Jautājums 1. Kādus leņķus sauc par blakus esošajiem?
Atbilde. Divus leņķus sauc par blakus esošajiem, ja tiem ir viena kopīga mala, un pārējās šo leņķu malas ir komplementāras puslīnijas.
31. attēlā leņķi (a 1 b) un (a 2 b) atrodas blakus. Viņiem ir kopīga mala b, un malas a 1 un a 2 ir papildu puslīnijas.

2. jautājums. Pierādīt, ka blakus esošo leņķu summa ir 180°.
Atbilde. Teorēma 2.1. Blakus esošo leņķu summa ir 180°.
Pierādījums. Dot leņķi (a 1 b) un leņķi (a 2 b) blakus leņķus (skat. 31. att.). Stars b iet starp taisna leņķa malām a 1 un a 2. Tāpēc leņķu (a 1 b) un (a 2 b) summa ir vienāda ar nesalocītu leņķi, t.i., 180°. Q.E.D.

3. jautājums. Pierādīt, ja divi leņķi ir vienādi, tad arī tiem blakus esošie leņķi ir vienādi.
Atbilde.

No teorēmas 2.1 No tā izriet, ka, ja divi leņķi ir vienādi, tad to blakus esošie leņķi ir vienādi.
Pieņemsim, ka leņķi (a 1 b) un (c 1 d) ir vienādi. Mums jāpierāda, ka arī leņķi (a 2 b) un (c 2 d) ir vienādi.
Blakus esošo leņķu summa ir 180°. No tā izriet, ka a 1 b + a 2 b = 180° un c 1 d + c 2 d = 180°. Tādējādi a 2 b = 180° - a 1 b un c 2 d = 180° - c 1 d. Tā kā leņķi (a 1 b) un (c 1 d) ir vienādi, mēs iegūstam, ka a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Pēc vienādības zīmes tranzitivitātes īpašības izriet, ka a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

4. jautājums. Kādu leņķi sauc par taisnu (akūtu, strupu)?
Atbilde. Leņķi, kas vienāds ar 90°, sauc par taisnu leņķi.
Leņķi, kas ir mazāks par 90°, sauc par akūtu leņķi.
Leņķi, kas ir lielāks par 90° un mazāks par 180°, sauc par neasu.

5. jautājums. Pierādiet, ka leņķis, kas atrodas blakus taisnam leņķim, ir taisns leņķis.
Atbilde. No teorēmas par blakus esošo leņķu summu izriet, ka leņķis, kas atrodas blakus taisnam leņķim, ir taisns leņķis: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

6. jautājums. Kādus leņķus sauc par vertikāliem?
Atbilde. Divus leņķus sauc par vertikāliem, ja viena leņķa malas ir otra malu komplementāras puslīnijas.

7. jautājums. Pierādīt, ka vertikālie leņķi ir vienādi.
Atbilde. Teorēma 2.2. Vertikālie leņķi ir vienādi.
Pierādījums. Dotie vertikālie leņķi ir (a 1 b 1) un (a 2 b 2) (34. att.). Leņķis (a 1 b 2) ir blakus leņķim (a 1 b 1) un leņķim (a 2 b 2). No šejienes, izmantojot teorēmu par blakus esošo leņķu summu, mēs secinām, ka katrs no leņķiem (a 1 b 1) un (a 2 b 2) papildina leņķi (a 1 b 2) līdz 180°, t.i. leņķi (a 1 b 1) un (a 2 b 2) ir vienādi. Q.E.D.

8. jautājums. Pierādiet, ja, divām taisnēm krustojoties, viens no leņķiem ir taisns, tad arī pārējie trīs leņķi ir taisni.
Atbilde. Pieņemsim, ka taisnes AB un CD krustojas viena ar otru punktā O. Pieņemsim, ka leņķis AOD ir 90°. Tā kā blakus esošo leņķu summa ir 180°, mēs iegūstam, ka AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Leņķis COB ir vertikāls pret AOD leņķi, tāpēc tie ir vienādi. Tas ir, leņķis COB = 90°. Leņķis COA ir vertikāls pret leņķi BOD, tāpēc tie ir vienādi. Tas ir, leņķis BOD = 90°. Tādējādi visi leņķi ir vienādi ar 90°, tas ir, tie visi ir taisnie leņķi. Q.E.D.

