Vienmērīga izplatīšana. nepārtraukta vērtība X ir vienmērīgi sadalīts intervālā ( a, b) ja visas tā iespējamās vērtības atrodas šajā intervālā un varbūtības sadalījuma blīvums ir nemainīgs:

Nejaušam mainīgajam X, vienmērīgi sadalīts intervālā ( a, b) (4. att.), varbūtība iekrist jebkurā intervālā ( x 1 , x 2) guļus intervālā ( a, b), ir vienāds ar:

(30)


Rīsi. 4. Vienmērīgā sadalījuma blīvuma grafiks

Noapaļošanas kļūdas ir vienmērīgi sadalītu daudzumu piemēri. Tātad, ja visas noteiktas funkcijas tabulas vērtības ir noapaļotas līdz vienam un tam pašam ciparam, tad nejauši izvēloties tabulas vērtību, mēs uzskatām, ka izvēlētā skaitļa noapaļošanas kļūda ir nejaušs mainīgais, kas vienmērīgi sadalīts intervālā.

eksponenciālais sadalījums. Nepārtraukts gadījuma mainīgais X Tā ir eksponenciālais sadalījums

(31)

Varbūtības sadalījuma blīvuma (31) grafiks parādīts att. 5.

Rīsi. 5. Eksponenciālā sadalījuma blīvuma grafiks

Laiks T datorsistēmas darbība bez atteices ir nejaušs lielums, kuram ir eksponenciāls sadalījums ar parametru λ , kuras fiziskā nozīme ir vidējais atteices skaits laika vienībā, neskaitot sistēmas dīkstāves laiku remontam.

Normāls (Gausa) sadalījums. Izlases vērtība X Tā ir normāli (gausa) sadalījums, ja tā varbūtību blīvuma sadalījumu nosaka atkarība:

(32)

Kur m = M(X) , .

Plkst sauc par normālo sadalījumu standarta.

Normālā sadalījuma (32) blīvuma grafiks parādīts att. 6.

Rīsi. 6. Normālā sadalījuma blīvuma grafiks

Normālais sadalījums ir visizplatītākais sadalījums dažādās nejaušās dabas parādībās. Tādējādi kļūdas automatizētas ierīces komandu izpildē, kļūdas kosmosa kuģa palaišanā uz noteiktu kosmosa punktu, kļūdas datorsistēmu parametros utt. vairumā gadījumu ir normāls vai tuvu normālam sadalījumam. Turklāt nejaušie mainīgie, kas izveidoti, summējot lielu skaitu nejaušu vārdu, tiek sadalīti gandrīz saskaņā ar parasto likumu.

Gamma sadalījums. Izlases vērtība X Tā ir gamma sadalījums, ja tā varbūtību blīvuma sadalījumu izsaka ar formulu:

(33)

Kur ir Eilera gamma funkcija.

6. nodaļa. Nepārtraukti nejauši mainīgie.

§ 1. Nepārtraukta gadījuma lieluma blīvuma un sadalījuma funkcija.

Nepārtraukta gadījuma lieluma vērtību kopa ir nesaskaitāma un parasti attēlo kādu ierobežotu vai bezgalīgu intervālu.

Tiek izsaukts gadījuma lielums x(w), kas dots varbūtības telpā (W, S, P). nepārtraukts(absolūti nepārtraukts) W, ja pastāv nenegatīva funkcija, tā ka jebkuram x sadalījuma funkciju Fx(x) var attēlot kā integrāli

Funkciju sauc par funkciju varbūtības sadalījuma blīvums.

Sadalījuma blīvuma funkcijas īpašības izriet no definīcijas:

1..gif" width="97" height="51">

3. Nepārtrauktības punktos sadalījuma blīvums ir vienāds ar sadalījuma funkcijas atvasinājumu: .

4. Sadalījuma blīvums nosaka gadījuma lieluma sadalījuma likumu, jo tas nosaka varbūtību, ka gadījuma lielums iekritīs intervālā:

5. Varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma mainīgais iegūs noteiktu vērtību, ir nulle: . Tāpēc ir patiesas šādas vienādības:

Tiek izsaukts sadalījuma blīvuma funkcijas grafiks sadalījuma līkne, un laukums, ko ierobežo sadalījuma līkne un x ass, ir vienāds ar vienu. Tad ģeometriski sadalījuma funkcijas Fx(x) vērtība punktā x0 ir apgabals, ko ierobežo sadalījuma līkne un x ass un atrodas pa kreisi no punkta x0.

