Normālais sadalījums ir visizplatītākais sadalījuma veids. Ar to saskaras mērījumu kļūdu analīzē, tehnoloģisko procesu un režīmu kontrolē, kā arī dažādu parādību analīzē un prognozēšanā bioloģijā, medicīnā un citās zināšanu jomās.

Termins "normāls sadalījums" tiek lietots nosacītā nozīmē, kā tas ir vispārpieņemts literatūrā, lai gan tas nav pilnībā veiksmīgs. Tādējādi apgalvojums, ka kāds atribūts pakļaujas normālās sadales likumam, vispār nenozīmē, ka pastāv nesatricināmas normas, kas it kā ir pamatā parādībai, kuras atspoguļojums ir attiecīgais atribūts, un pakļaušanās citiem sadales likumiem nenozīmē. kaut kāda šīs parādības anomālija.

Normālā sadalījuma galvenā iezīme ir tā, ka tā ir robeža, kurai tuvojas citi sadalījumi. Normālo sadalījumu pirmo reizi atklāja Moivre 1733. gadā. Tikai nepārtraukti nejauši mainīgie pakļaujas parastajam likumam. Normālā sadalījuma likuma blīvumam ir forma .

Normālā sadalījuma likuma matemātiskā cerība ir . Izkliede ir.

Normālā sadalījuma pamatīpašības.

1. Sadalījuma blīvuma funkcija ir definēta uz visas reālās ass Ak , tas ir, katra vērtība X atbilst precīzi noteiktai funkcijas vērtībai.

2. Visām vērtībām X (gan pozitīvas, gan negatīvas) blīvuma funkcijai ir pozitīvas vērtības, tas ir, normālā līkne atrodas virs ass Ak .

3. Blīvuma funkcijas ierobežojums ar neierobežotu pieaugumu X vienāds ar nulli,.

4. Normālā sadalījuma blīvuma funkcijai punktā ir maksimums.

5. Blīvuma funkcijas grafiks ir simetrisks pret taisni.

6. Sadalījuma līknei ir divi lēciena punkti ar koordinātām un .

7. Normālā sadalījuma režīms un mediāna sakrīt ar matemātisko cerību A .

8. Normālās līknes forma nemainās, mainot parametru A .

9. Normālā sadalījuma šķībuma un kurtozes koeficienti ir vienādi ar nulli.

Šo koeficientu aprēķināšanas nozīme empīriskām sadalījuma rindām ir acīmredzama, jo tie raksturo dotās rindas šķībumu un stāvumu salīdzinājumā ar parasto.

Varbūtību iekrist intervālā nosaka pēc formulas , kur ir nepāra tabulēta funkcija.

Noteiksim varbūtību, ka normāli sadalīts gadījuma lielums novirzīsies no tā matemātiskās cerības par vērtību, kas ir mazāka par , tas ir, mēs atrodam nevienādības varbūtību jeb dubultās nevienādības varbūtību. Aizvietojot formulā, mēs iegūstam

Izsakot gadījuma lieluma novirzi X standartnovirzes daļās, tas ir, ievietojot pēdējo vienādību, mēs iegūstam .

Tad mēs saņemam

kad saņemsim,

kad saņemam.

No pēdējās nevienādības izriet, ka praktiski normāli sadalīta gadījuma lieluma izkliede atrodas sadaļā . Varbūtība, ka kāds gadījuma lielums neietilps šajā apgabalā, ir ļoti maza, proti, tā ir vienāda ar 0,0027, tas ir, šis notikums var notikt tikai trīs gadījumos no 1000. Tādus notikumus var uzskatīt par gandrīz neiespējamiem. Pamatojoties uz iepriekš minēto argumentāciju, trīs sigmu noteikums, kas ir formulēts šādi: ja nejaušam mainīgajam ir normāls sadalījums, tad šīs vērtības novirze no matemātiskās cerības absolūtā vērtībā nepārsniedz standartnovirzi trīs reizes.

28. piemērs. Detaļa, kas izgatavota ar automātisko mašīnu, tiek uzskatīta par piemērotu, ja tās kontrolētā izmēra novirze no projektētā nepārsniedz 10 mm. Kontrolētā izmēra nejaušas novirzes no projektētā izmēra ir pakļautas normālā sadalījuma likumam ar standarta novirzi mm un matemātisko cerību. Cik procentu labu daļu ražo mašīna?