9. jautājums. Kuras līnijas sauc par perpendikulārām? Kādu zīmi izmanto, lai norādītu līniju perpendikularitāti?
Atbilde. Divas līnijas sauc par perpendikulārām, ja tās krustojas taisnā leņķī.
Līniju perpendikulitāti norāda zīme \(\perp\). Ieraksts \(a\perp b\) skan: "Līnija a ir perpendikulāra līnijai b."

10. jautājums. Pierādiet, ka caur jebkuru taisnes punktu var novilkt tai perpendikulāru līniju un tikai vienu.
Atbilde. Teorēma 2.3. Caur katru līniju jūs varat novilkt līniju, kas ir perpendikulāra tai, un tikai vienu.
Pierādījums. Lai a ir dota taisne un A ir dots punkts uz tās. Apzīmēsim ar a 1 vienu no taisnes a puslīnijām ar sākumpunktu A (38. att.). No puslīnijas a 1 atņemsim leņķi (a 1 b 1), kas vienāds ar 90°. Tad taisne, kurā atrodas stars b 1, būs perpendikulāra taisnei a.

Pieņemsim, ka ir vēl viena taisne, kas arī iet caur punktu A un ir perpendikulāra taisnei a. Apzīmēsim ar c 1 šīs taisnes puslīniju, kas atrodas vienā pusplaknē ar staru b 1 .
Leņķi (a 1 b 1) un (a 1 c 1), katrs vienāds ar 90°, ir izvietoti vienā pusplaknē no puslīnijas a 1. Bet no puslīnijas 1 dotajā pusplaknē var ievietot tikai vienu leņķi, kas vienāds ar 90°. Tāpēc nevar būt cita taisne, kas iet caur punktu A un ir perpendikulāra tai a. Teorēma ir pierādīta.

11. jautājums. Kas ir perpendikulārs līnijai?
Atbilde. Perpendikuls noteiktai taisnei ir līnijas posms, kas ir perpendikulārs noteiktai taisnei, kura viens no galiem atrodas to krustpunktā. Šo segmenta galu sauc pamats perpendikulāri.

12. jautājums. Paskaidrojiet, no kā sastāv pierādījums ar pretrunu.
Atbilde. Pierādīšanas metodi, ko izmantojām 2.3. teorēmā, sauc par pierādījumu ar pretrunu. Šī pierādīšanas metode ir tāda, ka vispirms mēs izdarām pieņēmumu, kas ir pretējs teorēmas apgalvojumam. Tad, argumentējot, paļaujoties uz aksiomām un pārbaudītām teorēmām, mēs nonākam pie secinājuma, kas ir pretrunā vai nu teorēmas nosacījumiem, vai kādai no aksiomām, vai iepriekš pierādītai teorēmai. Pamatojoties uz to, mēs secinām, ka mūsu pieņēmums bija nepareizs, un tāpēc teorēmas apgalvojums ir patiess.

13. jautājums. Kas ir leņķa bisektrise?
Atbilde. Leņķa bisektrise ir stars, kas izplūst no leņķa virsotnes, iet starp tā malām un sadala leņķi uz pusēm.

Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.

Katram leņķim, atkarībā no tā izmēra, ir savs nosaukums:

Leņķa veids	Izmērs grādos	Piemērs
Pikants	Mazāk par 90°
Taisni	Vienāds ar 90°. Zīmējumā taisnu leņķi parasti apzīmē ar simbolu, kas novilkts no vienas leņķa puses uz otru.
Strups	Vairāk nekā 90°, bet mazāks par 180°
Izvērsts	Vienāds ar 180° Taisns leņķis ir vienāds ar divu taisnleņķu summu, un taisnleņķis ir puse no taisnleņķa.
Izliekta	Vairāk nekā 180°, bet mazāks par 360°
Pilns	Vienāds ar 360°

Abi leņķi tiek saukti blakus, ja tām ir viena kopīga puse un pārējās divas malas veido taisnu līniju:

Leņķi MOP Un PON blakus, kopš stara OP- kopējā puse un pārējās divas puses - OM Un IESL veido taisnu līniju.

