Sargsjans Romāns

Pētniecisko darbu “Griešanas problēmas” pabeidza 8. klases skolēni

Skolēni tiek iepazīstināti un izzināti ar figūru griešanas paņēmieniem spēlēs “Pentamino”, “Tangrammas”, mīklās, teorēmu pierādīšanā.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: ​​https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

Priekšskatījums:

Pētnieciskais darbs par tēmu

"Problēmu samazināšana"

Izpilda: Romāns Sargsjans, Anastasija Šavrova,

8. klases skolēni

MBOU "Severomuyskaya vidusskola"

Vadītājs: matemātikas skolotāja Ogarkova I.I.

1. Ievads
2. Vēsturiska atsauce
3. Spēle "Pentamino"
4. Spēle "Tangram"
5. Problēma "Kūka"
6. Uzdevums Nr. 4 - “Izgriezt taisnstūri”
7. Uzdevums Nr. 5 - “Izgriezt divus kvadrātus”
8. Uzdevums Nr. 6 - “Izgriezt divus kvadrātus-2”
9. Problēma #7 — krusts
10. Uzdevums Nr.8 – Krusts -2
11. Uzdevums Nr.9 - Kvadrāts 8*8
12. Uzdevums Nr. 10 Paralelograma laukums
13. Uzdevums Nr. 11 Trapeces laukums
14. Uzdevums Nr. 12 Trijstūra laukums
15. Secinājums
16. Literatūra.

Ievads

“Problēmu risināšana ir līdzīga praktiska māksla

peldēt, slēpot vai spēlēt klavieres;

to var iemācīties tikai atdarinot labo

paraugi un pastāvīgi praktizē"

D. Poja

Aizraušanās ar matemātiku bieži sākas, domājot par problēmu, kas jums īpaši patīk. Bagāts šādu problēmu avots ir dažādas olimpiādes – skolas, pilsētas, tālmācības, starptautiskās. Gatavojoties olimpiādēm, apskatījām daudz un dažādus uzdevumus un noskaidrojām problēmu grupu, kuru risināšanas pieeja mums šķita interesanta un oriģināla. Tie ir griešanas uzdevumi. Mums radās jautājumi: kāda ir šādu problēmu īpatnība, vai ir īpašas metodes un paņēmieni griešanas problēmu risināšanai.

Atbilstība (2. slaids)

1. Matemātiķi atklāj jaunas sakarības starp matemātiskiem objektiem. Šī darba rezultātā tiek atrastas vispārīgas metodes dažādu problēmu risināšanai. Un šīs problēmas saņem standarta risināšanas metodes, pārejot no radošās kategorijas uz tehnisko kategoriju, tas ir, pieprasot to risināšanai izmantot jau zināmas metodes.
2. Griešanas uzdevumi palīdz skolēniem pēc iespējas agrāk veidot ģeometriskus jēdzienus, izmantojot dažādus materiālus. Risinot šādas problēmas, rodas skaistuma, likuma un kārtības sajūta dabā.

Pētījuma objekts: griešanas uzdevumi

Studiju priekšmets: dažādas griešanas problēmas, metodes un paņēmieni to risināšanai.

Pētījuma metodes: modelēšana, salīdzināšana, vispārināšana, analoģijas, literāro un interneta resursu izpēte, informācijas analīze un klasifikācija.

(3. slaids) Galvenāpētījuma mērķisir paplašināt zināšanas par griešanas uzdevumu dažādību.

Lai sasniegtu šo mērķi, mēs paredzam atrisināt sekojošo uzdevumi: (4. slaids)

1. izvēlieties nepieciešamo literatūru
2. iemācīties sagriezt ģeometriskās figūras daļās, kas nepieciešamas vienas vai otras ģeometriskas formas sastādīšanai, izmantojot to īpašības un īpašības;
3. iemācīties pierādīt, ka figūru laukumi ir vienādi, sagriežot tās atsevišķās daļās un pierādot, ka šīs figūras ir vienādi saliktas;
4. veikt ģeometriskos pētījumus un projektēšanu dažādu veidu problēmu risināšanā.
5. atlasīt materiālu pētniecībai, izvēlēties galveno, interesanto, saprotamo informāciju
6. analizēt un sistematizēt saņemto informāciju
7. atrast dažādas metodes un paņēmienus griešanas problēmu risināšanai
8. klasificē pētāmās problēmas
9. atrast veidus, kā pārveidot: trīsstūri par viendaļīgu paralelogramu; paralelograms vienādmalu trijstūrī; trapecveida vienādmalu trīsstūrī.
10. Izveidojiet sava darba elektronisku prezentāciju

Hipotēze: Iespējams, ka griešanas problēmu daudzveidība, to “izklaidējošais” raksturs un vispārīgu noteikumu un metožu trūkums to risināšanai rada grūtības skolēniem to izskatīšanā. Pieņemsim, ka, rūpīgāk izpētot griešanas uzdevumus, mēs pārliecināsimies par to aktualitāti, oriģinalitāti un lietderību.

Risinot griešanas uzdevumus, mums nav vajadzīgas zināšanas par planimetrijas pamatiem, bet mums būs nepieciešama atjautība, ģeometriskā iztēle un diezgan vienkārša ģeometriskā informācija, kas ir zināma ikvienam.

(5. slaids) Vēsturiskais fons

Griešanas problēmas kā puzles veids ir piesaistījušas uzmanību kopš seniem laikiem. Pirmo traktātu, kurā aplūkotas griešanas problēmas, uzrakstīja slavenais arābu astronoms un matemātiķis no Horasanas Abu al-Vefa (940.–998. g.). 20. gadsimta sākumā, pateicoties periodikas straujajai izaugsmei, uzmanību kā plašu sabiedrības slāņu izklaidēšanas līdzekli piesaistīja figūru sagriešanas noteiktās daļās un pēc tam komponēšanas jaunā figūrā problēmu risināšana. Tagad ģeometri šīs problēmas ir uztvēruši nopietni, jo īpaši tāpēc, ka to pamatā ir senā problēma par vienāda izmēra un vienādi saliktām figūrām, kas aizsākās senajos ģeometros. Pazīstami speciālisti šajā ģeometrijas nozarē bija slavenie izklaidējošās ģeometrijas klasiķi un mīklu veidotāji Henrijs E. Dudenijs un Harijs Lindgrēns.

Enciklopēdija dažādu griešanas uzdevumu risināšanai ir Harija Lindgrēna grāmata “Griešanas ģeometrija”. Šajā grāmatā jūs varat atrast ierakstus daudzstūru sagriešanai noteiktās formās

Apsverot risinājumus griešanas problēmām, jūs saprotat, ka nav universāla algoritma vai metodes. Dažreiz iesācējs ģeometrs savā risinājumā var ievērojami pārspēt pieredzējušāku cilvēku. Šī vienkāršība un pieejamība ir pamatā tādu spēļu popularitātei, kuru pamatā ir, piemēram, šādu problēmu risināšana- (6. slaids) pentominoTetris, tangrama "radinieki".

(7. slaids) Spēle “Pentamino” Spēles noteikumi

Spēles būtība ir dažādu objektu siluetu konstruēšana plaknē. Spēle sastāv no dažādu gabalu pievienošanas no noteiktā pentomino komplekta. Pentomino komplektā ir 12 figūriņas, no kurām katra ir veidota no pieciem vienādiem kvadrātiem, un kvadrāti atrodas viens otram blakus tikai aiz sāniem.

Spēle "Tangram" (8. slaids)

Spēlē "tangram" no septiņiem pamatelementiem var izveidot ievērojamu skaitu figūru.Visām saliktajām figūrām jābūt ar vienādu laukumu, jo samontēti no identiskiem elementiem. No tā izriet, ka:

1. Katrā saliktajā figūrā noteikti jāietver visi septiņi elementi.
2. Veidojot figūru, elementi nedrīkst pārklāties viens ar otru, t.i. atrodas tikai vienā plaknē.
3. Figūru elementiem jāatrodas blakus viens otram.

Uzdevumi

Tangrama spēlē ir 3 galvenās uzdevumu kategorijas:

1. Viena vai vairāku veidu atrašana noteiktas figūras konstruēšanai vai elegants pierādījums figūras konstruēšanas neiespējamībai.
2. Meklējot veidu, kā ar vislielāko izteiksmīgumu vai humoru (vai abus kopā) attēlot dzīvnieku, cilvēku un citu atpazīstamu priekšmetu siluetus.
3. Dažādu kombinatoriskās ģeometrijas problēmu risināšana, kas rodas saistībā ar figūru kompozīciju no 7 tanām.

3. uzdevums (9. slaids)

Kūka , dekorēts ar rozēm, tika sadalīts gabalos ar trim taisniem griezumiem, lai katrā gabalā būtu tieši viena roze. Kāds ir lielākais rožu skaits, kas varētu būt uz kūkas?

Komentārs. Problēmas risinājums ir balstīts uz aksiomas pielietojumu:"Taisna līnija sadala plakni divās pusplaknēs."Jāattēlo visi iespējamie trīs taisnu līniju izvietojuma gadījumi. No attēla kļūst skaidrs, ka vislielākais detaļu skaits - 7 - tiek iegūts, kad līnijas krustojas pa pāriem. Tāpēc uz kūkas varēja būt ne vairāk kā 7 rozes.

4. uzdevums (10. slaids)

Izgrieziet taisnstūri, ax2a tādās daļās, ka no tām varēja izveidot vienādu izmēru tai:

1) taisnleņķa trīsstūris;

2) kvadrāts.

Problēmas risinājums ir skaidrs 2. un 3. attēlā.

5. uzdevums (11. slaids)

Izgrieziet divus kvadrātus1x1 un 3x3 tādās daļās, lai no tām varētu izveidot vienāda izmēra kvadrātu.

Komentārs. Šis uzdevums ir pārveidot figūru, kas sastāv no diviem kvadrātiem, vienāda izmēra kvadrātā. Jaunā laukuma platība ir 3 2 +1 2 , kas nozīmē, ka kvadrāta mala, kas ir vienāda ar šo kvadrātu summu, ir vienāda, t.i., ir taisnstūra hipotenūza ar kājiņām 3 un 1. Šāda kvadrāta konstrukcija ir skaidra no 4. attēla

6. uzdevums (12. slaids)

Izgrieziet divus nejaušus kvadrātustādās daļās, lai no tām varētu izveidot vienāda izmēra kvadrātu.

Problēmas risinājums ir skaidrs 5. attēlā. Jaunā kvadrāta laukums ir a 2 + b 2 , kas nozīmē, ka kvadrāta mala, kas vienāda ar šo kvadrātu summu, ir vienāda ar

i., tā ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza ar kājiņām a un b.

7. uzdevums (13. slaids)

Krusts sastāv no pieciem kvadrātiem: viens kvadrāts atrodas centrā un pārējie četri blakus tā malām. Sagrieziet to gabalos, lai no tiem varētu izveidot vienāda izmēra kvadrātu.

Problēmas risinājums ir skaidrs 6. attēlā.

8. uzdevums (14. slaids)

Krusts sastāv no pieciem kvadrātiem: viens kvadrāts atrodas centrā un pārējie četri blakus tā malām. Kā nosegt lūka virsmu ar sešiem šādiem krustiem, kuru katra seja ir vienāda izmēra ar krustu.

Komentārs. Krusts ir uzlikts uz malas (7. att.), nav nepieciešams apgriezt un pārlīmēt “izvirzītās ausis” - tās pārvietojas uz blakus malu un nonāk pareizajās vietās. Aptinot “izvirzītās ausis” uz blakus esošajām virsmām, jūs varat pārklāt kuba virsmu ar sešiem krustiem (8. att.).

9. uzdevums (15. slaids)

Kvadrāts 8x8 sagriež četrās daļās, kā parādīts 9. attēlā. No iegūtajām daļām izveido 13x5 taisnstūri. Taisnstūra laukums ir 65, bet kvadrāta laukums ir 64. Paskaidrojiet, kur ir kļūda.

Skolotāja ievadvārdi:

Nedaudz vēsturiskā fona: daudzi zinātnieki ir interesējušies par problēmu risināšanu kopš seniem laikiem. Daudzu vienkāršu griešanas problēmu risinājumus atrada senie grieķi un ķīnieši, bet pirmo sistemātisko traktātu par šo tēmu uzrakstīja Abul-Vef. 20. gadsimta sākumā ģeometri sāka nopietni risināt problēmas, kas saistītas ar figūru sagriešanu mazākās daļās un pēc tam citas figūras konstruēšanu. Viens no šīs sadaļas dibinātājiem bija slavenais mīklu dibinātājs Henrijs E. Dudenijs.

Mūsdienās mīklu mīļotāji aizraujas ar griešanas problēmu risināšanu, jo nav universālas metodes šādu problēmu risināšanai, un ikviens, kurš uzņemas tās risināt, var pilnībā demonstrēt savu atjautību, intuīciju un radošās domāšanas spēju. (Nodarbības laikā norādīsim tikai vienu no iespējamiem griešanas piemēriem. Var pieņemt, ka skolēni var nonākt pie kādas citas pareizas kombinācijas - no tā nav jābaidās).

Šī nodarbība ir paredzēta praktiskas nodarbības veidā. Sadaliet apļa dalībniekus grupās pa 2-3 cilvēkiem. Katrai grupai sniedziet skolotāja iepriekš sagatavotas figūras. Skolēniem ir lineāls (ar dalījumiem), zīmulis un šķēres. Ar šķērēm ir atļauts veikt tikai taisnus griezumus. Sagriežot figūru gabalos, no tām pašām daļām jāizgatavo vēl viena figūra.

Griešanas uzdevumi:

1). Mēģiniet sagriezt attēlā redzamo figūru 3 vienādas formas daļās:

Padoms: mazās formas izskatās pēc burta T.

2). Tagad sagrieziet šo figūru 4 vienādas formas daļās:

Padoms: Ir viegli uzminēt, ka mazas figūriņas sastāvēs no 3 šūnām, taču nav daudz figūru ar trim šūnām. Ir tikai divi veidi: stūris un taisnstūris.

3). Sadaliet figūru divās vienādās daļās un izmantojiet iegūtās daļas, lai izveidotu šaha dēli.

Padoms: Iesakiet sākt uzdevumu no otrās daļas, it kā iegūstot šaha galdiņu. Atcerieties, kāda forma ir šaha galdiņam (kvadrāts). Saskaitiet pieejamo šūnu skaitu garumā un platumā. (Atcerieties, ka jābūt 8 šūnām).

4). Mēģiniet sagriezt sieru astoņos vienādos gabalos ar trim naža kustībām.

Padoms: mēģiniet sagriezt sieru gareniski.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

1). Izgrieziet papīra kvadrātu un rīkojieties šādi:

· sagriež 4 daļās, no kurām var izveidot divus vienādus mazākus kvadrātus.

· sagriež piecās daļās - četros vienādsānu trīsstūros un vienā kvadrātā - un salokiet tās tā, lai iegūtu trīs kvadrātus.

, Konkurss "Prezentācija nodarbībai"

Prezentācija nodarbībai

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Pieredze rāda, ka, izmantojot praktiskās mācību metodes, skolēnos ir iespējams izveidot vairākas garīgās tehnikas, kas nepieciešamas, lai pareizi identificētu būtiskas un nebūtiskas pazīmes, iepazīstoties ar ģeometriskām figūrām. attīstās matemātiskā intuīcija, loģiskā un abstraktā domāšana, veidojas matemātiskās runas kultūra, attīstās matemātiskās un projektēšanas spējas, pastiprinās izziņas darbība, veidojas izziņas interese, attīstās intelektuālais un radošais potenciāls.Rakstā sniegti vairāki praktiski uzdevumi ģeometriskā griešanai. formas gabalos, lai saliktu šīs daļas, radītu jaunu figūru. Studenti veic uzdevumus grupās. Pēc tam katra grupa aizstāv savu projektu.

Divas figūras tiek sauktas par vienādi saliktām, ja, vienu no tām noteiktā veidā sagriežot ierobežotā skaitā detaļu, ir iespējams (šīs daļas dažādi kārtojot) no tām izveidot otru figūru. Tātad sadalīšanas metode ir balstīta uz faktu, ka jebkuri divi vienādi veidoti daudzstūri ir vienāda izmēra. Ir dabiski uzdot pretēju jautājumu: vai kādi divi daudzstūri ar vienādu laukumu ir vienādi? Atbildi uz šo jautājumu sniedza (gandrīz vienlaikus) ungāru matemātiķis Farkass Boljajs (1832) un vācu virsnieks un matemātikas entuziasts Gervins (1833): divi daudzstūri ar vienādiem laukumiem ir vienādi proporcionāli.

Bolyai-Gerwin teorēma nosaka, ka jebkuru daudzstūri var sagriezt gabalos, lai gabali varētu izveidot kvadrātu.

1. vingrinājums.

Izgrieziet taisnstūri a X 2a gabalos, lai no tiem varētu izveidot kvadrātu.

Mēs sagriežam taisnstūri ABCD trīs daļās pa līnijām MD un MC (M ir AB vidusdaļa)

1. attēls

Pārvietojam trīsstūri AMD tā, lai virsotne M sakristu ar virsotni C, kājiņa AM virzās uz segmentu DC. Mēs pārvietojam trīsstūri MVS pa kreisi un uz leju, lai kāja MV pārklātu pusi no segmenta DC. (1. attēls)

2. uzdevums.

Izgrieziet vienādmalu trīsstūri gabalos, lai tos varētu salocīt kvadrātā.

Apzīmēsim šo regulāro trīsstūri ABC. Trijstūri ABC nepieciešams sagriezt daudzstūros, lai tos varētu salocīt kvadrātā. Tad šiem daudzstūriem jābūt vismaz vienam taisnleņķim.

Lai K ir CB viduspunkts, T ir AB viduspunkts, izvēlieties punktus M un E malā AC tā, lai ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

2. attēls

Uzzīmēsim nogriezni MK un tai perpendikulāri nogriežņus EP un TN. Sagriezīsim trīsstūri gabalos pa konstruētajām līnijām. Mēs pagriežam četrstūri KRES pulksteņrādītāja virzienā attiecībā pret virsotni K tā, lai SC sakristu ar segmentu KV. Pagriezīsim četrstūri AMNT pulksteņrādītāja virzienā attiecībā pret virsotni T tā, lai AT izlīdzinātu ar TV. Pārvietosim trīsstūri MEP tā, lai rezultāts būtu kvadrāts. (2. attēls)

3. uzdevums.

Sagrieziet kvadrātu gabalos, lai no tiem varētu salocīt divus kvadrātus.

Apzīmēsim sākotnējo kvadrātu ABCD. Atzīmēsim kvadrāta malu viduspunktus - punktus M, N, K, H. Zīmēsim nogriežņus MT, HE, KF un NP - attiecīgi nogriežņu MC, HB, KA un ND daļas.

Izgriežot kvadrātu ABCD pa novilktajām līnijām, iegūstam kvadrātu PTEF un četrus četrstūrus MDHT, HCKE, KBNF un NAMP.

3. attēls

PTEF ir gatavs kvadrāts. No atlikušajiem četrstūriem mēs veidosim otro kvadrātu. Virsotnes A, B, C un D ir savietojamas vienā punktā, segmenti AM un BC, MD un KS, BN un CH, DH un AN ir savietojami. Punkti P, T, E un F kļūs par jaunā kvadrāta virsotnēm. (3. attēls)

4. uzdevums.

No bieza papīra izgriež vienādmalu trīsstūri un kvadrātu. Izgrieziet šīs figūras daudzstūros, lai tās varētu salocīt vienā kvadrātā, un daļām tas pilnībā jāaizpilda un nedrīkst krustoties.

Sagrieziet trīsstūri gabalos un izveidojiet no tiem kvadrātu, kā parādīts 2. uzdevumā. Trijstūra malas garums – 2a. Tagad jums vajadzētu sadalīt kvadrātu daudzstūros, lai no šīm daļām un kvadrāta, kas iznāca no trīsstūra, izveidotu jaunu kvadrātu. Paņemiet kvadrātu ar 2. malu A, apzīmēsim to kā LRSD. Nozīmēsim savstarpēji perpendikulārus posmus UG un VF tā, lai DU=SF=RG=LV. Izgriezīsim kvadrātu četrstūros.

4. attēls

Ņemsim kvadrātu, kas sastāv no trijstūra daļām. Izkārtosim četrstūrus - kvadrāta daļas, kā parādīts 4. attēlā.

5. uzdevums.

Krusts sastāv no pieciem kvadrātiem: viens kvadrāts atrodas centrā un pārējie četri blakus tā malām. Sagrieziet to gabalos, lai no tiem varētu izveidot kvadrātu.

Savienosim kvadrātu virsotnes, kā parādīts 5. attēlā. Nogriežam “ārējos” trīsstūrus un pārvietojam tos uz brīvajām vietām ABC kvadrāta iekšpusē.

5. attēls

6. uzdevums.

Pārzīmējiet divus patvaļīgus kvadrātus vienā.

6. attēlā parādīts, kā izgriezt un pārvietot kvadrātveida gabalus.

Izvēles nodarbību cikls par tēmu “Griešanas problēmu risināšana”

Paskaidrojuma piezīme

Pamata mērķi ko mēs ievietojam izvēles nodarbībās, ir šādas:

Prezentēt materiālu par daudzstūru griešanas veidiem;

Veicināt skolēnos prasmju veidošanos, lai garīgi veiktu tādas pārvērtības kā:

• paralēla pārsūtīšana,

  pagriezties,

  centrālā simetrija un dažādas šo pārvērtību kompozīcijas.

UN visu nodarbību galvenais mērķis: panākt pozitīvas izmaiņas telpiskās domāšanas spējās.

Izvēles nodarbībās piedāvātie uzdevumi ir radoši pēc būtības, to risināšanai studentiem nepieciešams: prasmes:

spēja veikt garīgās transformācijas, kas maina skolēnu prātā esošo attēlu atrašanās vietu, struktūru, struktūru;

spēja mainīt attēlu gan atrašanās vietā, gan struktūrā vienlaicīgi un atkārtoti veikt atsevišķu darbību kompozīcijas.

Tematiskais plānojums:

1. Anketa Nr.1 ​​– 1 stunda.

2. Griešanas problēmas. R tipa griešana – 1 stunda.

3. P tipa griešana – 1 stunda.

4. Q tipa griešana – 1 stunda.

5. S tipa griešana – 1 stunda.

6. T veida griešana – 1 stunda.

7. Anketa Nr.2 – 1 stunda.

Veidojot izvēles nodarbību ciklu, izmantoti žurnālu “Kvant”, “Matemātika skolā” uzdevumi un G.Lindgrēna grāmata.

Vadlīnijas: Iepazīstinot skolēnus ar problēmām, iesakām šīs problēmas izskatīt precīzi atbilstoši G. Lindgrēnas piedāvātajiem griešanas veidiem, kas ļauj, no vienas puses, šīs problēmas klasificēt, no otras puses, klasē risināt problēmas, kas saistītas ar telpisku. dažādu sarežģītības līmeņu transformācijas (otrais un trešais tips, kas darbojas ar attēliem, saskaņā ar I. S. Jakimanskaju). Darbā ar 7.-9.klašu skolēniem iesakām izmantot izvēles nodarbību uzdevumus.

Nodarbība Nr.1

Tēma: Problēmu griešana. R tipa griešana (racionāla griešana).

Mērķis: Iepazīstināt studentus ar griešanas problēmas jēdzienu, izskaidrot griešanas veida R būtību, analizējot problēmu risinājumu šāda veida griešanai, problēmu risināšanas procesā, veicināt prasmju veidošanos garīgi veikt operācijas (griešana, pievienošana, pārgriešana, virpošana, paralēla pārvietošana), tādējādi veicinot telpiskās domāšanas attīstību.

Aprīkojums: papīrs, krāsainas pastas, šķēres, plakāts.

Metode: skaidrojoši - ilustratīvi.

Skolotājs: plakāts uz tāfeles:

Shēma: Problēmu samazināšana

Griešanas problēmas

1) Izgrieziet figūru vairākās figūrās

3) Pārveidojiet vienu vai vairākas formas citā formā

2) No dotajām figūrām saloki figūriņu

Starp visām griešanas problēmām lielākā daļa ir racionālas griešanas problēmas. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādus griezumus ir viegli izdomāt un uz tiem balstītās mīklas nav pārāk vienkāršas un nav pārāk sarežģītas.

Problēmas R - griešanai

1) Izgrieziet figūru vairākās (galvenokārt vienādās) figūrās

3) Pārveidojiet vienu vai vairākas formas noteiktā formā

2) Pievienojiet figūru no dotajām (galvenokārt vienādām) figūrām

3.1. Izmantojot pakāpienu griešanu

3.2. Neizmantojot pakāpienu griešanu

Iepazīsimies ar uzdevumu risinājumu katram griešanas veidam R.

II posms: problēmu risināšanas posms

Metodes: daļēja meklēšana

Uzdevums Nr.1(AII) : Izgrieziet kvadrātu ar četru kvadrātu malu divās vienādās daļās. Atrodiet pēc iespējas vairāk griešanas veidu.

Piezīme: Jūs varat griezt tikai gar šūnu malām.

Risinājums:

Šādus griezumus skolēni meklē savās kladēs, tad skolotājs apkopo visas skolēnu atrastās griešanas metodes.

Problēma Nr.2(AII) : Sagrieziet šīs formas divās vienādās daļās.

Piezīme: Jūs varat griezt ne tikai gar šūnu malām, bet arī pa diagonāli.

Šādus griezumus skolēni ar skolotāja palīdzību meklē savās kladēs.

Laukumam ir daudz brīnišķīgu īpašumu. Taisni leņķi, vienādas malas, simetrija piešķir tai vienkāršību un formas pilnību. Uz salokāmiem kvadrātiem no vienādas un dažādas formas daļām ir daudz mīklu.

UZ piemērs uzdevums Nr.3(BII) : Jums tiek dotas četras identiskas daļas. Garīgi izveidojiet no tiem kvadrātu, katru reizi izmantojot visas četras daļas. Veiciet visus testus uz papīra. Prezentējiet sava risinājuma rezultātus ar roku zīmēta zīmējuma veidā.

Risinājums:

Daļās sagriezts šaha galdiņš, kas pareizi jāsaloka, ir viena no populārākajām un zināmajām mīklām. Montāžas sarežģītība ir atkarīga no tā, cik daļās plāksne ir sadalīta.

Es piedāvāju šādu uzdevumu:

Problēma Nr.4(BII) : Saliec šaha galdiņu no attēlā redzamajām daļām.

Risinājums:

Problēma #5(VII) : Sagrieziet “Laivu” divās daļās, lai tās varētu salocīt kvadrātā.

Risinājums:

1) sagriež divās daļās kā attēlā

apgrieziet vienu no daļām (t.i., pagrieziet)

Problēma Nr.6(VII): Jebkuru no trim figūrām var sagriezt divās daļās, no kurām viegli salocīt kvadrātu. Atrodiet šādus griezumus.

A) b)

V)

Risinājums:

1. daļas paralēla pārnešana attiecībā pret 2. daļu

1. daļas rotācija attiecībā pret 2. daļu

) b) V)

Problēma Nr.7(VII): Taisnstūris ar malām 4 un 9 vienības ir sagriezts divās vienādās daļās, kuras, pareizi salokot, varētu iegūt kā kvadrātu.

griezums tiek veikts pakāpienu veidā, kuru augstums un platums ir vienādi;

figūra tiek sadalīta daļās un viena daļa tiek pārvietota par vienu (vai vairākiem) pakāpieniem uz augšu, novietojot to uz citas daļas.

Risinājums:

1. daļas paralēla pārnešana

Problēma Nr.9(VII): Sagriežot attēlā redzamo figūru divās daļās, salokiet tās kvadrātā tā, lai krāsainie kvadrāti būtu simetriski attiecībā pret visām kvadrāta simetrijas asīm.

Risinājums:

1. daļas paralēla pārnešana

Problēma Nr.9(ВIII): Kā jāizgriež divi kvadrāti 3 x 3 un 4 x 4, lai iegūtās daļas varētu salocīt vienā kvadrātā? Izdomājiet vairākus veidus. Centieties iztikt ar pēc iespējas mazāk detaļu.

Risinājums:

paralēla detaļu pārvietošana

Veids:

Veids:

paralēlā tulkošana un rotācija

veids:

4 ceļi:

paralēla detaļu pārvietošana un rotācija

Skolēni ar skolotāja palīdzību meklē griezumus.

Problēma Nr.10(AIII): attēlā redzamā figūra jāsadala 6 vienādās daļās, veicot griezumus tikai pa režģa līnijām. Cik daudzos veidos jūs varat to izdarīt?

Risinājums: Divi iespējamie risinājumi.

Problēma Nr.11(BII): no dotajām figūrām izveido šaha dēli.

Risinājums:

Problēma Nr.12(BIII): pārveidojiet 3 x 5 taisnstūri par 5 x 3 taisnstūri, nepagriežot atbilstošās daļas.

Piezīme: izmantojiet pakāpienu griešanu.

Risinājums:(paralēlā pārsūtīšana)

Problēma Nr.13(BIII): sagrieziet formu 2 daļās ar vienu griezumu, lai izveidotu 8 x 8 kvadrātu.

Risinājums:

2. daļas rotācija attiecībā pret 1. daļu

Vadlīnijas: R tipa griešanas problēmas ir dažas no vienkāršākajām un interesantākajām. Daudzas šāda veida griešanas problēmas ietver vairākas risināšanas metodes, un studentu patstāvīgais šo problēmu risinājums var palīdzēt noteikt visas risināšanas metodes. 1., 2., 3., 6., 7., 8., 10., 12., 13. uzdevumā skolēni iesaistās darbā ar figūru tēlu, veicot garīgās transformācijas (“griešana”, pievienošana, rotācija, paralēla pārnešana). 4., 5., 9., 11. uzdevums ietver studentu darbu ar modeļiem (no papīra), tieši griežot figūru ar šķērēm un veicot matemātiskas transformācijas (rotācija, paralēlā tulkošana), lai rastu problēmu risinājumus. 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 11., 13. uzdevumi - otrajam darbības veidam ar attēliem, 9., 10., 12. uzdevumi - trešajam darbības veidam ar attēliem.

Nodarbība Nr.2

Tēma: griešanas veids P (P paralelograma nobīde).

Mērķis: Izskaidrojiet P tipa griešanas būtību, analizējot šāda veida griešanas problēmu risināšanu, vienlaikus veicinot prasmju veidošanos garīgi veikt darbības (griešana, pievienošana, pārgriešana, paralēla pārvietošana), tādējādi veicinot telpiskās domāšanas attīstība.

Aprīkojums:

I posms: Orientēta stadija

Metode: problemātiska prezentācija.

Skolotājs izvirza problēmu (risiniet uzdevumu Nr. 1) un parāda tās risinājumu.

Uzdevums Nr.1(BIII): pārveidojiet paralelogramu ar malām 3 un 5 cm par jaunu paralelogramu ar tādiem pašiem leņķiem kā sākotnējam paralelogramam, kura viena no malām ir 4 cm.

Risinājums: 1)

4)

ABC D – paralelograms

AB = 3, A D=5

veikt griezumu AO VO = D K = 4;

pārvietot 1. daļu uz augšu (paralēlā translācija) pa labi pa griezuma līniju, līdz punkts O nokrīt uz malas DC turpinājumu;

veikt griezumu KA', lai KA' || DC ;

un Δ AA'K ievietojam padziļinājumā, kas atrodas zem punkta O (Δ AA'K paralēla pārnešana pa taisnu līniju AO).

KVO D ir vēlamais paralelograms (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  SLIKTI =  1 +  4,

1 =  2 un  4 =  3 – guļus šķērsām uz paralēlām līnijām.

Tāpēc  BAD =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  BAD =  BKD utt.

U

Problēmas ar P maiņu

Pārveidojiet vienu vai vairākas formas citā formā

lasītājs:

P veida griešanas būtība:

mēs izgatavojam šī attēla sadaļu, kas atbilst uzdevuma prasībām;

veicam grieztās daļas paralēlu pārvietošanu pa griezuma līniju, līdz grieztās daļas augšdaļa sakrīt ar oriģinālās figūras (paralelogrammas) otras puses turpinājumu;

veicam otru griezumu paralēli paralelograma malai, iegūstam vēl vienu daļu;

Mēs veicam tikko grieztās daļas paralēlu pārvietošanu pa pirmā griezuma līniju, līdz virsotnes sakrīt (detaļu ievietojam padziļinājumā).

II posms: problēmu risināšanas posms

Metodes: skaidrojoši - ilustratīvi

Problēma Nr.2(BII): pārveidojiet 5 x 5 kvadrātu par taisnstūri, kura platums ir 3.

Risinājums:

1) 2) – 3) 4)

sadaļa AO / VO = D T = 3

paralēla pārnese ΔABO pa taisnu līniju AO līdz punktam O  (DC)

griezt TA’ / TA’ || CD

Δ AA 'T ar paralēlu pārvietošanu pa taisni AO.

TBOD ir vēlamais taisnstūris (TB = 3).

Problēma Nr.3(VIII): salokiet trīs vienādus kvadrātus vienā lielā kvadrātā.

Piezīme: salokiet trīs kvadrātus taisnstūrī, pēc tam izmantojiet P nobīdi.

Risinājums:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problēma Nr.4(BIII): izgrieziet 5 x 1 taisnstūri kvadrātā

Piezīme: izdariet iegriezumu AB (A W =
), izmantojiet P nobīdi taisnstūrim XYWA.

Risinājums:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problēma Nr.5(ВIII): pārveidojiet krievu Н kvadrātā.

Piezīme: veiciet griezumu, kā parādīts attēlā, salokiet iegūtās daļas taisnstūrī.

Risinājums:

Problēma Nr.6(BIII): pārveidojiet trīsstūri par trapecveida formu.

Piezīme: veiciet griezumu, kā parādīts attēlā.

Risinājums:

pagriezt 1. daļu;

AB sadaļa;

ΔАВС paralēla pārnešana pa AB līdz punktam B  (FM)

griezt VAI / VAI || FM;

ΔAOR ar paralēlu transportu pa AB. Punkts P sakrīt ar punktu B;

OFBC ir vēlamā trapece.

Problēma Nr.7(ВIII): izveidojiet vienu kvadrātu no trim vienādiem grieķu krustiem.

Risinājums:

Problēma Nr.8(BIII): pārveidojiet burtu T kvadrātā.

Piezīme: Vispirms no burta t izgrieziet taisnstūri.

Risinājums: S t = 6 (2. vienība), Skv = (
) 2

pagrieziens

paralēlo defisu sastāvs

MV = KS =

Problēma Nr.9(ВIII): pārzīmējiet attēlā redzamo karogu kvadrātā.

Piezīme. Vispirms pārveidojiet karogu par taisnstūri

Risinājums:

pagrieziens

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

paralēla pārsūtīšana

Vadlīnijas: Iepazīstinot skolēnus ar P tipa griešanas problēmām, iesakām, risinot konkrētu uzdevumu, iepazīstināt ar šī griešanas veida būtību. Mēs iesakām problēmas vispirms risināt uz modeļiem (no papīra), tieši griežot figūras ar šķērēm un veicot paralēlu pārsūtīšanu, un pēc tam uzdevumu risināšanas procesā no figūru modeļiem pārejot uz darbu ar ģeometrisku formu attēliem, veicot garīgās transformācijas (griešana, paralēla pārvietošana).

Nodarbība Nr.3

Tēma: Griešanas veids Q (Q ir četrstūra nobīde).

Mērķis: Ieskicēsim Q griešanas veida būtību, risinot problēmas šāda veida griešanai, vienlaikus veicinot prasmju veidošanos garīgi veikt darbības (griešana, pievienošana, centrālā simetrija, rotācija, paralēla pārvietošana), tādējādi veicinot telpiskās domāšanas attīstība.

Aprīkojums: papīrs, krāsainas pastas, šķēres.

I posms: Orientēta stadija

Metode: problemātiska prezentācija.

Skolotājs izvirza skolēniem problēmu (atrisiniet uzdevumu Nr. 1) un parāda risinājumu.

Uzdevums Nr.1(BIII): pārveidojiet šo četrstūri par jaunu četrstūri.

Risinājums:

mēs veicam HP griezumu tā, lai VN = MN, PF = DF;

veikt griezumu ME / ME || Saule;

veikt griezumu RT / RT || AD ;

Δ 3 un Δ 1 tiek pagriezti pulksteņrādītāja virzienā attiecībā pret 2. daļu;

1. daļa ar paralēlu pārnesi pa taisni HF līdz punktam T  AR;

AMCP ir nepieciešamais četrstūris (ar malām CP un AM (var norādīt nosacījumā)).

Problēma Nr.2(BIII): pārveidojiet četrstūri par jaunu četrstūri (garu četrstūri).

Risinājums:

(pagriezt 1. daļu attiecībā pret punktu O, līdz OU sakrīt ar AO);

(pagriezt daļu (1 – 2) attiecībā pret punktu T, līdz VT sakrīt ar WT);

XAZW ir nepieciešamais četrstūris.

Problēmās, izmantojot Q griezumus, tiek veikti griezumi, un izgrieztie gabali tiek pakļauti rotācijas transformācijai.

Uzdevumi priekš Q griešana

pārveidot doto formu (četrstūri) citā formā (četrstūrī)

Daudzās problēmās tiek izmantoti Q nobīdes elementi, lai trijstūri pārveidotu par kādu četrstūri vai otrādi (trijstūris kā "četrstūris", kura vienai no malām ir nulle garums).

II posms: problēmu risināšanas posms

Problēma Nr.3(VII): no trijstūra tiek izgriezts neliels trīsstūris, kā parādīts attēlā. Pārkārtojiet mazo trīsstūri, lai izveidotu paralelogramu.

Pagrieziet 1. daļu attiecībā pret punktu P, līdz KR sakrīt ar MR.

AOO'M ir nepieciešamais paralelograms.

Problēma Nr.4(BII, BIII): Kuru no šiem trijstūriem var pārvērst par taisnstūriem, veicot vienu (divus) griezumus un pārkārtojot iegūtās daļas?

1) 2) 3) 4)

5)

Risinājums:

1)

5)

1), 5) viens griezums (griezums – trijstūra viduslīnija)

2)

3)

4)

2), 3), 4) divi griezumi (1. griezums – viduslīnija, 2. griezums – augstums no trijstūra virsotnes).

Problēma Nr.5(VII): izveidojiet trapecveida formu trīsstūrī.

Risinājums:

sadaļa KS (AK = KB)

rotācija ΔKVS ap punktu K tā, lai segmenti KV un KA būtu izlīdzināti.

Δ FCD vēlamo trīsstūri.

Problēma Nr.6(ВIII): Kā sadalīt trapeci formās, no kurām var izveidot taisnstūri?

Risinājums:

1) VAI sadaļa (AO = OB, OR┴AD)

2) griezt TF (CT = TD, TF ┴AD)

1. daļas rotācija attiecībā pret punktu O tā, lai AO un BO būtu izlīdzināti.

Pagrieziet 2. daļu attiecībā pret punktu T, lai DT un CT būtu saskaņoti.

PLMF – taisnstūris.

III posms: mājasdarbu iestatīšana.

Problēma Nr.7(VIII) : pārvērst jebkuru trīsstūri par taisnleņķa trīsstūri.

komentēt:

1) vispirms pārveidojiet patvaļīgu trīsstūri par taisnstūri.

2) taisnstūris taisnstūrī.

Risinājums:

pagrieziens

Problēma Nr.8(VII): pārveidojiet patvaļīgu paralelogramu par trīsstūri, veicot tikai vienu griezumu.

Risinājums:

pagrieziens

Pagriezt 2. daļu ap punktu O par 180º (simetrijas centrs)

Vadlīnijas: Mēs iesakām Q griešanas būtības kopsavilkumu

veikt konkrētu problēmu risināšanas procesā. Galvenās matemātiskās transformācijas, ko izmanto, risinot problēmas šāda veida griešanai, ir: rotācija (jo īpaši centrālā simetrija, paralēlā tulkošana). 1., 2., 7. uzdevums – praktiskām darbībām ar ģeometrisku formu modeļiem, 3., 4., 5., 6., 8. uzdevums ietver darbu ar ģeometrisku formu attēliem. 3., 4., 5., 8. uzdevums – otrajam darbības veidam ar attēliem, 1., 2., 4., 6., 7. uzdevums – trešajam darbības veidam ar attēliem.

Nodarbība Nr.4.

Tēma: S tipa griešana.

Mērķis: Izskaidrojiet S tipa griešanas būtību, risinot problēmas šim griešanas veidam, vienlaikus veicinot prasmju veidošanos garīgi veikt darbības (griešana, pievienošana, pārklāšanās, pagriešana, paralēla pārvietošana, centrālā simetrija), tādējādi veicinot telpiskās domāšanas attīstība.

Aprīkojums: papīrs, krāsainas pastas, šķēres, kodu pozitīvi.

es posms: Orientēta stadija.

Metode: skaidrojošs un ilustratīvs.

Uzdevums Nr.1(VII): kā sagriezt paralelogramu, kura malas ir 3,5 cm un 5 cm, paralelogramā ar malām 3,5 cm un 5,5 cm, izdarot tikai vienu “griezumu”?

Risinājums:

1) uzzīmējiet segmentu (nogrieztu) CO = 5,5 cm, sadaliet paralelogramu divās daļās.

2) paralelograma AK pretējai pusei pieliekam trijstūri COM. (t.i. paralēla ∆ COM pārnešana uz segmentu SA SA virzienā).

3) CAOO` ir vēlamais paralelograms (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Uzdevums Nr.1(ВIII): parādiet, kā kvadrātu var sagriezt 3 daļās, lai no tām izveidotu taisnstūri, kura viena mala ir divreiz lielāka par otru.

Risinājums:

Izveidojiet kvadrātu ABCD

zīmēsim diagonāli AC

Uzzīmēsim pusi no diagonālā BD segmenta OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. No iegūtajām 3 daļām izveidojiet taisnstūri (garums AC, platums AD

Priekš šī:

veikt paralēlu 1. un 2. daļas pārvietošanu. 1. daļa (∆1) virzienā D A, ∆2 virzienā AB uz segmentu AB.

AOO`C ir vēlamais taisnstūris (ar malām AC, OA = ½ AC).

Skolotājs: Esam apsvēruši 2 problēmu risinājumu, šo uzdevumu risināšanā izmantotais griešanas veids tēlaini tiek saukts par S-griešanu.

S - griešana būtībā ir viena paralelograma pārveidošana citā paralelogramā.

Šī griezuma būtība sekojošajā:

mēs veicam griezumu, kas vienāds ar vajadzīgā paralelograma malu;

veicam nogrieztās daļas paralēlu pārvietošanu, līdz sakrīt paralelograma vienādās pretējās malas (t.i., nogriezto daļu uzklājam uz paralelograma pretējo pusi)

Atkarībā no uzdevuma prasībām, griezumu skaits būs atkarīgs.

Apskatīsim šādus uzdevumus:

Uzdevums Nr.3(BII): sadaliet paralelogramu divās daļās, no kurām varat pievienot taisnstūri.

Uzzīmēsim patvaļīgu paralelogramu.

Risinājums:

no punkta B pazeminiet VN augstumu (VN┴AD)

Veiksim paralēlu ∆ AVN pārnešanu uz segmentu BC virzienā uz BC.

Uzzīmējiet iegūtā taisnstūra zīmējumu.

VNRS – taisnstūris.

Uzdevums Nr.4(BIII): paralelograma malas ir 3 un 4 cm. Pārvērtiet to paralelogramu ar 3,5 cm malām, veicot divus griezumus.

Risinājums:

1)

2)

Vēlamais paralelograms.

Kopumā S-griešana balstās uz sloksņu uzklāšanas metodi, kas ļauj atrisināt jebkuru daudzstūru pārveidošanas problēmu.

Iepriekšminētajās problēmās to viegluma dēļ mēs atteicāmies no svītru uzlikšanas metodes, lai gan visus šos risinājumus var iegūt, izmantojot šo metodi. Bet sarežģītākos uzdevumos nevar iztikt bez svītrām.

Īsumā svītru metode izpaužas šādi:

1) Izgrieziet (ja nepieciešams) katru daudzstūri (pārveidojamo daudzstūri un daudzstūri, kurā jāpārveido sākotnējais daudzstūris) daļās, no kurām var salocīt divas sloksnes.

2) Novietojiet sloksnes vienu virs otras piemērotā leņķī, vienas no tām malām vienmēr novietojot vienādi attiecībā pret otras sloksnes elementiem.

3) Šajā gadījumā visas līnijas, kas atrodas 2 sloksņu kopējā daļā, parādīs nepieciešamo griezumu vietas.

Vēstule S, ko lieto terminā "S-cut", nāk no angļu valodas Strip - strip.

II posms: problēmu risināšanas posms

Izmantojot 3. uzdevumu kā piemēru, pārbaudīsim, vai svītru uzlikšanas metode dod vēlamo risinājumu.

Problēma Nr.3(VII): sadaliet paralelogramu divās daļās, no kurām varat pievienot taisnstūri.

Risinājums:

1)

2)

3)

1) no paralelograma iegūstam sloksni

2) taisnstūru svītras

3) uzlieciet 2. sloksni uz 1. sloksnes, kā parādīts 3. attēlā

4) iegūstam nepieciešamo uzdevumu.

Problēma Nr.5(BIII): vienādsānu trīsstūrī ir atzīmēti sānu malu viduspunkti un to projekcijas uz pamatni. Caur atzīmētajiem punktiem tiek novilktas divas taisnas līnijas. Parādiet, ka iegūtos gabalus var izmantot, lai izveidotu rombu.

Risinājums:

2., 3. daļa – rotācija ap punktu

4. daļa - paralēla pārnešana

Šajā uzdevumā jau ir norādīta trīsstūru izgriešana; mēs varam pārbaudīt, vai tas ir S-izgriezums.

Problēma Nr.6(BIII): pārveidojiet trīs grieķu krustus kvadrātā (izmantojot svītras).

Risinājums:

1)

Uz krustiņu sloksnes uzliekam rūtiņu sloksni tā, lai punkts A un punkts C piederētu krustiņu joslas malām.

∆АВН = ∆СD B, tāpēc kvadrāts sastāv no ∆АВС un ∆АВМ.

III posms: mājasdarbu iestatīšana

Problēma Nr.7(BIII): pārveidojiet šo taisnstūri citā taisnstūrī, kura malas atšķiras no sākotnējā taisnstūra malām.

Piezīme. Apskatiet 4. problēmas risinājumu.

Risinājums:

sadaļa AO (AO – vajadzīgā taisnstūra platums);

griezt DP / DP  AO (DP – vajadzīgā taisnstūra garums);

paralēla ∆AVO pārnešana gaisa kuģa virzienā uz gaisa kuģa segmentu;

paralēla ∆АPD pārnešana uz segmentu AO AO virzienā;

Nepieciešams PFED taisnstūris.

Problēma Nr.8(BIII): regulāru trīsstūri sadala daļās ar segmentu; no šīm daļām izveidojiet kvadrātu.

Piezīme. Pārklājot sloksnes, varat pārbaudīt, vai šis ir S izgriezums.

2. daļas rotācija ap punktu O;

3. daļas rotācija ap punktu C;

4. daļas paralēla pārnešana

Papildu uzdevums Nr.9(BII): Izgrieziet paralelogramu pa taisnu līniju, kas iet caur tā centru, lai iegūtos divus gabalus varētu salocīt rombā.

Risinājums:

O  QT

QT griezums;

1. daļa, paralēli pārnesot uz BC segmentu virzienā BC (CD un AB ir apvienoti).

Vadlīnijas: S – griešana – viens no grūtākajiem griešanas veidiem. Mēs iesakām šīs griešanas būtību ieskicēt konkrētos uzdevumos. S - griešanas problēmu risināšanas nodarbībās mēs iesakām izmantot problēmas, kurās ir norādītas griešanas figūras, un no iegūtajām daļām ir jāpievieno vajadzīgā figūra, tas izskaidrojams ar studentu grūtībām patstāvīgi īstenot sloksņu uzlikšanas metodi, kas ir S būtība - griešana. Tajā pašā laikā skolēniem pieejamākos uzdevumos (piemēram, 3., 5., 8. uzdevumā) skolotājs var parādīt, kā strēmelīšu uzlikšanas metode ļauj iegūt uzdevuma nosacījumos dotos griezumus. 4., 5., 6., 8., 9. uzdevums – praktiskām darbībām ar ģeometrisko formu modeļiem, 1., 2., 3., 7. uzdevums – darbam ar ģeometrisku formu attēliem. 1., 3., 9. uzdevums – otrajam darbības veidam ar attēliem, 2., 4., 5., 6., 7., 8. uzdevums – trešajam darbības veidam ar attēliem.

Nodarbība Nr.5

Tēma: T veida griešana.

Mērķis: Izskaidrojiet S tipa griešanas būtību, analizējot šāda veida griešanas problēmu risināšanu, vienlaikus veicinot prasmju veidošanos garīgi veikt darbības (griešana, pievienošana, virpošana, paralēla pārvietošana), tādējādi veicinot griešanas veidu attīstību. telpiskā domāšana.

Aprīkojums: papīrs, krāsainas pastas, šķēres, krāsainas pastas, kodu pozitīvi.

I posms: Orientēta stadija

Metode: skaidrojošs un ilustratīvs

Skolotājs: Izmantojot T veida izgriezumu problēmu risināšanai, ir jāizveido mozaīka un turpmākais pārklājums. S-veida griešanai izmantotās sloksnes var iegūt no mozaīkām. Tāpēc flīzēšanas metode vispārina sloksnes metodi.

Apskatīsim T veida griešanas būtību, izmantojot problēmu risināšanas piemēru.

Uzdevums Nr.1(BIII): pārveidojiet grieķu krustu kvadrātā.

1) pirmais solis ir pārveidot sākotnējo daudzstūri par mozaīkas elementu (un tas ir nepieciešams);

2) no šiem elementiem veidojam mozaīku Nr.1 ​​(mozaīku veidojam no grieķu krustiem);

5) visas līnijas, kas atrodas abu mozaīku kopējā daļā, parādīs nepieciešamo griezumu vietas.

II posms: problēmu risināšanas posms

Metode: daļēji - meklēt

Problēma Nr.2(BIII): Grieķu krustu sagriež trīs daļās, salieciet šīs daļas taisnstūrī.

Piezīme: mēs varam pārbaudīt, vai šis griezums ir T veida griezums.

Risinājums:

1. daļas rotācija ap punktu O;

pagrieziet 2. daļu ap punktu A.

Problēma Nr.3(BIII): Izgrieziet izliekto četrstūri pa divām taisnēm, kas savieno pretējo malu viduspunktus. Parādiet, ka no iegūtajiem četriem gabaliem vienmēr ir iespējams pievienot paralelogramu.

2. daļas rotācija ap punktu O (vai simetrijas centru) par 180;

3. daļas rotācija ap punktu C (vai simetrijas centru) par 180;

1. daļa – paralēla pārnešana.

Parādīsim mozaīku, no kuras iegūts šis griezums.

Problēma Nr.4(BIII): trīs identiski trīsstūri tika izgriezti pa dažādām mediānām. Salieciet sešus iegūtos gabalus vienā trīsstūrī.

Risinājums:

1) no šiem trijstūriem veidojam trijstūrus kā 1. attēlā (centrālā simetrija);

2) veidojam vēl vienu trīsstūri no trim jauniem trijstūriem (vienādas malas sakrīt).

Parādīsim, kā šīs sadaļas tika veidotas, izmantojot mozaīkas.

Problēma Nr.5(BIII): Grieķu krusts tika sagriezts gabalos, un no šiem gabaliem tika izveidots taisnleņķa vienādsānu trīsstūris.

Risinājums:

1. daļa centrālā simetrija;

3. daļa centrālā simetrija;

3. un 4. daļa – pagrieziens.

Problēma Nr.6(BIII): izgrieziet šo figūru kvadrātā.

Risinājums:

1. daļas rotācija ap punktu O;

3. daļa pagrieziet 90 ap punktu A.

Problēma Nr.7(BIII): Grieķu krustu sagriež paralelogrammā (ir doti griezumi).

Risinājums:

2. daļa – paralēla pārnešana attiecībā pret 1. daļu;

3. daļa paralēla pārvietošana pa griezuma līniju.

III posms: mājasdarbu iestatīšana.

Problēma Nr.8(BIII): divi identiski papīra izliekti četrstūri ar griezumiem: pirmais pa vienu no diagonālēm un otrais pa otru diagonāli. Pierādīt, ka iegūtās daļas var izmantot paralelograma veidošanai.

Risinājums: pagriezienu sastāvs.

Problēma Nr.9(BIII): izveidojiet kvadrātu no diviem identiskiem grieķu krustiem.

