pret punktu ir vienāds ar nulli (
Sistēmas kinētiskā enerģija
Sistēmas kinētiskā enerģija ir visu sistēmas punktu kinētisko enerģiju summa.
Cietas vielas kinētiskā enerģija
1. Ķermeņa kustība uz priekšu. Stingra ķermeņa kinētiskā enerģija translācijas kustības laikā tiek aprēķināta tāpat kā vienam punktam, kura masa ir vienāda ar šī ķermeņa masu.
Teorēma par sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņām
Šai teorēmai ir divas formas. Teorēma. Sistēmas kinētiskās enerģijas diferenciālis ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo un iekšējo spēku elementāro darbu summu
Vispirms aplūkosim viena materiāla punkta gadījumu. Ļaut ir materiāla punkta M masa, tā ātrums un kustības apjoms.
Izvēlēsimies apkārtējā telpā punktu O un konstruēsim vektora momentu attiecībā pret šo punktu pēc tiem pašiem noteikumiem, pēc kuriem aprēķina spēka momentu statikā. Mēs iegūstam vektora daudzumu
ko sauc par materiālā punkta leņķisko impulsu attiecībā pret centru O (31. att.).
Konstruēsim Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu Oxyz ar sākumu centrā O un projektēsim vektoru ko uz šīm asīm. Tās projekcijas uz šīm asīm, kas vienādas ar vektora momentiem attiecībā pret attiecīgajām koordinātu asīm, sauc par materiālā punkta impulsa momentiem attiecībā pret koordinātu asīm:
Tagad izveidosim mehānisku sistēmu, kas sastāv no N materiāla punktiem. Šajā gadījumā leņķisko impulsu var noteikt katram sistēmas punktam:
Visu materiālu punktu, kas veido sistēmu, leņķiskā impulsa ģeometrisko summu sauc par sistēmas galveno leņķisko impulsu vai kinētisko momentu.
Sistēmas kustības apjomu kā vektora lielumu nosaka ar formulām (4.12) un (4.13).
Teorēma. Sistēmas impulsa atvasinājums attiecībā pret laiku ir vienāds ar visu uz to iedarbojošo ārējo spēku ģeometrisko summu.
Dekarta asu projekcijās iegūstam skalārus vienādojumus.
Jūs varat uzrakstīt vektoru
(4.28)
un skalārie vienādojumi
Kas izsaka teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā: sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar impulsu summu tajā pašā laika periodā. Risinot uzdevumus, biežāk tiek izmantoti vienādojumi (4.27).
Impulsa saglabāšanas likums
Teorēma par leņķiskā impulsa izmaiņām
Teorēma par punkta leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret centru: punkta leņķiskā impulsa laika atvasinājums attiecībā pret fiksētu centru ir vienāds ar vektora spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.
Or 
(4.30)
Salīdzinot (4.23) un (4.30), redzam, ka vektoru momenti un ir saistīti ar tādu pašu atkarību kā vektori un paši ir saistīti (4.1. att.). Ja projicējam vienlīdzību uz asi, kas iet caur centru O, mēs iegūstam
(4.31)
Šī vienādība izsaka punkta leņķiskā impulsa teorēmu attiecībā pret asi.
|
(4.32)
Ja izteiksmi (4.32) projicējam uz asi, kas iet caur centru O, iegūstam vienādību, kas raksturo teorēmu par leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret asi.
(4.33)
Aizvietojot (4.10) vienādībā (4.33), rotējoša cieta korpusa (riteņi, asis, vārpstas, rotori utt.) diferenciālvienādojumu varam uzrakstīt trīs formās.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Līdz ar to teorēmu par kinētiskā impulsa maiņu vēlams izmantot, lai pētītu tehnoloģijās ļoti izplatīto stingra ķermeņa kustību, tā rotāciju ap fiksētu asi.
Sistēmas leņķiskā impulsa saglabāšanas likums
1. Ielaist izteiksmē (4.32) .
Tad no vienādojuma (4.32) izriet, ka, t.i. ja visu sistēmai pielikto ārējo spēku momentu summa attiecībā pret doto centru ir vienāda ar nulli, tad sistēmas kinētiskais moments attiecībā pret šo centru būs skaitliski un virziena konstants.
