Nesen uzzināju par tādiem interesantiem matemātiskās pasaules objektiem kā fraktāļi. Bet tie pastāv ne tikai matemātikā. Viņi mūs ieskauj visur. Fraktāļi ir dabiski. Par to, kas ir fraktāļi, par fraktāļu veidiem, par šo objektu piemēriem un to pielietojumu, es runāšu šajā rakstā. Sākumā es īsi pastāstīšu, kas ir fraktālis.
Fraktāls (latīņu fractus — saspiests, salauzts, salauzts) ir sarežģīta ģeometriska figūra, kurai piemīt pašlīdzības īpašība, tas ir, sastāv no vairākām daļām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai. Plašākā nozīmē fraktāļus saprot kā punktu kopas Eiklīda telpā, kam ir daļēja metriskā dimensija (Minkovska vai Hausdorfa izpratnē) vai metriskā dimensija, kas atšķiras no topoloģiskās. Kā piemēru ievietošu attēlu, kurā attēloti četri dažādi fraktāļi.
Nedaudz pastāstīšu par fraktāļu vēsturi. Fraktāļu un fraktāļu ģeometrijas jēdzieni, kas parādījās 70. gadu beigās, kopš 80. gadu vidus ir kļuvuši stingri nostiprinājušies matemātiķu un programmētāju vidū. Vārdu "fraktālis" 1975. gadā ieviesa Benuā Mandelbrots, lai apzīmētu neregulārās, bet sev līdzīgās struktūras, par kurām viņš bija norūpējies. Fraktāļu ģeometrijas rašanās parasti tiek saistīta ar Mandelbrota grāmatas Dabas fraktāļu ģeometrija izdošanu 1977. gadā. Viņa darbos izmantoti citu zinātnieku zinātniskie rezultāti, kuri laika posmā no 1875. līdz 1925. gadam strādāja tajā pašā jomā (Puankarē, Fatū, Jūlija, Kantors, Hausdorfs). Bet tikai mūsu laikos ir bijis iespējams apvienot viņu darbu vienotā sistēmā.
Fraktāļu piemēru ir ļoti daudz, jo, kā jau teicu, tie mūs ieskauj visur. Manuprāt, pat viss mūsu Visums ir viens milzīgs fraktālis. Galu galā viss tajā, no atoma struktūras līdz paša Visuma uzbūvei, precīzi atkārto viens otru. Bet, protams, ir arī konkrētāki fraktāļu piemēri no dažādām jomām. Fraktāļi, piemēram, ir sastopami sarežģītā dinamikā. Viņi ir tur parādās dabiski, pētot nelineāro dinamiskas sistēmas. Visvairāk pētīts ir gadījums, kad dinamisko sistēmu precizē ar polinoma vai holomorfa iterācijām mainīgo lielumu kompleksa funkcija uz virsmas. Daži no slavenākajiem šāda veida fraktāļiem ir Jūlijas komplekts, Mandelbrota komplekts un Ņūtona baseini. Zemāk, secībā, attēlos ir attēlots katrs no iepriekš minētajiem fraktāliem.
Vēl viens fraktāļu piemērs ir fraktāļu līknes. Vislabāk ir izskaidrot, kā izveidot fraktāli, izmantojot fraktāļu līkņu piemēru. Viena no šīm līknēm ir tā sauktā Koha sniegpārsla. Ir vienkāršsprocedūra fraktāļu līkņu iegūšanai plaknē. Definēsim patvaļīgu lauztu līniju ar ierobežotu skaitu saišu, ko sauc par ģeneratoru. Tālāk mēs katru segmentu tajā aizstājam ar ģeneratoru (precīzāk, lauztu līniju, kas līdzīga ģeneratoram). Iegūtajā lauztajā līnijā mēs atkal aizstājam katru segmentu ar ģeneratoru. Turpinot līdz bezgalībai, limitā iegūstam fraktāļu līkni. Zemāk ir Koča sniegpārsla (vai līkne).
Ir arī ļoti daudz dažādu fraktāļu līkņu. Slavenākās no tām ir jau pieminētā Koha sniegpārsla, kā arī Levija līkne, Minkovska līkne, Pūķa lauztā līnija, Klavieru līkne un Pitagora koks. Es domāju, ka jūs varat viegli atrast attēlu ar šiem fraktāliem un to vēsturi Vikipēdijā, ja vēlaties.
Trešais fraktāļu piemērs vai veids ir stohastiskie fraktāļi. Šādi fraktāļi ietver Brauna kustības trajektoriju plaknē un telpā, Schramm-Löwner evolūcijas, dažāda veida randomizēti fraktāļi, tas ir, fraktāļi, kas iegūti, izmantojot rekursīvu procedūru, kurā katrā solī tiek ievadīts nejaušs parametrs.
Ir arī tīri matemātiski fraktāļi. Tie ir, piemēram, Cantor komplekts, Menger sūklis, Sierpinski trīsstūris un citi.
Bet, iespējams, visinteresantākie fraktāļi ir dabiskie. Dabiskie fraktāļi ir dabas objekti, kuriem piemīt fraktāļu īpašības. Un šeit saraksts jau ir liels. Es neuzskaitīšu visu, jo, iespējams, nav iespējams tos visus uzskaitīt, bet es jums pastāstīšu par dažiem. Piemēram, dzīvajā dabā šādi fraktāļi ietver mūsu asinsrites sistēmu un plaušas. Un arī koku vainagi un lapas. Tas ietver arī jūras zvaigznes, jūras ežus, koraļļus, jūras gliemežvākus un dažus augus, piemēram, kāpostus vai brokoļus. Vairāki šādi dabiskie dzīvās dabas fraktāļi ir skaidri parādīti zemāk.
Ja ņemam vērā nedzīvo dabu, tad tur ir daudz interesantāki piemēri nekā dzīvajā dabā. Zibens, sniegpārslas, mākoņi, visiem labi zināmi, raksti uz logiem salnas dienās, kristāli, kalnu grēdas - tie visi ir nedzīvās dabas dabisko fraktāļu piemēri.