Blakus esošo leņķu kopējo pusi sauc slīps uz taisnu, uz kura atrodas abas pārējās malas, tikai tad, ja blakus esošie leņķi nav vienādi viens ar otru. Ja blakus esošie leņķi ir vienādi, tad to kopējā puse būs perpendikulāri.

Blakus esošo leņķu summa ir 180°.

Abi leņķi tiek saukti vertikāli, ja viena leņķa malas papildina otra leņķa malas ar taisnām līnijām:

Leņķi 1 un 3, kā arī leņķi 2 un 4 ir vertikāli.

Vertikālie leņķi ir vienādi.

Pierādīsim, ka vertikālie leņķi ir vienādi:

∠1 un ∠2 summa ir taisnleņķis. Un ∠3 un ∠2 summa ir taisnleņķis. Tātad šīs divas summas ir vienādas:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Šajā vienādībā kreisajā un labajā pusē ir identisks termins - ∠2. Vienlīdzība netiks pārkāpta, ja šis termins kreisajā un labajā pusē tiks izlaists. Tad mēs to saņemam.

Divu taisnes paralēlisma pazīmes

1. teorēma. Ja divām taisnēm krustojas ar sekantu:

šķērsotie leņķi ir vienādi vai

attiecīgie leņķi ir vienādi, vai

vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad

līnijas ir paralēlas(1. att.).

Pierādījums. Mēs aprobežojamies ar 1. gadījuma pierādīšanu.

Lai krustojošās taisnes a un b ir šķērsām un leņķi AB ir vienādi. Piemēram, ∠ 4 = ∠ 6. Pierādīsim, ka a || b.

Pieņemsim, ka taisnes a un b nav paralēlas. Tad tie krustojas kādā punktā M, un tāpēc viens no leņķiem 4 vai 6 būs trijstūra ABM ārējais leņķis. Noteiktības labad pieņemsim, ka ∠ 4 ir trijstūra ABM ārējais leņķis, bet ∠ 6 – iekšējais leņķis. No teorēmas par trijstūra ārējo leņķi izriet, ka ∠ 4 ir lielāks par ∠ 6, un tas ir pretrunā ar nosacījumu, kas nozīmē, ka taisnes a un 6 nevar krustoties, tāpēc tās ir paralēlas.

Secinājums 1. Divas dažādas taisnes plaknē, kas ir perpendikulāra vienai un tai pašai taisnei, ir paralēlas(2. att.).

komentēt. Veids, kā mēs tikko pierādījām 1. teorēmas 1. gadījumu, tiek saukts par pierādīšanas metodi ar pretrunu vai redukciju līdz absurdam. Šī metode saņēma savu pirmo nosaukumu, jo argumenta sākumā tiek izteikts pieņēmums, kas ir pretējs (pretējs) tam, kas ir jāpierāda. To sauc par novedšanu pie absurda tāpēc, ka, spriežot, pamatojoties uz izdarīto pieņēmumu, mēs nonākam pie absurda secinājuma (līdz absurdam). Šāda secinājuma saņemšana liek noraidīt sākumā izteikto pieņēmumu un pieņemt to, kas bija jāpierāda.

1. uzdevums. Izveidojiet taisni, kas iet caur doto punktu M un paralēli noteiktai taisnei a, nevis iet caur punktu M.

Risinājums. Caur punktu M velkam taisni p, kas ir perpendikulāra taisnei a (3. att.).

Tad caur punktu M novelkam taisni b, kas ir perpendikulāra taisnei p. Taisne b ir paralēla taisnei a saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu.

No aplūkotās problēmas izriet svarīgs secinājums:
caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, vienmēr ir iespējams novilkt taisni paralēli dotajai.

Paralēlo līniju galvenā īpašība ir šāda.

Paralēlu līniju aksioma. Caur doto punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai.

Apskatīsim dažas paralēlu līniju īpašības, kas izriet no šīs aksiomas.

1) Ja taisne krusto vienu no divām paralēlām taisnēm, tad tā krusto arī otru (4. att.).

2) Ja divas dažādas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas (5. att.).

Pareiza ir arī sekojošā teorēma.

2. teorēma. Ja divas paralēlas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad:

šķērsām leņķi ir vienādi;

attiecīgie leņķi ir vienādi;

vienpusējo leņķu summa ir 180°.

Secinājums 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai(skat. 2. att.).

komentēt. 2. teorēmu sauc par 1. teorēmas apgriezto. 1. teorēmas secinājums ir 2. teorēmas nosacījums. Un 1. teorēmas nosacījums ir 2. teorēmas secinājums. Ne katrai teorēmai ir inverss, tas ir, ja dotā teorēma ir taisnība, tad apgrieztā teorēma var būt nepatiesa.

Paskaidrosim to, izmantojot vertikālo leņķu teorēmas piemēru. Šo teorēmu var formulēt šādi: ja divi leņķi ir vertikāli, tad tie ir vienādi. Apgrieztā teorēma būtu: ja divi leņķi ir vienādi, tad tie ir vertikāli. Un tas, protams, nav taisnība. Diviem vienādiem leņķiem nav jābūt vertikāliem.

1. piemērs. Divas paralēlas līnijas šķērso trešā. Ir zināms, ka starpība starp diviem iekšējiem vienpusējiem leņķiem ir 30°. Atrodiet šos leņķus.

Risinājums. Ļaujiet 6. attēlam atbilst nosacījumam.

Rediģēja Ivanitskaya V.P. - M.: RSFSR Izglītības ministrijas Valsts izglītības un pedagoģijas izdevniecība, 1959. - 272 lpp.
Lejupielādēt(tiešā saite) : egnnsholaster1959.djvu Iepriekšējais 1 .. 11 > .. >> Nākamais

Ja blakus esošie leņķi ir vienādi, tad katru no tiem sauc par taisnleņķi. To kopējo malu sauc par perpendikulāru līniju, ko veido pārējās divas malas. Var arī teikt, ka apgrieztā leņķa bisektrise ir perpendikulāra līnijai, ko veido tās malas.

Teorēma. Ja leņķi ir vienādi, tad blakus esošie leņķi ir vienādi.

Ļaujiet (h, k) = ^. (I, m) un lai ^ (h!, k) un ^ (/", t) ir attiecīgie blakus leņķi (20. att.). Tālāk, / ir kustība, kurā ^ (h, k) ir parādīts (I, tri). Ar šo kustību izvērstā ^ (h, K) tiks kartēta izvērstā (I, /"). No tā izriet, ka ^(h), k) tiks kartēts ^(V, m), t.i., ^(h!, k) = ^(V, m).

Teorēma. Ir jebkura leņķa bisektrise un turklāt unikāla.

Ļaujiet ^(A, k) atšķirties no paplašinātā un lai tā iekšējais apgabals ir izliekts. Uzzīmēsim vienādus nogriežņus OA un OB tā malās no virsotnes O (Zīmējums 21, a) un savienosim punktus A un B. Vienādsānu trijstūrī AOB A = ^B (§ 8). Savienojot segmenta AB vidusdaļu C ar punktu O, iegūstam pirmajā atribūtā vienādus trijstūrus L OS un BOC. Līdz ar to AOC = BOC, un tāpēc stars OS ir bisektrise (h, k).

Ja (h, k) nav izliekts (zīmējumā tā iekšējais apgabals nav ieēnots), tad saskaņā ar iepriekšējo

6}
t^

Saskaņā ar teorēmu tās bisektrise ir staru m komplementārs stars /.

No trīsstūru ACO un BCO vienādības arī izriet, ka ^ ACO = BCO1, t.i., stars CO ir apgriezta leņķa bisektrise ar malām CA un CB.

Tagad tiks dots paplašināts ^ (p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB tiek parādīts

(p, q). CO stars tiek kartēts t starā. Tā kā ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO un ^ACO= = (q, t), tad (p, t) = = ^(q, t), t.i., t - bisektrise (p, q ).