1. uzdevums. Nepārtraukta gadījuma lieluma blīvuma funkcijai ir šāda forma:

Noteikt konstanti C, konstruēt sadalījuma funkciju Fx(x) un aprēķināt varbūtību .

Risinājums. Konstante C tiek atrasta no nosacījuma Mums ir:

kur C=3/8.

Lai izveidotu sadalījuma funkciju Fx(x), ņemiet vērā, ka intervāls sadala x argumenta diapazonu (skaitļa ass) trīs daļās: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

jo blīvums x uz pusass ir nulle. Otrajā gadījumā

Visbeidzot, pēdējā gadījumā, kad x>2,

Tā kā blīvums pazūd uz pusass . Tātad tiek iegūta sadalījuma funkcija

Varbūtība aprēķināt pēc formulas. Tādējādi

§ 2. Nepārtraukta gadījuma lieluma skaitliskie raksturlielumi

Paredzamā vērtība nepārtraukti sadalītiem nejaušiem mainīgajiem nosaka pēc formulas https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

ja labās puses integrālis saplūst absolūti.

Izkliede x var aprēķināt, izmantojot formulu , kā arī, tāpat kā diskrētā gadījumā, saskaņā ar formulu https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Visas paredzamo un dispersijas īpašības, kas dotas 5. nodaļā diskrētiem gadījuma lielumiem, ir derīgas arī nepārtrauktiem gadījuma lielumiem.

2. uzdevums. Nejaušam mainīgajam x no 1. uzdevuma aprēķiniet matemātisko paredzamo vērtību un dispersiju .

Risinājums.

Un tas nozīmē

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Vienmērīga sadalījuma blīvuma grafiku sk. .

6.2.att. Sadalījuma funkcija un sadalījuma blīvums. vienots likums

Vienmērīgi sadalīta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija Fx(x) ir

Fx(x)=

Matemātiskās cerības un dispersija; .

Eksponenciālais (eksponenciālais) sadalījums. Nepārtrauktam gadījuma lielumam x, kam ir nenegatīvas vērtības, ir eksponenciāls sadalījums ar parametru l>0, ja nejaušā lieluma varbūtības sadalījuma blīvums ir vienāds ar

px(x)=

Rīsi. 6.3. Eksponenciālā likuma sadalījuma funkcija un sadalījuma blīvums.

Eksponenciālā sadalījuma sadalījuma funkcijai ir forma

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> un , ja tā sadalījuma blīvums ir vienāds ar

.

Visu gadījuma lielumu kopa, kas sadalīta saskaņā ar parasto likumu ar parametriem un parametriem, tiek apzīmēta ar .

Normāli sadalīta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija ir

.

Rīsi. 6.4. Normālā likuma sadalījuma funkcija un sadalījuma blīvums

Parastā sadalījuma parametri ir matemātiskās cerības https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Konkrētajā gadījumā, kad https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> parasto sadalījumu sauc standarta, un šādu izplatījumu klase ir norādīta https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

kamēr sadales funkcija

Šādu integrāli nevar aprēķināt analītiski (to neņem “kvadratūrās”), tāpēc funkcijai tiek apkopotas tabulas. Funkcija ir saistīta ar Laplasa funkciju, kas ieviesta 4. nodaļā

,

šādas attiecības . Patvaļīgu parametru vērtību gadījumā https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> nejaušā mainīgā sadalījuma funkcija ir saistīta ar Laplasa funkciju, izmantojot relāciju:

.

Tāpēc varbūtību, ka normāli sadalīts nejaušības lielums nonāks intervālā, var aprēķināt pēc formulas

.

Nenegatīvu gadījuma lielumu x sauc par log-normāli sadalītu, ja tā logaritms h=lnx ievēro normālo likumu. Log-normāli sadalīta gadījuma lieluma matemātiskā prognoze un dispersija ir Mx= un Dx=.

3. uzdevums.Ļaujiet norādīt nejaušu vērtību https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Risinājums.Šeit un https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplasa sadalījums tiek iestatīta ar funkciju fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> un kurtoze ir gx=3.

