Jaudas funkcija, tās īpašības un grafiki. Elementāro funkciju grafiki un pamatīpašības Atrisiniet funkcijas y x grafiku

Plaknē izvēlamies taisnstūra koordinātu sistēmu un uz abscisu ass attēlojam argumenta vērtības X, un uz y ass - funkcijas vērtības y = f(x).

Funkciju grafiks y = f(x) tiek izsaukta visu punktu kopa, kurai abscises pieder funkcijas domēnam, un ordinātas ir vienādas ar atbilstošajām funkcijas vērtībām.

Citiem vārdiem sakot, funkcijas y \u003d f (x) grafiks ir visu plaknes punktu kopa, koordinātas X, plkst kas apmierina attiecības y = f(x).

Uz att. 45 un 46 ir funkciju grafiki y = 2x + 1 Un y \u003d x 2 - 2x.

Stingri sakot, ir jānošķir funkcijas grafiks (kuras precīza matemātiskā definīcija tika sniegta iepriekš) no uzzīmētās līknes, kas vienmēr sniedz tikai vairāk vai mazāk precīzu diagrammas skici (un pat tad, kā likums, nevis viss grafiks, bet tikai tā daļa, kas atrodas plaknes pēdējās daļās). Tomēr turpmāk mēs parasti atsauksimies uz "diagrammu", nevis uz "diagrammas skici".

Izmantojot grafiku, jūs varat atrast funkcijas vērtību punktā. Proti, ja punkts x = a pieder pie funkcijas darbības jomas y = f(x), pēc tam, lai atrastu numuru f(a)(t.i., funkcijas vērtības punktā x = a) tas jādara. Vajag caur punktu ar abscisu x = a novilkt taisnu līniju, kas ir paralēla y asij; šī līnija krustos funkcijas grafiku y = f(x) vienā punktā; šī punkta ordināta saskaņā ar grafa definīciju būs vienāda ar f(a)(47. att.).

Piemēram, funkcijai f(x) = x 2 - 2x izmantojot grafiku (46. att.) atrodam f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 utt.

Funkcijas grafiks vizuāli ilustrē funkcijas uzvedību un īpašības. Piemēram, ņemot vērā att. 46 ir skaidrs, ka funkcija y \u003d x 2 - 2x pieņem pozitīvas vērtības, kad X< 0 un plkst x > 2, negatīvs - pie 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x pieņem plkst x = 1.

Lai attēlotu funkciju f(x) jums jāatrod visi plaknes punkti, koordinātas X,plkst kas apmierina vienādojumu y = f(x). Vairumā gadījumu tas nav iespējams, jo šādu punktu ir bezgalīgi daudz. Tāpēc funkcijas grafiks ir attēlots aptuveni – ar lielāku vai mazāku precizitāti. Vienkāršākā ir vairāku punktu diagrammas metode. Tas sastāv no tā, ka arguments X norādiet ierobežotu skaitu vērtību - teiksim, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k un izveidojiet tabulu, kurā iekļautas funkcijas atlasītās vērtības.

Tabula izskatās šādi:

Sastādot šādu tabulu, funkcijas grafikā varam iezīmēt vairākus punktus y = f(x). Tad, savienojot šos punktus ar gludu līniju, mēs iegūstam aptuvenu funkcijas grafika skatu y = f(x).

Tomēr jāatzīmē, ka daudzpunktu zīmēšanas metode ir ļoti neuzticama. Faktiski diagrammas uzvedība starp atzīmētajiem punktiem un tās uzvedība ārpus segmenta starp galējiem punktiem joprojām nav zināma.

1. piemērs. Lai attēlotu funkciju y = f(x) kāds sastādīja argumentu un funkciju vērtību tabulu:

Atbilstošie pieci punkti ir parādīti attēlā. 48.

Pamatojoties uz šo punktu atrašanās vietu, viņš secināja, ka funkcijas grafiks ir taisna līnija (48. attēlā parādīta ar punktētu līniju). Vai šo secinājumu var uzskatīt par ticamu? Ja vien nav papildu apsvērumu, kas pamato šo secinājumu, to diez vai var uzskatīt par ticamu. uzticams.

Lai pamatotu mūsu apgalvojumu, apsveriet funkciju

Aprēķini liecina, ka šīs funkcijas vērtības punktos -2, -1, 0, 1, 2 ir tikai aprakstītas iepriekšējā tabulā. Taču šīs funkcijas grafiks nepavisam nav taisna līnija (tā parādīta 49. att.). Vēl viens piemērs ir funkcija y = x + l + sinx; tā nozīmes ir aprakstītas arī iepriekš tabulā.

