Diez vai vismaz gads mūsu redakcijas dzīvē pagāja, nesaņemot labu duci Fermā teorēmas pierādījumu. Tagad pēc “uzvaras” pār to straume ir norimusies, bet nav izsīkusi.

Protams, lai neizžūtu līdz galam, publicējam šo rakstu. Un ne jau savā aizstāvībā – par to, saka, tāpēc arī klusējām, paši vēl neesam nobrieduši apspriest tik sarežģītas problēmas.

Bet, ja raksts tiešām šķiet sarežģīts, paskatieties uzreiz tā beigas. Būs jājūt, ka kaislības uz laiku norimušas, zinātne nav beigusies, un drīzumā redakcijai tiks sūtīti jauni jaunu teorēmu pierādījumi.

Šķiet, ka 20. gadsimts nebija veltīgs. Pirmkārt, cilvēki uz brīdi radīja otru Sauli, detonējot ūdeņraža bumbu. Tad viņi gāja pa Mēnesi un beidzot pierādīja bēdīgi slaveno Fermā teorēmu. No šiem trim brīnumiem pirmie divi ir visiem uz lūpām, jo ​​tiem ir bijušas milzīgas sociālās sekas. Tieši otrādi, trešais brīnums izskatās pēc kārtējās zinātniskās rotaļlietas – līdzvērtīgi relativitātes teorijai, kvantu mehānikai un Gēdeļa teorēmai par aritmētikas nepabeigtību. Tomēr relativitāte un kvanti noveda fiziķus pie ūdeņraža bumbas, un matemātiķu pētījumi piepildīja mūsu pasauli ar datoriem. Vai šī brīnumu virkne turpināsies arī 21. gadsimtā? Vai ir iespējams izsekot saiknei starp nākamajām zinātniskajām rotaļlietām un revolūcijām mūsu ikdienā? Vai šī saikne ļauj mums veikt veiksmīgas prognozes? Mēģināsim to saprast, izmantojot Fermā teorēmas piemēru.

Iesākumā atzīmēsim, ka viņa piedzima daudz vēlāk par savu dabisko termiņu. Galu galā pirmais īpašais Fermā teorēmas gadījums ir Pitagora vienādojums X 2 + Y 2 = Z 2 , kas attiecas uz taisnleņķa trijstūra malu garumiem. Pierādījis šo formulu pirms divdesmit pieciem gadsimtiem, Pitagors uzreiz sev uzdeva jautājumu: vai dabā ir daudz trijstūri, kuros gan kājiņām, gan hipotenūzai ir vesels skaitlis? Šķiet, ka ēģiptieši zināja tikai vienu šādu trīsstūri - ar malām (3, 4, 5). Bet nav grūti atrast citas iespējas: piemēram (5, 12, 13) , (7, 24, 25) vai (8, 15, 17) . Visos šajos gadījumos hipotenūzas garumam ir forma (A 2 + B 2), kur A un B ir dažādas paritātes pirmskaitļi. Šajā gadījumā kāju garumi ir vienādi ar (A 2 - B 2) un 2AB.

Pamanot šīs attiecības, Pitagors viegli pierādīja, ka jebkurš skaitļu trīskāršs (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) ir vienādojuma X 2 + Y 2 \u003d Z risinājums. 2 un iestata taisnstūri ar savstarpēji vienkāršiem malu garumiem. Ir arī redzams, ka dažādu šāda veida trīskāršu skaits ir bezgalīgs. Bet vai visiem Pitagora vienādojuma risinājumiem ir šāda forma? Pitagors nespēja pierādīt vai atspēkot šādu hipotēzi un atstāja šo problēmu pēcnācējiem, nepievēršot tai uzmanību. Kurš vēlas izcelt savas neveiksmes? Šķiet, ka pēc tam veselu taisnleņķa trīsstūru problēma bija aizmirstībā septiņus gadsimtus – līdz Aleksandrijā parādījās jauns matemātikas ģēnijs vārdā Diofants.

Mēs par viņu maz zinām, taču ir skaidrs, ka viņš nebija līdzīgs Pitagoram. Viņš jutās kā karalis ģeometrijā un pat ārpus tās — gan mūzikā, gan astronomijā vai politikā. Pirmais aritmētiskais savienojums starp harmoniskas arfas malu garumiem, pirmais Visuma modelis no koncentriskām sfērām, kas nes planētas un zvaigznes, ar Zemi centrā, un visbeidzot, pirmā zinātnieku republika Itālijas pilsētā Krotonē. - tie ir Pitagora personīgie sasniegumi. Ko pret šādiem panākumiem varētu iebilst Diofants – pieticīgais lielā muzeja pētnieks, kas jau sen vairs nav pilsētas pūļa lepnums?

Tikai viena: labāka izpratne par seno skaitļu pasauli, kuras likumus Pitagoram, Eiklidam un Arhimēdam tik tikko paguva izjust. Ņemiet vērā, ka Diofants vēl nebija apguvis lielu skaitļu rakstīšanas pozicionālo sistēmu, taču viņš zināja, kas ir negatīvie skaitļi, un, iespējams, pavadīja daudzas stundas, domājot par to, kāpēc divu negatīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs. Veselo skaitļu pasaule vispirms tika atklāta Diofantam kā īpašs Visums, kas atšķiras no zvaigžņu, segmentu vai daudzskaldņu pasaules. Zinātnieku pamatnodarbošanās šajā pasaulē ir vienādojumu risināšana, īsts meistars atrod visus iespējamos risinājumus un pierāda, ka citu risinājumu nav. Tas ir tas, ko Diofants izdarīja ar Pitagora kvadrātvienādojumu, un tad viņš domāja: vai vismaz vienam risinājumam ir līdzīgs kubiskais vienādojums X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Diofantam neizdevās atrast šādu risinājumu, viņa mēģinājums pierādīt, ka risinājumu nav, arī bija neveiksmīgs. Tāpēc, sastādot sava darba rezultātus grāmatā "Aritmētika" (tā bija pasaulē pirmā skaitļu teorijas mācību grāmata), Diofants sīki analizēja Pitagora vienādojumu, bet ne vārda nesniedza mājienu par šī vienādojuma iespējamiem vispārinājumiem. Bet viņš varēja: galu galā tieši Diofants pirmais ierosināja apzīmējumu veselu skaitļu pakāpēm! Bet diemžēl jēdziens “uzdevumu grāmata” bija svešs Grieķijas zinātnei un pedagoģijai, un neatrisināto problēmu sarakstu publicēšana tika uzskatīta par nepiedienīgu nodarbošanos (tikai Sokrats rīkojās citādi). Ja nevari atrisināt problēmu - klusē! Diofants apklusa, un šis klusums ievilkās četrpadsmit gadsimtus – līdz Jaunā laika sākumam, kad atdzima interese par cilvēka domāšanas procesu.

Kurš 16.-17.gadsimtu mijā ne par ko nefantazēja! Nenogurdināmais kalkulators Keplers mēģināja uzminēt saistību starp attālumiem no Saules līdz planētām. Pitagoram neizdevās. Keplera panākumus guva pēc tam, kad viņš iemācījās integrēt polinomus un citas vienkāršas funkcijas. Gluži pretēji, sapņotājam Dekartam nepatika ilgi aprēķini, bet tieši viņš vispirms visus plaknes vai telpas punktus uzrādīja kā skaitļu kopas. Šis drosmīgais modelis reducē jebkuru ģeometrisku problēmu par skaitļiem uz kādu algebrisku problēmu par vienādojumiem - un otrādi. Piemēram, Pitagora vienādojuma veseli skaitļu risinājumi atbilst veseliem skaitļu punktiem uz konusa virsmas. Virsma, kas atbilst kubiskajam vienādojumam X 3 + Y 3 = Z 3, izskatās sarežģītāka, tās ģeometriskās īpašības Pjēram Fermā neko neliecināja, un viņam bija jābruģē jauni ceļi cauri veseliem skaitļiem.

1636. gadā Diofanta grāmata, kas tikko tulkota latīņu valodā no grieķu oriģināla, nokļuva jauna jurista no Tulūzas rokās, nejauši izdzīvojot kādā bizantiešu arhīvā un atveda uz Itāliju viens no romiešu bēgļiem turku laikā. sagraut. Lasot elegantu diskusiju par Pitagora vienādojumu, Fermā domāja: vai ir iespējams atrast šādu risinājumu, kas sastāv no trim kvadrātskaitļiem? Šāda veida skaitļi nav mazi: to ir viegli pārbaudīt uzskaitot. Kā ar lieliem lēmumiem? Bez datora Fermat nevarēja veikt skaitlisku eksperimentu. Bet viņš pamanīja, ka katram vienādojuma "lielajam" risinājumam X 4 + Y 4 = Z 4 var izveidot mazāku risinājumu. Tātad divu veselu skaitļu ceturto pakāpju summa nekad nav vienāda ar trešā skaitļa vienādu pakāpju! Kā ir ar divu kubu summu?

Iedvesmojoties no panākumiem 4. pakāpē, Fermā mēģināja modificēt 3. pakāpes "nolaišanās metodi" — un tas izdevās. Izrādījās, ka no tiem atsevišķiem kubiem, kuros sabruka liels kubs ar veselu malas garumu, nav iespējams izveidot divus mazus kubus. Triumfējošais Fermā izdarīja īsu piezīmi Diofanta grāmatas malās un nosūtīja vēstuli uz Parīzi ar detalizētu ziņojumu par savu atklājumu. Taču atbildi viņš nesaņēma – lai gan parasti galvaspilsētas matemātiķi ātri reaģēja uz sava vientuļā kolēģa-konkurenta kārtējo panākumu Tulūzā. Kas te par lietu?