6.5.att. Laplasa sadalījuma blīvuma funkcija.

Nejaušais lielums x ir sadalīts Veibula likums, ja tā sadalījuma blīvuma funkcija ir vienāda ar https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Weibull izplatīšana atbilst daudzu tehnisko ierīču bezatteices darbības laikam. Šī profila uzdevumos svarīgs raksturlielums ir pētāmo vecuma t elementu atteices koeficients (mirstības rādītājs) l(t), ko nosaka sakarība l(t)=. Ja a=1, tad Veibula sadalījums pārvēršas par eksponenciālu sadalījumu, bet ja a=2 - par tā saukto sadalījumu. Reilija.

Veibula sadalījuma matemātiskās cerības: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kur Г(а) ir Eilers funkcija.

Dažādās lietišķās statistikas problēmās bieži nākas saskarties ar tā sauktajiem "saīsinātajiem" sadalījumiem. Piemēram, nodokļu iestādes interesējas par to personu ienākumu sadali, kuru gada ienākumi pārsniedz noteiktu nodokļu likumos noteikto slieksni c0. Šie sadalījumi izrādās aptuveni tādi paši kā Pareto sadalījums. Pareto sadalījums ko nosaka funkcijas

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> nejaušais mainīgais x un monotona diferencējamā funkcija ..gif" width="200" height="51">

Šeit https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

4. uzdevums. Nejaušais lielums ir vienmērīgi sadalīts pa intervālu . Atrodiet nejauša lieluma blīvumu.

Risinājums. No problēmas stāvokļa izriet, ka

Tālāk funkcija ir monotona un diferencējama intervāla funkcija, un tai ir apgriezta funkcija , kura atvasinājums ir vienāds Tāpēc,

§ 5. Nepārtrauktu gadījuma lielumu pāris

Doti divi nepārtraukti gadījuma lielumi x un h. Tad pāris (x, h) nosaka "izlases" punktu plaknē. Tiek izsaukts pāris (x, h). nejaušības vektors vai divdimensiju gadījuma lielums.

kopīgā sadales funkcija nejaušie mainīgie x un h, un funkciju sauc F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. locītavu blīvums gadījuma lielumu x un h varbūtības sadalījums ir tāda funkcija, ka .

Šīs kopīgā sadalījuma blīvuma definīcijas nozīme ir šāda. Varbūtību, ka "nejaušs punkts" (x, h) iekritīs plaknes apgabalā, aprēķina kā trīsdimensiju figūras tilpumu - "izliektu" cilindru, ko ierobežo virsma https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Vienkāršākais piemērs divu nejaušu lielumu kopīgam sadalījumam ir divdimensiju sadalījums vienmērīgs sadalījums filmēšanas laukumāA. Dota ierobežota kopa M ar laukumu. To definē kā pāra (x, h) sadalījumu ar šādu savienojuma blīvumu:

5. uzdevums.Ļaujiet divdimensiju nejaušības vektoram (x, h) vienmērīgi sadalīties trijstūra iekšpusē. Aprēķināt nevienādības x>h varbūtību.

Risinājums. Norādītā trīsstūra laukums ir vienāds ar (sk. att. Nr.?). Pamatojoties uz divdimensiju vienmērīga sadalījuma definīciju, nejaušo lielumu x, h kopīgais blīvums ir vienāds ar

Pasākums atbilst komplektam lidmašīnā, tas ir, pusplaknē. Tad varbūtība

Pusplaknē B savienojuma blīvums ir vienāds ar nulli ārpus kopas https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Tādējādi , pusplakne B ir sadalīta divās kopās un https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> un , un otrais integrālis ir nulle, jo tur savienojuma blīvums ir nulle. Tāpēc

Ja ir dots savienojuma sadalījuma blīvums pārim (x, h), tad blīvumus un komponentus x un h sauc privātie blīvumi un tos aprēķina pēc formulām:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Nepārtraukti sadalītiem gadījuma mainīgajiem ar blīvumu px(x), ph(y) neatkarība to nozīmē

6. uzdevums. Iepriekšējās problēmas apstākļos noteikt, vai gadījuma vektora x un h sastāvdaļas ir neatkarīgas?