Šie piemēri parāda, ka savā "tīrā" veidā daudzpunktu diagrammas metode nav uzticama. Tāpēc, lai attēlotu doto funkciju, parasti rīkojieties šādi. Vispirms tiek pētītas šīs funkcijas īpašības, ar kuras palīdzību iespējams konstruēt grafa skici. Pēc tam, aprēķinot funkcijas vērtības vairākos punktos (kuru izvēle ir atkarīga no funkcijas iestatītajām īpašībām), tiek atrasti atbilstošie grafika punkti. Un visbeidzot, izmantojot šīs funkcijas īpašības, caur konstruētajiem punktiem tiek novilkta līkne.

Vēlāk aplūkosim dažas (vienkāršākās un biežāk lietotās) funkciju īpašības, ko izmanto, lai atrastu grafa skici, un tagad analizēsim dažas biežāk izmantotās grafiku zīmēšanas metodes.

Funkcijas y = |f(x)| grafiks.

Bieži vien ir nepieciešams uzzīmēt funkciju y = |f(x)|, kur f(x) - dotā funkcija. Atcerieties, kā tas tiek darīts. Pēc skaitļa absolūtās vērtības definīcijas var rakstīt

Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks y=|f(x)| var iegūt no grafika, funkcijas y = f(x)šādi: visi funkcijas grafika punkti y = f(x), kuras ordinātas nav negatīvas, jāatstāj nemainīga; tālāk funkcijas grafika punktu vietā y = f(x), kam ir negatīvas koordinātas, jākonstruē atbilstošie funkcijas grafika punkti y = -f(x)(t.i., funkciju grafika daļa
y = f(x), kas atrodas zem ass X, jāatspoguļo simetriski ap asi X).

2. piemērs Uzzīmējiet funkciju y = |x|.

Mēs ņemam funkcijas grafiku y = x(50. att., a) un daļa no šī grafika, kad X< 0 (guļ zem ass X) ir simetriski atspoguļots ap asi X. Rezultātā mēs iegūstam funkcijas grafiku y = |x|(50. att., b).

3. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y = |x 2 - 2x|.

Vispirms mēs attēlojam funkciju y = x 2 - 2x.Šīs funkcijas grafiks ir parabola, kuras zari ir vērsti uz augšu, parabolas augšpusē ir koordinātes (1; -1), tās grafiks krusto abscisu asi punktos 0 un 2. Intervālā (0; 2) ) funkcijai ir negatīvas vērtības, tāpēc šī grafika daļa atspoguļojas simetriski ap x asi. 51. attēlā parādīts funkcijas grafiks y \u003d |x 2 -2x |, pamatojoties uz funkcijas grafiku y = x 2 - 2x

Funkcijas y = f(x) + g(x) grafiks

Apsveriet funkcijas attēlošanas problēmu y = f(x) + g(x). ja ir doti funkciju grafiki y = f(x) Un y = g(x).

Ņemiet vērā, ka funkcijas y domēns = |f(x) + g(x)| ir visu to x vērtību kopa, kurām ir definētas abas funkcijas y = f(x) un y = g(x), t.i., šis definīcijas apgabals ir definīcijas jomu, funkciju f(x) krustpunkts. ) un g(x).

Ļaujiet punktiem (x 0, y 1) Un (x 0, y 2) attiecīgi pieder funkciju grafikiem y = f(x) Un y = g(x), t.i., g 1 \u003d f (x 0), y 2 = g (x 0). Tad punkts (x0;. y1 + y2) pieder funkcijas grafikam y = f(x) + g(x)(priekš f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. un jebkuru funkcijas grafika punktu y = f(x) + g(x) var iegūt šādā veidā. Tāpēc funkcijas grafiks y = f(x) + g(x) var iegūt no funkciju grafikiem y = f(x). Un y = g(x) aizstājot katru punktu ( x n, y 1) funkciju grafika y = f(x) punkts (x n, y 1 + y 2), Kur y 2 = g(x n), t.i., pārbīdot katru punktu ( x n, y 1) funkciju grafiks y = f(x) pa asi plkst pēc summas y 1 \u003d g (x n). Šajā gadījumā tiek ņemti vērā tikai šādi punkti. X n, kam ir definētas abas funkcijas y = f(x) Un y = g(x).

Šī funkcijas grafika attēlošanas metode y = f(x) + g(x) sauc par funkciju grafiku saskaitīšanu y = f(x) Un y = g(x)

4. piemērs. Attēlā ar grafiku pievienošanas metodi ir izveidots funkcijas grafiks
y = x + sinx.

Uzzīmējot funkciju y = x + sinx mēs to pieņēmām f(x) = x, A g(x) = sinx. Lai izveidotu funkciju grafiku, mēs atlasām punktus ar abscisēm -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vērtības f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx mēs aprēķināsim izvēlētajos punktos un ievietosim rezultātus tabulā.