Pavisam vienkārši: līdz 17. gadsimta vidum aritmētika bija izgājusi no modes. 16. gadsimta itāļu algebristu lielie panākumi (kad tika atrisināti 3. un 4. pakāpes polinomu vienādojumi) nekļuva par vispārējas zinātnes revolūcijas sākumu, jo neļāva risināt jaunas spilgtas problēmas blakus esošajās zinātnes jomās. Tagad, ja Keplers varētu uzminēt planētu orbītas, izmantojot tīru aritmētiku... Bet diemžēl tam bija nepieciešama matemātiska analīze. Tas nozīmē, ka tas ir jāattīsta – līdz pilnīgam matemātisko metožu triumfam dabaszinātnēs! Taču analīze izaug no ģeometrijas, bet aritmētika paliek dīkstāves juristu un citu mūžīgās skaitļu un skaitļu zinātnes cienītāju spēles lauks.

Tātad Fermā aritmētiskie panākumi izrādījās nelaikā un palika nenovērtēti. Viņu tas neapbēdināja: matemātiķa slavai viņam pirmo reizi tika atklāti diferenciālrēķina, analītiskās ģeometrijas un varbūtību teorijas fakti. Visi šie Fermā atklājumi uzreiz iekļuva jaunās Eiropas zinātnes zelta fondā, savukārt skaitļu teorija vēl simts gadus pazuda otrajā plānā – līdz to atdzīvināja Eilers.

Šis 18. gadsimta "matemātiķu karalis" bija čempions visos analīzes pielietojumos, taču viņš neatstāja novārtā arī aritmētiku, jo jaunas analīzes metodes radīja negaidītus faktus par skaitļiem. Kurš būtu domājis, ka apgriezto kvadrātu bezgalīgā summa (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) ir vienāda ar π 2 /6? Kurš no hellēņiem varēja paredzēt, ka līdzīgas sērijas ļaus pierādīt skaitļa π iracionalitāti?

Šādi panākumi piespieda Eileru rūpīgi pārlasīt izdzīvojušos Fermā manuskriptus (par laimi, lielā francūža dēlam izdevās tos publicēt). Tiesa, 3. pakāpes “lielās teorēmas” pierādījums nav saglabāts, taču Eilers to viegli atjaunoja, tikai norādot uz “nolaišanās metodi”, un nekavējoties mēģināja šo metodi pārnest uz nākamo galveno pakāpi - 5.

Tā tur nebija! Eilera argumentācijā parādījās kompleksi skaitļi, kurus Fermā paspēja nepamanīt (tāda ir ierastā atklājēju daļa). Bet sarežģītu veselu skaitļu faktorizācija ir delikāts jautājums. Pat Eilers to līdz galam nesaprata un nolika malā "Fermā problēmu", steidzoties pabeigt savu galveno darbu - mācību grāmatu "Analīzes pamati", kurai vajadzēja palīdzēt ikvienam talantīgam jauneklim nostāties vienā līmenī ar Leibnicu un Eilers. Mācību grāmatas izdošana tika pabeigta Sanktpēterburgā 1770. gadā. Taču Eilers neatgriezās pie Fermā teorēmas, būdams pārliecināts, ka jaunā zinātniskā jaunība neaizmirsīs visu, kam pieskārās viņa rokas un prāts.

Un tā arī notika: francūzis Adriens Legendrs kļuva par Eilera pēcteci skaitļu teorijā. 18. gadsimta beigās viņš pabeidza Fermā teorēmas pierādīšanu 5. pakāpei – un, lai gan viņam neizdevās iegūt lielas pirmpakāpes, viņš sastādīja vēl vienu skaitļu teorijas mācību grāmatu. Lai tās jaunie lasītāji pārspēj autoru tāpat, kā Dabasfilozofijas matemātisko principu lasītāji pārspēja lielo Ņūtonu! Leģendre nelīdzinājās Ņūtonam vai Eileram, taču viņa lasītāju vidū bija divi ģēniji: Karls Gauss un Evariste Galuā.

Tik augstu ģēniju koncentrāciju veicināja Francijas revolūcija, kas pasludināja valsts Saprāta kultu. Pēc tam katrs talantīgs zinātnieks jutās kā Kolumbs vai Aleksandrs Lielais, kas spēj atklāt vai iekarot jaunu pasauli. Daudziem tas izdevās, tāpēc 19. gadsimtā zinātnes un tehnikas progress kļuva par galveno cilvēces evolūcijas virzītāju, un visi saprātīgie valdnieki (sākot ar Napoleonu) to apzinājās.

Gauss pēc rakstura bija tuvs Kolumbam. Bet viņš (tāpat kā Ņūtons) neprata ar skaistām runām aizraut valdnieku vai studentu iztēli, un tāpēc savas ambīcijas aprobežojās ar zinātnisko koncepciju sfēru. Šeit viņš varēja darīt visu, ko gribēja. Piemēram, seno leņķa trīsgriezuma problēmu nez kāpēc nevar atrisināt ar kompasu un taisngriezi. Ar kompleksu skaitļu palīdzību, kas attēlo plaknes punktus, Gauss pārtulko šo problēmu algebras valodā - un iegūst vispārīgu teoriju par noteiktu ģeometrisku konstrukciju iespējamību. Tādējādi tajā pašā laikā parādījās stingrs pierādījums tam, ka ar kompasu un lineālu nav iespējams konstruēt regulāru 7 vai 9 gonu, un tāds parastais 17 gonu konstruēšanas veids, ko izdarīja Hellas gudrākie ģeometri. nesapņot.

Protams, šādi panākumi netiek doti velti: ir jāizdomā jauni jēdzieni, kas atspoguļo lietas būtību. Ņūtons ieviesa trīs šādus jēdzienus: plūsma (atvasinājums), plūstošā (integrālā) un jaudas sērijas. Ar tiem pietika, lai izveidotu matemātisko analīzi un pirmo fiziskās pasaules zinātnisko modeli, ieskaitot mehāniku un astronomiju. Gauss arī ieviesa trīs jaunus jēdzienus: vektora telpa, lauks un gredzens. No tiem izauga jauna algebra, pakārtojot grieķu aritmētiku un Ņūtona radīto skaitlisko funkciju teoriju. Atlika Aristoteļa radīto loģiku pakārtot algebrai: tad ar aprēķinu palīdzību no šīs aksiomu kopas būtu iespējams pierādīt jebkādu zinātnisku apgalvojumu izsecināmību vai neatvasināmību! Piemēram, vai Fermā teorēma izriet no aritmētikas aksiomām, vai arī Eiklida paralēlo līniju postulāts izriet no citām planimetrijas aksiomām?

Gausam nebija laika īstenot šo drosmīgo sapni - lai gan viņš panāca tālu un uzminēja eksotisku (nekomutatīvu) algebru pastāvēšanas iespēju. Tikai drosmīgajam krievam Nikolajam Lobačevskim izdevās izveidot pirmo ne-eiklida ģeometriju, un pirmo nekomutatīvo algebru (Grupu teoriju) vadīja francūzis Evariste Galuā. Un tikai daudz vēlāk pēc Gausa nāves - 1872. gadā - jaunais vācietis Fēlikss Kleins uzminēja, ka iespējamo ģeometriju dažādību var tuvināt viena pret vienu ar iespējamo algebru dažādību. Vienkārši sakot, katru ģeometriju nosaka tās simetrijas grupa - savukārt vispārējā algebra pēta visas iespējamās grupas un to īpašības.

Taču šāda izpratne par ģeometriju un algebru radās daudz vēlāk, un uzbrukums Fermā teorēmai atsākās Gausa dzīves laikā. Viņš pats atstāja novārtā Fermā teorēmu ārpus principa: nav karaļa darīšana atrisināt atsevišķas problēmas, kas neiekļaujas spilgtā zinātniskā teorijā! Taču Gausa studenti, bruņojušies ar viņa jauno algebru un klasisko Ņūtona un Eilera analīzi, domāja citādi. Pirmkārt, Pīters Dirihlets pierādīja Fermā teorēmu 7. pakāpei, izmantojot kompleksu veselu skaitļu gredzenu, ko ģenerē šīs vienotības pakāpes saknes. Tad Ernsts Kummers paplašināja Dirihlē metodi līdz VISĀM pirmpakāpēm (!) – viņam tas šķita steigā, un viņš triumfēja. Taču drīz nāca atskārsme: pierādījums iziet nevainojami tikai tad, ja katrs gredzena elements ir unikāli sadalīts galvenajos faktoros! Parastiem veseliem skaitļiem šis fakts jau bija zināms Eiklīdam, taču tikai Gauss sniedza savu stingro pierādījumu. Bet kā ir ar veseliem kompleksajiem skaitļiem?

Atbilstoši “lielākās nelietības principam” var un IR IR jānotiek neviennozīmīgai faktorizācijai! Tiklīdz Kummers iemācījās aprēķināt neskaidrības pakāpi ar matemātiskās analīzes metodēm, viņš atklāja šo netīro triku gredzenā ar grādu 23. Gausam nebija laika, lai uzzinātu par šo eksotiskās komutācijas algebras versiju, bet Gausa skolēni pieauga. cita netīra trika vietā jauna skaista ideālu teorija. Tiesa, tas daudz nepalīdzēja Fermā problēmas risināšanā: kļuva skaidrāka tikai tās dabiskā sarežģītība.