Risinājums. Aprēķināsim daļējo blīvumu un . Mums ir:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Acīmredzot mūsu gadījumā https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> ir x un h savienojuma blīvums un j(x, y) ir divu argumentu funkcija

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

7. uzdevums. Iepriekšējās problēmas apstākļos aprēķiniet .

Risinājums. Saskaņā ar iepriekš minēto formulu mums ir:

.

Trijstūri attēlo kā

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Divu nepārtrauktu gadījuma lielumu summas blīvums

Lai x un h ir neatkarīgi gadījuma lielumi ar blīvumu https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Nejaušā lieluma x + blīvums h tiek aprēķināts pēc formulas konvolūcijas

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Aprēķiniet summas blīvumu.

Risinājums. Tā kā x un h ir sadalīti saskaņā ar eksponenciālo likumu ar parametru , to blīvumi ir vienādi ar

Tāpēc

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Ja x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">ir negatīvs, un tāpēc . Tāpēc, ja https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Tādējādi mēs saņēmām atbildi:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> parasti tiek sadalīts ar parametriem 0 un 1. Nejaušie mainīgie x1 un x2 ir neatkarīgi un tiem ir normāli sadalījumi ar attiecīgi parametriem a1 un a2 Pierādiet, ka x1 + x2 ir normāls sadalījums. Nejaušie mainīgie x1, x2, ... xn ir sadalīti un neatkarīgi un tiem ir vienāda sadalījuma blīvuma funkcija

.

Atrodiet lielumu sadalījuma funkciju un sadalījuma blīvumu:

a) h1 = min (x1 , x2, ...xn) ; b) h(2) = max(x1,x2, ... xn )

Nejaušie lielumi x1, x2, ... xn ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti segmentā [а, b]. Atrodiet lielumu sadalījuma funkcijas un sadalījuma blīvuma funkcijas

x(1) = min(x1,x2, ... xn) un x(2) = max(x1, x2, ...xn).

Pierādiet, ka M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Nejaušais lielums tiek sadalīts pēc Košī likuma Atrodi: a) koeficientu a; b) sadales funkcija; c) varbūtība trāpīt intervālā (-1, 1). Parādiet, ka cerība uz x nepastāv. Nejaušais lielums pakļaujas Laplasa likumam ar parametru l (l>0): Atrodi koeficientu a; veidot sadalījuma blīvuma un sadalījuma funkcijas grafikus; atrast Mx un Dx; atrast notikumu varbūtības (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Uzrakstiet formulu sadalījuma blīvumam, atrodiet Mx un Dx.

Skaitļošanas uzdevumi.

Nejaušam punktam A ir vienmērīgs sadalījums aplī ar rādiusu R. Atrodiet punkta attāluma r līdz apļa centram matemātisko cerību un dispersiju. Parādiet, ka lielums r2 ir vienmērīgi sadalīts segmentā .

Gadījuma lieluma sadalījuma blīvumam ir šāda forma:

Aprēķiniet konstanti C, sadalījuma funkciju F(x) un varbūtību Gadījuma lieluma sadalījuma blīvumam ir šāda forma:

Aprēķiniet konstanti C, sadalījuma funkciju F(x) un varbūtību Gadījuma lieluma sadalījuma blīvumam ir šāda forma:
Aprēķināt konstanti C, sadalījuma funkciju F(x), dispersiju un varbūtību Nejaušajam mainīgajam ir sadalījuma funkcija

Aprēķiniet nejauša lieluma blīvumu, matemātisko cerību, dispersiju un varbūtību Pārbaudiet, vai funkcija =
var būt gadījuma lieluma sadalījuma funkcija. Atrodiet šī daudzuma skaitliskos raksturlielumus: Mx un Dx. Nejaušais lielums segmentā ir vienmērīgi sadalīts. Uzrakstiet sadalījuma blīvumu. Atrodiet sadales funkciju. Atrodiet varbūtību, ka gadījuma lielums iekrīt segmentā un segmentā. Izplatības blīvums x ir

.

Atrodiet konstanti c, sadalījuma blīvumu h = un varbūtību

P (0,25

Datora darbspējas laiks tiek sadalīts pēc eksponenciāla likuma ar parametru l = 0,05 (atteices stundā), t.i., tam ir blīvuma funkcija

p(x) = .