Risinājums:

Vadlīnijas: T - griešana - vissarežģītākais griešanas veids, kas veido S tipa griezumus. Mēs iesakām problēmu risināšanas procesā izskaidrot T veida griešanas būtību. Sakarā ar mozaīkas metodes ieviešanas sarežģītību skolēniem, kas ir T veida griešanas būtība, klasē iesakām izmantot uzdevumus, kuros ir norādīta griešana un ir nepieciešams iegūt vēlamo figūru no iegūtajām figūras daļām, izmantojot matemātiskās transformācijas (rotācija, paralēlā tulkošana). Tajā pašā laikā skolēniem pieejamākos uzdevumos skolotājs var parādīt, kā iegūt griešanas datus, izmantojot mozaīkas metodi. 5. nodarbībā piedāvātie uzdevumi ir paredzēti trešajam darbības veidam ar attēliem un iesaista skolēnus darbā ar ģeometrisko figūru modeļiem, veicot rotāciju un paralēlo tulkošanu.

Jūsu priekšā ir papīra gabals ar attēlu: a) trīsstūris, b) piecstaru zvaigzne, c) daudzstūris peldoša gulbja formā. Katrā gadījumā izgudrot, kā salocīt papīru tā, lai pēc tam vienā nepārtrauktā taisnā griezumā ar šķērēm varētu izgriezt atbilstošo formu.

Padoms

Visos gadījumos risinājums gandrīz pilnībā sastāv no divu veidu soļiem: jums ir jāpievieno vai nu pa bisektrisei daži no leņķiem, kas saistīti ar figūru (lai “samazinātu” to segmentu skaitu, kas neatrodas vienā līnijā) , vai pa perpendikulāri vienam no segmentiem (lai “pielāgotu » tā garumu vēlamajam garumam).

Risinājums

Zemāk esošie attēli parāda, kā salocīt formas no problēmas formulējuma, lai pēc tam izgrieztu katru no tām ar vienu griezumu.

Ar trīsstūri viss ir vairāk vai mazāk skaidrs: saskaitām pa vienu bisektoru, tad pa otru (1. att.).

Arī ar zvaigzni ir diezgan viegli tikt galā. Vispirms jums tas ir jāpārloka uz pusēm pa simetrijas asi (pilnīgi dabiska darbība - jo jūs varat vienā rāvienā "uz pusi" sagriezt figūru). Pēc tam - apvienojiet abus zvaigznes starus savā starpā, pievienojot tās “ārējā” leņķa bisektrisei. Pēc tam no kontūras paliks tikai trīs segmenti, kurus ir viegli apvienot (2. att.).

Gulbis ir visgrūtākā lieta. Tas ir saprotams: figūra bez simetrijām, ar lielu skaitu malu; tāpēc būs nepieciešams liels skaits kroku. Salocīšanas diagramma ir parādīta attēlā. 3. Vienkāršas punktētas līnijas apzīmē lejupvērstas krokas, bet svītru līnijas — augšupvērstas krokas. Vispirms šīs krokas ir jāatzīmē atsevišķi, lai loksne ieņemtu mājas jumta formu, un tikai tad loksni salokiet līdzenā formā.

Fotogrāfiju sērija parāda visu locīšanas procesu:

Par to, no kurienes nāk tik ģeniāla kroku sistēma, lasiet pēcvārdā.

Pēcvārds

Visas nosacījumā piedāvātās iespējas ir tikai vispārīgā jautājuma īpaši gadījumi, kas izklausās šādi:

Ja uz plakanas papīra lapas ir dots daudzstūris, vai ir iespējams šo lapu salocīt tā, lai daudzstūri varētu izgriezt ar vienu taisnu griezumu?

Izrādās, ka neatkarīgi no daudzstūra formas atbilde uz šo jautājumu vienmēr ir pozitīva: jā, var. (Protams, mēs tagad apspriežam šo problēmu no matemātikas viedokļa un neskaram lietas “fizisko” pusi: nav iespējams salocīt papīra lapu pārāk daudz reižu. Tiek uzskatīts, ka tā ir pat ļoti plānu papīru nav iespējams salocīt vairāk nekā 7-8 reizes. Tas ir gandrīz tā: ar dažiem Ar piepūli jūs varat veikt 12 līkumus, bet maz ticams, ka jūs varēsit izdarīt vairāk.)

Turklāt, ja tiek uzzīmēti vairāki daudzstūri, tad loksni joprojām var salocīt, lai tos visus varētu izgriezt ar vienu griezumu (un nekas papildus netiks izgriezts). Lieta ir tāda, ka sekojošais ir patiess teorēma:

Ļaujiet uz papīra uzzīmēt patvaļīgu grafiku. Tad šo lapu var salocīt tā, lai šo grafiku varētu izgriezt ar vienu griezumu, un nekas lieks netiks izgriezts.

Šai teorēmai ir algoritmisks pierādījums. Tas ir, tā pierādījums sniedz skaidru recepti, kā izveidot nepieciešamo kroku sistēmu.

Īsumā būtība ir šāda. Vispirms mums ir jāveido taisns skelets. Šis ir līniju kopums - sākotnējā daudzstūra virsotņu trajektorijas -, pa kurām tās pārvietojas tā īpašās saspiešanas laikā. Saspiešana darbojas šādi: mēs virzām daudzstūra malas “uz iekšu” ar nemainīgu ātrumu, lai katra mala kustētos, nemainot virzienu. Kā jūs viegli varat redzēt, vispirms virsotnes rāpos pa daudzstūra stūru bisektriecēm. Tas ir, šī no pirmā acu uzmetiena dīvainā konstrukcija vienkārši vispārina mājienā piedāvāto ideju: jāmēģina pievienot gar daudzstūra stūru bisektriecēm. Ņemiet vērā, ka saspiešanas procesā daudzstūris var “sadalīties” gabalos, kā tas notika attēlā. 5.

Pēc skeleta iegūšanas no katras tā virsotnes ir jāvelk stari, kas ir perpendikulāri tām sākotnējās figūras malām, uz kurām tos var novilkt. Ja stars saskaras ar līniju no skeleta, tad pēc šķērsošanas tam jāturpina nevis taisni, bet gan pa spoguļattēlu attiecībā pret šo līniju. Salocīšanas sistēma sastāv no novilktām līnijām.

Vairāk informācijas par to un to, kā noteikt locīšanas virzienu (“uz augšu” vai “uz leju”), var atrast rakstā E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Īsu vēsturi un citu pieeju problēmas risināšanai var atrast Ērika Demena, viena no teorēmas pierādījuma autoriem, lapā. Par šo teorēmu var palasīt arī nedaudz populārāku stāstu (diemžēl arī angļu valodā). Un visbeidzot iesaku noskatīties multfilmu “Matemātiskās etīdes”, kurā skaidri redzams, kā salocīt trīsstūri un zvaigzni un pēc tam tos izgriezt ar vienu griezumu.

Visbeidzot, es atzīmēju, ka jau ilgu laiku ir izvirzīti jautājumi, kas ir līdzīgi iepriekš apspriestajiem. Piemēram, 1721. gada japāņu grāmatā kā viena no problēmām lasītājiem tika lūgts izgriezt figūru no trim apvienotiem rombiem, izmantojot vienu griezumu (6. att.). Vēlāk slavenais iluzionists Harijs Hudīni savā grāmatā izskaidroja zvaigznes izgriešanas metodi. Starp citu, saskaņā ar leģendu, tieši tāpēc, ka šādu zvaigzni var ātri izgriezt no papīra vai auduma, mēs tagad redzam piecstaru zvaigznes uz ASV karoga: šuvēja Betsija Rosa, kura, saskaņā ar leģendu, uzšuva pirmo karogu, spēja pārliecināt Džordžu Vašingtonu, ka tos karogam izmanto labāk nekā sešstūrainos, ko Vašingtona sākotnēji vēlējās izmantot.