Visā 19. gadsimtā šis senais elks prasīja no saviem cienītājiem arvien vairāk upuru jaunu sarežģītu teoriju veidā. Nav pārsteidzoši, ka līdz 20. gadsimta sākumam ticīgie kļuva mazdūšīgi un sacēlās, noraidot savu bijušo elku. Vārds "fermatists" ir kļuvis par nicinājumu profesionālu matemātiķu vidū. Un, lai gan par Fermā teorēmas pilnīgu pierādīšanu tika piešķirta ievērojama balva, tomēr tās pretendenti lielākoties bija pašpārliecināti nezinātāji. Tā laika spēcīgākie matemātiķi - Puankarē un Hilberts - izaicinoši izvairījās no šīs tēmas.

1900. gadā Hilberts neiekļāva Fermā teorēmu divdesmit trīs svarīgāko problēmu sarakstā, ar kurām saskaras divdesmitā gadsimta matemātika. Tiesa, viņš iekļāva viņu sērijās vispārējo Diofantīna vienādojumu atrisināmības problēmu. Mājiens bija skaidrs: sekojiet Gausa un Galuā piemēram, veidojiet vispārīgas jaunu matemātisko objektu teorijas! Tad vienā jaukā (bet iepriekš neparedzamā) dienā vecā šķemba pati izkritīs.

Tā rīkojās izcilais romantiķis Anrī Puankarē. Neņemot vērā daudzas "mūžīgās" problēmas, viņš visu mūžu pētīja dažādu matemātikas vai fizikas objektu SIMMETRIJU: vai nu kompleksa mainīgā funkcijas, vai debess ķermeņu kustības trajektorijas, vai algebriskas līknes vai gludus kolektorus (tie ir izliektu daudzdimensionāli vispārinājumi). līnijas). Viņa rīcības motīvs bija vienkāršs: ja diviem dažādiem objektiem ir līdzīga simetrija, tas nozīmē, ka starp tiem pastāv iekšējas attiecības, kuras mēs vēl nespējam aptvert! Piemēram, katrai no divdimensiju ģeometrijām (Eiklids, Lobačevskis vai Rīmanis) ir sava simetrijas grupa, kas iedarbojas uz plakni. Bet plaknes punkti ir kompleksi skaitļi: tādā veidā jebkuras ģeometriskas grupas darbība tiek pārnesta uz plašo sarežģīto funkciju pasauli. Ir iespējams un nepieciešams izpētīt simetriskākās no šīm funkcijām: AUTOMORPHOUS (kas ir pakļautas Eiklida grupai) un MODULAR (kas ir pakļautas Lobačevska grupai)!

Plaknē ir arī eliptiskas līknes. Tiem nav nekāda sakara ar elipsi, bet tie ir doti ar vienādojumiem formā Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX, un tāpēc tie krustojas ar jebkuru taisni trīs punktos. Šis fakts ļauj mums ieviest reizināšanu starp eliptiskās līknes punktiem - pārvērst to grupā. Šīs grupas algebriskā struktūra atspoguļo līknes ģeometriskās īpašības; varbūt to unikāli nosaka tās grupa? Šo jautājumu ir vērts izpētīt, jo dažām līknēm mūs interesējošā grupa izrādās modulāra, tas ir, tā ir saistīta ar Lobačevska ģeometriju ...

Tā sprieda Puankarē, pavedinot Eiropas matemātisko jaunatni, taču 20. gadsimta sākumā šie kārdinājumi neizraisīja spilgtas teorēmas vai hipotēzes. Citādi sanāca ar Hilberta aicinājumu: pētīt Diofantīna vienādojumu vispārīgos atrisinājumus ar veselo skaitļu koeficientiem! 1922. gadā jaunais amerikānis Lūiss Mordels savienoja šāda vienādojuma atrisinājumu kopu (tā ir noteiktas dimensijas vektoru telpa) ar kompleksās līknes ģeometrisko ģints, ko dod šis vienādojums. Mordels nonāca pie secinājuma, ka, ja vienādojuma pakāpe ir pietiekami liela (vairāk nekā divas), tad atrisinājuma telpas dimensija tiek izteikta līknes ģints izteiksmē, un tāpēc šī dimensija ir FINITE. Gluži pretēji - 2 pakāpē Pitagora vienādojumam ir BEZGALĪGA atrisinājumu saime!

Protams, Mordels saskatīja savas hipotēzes saistību ar Fermā teorēmu. Ja kļūs zināms, ka katrai pakāpei n > 2 Fermā vienādojuma veselu atrisinājumu telpa ir galīgi liela, tas palīdzēs pierādīt, ka tādu atrisinājumu nemaz nav! Taču Mordels neredzēja nekādu veidu, kā pierādīt savu hipotēzi – un, lai gan viņš nodzīvoja ilgu mūžu, viņš negaidīja šīs hipotēzes transformāciju Faltingsa teorēmā. Tas notika 1983. gadā, pavisam citā laikmetā, pēc kolektoru algebriskās topoloģijas lielajiem panākumiem.

Puankarē šo zinātni radīja it kā nejauši: viņš gribēja zināt, kas ir trīsdimensiju kolektori. Galu galā Rīmanis izdomāja visu slēgto virsmu struktūru un saņēma ļoti vienkāršu atbildi! Ja trīsdimensiju vai daudzdimensiju gadījumā šādas atbildes nav, tad jums ir jāizdomā kolektora algebrisko invariantu sistēma, kas nosaka tā ģeometrisko struktūru. Vislabāk, ja šādi invarianti ir dažu grupu elementi - komutatīvi vai nekomutatīvi.

Lai cik dīvaini tas nešķistu, šis Puankarē pārdrošais plāns izdevās: tas tika īstenots no 1950. līdz 1970. gadam, pateicoties ļoti daudzu ģeometru un algebristu pūlēm. Līdz 1950. gadam klusi uzkrājās dažādas kolektoru klasifikācijas metodes, un pēc šī datuma šķita, ka ir sakrājusies cilvēku un ideju kritiskā masa un notika sprādziens, kas ir salīdzināms ar matemātiskās analīzes izgudrojumu 17. gadsimtā. Bet analītiskā revolūcija ilga pusotru gadsimtu, aptverot četru matemātiķu paaudžu radošās biogrāfijas - no Ņūtona un Leibnica līdz Furjē un Košī. Gluži pretēji, 20. gadsimta topoloģiskā revolūcija notika divdesmit gadu laikā, pateicoties lielajam dalībnieku skaitam. Tajā pašā laikā ir izveidojusies liela pašapzinīgu jauno matemātiķu paaudze, kas pēkšņi palika bez darba savā vēsturiskajā dzimtenē.

Septiņdesmitajos gados viņi steidzās uz blakus esošajām matemātikas un teorētiskās fizikas jomām. Daudzi ir izveidojuši savas zinātniskās skolas desmitiem universitāšu Eiropā un Amerikā. Starp šiem centriem joprojām apgrozās daudz dažādu vecumu un tautību studentu ar dažādām spējām un tieksmēm, un katrs vēlas būt slavens ar kādu atklājumu. Tieši šajā sajukumā beidzot tika pierādīts Mordela minējums un Fermā teorēma.

Taču pirmā bezdelīga, nezinot savu likteni, izsalkušajos un bezdarbīgajos pēckara gados uzauga Japānā. Bezdelīgas vārds bija Jutaka Tanijama. 1955. gadā šim varonim apritēja 28 gadi, un viņš nolēma (kopā ar draugiem Goro Šimura un Takaudži Tamagavu) atdzīvināt matemātiskos pētījumus Japānā. Kur sākt? Protams, pārvarot izolāciju no ārzemju kolēģiem! Tātad 1955. gadā trīs jauni japāņi Tokijā rīkoja pirmo starptautisko konferenci par algebru un skaitļu teoriju. Acīmredzot to bija vieglāk izdarīt amerikāņu pāraudzinātajā Japānā nekā Staļina iesaldētajā Krievijā ...

Goda viesu vidū bija divi varoņi no Francijas: Andrē Veils un Žans Pjērs Serre. Šeit japāņiem ļoti paveicās: Veils bija atzīts franču algebristu vadītājs un Burbaki grupas loceklis, un jaunajam Serrem bija līdzīga loma topologu vidū. Karstās diskusijās ar viņiem japāņu jauniešiem sprēgāja galvas, izkusa smadzenes, bet beigās izkristalizējās tādas idejas un plāni, kas diez vai varēja piedzimt citā vidē.

Kādu dienu Tanijama vērsās pie Veila ar jautājumu par eliptiskām līknēm un moduļu funkcijām. Sākumā francūzis neko nesaprata: Tanijama nebija angļu valodas runas meistars. Tad lietas būtība kļuva skaidra, taču Tanijai neizdevās sniegt savām cerībām precīzu formulējumu. Veils jaunajam japānim varēja atbildēt tikai to, ka, ja viņam ļoti paveicas iedvesmas ziņā, tad no viņa neskaidrajām hipotēzēm izaugs kaut kas saprātīgs. Bet kamēr cerība uz to ir vāja!