Noteiktas problēmas risināšanai nepieciešama mašīnas darbība bez traucējumiem 15 minūtes. Ja problēmas risināšanas laikā rodas kļūme, tad kļūda tiek atklāta tikai risinājuma beigās, un problēma tiek atrisināta vēlreiz. Atrodi: a) varbūtību, ka problēmas risināšanas laikā nenotiks kļūme; b) vidējais laiks, kurā problēma tiks atrisināta.

Stienis, kura garums ir 24 cm, ir sadalīts divās daļās; pieņemsim, ka lūzuma punkts ir vienmērīgi sadalīts visā stieņa garumā. Kāds ir vidējais garums lielākajai daļai stieņa? 12 cm garu gabalu nejauši sagriež divās daļās. Griezuma punkts ir vienmērīgi sadalīts visā segmenta garumā. Kāds ir nelielas segmenta daļas vidējais garums? Nejaušais lielums ir vienmērīgi sadalīts pa intervālu . Atrodi gadījuma lieluma sadalījuma blīvumu a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = .

Parādiet, ka, ja x ir nepārtraukta sadalījuma funkcija

F(x) = P(x

Atrodiet divu neatkarīgu lielumu x un h summas blīvuma funkciju un sadalījuma funkciju ar vienādiem sadalījuma likumiem attiecīgi intervālos un. Nejaušie lielumi x un h ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti pa intervāliem un attiecīgi. Aprēķināt summas x+h blīvumu. Nejaušie lielumi x un h ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti pa intervāliem un attiecīgi. Aprēķināt summas x+h blīvumu. Nejaušie lielumi x un h ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti pa intervāliem un attiecīgi. Aprēķināt summas x+h blīvumu. Nejaušie mainīgie ir neatkarīgi un tiem ir eksponenciāls sadalījums ar blīvumu . Atrodiet to summas sadalījuma blīvumu. Atrodiet neatkarīgo gadījuma lielumu summas sadalījumu x un h, kur x ir vienmērīgs sadalījums pa intervālu, un h ir eksponenciāls sadalījums ar parametru l. Atrodi P , ja x ir: a) normāls sadalījums ar parametriem a un s2 ; b) eksponenciālais sadalījums ar parametru l; c) vienmērīgs sadalījums intervālā [-1;1]. Kopējais x, h sadalījums ir vienmērīgs kvadrātā
K = (x, y): |x| +|y|2 £). Atrodiet varbūtību . Vai x un h ir neatkarīgi? Nejaušo lielumu x un h pāris ir vienmērīgi sadalīts trijstūrī K=. Aprēķiniet blīvumu x un h. Vai šie nejaušie mainīgie ir neatkarīgi? Atrodiet varbūtību. Nejaušie lielumi x un h ir neatkarīgi un vienmērīgi sadalīti pa intervāliem un [-1,1]. Atrodiet varbūtību. Divdimensiju gadījuma lielums (x, h) ir vienmērīgi sadalīts kvadrātā ar virsotnēm (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Atrodiet kopīgās sadalījuma funkcijas vērtību punktā (1, -1). Nejaušais vektors (x, h) ir vienmērīgi sadalīts aplī ar rādiusu 3, kura centrs ir sākuma punktā. Uzrakstiet izteiksmi savienojuma sadalījuma blīvumam. Nosakiet, vai šie nejaušie mainīgie ir atkarīgi. Aprēķiniet varbūtību. Gadījuma lielumu x un h pāris ir vienmērīgi sadalīts trapecveida iekšpusē ar virsotnēm punktos (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0). Atrodiet šī nejaušo lielumu pāra kopīgo sadalījuma blīvumu un komponentu blīvumu. Vai x un h ir atkarīgi? Nejaušs pāris (x, h) ir vienmērīgi sadalīts puslokā. Atrodiet blīvumus x un h, izpētiet jautājumu par to atkarību. Divu gadījuma lielumu x un h savienojuma blīvums ir .
Atrodiet blīvumus x, h. Izpētiet jautājumu par x un h atkarību. Nejaušs pāris (x, h) ir vienmērīgi sadalīts kopā . Atrodiet blīvumus x un h, izpētiet jautājumu par to atkarību. Atrodiet M(xh). Nejaušie lielumi x un h ir neatkarīgi un tiek sadalīti saskaņā ar eksponenciālo likumu ar parametru Find

Nepārtrauktu gadījuma lielumu X dod sadalījuma funkcija f(x). Pieņemsim, ka visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības pieder segmentam [ a, b].