Izveidojiet funkciju

Mēs piedāvājam jūsu uzmanību funkciju grafiku zīmēšanas pakalpojumam tiešsaistē, uz kuru visas tiesības pieder uzņēmumam Desmos. Izmantojiet kreiso kolonnu, lai ievadītu funkcijas. Varat ievadīt manuāli vai izmantojot virtuālo tastatūru loga apakšā. Lai palielinātu diagrammas logu, varat paslēpt gan kreiso kolonnu, gan virtuālo tastatūru.

Tiešsaistes diagrammu veidošanas priekšrocības

Ieviesto funkciju vizuālais attēlojums
Ļoti sarežģītu grafiku veidošana
Netieši definētu grafiku attēlošana (piemēram, elipse x^2/9+y^2/16=1)
Iespēja saglabāt diagrammas un iegūt saiti uz tām, kas kļūst pieejama ikvienam internetā
Mēroga kontrole, līniju krāsa
Spēja attēlot grafikus pa punktiem, konstantu izmantošana
Vairāku funkciju grafiku konstruēšana vienlaikus
Uzzīmējiet polāros koordinātos (izmantojiet r un θ(\theta))

Pie mums tiešsaistē ir viegli izveidot dažādas sarežģītības grafikus. Būvniecība tiek veikta uzreiz. Pakalpojums ir pieprasīts funkciju krustošanās punktu atrašanai, grafiku attēlošanai to tālākai pārnešanai Word dokumentā kā ilustrācijas problēmu risināšanai, funkciju grafiku uzvedības pazīmju analīzei. Labākā pārlūkprogramma darbam ar diagrammām šajā vietnes lapā ir Google Chrome. Izmantojot citas pārlūkprogrammas, pareiza darbība netiek garantēta.

Viena no slavenākajām eksponenciālajām funkcijām matemātikā ir eksponents. Tas ir Eilera skaitlis, kas palielināts līdz norādītajai jaudai. Programmā Excel ir atsevišķs operators, kas ļauj to aprēķināt. Apskatīsim, kā to var izmantot praksē.

Eksponents ir Eilera skaitlis, kas palielināts līdz noteiktai pakāpei. Pats Eilera numurs ir aptuveni 2,718281828. Dažreiz to sauc arī par Napier numuru. Eksponenta funkcija izskatās šādi:

kur e ir Eilera skaitlis un n ir eksponents.

Lai aprēķinātu šo rādītāju programmā Excel, tiek izmantots atsevišķs operators - EXP. Turklāt šo funkciju var attēlot kā diagrammu. Par darbu ar šiem rīkiem mēs runāsim tālāk.

1. metode: eksponenta aprēķināšana, manuāli ievadot funkciju

EXP(skaitlis)

Tas ir, šī formula satur tikai vienu argumentu. Tas tikai atspoguļo pakāpi, kādā jums jāpaaugstina Eilera skaitlis. Šis arguments var būt vai nu skaitliskas vērtības veidā, vai arī kā atsauce uz šūnu, kurā ir pakāpes indikators.

2. metode: funkciju vedņa izmantošana

Lai gan sintakse eksponenta aprēķināšanai ir ļoti vienkārša, daži lietotāji to izvēlas Funkciju vednis. Apskatīsim, kā tas tiek darīts, izmantojot piemēru.

Ja kā arguments tiek izmantota atsauce uz šūnu, kurā ir eksponents, tad laukā jāievieto kursors "Numurs" un vienkārši atlasiet šo šūnu lapā. Tā koordinātas nekavējoties tiks parādītas laukā. Pēc tam, lai aprēķinātu rezultātu, noklikšķiniet uz pogas labi.

3. metode: grafika zīmēšana

Turklāt programmā Excel ir iespēja izveidot grafiku, pamatojoties uz eksponenta aprēķināšanas rezultātā iegūtajiem rezultātiem. Lai izveidotu grafiku uz lapas, jau ir jābūt aprēķinātām dažādu pakāpju eksponenta vērtībām. Jūs varat tos aprēķināt, izmantojot kādu no iepriekš aprakstītajām metodēm.

Segmenta garumu uz koordinātu ass nosaka pēc formulas:

Nozares garumu koordinātu plaknē meklē pēc formulas:

Lai atrastu segmenta garumu trīsdimensiju koordinātu sistēmā, tiek izmantota šāda formula:

Segmenta vidus koordinātas (koordinātu asij izmanto tikai pirmo formulu, koordinātu plaknei - pirmās divas formulas, trīsdimensiju koordinātu sistēmai - visas trīs formulas) aprēķina pēc formulām:

Funkcija ir veidlapas atbilstība y= f(x) starp mainīgajiem, kuru dēļ katra aplūkotā kāda mainīgā vērtība x(arguments vai neatkarīgs mainīgais) atbilst noteiktai cita mainīgā vērtībai, y(atkarīgs mainīgais, dažreiz šo vērtību vienkārši sauc par funkcijas vērtību). Ņemiet vērā, ka funkcija pieņem, ka viena argumenta vērtība X var būt tikai viena atkarīgā mainīgā vērtība plkst. Tomēr tā pati vērtība plkst var dabūt ar dažādiem X.