Acīmredzot Veils nepamanīja debesu uguni Tanijamas skatienā. Un bija uguns: šķiet, ka uz mirkli nelokāmā Puankarē doma pārcēlās uz japāņiem! Taniyama sāka ticēt, ka katru eliptisku līkni ģenerē modulāras funkcijas - precīzāk, to "uniformē modulāra forma". Ak, šis precīzs formulējums piedzima daudz vēlāk - Taniyama sarunās ar savu draugu Šimuru. Un tad Tanijama depresijas lēkmē izdarīja pašnāvību... Viņa hipotēze palika bez īpašnieka: nebija skaidrs, kā to pierādīt vai kur pārbaudīt, un tāpēc neviens to ilgi neuztvēra nopietni. Pirmā atbilde nāca tikai pēc trīsdesmit gadiem – gandrīz kā Fermā laikmetā!

Ledus ielūza 1983. gadā, kad divdesmit septiņus gadus vecais vācietis Gerds Faltings visai pasaulei paziņoja: Mordela minējums ir pierādīts! Matemātiķi bija viņu sardzē, bet Faltings bija īsts vācietis: viņa garajā un sarežģītajā pierādījumā nebija nekādu trūkumu. Vienkārši ir pienācis laiks, sakrājušies fakti un jēdzieni – un nu vienam talantīgam algebristam, paļaujoties uz desmit citu algebristu rezultātiem, izdevies atrisināt problēmu, kas sešdesmit gadus stāvējusi, gaidot meistaru. 20. gadsimta matemātikā tas nav nekas neparasts. Ir vērts atgādināt sekulāro kontinuuma problēmu kopu teorijā, divus Bērnsaidas minējumus grupu teorijā vai Puankarē minējumus topoloģijā. Visbeidzot, skaitļu teorijā ir pienācis laiks novākt vecās ražas ... Kurš tops būs nākamais iekaroto matemātiķu sērijā? Vai Eilera problēma, Rīmaņa hipotēze vai Fermā teorēma sabruks? Tas ir labi!

Un tagad, divus gadus pēc Faltingsa atklāšanas, Vācijā parādījās vēl viens iedvesmots matemātiķis. Viņu sauca Gerhards Frejs, un viņš apgalvoja kaut ko dīvainu: ka Fermā teorēma ir ATGŪTA no Tanijamas minējumiem! Diemžēl Freija domu izteikšanas stils vairāk atgādināja nelaimīgo Tanijamu, nevis viņa dzidru tautieti Faltingsu. Vācijā Freju neviens nesaprata, un viņš devās uz ārzemēm – uz krāšņo Prinstonas pilsētiņu, kur pēc Einšteina pieraduši pie ne tādiem ciemiņiem. Nav brīnums, ka Barijs Mazurs, daudzpusīgs topologs, viens no nesenā uzbrukuma gludajiem kolektoriem varoņiem, iekārtoja tur savu ligzdu. Un blakus Mazuram uzauga students - Kens Ribets, vienlīdz pieredzējis topoloģijas un algebras sarežģītībās, taču joprojām sevi nekādā veidā neslavinājis.

Kad viņš pirmo reizi dzirdēja Freja runas, Rībets nolēma, ka tās ir muļķības un gandrīz zinātniska fantastika (iespējams, Veils uz Tanijamas atklāsmēm reaģēja tāpat). Taču Rībeta nespēja aizmirst šo "fantāziju" un brīžiem garīgi pie tās atgriezās. Pēc sešiem mēnešiem Rībets uzskatīja, ka Freja fantāzijās ir kaut kas saprātīgs, un gadu vēlāk viņš nolēma, ka viņš pats varētu gandrīz pierādīt Freja dīvaino hipotēzi. Bet daži "caurumi" palika, un Rībets nolēma atzīties savam priekšniekam Mazuram. Viņš uzmanīgi klausījās studentā un mierīgi atbildēja: “Jā, tu esi visu izdarījis! Šeit jums jāpielieto transformācija Ф, šeit - izmantojiet Lemmas B un K, un viss iegūs nevainojamu formu! Tāpēc Rībeta veica lēcienu no tumsonības uz nemirstību, izmantojot katapultu Freja un Mazura personā. Taisnības labad jāsaka, ka tie visi – kopā ar vēlo Tanijamu – jāuzskata par Fermā pēdējās teorēmas pierādījumiem.

Bet šeit ir problēma: viņi atvasināja savu apgalvojumu no Taniyama hipotēzes, kas pati par sevi nav pierādīta! Ko darīt, ja viņa ir neuzticīga? Matemātiķi jau sen zina, ka “no meliem viss izriet”, ja Tanijamas minējums ir nepareizs, tad Ribetas nevainojamais arguments ir bezvērtīgs! Mums steidzami jāpierāda (vai jāatspēko) Tanijamas minējums - pretējā gadījumā kāds, piemēram, Faltings, pierādīs Fermā teorēmu citādi. Viņš kļūs par varoni!

Maz ticams, ka mēs kādreiz uzzināsim, cik jauni vai pieredzējuši algebristi uzlēca uz Fermā teorēmu pēc Faltingsa panākumiem vai pēc Ribetas uzvaras 1986. gadā. Visi centās strādāt slepenībā, lai neveiksmes gadījumā netiktu ierindoti “manekenu”-fermatistu sabiedrībā. Zināms, ka veiksmīgākais no visiem – Endrjū Vilss no Kembridžas – uzvaras garšu sajuta tikai 1993. gada sākumā. Tas ne tik daudz iepriecināja, bet gan nobiedēja Vilsu: kā būtu, ja viņa Tanijamas pieņēmuma pierādījumā būtu kļūda vai nepilnība? Tad viņa zinātniskā reputācija gāja bojā! Vajag rūpīgi pierakstīt pierādījumu (bet tas būs daudzi desmiti lappušu!) Un atlikt uz pusgadu vai gadu, lai vēlāk aukstasinīgi un pedantiski varētu pārlasīt... Bet ko ja kāds šajā laikā publicē savu pierādījumu? Ak nepatikšanas...

Tomēr Villss nāca klajā ar divkāršu veidu, kā ātri pārbaudīt savu pierādījumu. Pirmkārt, jums jāuzticas kādam no saviem uzticamajiem draugiem un kolēģiem un jāizstāsta viņam visa argumentācijas gaita. No malas visas kļūdas ir redzamākas! Otrkārt, ir jāizlasa īpašs kurss par šo tēmu gudriem studentiem un maģistrantiem: šie gudrie cilvēki nepalaidīs garām nevienu pasniedzēja kļūdu! Tikai nestāstiet viņiem kursa gala mērķi līdz pēdējam brīdim – citādi par to uzzinās visa pasaule! Un, protams, jums ir jāmeklē šāda auditorija prom no Kembridžas - labāk pat ne Anglijā, bet Amerikā ... Kas var būt labāks par tālo Prinstonu?

Villss uz turieni devās 1993. gada pavasarī. Viņa pacietīgais draugs Niklass Katzs, noklausījies Vilsa garo ziņojumu, atrada tajā vairākas nepilnības, taču tās visas bija viegli izlabotas. Taču Prinstonas maģistrantūras studenti drīz vien aizbēga no Vilsa īpašā kursa, nevēloties sekot lektora dīvainajai domai, kas viņus ved uz nezin kur. Pēc šāda (ne īpaši dziļa) sava darba apskata Vilzs nolēma, ka ir pienācis laiks atklāt pasaulei lielu brīnumu.

1993. gada jūnijā Kembridžā notika vēl viena konference, kas bija veltīta "Ivasavas teorijai" - populārai skaitļu teorijas sadaļai. Villss nolēma izstāstīt savu pierādījumu par Tanijamas minējumu, līdz pašām beigām nepaziņojot galveno rezultātu. Ziņojums turpinājās ilgi, bet veiksmīgi, pamazām sāka pulcēties žurnālisti, kuri kaut ko nojauta. Beidzot atskanēja pērkons: Fermā teorēma ir pierādīta! Vispārējo līksmību neaptumšoja nekādas šaubas: šķiet, ka viss ir skaidrs... Bet pēc diviem mēnešiem Katzs, izlasījis Vilza galīgo tekstu, pamanīja tajā vēl vienu robu. Zināma pāreja spriešanā balstījās uz "Eilera sistēmu" - bet tas, ko Vills izveidoja, nebija tāda sistēma!

Vailss pārbaudīja sašaurinājumu un saprata, ka šeit ir kļūdījies. Vēl sliktāk: nav skaidrs, kā aizstāt kļūdaino argumentāciju! Tam sekoja Vilsa dzīves tumšākie mēneši. Iepriekš viņš no pieejamā materiāla brīvi sintezēja nebijušu pierādījumu. Tagad viņš ir piesaistīts šauram un skaidram uzdevumam – bez pārliecības, ka tam ir risinājums un ka viņš to varēs atrast pārskatāmā nākotnē. Nesen Frejs nevarēja pretoties tai pašai cīņai – un tagad viņa vārdu aizsedza laimīgās Ribetas vārds, lai gan Freija minējums izrādījās pareizs. Un kas notiks ar MANU minējumu un MANU vārdu?

Šis smagais darbs ilga tieši vienu gadu. 1994. gada septembrī Vilss bija gatavs atzīt sakāvi un atstāt Tanijamas hipotēzi laimīgākiem pēctečiem. Pieņēmis šādu lēmumu, viņš sāka lēnām pārlasīt savu pierādījumu – no sākuma līdz beigām, ieklausoties spriešanas ritmā, no jauna piedzīvojot veiksmīgo atklājumu prieku. Sasniedzis "sasodīto" vietu, Villss tomēr garīgi nesadzirdēja nepatiesu noti. Vai viņa argumentācijas gaita joprojām bija nevainojama un kļūda radās tikai garīgā tēla VERBĀLĀ aprakstā? Ja šeit nav “Eilera sistēmas”, kas tad šeit slēpjas?