Definīcija. matemātiskās cerības Nepārtrauktu gadījuma lielumu X, kura iespējamās vērtības pieder segmentam , sauc par noteiktu integrāli

Ja gadījuma lieluma iespējamās vērtības ņem vērā uz visas skaitļu ass, tad matemātisko cerību nosaka pēc formulas:

Šajā gadījumā, protams, tiek pieņemts, ka nepareizais integrālis saplūst.

Definīcija. dispersija Nepārtrauktu gadījuma lielumu sauc par tā novirzes kvadrāta matemātisko cerību.

Pēc analoģijas ar diskrēta gadījuma lieluma dispersiju praktiskajam dispersijas aprēķinam tiek izmantota šāda formula:

Definīcija. Standarta novirze sauc par dispersijas kvadrātsakni.

Definīcija. Mode Diskrēta gadījuma lieluma M 0 sauc par tā visticamāko vērtību. Nepārtrauktam gadījuma mainīgajam režīms ir nejaušā mainīgā lieluma vērtība, pie kuras sadalījuma blīvums ir maksimums.

Ja diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma daudzstūrim vai nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma līknei ir divi vai vairāki maksimumi, tad šādu sadalījumu sauc bimodāls vai multimodāls. Ja sadalījumam ir minimums, bet nav maksimuma, tas tiek izsaukts antimodāls.

Definīcija. mediāna Gadījuma lieluma X M D ir tā vērtība, attiecībā pret kuru ir vienāda iespēja iegūt lielāku vai mazāku nejaušā lieluma vērtību.

Ģeometriski mediāna ir tā punkta abscisa, kurā sadalījuma līknes ierobežotā platība ir sadalīta uz pusēm. Ņemiet vērā, ka, ja sadalījums ir unimodāls, režīms un mediāna sakrīt ar matemātisko cerību.

Definīcija. Sākuma brīdis pasūtījums k gadījuma lielumu X sauc par X matemātisko cerību k.

Pirmās kārtas sākotnējais moments ir vienāds ar matemātisko cerību.

Definīcija. Centrālais punkts pasūtījums k gadījuma lielumu X sauc par vērtības matemātisko cerību

Diskrētam gadījuma mainīgajam: .

Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam: .

Pirmās kārtas centrālais moments vienmēr ir nulle, un otrās kārtas centrālais moments ir vienāds ar dispersiju. Trešās kārtas centrālais moments raksturo sadalījuma asimetriju.

Definīcija. Tiek saukta trešās kārtas centrālā momenta attiecība pret standarta novirzi trešajā pakāpē asimetrijas koeficients.

Definīcija. Lai raksturotu sadalījuma asumu un plakanumu, lielums, ko sauc kurtosis.

Papildus aplūkotajiem daudzumiem tiek izmantoti arī tā sauktie absolūtie momenti:

Absolūtais sākuma moments: . Absolūti centrālais moments: . Tiek izsaukts pirmās kārtas absolūtais centrālais moments vidējā aritmētiskā novirze.

Piemērs. Iepriekš aplūkotajā piemērā nosakiet nejaušā lieluma X matemātisko cerību un dispersiju.

Piemērs. Urnā ir 6 baltas un 4 melnas bumbiņas. No tās piecas reizes pēc kārtas tiek izņemta bumbiņa, un katru reizi izņemtā bumbiņa tiek atgriezta atpakaļ un bumbiņas tiek sajauktas. Ņemot iegūto balto bumbiņu skaitu kā gadījuma lielumu X, sastādiet šī daudzuma sadalījuma likumu, nosakiet tā matemātisko cerību un dispersiju.

Jo bumbiņas katrā eksperimentā tiek atgrieztas atpakaļ un sajauktas, tad izmēģinājumus var uzskatīt par neatkarīgiem (iepriekšējā eksperimenta rezultāts neietekmē notikuma iestāšanās vai nenotikšanas varbūtību citā eksperimentā).