Mēs apskatījām fraktāļu piemērus un veidus. Runājot par fraktāļu izmantošanu, tos izmanto dažādās zināšanu jomās. Fizikā fraktāļi dabiski rodas, modelējot nelineārus procesus, piemēram, turbulentu šķidruma plūsmu, sarežģītus difūzijas-adsorbcijas procesus, liesmas, mākoņus utt. Fraktāļi tiek izmantoti, modelējot porainus materiālus, piemēram, naftas ķīmijā. Bioloģijā tos izmanto, lai modelētu populācijas un aprakstītu iekšējo orgānu sistēmas (asinsvadu sistēmu). Pēc Koha līknes izveidošanas tika ierosināts to izmantot krasta līnijas garuma aprēķināšanā. Fraktāļi tiek aktīvi izmantoti arī radiotehnikā, informācijas zinātnē un datortehnoloģijās, telekomunikācijās un pat ekonomikā. Un, protams, fraktāļu redze tiek aktīvi izmantota mūsdienu mākslā un arhitektūrā. Šeit ir viens fraktāļu modeļu piemērs:
Un ar to es domāju pabeigt savu stāstu par tik neparastu matemātisko parādību kā fraktālis. Šodien mēs uzzinājām par to, kas ir fraktāls, kā tas parādījās, par fraktāļu veidiem un piemēriem. Es arī runāju par to pielietojumu un vizuāli nodemonstrēju dažus fraktāļus. Es ceru, ka jums patika šī mazā ekskursija pārsteidzošo un aizraujošo fraktāļu objektu pasaulē.
Pabeidza 7. klases skolniece Poļina Karpjuka
Prioda ir radīta no sev līdzīgām figūrām, mēs to vienkārši nepamanām. Šajā galerijā esam apkopojuši attēlus, kuros skaidri redzama fraktalitāte.
Lejupielādēt:
Priekšskatījums:
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Fraktāļi dabā Pabeidza: 7. “B” klases skolniece Poļina Karpjuka Darba vadītāja: Molčanova Irina Pavlovna Rubtsovska-2015
Matemātika, ja uz to skatās pareizi, atspoguļo ne tikai patiesību, bet arī nesalīdzināmu skaistumu. Bertrāns Rasels
Kas kopīgs kokam, jūras krastam, mākonim vai mūsu rokas asinsvadiem? Ir viena struktūras īpašība, kas raksturīga visiem uzskaitītajiem objektiem: tie ir līdzīgi. No zara, tāpat kā no koka stumbra, stiepjas mazāki dzinumi, no tiem vēl mazāki utt., tas ir, zars ir līdzīgs visam kokam. Asinsrites sistēma ir strukturēta līdzīgi: no artērijām iziet arterioli, un no tiem mazākie kapilāri, caur kuriem skābeklis nonāk orgānos un audos. Amerikāņu matemātiķis Benuā Mandelbrots šo objektu īpašību nosauca par fraktālitāti, bet pašus šādus objektus - par fraktāļiem. Pats vārds “fraktālis” no latīņu valodas ir tulkots kā “daļējs”, “sadalīts”, “sadrumstalots”, un attiecībā uz šī termina saturu nav formulējuma kā tāda. To parasti interpretē kā sev līdzīgu kopumu, daļu no veseluma, kas atkārto savu struktūru mikrolīmenī. .
Kosmosa fotogrāfijas ar Zemes ainavām bieži sniedz lieliskus fraktāļu piemērus.
Piekrastes līnijām parasti ir fraktāļu forma, taču tās atšķiras atkarībā no to nelīdzenuma pakāpes. Šajā piemērā ir parādītas divas dabas fraktāļu raksturīgās īpašības: Atsevišķi kanāli nav viens otra kopijas, bet tiem ir līdzīgas līknes kontūras, it kā tie būtu zīmēti pēc viena un tā paša raksta. Lielie cauruļvadi pēc kontūras ir līdzīgi maziem un ļoti maziem kanāliem. Ja palielināsim, piemēram, attēla apakšējo kreiso stūri, mēs iegūsim kaut ko līdzīgu visam attēlam
Ūdens un zemes mijiedarbība rada fraktāļu struktūras ainavās – vai tie būtu kalni, upes vai piekrastes līnijas.
Droši vien visi zina japāņu mākslinieka Hokusai gleznu “Lielais vilnis”, kur uz Fudži fona attēlots cunami vilnis. Uzmanīgi aplūkojot šo attēlu, pamanīsit, ka, zīmējot viļņa virsotni, mākslinieks izmantoja fraktāli, it kā sastāvētu no daudzām plēsonīgām ūdens ķepām. Tāpēc šis attēls bieži tiek izmantots kā ilustrācija grāmatām par haosa teoriju un fraktāliem.
Kad smilšu kāpu izdzēš ūdens, tā niecīgā mērogā atkārtojas, kas piešķir fraktāļu formu lielākām Zemes ainavām.
Zibens izlāde ir viens no dabisko fraktāļu piemēriem.
Šis attēls ilustrē ne tikai koku vainagu fraktāļu raksturu, bet arī liecina par citu interesantu apsvērumu: mežs kā bioloģiskā kopiena ir arī fraktālis. Atsevišķi koki - lieli un mazi - pēc tam darbojas kā fraktāļu zari. Tie ir līdzīgi, bet neatkārtojas.
Lapu dzīslas ir plakans dabisks fraktāls. Katram augam raksturīgais raksts ir unikāls, tāpat kā papilārais raksts uz cilvēka rokas. Gēte (dzejnieks un zinātnieks) uzskatīja, ka lapa ir auga izteiksmīgākā daļa, kas atspoguļo visu tā morfoloģiju.