Funkciju darbības joma ir visas neatkarīgā mainīgā vērtības (parasti funkcijas arguments X), kurai funkcija ir definēta, t.i. tā nozīme pastāv. Ir norādīts definīcijas domēns D(y). Kopumā jūs jau esat iepazinušies ar šo jēdzienu. Funkcijas tvērumu citādi sauc par derīgo vērtību domēnu jeb ODZ, kuru jūs jau sen esat spējuši atrast.

Funkciju diapazons ir visas iespējamās šīs funkcijas atkarīgā mainīgā vērtības. Apzīmēts E(plkst).

Funkcija paaugstinās uz intervāla, kurā lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai. Funkcija samazinās uz intervāla, kurā lielākā argumenta vērtība atbilst mazākajai funkcijas vērtībai.

Funkciju intervāli ir neatkarīgā mainīgā intervāli, kuros atkarīgais mainīgais saglabā savu pozitīvo vai negatīvo zīmi.

Funkcijas nulles ir tās argumenta vērtības, kurām funkcijas vērtība ir vienāda ar nulli. Šajos punktos funkcijas grafiks krustojas ar abscisu asi (OX asi). Ļoti bieži nepieciešamība atrast funkcijas nulles nozīmē vienkārši vienādojuma atrisināšanu. Tāpat bieži vien nepieciešamība atrast nemainīgas zīmes intervālus nozīmē nepieciešamību vienkārši atrisināt nevienlīdzību.

Funkcija y = f(x) tiek saukti pat X

Tas nozīmē, ka jebkurām pretējām argumenta vērtībām pāra funkcijas vērtības ir vienādas. Pāra funkcijas grafiks vienmēr ir simetrisks pret operētājsistēmas pastiprinātāja y asi.

Funkcija y = f(x) tiek saukti nepāra, ja tas ir definēts uz simetriskas kopas un jebkurai X no definīcijas jomas vienlīdzība ir izpildīta:

Tas nozīmē, ka jebkurām pretējām argumenta vērtībām arī nepāra funkcijas vērtības ir pretējas. Nepāra funkcijas grafiks vienmēr ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Pāra un nepāra funkciju (abscisu ass OX krustpunktu) sakņu summa vienmēr ir vienāda ar nulli, jo par katru pozitīvo sakni X ir negatīva sakne X.

Ir svarīgi atzīmēt, ka dažām funkcijām nav jābūt pāra vai nepāra. Ir daudzas funkcijas, kas nav ne pāra, ne nepāra. Šādas funkcijas sauc vispārējās funkcijas, un neviena no iepriekšminētajām vienādībām vai īpašībām uz tiem neattiecas.

Lineāra funkcija sauc par funkciju, ko var dot ar formulu:

Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija un vispārīgā gadījumā izskatās šādi (piemērs ir dots gadījumam, kad k> 0, šajā gadījumā funkcija pieaug; šim gadījumam k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Kvadrātfunkcijas grafiks (parabola)

Parabolas grafiku nosaka kvadrātiskā funkcija:

Kvadrātfunkcija, tāpat kā jebkura cita funkcija, krustojas ar OX asi punktos, kas ir tās saknes: ( x 1 ; 0) un ( x 2; 0). Ja sakņu nav, tad kvadrātfunkcija nekrustojas ar OX asi, ja ir viena sakne, tad šajā punktā ( x 0; 0) kvadrātiskā funkcija tikai pieskaras OX asij, bet nekrusto to. Kvadrātfunkcija vienmēr krusto OY asi punktā ar koordinātām: (0; c). Kvadrātfunkcijas (parabolas) grafiks var izskatīties šādi (attēlā parādīti piemēri, kas nebūt neizsmeļ visus iespējamos parabolu veidus):

Kurā:

ja koeficients a> 0, funkcijā y = cirvis 2 + bx + c, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu;
ja a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Parabolas virsotņu koordinātas var aprēķināt, izmantojot šādas formulas. X topi (lpp- augšējos attēlos) parabola (vai punkts, kurā kvadrātveida trinoma sasniedz maksimālo vai minimālo vērtību):

Y topi (q- augšējos attēlos) parabola vai maksimums, ja parabolas zari ir vērsti uz leju ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), kvadrātveida trinoma vērtība:

Citu funkciju grafiki

jaudas funkcija

Šeit ir daži jaudas funkciju grafiku piemēri:

Apgriezti proporcionāla atkarība izsauciet funkciju, kas dota ar formulu:

Atkarībā no skaitļa zīmes k Apgriezti proporcionālam grafikam var būt divas pamata iespējas:

Asimptote ir taisne, kurai funkcijas grafika līnija tuvojas bezgalīgi tuvu, bet nekrustojas. Iepriekš attēlā redzamo apgrieztās proporcionalitātes grafiku asimptotes ir koordinātu asis, kurām funkcijas grafiks tuvojas bezgalīgi tuvu, bet nekrusto tās.

eksponenciālā funkcija ar pamatni A izsauciet funkciju, kas dota ar formulu:

a eksponenciālās funkcijas grafikam var būt divas pamata iespējas (sniegsim arī piemērus, skatīt zemāk):

logaritmiskā funkcija izsauciet funkciju, kas dota ar formulu:

Atkarībā no tā, vai skaitlis ir lielāks vai mazāks par vienu a Logaritmiskās funkcijas grafikam var būt divas pamata iespējas:

Funkciju grafiks y = |x| sekojoši:

Periodisko (trigonometrisko) funkciju grafiki

Funkcija plkst = f(x) tiek saukts periodiskais izdevums, ja eksistē šāds skaitlis, kas atšķiras no nulles T, Kas f(x + T) = f(x), jebkuram Xārpus funkcijas darbības jomas f(x). Ja funkcija f(x) ir periodisks ar punktu T, tad funkcija:

Kur: A, k, b ir nemainīgi skaitļi, un k nav vienāds ar nulli, arī periodisks ar punktu T 1 , ko nosaka pēc formulas:

Lielākā daļa periodisko funkciju piemēru ir trigonometriskās funkcijas. Šeit ir galveno trigonometrisko funkciju grafiki. Nākamajā attēlā parādīta funkcijas grafika daļa y= grēks x(viss grafiks bezgalīgi turpinās pa kreisi un pa labi), funkcijas grafiks y= grēks x sauca sinusoīds:

Funkciju grafiks y= cos x sauca kosinusa vilnis. Šis grafiks ir parādīts nākamajā attēlā. Kopš sinusa grafika tas bezgalīgi turpinās pa OX asi pa kreisi un pa labi:

Funkciju grafiks y=tg x sauca tangentoīds. Šis grafiks ir parādīts nākamajā attēlā. Tāpat kā citu periodisko funkciju grafiki, arī šis grafiks bezgalīgi atkārtojas pa OX asi pa kreisi un pa labi.

Un visbeidzot, funkcijas grafiks y=ctg x sauca kotangentoīds. Šis grafiks ir parādīts nākamajā attēlā. Tāpat kā citu periodisko un trigonometrisko funkciju grafiki, arī šis grafiks bezgalīgi atkārtojas pa OX asi pa kreisi un pa labi.

Atpakaļ
Uz priekšu

Kā veiksmīgi sagatavoties CT fizikā un matemātikā?

Lai veiksmīgi sagatavotos CT fizikā un matemātikā, cita starpā ir jāievēro trīs kritiskie nosacījumi:

Izpētiet visas tēmas un izpildiet visus šīs vietnes mācību materiālos dotos testus un uzdevumus. Lai to izdarītu, jums nav nepieciešams pilnīgi nekas, proti: katru dienu trīs līdz četras stundas jāvelta CT sagatavošanai fizikā un matemātikā, teorijas apguvei un problēmu risināšanai. Fakts ir tāds, ka DT ir eksāmens, kurā nepietiek tikai ar fizikas vai matemātikas pārzināšanu, ir arī jāspēj ātri un bez neveiksmēm atrisināt lielu skaitu uzdevumu par dažādām tēmām un dažādas sarežģītības. Pēdējo var apgūt, tikai risinot tūkstošiem problēmu.
Apgūstiet visas formulas un likumus fizikā un formulas un metodes matemātikā. Faktiski to ir arī ļoti vienkārši izdarīt, fizikā ir tikai aptuveni 200 nepieciešamo formulu, bet matemātikā - pat nedaudz mazāk. Katrā no šiem priekšmetiem ir ap desmitiem standarta sarežģītības līmeņa problēmu risināšanas metodes, kuras var arī apgūt, un tādējādi pilnīgi automātiski un bez grūtībām atrisināt lielāko daļu digitālās transformācijas īstajā laikā. Pēc tam būs jādomā tikai par grūtākajiem uzdevumiem.
Apmeklējiet visus trīs mēģinājumu pārbaudes posmus fizikā un matemātikā. Katru RT var apmeklēt divas reizes, lai atrisinātu abas iespējas. Atkal, uz CT, papildus spējai ātri un efektīvi atrisināt problēmas, formulu un metožu zināšanām, ir arī jāprot pareizi plānot laiku, sadalīt spēkus un, pats galvenais, pareizi aizpildīt atbildes veidlapu. , nejaucot ne atbilžu un uzdevumu numurus, ne savu vārdu. Tāpat RT laikā ir svarīgi pierast pie jautājumu uzdošanas stila uzdevumos, kas DT nesagatavotam cilvēkam var šķist ļoti neparasts.