2. Ja , tad . Tādējādi, ja ārējo spēku momentu summa, kas iedarbojas uz sistēmu attiecībā pret noteiktu asi, ir nulle, tad sistēmas kinētiskais moments attiecībā pret šo asi būs nemainīga vērtība.
Šie rezultāti izsaka leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu.
Rotējoša cieta ķermeņa gadījumā no vienādības (4.34) izriet, ka, ja , tad . No šejienes mēs nonākam pie šādiem secinājumiem:
Ja sistēma ir nemainīga (absolūti stingrs ķermenis), tad līdz ar to cietais ķermenis griežas ap fiksētu asi ar nemainīgu leņķisko ātrumu.
Ja sistēma ir maināma, tad . Palielinoties (tad atsevišķi sistēmas elementi attālinās no rotācijas ass), leņķiskais ātrums samazinās, jo , un samazinoties tas palielinās, līdz ar to mainīgas sistēmas gadījumā ar iekšējo spēku palīdzību iespējams mainīt leņķisko ātrumu.
Otrā testa uzdevums D2 ir veltīts teorēmai par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret asi.
Problēma D2
Viendabīga horizontāla platforma (apaļa ar rādiusu R vai taisnstūrveida ar malām R un 2R, kur R = 1,2 m) ar masu kg, griežas ar leņķisko ātrumu ap vertikālo asi z, kas atrodas attālumā no platformas masas centra C attālums OC = b (Att. E2.0 – D2.9, tabula D2); Izmēri visām taisnstūrveida platformām ir parādīti attēlā. D2.0a (skats no augšas).
Laika momentā pa platformas tekni (iekšējo spēku ietekmē) saskaņā ar likumu sāk kustēties slodze D ar masu kg, kur s izteikts metros, t - sekundēs. Tajā pašā laikā spēku pāris ar momentu M (norādīts ņūtonometros; pie M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Nosakiet, neņemot vērā vārpstas masu, atkarību, t.i. platformas leņķiskais ātrums kā laika funkcija.
Visos attēlos slodze D ir parādīta pozīcijā, kurā s > 0 (kad s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Norādes. Uzdevums D2 – pielietot teorēmu par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām. Piemērojot teorēmu sistēmai, kas sastāv no platformas un slodzes, sistēmas leņķiskais impulss attiecībā pret z asi tiek noteikts kā platformas un slodzes momentu summa. Jāņem vērā, ka slodzes absolūtais ātrums ir relatīvā un pārnēsājamā ātruma summa, t.i. . Tāpēc šīs slodzes kustības apjoms 
. Tad var izmantot Varinjona teorēmu (statiku), saskaņā ar kuru ; šie momenti tiek aprēķināti tāpat kā spēku momenti. Sīkāk risinājums ir izskaidrots piemērā D2.
Risinot problēmu, ir lietderīgi palīgzīmējumā attēlot platformas skatu no augšas (no z gala), kā tas ir izdarīts attēlā. D2.0, a – D2.9, a.
Plāksnes ar masu m inerces moments attiecībā pret asi Cz, kas ir perpendikulāra plāksnei un iet caur tās masas centru, ir vienāds ar: taisnstūra plāksnei ar malām un
;
Apaļai plāksnei ar rādiusu R
| Nosacījuma numurs | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5 t -0,6 t 0,8 t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Piemērs D2. Viendabīga horizontāla platforma (taisnstūrveida ar malām 2l un l), kurai ir masa, ir stingri piestiprināta pie vertikālās vārpstas un griežas kopā ar to ap asi z ar leņķisko ātrumu (Zīm. E2a ). Šajā brīdī uz vārpstu sāk darboties griezes moments M, kas ir vērsts pretēji ; vienlaikus krava D masa, kas atrodas tranšejā AB punktā AR, sāk kustēties pa tekni (iekšējo spēku ietekmē) pēc likuma s = CD = F(t).
Dots: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s — metros, t — sekundēs), M= kt, Kur k=6 Nm/s. Noteikt: - platformas leņķiskā ātruma izmaiņu likumu.