Risinājums. Apsveriet nejaušu mainīgo X - izmēra novirze no konstrukcijas. Daļa tiks atzīta par piemērotu, ja nejaušais mainīgais pieder pie intervāla . Piemērotas daļas izgatavošanas varbūtību nosaka pēc formulas . Tāpēc mašīnas ražoto labo detaļu procentuālais daudzums ir 95,44%.

Binomiālais sadalījums

Binomiāls ir notikuma varbūtības sadalījums m notikumu skaits iekšā P neatkarīgi testi, kuros katrā notikuma iestāšanās varbūtība ir nemainīga un vienāda ar R . Iespējamā notikuma gadījumu skaita iespējamību aprēķina pēc Bernulli formulas: ,

Kur. Pastāvīgs P Un R , kas iekļauti šajā izteiksmē, binoma likuma parametri. Binomiālais sadalījums apraksta diskrēta gadījuma lieluma varbūtības sadalījumu.

Binomiālā sadalījuma skaitliskās pamatraksturības. Matemātiskā cerība ir . Izkliede ir. Šķibuma un šķautņainības koeficienti ir vienādi ar un . Ar neierobežotu izmēģinājumu skaita pieaugumu A Un E ir tendence uz nulli, tāpēc mēs varam pieņemt, ka binomiālais sadalījums konverģē uz parasto, palielinoties izmēģinājumu skaitam.

29. piemērs. Neatkarīgi testi tiek veikti ar tādu pašu notikuma iestāšanās varbūtību A katrā testā. Atrodiet notikuma varbūtību A vienā izmēģinājumā, ja trīs izmēģinājumu gadījumu skaita atšķirība ir 0,63.

Risinājums. Binomiālajam sadalījumam. Aizstājiet vērtības, mēs iegūstam no šejienes vai tad un .

Poisson sadalījums

Reto parādību izplatības likums

Puasona sadalījums apraksta notikumu skaitu m , kas notiek vienādos laika intervālos, ar nosacījumu, ka notikumi notiek neatkarīgi viens no otra ar nemainīgu vidējo intensitāti. Tajā pašā laikā izmēģinājumu skaits P ir liels, un katra izmēģinājuma notikuma iespējamība R mazs. Tāpēc Puasona sadalījumu sauc par reto parādību jeb vienkāršākās plūsmas likumu. Puasona sadalījuma parametrs ir vērtība, kas raksturo notikumu rašanās intensitāti P testiem. Puasona sadalījuma formula.

Puasona sadalījums labi raksturo apdrošināšanas summu izmaksu atlīdzību pieteikumu skaitu gadā, telefona centrāles saņemto zvanu skaitu noteiktā laikā, elementu bojājumu skaitu uzticamības pārbaudes laikā, bojāto produktu skaitu utt. .

Pamata skaitliskie raksturlielumi Puasona sadalījumam. Matemātiskā cerība ir vienāda ar dispersiju un ir vienāda ar A . Tas ir . Šī ir šī izplatīšanas atšķirīga iezīme. Šķībuma un kurtozes koeficienti ir attiecīgi vienādi ar .

30. piemērs. Vidējais apdrošinājuma summu maksājumu skaits dienā ir divi. Atrodi varbūtību, ka pēc piecām dienām tev būs jāsamaksā: 1) 6 apdrošinājuma summas; 2) mazāk nekā sešas summas; 3) ne mazāk kā seši.sadale.

Šis sadalījums bieži tiek novērots, pētot dažādu ierīču kalpošanas laiku, atsevišķu elementu, sistēmas daļu un visas sistēmas darbības laiku, ņemot vērā nejaušus laika intervālus starp divu secīgu retu notikumu rašanos.

Eksponenciālā sadalījuma blīvumu nosaka parametrs , ko sauc atteices līmenis. Šis termins ir saistīts ar konkrētu pielietojuma jomu - uzticamības teoriju.

Eksponenciālā sadalījuma integrālās funkcijas izteiksmi var atrast, izmantojot diferenciālās funkcijas īpašības:

Eksponenciālā sadalījuma, dispersijas, standartnovirzes matemātiskā gaida. Tādējādi šim sadalījumam ir raksturīgi, ka standartnovirze ir skaitliski vienāda ar matemātisko cerību. Jebkurai parametra vērtībai šķībuma un kurtozes koeficienti ir nemainīgas vērtības.