Veiksmīga, uzcītīga un atbildīga šo trīs punktu izpilde, kā arī atbildīga pēdējo treniņu testu apgūšana ļaus Jums uzrādīt izcilu DT rezultātu, maksimumu, uz ko esat spējīgs.

Vai atradāt kļūdu?

Ja jūs, kā jums šķiet, mācību materiālos esat atradis kļūdu, lūdzu, rakstiet par to e-pastā (). Vēstulē norādiet priekšmetu (fizika vai matemātika), tēmas vai kontroldarba nosaukumu vai numuru, uzdevuma numuru vai vietu tekstā (lappusē), kur, jūsuprāt, ir kļūda. Aprakstiet arī iespējamo kļūdu. Jūsu vēstule nepaliks nepamanīta, kļūda vai nu tiks izlabota, vai arī jums tiks paskaidrots, kāpēc tā nav kļūda.

Vispirms mēģiniet atrast funkcijas darbības jomu:

Vai jums izdevās? Salīdzināsim atbildes:

Viss kārtībā? Labi padarīts!

Tagad mēģināsim atrast funkcijas diapazonu:

Atrasts? Salīdzināt:

Vai tas piekrita? Labi padarīts!

Atkal strādāsim ar grafikiem, tikai tagad ir nedaudz grūtāk - atrast gan funkcijas domēnu, gan funkcijas diapazonu.

Kā atrast gan domēnu, gan funkcijas diapazonu (papildu)

Lūk, kas notika:

Ar grafiku, manuprāt, jūs to sapratāt. Tagad mēģināsim atrast funkcijas domēnu saskaņā ar formulām (ja nezināt, kā to izdarīt, izlasiet sadaļu par):

Vai jums izdevās? Pārbauda atbildes:

, jo saknes izteiksmei ir jābūt lielākai par nulli vai vienādai ar to.
, jo nav iespējams dalīt ar nulli un radikālā izteiksme nevar būt negatīva.
, jo, attiecīgi, visiem.
jo nevar dalīt ar nulli.

Tomēr mums joprojām ir vēl viens brīdis, kas nav atrisināts ...

Ļaujiet man atkārtot definīciju un koncentrēties uz to:

Pamanīja? Vārds "tikai" ir ļoti, ļoti svarīgs mūsu definīcijas elements. Es mēģināšu jums paskaidrot uz pirkstiem.

Pieņemsim, ka mums ir funkcija, ko dod taisna līnija. . Kad, mēs aizstājam šo vērtību savā "noteikumā" un iegūstam to. Viena vērtība atbilst vienai vērtībai. Mēs pat varam izveidot dažādu vērtību tabulu un uzzīmēt noteiktu funkciju, lai to pārbaudītu.

"Skaties! - tu saki, - "" sanāk divreiz!" Tātad, varbūt parabola nav funkcija? Nē, tā ir!

Fakts, ka "" notiek divreiz, nebūt nav iemesls apsūdzēt parabolu neskaidrībā!

Fakts ir tāds, ka, rēķinot, mēs saņēmām vienu spēli. Un, rēķinot ar, sanāca viena spēle. Tātad, parabola ir funkcija. Apskatiet diagrammu:

Sapratu? Ja nē, šeit ir piemērs no dzīves, kas ir tālu no matemātikas!

Pieņemsim, ka mums ir pretendentu grupa, kas satikās, iesniedzot dokumentus, un katrs no viņiem sarunā pastāstīja, kur viņš dzīvo:

Piekrītu, ir diezgan reāli, ka vienā pilsētā dzīvo vairāki puiši, bet vienam cilvēkam nav iespējams dzīvot vairākās pilsētās vienlaikus. Tas it kā ir loģisks mūsu "parabolas" attēlojums - Vairāki dažādi x atbilst vienam un tam pašam y.

Tagad nāksim klajā ar piemēru, kur atkarība nav funkcija. Pieņemsim, ka šie paši puiši pastāstīja, kādās specialitātēs viņi pieteicās:

Šeit mums ir pavisam cita situācija: viens cilvēks var viegli pieteikties vienam vai vairākiem virzieniem. Tas ir viens elements komplekti tiek likti sarakstē vairāki elementi komplekti. Respektīvi, tā nav funkcija.

Pārbaudīsim jūsu zināšanas praksē.

No attēliem nosakiet, kas ir funkcija un kas nav:

Sapratu? Un šeit ir atbildes:

Funkcija ir - B,E.
Nav funkcija — A, B, D, D.