Pēkšņi man ienāca prātā vienkārša doma: "Eilera sistēma" nedarbojas tur, kur ir piemērojama Ivasavas teorija. Kāpēc gan nepiemērot šo teoriju tieši – par laimi, tā ir tuva un pazīstama arī pašam Vilsam? Un kāpēc viņš jau no paša sākuma neizmēģināja šo pieeju, bet gan aizrāvās ar kāda cita redzējumu par problēmu? Vilss vairs nespēja atcerēties šīs detaļas – un tas kļuva bezjēdzīgi. Viņš veica nepieciešamo argumentāciju Iwasawa teorijas ietvaros, un viss izrādījās pusstundas laikā! Tādējādi – ar viena gada nokavēšanos – tika novērsta pēdējā roba Tanijamas minējuma pierādīšanā. Galīgais teksts tika nodots slavenākā matemātikas žurnāla recenzentu grupas žēlastībai, gadu vēlāk viņi paziņoja, ka tagad kļūdu nav. Tā 1995. gadā pēdējais Fermā minējums nomira trīssimt sešdesmit gadu vecumā, pārvēršoties par pārbaudītu teorēmu, kas neizbēgami nonāks skaitļu teorijas mācību grāmatās.

Rezumējot trīs gadsimtu traci ap Fermā teorēmu, nākas izdarīt dīvainu secinājumu: šī varonīgā epopeja nevarēja notikt! Patiešām, Pitagora teorēma izsaka vienkāršu un svarīgu saikni starp vizuāliem dabas objektiem - segmentu garumiem. Taču to nevar teikt par Fermā teorēmu. Tas vairāk izskatās pēc kultūras virsbūves uz zinātniska substrāta – kā sasniedzot Zemes ziemeļpolu vai aizlidojot uz Mēnesi. Atcerēsimies, ka abus šos varoņdarbus rakstnieki dziedāja ilgi pirms to paveikšanas – tālajā senatnē, pēc Eiklida “Elementu” parādīšanās, bet pirms Diofanta “Aritmētikas” parādīšanās. Tātad pēc šāda veida intelektuāliem varoņdarbiem sabiedrībā radās vajadzība - vismaz iedomāti! Iepriekš hellēņiem pietika ar Homēra dzejoļiem, tāpat kā simts gadus pirms Fermā frančiem pietika ar reliģiskām kaislībām. Taču tad rimās reliģiskās kaislības – un zinātne nostājās tām blakus.

Krievijā šādi procesi sākās pirms simt piecdesmit gadiem, kad Turgeņevs Jevgēņiju Bazarovu nostādīja vienā līmenī ar Jevgēņiju Oņeginu. Tiesa, rakstnieks Turgeņevs slikti saprata zinātnieka Bazarova rīcības motīvus un neuzdrošinājās tos izdziedāt, taču drīz to izdarīja zinātnieks Ivans Sečenovs un apgaismotais žurnālists Žils Verns. Spontānai zinātniskai un tehnoloģiskai revolūcijai ir nepieciešams kultūras apvalks, lai tas iekļūtu vairuma cilvēku prātos, un šeit vispirms nāk zinātniskā fantastika, bet pēc tam populārzinātniskā literatūra (tostarp žurnāls "Zināšanas ir spēks").

Tajā pašā laikā konkrēta zinātniska tēma vispār nav svarīga plašai sabiedrībai un nav īpaši svarīga pat varoņiem-izpildītājiem. Tātad, uzzinājis par Pīrija un Kuka sasniegto Ziemeļpolu, Amundsens uzreiz mainīja savas jau sagatavotās ekspedīcijas mērķi - un drīz vien sasniedza Dienvidpolu, par vienu mēnesi apsteidzot Skotu. Vēlāk Jurija Gagarina veiksmīgā apceļošana Zemei piespieda prezidentu Kenediju mainīt kādreizējo Amerikas kosmosa programmas mērķi uz dārgāku, bet daudz iespaidīgāku: cilvēku nolaišanos uz Mēness.

Jau agrāk asprātīgais Hilberts uz studentu naivo jautājumu atbildēja: “Kādas zinātniskas problēmas risinājums šobrīd būtu visnoderīgākais”? - atbildēja ar joku: "Noķer mušu mēness tālākajā pusē!" Uz apjukušo jautājumu: "Kāpēc tas ir vajadzīgs?" - seko skaidra atbilde: “ŠO nevienam nevajag! Bet padomājiet par zinātniskajām metodēm un tehniskajiem līdzekļiem, kas mums būs jāizstrādā, lai atrisinātu šādu problēmu - un cik daudz citu skaistu problēmu mēs atrisināsim pa ceļam!

Tieši tā notika ar Fermā teorēmu. Eilers varēja to nepamanīt.

Šajā gadījumā par matemātiķu elku kļūtu kāda cita problēma – varbūt arī no skaitļu teorijas. Piemēram, Eratostena problēma: vai pastāv galīga vai bezgalīga dvīņu pirmskaitļu kopa (piemēram, 11 un 13, 17 un 19 utt.)? Vai Eilera problēma: vai katrs pāra skaitlis ir divu pirmskaitļu summa? Vai: vai starp skaitļiem π un e pastāv algebriska sakarība? Šīs trīs problēmas vēl nav atrisinātas, lai gan 20. gadsimtā matemātiķi ir pietuvojušies to būtības izpratnei. Taču šis gadsimts radīja arī daudzas jaunas, ne mazāk interesantas problēmas, īpaši matemātikas un fizikas un citu dabaszinātņu nozaru krustpunktā.

Vēl 1900. gadā Hilberts izcēla vienu no tiem: izveidot pilnīgu matemātiskās fizikas aksiomu sistēmu! Pēc simts gadiem šī problēma nebūt nav atrisināta, kaut vai tāpēc, ka fizikas matemātisko līdzekļu arsenāls nepārtraukti pieaug, un ne visiem tiem ir stingrs pamatojums. Bet pēc 1970. gada teorētiskā fizika sadalījās divās nozarēs. Viens (klasiskais) jau kopš Ņūtona laikiem modelē un prognozē STABILU procesus, otrs (jaundzimušais) mēģina formalizēt NESTABLO procesu mijiedarbību un veidus, kā tos kontrolēt. Ir skaidrs, ka šīs divas fizikas nozares ir jāaksiomatizē atsevišķi.

Ar pirmo no tiem, iespējams, tiks galā pēc divdesmit vai piecdesmit gadiem...

Un kas pietrūkst otrai fizikas nozarei - tai, kas ir atbildīga par visa veida evolūciju (ieskaitot neparastus fraktāļus un dīvainus atraktorus, biocenožu ekoloģiju un Gumiļova kaislības teoriju)? Diez vai mēs to drīz sapratīsim. Bet zinātnieku pielūgšana jaunajam elkam jau ir kļuvusi par masu parādību. Iespējams, šeit risināsies epopeja, kas salīdzināma ar Fermā teorēmas trīs gadsimtu biogrāfiju. Tādējādi dažādu zinātņu krustpunktā dzimst jauni elki - līdzīgi reliģiskajiem, bet sarežģītāki un dinamiskāki ...

Acīmredzot cilvēks nevar palikt par cilvēku, ik pa laikam neapgāžot vecos elkus un neradot jaunus - sāpēs un ar prieku! Pjēram Fermā paveicās, ka viņš liktenīgā brīdī atradās tuvu jauna elka dzimšanas karstajam punktam – un viņam izdevās jaundzimušajā atstāt savas personības nospiedumu. Var apskaust šādu likteni, un nav grēks to atdarināt.

Sergejs Smirnovs
"Zināšanas ir spēks"

Pasaulē nav daudz cilvēku, kuri nekad par to nebūtu dzirdējuši Fermā pēdējā teorēma- iespējams, šī ir vienīgā matemātiskā problēma, kas ieguvusi tik plašu popularitāti un kļuvusi par īstu leģendu. Tas ir minēts daudzās grāmatās un filmās, savukārt gandrīz visu pieminējumu galvenais konteksts ir neiespējamība pierādīt teorēmu.

Jā, šī teorēma ir ļoti slavena un savā ziņā ir kļuvusi par “elku”, ko pielūdz amatieru un profesionāli matemātiķi, taču tikai daži cilvēki zina, ka tās pierādījums tika atrasts, un tas notika tālajā 1995. Bet vispirms vispirms.

Tātad, Fermā pēdējā teorēma (bieži saukta par Fermā pēdējo teorēmu), ko 1637. gadā formulēja izcils franču matemātiķis Pjērs Fermā, ir ļoti vienkāršs savā būtībā un saprotams jebkuram cilvēkam ar vidējo izglītību. Tajā teikts, ka formulai a n + b n \u003d c n nav dabisku (tas ir, nefrakcionētu) atrisinājumu n > 2. Šķiet, ka viss ir vienkāršs un skaidrs, taču labākie matemātiķi un vienkārši amatieri ir cīnījušies, lai atrastu risinājumu. vairāk nekā trīsarpus gadsimtus.