31. piemērs. Vidējais televizora darbības laiks pirms pirmās atteices ir 500 stundas. Atrodiet varbūtību, ka nejauši izvēlēts televizors bez traucējumiem darbosies ilgāk par 1000 stundām.

Risinājums. Tā kā vidējais laiks līdz pirmajai kļūmei ir 500, tad . Mēs atrodam vēlamo varbūtību pēc formulas .

Daudzās problēmās, kas saistītas ar normāli sadalītiem gadījuma lielumiem, ir jānosaka varbūtība, ka gadījuma lielums , ievērojot parasto likumu ar parametriem , iekrīt intervālā no līdz . Lai aprēķinātu šo varbūtību, mēs izmantojam vispārīgo formulu

kur ir daudzuma sadalījuma funkcija .

Atradīsim sadalījuma funkciju gadījuma mainīgajam, kas sadalīts pēc parastā likuma ar parametriem . Vērtības sadalījuma blīvums ir:

. (6.3.2)

Šeit mēs atrodam sadales funkciju

. (6.3.3)

Izdarīsim mainīgā lieluma maiņu integrālī (6.3.3.)

un izveidojiet to formā:

(6.3.4)

Integrāli (6.3.4) neizsaka ar elementārfunkcijām, bet to var aprēķināt ar speciālu funkciju, kas izsaka izteiksmes noteiktu integrāli vai (tā saukto varbūtības integrāli), kurai tiek sastādītas tabulas . Ir daudz šādu funkciju šķirņu, piemēram:

;

utt. Kuru no šīm funkcijām izmantot, ir gaumes jautājums. Mēs izvēlēsimies kā šādu funkciju

. (6.3.5)

Ir viegli saprast, ka šī funkcija nav nekas cits kā sadalījuma funkcija normāli sadalītam gadījuma mainīgajam ar parametriem.

Mēs piekrītam saukt funkciju par normālā sadalījuma funkciju. Pielikumā (1. tabula) ir parādītas funkciju vērtību tabulas.

Izteiksim lieluma sadalījuma funkciju (6.3.3) ar parametriem un normālā sadalījuma funkcijas izteiksmē. Acīmredzot,

. (6.3.6)

Tagad noskaidrosim varbūtību trāpīt nejaušam mainīgajam segmentā no līdz . Saskaņā ar formulu (6.3.1.)

Tādējādi esam izteikuši varbūtību, ka gadījuma lielums , kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar jebkuriem parametriem, iekritīs diagrammā standarta sadalījuma funkcijas izteiksmē, kas atbilst vienkāršākajam normāllikumam ar parametriem 0.1. Ņemiet vērā, ka funkcijas argumentiem formulā (6.3.7) ir ļoti vienkārša nozīme: ir attālums no sadaļas labā gala līdz dispersijas centram, kas izteikts standartnovirzēs; - vienāds attālums sekcijas kreisajam galam, un šis attālums tiek uzskatīts par pozitīvu, ja gals atrodas pa labi no izkliedes centra, un par negatīvu, ja pa kreisi.

Tāpat kā jebkurai sadales funkcijai, funkcijai ir šādas īpašības:

3. - nesamazinoša funkcija.

Turklāt no normālā sadalījuma simetrijas ar parametriem par izcelsmi izriet, ka

Izmantojot šo īpašību, faktiski būtu iespējams ierobežot funkciju tabulas tikai ar argumenta pozitīvām vērtībām, bet, lai izvairītos no nevajadzīgas darbības (atņemšanas no viena), pielikuma 1. tabulā ir norādītas vērtības gan pozitīvi, gan negatīvi argumenti.

Praksē bieži rodas problēma, kā aprēķināt varbūtību, ka normāli sadalīts gadījuma lielums iekritīs apgabalā, kas ir simetrisks pret izkliedes centru. Aplūkosim šādu garuma posmu (6.3.1. att.). Aprēķināsim varbūtību nokļūt šajā vietnē, izmantojot formulu (6.3.7):

Ņemot vērā funkcijas īpašību (6.3.8.) un formulas (6.3.9.) kreisajai pusei piešķirot kompaktāku formu, iegūstam formulu varbūtībai, ka gadījuma lielums, kas sadalīts saskaņā ar normālo likumu, iekrīt simetrisks posms attiecībā pret izkliedes centru:

. (6.3.10)

Atrisināsim šādu problēmu. Atcelsim secīgus garuma segmentus no izkliedes centra (6.3.2. att.) un aprēķināsim varbūtību, ka katrā no tiem iekritīs gadījuma lielums. Tā kā parastā likuma līkne ir simetriska, pietiek ar šādu segmentu atlikšanu tikai vienā virzienā.