Tādējādi varbūtība, ka katrā eksperimentā parādīsies balta bumbiņa, ir nemainīga un vienāda ar

Tādējādi piecu secīgu izmēģinājumu rezultātā baltā bumbiņa var neparādīties vispār, parādīties vienu, divas, trīs, četras vai piecas reizes. Lai sastādītu sadales likumu, jāatrod katra no šiem notikumiem varbūtība.

1) Baltā bumbiņa vispār neparādījās:

2) Baltā bumbiņa parādījās vienu reizi:

3) Baltā bumbiņa parādīsies divas reizes: .

Pēc savas fiziskās būtības nejaušie mainīgie var būt deterministiski un nejauši.

Diskrēts ir nejaušs lielums, kura individuālās vērtības var pārnumurēt (produktu skaits, detaļu skaits - bojātas un labas utt.).

Nejaušu lielumu sauc par nepārtrauktu, kura iespējamās vērtības aizpilda noteiktu atstarpi (saražotās detaļas izmēra novirze no nominālvērtības, mērījuma kļūda, detaļas formas novirze, mikroraupjuma augstums utt.).

Gadījuma lielumu nevar raksturot ar vienu vērtību. Tam ir jānorāda iespējamo vērtību kopa un šajā komplektā norādītie varbūtības raksturlielumi.

Gadījumā, ja nejaušs notikums tiek izteikts kā skaitlis, mēs varam runāt par nejaušu mainīgo. Nejauši viņi sauc vērtību, kas testa rezultātā iegūs vienu iespējamo vērtību, kas iepriekš nav zināma un ir atkarīga no nejaušiem cēloņiem, kurus nevar iepriekš ņemt vērā.

Dažas nejauša lieluma vērtības zudums Xšis ir nejaušs notikums: X \u003d x i. Starp nejaušajiem lielumiem izšķir diskrētos un nepārtrauktos gadījuma lielumus.

Diskrēts nejaušības lielums tiek izsaukts gadījuma mainīgais, kas testa rezultātā ar noteiktām varbūtībām iegūst atsevišķas vērtības. Diskrēta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits var būt ierobežots vai bezgalīgs. Diskrēta nejauša lieluma piemēri: spidometra rādījumu vai izmērītās temperatūras reģistrēšana noteiktos laika punktos.

Nepārtraukts gadījuma mainīgais tiek izsaukts gadījuma lielums, kas testa rezultātā ņem visas vērtības no noteikta skaitliskā intervāla. Nepārtraukta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgs. Nepārtraukta gadījuma lieluma piemērs: jebkura veida transporta kustības ātruma vai temperatūras mērīšana noteiktā laika intervālā.

Jebkuram nejaušam mainīgajam ir savs varbūtības sadalījuma likums un sava varbūtības sadalījuma funkcija. Pirms sadales funkcijas definēšanas apskatīsim mainīgos, kas to definē. Ļaujiet dažiem X ir reāls skaitlis un tiek iegūts gadījuma lielums X, kurā x > X. Ir nepieciešams noteikt varbūtību, ka nejaušais mainīgais X būs mazāka par šo fiksēto vērtību X.

Gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X sauc par funkciju F(x), kas nosaka varbūtību, ka nejaušais lielums X testa rezultātā iegūs vērtību, kas ir mazāka par x vērtību, tas ir:

Nejaušu lielumu raksturo varbūtības teorija tās sadales likums . Šis likums nosaka saikni starp iespējamām gadījuma lieluma vērtībām un to rašanās varbūtībām, kas atbilst šīm vērtībām. Pastāv divi gadījuma lieluma sadalījuma likuma aprakstīšanas veidi - diferenciālis un integrālis . Turklāt metroloģijā galvenokārt tiek izmantota diferenciālā forma - sadales likums varbūtības blīvums nejaušais mainīgais.

Diferenciālās sadales likums raksturots varbūtības sadalījuma blīvums f(x) nejaušais mainīgais X. Varbūtība R trāpot nejaušam mainīgajam intervālā no x 1 pirms tam x 2 tiek dota pēc formulas:

Grafiski šī varbūtība ir attiecība starp laukumu zem līknes f (x) diapazonā no x 1 līdz x 2 pret kopējo laukumu, ko ierobežo visa sadalījuma līkne. Parasti laukums zem visas varbūtības sadalījuma līknes tiek normalizēts uz vienu.