Pats Fermā apgalvoja, ka ir ieguvis ļoti vienkāršu un kodolīgu savas teorijas pierādījumu, taču līdz šim dokumentāri pierādījumi šim faktam nav atrasti. Tāpēc tagad tiek uzskatīts, ka Fermā nekad nevarēja atrast vispārēju risinājumu savai teorēmai., lai gan viņš uzrakstīja daļēju pierādījumu n = 4.

Pēc Fermā tādi lieli prāti kā Leonards Eilers(1770. gadā viņš piedāvāja risinājumu n = 3), Adriens Legendre un Johans Dirihlets(šie zinātnieki kopīgi atrada pierādījumus par n = 5 1825. gadā), Gabriels Lams(kurš atrada pierādījumu n = 7) un daudzi citi. Līdz pagājušā gadsimta 80. gadu vidum kļuva skaidrs, ka zinātnes pasaule ir ceļā uz galīgo risinājumu

Fermā pēdējā teorēma, taču tikai 1993. gadā matemātiķi ieraudzīja un uzskatīja, ka trīs gadsimtu sāga par Fermā pēdējās teorēmas pierādīšanu ir gandrīz beigusies.

1993. gadā angļu matemātiķis Endrjū Vailss pasniegta pasaulei Fermā pēdējās teorēmas pierādījums kas strādā jau vairāk nekā septiņus gadus. Taču izrādījās, ka šajā lēmumā ir rupja kļūda, lai gan kopumā tā ir taisnība. Villss nepadevās, aicināja palīgā pazīstamu skaitļu teorijas speciālistu Ričardu Teiloru un jau 1994. gadā publicēja izlabotu un papildinātu teorēmas pierādījumu. Pats pārsteidzošākais ir tas, ka šis darbs matemātikas žurnālā Annals of Mathematics aizņēma pat 130 (!) lappuses. Taču ar to stāsts arī nebeidzās - pēdējais punkts tika likts tikai nākamajā, 1995. gadā, kad tika publicēta galīgā un “ideālā”, no matemātiskā viedokļa, pierādījuma versija.

Kopš tā brīža ir pagājis daudz laika, bet sabiedrībā joprojām pastāv viedoklis par Fermā pēdējās teorēmas neatrisināmību. Bet pat tie, kas zina par atrasto pierādījumu, turpina strādāt šajā virzienā - daži cilvēki ir apmierināti, ka Lielā teorēma prasa 130 lappušu atrisinājumu! Tāpēc tagad tik daudzu matemātiķu (galvenokārt amatieru, nevis profesionālu zinātnieku) spēki tiek mesti, meklējot vienkāršu un kodolīgu pierādījumu, taču šis ceļš, visticamāk, nekur nevedīs ...

Grigorijs Perelmans. Refusenik

Vasilijs Maksimovs

2006. gada augustā tika paziņoti pasaules labāko matemātiķu vārdi, kuri saņēma prestižāko Fīldsas medaļu - sava veida Nobela prēmijas analogu, kas matemātiķiem pēc Alfrēda Nobela iegribas tika atņemta. Fīldsas medaļu - papildus goda zīmei laureātiem tiek piešķirts čeks par piecpadsmit tūkstošiem Kanādas dolāru - Starptautiskais matemātiķu kongress piešķir reizi četros gados. To izveidoja kanādiešu zinātnieks Džons Čārlzs Fīlds, un tas pirmo reizi tika piešķirts 1936. gadā. Kopš 1950. gada Fīldsas medaļu regulāri personīgi piešķir Spānijas karalis par ieguldījumu matemātikas zinātnes attīstībā. Par balvas laureātiem var kļūt no viena līdz četriem zinātniekiem, kas jaunāki par četrdesmit gadiem. Balvu jau saņēmuši 44 matemātiķi, tostarp astoņi krievi.

Grigorijs Perelmans. Anrī Puankārs.

2006. gadā par laureātiem kļuva francūzis Vendelins Verners, austrālietis Terenss Tao un divi krievi, ASV strādājošais Andrejs Okounkovs un Sanktpēterburgas zinātnieks Grigorijs Perelmans. Tomēr pēdējā brīdī kļuva zināms, ka Perelmans no šīs prestižās balvas atteicās - kā paziņoja organizatori, "principālu apsvērumu dēļ".

Tik ekstravaganta krievu matemātiķa rīcība nebija pārsteigums cilvēkiem, kas viņu pazina. Šī nav pirmā reize, kad viņš atsakās no matemātikas balvām, savu lēmumu skaidrojot ar to, ka viņam nepatīk svinīgi pasākumi un pārmērīga ažiotāža ap savu vārdu. Pirms desmit gadiem, 1996. gadā, Perelmans atteicās no Eiropas matemātikas kongresa balvas, pamatojot to ar to, ka viņš nebija pabeidzis darbu pie balvai izvirzītās zinātniskās problēmas, un šis nebija pēdējais gadījums. Šķiet, ka krievu matemātiķis par savu dzīves mērķi ir izvirzījis pārsteigt cilvēkus, kas ir pretrunā ar sabiedrisko domu un zinātnieku aprindām.

Grigorijs Jakovļevičs Perelmans dzimis 1966. gada 13. jūnijā Ļeņingradā. Jau no mazotnes viņam patika eksaktās zinātnes, izcili absolvējis slaveno 239. vidusskolu ar padziļinātu matemātikas apguvi, uzvarējis daudzos matemātikas konkursos: piemēram, 1982. gadā padomju skolēnu komandas sastāvā viņš piedalījās starptautiskajā matemātikas olimpiādē, kas notika Budapeštā. Perelmans bez eksāmeniem tika uzņemts Ļeņingradas universitātes mehānikas un matemātikas nodaļā, kur mācījās "teicami", turpinot uzvarēt matemātikas konkursos visos līmeņos. Pēc universitātes absolvēšanas ar izcilību viņš iestājās Steklova matemātikas institūta Sanktpēterburgas nodaļas aspirantūrā. Viņa vadītājs bija slavenais matemātiķis akadēmiķis Aleksandrovs. Aizstāvējis promocijas darbu, Grigorijs Perelmans palika institūtā, ģeometrijas un topoloģijas laboratorijā. Pazīstams ar savu darbu pie Aleksandrova telpu teorijas, viņš spēja atrast pierādījumus vairākām svarīgām hipotēzēm. Neskatoties uz daudzajiem vadošo Rietumu universitāšu piedāvājumiem, Perelmans dod priekšroku darbam Krievijā.

Viņa bēdīgi slavenākie panākumi bija slavenā Puankāra minējuma atrisinājums 2002. gadā, kas publicēts 1904. gadā un kopš tā laika nav pierādīts. Perelmans pie tā strādāja astoņus gadus. Puankarē hipotēze tika uzskatīta par vienu no lielākajiem matemātiskajiem noslēpumiem, un tās risinājums tika uzskatīts par vissvarīgāko sasniegumu matemātikas zinātnē: tā nekavējoties virzīs uz priekšu Visuma fizisko un matemātisko pamatu problēmu izpēti. Planētas gaišākie prāti tā atrisinājumu paredzēja tikai pēc dažām desmitgadēm, un Kleja matemātikas institūts Kembridžā, Masačūsetsā, Puankara problēmu padarīja par vienu no septiņām interesantākajām tūkstošgades neatrisinātajām matemātiskajām problēmām, no kurām katrai tika apsolīts miljons. dolāru balva (Tūkstošgades balvu problēmas) .

Franču matemātiķa Anrī Puankarē (1854–1912) hipotēze (dažkārt saukta par problēmu) ir formulēta šādi: jebkura slēgta, vienkārši savienota trīsdimensiju telpa ir homeomorfa trīsdimensiju sfērai. Skaidrības labad tiek izmantots labs piemērs: ja aptin ābolu ar gumiju, tad principā, savelkot lenti kopā, ābolu var saspiest punktā. Ja jūs aptinat virtuli ar to pašu lenti, tad jūs nevarat to saspiest punktā, nesaraujot ne virtuli, ne gumiju. Šajā kontekstā ābolu sauc par "atsevišķi savienotu" figūru, bet virtulis nav vienkārši savienots. Gandrīz pirms simts gadiem Puankarē konstatēja, ka divdimensiju sfēra ir vienkārši savienota, un ierosināja, ka arī trīsdimensiju sfēra ir vienkārši savienota. Labākie matemātiķi pasaulē nevarēja pierādīt šo pieņēmumu.

Lai pretendētu uz Māla institūta balvu, Perelmanam bija tikai jāpublicē savs risinājums kādā no zinātniskajiem žurnāliem, un, ja divu gadu laikā neviens viņa aprēķinos nevarēs atrast kļūdu, tad risinājums tiks uzskatīts par pareizu. Tomēr Perelmans jau pašā sākumā atkāpās no noteikumiem, publicējot savu risinājumu Losalamos Zinātnes laboratorijas pirmsdrukas vietnē. Varbūt viņš baidījās, ka viņa aprēķinos ir iezagusies kļūda – līdzīgs stāsts jau bija noticis matemātikā. 1994. gadā angļu matemātiķis Endrjū Villss piedāvāja risinājumu slavenajai Fermā teorēmai, un pēc dažiem mēnešiem izrādījās, ka viņa aprēķinos bija iezagusies kļūda (lai gan vēlāk tā tika izlabota, un sensācija tomēr notika). Puankāra minējuma pierādījuma oficiālā publikācija joprojām nav publicēta - taču ir autoritatīvs planētas labāko matemātiķu viedoklis, kas apstiprina Perelmana aprēķinu pareizību.