Jautāsiet, kāpēc? Jā, lūk, kāpēc:

Visos skaitļos, izņemot IN) Un E) ir vairāki pret vienu!

Esmu pārliecināts, ka tagad jūs varat viegli atšķirt funkciju no nefunkcijas, pateikt, kas ir arguments un kas ir atkarīgais mainīgais, kā arī noteikt argumenta un funkcijas apjomu. Pārejam pie nākamās sadaļas – kā definēt funkciju?

Funkcijas iestatīšanas veidi

Ko, tavuprāt, nozīmē vārdi "iestatīt funkciju"? Pareizi, tas nozīmē visiem paskaidrot, par kādu funkciju šajā gadījumā ir runa. Turklāt paskaidro tā, lai visi tevi pareizi saprastu un cilvēku zīmētie funkciju grafiki pēc tava skaidrojuma būtu vienādi.

Kā es to varu izdarīt? Kā iestatīt funkciju? Vienkāršākais veids, kas šajā rakstā jau ir izmantots vairāk nekā vienu reizi - izmantojot formulu. Mēs uzrakstām formulu un, aizstājot tajā vērtību, mēs aprēķinām vērtību. Un, kā jūs atceraties, formula ir likums, noteikums, saskaņā ar kuru mums un citam cilvēkam kļūst skaidrs, kā X pārvēršas par Y.

Parasti viņi dara tieši tā - uzdevumos mēs redzam gatavas funkcijas, kas definētas ar formulām, tomēr ir arī citi veidi, kā iestatīt funkciju, par kuru visi aizmirst, un tāpēc rodas jautājums "kā vēl jūs varat iestatīt funkciju?" mulsina. Apskatīsim visu kārtībā un sāksim ar analītisko metodi.

Funkcijas analītiskais definēšanas veids

Analītiskā metode ir funkcijas uzdevums, izmantojot formulu. Tas ir universālākais, visaptverošākais un nepārprotamākais veids. Ja jums ir formula, tad jūs zināt pilnīgi visu par funkciju - jūs varat uz tās izveidot vērtību tabulu, varat izveidot grafiku, noteikt, kur funkcija palielinās un kur samazinās, kopumā izpētīt to pilnā apmērā.

Apskatīsim funkciju. Kāda tam nozīme?

"Ko tas nozīmē?" - tu jautā. Es tagad paskaidrošu.

Atgādināšu, ka apzīmējumā izteiksmi iekavās sauc par argumentu. Un šis arguments var būt jebkurš izteiciens, ne vienmēr vienkāršs. Attiecīgi neatkarīgi no argumenta (izteiksme iekavās), mēs to ierakstīsim izteiksmē.

Mūsu piemērā tas izskatīsies šādi:

Apsveriet citu uzdevumu, kas saistīts ar analītisko metodi, lai norādītu funkciju, kas jums būs eksāmenā.

Atrodiet izteiksmes vērtību pie.

Esmu pārliecināts, ka sākumā, ieraugot šādu izteicienu, tev bija bail, bet tajā nav nekā biedējoša!

Viss ir tāpat kā iepriekšējā piemērā: neatkarīgi no argumenta (izteiksme iekavās), mēs to ierakstīsim izteiksmē. Piemēram, funkcijai.

Kas būtu jādara mūsu piemērā? Tā vietā jums ir jāraksta, nevis -:

saīsiniet iegūto izteiksmi:

Tas ir viss!

Patstāvīgs darbs

Tagad mēģiniet pats atrast šādu izteicienu nozīmi:

, Ja
, Ja

Vai jums izdevās? Salīdzināsim mūsu atbildes: Mēs esam pieraduši, ka funkcijai ir forma

Pat savos piemēros mēs funkciju definējam šādā veidā, bet analītiski funkciju ir iespējams definēt, piemēram, netieši.

Mēģiniet izveidot šo funkciju pats.

Vai jums izdevās?

Lūk, kā es to izveidoju.

Pie kāda vienādojuma mēs nonācām?

Pa labi! Lineārs, kas nozīmē, ka grafiks būs taisna līnija. Izveidosim tabulu, lai noteiktu, kuri punkti pieder mūsu līnijai:

Tieši par to mēs runājām... Viens atbilst vairākiem.

Mēģināsim uzzīmēt notikušo:

Vai tas, kas mums ir, ir funkcija?

Pareizi, nē! Kāpēc? Mēģiniet atbildēt uz šo jautājumu ar attēlu. Ko tu dabūji?

"Jo viena vērtība atbilst vairākām vērtībām!"

Kādu secinājumu mēs no tā varam izdarīt?

Tieši tā, funkciju ne vienmēr var izteikt skaidri, un tas, kas ir "maskēts" kā funkcija, ne vienmēr ir funkcija!

