Funções elementares básicas são: função constante (constante), raiz n-º grau, função de potência, função exponencial, logarítmica, funções trigonométricas e trigonométricas inversas.

Função permanente.

Uma função constante é dada no conjunto de todos os números reais pela fórmula, onde C– algum número real. Uma função constante atribui cada valor real da variável independente x mesmo valor da variável dependente sim- significado COM. Uma função constante também é chamada de constante.

O gráfico de uma função constante é uma linha reta paralela ao eixo x e passando pelo ponto com coordenadas (0,C). Por exemplo, vamos mostrar gráficos de funções constantes y=5,y=-2 e , que na figura abaixo correspondem às linhas preta, vermelha e azul, respectivamente.

Propriedades de uma função constante.

Domínio: todo o conjunto dos números reais.

A função constante é par.

Faixa de valores: conjunto constituído por um número singular COM.

Uma função constante não é crescente nem decrescente (é por isso que é constante).

Não faz sentido falar em convexidade e concavidade de uma constante.

Não existem assíntotas.

A função passa pelo ponto (0,C) plano coordenado.

Raiz do enésimo grau.

Vamos considerar a função elementar básica, que é dada pela fórmula, onde n– um número natural maior que um.

A enésima raiz, n é um número par.

Vamos começar com a função raiz n-ésima potência para valores pares do expoente raiz n.

Por exemplo, aqui está uma imagem com imagens de gráficos de funções e , correspondem às linhas pretas, vermelhas e azuis.

Os gráficos de funções raiz de graus pares têm uma aparência semelhante para outros valores do expoente.

Propriedades da função raizn -º poder para atén .

A enésima raiz, n é um número ímpar.

Função raiz n-ésima potência com um expoente raiz ímpar né definido em todo o conjunto de números reais. Por exemplo, aqui estão os gráficos de funções e , correspondem às curvas preta, vermelha e azul.

Tópico da lição:Representação gráfica de funções contendo módulos. Introdução a SE e funçõesabdômen.

Professora de matemática e ciências da computação, Escola Secundária nº 2, vila Novobelokatay, distrito de Belokataysky, Yulia Rafailovna Galiullina.

Livro didático “Álgebra e os primórdios da análise matemática. 10-11 série" ed. Kolmogorova, Ugrinovich N.D. “Informática e TIC 10º ano”.

Tipo de aula: aula de treinamento usando tecnologia da informação.

O objetivo da lição: testar conhecimentos, habilidades e habilidades neste tópico.

Lições objetivas:

Educacional

sistematização e generalização do conhecimento sobre o tema;

ensinar como determinar o método de solução mais conveniente;

ensine como representar graficamente uma função usando uma planilha.

Desenvolvimento

desenvolvimento da capacidade de autocontrole;

ativação da atividade mental dos alunos;

Educacional

nutrir motivos de aprendizagem e uma atitude consciente em relação ao trabalho.

Métodos de ensino: parcialmente pesquisa, pesquisa, individual.

Forma de organização das atividades educativas: cartões individuais, frontais.

Meios de educação: projetor multimídia, tela, cartões

Durante as aulas

EU. Tempo de organização

Saudações, verificando os presentes. Explicação da lição

II. Repetição

Consolidar conhecimentos de plotagem de gráficos em processador de planilhas.

Levantamento frontal.

-Como inserir um gráfico em Excel?

- Que tipos de gráficos existem em Excel?

Consolidando o conhecimento sobre o quadro temático com módulos.

- Qual é o significado de uma função com módulo?

Análise de exemplo: e = | x | – 2.

Existem dois casos a serem considerados quando x=0. Se x=0, então a função será semelhante a y = x – 2. Construa um gráfico desta função em seus cadernos.

Agora vamos construir um gráfico da função usando o processador de planilhas MS Excel. Esta função pode ser representada graficamente de duas maneiras:

Método 1: usando a função SE

Para construir um gráfico, primeiro precisamos preencher uma tabela de valores de X e Y.

Chamamos célula A2-X, célula B2-U. Portanto, a coluna A conterá o valor da variável e a coluna B conterá o valor da função.

Na coluna A inserimos uma variável no intervalo de -5 a 5 em incrementos de 0,5. Para isso, insira -5 na célula A3, e a fórmula =A4+0,5 na célula A4, copie a fórmula para as células subsequentes, pois aqui há endereçamento relativo, a fórmula mudará ao ser copiada.

Após preencher os valores X, passe para a segunda coluna, para preenchê-la é necessário inserir uma fórmula. Na célula B4, insira uma fórmula na qual usamos a função SE.

Função " Se" nas planilhas do MS Excel (Categoria - Booleano) analisa o resultado de uma expressão ou o conteúdo de uma célula especificada e coloca um dos dois valores ou expressões possíveis na célula especificada.