Fīldsa medaļa tika piešķirta Grigorijam Perelmanam tieši par Puankarē problēmas risināšanu. Bet krievu zinātnieks atteicās no balvas, kuru viņš neapšaubāmi ir pelnījis. "Grigorijs man teica, ka viņš jūtas izolēts no starptautiskās matemātikas kopienas ārpus šīs kopienas un tāpēc nevēlas saņemt balvu," preses konferencē sacīja Pasaules Matemātiķu savienības (WCM) prezidents Džons Bols. Madride.

Klīst baumas, ka Grigorijs Perelmans grasās pamest zinātni pavisam: pirms sešiem mēnešiem viņš pameta dzimto Steklova matemātikas institūtu, un viņi saka, ka viņš vairs nenodarbosies ar matemātiku. Iespējams, krievu zinātnieks uzskata, ka, pierādot slaveno hipotēzi, viņš zinātnes labā ir darījis visu, ko varēja. Bet kurš uzņemsies runāt par tik spilgta zinātnieka un neparastas personas domu gājienu? .. Perelmans atsakās no jebkādiem komentāriem un laikrakstam The Daily Telegraph sacīja: "Nekas, ko es varu teikt, neinteresē sabiedrību." Tomēr vadošās zinātniskās publikācijas bija vienisprātis savos novērtējumos, kad tās ziņoja, ka "Grigorijs Perelmans, atrisinājis Puankara teorēmu, bija līdzvērtīgs pagātnes un tagadnes lielākajiem ģēnijiem."

Ikmēneša literārais un žurnālistikas žurnāls un izdevniecība.

Pirms daudziem gadiem no Taškentas saņēmu vēstuli no Valērija Muratova, spriežot pēc rokraksta, jaunības vecuma vīrieša, kurš toreiz dzīvoja Komunističeskaja ielā mājā numur 31. Puisis bija apņēmības pilns: “Tieši pie lietas. vai tu man samaksāsi par Fermā teorēmas pierādīšanu? der vismaz 500 rubļi. Citreiz es tev to būtu pierādījis par velti, bet tagad man vajag naudu..."

Pārsteidzošs paradokss: daži cilvēki zina, kas ir Fermā, kad viņš dzīvoja un ko viņš darīja. Vēl mazāk cilvēku pat var aprakstīt viņa lielisko teorēmu visvispārīgākajos vārdos. Bet visi zina, ka pastāv kaut kāda Fermā teorēma, par kuras pierādīšanu visas pasaules matemātiķi cīnās vairāk nekā 300 gadus, bet viņi to nevar pierādīt!

Ir daudz ambiciozu cilvēku, un pati apziņa, ka ir kaut kas tāds, ko citi nevar izdarīt, vēl vairāk veicina viņu ambīcijas. Tāpēc akadēmijās, zinātniskajos institūtos un pat avīžu redakcijās visā pasaulē ir nonākuši un nonākuši tūkstošiem (!) Lielās teorēmas pierādījumu - bezprecedenta un nepārspējams pseidozinātniskās amatieru veikuma rekords. Ir pat termins: "fermatiķi", tas ir, cilvēki, kas apsēsti ar vēlmi pierādīt Lielo teorēmu, kas pilnībā nogurdināja profesionālos matemātiķus ar prasībām novērtēt savu darbu. Slavenais vācu matemātiķis Edmunds Landau pat sagatavoja standartu, saskaņā ar kuru viņš atbildēja: "Jūsu Fermā teorēmas pierādījumā lapā ir kļūda ...", un viņa absolventi nolika lapas numuru. Un 1994. gada vasarā laikraksti visā pasaulē ziņo par kaut ko pilnīgi sensacionālu: Lielā teorēma ir pierādīta!

Tātad, kas ir Fermā, kāda ir problēmas būtība un vai tā patiešām ir atrisināta? Pjērs Fermā dzimis 1601. gadā miecētāja, bagāta un cienīta vīrieša ģimenē – viņš pildīja otro konsulu savā dzimtajā pilsētā Bomontā – tas ir kaut kas līdzīgs mēra palīgam. Pjērs vispirms mācījās pie franciskāņu mūkiem, pēc tam Tulūzas Juridiskajā fakultātē, kur pēc tam praktizēja advokāta darbu. Tomēr Fermā interešu loks pārsniedza jurisprudenci. Īpaši interesējies par klasisko filoloģiju, zināmi viņa komentāri par seno autoru tekstiem. Un otrā aizraušanās ir matemātika.

17. gadsimtā, tāpat kā daudzus gadus vēlāk, šādas profesijas nebija: matemātiķis. Tāpēc visi tā laika lielie matemātiķi bija "nepilna laika" matemātiķi: Renē Dekarts dienēja armijā, Fransuā Vieta bija jurists, Frančesko Kavaljēri bija mūks. Toreiz nebija zinātnisku žurnālu, un zinātnes klasiķis Pjērs Fermā savas dzīves laikā nepublicēja nevienu zinātnisku darbu. Bija diezgan šaurs "amatieru" loks, kas risināja viņiem dažādas interesantas problēmas un rakstīja viens otram par to vēstules, reizēm strīdoties (kā Fermā ar Dekartu), bet būtībā palika domubiedri. Viņi kļuva par jaunas matemātikas pamatlicējiem, spožu sēklu sējējiem, no kuriem sāka augt varens mūsdienu matemātikas zināšanu koks, iegūstot spēku un zarojoties.

Tātad, Fermā bija tas pats "amatieris". Tulūzā, kur viņš dzīvoja 34 gadus, visi viņu pazina, pirmkārt, kā Izmeklēšanas palātas padomnieku un pieredzējušu juristu. 30 gadu vecumā viņš apprecējās, viņam bija trīs dēli un divas meitas, dažkārt devies komandējumos, un vienā no tiem pēkšņi 63 gadu vecumā nomira. Visi! Šī cilvēka, Trīs musketieru laikabiedra, dzīve ir pārsteidzoši nevainojama un bez piedzīvojumiem. Piedzīvojumi iekrita viņa Lielās teorēmas daļā. Mēs nerunāsim par visu Fermā matemātisko mantojumu, un ir grūti runāt par viņu populārā veidā. Pieņemiet manu vārdu: šis mantojums ir lielisks un daudzveidīgs. Apgalvojums, ka Lielā teorēma ir viņa darba virsotne, ir ļoti apstrīdams. Vienkārši Lielās teorēmas liktenis ir pārsteidzoši interesants, un plašo matemātikas noslēpumos nezināto cilvēku pasauli vienmēr ir interesējusi nevis pati teorēma, bet viss ap to...

Visa šī stāsta saknes jāmeklē Fermā tik iemīļotajā senatnē. Aptuveni 3. gadsimtā Aleksandrijā dzīvoja grieķu matemātiķis Diofants, zinātnieks, kurš domāja oriģinālā veidā, domājot ārpus kastes un izsakot savas domas ārpus kastes. No 13 viņa Aritmētikas sējumiem mums ir nonākuši tikai 6. Tieši tad, kad Fermā bija 20 gadu, iznāca jauns viņa darbu tulkojums. Fermā ļoti patika Diofants, un šie raksti bija viņa atsauces grāmata. Uz tā laukiem Fermā pierakstīja savu Lielo teorēmu, kas vienkāršākajā mūsdienu formā izskatās šādi: vienādojumam Xn + Yn = Zn nav atrisinājuma veselos skaitļos n — vairāk par 2. (Ja n = 2, risinājums ir acīmredzams : Z2 + 42 = 52 ). Tajā pašā vietā uz Diofantīna sējuma malām Fermā piebilst: "Es atklāju šo patiesi brīnišķīgo pierādījumu, bet šīs malas viņam ir par šauru."

No pirmā acu uzmetiena sīkums ir vienkāršs, bet, kad citi matemātiķi sāka pierādīt šo "vienkāršo" teorēmu, simts gadus nevienam tas neizdevās. Beidzot izcilais Leonhards Eilers to pierādīja uz n = 4, tad pēc 20 (!) gadiem - uz n = 3. Un atkal darbs apstājās uz daudziem gadiem. Nākamā uzvara pieder vācietim Pīteram Dirihlē (1805–1859) un francūzim Andrjēnam Legendram (1752–1833), kuri atzina, ka Fermā n = 5. Tad to pašu izdarīja francūzis Gabriels Lamē (1795–1870). n = 7. Visbeidzot, pagājušā gadsimta vidū vācietis Ernsts Kummers (1810-1893) pierādīja Lielo teorēmu visām vērtībām n, kas ir mazākas vai vienādas ar 100. Turklāt viņš to pierādīja, izmantojot metodes, kas varētu Fermā nebija zināms, kas vēl vairāk nostiprināja noslēpumainības plīvuru ap Lielo teorēmu.

Tādējādi izrādījās, ka viņi pierāda Fermā teorēmu "pa gabaliņam", bet neviens nespēja "pilnībā". Jauni mēģinājumi pierādīt tikai kvantitatīvi palielināja n vērtības. Visi saprata, ka, iztērējot bezdibeni, ir iespējams pierādīt Lielo teorēmu patvaļīgi lielam skaitam n, bet Fermā runāja par jebkuru vērtību. no tā lielāka par 2! Tieši šajā atšķirībā starp "patvaļīgi lielu" un "jebkuru" tika koncentrēta visa problēmas jēga.