Ļaut / būt bisektrise

(A, A) un Г ir patvaļīgs stars, kas izplūst no leņķa virsotnes un atrodas tā iekšējā reģionā. Ja Γ atrodas iekšējā apgabalā ^(A, /), tad ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Tāpēc ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Secinājums 1. Dotai taisnei ir viens un tikai viens perpendikuls, kas izplūst no noteikta punkta uz tās un atrodas noteiktā pusplaknē, ko ierobežo šī taisne.

Secinājums 2. Vienādu leņķu puses ir vienādas viena ar otru.

Patiešām, ja ^(A, A) = ^(A, A"), tad notiek kustība /, kurā viens no tiem tiek kartēts ar otru. Saskaņā ar pierādīto teorēmu to bisektrise / un Γ noteiktai kustībai arī ir jāsamēro viena ar otru. Tāpēc ^(A, /) = ^(A, Г).

Tā kā visi taisnie leņķi ir vienādi, īpašs 2. secinājuma gadījums ir priekšlikums: visi taisnie leņķi ir vienādi viens ar otru.

Taisnes a un A, kas krustojoties veido taisnus leņķus, sauc par perpendikulārām (a ± b).

Atspulgs no taisnas līnijas. Ļaujiet taisnai līnijai atrasties plaknē a. Šajā gadījumā izveidotās pusplaknes tiks apzīmētas ar X un p. (22. attēls). Paņemsim staru A uz taisnas līnijas

izplūst no punkta O. Ar 6 kustību īpašību (§ 7) ir unikāla kustība, kas kartē h staru sevī un pusplakni X pusplaknē jx. Visi šī stara punkti saskaņā ar 5 kustību īpašībām tiek kartēti paši par sevi. Visi stara k punkti, kas papildina tiešo staru h, arī tiek kartēti uz tiem pašiem.

Tātad aplūkojamās kustības laikā visi līnijas a punkti tiek kartēti uz sevi. To ir viegli redzēt tālāk

Tagad ņemsim punktu ārpus līnijas a.

Teorēma. Caur jebkuru punktu, kas neatrodas uz taisnes, iet viena taisne, kas ir perpendikulāra dotajai taisnei.

Pierādījums. Lai M ir punkts, kas atrodas ārpus taisnes a (23. att.). Līnija a dala plakni, ko nosaka šī taisne un

punktu M divās pusplaknēs: pusplaknē X, kas satur punktu M, un pusplaknē jx. Atspoguļojot no taisnes a, punkts M tiek kartēts uz pusplaknes jx punktu M". Tā kā punkti M un M" atrodas dažādās pusplaknēs,

ak, tad taisni MM" un Damn 23

krustojas dažos

punkts M0, kas, atspoguļojot to, tiek kartēts uz sevi. No tā izriet, ka taisne MM" tiek kartēta uz sevi, un tāpēc leņķi / un 2, ko tā veido ar taisni a (sk. 23. att.), tiek kartēti viens ar otru.

Pusplakne jx ir kartēta pusplaknē X.

Aplūkojamo kustību sauc par atstarošanu no taisnes a.

No apgrieztā leņķa bisektrise pastāvēšanas izriet, ka caur jebkuru punktu, kas atrodas uz taisnes a, vienmēr ir iespējams novilkt taisni b, kas ir perpendikulāra taisnei a.

Tas nozīmē, ka šie leņķi ir vienādi, un, tā kā tie turklāt atrodas blakus, tad MM" ± a. Tagad caur M novelk vēl vienu taisni, kas krusto līniju a kādā punktā Af0. Tā tiks kartēta taisnē M "N0, a ^ MN0M0 tiks kartēts M"N0M0. Tātad, ^ 3 = ^i4. Taču saskaņā ar 1. aksiomu (2. §) punkti M1 N0 un M" neatrodas uz vienas taisnes, un tāpēc leņķu 3 un 4 summa, t.i., ^ MN0M", nav apgriezts leņķis. No tā izriet, ka leņķi 3 un 4 atšķiras no taisnā leņķa un taisne MN0 nebūs perpendikulāra taisnei a. taisne MM" tādējādi ir vienīgā taisne, kas ir perpendikulāra a un iet caur punktu M.