Es teikšu īsi. Leņķis starp divām līnijām ir vienāds ar leņķi starp to virziena vektoriem. Tādējādi, ja jums izdodas atrast virziena vektoru a \u003d (x 1; y 1; z 1) un b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinātas, varat atrast leņķi. Precīzāk, leņķa kosinuss pēc formulas:

Apskatīsim, kā šī formula darbojas konkrētos piemēros:

Uzdevums. Punkti E un F ir atzīmēti kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - attiecīgi A 1 B 1 un B 1 C 1 malu viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AE un BF.

Tā kā kuba mala nav norādīta, iestatām AB = 1. Ieviešam standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, un x, y, z asis ir vērstas attiecīgi pa AB, AD un AA 1. . Vienības segments ir vienāds ar AB = 1. Tagad atradīsim mūsu līniju virziena vektoru koordinātas.

Atrodiet vektora AE koordinātas. Lai to izdarītu, mums ir nepieciešami punkti A = (0; 0; 0) un E = (0,5; 0; 1). Tā kā punkts E ir nogriežņa A 1 B 1 vidus, tā koordinātas ir vienādas ar galu koordinātu vidējo aritmētisko. Ņemiet vērā, ka vektora AE izcelsme sakrīt ar sākumu, tāpēc AE = (0,5; 0; 1).

Tagad tiksim galā ar BF vektoru. Līdzīgi mēs analizējam punktus B = (1; 0; 0) un F = (1; 0,5; 1), jo F - segmenta vidusdaļa B 1 C 1 . Mums ir:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Tātad virziena vektori ir gatavi. Leņķa kosinuss starp līnijām ir leņķa kosinuss starp virziena vektoriem, tāpēc mums ir:

Uzdevums. Regulārā trīsstūrveida prizmā ABCA 1 B 1 C 1 , kuras visas malas ir vienādas ar 1, ir atzīmēti punkti D un E - attiecīgi malu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AD un BE.

Mēs ieviešam standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, x ass ir vērsta pa AB, z - pa AA 1 . Mēs virzām y asi tā, lai OXY plakne sakristu ar ABC plakni. Vienības segments ir vienāds ar AB = 1. Atrodiet virziena vektoru koordinātas vajadzīgajām taisnēm.

Vispirms atradīsim AD vektora koordinātas. Apsveriet punktus: A = (0; 0; 0) un D = (0,5; 0; 1), jo D - segmenta vidusdaļa A 1 B 1 . Tā kā vektora AD sākums sakrīt ar izcelsmi, iegūstam AD = (0,5; 0; 1).

Tagad noskaidrosim vektora BE koordinātas. Punktu B = (1; 0; 0) ir viegli aprēķināt. Ar punktu E - segmenta vidusdaļa C 1 B 1 - nedaudz sarežģītāk. Mums ir:

Atliek atrast leņķa kosinusu:

Uzdevums. Regulārā sešstūra prizmā ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , kuras visas malas ir vienādas ar 1, ir atzīmēti punkti K un L - malu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti, attiecīgi. Atrodiet leņķi starp līnijām AK un BL.

Mēs ieviešam prizmas standarta koordinātu sistēmu: novietojam koordinātu sākumpunktu apakšējās bāzes centrā, virzām x asi pa FC, y asi caur segmentu AB un DE viduspunktiem un z asi. vertikāli uz augšu. Vienības segments atkal ir vienāds ar AB = 1. Uzrakstīsim mums interesējošo punktu koordinātas:

Punkti K un L ir attiecīgi nogriežņu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti, tāpēc to koordinātes atrod caur vidējo aritmētisko. Zinot punktus, atrodam virziena vektoru AK un BL koordinātas:

Tagad atradīsim leņķa kosinusu:

Uzdevums. Regulārā četrstūra piramīdā SABCD, kuras visas malas ir vienādas ar 1, ir atzīmēti punkti E un F - attiecīgi malu SB un SC viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AE un BF.

Mēs ieviešam standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, x un y asis ir vērstas attiecīgi pa AB un AD, bet z ass ir vērsta vertikāli uz augšu. Vienības segments ir vienāds ar AB = 1.

Punkti E un F ir attiecīgi nogriežņu SB un SC viduspunkti, tāpēc to koordinātas tiek atrastas kā galu vidējais aritmētiskais. Mēs pierakstām mums interesējošo punktu koordinātas:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Zinot punktus, atrodam virziena vektoru AE un BF koordinātas:

Vektora AE koordinātas sakrīt ar punkta E koordinātām, jo ​​punkts A ir sākuma punkts. Atliek atrast leņķa kosinusu:

Koordinātu metodes izmantošana, aprēķinot leņķi

starp lidmašīnām

Vispārīgākā metode leņķa atrašanaistarp plaknēm - koordinātu metode (dažreiz - ar vektoru iesaisti). To var izmantot, kad visas pārējās ir izmēģinātas. Bet ir situācijas, kurās koordinātu metodi ir jēga pielietot uzreiz, proti, kad koordinātu sistēma ir dabiski saistīta ar problēmas izklāstā norādīto daudzskaldni, t.i. ir skaidri redzamas trīs pāru perpendikulāras līnijas, uz kurām var iestatīt koordinātu asis. Šādi daudzskaldņi ir taisnstūra paralēlskaldnis un regulāra četrstūra piramīda. Pirmajā gadījumā koordinātu sistēmu var iestatīt pēc malām, kas iziet no vienas virsotnes (1. att.), otrajā - pēc pamatnes augstuma un diagonālēm (2. att.)

Koordinātu metodes pielietojums ir šāds.

Telpā tiek ieviesta taisnstūra koordinātu sistēma. Vēlams to ieviest "dabiskā" veidā - "piestiprināt" to pāru perpendikulāru līniju trio, kurām ir kopīgs punkts.

Katrai plaknei, starp kurām tiek meklēts leņķis, tiek sastādīts vienādojums. Vienkāršākais veids, kā uzrakstīt šādu vienādojumu, ir zināt trīs plaknes punktu koordinātas, kas neatrodas uz vienas taisnes.

Plaknes vienādojumam vispārējā formā ir forma Ax + By + Cz + D = 0.

Koeficienti A, B, C šajā vienādojumā ir plaknes normālā vektora koordinātas (vektors, kas ir perpendikulārs plaknei). Pēc tam mēs nosakām normālu vektoru garumus un skalāro reizinājumu plaknēm, kuru leņķis tiek meklēts. Ja šo vektoru koordinātas(A 1, B 1; C 1) un (A 2; B 2; C 2 ), pēc tam vajadzīgo leņķiaprēķina pēc formulas

komentēt. Jāatceras, ka leņķis starp vektoriem (pretstatā leņķim starp plaknēm) var būt neass, un, lai izvairītos no iespējamās nenoteiktības, modulis atrodas formulas labās puses skaitītājā.

Atrisiniet šādu uzdevumu, izmantojot koordinātu metodi.

1. uzdevums. Dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Punkts K ir malas AD viduspunkts, punkts L ir malas CD viduspunkts. Kāds ir leņķis starp plaknēm A 1 KL un A 1 AD?

Risinājums . Ļaujiet koordinātu sistēmas sākumam atrasties punktā BET, un koordinātu asis iet pa stariem AD, AB, AA 1 (3. att.). Mēs ņemam kuba malu, kas vienāda ar 2 (to ir ērti sadalīt uz pusēm). Tad punktu koordinātas A1, K, L ir: A1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Rīsi. 3

Mēs rakstām plaknes vienādojumu A 1 K L vispār. Tad mēs tajā aizstājam šīs plaknes atlasīto punktu koordinātas. Mēs iegūstam trīs vienādojumu sistēmu ar četriem nezināmajiem:

Mēs izsakām koeficientus A, B, C līdz D un nonāksim pie vienādojuma

Sadalot abas daļas D (kāpēc D = 0?) un pēc tam reizinot ar -2, iegūstam plaknes vienādojumu A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Tad šīs plaknes normālvektoram ir koordinātes (2: -2; 1) . Plaknes vienādojums 1 REKLĀMA ir: y=0, un tā normālā vektora koordinātas, piemēram, (0; 2: 0) . Saskaņā ar iepriekš minēto formulu leņķa kosinusam starp plaknēm mēs iegūstam:

Šis raksts ir par leņķi starp plaknēm un to, kā to atrast. Pirmkārt, ir dota leņķa definīcija starp divām plaknēm un sniegta grafiska ilustrācija. Pēc tam tika analizēts princips atrast leņķi starp divām krustojošām plaknēm ar koordinātu metodi, iegūta formula, kas ļauj aprēķināt leņķi starp krustojošām plaknēm, izmantojot zināmās šo plakņu normālvektoru koordinātas. Noslēgumā parādīti detalizēti tipisku problēmu risinājumi.

Lapas navigācija.

Leņķis starp plaknēm - definīcija.

Sniegsim argumentus, kas ļaus pakāpeniski tuvoties leņķa definīcijai starp divām krustojošām plaknēm.

Ļaujiet mums dot divas krustojošas plaknes un . Šīs plaknes krustojas taisnā līnijā, ko apzīmējam ar burtu c. Konstruēsim plakni, kas iet caur taisnes c punktu M un ir perpendikulāra tai c. Šajā gadījumā plakne krustos plaknes un . Apzīmē līniju, pa kuru plaknes krustojas, un kā a, un līniju, pa kuru plaknes krustojas, un kā b. Acīmredzot taisnes a un b krustojas punktā M.

Ir viegli parādīt, ka leņķis starp krustojošām taisnēm a un b nav atkarīgs no punkta M atrašanās vietas uz taisnes c, caur kuru plakne iet.

Konstruēsim plakni, kas ir perpendikulāra taisnei c un atšķiras no plaknes . Plakni šķērso plaknes un pa taisnēm, kuras apzīmējam attiecīgi ar a 1 un b 1.

No plakņu konstruēšanas metodes un izriet, ka taisnes a un b ir perpendikulāras taisnei c, bet taisnes a 1 un b 1 ir perpendikulāras taisnei c. Tā kā taisnes a un a 1 atrodas vienā plaknē un ir perpendikulāras taisnei c, tās ir paralēlas. Tāpat taisnes b un b 1 atrodas vienā plaknē un ir perpendikulāras taisnei c, tāpēc tās ir paralēlas. Tādējādi ir iespējams veikt paralēlu plaknes pārnešanu uz plakni, kurā taisne a 1 sakrīt ar taisni a, bet taisne b ar taisni b 1. Tāpēc leņķis starp divām krustojošām taisnēm a 1 un b 1 ir vienāds ar leņķi starp krustojošām taisnēm a un b.

Tas pierāda, ka leņķis starp krustojošām taisnēm a un b, kas atrodas krustojošās plaknēs un nav atkarīgs no tā punkta M izvēles, caur kuru plakne iet. Tāpēc ir loģiski pieņemt šo leņķi kā leņķi starp divām krustojošām plaknēm.

Tagad jūs varat izteikt leņķa definīciju starp divām krustojošām plaknēm un .

Definīcija.

Leņķis starp divām plaknēm, kas krustojas taisnā līnijā un ir leņķis starp divām krustojošām taisnēm a un b, pa kurām plaknes un krustojas ar plakni, kas ir perpendikulāra taisnei c.

Leņķa definīciju starp divām plaknēm var sniegt nedaudz savādāk. Ja uz taisnes c, pa kuru plaknes krustojas, atzīmē punktu M un caur to novelk līnijas a un b, kas ir perpendikulāra taisnei c un atrodas plaknēs un attiecīgi, tad leņķis starp taisnēm a un b ir leņķis starp plaknēm un. Parasti praksē šādas konstrukcijas tiek veiktas, lai iegūtu leņķi starp plaknēm.

Tā kā leņķis starp krustojošām taisnēm nepārsniedz , tad no izteiktās definīcijas izriet, ka leņķa pakāpi starp divām krustojošām plaknēm izsaka ar reālu skaitli no intervāla . Šajā gadījumā tiek izsauktas krustojošās plaknes perpendikulāri ja leņķis starp tiem ir deviņdesmit grādi. Leņķis starp paralēlām plaknēm vai nu vispār nav noteikts, vai arī tiek uzskatīts par vienādu ar nulli.

Leņķa atrašana starp divām krustojošām plaknēm.

Parasti, atrodot leņķi starp divām krustojošām plaknēm, vispirms ir jāveic papildu konstrukcijas, lai redzētu krustojošās līnijas, kuru leņķis ir vienāds ar vēlamo leņķi, un pēc tam ar vienādības zīmēm jāsavieno šis leņķis ar sākotnējiem datiem, līdzības zīmes, kosinusa teorēma vai sinusa, kosinusa un leņķa tangensa definīcijas. Vidusskolas ģeometrijas kursā ir līdzīgas problēmas.

Piemēram, dosim atrisinājumu uzdevumam C2 no Vienotā valsts pārbaudījuma matemātikā 2012. gadam (nosacījums ir apzināti mainīts, bet tas neietekmē risinājuma principu). Tajā vienkārši bija jāatrod leņķis starp divām krustojošām plaknēm.

Piemērs.

Risinājums.

Vispirms izveidosim zīmējumu.

Veiksim papildu konstrukcijas, lai "redzētu" leņķi starp plaknēm.

Vispirms definēsim taisni, pa kuru krustojas plaknes ABC un BED 1. Punkts B ir viens no viņu kopīgajiem punktiem. Atrodiet šo plakņu otro kopīgo punktu. Taisnes DA un D 1 E atrodas vienā plaknē ADD 1, un tās nav paralēlas un tāpēc krustojas. No otras puses, taisne DA atrodas plaknē ABC, bet taisne D 1 E atrodas plaknē BED 1, tāpēc līniju DA un D 1 E krustošanās punkts būs plakņu ABC un ABC kopīgs punkts. GULTA 1. Tātad, mēs turpinām līnijas DA un D 1 E, līdz tās krustojas, mēs apzīmējam to krustošanās punktu ar burtu F. Tad BF ir taisne, pa kuru krustojas plaknes ABC un BED 1.

Atliek konstruēt divas līnijas, kas atrodas attiecīgi plaknēs ABC un BED 1, kas iet caur vienu punktu uz līnijas BF un ir perpendikulāra taisnei BF - leņķis starp šīm līnijām pēc definīcijas būs vienāds ar vēlamo leņķi starp lidmašīnas ABC un BED 1 . Darīsim to.

Punkts A ir punkta E projekcija uz plakni ABC. Uzzīmējiet līniju, kas taisnā leņķī krusto līniju BF punktā M. Tad taisne AM ir taisnes EM projekcija uz plakni ABC un ar trīs perpendikulu teorēmu.

Tādējādi vēlamais leņķis starp plaknēm ABC un BED 1 ir .

Mēs varam noteikt šī leņķa sinusu, kosinusu vai tangensu (un līdz ar to pašu leņķi) no taisnleņķa trijstūra AEM, ja zinām tā divu malu garumus. No nosacījuma ir viegli atrast garumu AE: tā kā punkts E dala malu AA 1 attiecībā pret 4 līdz 3, skaitot no punkta A, un malas AA 1 garums ir 7, tad AE \u003d 4. Noskaidrosim AM garumu.

Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri ABF ar taisnu leņķi A, kur AM ir augstums. Pēc nosacījuma AB=2. Malas AF garumu varam atrast pēc taisnleņķa trīsstūru līdzības DD 1 F un AEF :

Ar Pitagora teorēmu no trijstūra ABF mēs atrodam . Mēs atrodam garumu AM caur trijstūra ABF laukumu: vienā pusē trijstūra ABF laukums ir vienāds ar , no otras puses , kur .

Tādējādi no taisnleņķa trīsstūra AEM mums ir .

Tad vēlamais leņķis starp plaknēm ABC un BED 1 ir (ņemiet vērā, ka ).

Atbilde:

Dažos gadījumos, lai atrastu leņķi starp divām krustojošām plaknēm, ir ērti norādīt Oxyz un izmantot koordinātu metodi. Apstāsimies pie tā.

Izvirzīsim uzdevumu: atrast leņķi starp divām krustojošām plaknēm un . Apzīmēsim vēlamo leņķi kā .

Pieņemsim, ka dotajā taisnstūra koordinātu sistēmā Oxyz mēs zinām krustojošo plakņu normālvektoru koordinātas un vai ir iespējams tās atrast. Ļaujiet ir plaknes normālais vektors, un ir plaknes normālais vektors. Parādīsim, kā atrast leņķi starp krustojošām plaknēm un caur šo plakņu normālo vektoru koordinātām.

Apzīmēsim taisni, pa kuru plaknes krustojas, un kā c . Caur punktu M uz taisnes c novelkam plakni, kas ir perpendikulāra taisnei c. Plakne krustojas ar plaknēm un pa taisnēm a un b attiecīgi taisnes a un b krustojas punktā M. Pēc definīcijas leņķis starp krustojošām plaknēm un ir vienāds ar leņķi starp krustojošām līnijām a un b.

Ļaujiet mums atcelt no punkta M plaknē normālos vektorus un no plaknēm un . Šajā gadījumā vektors atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra līnijai a, un vektors atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra līnijai b. Tādējādi plaknē vektors ir taisnes a normāls vektors, ir taisnes b normālais vektors.

Rakstā Leņķa atrašana starp krustojošām līnijām mēs ieguvām formulu, kas ļauj aprēķināt leņķa kosinusu starp krustojošām līnijām, izmantojot normālu vektoru koordinātas. Tādējādi leņķa kosinuss starp līnijām a un b, un līdz ar to un leņķa kosinuss starp krustojošām plaknēm un tiek atrasts pēc formulas , kur un ir plakņu normālie vektori un attiecīgi. Tad to aprēķina kā .

Atrisināsim iepriekšējo piemēru, izmantojot koordinātu metodi.

Piemērs.

Ir dots taisnstūrveida paralēlskaldnis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kurā AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 un punkts E dala malu AA 1 proporcijā 4 pret 3, skaitot no punkta A. . Atrodiet leņķi starp plaknēm ABC un BED 1.

Risinājums.

Tā kā taisnstūra paralēlskaldņa malas vienā virsotnē ir pa pāriem perpendikulāras, ir ērti ieviest taisnstūra koordinātu sistēmu Oxyz šādi: sākums ir saskaņots ar virsotni C, un koordinātu asis Ox, Oy un Oz ir vērstas gar malām. CD, CB un CC 1 attiecīgi.

Leņķi starp plaknēm ABC un BED 1 var atrast caur šo plakņu normālvektoru koordinātām, izmantojot formulu , kur un ir attiecīgi plakņu ABC un BED 1 normālie vektori. Nosakīsim normālvektoru koordinātas.

1. uzdevums. Taisnas četrstūra prizmas ABCDА 1 В 1 С 1 D 1 pamats ir taisnstūris ABCD, kurā AB \u003d 5, AD \u003d 11. Atrodiet leņķa tangensu starp prizmas pamatnes plakni. un plakne, kas iet caur malas AD vidu perpendikulāri taisnei BD 1, ja attālums starp taisnēm AC un B 1 D 1 ir 12. Risinājums. Mēs ieviešam koordinātu sistēmu. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Normāles koordinātas pret griezuma plakni: Normālās koordinātes pamatplakne: – akūts leņķis, tad D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N Leņķis starp plaknēm Atbilde: 0.5. Nenaševa N.G. matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

2. uzdevums. Trīsstūrveida piramīdas SABC pamatnē atrodas taisnleņķa trijstūris ABC. Leņķis A ir taisns. AC \u003d 8, BC \u003d 219. Piramīdas SA augstums ir 6. Uz malas AC tiek ņemts punkts M tā, lai AM \u003d 2. Caur punktu M, virsotni B un virsotni B ir novilkta plakne α. punkts N - malas vidusdaļa SC. Atrodiet diedrālo leņķi, ko veido plakne α un piramīdas pamatnes plakne. A S x B C M N y z Risinājums. Mēs ieviešam koordinātu sistēmu. Tad A (0;0;0), C (0;8;0), M (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), Normāls plaknei (ABC) vektors Normāls pret plakni (BMN) Leņķis starp plaknēm Atbilde: 60°. Plaknes vienādojums (ВМN): N.G. Nenaševa matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

3. uzdevums. Četrstūra piramīdas PABCD pamats ir kvadrāts, kura mala ir vienāda ar 6, sānu mala PD ir perpendikulāra pamatnes plaknei un ir vienāda ar 6. Atrodiet leņķi starp plaknēm (BDP) un (BCP). Risinājums. 1. Uzzīmējiet vienādsānu trijstūra CDP mediānu DF (BC = PD = 6) Tātad DF PC. Un no tā, ka BC (CDP), izriet, ka DF BC nozīmē DF (PCB) A D C B P F 2. Tā kā AC DB un AC DP, tad AC (BDP) 3. Tādējādi leņķis starp plaknēm (BDP) un (BCP) ) tiek atrasts no nosacījuma: Leņķis starp plaknēm Nenaševa N.G. matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

3. uzdevums. Četrstūra piramīdas PABCD pamats ir kvadrāts, kura mala ir vienāda ar 6, sānu mala PD ir perpendikulāra pamatnes plaknei un ir vienāda ar 6. Atrodiet leņķi starp plaknēm (BDP) un (BCP). Risinājums.4. Izvēlēsimies koordinātu sistēmu. Punktu koordinātas: 5. Tad vektoriem būs šādas koordinātes: 6. Aprēķinot vērtības, atrodam:, tad A D C B P F z x y Leņķis starp plaknēm Atbilde: Nenaševa N.G. matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

4. uzdevums. Vienības kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 atrodiet leņķi starp plaknēm (AD 1 E) un (D 1 FC), kur punkti E un F ir malu viduspunkti A 1 B 1 un B 1 C 1, attiecīgi. Risinājums: 1. Ievadiet taisnstūra koordinātu sistēmu un nosakiet punktu koordinātas: 2. Sastādiet plaknes vienādojumu (AD 1 E): 3. Sastādiet plaknes vienādojumu (D 1 FC): - normālais vektors lidmašīna (AD 1 E). - plaknes normālais vektors (D 1 FС). Leņķis starp plaknēm x y z Nenaševa N.G. matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

4. uzdevums. Vienības kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 atrodiet leņķi starp plaknēm (AD 1 E) un (D 1 FC), kur punkti E un F ir malu viduspunkti A 1 B 1 un B 1 C 1, attiecīgi. Risinājums: 4. Atrodiet leņķa kosinusu starp plaknēm, izmantojot formulu Atbilde: Leņķis starp plaknēm x y z Nenaševa N.G. matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

5. uzdevums. Nogrieznis, kas savieno regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes centru ar sānu malas vidu, ir vienāds ar pamatnes malu. Atrodiet leņķi starp piramīdas blakus esošajām malām. Risinājums: x y z 1. Ieviesīsim taisnstūra koordinātu sistēmu un noteiksim punktu A, B, C koordinātes: K Pamatnes malu ņemsim 1. Noteiktības labad ņemam vērā skaldnes SAC un SBC 2. Atrodam punkta koordinātas. S: E Leņķis starp plaknēm Nenaševa N.G . matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

5. uzdevums. Nogrieznis, kas savieno regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes centru ar sānu malas vidu, ir vienāds ar pamatnes malu. Atrodiet leņķi starp piramīdas blakus esošajām malām. Risinājums: x y z K E SO mēs atrodam no OSB: Leņķis starp plaknēm Nenasheva N.G. matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

5. uzdevums. Nogrieznis, kas savieno regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes centru ar sānu malas vidu, ir vienāds ar pamatnes malu. Atrodiet leņķi starp piramīdas blakus esošajām malām. Risinājums: x y z K E 3. Plaknes vienādojums (SAC): - plaknes normālvektors (SAC). 4. Plaknes vienādojums (SBC): - plaknes normālvektors (SBC). Leņķis starp plaknēm Nenasheva N.G. matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985

5. uzdevums. Nogrieznis, kas savieno regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes centru ar sānu malas vidu, ir vienāds ar pamatnes malu. Atrodiet leņķi starp piramīdas blakus esošajām malām. Risinājums: x y z K E 5. Atrodiet leņķa kosinusu starp plaknēm pēc formulas Atbilde: Leņķis starp plaknēm Nenaševa N.G. matemātikas skolotājs GBOU vidusskola 985