Tomēr jāatzīmē, ka mēģinājumi pierādīt Fermga teorēmu nebija tikai kaut kāda matemātiska spēle, sarežģītas rebusa atrisinājums. Šo pierādījumu gaitā pavērās jauni matemātiski apvāršņi, radās un tika risinātas problēmas, kas kļuva par jauniem matemātikas koka zariem. Lielais vācu matemātiķis Deivids Hilberts (1862-1943) minēja Lielo teorēmu kā piemēru tam, "kādu stimulējošu ietekmi uz zinātni var atstāt īpaša un šķietami nenozīmīga problēma". Tas pats Kummers, strādājot pie Fermā teorēmas, pats pierādīja teorēmas, kas veidoja skaitļu teorijas, algebras un funkciju teorijas pamatus. Tātad Lielās teorēmas pierādīšana nav sports, bet gan īsta zinātne.

Pagāja laiks, un elektronika nāca palīgā profesionāliem "fsrmatntiem". Jaunu metožu elektroniskās smadzenes nevarēja izgudrot, taču tās uzņēma ātrumu. Ap 80. gadu sākumu ar datora palīdzību tika pierādīta Fermā teorēma par n mazāku vai vienādu ar 5500. Pamazām šis skaitlis pieauga līdz 100 000, taču visi saprata, ka šāda "akumulācija" ir tīras tehnikas jautājums, dodot nekas ne prātam, ne sirdij. Viņi nevarēja ieņemt Lielās teorēmas cietoksni "uz galvas" un sāka meklēt apļveida manevrus.

Astoņdesmito gadu vidū jaunais matemātiķis G. Filetings pierādīja tā saukto "Mordela minējumu", kas, starp citu, arī 61 gadu nebija nevienam no matemātiķiem "neaizsniedzams". Radās cerība, ka tagad, tā teikt, "uzbrūkot no flanga", varētu atrisināt arī Fermā teorēmu. Tomēr tad nekas nenotika. 1986. gadā vācu matemātiķis Gerhards Frei ierosināja jaunu pierādīšanas metodi Esesē. Es neuzņemos to skaidrot strikti, bet ne matemātiskā, bet vispārīgā cilvēku valodā, tas izklausās apmēram tā: ja esam pārliecināti, ka kādas citas teorēmas pierādījums ir netiešs, kaut kādā veidā pārveidots Fermā teorēmas pierādījums, tad tas izklausās apmēram tā. tad mēs pierādīsim Lielo teorēmu. Gadu vēlāk amerikānis Kenets Rībets no Bērklija parādīja, ka Freijam ir taisnība un, patiešām, vienu pierādījumu var reducēt uz citu. Daudzi matemātiķi visā pasaulē ir izvēlējušies šo ceļu. Mēs esam daudz darījuši, lai pierādītu Viktora Aleksandroviča Koļivanova Lielo teorēmu. Trīssimt gadus vecās neieņemamā cietokšņa sienas trīcēja. Matemātiķi saprata, ka tas nebūs ilgi.

1993. gada vasarā senajā Kembridžā, Īzaka Ņūtona matemātikas zinātņu institūtā, pulcējās 75 pasaules ievērojamākie matemātiķi, lai apspriestu savas problēmas. Viņu vidū bija amerikāņu profesors Endrjū Vilss no Prinstonas universitātes, ievērojams skaitļu teorijas speciālists. Ikviens zināja, ka viņš daudzus gadus ir strādājis pie Lielās teorēmas. Villss uzstājās trīs prezentācijās, un pēdējā, 1993. gada 23. jūnijā, pašās beigās, nogriežoties no tāfeles, smaidot teica:

Laikam neturpināšu...

Sākumā iestājās nāvējošs klusums, pēc tam skanēja aplausi. Zālē sēdošie bija pietiekami kvalificēti, lai saprastu: Fermā pēdējā teorēma ir pierādīta! Jebkurā gadījumā neviens no klātesošajiem neatrada kļūdas augstākminētajā pierādījumā. Ņūtona institūta asociētais direktors Pīters Godards žurnālistiem sacīja:

"Lielākā daļa ekspertu nedomāja, ka viņi to uzzinās visu atlikušo mūžu. Šis ir viens no mūsu gadsimta lielākajiem matemātikas sasniegumiem...

Ir pagājuši vairāki mēneši, nekādi komentāri vai noliegumi nesekoja. Tiesa, Vills nepublicēja savu pierādījumu, bet tikai nosūtīja tā saucamās sava darba izdrukas ļoti šauram savu kolēģu lokam, kas, protams, neļauj matemātiķiem komentēt šo zinātnisko sensāciju, un es saprotu akadēmiķi Ludvigu Dmitrijeviču Faddejevu, kurš teica:

– Varu teikt, ka sensācija radās, kad pierādījumu redzu savām acīm.

Faddejevs uzskata, ka iespējamība, ka Vilss uzvarēs, ir ļoti liela.

"Mans tēvs, pazīstams skaitļu teorijas speciālists, piemēram, bija pārliecināts, ka teorēma tiks pierādīta, bet ne ar elementāriem līdzekļiem," viņš piebilda.

Cits mūsu akadēmiķis Viktors Pavlovičs Maslovs bija skeptisks par jaunumiem un uzskata, ka Lielās teorēmas pierādīšana nemaz nav aktuāla matemātiska problēma. Lietišķās matemātikas padomes priekšsēdētājs Maslovs zinātnisko interešu ziņā ir tālu no "fermatiķiem", un, kad viņš saka, ka Lielās teorēmas pilnīgais risinājums ir tikai sportiska interese, viņu var saprast. Tomēr es uzdrošinos atzīmēt, ka atbilstības jēdziens jebkurā zinātnē ir mainīgs lielums. Pirms 90 gadiem, iespējams, arī Raterfordam teica: "Nu, nu, nu, radioaktīvās sabrukšanas teorija... Nu un kas? Kāds no tā labums? .."

Darbs pie Lielās teorēmas pierādīšanas jau ir devis daudz matemātikas, un var cerēt, ka tas dos vēl.

"Tas, ko ir izdarījis Vilss, pārvietos matemātiķus uz citām jomām," sacīja Pīters Godards. - Tas drīzāk neaizver vienu no domu līnijām, bet rada jaunus jautājumus, uz kuriem būs nepieciešama atbilde ...

Maskavas Valsts universitātes profesors Mihails Iļjičs Zeļikins man pašreizējo situāciju skaidroja šādi:

Neviens neredz kļūdas Vilsa darbā. Bet, lai šis darbs kļūtu par zinātnisku faktu, ir nepieciešams, lai vairāki cienījami matemātiķi neatkarīgi atkārto šo pierādījumu un apstiprina tā pareizību. Tas ir obligāts nosacījums, lai matemātikas sabiedrība atzītu Vilsa darbu...

Cik ilgi tas prasīs?

Šo jautājumu uzdevu vienam no mūsu vadošajiem speciālistiem skaitļu teorijas jomā, fizisko un matemātikas zinātņu doktoram Aleksejam Nikolajevičam Paršinam.

Endrjū Vilsam vēl daudz laika priekšā...

Lieta tāda, ka 1907. gada 13. septembrī vācu matemātiķis P. Volfskels, kurš atšķirībā no lielākās daļas matemātiķu bija bagāts vīrs, novēlēja 100 tūkstošus marku tam, kurš nākamo 100 gadu laikā pierādīs Lielo teorēmu. Gadsimta sākumā procenti no novēlētās summas nonāca slavenās Getgangentas universitātes kasē. Par šo naudu tika aicināti vadošie matemātiķi lasīt lekcijas un vadīt zinātnisko darbu. Toreiz balvas piešķiršanas komisijas priekšsēdētājs bija Deivids Hilberts, kuru jau minēju. Viņš nevēlējās maksāt prēmiju.

"Par laimi," teica lielais matemātiķis, "šķiet, ka mums nav matemātiķa, izņemot mani, kas varētu veikt šo uzdevumu, bet es nekad neuzdrošināšos nogalināt zosi, kas mums dēj zelta olas. ”

Līdz Volfskela noteiktajam termiņam - 2007. gadam ir palikuši daži gadi, un, man šķiet, pār "Hilberta vistu" draud nopietnas briesmas. Bet patiesībā runa nav par balvu. Tas ir par domu zinātkāri un cilvēka neatlaidību. Viņi cīnījās vairāk nekā trīs simti gadu, bet viņi to joprojām pierādīja!

Un tālāk. Man visinteresantākais visā šajā stāstā ir: kā pats Fermā pierādīja savu Lielo teorēmu? Galu galā visi šodienas matemātiskie triki viņam nebija zināmi. Un vai viņš to vispār pierādīja? Galu galā ir versija, kuru viņš it kā ir pierādījis, bet viņš pats atrada kļūdu, un tāpēc viņš nesūtīja pierādījumus citiem matemātiķiem, bet aizmirsa izsvītrot ierakstu Diofantīna sējuma malās. Tāpēc man šķiet, ka Lielās teorēmas pierādījums, protams, notika, bet Fermā teorēmas noslēpums palika, un maz ticams, ka mēs to kādreiz atklāsim ...

Varbūt Fermā toreiz kļūdījās, taču viņš nekļūdījās, rakstot: “Varbūt pēcnācēji būs man pateicīgi par to, ka parādīju viņam, ka senie cilvēki nezināja visu, un tas var iekļūt to apziņā, kas nāks pēc manis. lāpa saviem dēliem..."