Papardes ir dabisko fraktāļu piemērs, kas ir ļoti līdzīgi datoru fraktāļiem. Turklāt tās ir interesantas arī tāpēc, ka papardes ir viens no evolucionāri senākajiem augiem līdzās dažādām sūnām un citiem zemākajiem augiem.
Šis ir vēl viens slavens un ļoti iespaidīgs dabiskā fraktāļa piemērs, kam ir matemātiski skaidras formas. Ir vismaz trīs līmeņi sev līdzīgas ģeniālas piramīdas Romanesco kāposti
Maģiski skaists fraktālis, kas varētu iedvesmot kādu mākslinieku. Tikmēr ieskatieties tuvāk: tas ir tikai saspringts kāpostu lapu ķekars.
Šie ir interesanti fraktāļu struktūras piemēri minerālu pasaulē. Carbonate Apatite Gold Nugget ir izsmalcināts dārgums, ko radījusi pati daba.
Vai esat kādreiz domājuši, ka mēs burtiski domājam fraktāļos? Te ir par ko padomāt – kurš gan iebilst, ka smadzenes ir viens no apbrīnojamākajiem un unikālākajiem dabas radījumiem. Un izrādās, ka ārēji tai piemīt tādas pašas fraktāļu pazīmes kā atmosfēras mākoņiem vai nātru sakņu sistēmai.
Šeit viss ir vēl sarežģītāk: savijas divi atsevišķi fraktāļu koki - vienam tiek piegādātas venozās asinis, bet otram tiek izvadītas ar skābekli bagātinātas arteriālās asinis. Un kopumā plaušas ir pārsteidzoši sarežģīta sistēma, kas sastāv no trim fraktāliem - viena elpošanas un diviem asinsrites.
Tīklene satur gaismas jutīgas šūnas, kas ļauj mums redzēt. Šajā fotoattēlā tie ir dzeltenīgi zaļi. Tie veido tīklu (tīkleni), taču šis tīkls ir haotisks un fraktāls.
Tas ir cūkas vēders. Šķiet, ka tā krāsu modeļi arī atbilst fraktāļu likumiem. Šī ir interesanta tēma, un, pats galvenais, tai ir daudz pielietojumu, tostarp militāra nozīme. Pēc kādiem noteikumiem jāveido kamuflāžas raksts, lai tā valkātājs saplūstu ar dabiskajām formām – ainavu un veģetāciju?
Paldies par jūsu uzmanību!!!
Matemātiskās formas, kas pazīstamas kā fraktāļi, ir radušās no izcilā zinātnieka Benuā Mandelbrota ģēnija. Lielāko dzīves daļu viņš pavadīja Amerikas Savienotajās Valstīs, kur Jēlas universitātē mācīja matemātiku. 1977. un 1982. gadā Mandelbrots publicēja zinātniskus darbus, kas bija veltīti "fraktāļu ģeometrijas" vai "dabas ģeometrijas" izpētei, kuros viņš šķietami nejaušas matemātiskās formas sadalīja veidojošos elementos, kas, rūpīgāk aplūkojot, izrādījās atkārtojas. pierāda sava veida kopēšanas parauga esamību . Mandelbrota atklājumam bija ievērojamas pozitīvas sekas fizikas, astronomijas un bioloģijas attīstībā.
Kā darbojas fraktālis?
Fraktāls (no latīņu valodas “fractus” - salauzts, sasmalcināts, salauzts) ir sarežģīta ģeometriska figūra, kas sastāv no vairākām bezgalīgām detaļu secībām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai, un atkārtojas, kad skala samazinās.
Fraktāļu struktūra visos mērogos nav triviāla. Šeit mums ir jāprecizē, kas ir domāts. Tātad regulāras figūras, piemēram, aplis, elipse vai gludas funkcijas grafiks, ir sakārtotas tā, ka, aplūkojot nelielu regulāras figūras fragmentu pietiekami lielā mērogā, tas būs līdzīgs taisna līnija. Fraktāļiem mēroga palielināšana neizraisa figūras struktūras vienkāršošanu, un visos mērogos mēs redzam vienmērīgi sarežģītu ainu.
Dabā daudziem objektiem piemīt fraktāļu īpašības, piemēram: koku vainagi, ziedkāposti, mākoņi, cilvēku un dzīvnieku asinsrites un alveolārā sistēma, kristāli, sniegpārslas, kuru elementi ir sakārtoti vienā sarežģītā struktūrā, krasta līnijas (fraktāļu koncepcija ir atļauta zinātniekiem, lai izmērītu Britu salu krasta līniju un citus iepriekš neizmērāmus objektus).
Apskatīsim ziedkāpostu struktūru. Ja nogriež kādu no ziediem, redzams, ka rokās paliek tas pats puķkāposti, tikai mazākā izmērā. Mēs varam turpināt griezt atkal un atkal, pat zem mikroskopa, taču mēs iegūstam tikai sīkas ziedkāpostu kopijas. Šajā vienkāršākajā gadījumā pat neliela fraktāļa daļa satur informāciju par visu galīgo struktūru.
Spilgts fraktāļu piemērs dabā ir “Romanescu”, kas pazīstams arī kā “Romanescu brokoļi” vai “koraļļu ziedkāposti”. Pirmā šī eksotiskā dārzeņa pieminēšana datēta ar Itāliju 16. gadsimtā. Šo kāpostu pumpuri aug logaritmiskā spirālē. 3D mākslinieki, dizaineri un pavāri nebeidz viņu apbrīnot. Pēdējie turklāt īpaši novērtē dārzeņu par izsmalcinātāko garšu (saldu un riekstu, nevis sērainu), kāda var būt kāpostiem, un par to, ka tas ir mazāk drupans nekā parastie ziedkāposti. Turklāt romiešu brokoļi ir bagāti ar C vitamīnu, antioksidantiem un karotinoīdiem.
Fraktāļi digitālajā tehnoloģijā
Fraktāļu ģeometrija ir devusi nenovērtējamu ieguldījumu jaunu tehnoloģiju attīstībā digitālās mūzikas jomā, kā arī ļāvusi saspiest digitālos attēlus. Esošie fraktāļu attēlu saspiešanas algoritmi ir balstīti uz saspiesta attēla glabāšanas principu, nevis pašu digitālo attēlu. Saspiestam attēlam galvenais attēls paliek fiksēts punkts. Microsoft, publicējot savu enciklopēdiju, izmantoja vienu no šī algoritma variantiem, taču tā vai cita iemesla dēļ šī ideja netika plaši izmantota.
IP adrešu piešķiršanas sistēma izmanto informācijas fraktālās saspiešanas principu kompaktai informācijas glabāšanai par tīkla mezgliem “Netsukuku”. Katrs mezgls glabā 4 kilobaitus informācijas par blakus esošo mezglu stāvokli. Jebkurš jauns mezgls pieslēdzas vispārējam internetam, nepieprasot centralizētu IP adrešu izplatīšanas regulēšanu. Varam secināt, ka informācijas fraktālās saspiešanas princips nodrošina visa tīkla decentralizētu darbību, līdz ar to darbs tajā norit maksimāli stabili.
Fraktāļi tiek plaši izmantoti datorgrafikā - veidojot koku, krūmu, jūras virsmu, kalnu ainavu un citu dabas objektu attēlus. Pateicoties fraktāļu grafikai, tika izgudrots efektīvs veids, kā realizēt sarežģītus ne-eiklīda objektus, kuru attēli ir līdzīgi dabiskajiem: tie ir fraktāļu koeficientu sintezēšanas algoritmi, kas ļauj reproducēt jebkura attēla kopiju pēc iespējas tuvāk attēlam. oriģināls. Interesanti, ka bez fraktāļu “gleznošanas” ir arī fraktāļu mūzika un fraktāļu animācija. Tēlotājmākslā ir virziens, kas nodarbojas ar nejauša fraktāļa attēla iegūšanu - “fraktāļu monotipis” vai “stohatipija”.
Fraktāļu grafikas matemātiskais pamats ir fraktāļu ģeometrija, kur mantojuma princips no sākotnējiem “vecākiem objektiem” ir “mantinieku attēlu” konstruēšanas metožu pamatā. Pati fraktāļu ģeometrijas un fraktāļu grafikas jēdzieni parādījās tikai pirms aptuveni 30 gadiem, bet jau ir stingri nostiprinājušies datoru dizaineru un matemātiķu ikdienas dzīvē.
Fraktāļu datorgrafikas pamatjēdzieni ir:
- Fraktāļu trīsstūris - fraktāļu figūra - fraktāļu objekts (hierarhija dilstošā secībā)
- Fraktāļu līnija
- Fraktāļu sastāvs
- “Vecāks objekts” un “Pēcteces objekts”
Kā izveidot fraktāli?
Fraktāļu radītājs vienlaikus pilda mākslinieka, fotogrāfa, tēlnieka un zinātnieka-izgudrotāja lomu. Kādi ir gaidāmie posmi, veidojot zīmējumu no nulles?
- iestatiet zīmējuma formu, izmantojot matemātisko formulu
- izpētīt procesa konverģenci un mainīt tā parametrus
- izvēlieties attēla veidu
- izvēlēties krāsu paleti
Starp fraktāļu grafiskajiem redaktoriem un citām grafiskajām programmām mēs varam izcelt:
"Mākslas dabbler"
"Gleznotājs" (bez datora neviens mākslinieks nekad nesasniegs programmētāju noteiktās iespējas tikai ar zīmuli un otas pildspalvu)
“Adobe Photoshop” (bet šeit attēls netiek izveidots “no nulles”, bet, kā likums, tikai apstrādāts)
Daba ir ideāls radījums, ir pārliecināti zinātnieki, kuri atklāj zelta griezuma proporcijas cilvēka ķermeņa struktūrā un fraktāļu figūras ziedkāposta galvā.
"Dabas izpēte un novērošana radīja zinātni," rakstīja Cicerons pirmajā gadsimtā pirms mūsu ēras. Vēlākos laikos, attīstoties zinātnei un attālinoties no dabas izpētes, zinātnieki ir pārsteigti, atklājot to, kas bija zināms mūsu senčiem, bet netika apstiprināts ar zinātniskām metodēm.
Interesanti ir atrast līdzīgus veidojumus mikro- un makrokosmosā, iedvesmojoši var būt arī tas, ka zinātne spēj aprakstīt šo veidojumu ģeometriju. Asinsrites sistēma, upe, zibens, koku zari... tās visas ir līdzīgas sistēmas, kas sastāv no dažādām daļiņām un dažāda mēroga.
“Zelta griezuma” proporcijas
Pat senie grieķi un, iespējams, ēģiptieši zināja "zelta griezuma" proporciju. Renesanses matemātiķis Luka Pacioli šo attiecību sauca par “dievišķo proporciju”. Vēlāk zinātnieki atklāja, ka cilvēka acij tik tīkamā zelta griezuma, kas bieži sastopama klasiskajā arhitektūrā, mākslā un pat dzejā, ir sastopama visur dabā.
Zelta griezums ir segmenta sadalīšana divās nevienlīdzīgās daļās, kurās īsā daļa ir saistīta ar garo, bet garā daļa ir saistīta ar visu segmentu. Garās daļas attiecība pret visu segmentu ir bezgalīgs skaitlis, iracionālā daļa 0,618..., īsās daļas attiecība ir 0,382...
Ja jūs izveidojat taisnstūri ar malām, kuru attiecība ir vienāda ar “zelta griezuma” proporciju, un tajā ievieto citu “zelta taisnstūri”, tajā vēl vienu un tā tālāk bezgalīgi uz iekšu un uz āru, tad var izveidot spirāli. jāvelk gar taisnstūru stūra punktiem. Interesanti, ka šāda spirāle sakritīs ar nautilusa čaumalas griezumu, kā arī citām dabā sastopamām spirālēm.
Ilustrācija: Homk/wikipedia.org
Nautilus fosilija.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Nautilus apvalks.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
Zelta griezuma proporciju cilvēka acs uztver kā skaistu un harmonisku. Un proporcija 0,618... ir vienāda ar Fibonači sērijas iepriekšējā un nākamā skaitļa attiecību. Fibonači skaitļi parādās visur dabā: tā ir spirāle, pa kuru auga zari piekļaujas stumbram, spirāle, pa kuru aug zvīņas uz priedes čiekuriem vai graudi uz saulespuķes. Interesanti, ka rindu skaits, kas griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam un pulksteņrādītāja virzienā, ir blakus esošie skaitļi Fibonači sērijā.
Brokoļa kāposta galva un auna rags vijas pa spirāli... Un pašā cilvēka organismā, protams, veselīgi un normālām proporcijām ir atrodamas zelta griezuma attiecības.
Vitruvija cilvēks. Leonardo da Vinči zīmējums.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ir skaitļi Fibonači rindā, kurā katrs nākamais loceklis tiek iegūts no iepriekšējo divu summas. Tālas spirālveida galaktikas, kuras fotografē satelīti, arī griežas Fibonači spirālēs.
Spirālveida galaktika.
Foto: NASA
Trīs tropiskie cikloni.
Foto: NASA
DNS molekula ir savīti dubultā spirālē.
Savērpta cilvēka DNS.
Ilustrācija: Zephyris/en.wikipedia.org
Viesuļvētra griežas pa spirāli, zirneklis pin savu tīklu spirālē.
Krusta zirnekļa tīkls.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
“Zelta proporciju” var redzēt arī tauriņa ķermeņa uzbūvē, attiecībā pret tā ķermeņa krūšu un vēdera daļām, kā arī spārei. Un lielākā daļa olu iederas ja ne zelta griezuma taisnstūrī, tad tās atvasinājumā.
Ilustrācija: Ādolfs Milots
Fraktāļi
Citas interesantas formas, kuras mēs varam redzēt visur dabā, ir fraktāļi. Fraktāļi ir figūras, kas veidotas no daļām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai – vai tas neatgādina zelta griezuma principu?
Kokiem, zibenim, bronhiem un cilvēka asinsrites sistēmai ir fraktāļu forma, papardes un brokoļi tiek saukti arī par ideāliem fraktāļu dabiskajiem ilustrācijām. “Viss ir tik sarežģīti, viss ir tik vienkārši” – tā darbojas daba, ko cilvēki pamana, ieklausoties tajā ar cieņu.
“Daba ir apveltījusi cilvēku ar vēlmi atklāt patiesību,” rakstīja Cicerons, ar kura vārdiem es vēlētos beigt raksta pirmo daļu par ģeometriju dabā.
Brokoļi ir ideāls dabisks fraktāļa ilustrācija.
Foto: pdphoto.org
Papardes lapām ir fraktāļu figūras forma – tās ir sev līdzīgas.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Zaļie fraktāļi: papardes lapas.
Foto: Džons Fokss/Photos.com
Vēnas uz dzeltenīgas lapas, veidotas kā fraktāls.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Plaisas uz akmens: fraktālis makro.
Foto: Bobs Bīls/Photos.com
Asinsrites sistēmas zari uz truša ausīm.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Zibens spēriens - fraktāļu zars.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Artēriju atzars cilvēka ķermenī.
Līkumaina upe un tās atzari.
Foto: Jupiterimages/Photos.com
Uz stikla sasalušajam ledusm ir sev līdzīgs raksts.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
Efejas lapa ar zarojošām vēnām - fraktālas formas.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Kā tika atklāts fraktāls
Matemātiskās formas, kas pazīstamas kā fraktāļi, ir radušās no izcilā zinātnieka Benuā Mandelbrota ģēnija. Lielāko dzīves daļu viņš mācīja matemātiku Jēlas universitātē ASV. 1977. - 1982. gadā Mandelbrots publicēja zinātniskus darbus, kas bija veltīti “fraktāļu ģeometrijas” vai “dabas ģeometrijas” izpētei, kuros viņš šķietami nejaušas matemātiskās formas sadalīja komponentos, kas, rūpīgāk izpētot, izrādījās atkārtojas – kas pierādīja konkrēta modeļa esamību kopēšanai . Mandelbrota atklājumam bija nozīmīgas sekas fizikas, astronomijas un bioloģijas attīstībā.
Fraktāļi dabā
Dabā daudziem objektiem piemīt fraktāļu īpašības, piemēram: koku vainagi, ziedkāposti, mākoņi, cilvēku un dzīvnieku asinsrites un alveolārā sistēma, kristāli, sniegpārslas, kuru elementi ir sakārtoti vienā sarežģītā struktūrā, krasta līnijas (fraktāļu koncepcija ir atļauta zinātniekiem, lai izmērītu Britu salu krasta līniju un citus iepriekš neizmērāmus objektus).
Apskatīsim ziedkāpostu struktūru. Ja nogriež kādu no ziediem, redzams, ka rokās paliek tas pats puķkāposti, tikai mazākā izmērā. Mēs varam turpināt griezt atkal un atkal, pat zem mikroskopa, taču mēs iegūstam tikai sīkas ziedkāpostu kopijas. Šajā vienkāršākajā gadījumā pat neliela fraktāļa daļa satur informāciju par visu galīgo struktūru.
Fraktāļi digitālajā tehnoloģijā
Fraktāļu ģeometrija ir devusi nenovērtējamu ieguldījumu jaunu tehnoloģiju attīstībā digitālās mūzikas jomā, kā arī ļāvusi saspiest digitālos attēlus. Esošie fraktāļu attēlu saspiešanas algoritmi ir balstīti uz saspiesta attēla glabāšanas principu, nevis pašu digitālo attēlu. Saspiestam attēlam galvenais attēls paliek fiksēts punkts. Microsoft, publicējot savu enciklopēdiju, izmantoja vienu no šī algoritma variantiem, taču tā vai cita iemesla dēļ šī ideja netika plaši izmantota.
Fraktāļu grafikas matemātiskais pamats ir fraktāļu ģeometrija, kur mantojuma princips no sākotnējiem “vecākiem objektiem” ir “mantinieku attēlu” konstruēšanas metožu pamatā. Pati fraktāļu ģeometrijas un fraktāļu grafikas jēdzieni parādījās tikai pirms aptuveni 30 gadiem, bet jau ir stingri nostiprinājušies datoru dizaineru un matemātiķu ikdienas dzīvē.
Fraktāļu datorgrafikas pamatjēdzieni ir:
- Fraktāļu trīsstūris - fraktāļu figūra - fraktāļu objekts (hierarhija dilstošā secībā)
- Fraktāļu līnija
- Fraktāļu sastāvs
- “Vecāks objekts” un “Pēcteces objekts”
Tāpat kā vektoru un trīsdimensiju grafikā, arī fraktāļu attēlu izveide tiek matemātiski aprēķināta. Galvenā atšķirība no pirmajiem diviem grafikas veidiem ir tāda, ka fraktāļu attēls tiek veidots pēc vienādojuma vai vienādojumu sistēmas – lai veiktu visus aprēķinus, datora atmiņā nav nepieciešams saglabāt neko citu kā formulu – un šī matemātiskā aparāta kompaktums ļāva šo ideju izmantot datorgrafikā. Vienkārši mainot vienādojuma koeficientus, var viegli iegūt pavisam citu fraktāļu attēlu – izmantojot vairākus matemātiskos koeficientus, tiek norādītas ļoti sarežģītu formu virsmas un līnijas, kas ļauj realizēt tādas kompozīcijas tehnikas kā horizontāles un vertikāles, simetriju un asimetriju. , diagonālie virzieni un daudz kas cits.
Kā izveidot fraktāli?
Fraktāļu radītājs vienlaikus pilda mākslinieka, fotogrāfa, tēlnieka un zinātnieka-izgudrotāja lomu. Kādi ir gaidāmie posmi, veidojot zīmējumu no nulles?
- iestatiet zīmējuma formu, izmantojot matemātisko formulu
- izpētīt procesa konverģenci un mainīt tā parametrus
- izvēlieties attēla veidu
- izvēlēties krāsu paleti
Starp fraktāļu grafiskajiem redaktoriem un citām grafiskajām programmām mēs varam izcelt:
- "Mākslas dabbler"
- "Gleznotājs" (bez datora neviens mākslinieks nekad nesasniegs programmētāju noteiktās iespējas tikai ar zīmuli un otas pildspalvu)
- “Adobe Photoshop” (bet šeit attēls netiek izveidots “no nulles”, bet, kā likums, tikai apstrādāts)
Apskatīsim patvaļīgas fraktāļu ģeometriskās figūras struktūru. Tās centrā ir visvienkāršākais elements - vienādmalu trīsstūris, kas saņēma tādu pašu nosaukumu: “fraktālis”. Malu vidējā segmentā mēs izveidosim vienādmalu trīsstūrus, kuru mala ir vienāda ar vienu trešdaļu no sākotnējā fraktāļu trīsstūra malas. Izmantojot to pašu principu, tiek veidoti vēl mazāki otrās paaudzes trīsstūri un tā tālāk bezgalīgi. Iegūto objektu sauc par “fraktāļu figūru”, no kuras secībām iegūstam “fraktāļu kompozīciju”.
Avots: http://www.iknowit.ru/
Fraktāļi un senās mandalas
Principā mandala ir sarežģītas struktūras ģeometrisks simbols, kas tiek interpretēts kā Visuma modelis, "kosmosa karte". Šī ir pirmā fraktalitātes pazīme!
Tie ir izšūti uz auduma, krāsoti uz smiltīm, izgatavoti ar krāsainiem pulveriem un izgatavoti no metāla, akmens, koka. Tā spilgtais un burvīgais izskats padara to par skaistu Indijas tempļu grīdas, sienu un griestu rotājumu. Senindiešu valodā “mandala” nozīmē Visuma garīgās un materiālās enerģijas attiecību mistisku loku jeb, citiem vārdiem sakot, dzīvības ziedu.
Es gribēju uzrakstīt ļoti īsu fraktāļu mandalu apskatu ar minimālu rindkopu skaitu, parādot, ka attiecības nepārprotami pastāv. Tomēr, mēģinot izprast un savienot informāciju par fraktāļiem un mandalām vienotā veselumā, man radās kvantu lēciena sajūta man nezināmā telpā.
Šīs tēmas vērienīgumu demonstrēju ar citātu: “Šādas fraktāļu kompozīcijas vai mandalas var izmantot gleznu veidā, dizaina elementi dzīvojamām un darba telpām, valkājami amuleti, videokasetes, datorprogrammas...” Kopumā fraktāļu izpētes tēma ir vienkārši milzīga.
Viena lieta, ko varu droši teikt, ir tāda, ka pasaule ir daudz daudzveidīgāka un bagātāka nekā mūsu prāta vājie priekšstati par to.
Fraktāļi jūras dzīvnieki
Mani minējumi par fraktāļu jūras dzīvniekiem nebija nepamatoti. Šeit ir pirmie pārstāvji. Astoņkājis ir grunts jūras dzīvnieks no galvkāju kārtas.
Aplūkojot šo fotoattēlu, man kļuva acīmredzama tā ķermeņa fraktāliskā struktūra un piesūcekņi uz visiem astoņiem šī dzīvnieka taustekļiem. Piesūcekņu skaits uz pieauguša astoņkāja taustekļiem sasniedz līdz 2000.
Interesants fakts ir tas, ka astoņkājiem ir trīs sirdis: viena (galvenā) dzen zilas asinis pa visu ķermeni, bet pārējās divas - žaunas - izspiež asinis caur žaunām. Daži šo dziļjūras fraktāļu veidi ir indīgi.
Pielāgojoties un maskējoties savai videi, astoņkājiem ir ļoti noderīga spēja mainīt krāsu.
Astoņkāji tiek uzskatīti par “gudrākajiem” no visiem bezmugurkaulniekiem. Viņi iepazīst cilvēkus un pierod pie tiem, kas viņus baro. Būtu interesanti paskatīties uz astoņkājiem, kuri ir viegli apmācāmi, kuriem ir laba atmiņa un pat atpazīst ģeometriskas formas. Bet šo fraktāļu dzīvnieku dzīves ilgums ir īss - maksimums 4 gadi.
Cilvēks izmanto šo dzīvo fraktāļu un citu galvkāju tinti. Mākslinieki tos meklē noturības un skaistā brūnā toņa dēļ. Vidusjūras virtuvē astoņkāji ir vitamīnu B3, B12, kālija, fosfora un selēna avots. Bet es domāju, ka jums ir jāzina, kā pagatavot šos jūras fraktāļus, lai ar prieku tos ēst kā pārtiku.
Starp citu, jāatzīmē, ka astoņkāji ir plēsēji. Ar saviem fraktāļu taustekļiem viņi tur laupījumu gliemju, vēžveidīgo un zivju formā. Žēl, ja tik skaists molusks kļūst par šo jūras fraktāļu barību. Manuprāt, viņš ir arī tipisks jūras karaļvalsts fraktāļu pārstāvis.
Šis ir gliemežu radinieks, gliemežnīcas kailkāju zars Glaucus, pazīstams arī kā Glaucus, zināms arī kā Glaucus atlanticus, zināms arī kā Glaucilla marginata. Šis fraktālis ir neparasts arī ar to, ka tas dzīvo un pārvietojas zem ūdens virsmas, to notur virsmas spraigums. Jo molusks ir hermafrodīts, tad pēc pārošanās abi “partneri” dēj olas. Šis fraktālis ir atrodams visos tropiskās zonas okeānos.
Jūras valstības fraktāļi
Katrs no mums kaut reizi dzīvē turēja rokās jūras gliemežvāku un ar neviltotu bērnišķīgu interesi to pētīja.
Parasti gliemežvāki ir skaists suvenīrs, kas atgādina ceļojumu uz jūru. Aplūkojot šo bezmugurkaulnieku mīkstmiešu spirālveida veidojumu, nav šaubu par tā fraktāļu dabu.
Mēs, cilvēki, esam zināmā mērā līdzīgi šiem mīkstajiem mīkstmiešiem, dzīvojam labi iekārtotās betona fraktāļu mājās, ievietojam un pārvietojam savus ķermeņus ātrās automašīnās.
Vēl viens tipisks fraktāļu zemūdens pasaules pārstāvis ir koraļļi.
Dabā ir zināmas vairāk nekā 3500 koraļļu šķirnes, kuru paletē ir līdz 350 krāsu toņiem.
Koraļļi ir koraļļu polipu kolonijas skeleta materiāls, arī no bezmugurkaulnieku dzimtas. To milzīgie uzkrājumi veido veselus koraļļu rifus, kuru veidošanās fraktāļu metode ir acīmredzama.
Koraļļus ar pilnu pārliecību var saukt par fraktāli no jūras valstības.
Cilvēki to izmanto arī kā suvenīru vai izejvielu rotaslietām un rotājumiem. Bet ir ļoti grūti atkārtot fraktāļu dabas skaistumu un pilnību.
Kārtējo reizi veicot rituālu virtuvē ar nazi un griešanas dēli, un tad, iemērcot nazi aukstā ūdenī, es raudājos un kārtējo reizi izdomāju, kā tikt galā ar asaru fraktāli, kas man parādās acu priekšā teju katru dienu. .
Fraktalitātes princips ir tāds pats kā slavenajai ligzdošanas lellei - ligzdošana. Tāpēc fraktalitāte netiek uzreiz pamanīta. Turklāt gaišā, viendabīgā krāsa un tās dabiskā spēja radīt nepatīkamas sajūtas neveicina visuma ciešu novērošanu un fraktāļu matemātisko modeļu noteikšanu.
Bet ceriņu krāsas salātu sīpols savas krāsas un asaras izraisošo fitoncīdu trūkuma dēļ lika aizdomāties par šī dārzeņa dabisko fraktalitāti. Protams, tas ir vienkāršs fraktālis, parastie dažāda diametra apļi, varētu pat teikt, primitīvākais fraktālis. Bet nenāktu par ļaunu atcerēties, ka bumba tiek uzskatīta par ideālu ģeometrisku figūru mūsu Visumā.
Internetā ir publicēti daudzi raksti par sīpolu labvēlīgajām īpašībām, bet kaut kā neviens nav mēģinājis pētīt šo dabisko eksemplāru no fraktalitātes viedokļa. Varu tikai norādīt, cik lietderīgi manā virtuvē ir izmantot fraktāli sīpola formā.
P.S. Esmu jau iegādājies dārzeņu griezēju fraktāļu smalcināšanai. Tagad jādomā, cik fraktāls ir tāds veselīgs dārzenis kā parastie baltie kāposti. Tas pats ligzdošanas princips.
Fraktāļi tautas mākslā
Manu uzmanību piesaistīja stāsts par pasaulslaveno rotaļlietu Matryoshka. Aplūkojot tuvāk, varam ar pārliecību teikt, ka šī suvenīru rotaļlieta ir tipisks fraktālis.
Fraktalitātes princips ir acīmredzams, ja visas koka rotaļlietas figūras ir sakārtotas rindā un nav ievietotas viena otrai.
Mans nelielais pētījums par šī rotaļlietu fraktāļa parādīšanās vēsturi pasaules tirgū parādīja, ka šī skaistuma saknes ir japāņu valodā. Matrjoška vienmēr ir uzskatīta par oriģinālu krievu suvenīru. Bet izrādījās, ka viņa bija vecā gudrā Fukuruma japāņu figūriņas prototips, kas savulaik tika atvesta uz Maskavu no Japānas.
Bet tieši Krievijas rotaļlietu industrija atnesa šai japāņu figūriņai pasaules slavu. Man personīgi paliek noslēpums, no kurienes radās ideja par rotaļlietas fraktāļu ligzdošanu. Visticamāk, šīs rotaļlietas autors izmantoja principu, ka figūriņas ligzdotas viena otrai. Un vienkāršākais veids, kā ieguldīt, ir līdzīgas dažāda izmēra figūras, un tas jau ir fraktālis.
Tikpat interesants izpētes objekts ir fraktāļu rotaļlietas gleznošana. Šī ir dekoratīva glezna - Khokhloma. Tradicionālie Khokhloma elementi ir ziedu, ogu un zaru augu raksti.
Atkal visas fraktalitātes pazīmes. Galu galā vienu un to pašu elementu var atkārtot vairākas reizes dažādās versijās un proporcijās. Rezultātā tapusi tautas fraktāļu glezna.
Un, ja nevienu nepārsteigsi ar jaunmodīgo datorpeļu, klēpjdatoru vāciņu un tālruņu apgleznošanu, tad automobiļa fraktāļu tūnings tautas stilā ir kas jauns auto dizainā. Var tikai brīnīties par fraktāļu pasaules izpausmēm mūsu dzīvē tik neparastā veidā mums tik ierastās lietās.
Fraktāļi virtuvē
Uz mana virtuves galda atradās tipisks augu pasaules fraktāļu pārstāvis.
Ar visu savu mīlestību pret ziedkāpostiem es vienmēr saskāros ar eksemplāriem ar viendabīgu virsmu bez redzamām fraktalitātes pazīmēm, un pat liels skaits ziedkopu, kas ligzdotas viena otrā, nedeva iemeslu šajā noderīgajā dārzenī redzēt fraktāli.
Bet šī konkrētā parauga virsma ar skaidri definēto fraktāļu ģeometriju neatstāja ne mazākās šaubas par šāda veida kāpostu fraktāļu izcelsmi.
Kārtējais brauciens uz hipermārketu tikai apstiprināja kāpostu fraktāļu statusu. Starp milzīgo eksotisko dārzeņu skaitu bija vesela kaste ar fraktāliem. Tas bija Romanescu jeb romānikas brokoļi, ziedkāposti.
Izrādās, ka dizaineri un 3D mākslinieki apbrīno tās eksotiskās fraktāļu formas.
Kāpostu pumpuri aug logaritmiskā spirālē. Pirmā Romanescu kāpostu pieminēšana nāca no Itālijas 16. gadsimtā.
Un brokoļu kāposti manā uzturā nav biežs viesis, lai gan uzturvielu un mikroelementu satura ziņā daudzkārt pārspēj puķkāpostu. Bet tā virsma un forma ir tik vienveidīga, ka man pat prātā neienāca tajā ieraudzīt dārzeņu fraktāli.
Fraktāļi kvilingā
Redzot ažūrus, izmantojot quilling tehniku, nezaudēju sajūtu, ka tie man kaut ko atgādina. Vienu un to pašu elementu atkārtošana dažādos izmēros, protams, ir fraktalitātes princips.
Pēc kārtējās kvilinga meistarklases noskatīšanās vairs nebija nekādu šaubu par kvilinga fraktāļu dabu. Galu galā, lai izgatavotu dažādus elementus quilling amatniecībai, tiek izmantots īpašs lineāls ar dažāda diametra apļiem. Neskatoties uz visu produktu skaistumu un unikalitāti, šī ir neticami vienkārša tehnika.
Gandrīz visi galvenie elementi quilling amatniecībai ir izgatavoti no papīra. Lai uzkrātu bezmaksas quilling papīru, apskatiet savus grāmatu plauktus mājās. Noteikti tur atradīsit pāris košus glancētus žurnālus.
Quilling rīki ir vienkārši un lēti. Viss, kas nepieciešams, lai veiktu amatieru quilling darbu, ir atrodams starp jūsu mājas rakstāmpiederumiem.
Un quilling vēsture sākas 18. gadsimtā Eiropā. Renesanses laikā franču un itāļu klosteru mūki grāmatu vāku dekorēšanai izmantoja quillingu un pat neapzinājās viņu izgudrotās papīra velmēšanas tehnikas fraktāļu raksturu. Augstākās sabiedrības meitenes pat apmeklēja kvilinga kursus speciālajās skolās. Tā šī tehnika sāka izplatīties pa valstīm un kontinentiem.
Šo video quilling meistarklasi par greznu apspalvojumu veidošanu var saukt pat par "dari pats" fraktāļiem. Ar papīra fraktāļu palīdzību tiek iegūtas brīnišķīgas ekskluzīvas Valentīna kartiņas un daudzas citas interesantas lietas. Galu galā, fantāzija, tāpat kā daba, ir neizsmeļama.
Nav noslēpums, ka japāņiem dzīvē ir ļoti ierobežota telpa, un tāpēc viņiem ir jācenšas visu iespējamo, lai to izmantotu efektīvi. Takeshi Miyakawa parāda, kā to var izdarīt gan efektīvi, gan estētiski. Viņa fraktāļu kabinets apliecina, ka fraktāļu izmantošana dizainā ir ne tikai veltījums modei, bet arī harmonisks dizaina risinājums ierobežotas telpas apstākļos.
Šis fraktāļu izmantošanas piemērs reālajā dzīvē saistībā ar mēbeļu dizainu man parādīja, ka fraktāļi ir īsti ne tikai uz papīra matemātiskās formulās un datorprogrammās.
Un šķiet, ka daba visur izmanto fraktalitātes principu. Vajag tikai to aplūkot tuvāk, un tas izpaudīsies visā savā lieliskajā esības pārpilnībā un bezgalībā.
