Kā uzsvērts iepriekšējā sadaļā, jebkura populācija principā spēj eksponenciāli palielināt savu lielumu, un tāpēc eksponenciālais modelis tiek izmantots, lai novērtētu populāciju pieauguma potenciālu. Tomēr dažos gadījumos eksponenciālais modelis izrādās piemērots faktiski novēroto procesu aprakstīšanai. Acīmredzot tas ir iespējams, ja pietiekami ilgu laiku (attiecībā pret paaudzes ilgumu) nekas neierobežo iedzīvotāju skaita pieaugumu un attiecīgi tās īpatnējās likmes rādītāju ( r) saglabā nemainīgu pozitīvu vērtību.

Piemēram, 1937. gadā uz nelielo Proteksi salu (pie ASV ziemeļrietumu krasta netālu no Vašingtonas štata) tika nogādāti 2 fazānu tēviņi un 6 mātītes. (Phasanius colchicus torqualus), salā iepriekš nav sastapts. Tajā pašā gadā sāka vairoties fazāni, un 6 gadus vēlāk populācija, kas sākās ar 8 putniem, jau bija 1898 īpatņi. Kā izriet no att. 28 A, vismaz pirmos 3-4 gadus fazānu skaita pieaugumu labi raksturoja eksponenciāla sakarība (taisne uz logaritmiskās ordinātu skalas). Diemžēl vēlāk, karadarbības uzliesmojuma dēļ, salā tika izvietots karaspēks, ikgadējās uzskaites apstājās, un pati fazānu populācija tika lielā mērā iznīcināta.

Vēl viens labi zināms eksponenciālas populācijas pieauguma gadījums ir gredzenotā baloža populācijas palielināšanās (Streptopelia decaocto) Britu salās pagājušā gadsimta 50. gadu beigās un 60. gadu sākumā. (28. att., b). Šis pieaugums apstājās tikai pēc 8 gadiem, kad visi piemērotie biotopi bija apdzīvoti.

Eksponenciālā iedzīvotāju skaita pieauguma piemēru sarakstu var turpināt. Jo īpaši ziemeļbriežu skaita pieaugums ir vairākas reizes lielāks (vai vismaz tuvu eksponenciālam). (Rangifers tarandus) novērota tās ievadīšanas laikā dažādās salās. Tādējādi no 25 indivīdiem (4 tēviņi un 21 mātīte), kas 1911. gadā tika atvesti uz Sentpola salu (daļa no Pribilofas salu arhipelāga Beringa jūrā), izveidojās populācija, kuras lielums 1938. gadā bija . sasniedza 2 tūkstošus īpatņu, bet tad sekoja straujš kritums, un līdz 1950. gadam uz salas palika tikai 8 brieži. Līdzīga aina tika novērota arī Sv. Mateja salā (arī Beringa jūrā): 29 īpatņi (5 tēviņi un 24 mātītes), kas ievesti salā 1944. gadā, radīja 1350 īpatņu populāciju 1957. gadā un 1963. gadā. apmēram 6 tūkstoši īpatņu (šīs salas platība ir 332 km 2, kas ir aptuveni trīs reizes lielāka par Sv. Pāvila salu). Savukārt turpmākajos gados bija vērojams katastrofāls briežu skaita samazinājums, līdz 1966. gadam no tiem bija palikuši vairs tikai 42. Abos minētajos gadījumos straujā skaita samazināšanās iemesls bija barības trūkums ziemā, kas sastāvēja no gandrīz tikai no ķērpjiem.

Laboratorijā ir iespējams radīt apstākļus eksponenciālai augšanai, ja kultivētos organismus apgādā ar pārmērīgiem resursiem, kas parasti ierobežo to attīstību, kā arī saglabājot visu vides fizikāli ķīmisko parametru vērtību dotās pielaides robežās. sugas. Bieži vien, lai saglabātu eksponenciālu augšanu, ir nepieciešams noņemt organismu vielmaiņas produktus (izmantojot, piemēram, plūsmas sistēmas, kultivējot dažādus ūdensdzīvniekus un augus) vai izolējot topošos indivīdus vienu no otra, lai izvairītos no drūzmēšanās (tas ir svarīgi, jo piemēram, audzējot daudzus grauzējus un citus dzīvniekus ar diezgan sarežģītu uzvedību). Praksē nav grūti eksperimentāli iegūt eksponenciālu augšanas līkni tikai ļoti maziem organismiem (raugiem, vienšūņiem, vienšūnu aļģēm utt.). Lielus organismus ir grūti kultivēt lielos daudzumos tīri tehnisku iemeslu dēļ. Turklāt tas prasa daudz laika.

Situācijas, kurās rodas eksponenciālas izaugsmes apstākļi, ir iespējamas arī dabā, un ne tikai salu iedzīvotājiem. Piemēram, ezeros mērenajos platuma grādos pavasarī pēc ledus kušanas virsmas slāņos ir liels daudzums biogēno elementu (fosfors, slāpeklis, silīcijs), kas parasti ir nepietiekami planktona aļģēm, un tāpēc nav pārsteidzoši, ka pēc ūdens sasilšanas strauji (tuvu eksponenciālam) kramaļģu vai zaļo aļģu skaita pieaugums. Tas apstājas tikai tad, kad aļģu šūnās tiek piesaistīti visi deficītie elementi vai kad populāciju ražošana tiek līdzsvarota, to patērējot dažādi fitofāgi.

Lai gan ir arī citi faktiski novērota eksponenciāla skaitļu pieauguma piemēri, nevar teikt, ka tie ir ļoti daudzi. Acīmredzot, ja iedzīvotāju skaits palielinās saskaņā ar eksponenciālo likumu, tas notiek tikai ļoti īsu laiku, kam seko samazināšanās vai plato (= stacionāra līmeņa) sasniegšana. Principā ir iespējamas vairākas iespējas, kā apturēt eksponenciālo iedzīvotāju skaita pieaugumu. Pirmā iespēja ir mainīgi skaitļu eksponenciāla pieauguma periodi ar strauja (katastrofāla) krituma periodiem līdz ļoti zemām vērtībām. Šāds regulējums (un ar populācijas regulēšanu mēs domāsim jebkuru mehānismu darbību, kas izraisa populācijas pieauguma ierobežošanu), visticamāk, ir organismos ar īsu dzīves ciklu, kas dzīvo vietās ar izteiktām galveno ierobežojošo faktoru svārstībām, piemēram, kukaiņiem. dzīvo augstos platuma grādos. Ir arī acīmredzams, ka šādiem organismiem ir jābūt snaudošām stadijām, kas ļauj tiem izdzīvot nelabvēlīgos gadalaikos. Otrs variants ir strauji apturēt eksponenciālo pieaugumu un uzturēt populāciju nemainīgā (=stacionārā) līmenī, ap kuru iespējamas dažādas svārstības. Trešā iespēja ir gluda izeja uz plato. Iegūtā līknes S forma norāda, ka, palielinoties populācijas lielumam, tās pieauguma ātrums nepaliek nemainīgs, bet samazinās. Gan laboratorijas eksperimentos, gan sugas introducējot jaunos biotopos ļoti bieži novērojama S-veida populāciju augšana.

Viens no lielākajiem mītiem, uz kuriem balstījās divdesmitā gadsimta beigu ekonomika, bija mīts par eksponenciālo izaugsmi. Tika pieņemts, ka tehnoloģijas mainīsies vēl ātrāk, lai arī ekonomika augs eksponenciāli, padarot mūs visus bagātākus par mūsu vecākiem un nesamērīgi bagātākus par mūsu vecvectēviem. Tomēr šķiet, ka kopš 2000. gada viss ir nogājis greizi, vismaz ekonomiski. Problēma daļēji ir saistīta ar kapitāla aizplūšanu jaunattīstības tirgos, ko nodrošina internets un mūsdienu sakari. Tomēr pat ārpus šīs neērtās realitātes slēpjas patiesi satraucošā doma, ka tehnoloģiskais progress un līdz ar to arī iespēja uzlabot dzīves līmeni, iespējams, neradīs nekādu eksponenciālu izaugsmi.

Vairāku entuziastu skatījumā ticība eksponenciālajam tehnoloģiskajam progresam ir transformējusies singularitātē, kas vai nu jau notiek, vai arī drīz mūs pārņems. Paredzams, ka tas novedīs pie tālāka progresa paātrinājuma, kas būs tik spēcīgs, ka cilvēces vēstures nākotne ļoti atšķirsies no pagātnes.

Taču, pirms apsveicam singularitātes rašanos, jāatzīmē, ka, pēc šīs teorijas piekritēju domām, to izraisīs par cilvēku gudrāku mašīnu parādīšanās, kas pēc tam gūs virsroku, radīs vēl gudrākus robotus un aizies. cilvēce aiz muguras. Tādējādi singularitāte neliecinās par gandrīz bezgalīgu cilvēces dzīves kvalitātes uzlabošanos, jo domājams, ka šādas superinteliģentas mašīnas īpaši neinteresēsies par cilvēku dzīves līmeni - vai pat vēlēsies mūs izmantot kā testa priekšmetus vai mājdzīvniekus. (Ja pēdējais, es neapšaubāmi būšu izslēgšanas kandidātu priekšgalā - diez vai man būs tādas mājdzīvnieka īpašības, kādas regulāri demonstrē mūsu kaķis Eudoksija).

Loģiski domājot, mēs varam identificēt trīs singularitātes, kas jau ir notikušas cilvēces vēsturē: runas rašanās, pāreja no nomadu dzīves uz mazkustīgu lauksaimniecību un pēc tam rūpnieciskā revolūcija. Katra no šīm parādībām desmitkārtīgi paātrināja cilvēces attīstību, līdz ar to izmaiņas, kas evolūcijas ietekmē ilga miljoniem gadu, sāka notikt pēc runas parādīšanās simtiem tūkstošu gadu, līdz ar lauksaimniecības izgudrošanu - desmitiem tūkstošu. gadu un tikai divu vai trīs gadsimtu laikā – pēc industriālās revolūcijas. Katra no šīm izmaiņām pilnībā mainīja dzīvi; tā arī ir attīstījusies straujāk, un kopš industriālās revolūcijas ir notikuši milzīgi tehnoloģiski sasniegumi viena īsā cilvēka mūža laikā.

Ir vērts sīkāk aplūkot rūpnieciskās revolūcijas savdabību. Tas ilga apmēram 200 gadus, un neviens no tā agrīnajiem jauninājumiem nenesa būtiskas izmaiņas dzīvē. Automašīna Jaunpienācējiūdens sūknēšanai raktuvēs, kas tika izgudrots 1712. gadā, tiešā veidā neizraisīja lielas izmaiņas, un tai nesekoja neviens daudz modernāks dzinējs, piemēram, Džeimss Vats, līdz 1769. gadam (un vatu dzinēji tika plaši izmantoti tikai 1790. gados). Taču tehnoloģisko revolūciju pavadīja tikpat svarīga revolūcija cilvēka domāšanā, kas sākās ap Karaliskās biedrības dibināšanu 1662. gadā un turpinājās. Nāciju bagātība» Ādams Smits(1776. gadā) līdz 19. gadsimta sākumam.

Tādējādi, lai arī 1785. gada pilsonis salīdzinājumā ar savu 1660. gada senci īpaši nebaudīja tehnoloģiju sasniegumus, bet gadsimtu agrāk alķīmiķi tika izsmieti slavenā gleznā. Džozefs Raits tagad tas kalpo kā vāks " Alķīmiķu zaudējumi" Pirmie milzīgie industriālās revolūcijas tehniskie augļi radās vēlāk — tekstilizstrādājumu ražošana plašā mērogā sākās tikai 1790. gados, un dzelzceļu tīkls parādījās tikai pēc 1830. gada, taču garīgās izmaiņas, kas veidoja singularitāti, bija notikušas jau 1785. gadā. vai tā.

Šajā ziņā mūs vēl neapdraud nekāda singularitāte. Internets, kas ir radikāli mainījis pasaules sakarus un mūsu dzīvesveidu, nav vairāk revolucionāra maiņa kā elektriskā gaisma, telefons vai automašīna. Dzīve 2010. gadā patiesībā atšķiras no dzīves 1995. gadā. Mēs šodien varam organizēt globālu ražošanas vai pakalpojumu uzņēmumu daudz efektīvāk nekā 1995. gadā. Jaunieši lielāko daļu savas bezmiega dzīves pavada, sērfojot internetā vai runājot pa mobilo telefonu, ko viņi nevarēja darīt pirms 1995. gada.

Taču tā tas bija arī 15-20 gadus pēc iepriekšējo liktenīgo tehnoloģiju parādīšanās. 1845. gadā, pēc dzelzceļa izgudrošanas, ceļošanas modeļi jau atšķīrās no 1830. gada. 1905. gadā pēc elektrības izgudrošanas pilsētas vakara darba un izklaides modeļi ļoti atšķīrās no 1890. gada. Tāpat dzīve Amerikas laukos 1925. gadā, kad parādījās Tin Lizzie (Ford Model T), bija pilnīgi atšķirīga no tā, kāda tā bija 1910. gadā.

Tādējādi katrs no šiem izgudrojumiem radikāli mainīja dažus dzīvesveida aspektus, bet tajā pašā laikā tie joprojām nepaātrina izgudrošanas un progresa procesu, piemēram, rūpnieciskā revolūcija. Pēc izgudrojumu izplatības dzīve kļuva citādāka, bet tehnoloģiskā progresa tempi bija ļoti mēreni. Internets ir līdzīgs šāda veida inovācijām: tas ir būtiski mainījis mūsu dzīvi, taču tas nav tik ļoti paātrinājis pārmaiņas kā rūpnieciskā revolūcija, un tam nav priekšnoteikumu. Patiešām, varētu pamatoti apgalvot, ka paaudze, kas piedzīvoja lielāko daļu revolucionāro pārmaiņu, bija mana vectante Beatrise, kura dzima 1889. gadā un nomira 1973. gadā. Bērnībā tika izmantots gāzes apgaismojums un vilkmes zirgi, un vecumdienās viņa no visa spēka lidoja ar lidmašīnām un apmeklēja mēnesi.

Raugoties nākotnē, ir trīs ticami tehnoloģiskie sasniegumi, kas potenciāli varētu paātrināt pārmaiņu tempu, pat ja tie neizraisa singularitāti. Tie ir: par cilvēku gudrākas mašīnas izveide, gēnu manipulācijas metožu atklāšana, kas var palielināt cilvēka kognitīvās spējas, kā arī tehniska, medicīniska vai ģenētiska rakstura atklājumi, kas var ievērojami palielināt cilvēka paredzamo mūža ilgumu. .

Superrobota iespēja ir uzskatīta par populārāko iemeslu šķietamajai singularitātei, taču, rūpīgāk izpētot, izrādās, ka tas diez vai novedīs pie tā. Singularitātes teorētiķiem patīk citēt Mūra likumu, piedāvāto teoriju Gordons Mūrs 1965. gadā, saskaņā ar kuru datoru apstrādes ātrums dubultojas ik pēc diviem gadiem. Tomēr patiesībā mēs nopietni tuvojamies šīs progresa robežai; ierobežojošie faktori ir gaismas ātrums, enerģija, kas nepieciešama mikroprocesoru (kas ražo siltumu) darbībai, elektromagnētiskā starojuma viļņa garums un atomu struktūru izmērs.

Pēc pāris paaudzēm pēc Mūra likuma tuvosimies pagaidu barjerai, kas būtiski apgrūtinās progresu un pēc 5-6 paaudzēm pēc šī paša likuma tuvosimies pastāvīgai barjerai, kuru pārsniedzot, ar šobrīd iedomājamo tehnoloģijas, progress būs neiespējams. Jāatzīst, ka turpmāku progresu datorinteliģences jomā var panākt ar uzlabotu programmēšanu un arhitektūru ar masveida paralēlismu, taču realitāte ir tāda, ka pēc 2015.-2020. gada progresa šajā jomā būs ievērojams PALĒNINĀJUMS, nevis paātrinājums. . Tāpat kā pēdējās patiesi revolucionārās izmaiņas automašīnu dizainā bija automātiskās pārnesumkārbas izgudrojums 1939. gadā, ir skaidrs, ka nebeidzamie sasniegumi mehāniskajā konstrukcijā pamazām sasniegs dabisko robežu.

Gēnu inženierija, lai uzlabotu cilvēka garīgās spējas, neapšaubāmi mainīs mūsu pasauli, taču tas, visticamāk, nenotiks ļoti drīz, jo pret šādām izmaiņām asi pretosies lielākā daļa Rietumu reliģisko grupu un valdību. Pat vienkārša klonēšana, kas vienkārši reproducē esošu indivīdu, desmit gadu laikā nav daudz progresējusi, un nākotnē tā var aizkavēties uz vienu paaudzi. Pat ar valdības apstiprinājumu, drošības testi, kas nepieciešami pirms smadzeņu uzlabošanas eksperimentu sākšanas, pastāv iespēja, ka pirmo šādu izmēģinājumu rezultātā smadzeņu kapacitāte vienkārši palielināsies līdz esošajam līmenim, nevis palielināsies. Turklāt, ņemot vērā šo bērnu bioloģisko nepieciešamību nobriest līdz 15 gadu vecumam, iegūstot augstāko izglītību nākamo 5-10 gadu laikā, šo izmaiņu rezultāts parādīsies tikai pēc 50 gadiem nākotnē. Šajā ziņā superrobotu, pat ja tas būtu īsts, varētu izveidot ātrāk, jo tas uzreiz būtu pieaugušais! Ņemot vērā faktu, ka uzlabotā cilvēka pirmie gadījumi būs niecīga cilvēku/jaunās cilvēces rases daļa, ir skaidrs, ka no šejienes līdz nākamajam gadsimtam nav sagaidāms makro paātrinājums.

Trešā iespējamā tehnoloģija, dzīves pagarināšana, ir interesantāka. Tehniski jebkurai nozīmīgai ietekmei (izņemot medicīnas sasniegumus, kas palielina to cilvēku procentuālo daļu, kuri dzīvo līdz 90–100 gadu vecumam), visticamāk, būtu vajadzīgas līdzīgas prasmes, lai radītu augstāku inteliģenci. Tomēr šajā jomā politiķi un reliģiskie līderi saskarsies ar daudz mazāku ludītu pretestību, jo ilgākas dzīves priekšrocības ir acīmredzamas un teorētiski universālas. No otras puses, palielināt dzīves ilgumu jau dzīvojošajiem būs daudz grūtāk nekā radīt jaunus ilgdzīvotājus, un, visticamāk, tas notiks vēlāk.

Izrādās, ka līdz 2050. gadam mēs, iespējams, varēsim radīt bērnus, kuri dzīvos 150-200 gadus (tas ir, ilgāk, nekā būs nepieciešams, lai pārvarētu ierobežojošos faktorus, par kuriem mēs vēl nezinām, jo ​​tie neietekmē ne- simtgadnieki). Pēc kāda laika mēs iemācīsimies vismaz daļēji palielināt esošo cilvēku dzīves ilgumu. Ņemot vērā iespējamo masu pieprasījumu pēc šādām tehnoloģijām, tām vajadzētu ātri izplatīties lielākajā daļā cilvēku, jo masveida ražošana samazinās to izmaksas līdz pieņemamam līmenim.

Tomēr, lai gan dzīves cikla palielināšana ievērojami uzlabos cilvēka dzīvi, tas nepaātrina progresu. Simtgadnieki nesāks strādāt vismaz līdz 25, jo iegūs vispusīgāku izglītību nekā mēs. Kad viņi atgriezīsies darbā, viņi mazāk izvairīsies no riska un būs pacietīgāki nekā mēs, jo kavēšanās patērēs mazāk viņu atlikušās dzīves. Savukārt pat bez turpmākas paātrināšanas viņiem būs nepieciešama atkārtota izglītība ik pēc 20-25 gadiem, lai viņu darba prasmes nekļūtu bezcerīgi novecojušas. Tā kā viņiem izmaksas strauju pārmaiņu apstākļos būs lielākas nekā mums, un ieguvumi mazāki, viņi paši gribēs bremzēt progresu. Tikai kombinācijā ar augstāku inteliģences līmeni viņi spēs samierināties ar straujo pēcrevolūcijas pārmaiņu tempu.

Šobrīd apsvēru iespējamo pozitīvo pārmaiņu paātrināšanos. Tomēr ir iespējamas katastrofāli negatīvas pārmaiņas, kas civilizāciju, dzīves līmeni un zināšanas varētu atgriezt primitīvākā līmenī. Viens no iespējamiem iemesliem ir pasaules karš, kas, iespējams, atšķiras no tā, kas notika pirms 50 gadiem. Vēl viens faktors varētu būt vides katastrofa. Šeit nekas labs nav gaidāms. Pašreizējo nepielūdzamo iedzīvotāju skaita pieaugumu, kas sagaidāms, ka līdz 2050. gadam palēnināsies, bet neapstāsies, pastiprinās atklājumi, kas ir palielinājuši paredzamo dzīves ilgumu līdz 200 gadiem gan mirstības skaita samazināšanās, gan dzimstības pieauguma dēļ, kas radušies 2050. to, ka spēja vairoties saglabāsies 100 gadus. Tas, vai globālā sasilšana ir nopietna problēma pasaulē ar 7 līdz 10 miljardiem, ir jautājums, taču tā noteikti kļūs par nopietnu problēmu pasaulē, kurā dzīvo 20 miljardi (un tāpēc resursu izsīkšana būs reālākas briesmas). Attiecīgi galvenajai prioritātei jābūt pasākumiem, lai palēninātu iedzīvotāju skaita pieaugumu vai, vēl labāk, atgrieztos pie samazinājuma. Galu galā pirms pēdējās singularitātes pasaules iedzīvotāju skaits bija tikai 1 miljards; tādā ātrumā mūsu vides un resursu problēmas izzustu.

Neskaitot sabrukuma iespējamību, divi vai trīs iespējamie tehnoloģiskie notikumi nākamo 50 gadu laikā — Mūra likuma robežas sasniegšana un paredzamā dzīves ilguma palielināšanās —, visticamāk, palēninās pārmaiņu tempu, nevis paātrinās. Tikai trešais variants – ģenētiski uzlabots intelekts – spēj paātrināt progresu, taču sistēmiskā pretestība šai tehnoloģijai, visticamāk, to aizkavēs uz ļoti ilgu laiku. Tādējādi cilvēces attīstības līkne 21. gadsimtā būs asimptotiska [ierobežota], nevis eksponenciāla.

Izteiciens “eksponenciālā izaugsme” ir ienācis mūsu leksikā, lai apzīmētu strauju, parasti nekontrolējamu pieaugumu. To bieži izmanto, piemēram, lai raksturotu pilsētu straujo izaugsmi vai iedzīvotāju skaita pieaugumu. Tomēr matemātikā šim terminam ir precīza nozīme un tas apzīmē noteiktu izaugsmes veidu.

Eksponenciāls pieaugums notiek tajās populācijās, kurās iedzīvotāju skaita pieaugums (dzimušo skaits mīnus mirušo skaits) ir proporcionāls indivīdu skaitam populācijā. Cilvēku populācijai, piemēram, dzimstība ir aptuveni proporcionāla reproduktīvo pāru skaitam, un mirstība ir aptuveni proporcionāla cilvēku skaitam populācijā (mēs to apzīmējam N). Tad pēc saprātīgas aptuvenas

iedzīvotāju skaita pieaugums = dzimušo skaits - mirušo skaits

(Šeit r- ts proporcionalitātes koeficients, kas ļauj mums uzrakstīt proporcionalitātes izteiksmi kā vienādojumu.)

Ļaujiet d N— populācijai pievienoto īpatņu skaits laika posmā d t, tad ja populācijā kopā N indivīdi, tad nosacījumi eksponenciālai izaugsmei būs izpildīti, ja

d N = rN d t

Tā kā Īzaks Ņūtons 17. gadsimtā izgudroja diferenciālrēķinu, mēs zinām, kā atrisināt šo vienādojumu N— iedzīvotāju skaits jebkurā laikā. (Atsaucei: šo vienādojumu sauc diferenciālis.) Šeit ir viņa risinājums:

N=N0 e rt

Kur N 0 ir indivīdu skaits populācijā atpakaļskaitīšanas sākumā un t- laiks, kas pagājis kopš šī brīža. Simbols e apzīmē šādu īpašu skaitli, to sauc naturālā logaritma bāze(un ir aptuveni vienāds ar 2,7), un tiek izsaukta visa vienādojuma labā puse eksponenciālā funkcija.

Lai labāk saprastu, kas ir eksponenciālā izaugsme, iedomājieties populāciju, kas sākotnēji sastāv no vienas baktērijas. Pēc noteikta laika (dažas stundas vai minūtes) baktērija sadalās divās daļās, tādējādi dubultojot populācijas lielumu. Pēc nākamā laika perioda katra no šīm divām baktērijām atkal sadalīsies divās daļās, un populācijas lielums atkal dubultosies - tagad būs četras baktērijas. Pēc desmit šādām dubultošanām būs vairāk nekā tūkstotis baktēriju, pēc divdesmit - vairāk nekā miljons utt. Ja ar katru iedalījumu iedzīvotāju skaits dubultosies, tā pieaugums turpināsies bezgalīgi.

Pastāv leģenda (visticamāk, tā nav patiesa), ka vīrietis, kurš izgudroja šahu, sagādājis savam sultānam tādu baudu, ka viņš apsolījis izpildīt jebkuru no viņa lūgumiem. Vīrietis palūdza sultānam uzlikt vienu kviešu graudu uz šaha galdiņa pirmā lauciņa, divus uz otrā, četrus uz trešā utt. Sultāns, uzskatot šo prasību par nenozīmīgu salīdzinājumā ar viņa sniegto pakalpojumu, lūdza pavalstniekam nākt klajā ar citu lūgumu, taču viņš atteicās. Dabiski, ka līdz 64. dubultošanai graudu skaits kļuva tāds, ka visā pasaulē kviešu nepietiks, lai apmierinātu šo pieprasījumu. Man zināmajā leģendas versijā sultāns tajā brīdī lika nogriezt izgudrotājam galvu. Morāle, kā es saku saviem studentiem, ir: dažreiz nevajadzētu būt pārāk gudram!

Šaha galda piemērs (kā arī iedomātās baktērijas) parāda, ka neviena populācija nevar pieaugt mūžīgi. Agri vai vēlu tam vienkārši beigsies resursi – telpa, enerģija, ūdens, vienalga. Tāpēc populācijas var pieaugt eksponenciāli tikai kādu laiku, un agrāk vai vēlāk to pieaugumam ir jāpalēninās. Lai to izdarītu, ir jāmaina vienādojums, lai tad, kad iedzīvotāju skaits tuvojas maksimālajam iespējamajam (ko var atbalstīt ārējā vide), pieauguma temps palēnināsies. Sauksim to par maksimālo iedzīvotāju skaitu K. Tad modificētais vienādojums izskatīsies šādi:

d N = rN(1 — (N/K)) d t

Kad N daudz mazāk K, biedrs N/K var neņemt vērā, un mēs atgriežamies pie sākotnējā parastās eksponenciālās pieauguma vienādojuma. Tomēr, kad N tuvojas maksimālajai vērtībai K, vērtība 1 - ( N/K) sliecas uz nulli, un attiecīgi iedzīvotāju skaita pieaugumam ir tendence uz nulli. Kopējais iedzīvotāju skaits šajā gadījumā stabilizējas un paliek līmenī K. Līknei, ko apraksta šis vienādojums, kā arī pašam vienādojumam ir vairāki nosaukumi - S-līkne, loģistikas vienādojums, Voltera vienādojums, Lotkas-Voltera vienādojums. (Vito Volts e RRA, 1860-1940 - izcils itāļu matemātiķis un skolotājs; Alfrēds Lotka, 1880-1949 — amerikāņu matemātiķis un apdrošināšanas analītiķis.) Neatkarīgi no tā, kā to sauc, tā ir diezgan vienkārša populācijas lieluma izteiksme, kas strauji pieaug eksponenciāli un pēc tam palēninās, tuvojoties noteiktai robežai. Un tas atspoguļo reālo populāciju pieaugumu daudz labāk nekā parastā eksponenciālā funkcija.

Cilvēki nav īpaši labi nākotnes prognozētāji. Lielāko daļu vēstures mūsu pieredze bija “lokāla un lineāra”: mēs izmantojām tos pašus rīkus, ēdām tos pašus ēdienus, dzīvojām noteiktā vietā. Rezultātā mūsu prognozēšanas spējas ir balstītas uz intuīciju un pagātnes pieredzi. Tas ir kā kāpnes: pēc dažiem soļiem uz augšu mēs saprotam, kāds būs atlikušais ceļš pa šīm kāpnēm. Dzīvojot savu dzīvi, mēs sagaidām, ka katra jauna diena būs līdzīga iepriekšējai. Tomēr tagad viss mainās.

Slavenais amerikāņu izgudrotājs un futūrists Raimonds Kurcveils savā grāmatā “The Singularity Is Near” raksta, ka pēdējo desmitgažu laikā pieredzētais tehnoloģiju attīstības lēciens ir izraisījis progresa paātrinājumu daudzās dažādās jomās. Tas ir izraisījis negaidītas tehnoloģiskas un sociālas pārmaiņas, kas notiek ne tikai starp paaudzēm, bet arī tajās. Tagad intuitīvā pieeja nākotnes prognozēšanai nedarbojas. Nākotne vairs nerisinās lineāri, bet gan eksponenciāli: kļūst arvien grūtāk paredzēt, kas notiks tālāk un kad tas notiks. Tehnoloģiskā progresa tempi mūs nemitīgi pārsteidz, un, lai tam neatpaliktu un iemācītos paredzēt nākotni, vispirms jāiemācās domāt eksponenciāli.

Kas ir eksponenciālā izaugsme?

Atšķirībā no lineārās izaugsmes, ko rada vairākkārtēja konstanta pievienošana, eksponenciālais pieaugums ir atkārtotas reizināšanas rezultāts. Ja lineārā izaugsme ir taisna līnija, kas laika gaitā ir stabila, tad eksponenciālā pieauguma līnija ir līdzīga pacelšanās līnijai. Jo lielāka ir vērtība, jo ātrāk tā aug tālāk.

Iedomājieties, ka jūs ejat pa ceļu, un katrs jūsu solis ir metru garš. Jūs sperat sešus soļus un tagad esat pavirzījies sešus metrus. Pēc vēl 24 soļiem būsiet 30 metri no sākuma. Tā ir lineāra izaugsme.

Tagad iedomājieties (lai gan jūsu ķermenis to nevar izdarīt), iedomājieties, ka katru reizi jūsu soļa garums dubultojas. Tas ir, vispirms jūs soli vienu metru, tad divus, tad četrus, tad astoņus un tā tālāk. Sešos šādos soļos jūs veiksiet 32 ​​metrus – tas ir daudz vairāk nekā sešos viena metra soļos. Grūti noticēt, bet, ja turpināsi tādā pašā tempā, tad pēc trīsdesmitā soļa atradīsies miljarda metru attālumā no sākuma punkta. Tie ir 26 ceļojumi apkārt Zemei. Un tā ir eksponenciāla izaugsme.

Interesanti, ka katrs jauns solis ar šādu izaugsmi ir visu iepriekšējo summu summa. Tas ir, pēc 29 soļiem jūs esat nobraucis 500 miljonus metru, un jūs veicat tikpat daudz vienā nākamajā, trīsdesmitajā solī. Tas nozīmē, ka jebkurš no jūsu iepriekšējiem soļiem ir nesalīdzināmi mazs attiecībā pret dažiem nākamajiem sprādzienbīstamas izaugsmes soļiem, un lielākā daļa no tā notiek salīdzinoši īsā laika periodā. Ja jūs domājat par šo izaugsmi kā virzību no punkta A uz punktu B, vislielākais progress kustībā tiks sasniegts pēdējā posmā.

Mēs bieži palaižam garām eksponenciālās tendences agrīnā stadijā, jo sākotnējais eksponenciālās izaugsmes temps ir lēns un pakāpenisks, un to ir grūti atšķirt no lineārās izaugsmes. Turklāt nereti prognozes, kuru pamatā ir pieņēmums, ka kāda parādība attīstīsies eksponenciāli, var šķist neticamas, un mēs no tām atsakāmies.

“Kad 1990. gadā sākās cilvēka genoma skenēšana, kritiķi atzīmēja, ka, ņemot vērā procesa sākuma ātrumu, genoma skenēšana prasīs tūkstošiem gadu. Taču projekts tika pabeigts jau 2003. gadā,”- Raimonds Kurcveils sniedz piemēru.

Pēdējā laikā tehnoloģiju attīstība ir bijusi eksponenciāla: ar katru desmitgadi, ar katru gadu mēs varam izdarīt nesalīdzināmi vairāk nekā iepriekš.

Vai eksponenciālā izaugsme kādreiz var beigties?

Praksē eksponenciālās tendences nav mūžīgas. Tomēr daži var turpināties ilgu laiku, ja apstākļi ir piemēroti sprādzienbīstamai attīstībai.

Parasti eksponenciālu tendenci veido virkne secīgu S formas tehnoloģisko dzīves ciklu vai S formas līkņu. Katra līkne izskatās kā burts "S", jo tajā ir redzami trīs izaugsmes posmi: sākotnējā lēnā izaugsme, sprādzienbīstama izaugsme un izlīdzināšanās, kad tehnoloģija nobriest. Šīs S-līknes krustojas, un, kad viena tehnoloģija palēninās, jauna sāk celties. Ar katru jaunu S formas izstrādi laiks, kas nepieciešams augstāka veiktspējas līmeņa sasniegšanai, kļūst īsāks.

Piemēram, apspriežot tehnoloģiju attīstību pagājušajā gadsimtā, Kurcveils uzskaita piecas skaitļošanas paradigmas: elektromehānisko, releju, vakuumlampas, diskrētos tranzistorus un integrālās shēmas. Kad viena tehnoloģija bija izsmēlusi savu potenciālu, nākamā sāka progresēt, un tas notika ātrāk nekā tās priekšgājēji.

Plānošana eksponenciālai nākotnei

Eksponenciālās attīstības apstākļos ir ļoti grūti paredzēt, kas mūs sagaida nākotnē. Grafika veidošana, pamatojoties uz ģeometrisko progresiju, ir viena lieta, bet aplēst, kā dzīve mainīsies pēc desmit līdz divdesmit gadiem, ir pavisam kas cits. Taču jāievēro vienkāršs noteikums: gaidiet, ka dzīve jūs ļoti pārsteigs, un plānojiet tos pārsteigumus, kurus jūs sagaidāt. Citiem vārdiem sakot, jūs varat pieņemt visneticamākos rezultātus un sagatavoties tiem tā, it kā tie noteikti būtu notikuši.

"Nākotne būs daudz pārsteidzošāka, nekā vairums cilvēku var iedomāties. Tikai daži ir patiesi sapratuši faktu, ka pats pārmaiņu temps paātrinās."- raksta Raimonds Kurcveils.

Kāda izskatīsies mūsu dzīve nākamajos piecos gados? Viens veids, kā prognozēt, ir aplūkot pēdējos piecus gadus un pārnest šo pieredzi nākamajos piecos, taču tā ir “lineāra” domāšana, kas, kā mēs esam atklājuši, ne vienmēr darbojas. Izmaiņu tempi mainās, tāpēc pēdējos piecos gados panāktais progress turpmāk prasīs ilgāku laiku. Visticamāk, ka izmaiņas, kuras jūs sagaidāt pēc pieciem gadiem, patiešām notiks trīs vai divu gadu laikā. Nedaudz praktizējot, mēs kļūsim labāk spējīgi paredzēt dzīves turpmāko attīstību, iemācīsimies saskatīt eksponenciālas izaugsmes perspektīvas un spēsim labāk plānot savu nākotni.

Tas nav tikai interesants jēdziens. Mūsu domāšana, kas bieži ir vērsta uz lineāru attīstību, var mūs novest strupceļā. Lineārā domāšana liek dažiem uzņēmējiem un politiķiem pretoties pārmaiņām, viņi vienkārši nesaprot, ka attīstība notiek eksponenciāli, un uztraucas, ka kļūst arvien grūtāk kontrolēt nākotni. Bet tas ir tieši konkurences lauks. Lai neatpaliktu no šīm pārmaiņām, vienmēr ir jābūt soli priekšā un jādara nevis tas, kas aktuāls šobrīd, bet gan tas, kas būs aktuāls un pieprasīts nākotnē, ņemot vērā, ka attīstība notiek nevis lineāri, bet eksponenciāli.

Eksponenciālā domāšana samazina destruktīvo stresu, kas rodas no mūsu bailēm no nākotnes, un paver jaunas iespējas. Ja mēs varam labāk plānot savu nākotni un varam domāt eksponenciāli, mēs atvieglosim pāreju no vienas paradigmas uz otru un mierīgi skatīsimies uz nākotni.

Ja populācijas pieaugums ir proporcionāls indivīdu skaitam, populācijas lielums pieaugs eksponenciāli.

Izteiciens “eksponenciālā izaugsme” ir ienācis mūsu leksikā, lai apzīmētu strauju, parasti nekontrolējamu pieaugumu. To bieži izmanto, piemēram, lai raksturotu pilsētu straujo izaugsmi vai iedzīvotāju skaita pieaugumu. Tomēr matemātikā šim terminam ir precīza nozīme un tas apzīmē noteiktu izaugsmes veidu.

Eksponenciāls pieaugums notiek tajās populācijās, kurās iedzīvotāju skaita pieaugums (dzimušo skaits mīnus mirušo skaits) ir proporcionāls indivīdu skaitam populācijā. Cilvēku populācijai, piemēram, dzimstība ir aptuveni proporcionāla reproduktīvo pāru skaitam, un mirstība ir aptuveni proporcionāla cilvēku skaitam populācijā (mēs to apzīmējam N). Tad pēc saprātīgas aptuvenas

iedzīvotāju skaita pieaugums = dzimušo skaits - mirušo skaits

(Šeit r- tā sauktais proporcionalitātes koeficients, kas ļauj uzrakstīt proporcionalitātes izteiksmi vienādojuma veidā.)

Ļaujiet d N- populācijai pievienoto īpatņu skaits laikā d t, tad ja populācijā kopā N indivīdi, tad nosacījumi eksponenciālai izaugsmei būs izpildīti, ja

Tā kā Īzaks Ņūtons 17. gadsimtā izgudroja diferenciālrēķinu, mēs zinām, kā atrisināt šo vienādojumu N- iedzīvotāju skaits jebkurā laikā. (Atsaucei: šādu vienādojumu sauc par diferenciālu.) Šeit ir tā risinājums:

kur N 0 ir īpatņu skaits populācijā atpakaļskaitīšanas sākumā, t- laiks, kas pagājis kopš šī brīža. Simbols e apzīmē šādu īpašu numuru, to sauc naturālā logaritma bāze(un ir aptuveni vienāds ar 2,7), un tiek izsaukta visa vienādojuma labā puse eksponenciālā funkcija.

Lai labāk saprastu, kas ir eksponenciālā izaugsme, iedomājieties populāciju, kas sākotnēji sastāv no vienas baktērijas. Pēc noteikta laika (dažas stundas vai minūtes) baktērija sadalās divās daļās, tādējādi dubultojot populācijas lielumu. Pēc nākamā laika perioda katra no šīm divām baktērijām atkal sadalīsies divās daļās, un populācijas lielums atkal dubultosies - tagad būs četras baktērijas. Pēc desmit šādām dubultošanām būs vairāk nekā tūkstotis baktēriju, pēc divdesmit - vairāk nekā miljons utt. Ja ar katru iedalījumu iedzīvotāju skaits dubultosies, tā pieaugums turpināsies bezgalīgi.

Pastāv leģenda (visticamāk, tā nav patiesa), ka vīrietis, kurš izgudroja šahu, sagādājis savam sultānam tādu baudu, ka viņš apsolījis izpildīt jebkuru no viņa lūgumiem. Vīrietis palūdza sultānam uzlikt vienu kviešu graudu uz šaha galdiņa pirmā lauciņa, divus uz otrā, četrus uz trešā utt. Sultāns, uzskatot šo prasību par nenozīmīgu salīdzinājumā ar viņa sniegto pakalpojumu, lūdza pavalstniekam nākt klajā ar citu lūgumu, taču viņš atteicās. Dabiski, ka līdz 64. dubultošanai graudu skaits kļuva tāds, ka visā pasaulē kviešu nepietiks, lai apmierinātu šo pieprasījumu. Man zināmajā leģendas versijā sultāns tajā brīdī lika nogriezt izgudrotājam galvu. Morāle, kā es saku saviem studentiem, ir: dažreiz nevajadzētu būt pārāk gudram!

Šaha galda piemērs (kā arī iedomātās baktērijas) parāda, ka neviena populācija nevar pieaugt mūžīgi. Agri vai vēlu tam vienkārši beigsies resursi – telpa, enerģija, ūdens, vienalga. Tāpēc populācijas var pieaugt eksponenciāli tikai kādu laiku, un agrāk vai vēlāk to pieaugumam ir jāpalēninās. Lai to izdarītu, ir jāmaina vienādojums, lai tad, kad iedzīvotāju skaits tuvojas maksimālajam iespējamajam (ko var atbalstīt ārējā vide), pieauguma temps palēnināsies. Sauksim to par maksimālo iedzīvotāju skaitu K. Tad modificētais vienādojums izskatīsies šādi:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Kad N daudz mazāk K, biedrs N/K var neņemt vērā, un mēs atgriežamies pie sākotnējā parastās eksponenciālās pieauguma vienādojuma. Tomēr, kad N tuvojas maksimālajai vērtībai K, nozīme 1 — (N/K) sliecas uz nulli, un attiecīgi iedzīvotāju skaita pieaugumam ir tendence uz nulli. Kopējais iedzīvotāju skaits šajā gadījumā stabilizējas un paliek līmenī K. Līknei, ko apraksta šis vienādojums, kā arī pašam vienādojumam ir vairāki nosaukumi - S-līkne, loģistikas vienādojums, Voltera vienādojums, Lotkas-Voltera vienādojums. (Vito Volterra, 1860–1940 — izcils itāļu matemātiķis un skolotājs; Alfrēds Lotka, 1880–1949 — amerikāņu matemātiķis un apdrošināšanas analītiķis.) Lai kā to arī nosauktu, tā ir diezgan vienkārša populācijas lieluma izteiksme, kas strauji pieaug eksponenciāli un pēc tam palēninot, tuvojoties noteiktai robežai. Un tas atspoguļo reālo populāciju pieaugumu daudz labāk nekā parastā eksponenciālā funkcija.