Saskaņā ar formulu (6.3.7) mēs atrodam:

(6.3.11)

Kā redzams no šiem datiem, varbūtība trāpīt katru no šiem segmentiem (piektā, sestā utt.) ar precizitāti 0,001 ir vienāda ar nulli.

Noapaļojot segmentu trāpījuma varbūtību līdz 0,01 (līdz 1%), mēs iegūstam trīs skaitļus, kurus ir viegli atcerēties:

0,34; 0,14; 0,02.

Šo trīs vērtību summa ir 0,5. Tas nozīmē, ka normāli sadalītam gadījuma mainīgajam visas dispersijas (līdz procenta daļām) iekļaujas sadaļā .

Tas ļauj, zinot nejaušā lieluma standartnovirzi un matemātisko cerību, aptuveni norādīt tā praktiski iespējamo vērtību diapazonu. Šī nejaušā lieluma iespējamo vērtību diapazona novērtēšanas metode matemātiskajā statistikā ir pazīstama kā "trīs sigmas likums". Trīs sigmu noteikums ietver arī aptuvenu metodi nejauša lieluma standartnovirzes noteikšanai: tie ņem maksimālo praktiski iespējamo novirzi no vidējā un dala to ar trīs. Protams, šo aptuveno metodi var ieteikt tikai tad, ja nav citu, precīzāku veidu, kā noteikt .

1. piemērs. Gadījuma lielums , kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu, ir kļūda noteikta attāluma mērīšanā. Veicot mērījumus, pieļaujama sistemātiska kļūda pārvērtēšanas virzienā par 1,2 (m); mērījuma kļūdas standartnovirze ir 0,8 (m). Atrodiet varbūtību, ka izmērītās vērtības novirze no patiesās vērtības nepārsniedz 1,6 (m) absolūtā vērtībā.

Risinājums. Mērījumu kļūda ir nejaušs lielums, kas atbilst parastajam likumam ar parametriem un . Mums ir jāatrod iespējamība, ka šis lielums ietilpst intervālā no līdz . Pēc formulas (6.3.7) mums ir:

Izmantojot funkciju tabulas (pielikums, 1. tabula), mēs atrodam:

; ,

2. piemērs. Atrodiet tādu pašu varbūtību kā iepriekšējā piemērā, bet ar nosacījumu, ka nav sistemātiskas kļūdas.

Risinājums. Pēc formulas (6.3.10.), pieņemot , mēs atrodam:

.

Piemērs 3. Uz mērķi, kas izskatās kā josla (automaģistrāle), kuras platums ir 20 m, šaušana tiek veikta virzienā, kas ir perpendikulārs automaģistrālei. Mērķēšana tiek veikta pa šosejas centra līniju. Standartnovirze šaušanas virzienā ir vienāda ar m. Šaušanas virzienā ir sistemātiska kļūda: zemšāviens ir 3 m. Atrodi varbūtību trāpīt uz automaģistrāles ar vienu šāvienu.

(īsts, stingri pozitīvs)

Normāls sadalījums, ko sauc arī par Gausa sadalījums vai Gauss - Laplass- varbūtības sadalījums , ko viendimensijas gadījumā dod varbūtības blīvuma funkcija , kas sakrīt ar Gausa funkciju :

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2, (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

kur parametrs μ ir sadalījuma matemātiskā prognoze (vidējā vērtība), mediāna un veids, bet parametrs σ ir sadalījuma standartnovirze ( σ  ² - dispersija).

Tādējādi viendimensijas normālais sadalījums ir divu parametru sadalījumu saime. Daudzfaktoru gadījums ir aprakstīts rakstā "Daudzdimensiju normāls sadalījums".

standarta normālais sadalījums sauc par normālu sadalījumu ar vidējo μ = 0 un standartnovirzi σ = 1 .

Enciklopēdisks YouTube

• 1 / 5

  Normālā sadalījuma nozīme daudzās zinātnes jomās (piemēram, matemātiskajā statistikā un statistiskajā fizikā) izriet no varbūtības teorijas centrālās robežu teorēmas. Ja novērojuma rezultāts ir daudzu nejaušu, vāji savstarpēji atkarīgu mainīgo summa, no kuriem katrs dod nelielu ieguldījumu attiecībā pret kopējo summu, tad, palielinoties terminu skaitam, centrētā un normalizētā rezultāta sadalījumam ir tendence uz normālu. Šim varbūtību teorijas likumam ir plaši izplatīts normālā sadalījuma sadalījums, kas bija viens no tā nosaukuma iemesliem.

  Īpašības

  Momenti

  Ja nejaušie mainīgie X 1 (\displaystyle X_(1)) Un X 2 (\displaystyle X_(2)) ir neatkarīgi un tiem ir normāls sadalījums ar matemātiskām prognozēm μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Un μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) un dispersijas σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Un σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) attiecīgi, tad X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) ir arī normāls sadalījums ar paredzamo vērtību μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) un dispersija σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2). Tas nozīmē, ka normālu gadījuma lielumu var attēlot kā patvaļīga skaita neatkarīgu normālu gadījuma lielumu summu.

  Maksimālā entropija

  Normālajam sadalījumam ir maksimālā diferenciālā entropija starp visiem nepārtrauktajiem sadalījumiem, kuru dispersija nepārsniedz noteiktu vērtību.

  Normālu pseidogadījuma mainīgo modelēšana

  Vienkāršākās aptuvenās modelēšanas metodes ir balstītas uz centrālo robežu  teorēmu. Proti, ja pievienosim vairākus neatkarīgus identiski sadalītus lielumus ar ierobežotu dispersiju, tad summa tiks sadalīta aptuveni Labi. Piemēram, ja pievienojat 100 neatkarīgu standartu vienmērīgi sadalītos gadījuma lielumus, tad summas sadalījums būs aptuveni normāli.

  Normāli izplatītu pseidogadījuma mainīgo programmatūras ģenerēšanai vēlams izmantot Box - Muller transformāciju. Tas ļauj ģenerēt vienu normāli sadalītu vērtību, pamatojoties uz vienu vienmērīgi sadalītu vērtību.

  Normāls sadalījums dabā un lietojumos

  Normālais sadalījums bieži sastopams dabā. Piemēram, šādi nejaušie mainīgie ir labi modelēti ar normālo sadalījumu:

  • šaušanas novirze.
  • mērījumu kļūdas (tomēr dažu mērinstrumentu kļūdām ir nenormāls sadalījums).
  • dažas dzīvo organismu īpašības populācijā.

  Šis sadalījums ir tik plaši izplatīts, jo tas ir bezgalīgi dalāms nepārtraukts sadalījums ar ierobežotu dispersiju. Tāpēc daži citi tuvojas tam robežās, piemēram, binomiāls un Puasons. Ar šo sadalījumu tiek modelēti daudzi nedeterministiski fiziski procesi.

  Saistība ar citiem sadalījumiem

  • Normālais sadalījums ir XI tipa Pīrsona sadalījums.
  • Neatkarīgu standarta normāli sadalītu gadījuma lielumu pāra attiecībai ir Košī sadalījums. Tas ir, ja nejaušais mainīgais X (\displaystyle X) atspoguļo attiecību X = Y/Z (\displaystyle X=Y/Z)(Kur Y (\displaystyle Y) Un Z (\displaystyle Z) ir neatkarīgi standarta parastie gadījuma mainīgie), tad tam būs Košī sadalījums.
  • Ja z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) ir kopīgi neatkarīgi standarta normālie gadījuma lielumi, t.i. z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), tad nejaušais mainīgais x = z 1 2 + … + z k 2 (\displeja stils x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) ir hī kvadrāta sadalījums ar k brīvības pakāpēm.
  • Ja nejaušais mainīgais X (\displaystyle X) ir pakļauts lognormālajam sadalījumam, tad tā dabiskajam logaritmam ir normāls sadalījums. Tas ir, ja X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tas Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Un otrādi, ja Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tas X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \pa labi)).
  • Divu standarta parasto gadījuma lielumu kvadrātu attiecība ir

  Praksē lielākā daļa gadījuma lielumu, kurus ietekmē liels skaits gadījuma faktoru, pakļaujas parastajam varbūtības sadalījuma likumam. Tāpēc dažādos varbūtību teorijas pielietojumos šim likumam ir īpaša nozīme.

  Nejaušais lielums $X$ pakļaujas normālajam varbūtības sadalījuma likumam, ja tā varbūtības sadalījuma blīvumam ir šāda forma

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

  Shematiski funkcijas $f\left(x\right)$ grafiks ir parādīts attēlā un tam ir nosaukums "Gausa līkne". Pa labi no šī grafika ir Vācijas 10 marku banknote, kas tika lietota vēl pirms eiro ieviešanas. Ja paskatās uzmanīgi, tad uz šīs banknotes var redzēt Gausa līkni un tās atklājēju, izcilāko matemātiķi Karlu Frīdrihu Gausu.

  Atgriezīsimies pie mūsu blīvuma funkcijas $f\left(x\right)$ un sniegsim paskaidrojumus par sadalījuma parametriem $a,\ (\sigma )^2$. Parametrs $a$ raksturo gadījuma lieluma vērtību izkliedes centru, tas ir, tam ir matemātiskās cerības nozīme. Mainoties parametram $a$ un paliekot nemainīgam parametram $(\sigma )^2$, varam novērot funkcijas $f\left(x\right)$ grafika nobīdi pa abscisu asi, savukārt blīvums grafs pats savu formu nemaina.

  

  Parametrs $(\sigma )^2$ ir dispersija un raksturo blīvuma līknes $f\left(x\right)$ formu. Mainot parametru $(\sigma )^2$ ar nemainītu parametru $a$, varam novērot, kā blīvuma grafiks maina savu formu, saraujoties vai izstiepjoties, vienlaikus nepārvietojoties pa abscisu.

  

  Normāli sadalīta gadījuma lieluma varbūtība iekrist noteiktā intervālā

  Kā zināms, varbūtību, ka nejaušais mainīgais $X$ iekrīt intervālā $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, var aprēķināt $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  Šeit funkcija $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ ir Laplasa funkcija. Šīs funkcijas vērtības ir ņemtas no . Var atzīmēt šādas funkcijas $\Phi \left(x\right)$ īpašības.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, t.i., funkcija $\Phi \left(x\right)$ ir nepāra.

  2 . $\Phi \left(x\right)$ ir monotoni pieaugoša funkcija.

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ pa kreisi(x\pa labi)\ )=-0,5$.

  Lai aprēķinātu funkcijas $\Phi \left(x\right)$ vērtības, varat izmantot arī Excel pakotnes $f_x$ funkcijas vedni: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\labais )-0,5 $. Piemēram, aprēķināsim funkcijas $\Phi \left(x\right)$ vērtības $x=2$.

  

  Varbūtību, ka normāli sadalīts gadījuma lielums $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ iekrīt intervālā, kas ir simetrisks attiecībā pret gaidāmo $a$, var aprēķināt pēc formulas

  $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  Trīs sigmu noteikums. Ir praktiski droši, ka normāli sadalīts gadījuma lielums $X$ ietilpst intervālā $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

  1. piemērs . Nejaušais lielums $X$ ir pakļauts parastajam varbūtības sadalījuma likumam ar parametriem $a=2,\ \sigma =3$. Atrodiet varbūtību, ka $X$ ietilpst intervālā $\left(0,5;1\right)$ un varbūtību, ka nevienādība $\left|X-a\right|< 0,2$.

  Izmantojot formulu

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  atrast $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ virs (3))\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \ left(0,33\right) =0,191-0,129=0,062 ASV dolāri.

  $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  2. piemērs . Pieņemsim, ka gada laikā noteikta uzņēmuma akciju cena ir gadījuma lielums, kas sadalīts pēc parastā likuma ar matemātisko cerību, kas vienāda ar 50 nosacītām naudas vienībām un standartnovirzi, kas vienāda ar 10. Kāda ir varbūtība, ka uz nejauši izvēlēta apspriežamā perioda dienā akcijas cena būs:

  a) vairāk nekā 70 parastās naudas vienības?

  b) zem 50 par akciju?

  c) no 45 līdz 58 parastajām naudas vienībām uz vienu akciju?

  Lai nejaušais lielums $X$ ir kāda uzņēmuma akciju cena. Pēc nosacījuma $X$ ir pakļauts normālam sadalījumam ar parametriem $a=50$ - matemātiskā cerība, $\sigma =10$ - standarta novirze. Varbūtība $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ virs (10))\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

  $$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  Nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtību normālā sadalījuma likums starp dažādiem teorētiskajiem likumiem ieņem īpašu vietu, jo tas ir galvenais daudzos praktiskos pētījumos. Viņš apraksta lielāko daļu nejaušo parādību, kas saistītas ar ražošanas procesiem.

  Nejaušas parādības, kas pakļaujas normālā sadalījuma likumam, ietver ražošanas parametru mērījumu kļūdas, ražošanas tehnoloģisko kļūdu sadalījumu, vairuma bioloģisko objektu augstumu un svaru utt.

  normāli sauc par nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma likumu, ko apraksta ar diferenciālo funkciju

  a - gadījuma lieluma matemātiskā gaidīšana;

  Normālā sadalījuma standartnovirze.

  Normālā sadalījuma diferenciālās funkcijas grafiku sauc par normālo līkni (Gausa līkni) (7. att.).

  

  Rīsi. 7 Gausa līkne

  Parastās līknes (Gausa līknes) īpašības:

  1. līkne ir simetriska pret taisni x = a;

  2. normālā līkne atrodas virs X ass, t.i., visām X vērtībām funkcija f(x) vienmēr ir pozitīva;

  3. Vērša ass ir grafa horizontālā asimptote, jo

  4. ja x = a, funkcijas f(x) maksimums ir vienāds ar

  ,

  punktos A un B pie un līknei ir lēciena punkti, kuru ordinātas ir vienādas.

  

  Tajā pašā laikā varbūtība, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma novirzes absolūtā vērtība no tā matemātiskās cerības nepārsniegs standartnovirzi, ir vienāda ar 0,6826.

  punktos E un G, un , funkcijas f(x) vērtība ir vienāda ar

  

  un varbūtība, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma novirzes absolūtā vērtība no tā matemātiskās cerības nepārsniegs divas reizes standarta novirzi, ir 0,9544.

  Asimptotiski tuvojoties abscisu asij, Gausa līkne punktos C un D, ​​pie un , nonāk ļoti tuvu abscisu asij. Šajos punktos funkcijas f(x) vērtība ir ļoti maza

  

  un varbūtība, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma novirzes absolūtā vērtība no tā matemātiskās cerības nepārsniegs trīs reizes lielāku standartnovirzi, ir 0,9973. Šo Gausa līknes īpašību sauc par " trīs sigmu noteikums".

  
  
  

  Ja gadījuma lielums ir normāli sadalīts, tad tā novirzes absolūtā vērtība no matemātiskās cerības nepārsniedz standartnovirzi trīs reizes.

  Parametra a vērtības maiņa (nejaušam lieluma matemātiskā cerība) nemaina normālās līknes formu, bet tikai noved pie tās nobīdes pa X asi: pa labi, ja a palielinās, un pa kreisi, ja a samazinās.

  Ja a=0, normālā līkne ir simetriska pret y asi.

  Mainot parametra vērtību (standarta novirzi), mainās normālās līknes forma: pieaugot normālās līknes ordinātām samazinās, līkne tiek izstiepta pa X asi un nospiesta pret to. Samazinoties, normālās līknes ordinātas palielinās, līkne sarūk pa X asi un kļūst vairāk "pīķa".

  Tajā pašā laikā jebkurai un vērtībām laukums, ko ierobežo normālā līkne un X ass, paliek vienāds ar vienu (t.i., varbūtība, ka nejaušais mainīgais, kas sadalīts normāli, iegūs vērtību, ko ierobežo normālā līkne X ass ir vienāda ar 1).

  Normāls sadalījums ar patvaļīgiem parametriem un , t.i., aprakstīts ar diferenciālo funkciju

  

  sauca vispārējais normālais sadalījums.

  Tiek izsaukts normālais sadalījums ar parametriem un normalizēts sadalījums(8. att.). Normalizētā sadalījumā diferenciālā sadalījuma funkcija ir:

  

  Rīsi. 8 Normalizēta līkne

  Vispārējā normālā sadalījuma integrālajai funkcijai ir šāda forma:

  Ja gadījuma lielums X ir sadalīts saskaņā ar normālo likumu intervālā (c, d). Tad varbūtība, ka X iegūst vērtību, kas pieder intervālam (c, d), ir vienāda ar

  

  Piemērs. Nejaušais lielums X tiek sadalīts saskaņā ar parasto likumu. Šī nejaušā lieluma matemātiskā prognoze un standarta novirze ir a=30 un . Atrodiet varbūtību, ka X iegūst vērtību intervālā (10, 50).

  Pēc nosacījuma:. Tad

  Izmantojot jau gatavas Laplasa tabulas (skat. 3. pielikumu), mums ir.