Risinājums. Apsveriet mehānisko sistēmu, kas sastāv no platformas un kravas D. Lai noteiktu w, mēs pielietojam teorēmu par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret asi z:
(1)
Attēlosim ārējos spēkus, kas iedarbojas uz sistēmu: reakcijas gravitācijas spēku un griezes momentu M. Tā kā spēki un ir paralēli z asij un reakcijas krustojas ar šo asi, to momenti attiecībā pret z asi ir vienādi ar nulle. Tad, ņemot vērā virzienu uz brīdi pozitīvo (t.i., pretēji pulksteņrādītāja virzienam), iegūstam 
un vienādojums (1) iegūs šo formu.
Impulsa momenta virzienu un lielumu nosaka tieši tāpat kā spēka momenta novērtēšanas gadījumā (1.2.2. sadaļa).
Tajā pašā laikā mēs definējam ( galvenais) leņķiskais impulss kā apskatāmās sistēmas punktu kustību skaita momentu vektora summa. Tam ir arī otrs vārds - kinētiskais moments :
Atradīsim izteiksmes (3.40) laika atvasinājumu, izmantojot divu funkciju reizinājuma diferencēšanas noteikumus, kā arī to, ka summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu (t.i., summas zīme var būt diferenciācijas laikā pārvietots kā koeficients):
.
Ņemsim vērā acīmredzamās kinemātiskās vienādības: 
. Pēc tam: 
. Mēs izmantojam vidējo vienādojumu no formulām (3.26) 
, kā arī faktu, ka divu kolineāru vektoru ( un ) vektorreizinājums ir vienāds ar nulli, mēs iegūstam:
Piemērojot iekšējo spēku īpašību (3.36) 2. terminam, iegūstam izteiksmi teorēmai par mehāniskās sistēmas galvenā impulsa momenta izmaiņām:
 .
| (3.42) |
Kinētiskā momenta laika atvasinājums ir vienāds ar visu sistēmā darbojošos ārējo spēku momentu summu.
Šo formulējumu bieži sauc īsi: momenta teorēma .
Jāņem vērā, ka momentu teorēma ir formulēta fiksētā atskaites sistēmā attiecībā pret noteiktu fiksētu centru O. Ja stingru ķermeni uzskata par mehānisku sistēmu, tad ir ērti izvēlēties centru O uz rotācijas ass. no ķermeņa.
Jāatzīmē viena svarīga momenta teorēmas īpašība (mēs to sniedzam bez atvasināšanas). Momentu teorēma ir patiesa arī translatīvi kustīgā atskaites sistēmā, ja par tās centru ir izvēlēts ķermeņa (mehāniskās sistēmas) masas centrs (punkts C):
Teorēmas formulējums šajā gadījumā paliek praktiski nemainīgs.
Secinājums 1
Lai izteiksmes (3.42) labā puse ir vienāda ar nulli =0, - sistēma ir izolēta. Tad no vienādojuma (3.42) izriet, ka .
Izolētai mehāniskai sistēmai sistēmas kinētiskā momenta vektors laika gaitā nemainās ne virzienā, ne lielumā.
Secinājums 2
Ja kādai izteiksmei (3.44) labā puse ir vienāda ar nulli, piemēram, Oz asij: =0 (daļēji izolēta sistēma), tad no vienādojumiem (3.44) izriet: =const.
Līdz ar to, ja ārējo spēku momentu summa attiecībā pret jebkuru asi ir nulle, tad sistēmas aksiālais kinētiskais moments pa šo asi laika gaitā nemainās.
Iepriekš secinājumos dotie formulējumi ir izteicieni leņķiskā impulsa saglabāšanas likums izolētās sistēmās .
Stingra ķermeņa impulss
Apskatīsim īpašu gadījumu – stingra ķermeņa griešanos ap Oza asi (3.4. att.).
Att.3.4
Punkts uz ķermeņa, kas atdalīts no rotācijas ass ar attālumu h k, griežas plaknē, kas ir paralēla Oxy ar ātrumu . Saskaņā ar aksiālā momenta definīciju mēs izmantojam izteiksmi (1.19), aizstājot projekciju F XY spēks šajā plaknē pēc punkta kustības apjoma 
. Novērtēsim ķermeņa aksiālo kinētisko momentu:
Saskaņā ar Pitagora teorēmu 
, tāpēc (3.46) var uzrakstīt šādi:
 | (3.47) |
Tad izteiksmei (3.45) būs šāda forma:
| (3.48) |
Ja izmantosim leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu daļēji izolētai sistēmai (2. secība) attiecībā pret cietu ķermeni (3.48), iegūstam . Šajā gadījumā varat apsvērt divas iespējas:
JAUTĀJUMI PAŠKONTROLEI
1. Kā nosaka rotējoša cieta ķermeņa leņķisko impulsu?
2. Kā aksiālais inerces moments atšķiras no aksiālā kinētiskā momenta?
3. Kā laika gaitā mainās stingra ķermeņa rotācijas ātrums, ja nav ārēju spēku?
Stingra ķermeņa aksiālais inerces moments
Kā redzēsim vēlāk, ķermeņa aksiālajam inerces momentam ir tāda pati nozīme ķermeņa rotācijas kustībā kā ķermeņa masai tā translācijas kustības laikā. Šī ir viena no svarīgākajām ķermeņa īpašībām, kas nosaka ķermeņa inerci tā rotācijas laikā. Kā redzams no definīcijas (3.45), tas ir pozitīvs skalārais lielums, kas ir atkarīgs no sistēmas punktu masām, bet lielākā mērā no punktu attāluma no rotācijas ass.
Nepārtrauktiem viendabīgiem vienkāršu formu ķermeņiem aksiālā inerces momenta vērtību, tāpat kā masas centra stāvokļa novērtēšanas gadījumā (3.8.), aprēķina ar integrācijas metodi, nevis izmantojot elementāra tilpuma masu. diskrēta masa dm=ρdV:
 | (3.49) |
Uzziņai mēs piedāvājam dažu vienkāršu ķermeņu inerces momentu vērtības:
m un garums l attiecībā pret asi, kas iet perpendikulāri stienim caur tā vidu (3.5. att.).
3.5.att
Plāna viendabīga stieņa ar masu inerces moments m un garums l attiecībā pret asi, kas iet perpendikulāri stienim caur tā galu (3.6. att.).
Att.3.6
Plāna viendabīga masas gredzena inerces moments m un rādiuss R attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru perpendikulāri gredzena plaknei (3.7. att.).
Att.3.7
Plāna viendabīga diska ar masu inerces moments m un rādiuss R attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru perpendikulāri diska plaknei (3.7. att.).
3.8.att
· Patvaļīgas formas ķermeņa inerces moments.
Patvaļīgas formas ķermeņiem inerces momentu raksta šādā formā:
Kur ρ - ts griešanās rādiuss ķermenis vai noteikta konvencionāla gredzena rādiuss ar masu m, kura aksiālais inerces moments ir vienāds ar dotā ķermeņa inerces momentu.
Huigensa-Šteinera teorēma
Att.3.9
Saistīsim divas paralēlas koordinātu sistēmas ar ķermeni. Pirmo Cx"y"z, kura izcelsme atrodas masas centrā, sauc par centrālo, bet otro Oxyz, kura centrs O atrodas uz Cx" ass attālumā CO = d(3.9. att.). Šajās sistēmās ir viegli izveidot savienojumus starp ķermeņa punktu koordinātām:
Saskaņā ar formulu (3.47) ķermeņa inerces moments attiecībā pret Oza asi:
Šeit koeficienti 2 ir nemainīgi visiem labās puses 2. un 3. summas noteikumiem d Un d izņemtas no attiecīgajām summām. Masu summa trešajā termiņā ir ķermeņa masa. Otrā summa saskaņā ar (3.7) nosaka masas centra C koordinātu uz ass Cx" (), un vienādība ir acīmredzama: . Ņemot vērā, ka 1. termins pēc definīcijas ir moments ķermeņa inerce attiecībā pret centrālo asi Cz" (vai Z C ) 
, mēs iegūstam Huygens-Steinera teorēmas formulējumu:
 | (3.50) |
Ķermeņa inerces moments attiecībā pret noteiktu asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta summu attiecībā pret paralēlu centrālo asi un ķermeņa masas reizinājumu ar attāluma starp šīm asīm kvadrātu.
JAUTĀJUMI PAŠKONTROLEI
1. Dodiet formulas stieņa, gredzena, diska aksiālajiem inerces momentiem.
2. Atrodiet apaļa cieta cilindra griešanās rādiusu attiecībā pret tā centrālo asi.