Tabulas veids, kā definēt funkciju

Kā norāda nosaukums, šī metode ir vienkārša plāksne. Jā jā. Tāpat kā tas, kuru jau esam izveidojuši. Piemēram:

Šeit jūs uzreiz pamanījāt modeli - Y ir trīs reizes lielāks par X. Un tagad uzdevums “padomā ļoti labi”: vai, jūsuprāt, tabulas veidā dota funkcija ir līdzvērtīga funkcijai?

Nerunāsim ilgi, bet zīmēsim!

Tātad. Mēs zīmējam funkciju, kas dota abos veidos:

Vai redzat atšķirību? Runa nav par atzīmētajiem punktiem! Apskatiet to tuvāk:

Vai tu to tagad redzēji? Iestatot funkciju tabulas veidā, mēs grafikā atspoguļojam tikai tos punktus, kas mums ir tabulā, un līnija (kā mūsu gadījumā) iet tikai caur tiem. Kad mēs definējam funkciju analītiskā veidā, mēs varam ņemt jebkuru punktu, un mūsu funkcija neaprobežojas ar tiem. Šeit ir šāda funkcija. Atcerieties!

Grafisks veids, kā izveidot funkciju

Ne mazāk ērts ir funkcijas grafiskais konstruēšanas veids. Mēs uzzīmējam savu funkciju, un cits interesents var atrast, ar ko y ir vienāds ar noteiktu x, un tā tālāk. Grafiskās un analītiskās metodes ir vienas no visizplatītākajām.

Tomēr šeit ir jāatceras, par ko mēs runājām pašā sākumā - ne katrs koordinātu sistēmā uzzīmēts “svilums” ir funkcija! Atcerējās? Katram gadījumam es šeit nokopēšu funkcijas definīciju:

Parasti cilvēki parasti nosauc tieši tos trīs funkcijas norādīšanas veidus, kurus esam analizējuši - analītisko (izmantojot formulu), tabulu un grafisku, pilnībā aizmirstot, ka funkciju var aprakstīt verbāli. Kā šis? Jā, ļoti viegli!

Funkcijas verbāls apraksts

Kā verbāli aprakstīt funkciju? Ņemsim mūsu neseno piemēru - . Šo funkciju var raksturot kā "katra x reālā vērtība atbilst tās trīskāršajai vērtībai." Tas ir viss. Nekas sarežģīts. Protams, jūs iebildīsit - "ir tik sarežģītas funkcijas, ka to vienkārši nav iespējams iestatīt verbāli!" Jā, ir dažas, bet ir funkcijas, kuras ir vieglāk aprakstīt verbāli, nekā iestatīt ar formulu. Piemēram: "katra x dabiskā vērtība atbilst starpībai starp cipariem, no kuriem tā sastāv, savukārt lielākais cipars, kas ietverts skaitļa ierakstā, tiek uzskatīts par mazo vērtību." Tagad apsveriet, kā mūsu funkcijas verbālais apraksts tiek īstenots praksē:

Noteiktā skaitļa lielākais cipars - attiecīgi - tiek samazināts, tad:

Galvenie funkciju veidi

Tagad pāriesim pie interesantākā - mēs apsvērsim galvenos funkciju veidus, ar kuriem jūs strādājāt / strādājat un strādāsit skolas un institūta matemātikas kursā, tas ir, mēs tos iepazīsim, tā sakot, un sniedziet viņiem īsu aprakstu. Vairāk par katru funkciju lasiet attiecīgajā sadaļā.

Lineāra funkcija

Formas funkcija, kur ir reāli skaitļi.

Šīs funkcijas grafiks ir taisna līnija, tāpēc lineāras funkcijas konstrukcija tiek reducēta līdz divu punktu koordinātu atrašanai.

Taisnes pozīcija koordinātu plaknē ir atkarīga no slīpuma.

Funkciju tvērums (aka argumentu diapazons) - .

Vērtību diapazons ir.

kvadrātiskā funkcija

Formas funkcija, kur

Funkcijas grafiks ir parabola, kad parabolas zari ir vērsti uz leju, kad - uz augšu.

Daudzas kvadrātfunkcijas īpašības ir atkarīgas no diskriminanta vērtības. Diskriminantu aprēķina pēc formulas

Parabolas atrašanās vieta koordinātu plaknē attiecībā pret vērtību un koeficientu ir parādīta attēlā:

Domēns

Vērtību diapazons ir atkarīgs no dotās funkcijas galējības (parabolas virsotnes) un koeficienta (parabolas zaru virziena)

Apgrieztā proporcionalitāte

Funkcija, kas dota ar formulu, kur

Skaitli sauc par apgrieztās proporcionalitātes koeficientu. Atkarībā no vērtības hiperbolas zari atrodas dažādos kvadrātos:

Domēns - .