Šajā gadījumā sadale nepārtraukts nejaušais mainīgais. Papildus tiem ir diskrēts nejauši mainīgie, kas iegūst vairākas īpašas vērtības, kuras var numurēt.

Gadījuma lieluma integrālā sadalījuma likums ir funkcija F(x), definēts ar formulu

Varbūtību, ka gadījuma lielums būs mazāks par x 1, nosaka funkcijas F(x) vērtība pie x = x 1:

Lai gan nejaušo lielumu sadalījuma likums ir to pilnīgs varbūtības raksturlielums, šī likuma atrašana ir diezgan sarežģīts uzdevums un prasa daudzus mērījumus. Tāpēc praksē, lai aprakstītu gadījuma lieluma īpašības, dažādas sadalījumu skaitliskās īpašības. Tie ietver mirkļi nejaušie mainīgie: primārais un centrālais, kas ir daži vidējās vērtības. Turklāt, ja vērtības, kas skaitītas no sākuma, tiek aprēķinātas vidēji, tad tiek izsaukti momenti sākotnējā, un ja no izplatīšanas centra, tad centrālais.

Gadījuma lieluma X sadalījuma funkcija ir funkcija F(x), kas katram x izsaka varbūtību, ka nejaušais lielums X iegūst vērtību, mazāks x

Piemērs 2.5. Dota nejauša lieluma sadalījuma sērija

Atrodiet un grafiski attēlojiet tā izplatīšanas funkciju. Risinājums. Saskaņā ar definīciju

F(jc) = 0 priekš X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 pie 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 pie X > 5.

Tātad (skat. 2.1. att.):

Sadales funkcijas īpašības:

1. Gadījuma lieluma sadalījuma funkcija ir nenegatīva funkcija, kas ir iekļauta starp nulli un vienu:

2. Gadījuma lieluma sadalījuma funkcija ir nesamazinoša funkcija uz visas skaitļa ass, t.i. plkst X 2 >x

3. Pie mīnus bezgalības sadalījuma funkcija ir vienāda ar nulli, pie plus bezgalības tā ir vienāda ar vienu, t.i.

4. Varbūtība trāpīt nejaušam mainīgajam X intervālā ir vienāds ar tā varbūtības blīvuma noteikto integrāli diapazonā no A pirms tam b(skat. 2.2. att.), t.i.

Rīsi. 2.2

3. Nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkciju (sk. 2.3. att.) var izteikt ar varbūtības blīvumu, izmantojot formulu:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Nepareizs integrālis nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvuma bezgalīgās robežās ir vienāds ar vienu:

Ģeometriskās īpašības / un 4 varbūtības blīvumi nozīmē, ka tā diagramma ir sadalījuma līkne - atrodas ne zem x ass, un attēla kopējais laukums, ierobežota sadalījuma līkne un x-ass, ir vienāds ar vienu.

Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam X paredzamā vērtība M(X) un dispersiju D(X) tiek noteiktas pēc formulām:

(ja integrālis saplūst absolūti); vai

(ja reducētie integrāļi saplūst).

Līdzās iepriekš minētajiem skaitliskiem raksturlielumiem nejaušā mainīgā lieluma aprakstīšanai tiek izmantots kvantiļu un procentu punktu jēdziens.

q līmeņa kvantile(vai q-kvantile) ir šāda vērtībax qnejaušais mainīgais, kurā tā sadalījuma funkcija iegūst vērtību, vienāds ar q, t.i.

• 100Punkts q%-ou ir kvantile X~ q .
• ? Piemērs 2.8.

Saskaņā ar 2.6. piemēru atrodiet kvantili xqj un 30% nejaušā mainīgā punkta x.

Risinājums. Pēc definīcijas (2.16) F(xo t3)= 0,3, t.i.

~J~ = 0,3, no kurienes kvantile x 0 3 = 0,6. 30% gadījuma lieluma punkts X, vai kvantile Х)_о,з = xoj» tiek atrasts līdzīgi no vienādojuma ^ = 0,7. no kurienes *,= 1.4. ?

Starp nejaušā lieluma skaitliskiem raksturlielumiem ir sākotnējā v* un centrālais R* k-tās kārtas momenti, ko nosaka diskrētiem un nepārtrauktiem gadījuma lielumiem pēc formulām: