Aritmētiskā un ģeometriskā progresija
Teorētiskā informācija
Teorētiskā informācija
Aritmētiskā progresija |
Ģeometriskā progresija |
|
Definīcija |
Aritmētiskā progresija a n ir secība, kurā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo dalībnieku, kas pievienots tam pašam skaitlim d (d- progresēšanas atšķirība) |
Ģeometriskā progresija b n ir skaitļu virkne, kas nav nulle q (q- progresijas saucējs) |
Atkārtošanās formula |
Jebkurai dabiskai n |
Jebkurai dabiskai n |
Formulas n-tais termiņš |
a n = a 1 + d (n-1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Raksturīga īpašība |  |
|
| Pirmo n vārdu summa |  |
 |
Uzdevumu piemēri ar komentāriem
1. vingrinājums
Aritmētiskajā progresijā ( a n) a 1 = -6, a 2
Saskaņā ar n-tā termina formulu:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Pēc nosacījuma:
a 1= -6, tad a 22= -6 + 21 d.
Jāatrod progresu atšķirība:
d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Atbilde: a 22 = -48.
2. uzdevums
Atrodiet ģeometriskās progresijas piekto daļu: -3; 6;...
1. metode (izmantojot n-term formulu)
Saskaņā ar ģeometriskās progresijas n-tā vārda formulu:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Jo b 1 = -3,
2. metode (izmantojot atkārtotu formulu)
Tā kā progresijas saucējs ir -2 (q = -2), tad:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Atbilde: b 5 = -48.
3. uzdevums
Aritmētiskajā progresijā ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Atrodiet šīs progresijas septiņdesmit piekto daļu.
Aritmētiskajai progresijai raksturīgajai īpašībai ir forma 
.
Tāpēc:
.
Aizstāsim datus formulā:
Atbilde: 95.
4. uzdevums
Aritmētiskajā progresijā ( a n ) a n= 3n - 4. Atrodi pirmo septiņpadsmit vārdu summu.
Lai atrastu aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summu, tiek izmantotas divas formulas:
.
Kuru no tiem šajā gadījumā ir ērtāk izmantot?
Pēc nosacījuma ir zināma sākotnējās progresijas n-tā termiņa formula ( a n) a n= 3n - 4. Jūs varat uzreiz atrast a 1, Un a 16 neatrodot d. Tāpēc mēs izmantosim pirmo formulu.
Atbilde: 368.
5. uzdevums
Aritmētiskā progresijā ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Atrodiet progresijas divdesmit otro termiņu.
Saskaņā ar n-tā termina formulu:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Pēc nosacījuma, ja a 1= -6, tad a 22= -6 + 21d. Jāatrod progresu atšķirība:
d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Atbilde: a 22 = -48.
6. uzdevums
Ir uzrakstīti vairāki secīgi ģeometriskās progresijas termini:
Atrodiet progresijas termiņu, kas apzīmēts ar x.
Risinot izmantosim n-tā termina formulu b n = b 1 ∙ q n - 1ģeometriskām progresijām. Pirmais progresēšanas termiņš. Lai atrastu progresijas q saucēju, jāņem jebkurš no dotajiem progresijas vienumiem un jādala ar iepriekšējo. Mūsu piemērā mēs varam ņemt un dalīt ar. Iegūstam, ka q = 3. Formulā n vietā aizvietojam 3, jo nepieciešams atrast dotās ģeometriskās progresijas trešo daļu.
Aizvietojot atrastās vērtības formulā, mēs iegūstam:
.
Atbilde:.
7. uzdevums
No aritmētiskajām progresijām, kas norādītas ar n-tā vārda formulu, atlasiet to, kuram nosacījums ir izpildīts a 27 > 9:
Tā kā dotais nosacījums ir jāizpilda progresijas 27. loceklim, katrā no četrām progresijas n n vietā mēs aizstājam ar 27. 4. sērijā iegūstam:
.
Atbilde: 4.
8. uzdevums
Aritmētiskajā progresijā a 1= 3, d = -1,5. Norādiet lielāko n vērtību, uz kuru attiecas nevienādība a n > -6.
Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju, t.i., katrs loceklis atšķiras no iepriekšējā q reizes. (Mēs pieņemsim, ka q ≠ 1, pretējā gadījumā viss ir pārāk triviāls). Ir viegli redzēt, ka ģeometriskās progresijas n-tā vārda vispārīgā formula ir b n = b 1 q n – 1 ; termini ar skaitļiem b n un b m atšķiras q n – m reizes.Jau Senajā Ēģiptē viņi zināja ne tikai aritmētisko, bet arī ģeometrisko progresiju. Šeit, piemēram, ir problēma no Reinas papirusa: “Septiņās sejās ir septiņi kaķi; Katrs kaķis ēd septiņas peles, katra pele ēd septiņas kukurūzas vārpas, un katra miežu vārpa var izaudzēt septiņus mērus miežu. Cik lieli ir šīs sērijas skaitļi un to summa?
 |
|
Rīsi. 1. Senās Ēģiptes ģeometriskās progresijas problēma |
Šis uzdevums tika atkārtots daudzas reizes ar dažādām variācijām starp citām tautām citreiz. Piemēram, rakstītajā 13. gs. Leonardo no Pizas (Fibonači) “Abaka grāmatai” ir problēma, ka ceļā uz Romu parādās 7 vecas sievietes (acīmredzami svētceļnieki), no kurām katrai ir 7 mūļi, no kuriem katrā ir 7 somas, no kurām katra satur 7 klaipus, no kuriem katrā ir 7 naži, katram no kuriem ir 7 apvalki. Problēma jautā, cik daudz objektu ir.
Ģeometriskās progresijas S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) pirmo n vārdu summa. Šo formulu var pierādīt, piemēram, šādi: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Pievienojiet skaitlim b 1 q n S n un iegūstiet:
|
No šejienes S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), un mēs iegūstam nepieciešamo formulu.
Jau uz vienas no Senās Babilonas māla plāksnēm, kas datētas ar 6. gs. BC e., satur summu 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Tiesa, tāpat kā daudzos citos gadījumos, mēs nezinām, kā šis fakts bija zināms babiloniešiem .
Straujais ģeometriskās progresijas pieaugums vairākās kultūrās, jo īpaši Indijas, tiek atkārtoti izmantots kā Visuma plašuma vizuālais simbols. Slavenajā leģendā par šaha izskatu valdnieks dod tā izgudrotājam iespēju pašam izvēlēties atlīdzību, un viņš jautā, cik kviešu graudu iegūs, ja vienu noliks uz šaha galdiņa pirmā lauciņa, divus otrais, četri trešajā, astoņi ceturtajā utt., katru reizi, kad skaitlis dubultojas. Vladyka domāja, ka mēs runājam ne vairāk kā par dažām somām, bet viņš nepareizi aprēķināja. Ir viegli redzēt, ka par visiem 64 šaha galdiņa lauciņiem izgudrotājam būtu jāsaņem (2 64 - 1) graudi, kas izteikts kā 20 ciparu skaitlis; pat ja būtu apsēta visa Zemes virsma, lai savāktu nepieciešamo graudu daudzumu, būtu nepieciešami vismaz 8 gadi. Šī leģenda dažkārt tiek interpretēta kā tāda, kas norāda uz praktiski neierobežotajām iespējām, kas slēpjas šaha spēlē.
Ir viegli redzēt, ka šis skaitlis patiešām ir 20 ciparu:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (precīzāks aprēķins dod 1,84∙10 19). Bet nez vai jūs varat uzzināt, ar kādu ciparu šis skaitlis beidzas?
Ģeometriskā progresija var palielināties, ja saucējs ir lielāks par 1, vai samazināties, ja tas ir mazāks par vienu. Pēdējā gadījumā skaitlis q n pietiekami lielam n var kļūt patvaļīgi mazs. Kamēr pieaugošā ģeometriskā progresija negaidīti ātri palielinās, tik pat ātri samazinās ģeometriskā progresija, kas samazinās.
Jo lielāks n, jo mazāks skaitlis q n atšķiras no nulles un jo tuvāk ģeometriskās progresijas S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) n vārdu summa ir skaitlim S = b 1 / ( 1–q). (Piemēram, F. Viets sprieda šādi). Skaitli S sauc par bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu. Tomēr daudzus gadsimtus matemātiķiem nebija pietiekami skaidrs jautājums par to, ko nozīmē VISAS ģeometriskās progresijas summēšana ar tās bezgalīgo skaitu terminu.
Samazinoša ģeometriskā progresija ir redzama, piemēram, Zenona aporijās “Pusdalīšana” un “Ahillejs un bruņurupucis”. Pirmajā gadījumā ir skaidri parādīts, ka viss ceļš (pieņemot, ka garums ir 1) ir bezgalīgi daudzu posmu summa 1/2, 1/4, 1/8 utt. Tas, protams, ir no priekšstatu par galīgu summu bezgalīgas ģeometriskās progresijas skatījums. Un tomēr - kā tas var būt?
|
Rīsi. 2. Progresēšana ar koeficientu 1/2 |
Aporijā par Ahilleju situācija ir nedaudz sarežģītāka, jo šeit progresijas saucējs nav 1/2, bet kāds cits skaitlis. Lai, piemēram, Ahillejs skrien ar ātrumu v, bruņurupucis pārvietojas ar ātrumu u, un sākotnējais attālums starp tiem ir l. Ahillejs veiks šo attālumu laikā l/v, un šajā laikā bruņurupucis pārvietosies par attālumu lu/v. Kad Ahillejs noskrien šo posmu, attālums starp viņu un bruņurupuci kļūs vienāds ar l (u /v) 2 utt. Izrādās, ka panākt bruņurupuci nozīmē atrast bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu ar pirmo vārdu. l un saucējs u /v. Šī summa - segments, kuru Ahillejs galu galā skries uz tikšanās vietu ar bruņurupuci - ir vienāda ar l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Bet, atkal, kā interpretēt šo rezultātu un kāpēc tam vispār ir kāda jēga, ilgu laiku nebija īsti skaidrs.
|
Rīsi. 3. Ģeometriskā progresija ar koeficientu 2/3 |
Arhimēds izmantoja ģeometriskās progresijas summu, lai noteiktu parabolas segmenta laukumu. Ļaujiet šo parabolas segmentu norobežot ar hordu AB un pieskare parabolas punktā D ir paralēla AB. Lai C ir AB viduspunkts, E ir AC viduspunkts, F ir CB viduspunkts. Caur punktiem A, E, F, B zīmēsim taisnes paralēli līdzstrāvai; pieskare, kas novilkta punktā D, krusto šīs taisnes punktos K, L, M, N. Uzzīmēsim arī segmentus AD un DB. Ļaujiet taisnei EL krustot taisni AD punktā G un parabolu punktā H; taisne FM krusto līniju DB punktā Q un parabolu punktā R. Saskaņā ar vispārējo konisko griezumu teoriju DC ir parabolas diametrs (tas ir, segments, kas ir paralēls tās asij); tas un pieskares punktā D var kalpot par koordinātu asīm x un y, kurās parabolas vienādojums ir uzrakstīts kā y 2 = 2px (x ir attālums no D līdz jebkuram dotā diametra punktam, y ir garums segments, kas ir paralēls noteiktai tangensei no šī diametra punkta līdz kādam pašas parabolas punktam).
Saskaņā ar parabolas vienādojumu DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, un tā kā DK = 2DL, tad KA = 4LH. Tā kā KA = 2LG, LH = HG. Parabolas segmenta ADB laukums ir vienāds ar trīsstūra ΔADB laukumu un segmentu AHD un DRB laukumiem kopā. Savukārt segmenta AHD laukums ir līdzīgi vienāds ar trijstūra AHD laukumu un atlikušajiem segmentiem AH un HD, ar katru no kuriem var veikt vienu un to pašu darbību - sadalīt trīsstūrī (Δ) un divi atlikušie segmenti () utt.:
Trijstūra laukums ΔAHD ir vienāds ar pusi no trijstūra ΔALD laukuma (tiem ir kopīga bāze AD, un augstumi atšķiras 2 reizes), kas, savukārt, ir vienāds ar pusi no trijstūra laukuma. trijstūris ΔAKD un līdz ar to puse no trīsstūra ΔACD laukuma. Tādējādi trīsstūra ΔAHD laukums ir vienāds ar ceturtdaļu no trīsstūra ΔACD laukuma. Tāpat trīsstūra ΔDRB laukums ir vienāds ar vienu ceturtdaļu no trijstūra ΔDFB laukuma. Tātad trīsstūru ΔAHD un ΔDRB laukumi kopā ir vienādi ar ceturtdaļu no trijstūra ΔADB laukuma. Atkārtojot šo darbību segmentiem AH, HD, DR un RB, no tiem tiks atlasīti trīsstūri, kuru laukums kopā būs 4 reizes mazāks nekā trijstūri ΔAHD un ΔDRB, ņemot kopā, un tāpēc 16 reizes mazāks nekā trijstūra laukums ΔADB. Un tā tālāk:
Tādējādi Arhimēds pierādīja, ka "katrs segments, kas atrodas starp taisni un parabolu, veido četras trešdaļas no trijstūra ar vienādu pamatu un vienādu augstumu."
Ģeometriskā progresija ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis nav nulle, un katrs nākamais loceklis ir vienāds ar iepriekšējo terminu, kas reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle. Ģeometriskā progresija tiek apzīmēta ar b1,b2,b3, …, bn, …
Ģeometriskās progresijas īpašības
Jebkura ģeometriskās kļūdas locekļa attiecība pret iepriekšējo vienumu ir vienāda ar to pašu skaitli, tas ir, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Tas tieši izriet no aritmētiskās progresijas definīcijas. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju. Parasti ģeometriskās progresijas saucēju apzīmē ar burtu q.
Viens no veidiem, kā norādīt ģeometrisko progresiju, ir norādīt tās pirmo vārdu b1 un ģeometriskās kļūdas q saucēju. Piemēram, b1=4, q=-2. Šie divi nosacījumi nosaka ģeometrisko progresiju 4, -8, 16, -32, ….
Ja q>0 (q nav vienāds ar 1), tad progresija ir monotoniska secība. Piemēram, secība, 2, 4,8,16,32, ... ir monotoni augoša secība (b1=2, q=2).
Ja ģeometriskās kļūdas saucējs ir q=1, tad visi ģeometriskās progresijas locekļi būs vienādi viens ar otru. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka progresēšana ir nemainīga secība.
Progresijas n-tā termiņa formula
Lai skaitļu virkne (bn) būtu ģeometriska progresija, ir nepieciešams, lai katrs tās loceklis, sākot no otrā, būtu blakus esošo elementu ģeometriskais vidējais. Tas ir, ir jāizpilda šāds vienādojums - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), jebkuram n>0, kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.
Ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula ir šāda:
bn=b1*q^(n-1), kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.
Apskatīsim vienkāršu piemēru:
Ģeometriskā progresijā b1=6, q=3, n=8 atrod bn.
Izmantosim ģeometriskās progresijas n-tā termiņa formulu.
Ģeometriskā progresija ir jauna veida skaitļu secība, ar kuru mēs gatavojamies iepazīties. Lai iepazīšanās būtu veiksmīga, nenāk par ļaunu vismaz zināt un saprast. Tad nebūs problēmu ar ģeometrisko progresiju.)
Kas ir ģeometriskā progresija? Ģeometriskās progresijas jēdziens.
Ekskursiju, kā parasti, sākam ar pamatiem. Es rakstu nepabeigtu skaitļu virkni:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Vai varat pamanīt modeli un pateikt, kuri skaitļi būs nākamie? Pipars ir skaidrs, tad sekos skaitļi 100 000, 1 000 000 un tā tālāk. Pat bez lielas garīgās piepūles viss ir skaidrs, vai ne?)
LABI. Vēl viens piemērs. Es rakstu šādu secību:
1, 2, 4, 8, 16, …
Vai varat pateikt, kuri skaitļi būs nākamie, sekojot ciparam 16 un vārdam astotais secības dalībnieks? Ja izdomājāt, ka tas būs cipars 128, tad ļoti labi. Tātad puse cīņas ir sapratnē sajūtu Un galvenie punktiģeometriskā progresija jau ir veikta. Jūs varat augt tālāk.)
Un tagad mēs atkal pārejam no sajūtām uz stingru matemātiku.
Ģeometriskās progresijas galvenie punkti.
Galvenais punkts #1
Ģeometriskā progresija ir skaitļu secība. Tāpat arī progresēšana. Nekas grezns. Ir sakārtota tikai šī secība savādāk. Līdz ar to, protams, tam ir cits nosaukums, jā...
Galvenais punkts #2
Ar otro galveno punktu jautājums būs sarežģītāks. Atgriezīsimies nedaudz atpakaļ un atcerēsimies aritmētiskās progresijas galveno īpašību. Te tas ir: katrs dalībnieks atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu.
Vai ir iespējams formulēt līdzīgu galveno īpašību ģeometriskajai progresijai? Mazliet padomājiet... Apskatiet sniegtos piemērus tuvāk. Vai jūs to uzminējāt? Jā! Ģeometriskā progresijā (jebkurā!) katrs tās dalībnieks atšķiras no iepriekšējā tikpat reižu. Vienmēr!
Pirmajā piemērā šis skaitlis ir desmit. Neatkarīgi no tā, kuru secības locekli jūs izmantojat, tas ir lielāks par iepriekšējo desmit reizes.
Otrajā piemērā tas ir divi: katrs vārds ir lielāks par iepriekšējo divreiz.
Tas ir galvenais punkts, ka ģeometriskā progresija atšķiras no aritmētiskās progresijas. Aritmētiskajā progresijā tiek iegūts katrs nākamais termins pievienojot tāda pati vērtība kā iepriekšējam termiņam. Un šeit - reizināšana iepriekšējā termiņā par tādu pašu summu. Tā ir visa atšķirība.)
Galvenais punkts #3
Šis galvenais punkts ir pilnīgi identisks aritmētiskās progresijas punktam. Proti: Katrs ģeometriskās progresijas termins stāv savā vietā. Viss ir tieši tāpat kā aritmētiskajā progresijā un komentāri, manuprāt, lieki. Ir pirmais termiņš, ir simts pirmais utt. Apmainīsim vismaz divus terminus – raksts (un līdz ar to arī ģeometriskā progresija) pazudīs. Tas, kas paliks, ir tikai skaitļu virkne bez jebkādas loģikas.
Tas ir viss. Tā ir visa ģeometriskās progresijas būtība.
Noteikumi un apzīmējumi.
Bet tagad, izprotot ģeometriskās progresijas nozīmi un galvenos punktus, mēs varam pāriet uz teoriju. Citādi, kas gan ir teorija bez jēgas izpratnes, vai ne?
Kā apzīmē ģeometrisko progresiju?
Kā ģeometrisko progresiju raksta vispārējā formā? Nekādu problēmu! Katrs progresijas termins tiek uzrakstīts arī kā burts. Tikai aritmētiskajai progresijai parasti izmanto burtu "A", ģeometriskajam – burts "b". Dalībnieka numurs, kā parasti, ir norādīts indekss apakšējā labajā stūrī. Mēs vienkārši uzskaitām pašus progresijas dalībniekus, atdalot tos ar komatiem vai semikolu.
Kā šis:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Īsumā šī progresija ir uzrakstīta šādi: (b n) .
Vai šādi, ierobežotai progresēšanai:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, …, b 29, b 30.
Vai īsumā:
(b n), n=30 .
Tas patiesībā ir viss apzīmējums. Viss ir vienāds, tikai burts atšķiras, jā.) Un tagad mēs pārejam tieši uz definīciju.
Ģeometriskās progresijas definīcija.
Ģeometriskā progresija ir skaitļu secība, kurā pirmais vārds nav nulle, un katrs nākamais vārds ir vienāds ar iepriekšējo terminu, kas reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle.
Tā ir visa definīcija. Lielākā daļa vārdu un frāžu jums ir skaidri un pazīstami. Ja, protams, saprotat ģeometriskās progresijas nozīmi “uz pirkstiem” un vispār. Taču ir arī dažas jaunas frāzes, kurām vēlos pievērst īpašu uzmanību.
Pirmkārt, vārdi: "kuras pirmais dalībnieks kas nav nulle".
Šis ierobežojums pirmajam termiņam netika ieviests nejauši. Kā jūs domājat, kas notiks, ja pirmais dalībnieks b 1 būs vienāds ar nulli? Ar ko būs vienāds otrais termins, ja katrs termins ir lielāks par iepriekšējo? tikpat reižu? Teiksim trīs reizes? Paskatīsimies... Reiziniet pirmo vārdu (t.i. 0) ar 3 un iegūstiet... nulli! Un kā ar trešo dalībnieku? Arī nulle! Un ceturtais termiņš arī ir nulle! Un tā tālāk…
Mēs vienkārši saņemam maisu ar bagelēm, nulles:
0, 0, 0, 0, …
Protams, šādai secībai ir tiesības uz dzīvību, taču tas praktiski neinteresē. Viss ir skaidrs. Jebkurš tās dalībnieks ir nulle. Jebkuru terminu summa arī ir nulle... Ko interesantu ar to var izdarīt? Nekas…
Šādi atslēgvārdi: "reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle."
Šim pašam numuram ir arī savs īpašais nosaukums - ģeometriskās progresijas saucējs. Sāksim iepazīties.)
Ģeometriskās progresijas saucējs.
Viss ir tikpat vienkārši kā bumbieru lobīšana.
Ģeometriskās progresijas saucējs ir skaitlis, kas nav nulle (vai daudzums), kas norāda cik reižukatrs progresijas termiņš vairāk nekā iepriekšējā.
Atkal, līdzīgi aritmētiskajai progresijai, atslēgas vārds, kas jāmeklē šajā definīcijā, ir vārds "vairāk". Tas nozīmē, ka tiek iegūts katrs ģeometriskās progresijas termins reizināšanašim pašam saucējam iepriekšējais dalībnieks.
Ļauj man paskaidrot.
Lai aprēķinātu, teiksim otrais penis, jāņem vispirms biedrs un vairoties to saucējam. Aprēķinam desmitais penis, jāņem devītais biedrs un vairoties to saucējam.
Pati ģeometriskās progresijas saucējs var būt jebkas. Pilnīgi jebkurš! Vesels, daļējs, pozitīvs, negatīvs, iracionāls - viss. Izņemot nulli. Tas ir tas, ko mums saka definīcijā ietvertais vārds “ne-nulle”. Kāpēc šis vārds šeit ir vajadzīgs - par to vairāk vēlāk.
Ģeometriskās progresijas saucējs visbiežāk norāda vēstule q.
Kā to atrast q? Nekādu problēmu! Mums ir jāņem jebkurš progresēšanas termiņš un dalīt ar iepriekšējo termiņu. Sadalījums ir frakcija. Līdz ar to nosaukums - "progresēšanas saucējs". Saucējs, tas parasti sēž daļdaļā, jā...) Lai gan, loģiski, vērtība q jāsauc Privātsģeometriskā progresija, līdzīga atšķirība aritmētiskajai progresijai. Bet mēs vienojāmies piezvanīt saucējs. Un mēs arī neizgudrosim riteni no jauna.)
Definēsim, piemēram, daudzumu qšai ģeometriskajai progresijai:
2, 6, 18, 54, …
Viss ir elementāri. Ņemsim to jebkura kārtas numurs. Mēs ņemam visu, ko gribam. Izņemot pašu pirmo. Piemēram, 18. Un dalīt ar iepriekšējais numurs. Tas ir, pulksten 6.
Mēs iegūstam:
q = 18/6 = 3
Tas ir viss. Šī ir pareizā atbilde. Šai ģeometriskajai progresijai saucējs ir trīs.
Tagad atradīsim saucēju q citai ģeometriskai progresijai. Piemēram, šis:
1, -2, 4, -8, 16, …
Viss tas pats. Lai arī kādas zīmes būtu pašiem biedriem, mēs tomēr ņemam jebkura secības numuru (piemēram, 16) un dala ar iepriekšējais numurs(t.i. -8).
Mēs iegūstam:
d = 16/(-8) = -2
Un viss.) Šoreiz progresijas saucējs izrādījās negatīvs. Mīnus divi. Notiek.)
Tagad pieņemsim šo progresu:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Un atkal, neatkarīgi no skaitļu veida secībā (vai veseli skaitļi, pāra daļskaitļi, pat negatīvi, pat iracionāli), mēs ņemam jebkuru skaitli (piemēram, 1/9) un dalām ar iepriekšējo skaitli (1/3). Protams, saskaņā ar noteikumiem par darbu ar frakcijām.
Mēs iegūstam:
Tas arī viss.) Šeit saucējs izrādījās daļskaitlis: q = 1/3.
Ko jūs domājat par šo "progresiju"?
3, 3, 3, 3, 3, …
Acīmredzot šeit q = 1 . Formāli šī arī ir ģeometriskā progresija, tikai ar identiski dalībnieki.) Bet šādas virzības nav interesantas mācībām un praktiskai pielietošanai. Tas pats, kas progresijas ar cietām nullēm. Tāpēc mēs tos neņemsim vērā.
Kā redzat, progresijas saucējs var būt jebkas - vesels skaitlis, daļskaitlis, pozitīvs, negatīvs - jebkas! Tā nevar būt tikai nulle. Nevari uzminēt, kāpēc?
Nu, izmantosim kādu konkrētu piemēru, lai redzētu, kas notiek, ja par saucēju ņemsim q nulle.) Ļaujiet mums, piemēram, ir b 1 = 2 , A q = 0 . Ar ko tad būs vienāds otrais termins?
Mēs uzskaitām:
b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0
Un kā ar trešo dalībnieku?
b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0
Ģeometrisko progresiju veidi un uzvedība.
Viss bija vairāk vai mazāk skaidrs: ja progresijas atšķirība d ir pozitīvs, tad progresēšana palielinās. Ja starpība ir negatīva, tad progresēšana samazinās. Ir tikai divas iespējas. Trešā nav.)
Bet ar ģeometriskās progresijas uzvedību viss būs daudz interesantāks un daudzveidīgāks!)
Neatkarīgi no tā, kā šeit darbojas termini: tie palielinās un samazinās, un bezgalīgi tuvojas nullei un pat maina zīmes, pārmaiņus metoties “plusā” un pēc tam “mīnusā”! Un visā šajā daudzveidībā ir jāspēj labi saprast, jā...
Izdomāsim?) Sāksim ar vienkāršāko gadījumu.
Saucējs ir pozitīvs ( q >0)
Ar pozitīvu saucēju, pirmkārt, var iedziļināties ģeometriskās progresijas nosacījumos plus bezgalība(t.i. palielināt bez ierobežojuma) un var iedziļināties mīnus bezgalība(t.i., samazināt bez ierobežojuma). Mēs jau esam pieraduši pie šādas progresēšanas uzvedības.
Piemēram:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Šeit viss ir vienkārši. Tiek iegūts katrs progresijas termiņš vairāk nekā iepriekš. Turklāt katrs termins izrādās reizināšana iepriekšējais dalībnieks ieslēgts pozitīvs numurs +2 (t.i. q = 2 ). Šādas progresijas uzvedība ir acīmredzama: visi progresijas dalībnieki aug uz nenoteiktu laiku, dodoties kosmosā. Plus bezgalība...
Un tagad, lūk, progress:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Arī šeit tiek iegūts katrs progresijas termiņš reizināšana iepriekšējais dalībnieks ieslēgts pozitīvs numurs +2. Bet šādas progresijas uzvedība ir tieši pretēja: katrs progresēšanas termins izrādās mazāk nekā iepriekš, un visi tā termini samazinās bez ierobežojumiem, dodoties uz mīnus bezgalību.
Tagad padomāsim: kas šiem diviem virzieniem ir kopīgs? Tieši tā, saucējs! Šeit un tur q = +2 . Pozitīvs skaitlis. Divas. Un šeit uzvedībaŠīs divas progresijas būtiski atšķiras! Nevari uzminēt, kāpēc? Jā! Tas viss ir par pirmais dalībnieks! Tieši viņš, kā saka, sauc melodiju.) Skatieties paši.
Pirmajā gadījumā pirmais progresēšanas termiņš pozitīvs(+1) un līdz ar to visi turpmākie termini, kas iegūti, reizinot ar pozitīvs saucējs q = +2 , arī būs pozitīvs.
Bet otrajā gadījumā pirmais termiņš negatīvs(-1). Tāpēc visi turpmākie progresijas nosacījumi, kas iegūti, reizinot ar pozitīvs q = +2 , arī tiks iegūts negatīvs. Tā kā “mīnuss” līdz “pluss” vienmēr dod “mīnusu”, jā.)
Kā redzat, atšķirībā no aritmētiskās progresijas, ģeometriskā progresija var darboties pilnīgi atšķirīgi ne tikai atkarībā no no saucējaq, bet arī atkarībā no pirmā dalībnieka, Jā.)
Atcerieties: ģeometriskās progresijas uzvedību unikāli nosaka tās pirmais termiņš b 1 un saucējsq .
Un tagad mēs sākam analizēt mazāk pazīstamus, bet daudz interesantākus gadījumus!
Ņemsim, piemēram, šo secību:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Šī secība ir arī ģeometriska progresija! Katrs šīs progresijas termiņš arī izrādās reizināšana iepriekšējais dalībnieks, ar to pašu numuru. Tas ir tikai cipars - daļskaitlis: q = +1/2 . Or +0,5 . Turklāt (svarīgi!) numurs mazāk par vienu:q = 1/2<1.
Kāpēc šī ģeometriskā progresija ir interesanta? Kurp virzās tās dalībnieki? Apskatīsim:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Kādas interesantas lietas jūs varat pamanīt šeit? Pirmkārt, progresa samazinājums ir uzreiz pamanāms: katrs tās dalībnieks mazāk tieši iepriekšējā 2 reizes. Vai arī saskaņā ar ģeometriskās progresijas definīciju katrs termins vairāk iepriekšējā 1/2 reizes, jo progresijas saucējs q = 1/2 . Un, reizinot ar pozitīvu skaitli, kas mazāks par vienu, rezultāts parasti samazinās, jā...
Kas vairāk var redzēt šīs progresēšanas uzvedībā? Vai tās dalībnieku skaits samazinās? neierobežots, iet uz mīnus bezgalību? Nē! Tie pazūd īpašā veidā. Sākumā tie samazinās diezgan ātri, bet pēc tam arvien lēnāk. Un visu laiku paliekot pozitīvs. Lai arī ļoti, ļoti mazs. Un uz ko viņi paši tiecas? Vai tu neuzminēji? Jā! Viņi tiecas uz nulli!) Turklāt, pievērsiet uzmanību, mūsu progresa dalībnieki ir no nulles nekad nesasniedz! Tikai tuvojas viņam bezgala tuvu. Tas ir ļoti svarīgi.)
Līdzīga situācija notiks šādā progresijā:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Šeit b 1 = -1 , A q = 1/2 . Viss ir pa vecam, tikai tagad termini tuvosies nullei no otras puses, no apakšas. Uzturoties visu laiku negatīvs.)
Tāda ģeometriskā progresija, kuras termiņi tuvojas nullei bez ierobežojumiem(neatkarīgi no pozitīvās vai negatīvās puses), matemātikā ir īpašs nosaukums - bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.Šī virzība ir tik interesanta un neparasta, ka par to pat tiks runāts atsevišķa nodarbība .)
Tātad, mēs esam apsvēruši visu iespējamo pozitīvs saucēji ir gan lieli, gan mazāki. Mēs neuzskatām pašu vienību par saucēju iepriekš minēto iemeslu dēļ (atcerieties piemēru ar trīskāršu secību...)
Apkoposim:
pozitīvsUn Vairāk par vienu (q>1), tad progresēšanas nosacījumi:
a) palielināt bez ierobežojuma (jab 1 >0);
b) samazināt bez ierobežojuma (jab 1 <0).
Ja ģeometriskās progresijas saucējs pozitīvs Un mazāk par vienu (0< q<1), то члены прогрессии:
a) bezgalīgi tuvu nullei virs(Jab 1 >0);
b) tuvojas bezgalīgi tuvu nullei no apakšas(Jab 1 <0).
Tagad atliek izskatīt lietu negatīvs saucējs.
Saucējs ir negatīvs ( q <0)
Mēs netiksim tālu ar piemēru. Kāpēc tieši pinkainā vecmāmiņa?!) Lai, piemēram, ir pirmais progresēšanas termiņš b 1 = 1 , un ņemsim saucēju q = -2.
Mēs iegūstam šādu secību:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
Un tā tālāk.) Katrs progresijas termins tiek iegūts reizināšana iepriekšējais dalībnieks ieslēgts negatīvs skaitlis-2. Šajā gadījumā būs visi dalībnieki, kas stāv nepāra vietās (pirmā, trešā, piektā utt.). pozitīvs, un pāra vietās (otrajā, ceturtajā utt.) – negatīvs. Zīmes stingri mainās. Plus-mīnus-plus-mīnus... Šo ģeometrisko progresiju sauc - pieaugošā zīme pārmaiņus.
Kurp virzās tās dalībnieki? Bet nekur.) Jā, absolūtā vērtībā (t.i., modulo) mūsu progresijas dalībnieki pieaug bez ierobežojumiem (tātad nosaukums "pieaug"). Bet tajā pašā laikā katrs progresijas dalībnieks pārmaiņus met karstumā, tad aukstumā. Vai nu “pluss” vai “mīnuss”. Mūsu progresija svārstās... Turklāt ar katru soli strauji aug arī svārstību loks, jā.) Tāpēc progresijas dalībnieku tieksmes kaut kur virzās konkrētiŠeit Nē. Ne uz plus bezgalību, ne uz mīnus bezgalību, ne uz nulli - nekur.
Tagad aplūkosim daļskaitli starp nulli un mīnus viens.
Piemēram, lai tas būtu b 1 = 1 , A q = -1/2.
Tad mēs iegūstam progresu:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
Un atkal mums ir zīmju maiņa! Bet, atšķirībā no iepriekšējā piemēra, šeit jau ir izteikta tendence, ka termini tuvojas nullei.) Tikai šoreiz mūsu termini nullei tuvojas nevis stingri no augšas vai apakšas, bet atkal vilcinoties. Pārmaiņus ņemot pozitīvas un negatīvas vērtības. Bet tajā pašā laikā viņi moduļi kļūst arvien tuvāk lolotajai nullei.)
Šo ģeometrisko progresiju sauc bezgalīgi dilstoša zīme, mainīga.
Kāpēc šie divi piemēri ir interesanti? Un tas, ka abos gadījumos notiek pārmaiņus zīmes!Šis triks ir raksturīgs tikai progresijām ar negatīvu saucēju, jā.) Tāpēc, ja kādā uzdevumā redzat ģeometrisku progresiju ar mainīgiem terminiem, jūs jau noteikti zināsiet, ka tās saucējs ir 100% negatīvs un jūs nekļūdīsities zīmē.)
Starp citu, negatīva saucēja gadījumā pirmā vārda zīme nekādi neietekmē pašas progresijas uzvedību. Neatkarīgi no progresijas pirmā termiņa zīmes jebkurā gadījumā tiks ievērota termiņu zīme. Vienīgais jautājums ir, kādās vietās(pāra vai nepāra) būs dalībnieki ar konkrētām zīmēm.
Atcerieties:
Ja ģeometriskās progresijas saucējs negatīvs , tad progresijas termiņu pazīmes vienmēr ir aizstājējs.
Tajā pašā laikā paši dalībnieki:
a) palielināt bez ierobežojumiemmodulo, Jaq<-1;
b) bezgalīgi tuvojas nullei, ja -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Tas ir viss. Visi tipiskie gadījumi ir analizēti.)
Analizējot dažādus ģeometrisko progresiju piemērus, es periodiski izmantoju vārdus: "tiecas uz nulli", "tiecas uz plus bezgalību", "tiecas uz mīnus bezgalību"... Tas ir labi.) Šie runas skaitļi (un konkrēti piemēri) ir tikai sākotnējais ievads uzvedība dažādas numuru secības. Izmantojot ģeometriskās progresijas piemēru.
Kāpēc mums vispār ir jāzina progresēšanas uzvedība? Kāda starpība, kur viņa dodas? Uz nulli, uz plus bezgalību, uz mīnus bezgalību... Ko tas mums nodara?
Lieta tāda, ka jau augstskolā augstākās matemātikas kursā būs nepieciešama prasme strādāt ar visdažādākajām skaitļu sekvencēm (ar jebkādām, ne tikai progresijām!) un spēja iztēloties, kā tieši tā vai cita secība. uzvedas - vai pieaug vai samazinās bezgalīgi, vai tiecas uz konkrētu skaitli (un ne vienmēr uz nulli) vai pat netiecas uz neko... Matemātiskās analīzes gaitā šai tēmai ir veltīta vesela sadaļa - robežu teorija. Un nedaudz konkrētāk – koncepcija skaitļu virknes robeža.Ļoti interesanta tēma! Ir jēga doties uz koledžu un izdomāt to.)
Daži piemēri no šīs sadaļas (secībām ar ierobežojumu) un jo īpaši, bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija Viņi sāk pierast pie tā skolā. Mēs pierodam.)
Turklāt spēja labi izpētīt secību uzvedību jums ļoti noderēs nākotnē un būs ļoti noderīga funkciju izpēte. Visdažādākā. Bet spēja kompetenti strādāt ar funkcijām (aprēķināt atvasinājumus, izpētīt tos pilnībā, veidot to grafikus) jau dramatiski paaugstina jūsu matemātisko līmeni! Vai jums ir kādas šaubas? Nav vajadzības. Atcerieties arī manus vārdus.)
Paskatīsimies uz ģeometrisko progresiju dzīvē?
Apkārtējā dzīvē mēs ļoti, ļoti bieži sastopamies ar ģeometrisko progresiju. Pat nezinot.)
Piemēram, dažādi mikroorganismi, kas mūs visur ieskauj milzīgos daudzumos un kurus mēs bez mikroskopa pat neredzam, vairojas precīzi ģeometriskā progresijā.
Pieņemsim, ka viena baktērija vairojas, daloties uz pusēm, dodot pēcnācējus 2 baktērijām. Savukārt katra no tām, vairojoties, arī sadalās uz pusēm, dodot kopīgu 4 baktēriju pēcnācēju. Nākamā paaudze ražos 8 baktērijas, tad 16 baktērijas, 32, 64 un tā tālāk. Ar katru nākamo paaudzi baktēriju skaits dubultojas. Tipisks ģeometriskās progresijas piemērs.)
Arī daži kukaiņi – laputis un mušas – vairojas eksponenciāli. Un dažreiz arī truši, starp citu.)
Vēl viens ģeometriskās progresijas piemērs, kas ir tuvāks ikdienas dzīvei, ir t.s saliktie procenti.Šī interesantā parādība bieži sastopama banku noguldījumos un tiek saukta procentu kapitalizācija. Kas tas ir?
Tu pats vēl, protams, esi jauns. Tu ej uz skolu, neej uz bankām. Bet jūsu vecāki jau ir pieauguši un neatkarīgi cilvēki. Viņi dodas uz darbu, pelna naudu dienišķajai maizei un daļu naudas ieliek bankā, veidojot uzkrājumus.)
Pieņemsim, ka jūsu tētis vēlas uzkrāt noteiktu naudas summu ģimenes atpūtai Turcijā un ieliek bankā 50 000 rubļu ar 10% gadā uz trīs gadiem. ar gada procentu kapitalizāciju. Turklāt visā šajā periodā ar depozītu neko nevar darīt. Jūs nevarat ne papildināt depozītu, ne izņemt naudu no konta. Cik lielu peļņu viņš gūs pēc šiem trim gadiem?
Pirmkārt, mums ir jāsaprot, kas ir 10% gadā. Tas nozīmē, ka gada laikā Sākotnējai depozīta summai banka pievienos 10%. No kā? Protams, no sākotnējā depozīta summa.
Mēs aprēķinām konta lielumu pēc gada. Ja sākotnējā depozīta summa bija 50 000 rubļu (t.i. 100%), tad pēc gada būs cik procenti būs kontā? Tieši tā, 110%! No 50 000 rubļu.
Tātad mēs aprēķinām 110% no 50 000 rubļu:
50000·1,1 = 55000 rubļu.
Es ceru, ka jūs saprotat, ka 110% vērtības atrašana nozīmē šīs vērtības reizināšanu ar skaitli 1,1? Ja nesaprotat, kāpēc tas tā ir, atcerieties piekto un sesto klasi. Proti - savienojums starp procentiem un daļdaļām un daļām.)
Tādējādi pieaugums par pirmo gadu būs 5000 rubļu.
Cik naudas būs kontā pēc diviem gadiem? 60 000 rubļu? Diemžēl (vai drīzāk, par laimi) viss nav tik vienkārši. Viss procentu kapitalizācijas triks ir tāds, ka ar katru jaunu procentu uzkrāšanu šie paši procenti jau tiks ņemti vērā no jaunās summas! No tā, kurš jau atrodas kontā Pašlaik. Un par iepriekšējo periodu uzkrātie procenti tiek pieskaitīti sākotnējai depozīta summai un līdz ar to pati piedalās jauno procentu aprēķināšanā! Tas ir, tie kļūst par pilnu daļu no kopējā konta. Vai vispārīgi kapitāls. Tāpēc nosaukums - procentu kapitalizācija.
Tas ir ekonomikā. Un matemātikā tādus procentus sauc saliktie procenti. Or procentu procenti.) Viņu viltība ir tāda, ka, aprēķinot secīgi, procentus aprēķina katru reizi no jaunās vērtības. Un ne no oriģināla...
Tāpēc, lai aprēķinātu summu caur divus gadus, mums jāaprēķina 110% no summas, kas būs kontā gada laikā. Tas ir, jau no 55 000 rubļu.
Mēs rēķinām 110% no 55 000 rubļu:
55000·1,1 = 60500 rubļu.
Tas nozīmē, ka procentuālais pieaugums otro gadu būs 5500 rubļu, bet divus gadus – 10 500 rubļu.
Tagad jau var nojaust, ka pēc trim gadiem summa kontā būs 110% no 60 500 rubļiem. Tas atkal ir 110% no iepriekšējā (pagājušajā gadā) summas.
Šeit mēs domājam:
60500·1,1 = 66550 rubļi.
Tagad mēs sakārtojam savas naudas summas pa gadiem secībā:
50000;
55000 = 50000·1,1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Kā tad ir? Kāpēc ne ģeometriskā progresija? Pirmais dalībnieks b 1 = 50000 , un saucējs q = 1,1 . Katrs termins ir stingri 1,1 reizi lielāks nekā iepriekšējais. Viss ir stingri saskaņā ar definīciju.)
Un cik papildu procentu bonusus “uzkrās” tavs tētis, kamēr viņa bankas kontā trīs gadus gulēs viņa 50 000 rubļu?
Mēs uzskaitām:
66550 – 50000 = 16550 rubļi
Ne daudz, protams. Bet tas ir, ja sākotnējā depozīta summa ir maza. Ko darīt, ja ir vairāk? Teiksim, nevis 50, bet 200 tūkstoši rubļu? Tad pieaugums trīs gadu laikā būs 66 200 rubļu (ja jūs veicat matemātiku). Kas jau ir ļoti labi.) Ko darīt, ja ieguldījums ir vēl lielāks? Tieši tā...
Secinājums: jo lielāks sākotnējais depozīts, jo izdevīgāka kļūst procentu kapitalizācija. Tāpēc noguldījumus ar procentu kapitalizāciju bankas nodrošina uz ilgu laiku. Teiksim uz pieciem gadiem.
Arī visādām sliktām slimībām, piemēram, gripai, masalām un vēl briesmīgākām slimībām (tas pats SARS 2000. gadu sākumā vai mēris viduslaikos) patīk izplatīties eksponenciāli. Līdz ar to epidēmiju mērogs, jā...) Un tas viss sakarā ar to, ka ģeometriskā progresija ar viss pozitīvais saucējs (q>1) – lieta, kas aug ļoti ātri! Atcerieties baktēriju vairošanos: no vienas baktērijas iegūst divas, no divām - četras, no četrām - astoņas un tā tālāk... Tāpat ir ar jebkuras infekcijas izplatīšanos.)
Vienkāršākās ģeometriskās progresijas problēmas.
Sāksim, kā vienmēr, ar vienkāršu problēmu. Tīri, lai saprastu jēgu.
1. Ir zināms, ka ģeometriskās progresijas otrais loceklis ir vienāds ar 6, un saucējs ir vienāds ar -0,5. Atrodiet pirmo, trešo un ceturto terminu.
Tātad mums ir dots bezgalīgsģeometriskā progresija, bet zināms otrais termiņššī progresija:
b 2 = 6
Turklāt mēs arī zinām progresijas saucējs:
q = -0,5
Un jums ir jāatrod pirmais, trešais Un ceturtaisšīs progresijas dalībnieki.
Tātad mēs rīkojamies. Mēs pierakstām secību atbilstoši uzdevuma nosacījumiem. Tieši vispārīgā formā, kur otrais termins ir seši:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
Tagad sāksim meklēt. Mēs sākam, kā vienmēr, ar vienkāršāko. Varat aprēķināt, piemēram, trešo termiņu b 3? Var! Jūs un es jau zinām (tieši ģeometriskās progresijas nozīmē), ka trešais termins (b 3) vairāk nekā otrais (b 2 ) V "q" vienreiz!
Tātad mēs rakstām:
b 3 =b 2 · q
Mēs aizstājam sešus šajā izteiksmē, nevis b 2 un -0,5 vietā q un mēs skaitām. Un mēs, protams, neignorējam arī mīnusus...
b 3 = 6·(-0,5) = -3
Kā šis. Trešais termiņš izrādījās negatīvs. Nav brīnums: mūsu saucējs q– negatīvs. Un plusa reizināšana ar mīnusu, protams, būs mīnuss.)
Tagad mēs saskaitām nākamo, ceturto progresēšanas termiņu:
b 4 =b 3 · q
b 4 = -3·(-0,5) = 1,5
Ceturtais termiņš atkal ir ar plusu. Piektais termiņš atkal būs mīnuss, sestais pluss un tā tālāk. Zīmes mainās!
Tātad tika atrasts trešais un ceturtais termins. Rezultāts ir šāda secība:
b 1; 6; -3; 1,5; ...
Tagad atliek tikai atrast pirmo terminu b 1 saskaņā ar labi zināmo otro. Lai to izdarītu, mēs virzāmies otrā virzienā, pa kreisi. Tas nozīmē, ka šajā gadījumā mums nav jāreizina otrais progresijas loceklis ar saucēju, bet sadalīt.
Mēs sadalām un iegūstam:
Tas arī viss.) Atbilde uz problēmu būs šāda:
-12; 6; -3; 1,5; …
Kā redzat, risinājuma princips ir tāds pats kā . Mēs zinām jebkura biedrs un saucējsģeometriskā progresija - mēs varam atrast jebkuru citu tās dalībnieku. Mēs atradīsim vajadzīgo.) Vienīgā atšķirība ir tā, ka saskaitīšanu/atņemšanu aizstāj ar reizināšanu/dalīšanu.
Atcerieties: ja mēs zinām vismaz vienu ģeometriskās progresijas locekli un saucēju, tad mēs vienmēr varam atrast jebkuru citu šīs progresijas locekli.
Šāda problēma saskaņā ar tradīciju ir no reālas OGE versijas:
2.
...; 150; X; 6; 1,2; ...
Kā tad ir? Šoreiz nav pirmā termiņa, nav saucēja q, tiek dota tikai skaitļu secība... Kaut kas jau pazīstams, vai ne? Jā! Līdzīga problēma jau ir atrisināta aritmētiskajā progresijā!
Tāpēc mēs nebaidāmies. Viss tas pats. Pagriezīsimies uz galvas un atcerēsimies ģeometriskās progresijas elementāro nozīmi. Mēs rūpīgi aplūkojam savu secību un noskaidrojam, kuri trīs galveno ģeometriskās progresijas parametri (pirmais vārds, saucējs, termina numurs) tajā ir paslēpti.
Dalībnieku numuri? Biedru skaita nav, jā... Bet ir četri pēc kārtas cipariem. Es neredzu jēgu izskaidrot, ko šis vārds nozīmē šajā posmā.) Vai šajā secībā ir divi? blakus esošie zināmie numuri?Ēd! Tie ir 6 un 1.2. Tātad mēs varam atrast progresijas saucējs. Tātad mēs ņemam skaitli 1,2 un sadalām uz iepriekšējo numuru. Uz sešiem.
Mēs iegūstam:
Mēs iegūstam:
x= 150·0,2 = 30
Atbilde: x = 30 .
Kā redzat, viss ir pavisam vienkārši. Galvenās grūtības ir tikai aprēķinos. Īpaši grūti tas ir negatīvo un daļējo saucēju gadījumā. Tā ka tiem, kam ir problēmas, atkārtojiet aritmētiku! Kā strādāt ar daļskaitļiem, kā strādāt ar negatīviem skaitļiem un tā tālāk... Citādi jūs šeit nežēlīgi palēnināsit.
Tagad nedaudz mainīsim problēmu. Tagad kļūs interesanti! Noņemsim no tā pēdējo skaitli 1.2. Tagad atrisināsim šo problēmu:
3. Tiek izrakstīti vairāki secīgi ģeometriskās progresijas termini:
...; 150; X; 6; ...
Atrodiet progresijas termiņu, kas apzīmēts ar burtu x.
Viss ir vienāds, tikai divi blakus slavens Tagad mums nav progresijas dalībnieku. Tā ir galvenā problēma. Jo lielums q ar diviem blakus terminiem mēs varam viegli noteikt mēs nevaram. Vai mums ir iespēja tikt galā ar uzdevumu? Noteikti!
Pierakstīsim nezināmo terminu " x"tieši ģeometriskās progresijas nozīmē! Vispārīgi runājot.
Jā jā! Tieši ar nezināmu saucēju!
No vienas puses, attiecībā uz X mēs varam uzrakstīt šādu attiecību:
x= 150·q
No otras puses, mums ir visas tiesības aprakstīt šo pašu X cauri Nākamais biedrs, līdz sešiem! Sadaliet sešus ar saucēju.
Kā šis:
x = 6/ q
Acīmredzot tagad mēs varam pielīdzināt abas šīs attiecības. Tā kā mēs izsakām tas pats lielums (x), bet divi Dažādi ceļi.
Mēs iegūstam vienādojumu:
Visu reizinot ar q, vienkāršojot un saīsinot, mēs iegūstam vienādojumu:
q2 = 1/25
Mēs atrisinām un iegūstam:
q = ±1/5 = ±0,2
Hmm! Saucējs izrādījās dubults! +0,2 un -0,2. Un kuru jums vajadzētu izvēlēties? Strupceļš?
Mierīgi! Jā, problēma patiešām ir divi risinājumi! Nekas nepareizs ar to. Tā gadās.) Jūs neesat pārsteigts, ja, piemēram, risinot parasto problēmu, iegūstat divas saknes? Šeit ir tas pats stāsts.)
Priekš q = +0,2 mēs iegūsim:
X = 150 0,2 = 30
Un priekš q = -0,2 būs:
X = 150·(-0,2) = -30
Mēs saņemam dubultu atbildi: x = 30; x = -30.
Ko nozīmē šis interesantais fakts? Un kas pastāv divas progresijas, kas atbilst problēmas nosacījumiem!
Tāpat kā šie:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Abas ir piemērotas.) Kāpēc, jūsuprāt, mūsu atbildes dalījās? Tikai tāpēc, ka tiek izslēgts konkrēts progresijas dalībnieks (1,2), kas nāk pēc sešiem. Un, zinot tikai iepriekšējo (n-1) un nākamo (n+1) ģeometriskās progresijas vārdu, mēs vairs nevaram neko viennozīmīgi pateikt par n-to terminu, kas atrodas starp tiem. Ir divi varianti – ar plusu un ar mīnusu.
Bet nekādu problēmu. Parasti uzdevumos par ģeometrisko progresiju ir papildu informācija, kas sniedz nepārprotamu atbildi. Teiksim vārdus: "mainīga progresija" vai "progresēšana ar pozitīvu saucēju" un tā tālāk... Tieši šiem vārdiem vajadzētu kalpot kā norādei, kura plusa vai mīnusa zīme ir jāizvēlas, gatavojot galīgo atbildi. Ja šādas informācijas nav, tad jā, uzdevumam būs divi risinājumi.)
Tagad izlemjam paši.
4. Nosakiet, vai skaitlis 20 ir ģeometriskās progresijas dalībnieks:
4 ; 6; 9; …
5. Dota mainīgas ģeometriskās progresijas zīme:
…; 5; x ; 45; …
Atrodiet ar burtu norādīto progresijas termiņu x .
6. Atrodiet ģeometriskās progresijas ceturto pozitīvo vārdu:
625; -250; 100; …
7. Ģeometriskās progresijas otrais loceklis ir vienāds ar -360, un tā piektais loceklis ir vienāds ar 23,04. Atrodiet šīs progresēšanas pirmo termiņu.
Atbildes (traucējumos): -15; 900; Nē; 2.56.
Apsveicam, ja viss izdevās!
Kaut kas neder? Kaut kur bija dubulta atbilde? Uzmanīgi izlasiet uzdevuma nosacījumus!
Pēdējā problēma neizdodas? Tur nav nekā sarežģīta.) Strādājam tieši pēc ģeometriskās progresijas nozīmes. Nu, jūs varat uzzīmēt attēlu. Tas palīdz.)
Kā redzat, viss ir elementāri. Ja progresēšana ir īsa. Ko darīt, ja tas ir garš? Vai arī vajadzīgā biedra skaits ir ļoti liels? Es vēlētos pēc analoģijas ar aritmētisko progresiju kaut kādā veidā iegūt ērtu formulu, kas padara to viegli atrodamu jebkura jebkuras ģeometriskās progresijas termiņš pēc viņa numura. Daudzas, daudzas reizes nereizinot ar q. Un ir tāda formula!) Sīkāka informācija ir nākamajā nodarbībā.
Ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula ir ļoti vienkārša. Gan pēc nozīmes, gan pēc izskata. Bet uz n-tā termina formulas ir visādas problēmas – no ļoti primitīvām līdz diezgan nopietnām. Un mūsu iepazīšanās procesā mēs noteikti apsvērsim abus. Nu, iepazīsimies?)
Tātad, lai sāktu, patiesībā formulan
Šeit viņa ir:
b n = b 1 · qn -1
Formula ir tikai formula, nekas pārdabisks. Tas izskatās pat vienkāršāks un kompaktāks nekā līdzīga formula. Arī formulas nozīme ir tikpat vienkārša kā filca zābaki.
Šī formula ļauj atrast JEBKURU ģeometriskās progresijas locekli PĒC TĀ NUMURA " n".
Kā redzat, nozīme ir pilnīga līdzība ar aritmētisko progresiju. Mēs zinām skaitli n - mēs varam arī skaitīt terminu zem šī skaitļa. Kuru vien vēlamies. Bez atkārtotas reizināšanas ar "q" daudzas, daudzas reizes. Tā ir visa būtība.)
Es saprotu, ka šajā līmenī, strādājot ar progresiju, visiem formulā iekļautajiem daudzumiem jums jau vajadzētu būt skaidriem, taču es joprojām uzskatu par savu pienākumu katru atšifrēt. Katram gadījumam.
Tātad, mēs ejam:
b 1 – vispirmsģeometriskās progresijas termiņš;
q – ;
n– biedra numurs;
b n – nth (nth)ģeometriskās progresijas termins.
Šī formula savieno četrus galvenos jebkuras ģeometriskās progresijas parametrus - bn, b 1 , q Un n. Un visas progresēšanas problēmas ir saistītas ar šiem četriem galvenajiem skaitļiem.
"Kā tas tiek noņemts?"– Dzirdu ziņkārīgu jautājumu... Elementāri! Skaties!
Kas ir vienāds ar otrais progresijas biedrs? Nekādu problēmu! Mēs rakstām tieši:
b 2 = b 1 · q
Un kā ar trešo dalībnieku? Arī tā nav problēma! Mēs reizinām otro termiņu vēlreiz ieslēgtsq.
Kā šis:
B 3 = b 2 q
Tagad atcerēsimies, ka otrais loceklis, savukārt, ir vienāds ar b 1 ·q, un aizvietosim šo izteiksmi mūsu vienādībā:
B 3 = b 2 q = ( b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Mēs iegūstam:
B 3 = b 1 ·q 2
Tagad lasīsim mūsu ierakstu krievu valodā: trešais termins ir vienāds ar pirmo terminu, kas reizināts ar q in otrais grādiem. Vai jūs to saprotat? Vēl nē? Labi, vēl viens solis.
Kāds ir ceturtais termins? Viss tas pats! Pavairot iepriekšējā(t.i., trešais termins) q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Kopā:
B 4 = b 1 ·q 3
Un atkal mēs tulkojam krievu valodā: ceturtais termins ir vienāds ar pirmo terminu, kas reizināts ar q in trešais grādiem.
Un tā tālāk. Kā tad ir? Vai jūs uztvērāt modeli? Jā! Jebkuram terminam ar jebkuru skaitli identisku faktoru skaits q (t.i., saucēja pakāpe) vienmēr būs par vienu mazāk nekā vēlamā dalībnieka skaitsn.
Tāpēc mūsu formula būs bez izmaiņām:
b n =b 1 · qn -1
Tas ir viss.)
Nu, atrisināsim problēmas, es domāju?)
Formulu uzdevumu risināšananģeometriskās progresijas termiņš.
Sāksim, kā parasti, ar formulas tiešu pielietojumu. Šeit ir tipiska problēma:
Ģeometriskā progresijā ir zināms, ka b 1 = 512 un q = -1/2. Atrodiet progresijas desmito termiņu.
Protams, šo problēmu var atrisināt bez jebkādām formulām. Tieši ģeometriskās progresijas izpratnē. Bet ar n-tā termiņa formulu vajag iesildīties, vai ne? Šeit mēs iesildāmies.
Mūsu dati formulas piemērošanai ir šādi.
Pirmais dalībnieks ir zināms. Šis ir 512.
b 1 = 512.
Zināms arī progresēšanas saucējs: q = -1/2.
Atliek tikai noskaidrot, kāds ir locekļa n skaits. Nekādu problēmu! Vai mūs interesē desmitais termiņš? Tātad vispārējā formulā n vietā aizstājam desmit.
Un rūpīgi aprēķiniet aritmētiku:
Atbilde: -1
Kā redzat, progresijas desmitais termiņš izrādījās mīnuss. Nekas pārsteidzošs: mūsu progresijas saucējs ir -1/2, t.i. negatīvs numuru. Un tas mums norāda, ka mūsu progresēšanas pazīmes mainās, jā.)
Šeit viss ir vienkārši. Šeit ir līdzīga problēma, bet nedaudz sarežģītāka aprēķinu ziņā.
Ģeometriskā progresijā ir zināms, ka:
b 1 = 3
Atrodiet progresijas trīspadsmito termiņu.
Viss ir pa vecam, tikai šoreiz progresijas saucējs ir neracionāli. Divu sakne. Nu, tas ir labi. Formula ir universāla lieta, tā var tikt galā ar jebkuriem skaitļiem.
Mēs strādājam tieši pēc formulas:
Formula, protams, nostrādāja kā nākas, bet... te daži iestrēgst. Ko darīt tālāk ar sakni? Kā pacelt sakni līdz divpadsmitajam spēkam?
Kā-kā... Jāsaprot, ka jebkura formula, protams, ir laba lieta, bet visas iepriekšējās matemātikas zināšanas netiek anulētas! Kā būvēt? Jā, atcerieties grādu īpašības! Pārvērtīsim sakni par daļēja pakāpe un – pēc formulas pakāpes paaugstināšanai līdz grādam.
Kā šis:
Atbilde: 192
Un tas arī viss.)
Kādas ir galvenās grūtības, tieši piemērojot n-tā termina formulu? Jā! Galvenā grūtība ir strādā ar grādiem! Proti, negatīvu skaitļu, daļskaitļu, sakņu un līdzīgu konstrukciju paaugstināšana pakāpēs. Tā ka tiem, kam ar to ir problēmas, lūdzu atkārtojiet grādus un to īpašības! Citādi piebremzēsi arī šo tēmu, jā...)
Tagad atrisināsim tipiskas meklēšanas problēmas viens no formulas elementiem, ja tiek doti visi pārējie. Lai veiksmīgi atrisinātu šādas problēmas, recepte ir vienveidīga un šausmīgi vienkārša - uzraksti formulun-vispār biedrs! Tieši piezīmju grāmatiņā blakus nosacījumam. Un tad no apstākļiem mēs izdomājam, kas mums ir dots un kā trūkst. Un mēs izsakām vēlamo vērtību no formulas. Visi!
Piemēram, tāda nekaitīga problēma.
Ģeometriskās progresijas ar saucēju 3 piektais loceklis ir 567. Atrodiet šīs progresijas pirmo daļu.
Nekas sarežģīts. Mēs strādājam tieši saskaņā ar burvestību.
Uzrakstīsim n-tā termina formulu!
b n = b 1 · qn -1
Kas mums ir dots? Pirmkārt, tiek norādīts progresijas saucējs: q = 3.
Turklāt mums ir dots piektais dalībnieks: b 5 = 567 .
Visi? Nē! Mums arī ir dots numurs n! Tas ir pieci: n = 5.
Ceru, ka jūs jau sapratāt, kas ir ierakstā b 5 = 567 uzreiz tiek paslēpti divi parametri - tas ir pats piektais termins (567) un tā numurs (5). Es par to jau runāju līdzīgā nodarbībā, bet es domāju, ka tas ir jāpiemin arī šeit.)
Tagad mēs aizstājam savus datus formulā:
567 = b 1 ·3 5-1
Mēs veicam aritmētiku, vienkāršojam un iegūstam vienkāršu lineāru vienādojumu:
81 b 1 = 567
Mēs atrisinām un iegūstam:
b 1 = 7
Kā redzat, ar pirmā termiņa atrašanu problēmu nav. Bet, meklējot saucēju q un cipariem n Var būt arī pārsteigumi. Un jums arī jābūt gatavam tiem (pārsteigumiem), jā.)
Piemēram, šī problēma:
Ģeometriskās progresijas piektais loceklis ar pozitīvu saucēju ir 162, un šīs progresijas pirmais loceklis ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.
Šoreiz mums tiek dots pirmais un piektais termins, un tiek lūgts atrast progresijas saucēju. Te nu mēs esam.
Mēs rakstām formulunbiedrs!
b n = b 1 · qn -1
Mūsu sākotnējie dati būs šādi:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Trūkst vērtības q. Nekādu problēmu! Atradīsim to tūlīt.) Mēs aizstājam formulā visu, ko zinām.
Mēs iegūstam:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Vienkāršs ceturtās pakāpes vienādojums. Un tagad - uzmanīgi!Šajā risinājuma posmā daudzi studenti nekavējoties ar prieku izvelk sakni (ceturtā pakāpe) un saņem atbildi q=3 .
Kā šis:
q4 = 81
q = 3
Bet patiesībā šī ir nepabeigta atbilde. Precīzāk, nepilnīgi. Kāpēc? Lieta ir tāda, ka atbilde q = -3 der arī: (-3) 4 būs arī 81!
Tas ir tāpēc, ka jaudas vienādojums x n = a vienmēr ir divas pretējas saknes plkst patn . Ar plusu un mīnusu:
Abi ir piemēroti.
Piemēram, pieņemot lēmumu (t.i. otrais grādi)
x 2 = 9
Nez kāpēc jūs nepārsteidz izskats divi saknes x=±3? Šeit ir tas pats. Un ar jebkuru citu pat pakāpe (ceturtā, sestā, desmitā utt.) būs tāda pati. Sīkāka informācija ir tēmā par
Tāpēc pareizais risinājums būtu:
q 4 = 81
q= ±3
Labi, mēs esam sakārtojuši zīmes. Kurš ir pareizs - plus vai mīnus? Nu, vēlreiz izlasīsim problēmas izklāstu, meklējot Papildus informācija. Protams, tā var nebūt, bet šajā problēmā šāda informācija pieejams. Mūsu nosacījums vienkāršā tekstā norāda, ka progresija tiek dota ar pozitīvais saucējs.
Tāpēc atbilde ir acīmredzama:
q = 3
Šeit viss ir vienkārši. Kas, jūsuprāt, notiktu, ja problēmas izklāsts būtu šāds:
Ģeometriskās progresijas piektais loceklis ir 162, un šīs progresijas pirmais loceklis ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.
Kāda ir atšķirība? Jā! Stāvoklī Nekas nav pieminēta saucēja zīme. Ne tieši, ne netieši. Un te problēma jau būtu divi risinājumi!
q = 3 Un q = -3
Jā jā! Gan ar plusu, gan ar mīnusu.) Matemātiski šis fakts nozīmētu, ka ir divas progresijas, kas atbilst problēmas apstākļiem. Un katram savs saucējs. Izklaidei praktizējieties un pierakstiet katra pirmos piecus terminus.)
Tagad praktizēsimies, lai atrastu dalībnieka numuru. Šī problēma ir visgrūtākā, jā. Bet arī radošāks.)
Dota ģeometriskā progresija:
3; 6; 12; 24; …
Kāds skaitlis šajā progresijā ir skaitlis 768?
Pirmais solis joprojām ir tāds pats: uzraksti formulunbiedrs!
b n = b 1 · qn -1
Un tagad, kā parasti, mēs tajā aizstājam mums zināmos datus. Hm... tas nedarbojas! Kur pirmais termins, kur saucējs, kur viss pārējais?!
Kur, kur... Kāpēc mums vajadzīgas acis? Plivināt skropstas? Šoreiz progresija mums tiek dota tieši formā sekvences. Vai mēs varam redzēt pirmo dalībnieku? Mēs redzam! Tas ir trīskāršs (b 1 = 3). Kā ar saucēju? Mēs to vēl neredzam, taču to ir ļoti viegli saskaitīt. Ja, protams, saproti...
Tātad mēs rēķināmies. Tieši saskaņā ar ģeometriskās progresijas nozīmi: mēs ņemam jebkuru no tās terminiem (izņemot pirmo) un dalām ar iepriekšējo.
Vismaz šādi:
q = 24/12 = 2
Ko vēl mēs zinām? Mēs zinām arī dažus šīs progresijas termiņus, kas vienādi ar 768. Zem kāda skaitļa n:
b n = 768
Mēs nezinām viņa numuru, bet mūsu uzdevums ir tieši viņu atrast.) Tāpēc mēs meklējam. Mēs jau esam lejupielādējuši visus nepieciešamos datus aizvietošanai formulā. Pašam nezinot.)
Šeit mēs aizstājam:
768 = 3 2n -1
Izdarīsim elementāros - abas puses sadalām ar trīs un vienādojumu pārrakstīsim parastajā formā: nezināmais ir pa kreisi, zināmais pa labi.
Mēs iegūstam:
2 n -1 = 256
Šis ir interesants vienādojums. Mums jāatrod "n". Kas, neparasts? Jā, es nestrīdos. Patiesībā šī ir visvienkāršākā lieta. To sauc tāpēc, ka nezināmais (šajā gadījumā tas ir numurs n) izmaksas iekšā indikators grādiem.
Ģeometriskās progresijas apguves posmā (šī ir devītā klase) viņi nemāca, kā atrisināt eksponenciālos vienādojumus, jā... Šī ir vidusskolas tēma. Bet nav nekā biedējoša. Pat ja jūs nezināt, kā šādi vienādojumi tiek atrisināti, mēģināsim atrast mūsu n, vadoties pēc vienkāršas loģikas un veselā saprāta.
Sāksim runāt. Kreisajā pusē mums ir divnieks līdz zināmai pakāpei. Mēs vēl nezinām, kas tieši ir šis grāds, bet tas nav biedējoši. Bet mēs noteikti zinām, ka šis grāds ir vienāds ar 256! Tātad mēs atceramies, cik lielā mērā divi dod mums 256. Vai atceries? Jā! IN astotais grādiem!
256 = 2 8
Ja neatceraties vai jums ir problēmas ar grādu atpazīšanu, arī tas ir pareizi: vienkārši secīgi kvadrātā divi, kubs, ceturtais, piektais utt. Atlase, patiesībā, bet šajā līmenī darbosies diezgan labi.
Vienā vai otrā veidā mēs iegūstam:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Tātad 768 ir devītais mūsu progresa biedrs. Tas arī viss, problēma atrisināta.)
Atbilde: 9
Kas? Garlaicīgi? Apnicis elementāras lietas? Piekrītu. Un mani arī. Pāriesim uz nākamo līmeni.)
Sarežģītāki uzdevumi.
Tagad atrisināsim sarežģītākas problēmas. Ne gluži superforši, bet tādi, kuros ir nedaudz jāpastrādā, lai iegūtu atbildi.
Piemēram, šis.
Atrodiet ģeometriskās progresijas otro daļu, ja tās ceturtais ir -24 un septītais ir 192.
Šī ir žanra klasika. Ir zināmi divi dažādi progresēšanas termini, taču ir jāatrod cits termins. Turklāt visi dalībnieki NAV kaimiņi. Kas sākumā ir mulsinoši, jā...
Tāpat kā, lai atrisinātu šādas problēmas, mēs apsvērsim divas metodes. Pirmā metode ir universāla. Algebriskā. Nevainojami darbojas ar jebkuriem avota datiem. Tātad mēs sāksim ar to.)
Mēs aprakstām katru terminu saskaņā ar formulu nbiedrs!
Viss ir tieši tāpat kā ar aritmētisko progresiju. Tikai šoreiz strādājam ar cits vispārējā formula. Tas arī viss.) Bet būtība ir viena: ņemam un vienu pēc otra Mēs aizstājam savus sākotnējos datus n-tā termina formulā. Katram dalībniekam - savs.
Par ceturto termiņu mēs rakstām:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Ēst. Viens vienādojums ir gatavs.
Septītajam termiņam mēs rakstām:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Kopumā mēs saņēmām divus vienādojumus tāda pati progresija .
Mēs no tiem saliekam sistēmu:
Neskatoties uz draudīgo izskatu, sistēma ir diezgan vienkārša. Acīmredzamākais risinājums ir vienkārša aizstāšana. Mēs izsakām b 1 no augšējā vienādojuma un aizstājiet to ar apakšējo:
Nedaudz pamānījušies ar apakšējo vienādojumu (samazinot jaudus un dalot ar -24), iegūstam:
q 3 = -8
Starp citu, šo pašu vienādojumu var iegūt vienkāršāk! Kurš? Tagad es jums parādīšu vēl vienu noslēpumainu, bet ļoti skaistu, spēcīgu un noderīgu veidu, kā atrisināt šādas sistēmas. Tādas sistēmas, kuru vienādojumos ietilpst darbojas tikai. Vismaz vienā. Zvanīja sadalīšanas metode viens vienādojums pret otru.
Tātad mūsu priekšā ir sistēma:
Abos vienādojumos pa kreisi - strādāt, un labajā pusē ir tikai skaitlis. Tā ir ļoti laba zīme.) Ņemsim to un... sadalīsim, teiksim, apakšējo vienādojumu ar augšējo! Ko nozīmē, dalīsim vienu vienādojumu ar otru?Ļoti vienkārši. Ņemsim to kreisā puse viens vienādojums (apakšējais) un sadalīt viņa ieslēgta kreisā puse cits vienādojums (augšējais). Labā puse ir līdzīga: labā puse viens vienādojums sadalīt ieslēgts labā puse cits.
Viss sadalīšanas process izskatās šādi:
Tagad, samazinot visu, ko var samazināt, mēs iegūstam:
q 3 = -8
Kas šajā metodē ir labs? Jā, jo šādas dalīšanas procesā visu slikto un neērto var droši samazināt un paliek pilnīgi nekaitīgs vienādojums! Tāpēc ir tik svarīgi, lai būtu tikai reizināšana vismaz vienā no sistēmas vienādojumiem. Nav reizināšanas - nav ko samazināt, jā...
Kopumā šī metode (tāpat kā daudzas citas netriviālas sistēmu risināšanas metodes) pat ir pelnījusi atsevišķu nodarbību. Es noteikti to izskatīšu sīkāk. Kādu dienu…
Tomēr nav svarīgi, kā tieši jūs atrisināsiet sistēmu, jebkurā gadījumā tagad mums ir jāatrisina iegūtais vienādojums:
q 3 = -8
Nav problēmu: izņemiet kuba sakni un esat pabeidzis!
Lūdzu, ņemiet vērā, ka ekstrakcijas laikā šeit nav jāliek plus/mīnuss. Mūsu sakne ir nepāra (trešās) pakāpes. Un arī atbilde ir tāda pati, jā.)
Tātad progresijas saucējs ir atrasts. Mīnus divi. Lieliski! Process turpinās.)
Pirmajam terminam (teiksim, no augšējā vienādojuma) mēs iegūstam:
Lieliski! Mēs zinām pirmo terminu, zinām saucēju. Un tagad mums ir iespēja atrast jebkuru progresa dalībnieku. Otro ieskaitot.)
Otrajam termiņam viss ir pavisam vienkārši:
b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6
Atbilde: -6
Tātad, mēs esam sadalījuši problēmas risināšanas algebrisko metodi. Grūti? Nav īsti, piekrītu. Ilgi un nogurdinoši? Jā noteikti. Bet dažreiz jūs varat ievērojami samazināt darba apjomu. Šim nolūkam ir grafiskā metode. Vecs labs un mums pazīstams.)
Uzzīmēsim uzdevumu!
Jā! Tieši tā. Atkal mēs attēlojam savu progresēšanu uz skaitļu ass. Nav nepieciešams sekot lineālam, nav nepieciešams uzturēt vienādus intervālus starp dalībniekiem (kas, starp citu, nebūs vienādi, jo progresija ir ģeometriska!), bet vienkārši shematiski Uzzīmēsim savu secību.
Man sanāca šādi:
Tagad skatieties attēlu un izdomājiet to. Cik identisku faktoru "q" atdala ceturtais Un septītais biedri? Tieši tā, trīs!
Tāpēc mums ir visas tiesības rakstīt:
-24·q 3 = 192
No šejienes tagad ir viegli atrast q:
q 3 = -8
q = -2
Tas ir lieliski, mums jau ir saucējs kabatā. Tagad apskatīsim attēlu vēlreiz: cik daudz šādu saucēju atrodas starp otrais Un ceturtais biedri? Divi! Tāpēc, lai fiksētu saistību starp šiem terminiem, mēs paaugstināsim saucēju kvadrātā.
Tātad mēs rakstām:
b 2 · q 2 = -24 , kur b 2 = -24/ q 2
Mēs aizstājam mūsu atrasto saucēju izteiksmē b 2, saskaitām un iegūstam:
Atbilde: -6
Kā redzat, viss ir daudz vienkāršāk un ātrāk nekā caur sistēmu. Turklāt šeit mums pat nebija jāskaita pirmais termiņš! Pavisam.)
Šeit ir tik vienkāršs un vizuāls veids-gaisma. Bet tam ir arī nopietns trūkums. Vai jūs to uzminējāt? Jā! Tas ir piemērots tikai ļoti īsiem progresēšanas gabaliem. Tādas, kur attālumi starp mūs interesējošajiem biedriem nav īpaši lieli. Bet visos citos gadījumos jau ir grūti uzzīmēt attēlu, jā... Tad mēs problēmu risinām analītiski, caur sistēmu.) Un sistēmas ir universālas lietas. Viņi var apstrādāt jebkurus numurus.
Vēl viens episks izaicinājums:
Otrais ģeometriskās progresijas termiņš ir par 10 vairāk nekā pirmais, bet trešais ir par 30 vairāk nekā otrais. Atrodiet progresijas saucēju.
Ko, forši? Nepavisam! Viss tas pats. Atkal mēs tulkojam problēmas formulējumu tīrā algebrā.
1) Mēs aprakstām katru terminu pēc formulas nbiedrs!
Otrais termins: b 2 = b 1 q
Trešais termins: b 3 = b 1 q 2
2) Mēs pierakstām savienojumu starp dalībniekiem no problēmas izklāsta.
Mēs lasām nosacījumu: "Ģeometriskās progresijas otrais termins ir par 10 lielāks nekā pirmais." Beidz, tas ir vērtīgi!
Tātad mēs rakstām:
b 2 = b 1 +10
Un mēs tulkojam šo frāzi tīrā matemātikā:
b 3 = b 2 +30
Mēs saņēmām divus vienādojumus. Apvienosim tos sistēmā:
Sistēma izskatās vienkārša. Bet burtiem ir pārāk daudz dažādu indeksu. Otrā un trešā vārda vietā aizstāsim to izteiksmes ar pirmo vārdu un saucēju! Vai mēs tos krāsojām velti?
Mēs iegūstam:
Bet tāda sistēma vairs nav dāvana, jā... Kā to atrisināt? Diemžēl nav universālas slepenas burvestības kompleksu risināšanai nelineārs Sistēmu matemātikā nav un nevar būt. Tas ir fantastiski! Bet pirmais, kam vajadzētu ienākt prātā, mēģinot salauzt tik cietu riekstu, ir izdomāt Bet vai viens no sistēmas vienādojumiem nav reducēts uz skaistu formu, kas ļauj, piemēram, viegli izteikt vienu no mainīgajiem ar citu?
Izdomāsim. Pirmais sistēmas vienādojums ir acīmredzami vienkāršāks nekā otrais. Mēs viņu spīdzināsim.) Vai mums nevajadzētu mēģināt no pirmā vienādojuma kaut ko izteikt cauri kaut ko? Tā kā mēs vēlamies atrast saucēju q, tad mums visizdevīgāk būtu izteikties b 1 cauri q.
Mēģināsim veikt šo procedūru ar pirmo vienādojumu, izmantojot vecos labos vienādojumus:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Visi! Tā mēs izteicām nevajadzīgi dod mums mainīgo (b 1) cauri nepieciešams(q). Jā, tas nav vienkāršākais izteiciens. Kaut kāda daļa... Bet mūsu sistēma ir pieklājīgā līmenī, jā.)
Tipiski. Mēs zinām, ko darīt.
Mēs rakstām ODZ (Obligāti!) :
q ≠ 1
Mēs visu reizinām ar saucēju (q-1) un atceļam visas daļdaļas:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Mēs visu sadalām ar desmit, atveram iekavas un savācam visu no kreisās puses:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Mēs atrisinām rezultātu un iegūstam divas saknes:
q 1 = 1
q 2 = 3
Ir tikai viena galīgā atbilde: q = 3 .
Atbilde: 3
Kā redzat, ceļš uz lielāko daļu problēmu, kas saistītas ar ģeometriskās progresijas n-tā vārda formulu, vienmēr ir vienāds: lasiet uzmanīgi uzdevuma nosacījumu un izmantojot n-tā termina formulu, mēs visu noderīgo informāciju pārvēršam tīrā algebrā.
Proti:
1) Katru uzdevumā doto terminu aprakstam atsevišķi pēc formulasnbiedrs.
2) No uzdevuma nosacījumiem mēs pārveidojam savienojumu starp dalībniekiem matemātiskā formā. Mēs veidojam vienādojumu vai vienādojumu sistēmu.
3) Atrisinām iegūto vienādojumu vai vienādojumu sistēmu, atrodam nezināmos progresijas parametrus.
4) Neskaidras atbildes gadījumā rūpīgi izlasi uzdevuma nosacījumus, meklējot papildu informāciju (ja tāda ir). Saņemto atbildi pārbaudām arī ar DL nosacījumiem (ja tādi ir).
Tagad uzskaitīsim galvenās problēmas, kas visbiežāk izraisa kļūdas ģeometriskās progresijas problēmu risināšanas procesā.
1. Elementārā aritmētika. Darbības ar daļskaitļiem un negatīviem skaitļiem.
2. Ja ir problēmas ar vismaz vienu no šiem trim punktiem, tad šajā tēmā neizbēgami pieļausi kļūdas. Diemžēl... Tāpēc neesiet slinki un atkārtojiet iepriekš minēto. Un sekojiet saitēm - aiziet. Dažreiz tas palīdz.)
Modificētas un atkārtotas formulas.
Tagad apskatīsim dažas tipiskas eksāmena problēmas ar mazāk pazīstamu nosacījumu izklāstu. Jā, jā, jūs uzminējāt! Šis modificēts Un atkārtojas n-tā termina formulas. Mēs jau esam sastapušies ar šādām formulām un strādājuši pie aritmētiskās progresijas. Šeit viss ir līdzīgi. Būtība ir tāda pati.
Piemēram, šī problēma no OGE:
Ģeometrisko progresiju nosaka formula b n = 32 n . Atrodiet tā pirmā un ceturtā termina summu.
Šoreiz mums progress nav gluži kā ierasts. Kaut kādas formulas veidā. Nu ko? Šī formula ir arī formulanbiedrs! Mēs ar jums zinām, ka n-tā termina formulu var rakstīt gan vispārīgā formā, izmantojot burtus, gan par specifiska progresija. AR specifisks pirmais termins un saucējs.
Mūsu gadījumā mums faktiski tiek dota vispārīga termina formula ģeometriskai progresijai ar šādiem parametriem:
b 1 = 6
q = 2
Pārbaudīsim?) Pierakstīsim n-tā vārda formulu vispārīgā formā un aizstāsim to ar b 1 Un q. Mēs iegūstam:
b n = b 1 · qn -1
b n= 6 2n -1
Mēs vienkāršojam, izmantojot faktorizāciju un pilnvaru īpašības, un mēs iegūstam:
b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 32n -1+1 = 32n
Kā redzat, viss ir godīgi. Bet mūsu mērķis nav demonstrēt konkrētas formulas atvasināšanu. Tas tā ir, liriska atkāpe. Tīri izpratnei.) Mūsu mērķis ir atrisināt problēmu, izmantojot formulu, kas mums dota nosacījumā. Vai jūs to saprotat?) Tātad mēs strādājam ar modificēto formulu tieši.
Mēs ieskaitām pirmo termiņu. Aizstāsim n=1 vispārējā formulā:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Kā šis. Starp citu, es nebūšu slinks un vēlreiz vērsīšu jūsu uzmanību uz tipisku kļūdu, aprēķinot pirmo termiņu. NEVAJAG, skatoties uz formulu b n= 32n, uzreiz steidz rakstīt, ka pirmais termins ir trīs! Tā ir rupja kļūda, jā...)
Turpināsim. Aizstāsim n=4 un saskaitiet ceturto terminu:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Un visbeidzot mēs aprēķinām nepieciešamo summu:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Atbilde: 54
Vēl viena problēma.
Ģeometrisko progresiju nosaka nosacījumi:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Atrodiet progresijas ceturto termiņu.
Šeit progresēšanu uzrāda atkārtota formula. Nu labi.) Kā strādāt ar šo formulu – mēs arī zinām.
Tātad mēs rīkojamies. Soli pa solim.
1) Saskaiti divus pēc kārtas progresijas dalībnieks.
Pirmais termiņš mums jau ir dots. Mīnus septiņi. Bet nākamo, otro termiņu var viegli aprēķināt, izmantojot atkārtošanās formulu. Protams, ja jūs saprotat tā darbības principu.)
Tātad mēs ieskaitām otro termiņu saskaņā ar labi zināmo pirmo:
b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21
2) Aprēķināt progresijas saucēju
Arī nekādu problēmu. Taisni, sadalīsim otrais penis tālāk vispirms.
Mēs iegūstam:
q = -21/(-7) = 3
3) Uzrakstiet formulunth biedru parastajā formā un aprēķināt nepieciešamo biedru.
Tātad, mēs zinām pirmo terminu un arī saucēju. Tātad mēs rakstām:
b n= -7·3n -1
b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Atbilde: -189
Kā redzat, darbs ar šādām formulām ģeometriskajai progresijai būtībā neatšķiras no aritmētiskās progresijas formulas. Ir tikai svarīgi saprast šo formulu vispārējo būtību un nozīmi. Nu vajag arī saprast ģeometriskās progresijas nozīmi, jā.) Un tad nebūs stulbu kļūdu.
Nu, izlemsim paši?)
Ļoti elementāri iesildīšanās uzdevumi:
1. Dota ģeometriskā progresija, kurā b 1 = 243, a q = -2/3. Atrodiet progresijas sesto termiņu.
2. Ģeometriskās progresijas vispārīgo terminu uzrāda formula b n = 5∙2 n +1 . Atrodiet šīs progresijas pēdējā trīsciparu vārda numuru.
3. Ģeometrisko progresiju nosaka nosacījumi:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Atrodiet progresijas piekto termiņu.
Nedaudz sarežģītāk:
4. Dota ģeometriskā progresija:
b 1 =2048; q =-0,5
Ar ko ir vienāds sestais negatīvais vārds?
Kas šķiet ļoti grūti? Nepavisam. Jūs glābs loģika un izpratne par ģeometriskās progresijas nozīmi. Nu, n-tā termiņa formula, protams.
5. Ģeometriskās progresijas trešais loceklis ir -14, bet astotais ir 112. Atrodiet progresijas saucēju.
6. Ģeometriskās progresijas pirmā un otrā vārda summa ir 75, bet otrā un trešā vārda summa ir 150. Atrodiet progresijas sesto biedru.
Atbildes (nekārtīgi): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Tas ir gandrīz viss. Mums atliek tikai iemācīties skaitīt ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa jā atklāj bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija un tā apjoms. Ļoti interesanta un neparasta lieta, starp citu! Vairāk par to nākamajās nodarbībās.)