Sintaxe da função "IF".

=IF (expressão booleana; Valor_se_verdadeiro; Valor_se_falso). Uma expressão ou condição booleana que pode ser avaliada como TRUE ou FALSE. Value_if_true – o valor que a expressão lógica assume se for executada. Value_if_false é o valor que a expressão booleana assume se falhar."

Expressões ou condições lógicas são construídas usando operadores de comparação (, =, =) e operações lógicas (AND, OR, NOT).

Fig.22 Função SE

A função SE é uma função lógica.

Vamos lembrar o significado de uma função com módulo: se x=0, então a função será semelhante a y = x – 2.

Este texto deve ser inserido na célula B4 em forma de tabela clara. O valor de X está na coluna A, portanto se A4

A4-2, caso contrário = A4-2.

Fig.23 Argumentos da função IF

A fórmula é semelhante a: =SE(A5A5-2,A5-2)

Após preencher a tabela de valores. Construindo um gráfico de uma função

Item de menu Inserir-Diagramas-Dispersão. Selecione um dos layouts. Um campo de gráfico vazio aparece na planilha. No menu de contexto deste campo, selecione Selecionar dados. A caixa de diálogo Selecionar Dados é exibida.

Nesta caixa de diálogo, selecione o nome da série na célula A1 ou você também pode inserir o nome no teclado.

No campo Valor X, selecione a coluna na qual inserimos o valor da variável.

No campo Valor Y, selecione a coluna na qual encontramos o valor da função usando o operador condicional IF.

Arroz. 24. Gráfico da função y = | x | – 2.

Método 2: usando uma funçãoabdômen

Você também pode usar a função ABS para construir um gráfico com um módulo.

Vamos traçar a função y = | x | – 2 usando a função ABS.

No exemplo 2 são dados os valores da variável X.

Na célula B4, insira uma fórmula usando a função ABC

Figura 25. Entrando na função ABS usando o assistente de função

A fórmula será semelhante a: =ABS(A4)-2.

4. Fazendo um trabalho prático

Depois de analisar dois exemplos, os alunos recebem uma tarefa prática.

Nessas tarefas você recebe diversas funções com módulos. Você deve escolher qual função é mais apropriada para usar em cada exemplo.

Trabalho prático

Os alunos consideram a função linear y = x – 2 e fazem um gráfico dela.

Tarefa 1. Faça um gráfico da função y = | x – 2 |

Tarefa 2. Faça um gráfico da função y = | x | – 2

Tarefa 3. Faça um gráfico da equação | você | = x – 2

Os alunos consideram a função quadrática y = x 2 – 2x – 3 e construa um gráfico.

Tarefa 1. Faça um gráfico da função y = | x 2 – 2x – 3 |

Tarefa 2. Faça um gráfico da função y = | x2 | – 2 | x | -3

Tarefa 3. Faça um gráfico da equação | você | =x 2 – 2x - 3

V. Informações sobre lição de casa.

VI.Resumindo a lição, reflexão. Os alunos e o professor resumem a aula e analisam a execução das tarefas atribuídas.

Este material didático é apenas para referência e está relacionado a uma ampla variedade de tópicos. O artigo fornece uma visão geral dos gráficos de funções elementares básicas e considera a questão mais importante - como construir um gráfico corretamente e RAPIDAMENTE. No decorrer do estudo de matemática superior sem conhecimento dos gráficos das funções elementares básicas, será difícil, por isso é muito importante lembrar como são os gráficos de uma parábola, hipérbole, seno, cosseno, etc. dos significados das funções. Falaremos também sobre algumas propriedades das funções principais.

Não reivindico a completude e o rigor científico dos materiais; a ênfase será colocada, em primeiro lugar, na prática - aquelas coisas com as quais encontramos literalmente a cada passo, em qualquer tópico de matemática superior. Gráficos para manequins? Alguém poderia dizer isso.

Devido a inúmeros pedidos de leitores índice clicável:

Além disso, há uma sinopse ultracurta sobre o tema
– domine 16 tipos de gráficos estudando SEIS páginas!

Sério, seis, até eu fiquei surpreso. Este resumo contém gráficos aprimorados e está disponível por uma taxa nominal; uma versão demo pode ser visualizada. É conveniente imprimir o arquivo para que os gráficos estejam sempre à mão. Obrigado por apoiar o projeto!

E vamos começar imediatamente:

Como construir eixos coordenados corretamente?

Na prática, as provas quase sempre são realizadas pelos alunos em cadernos separados, alinhados em um quadrado. Por que você precisa de marcações xadrez? Afinal, o trabalho, a princípio, pode ser feito em folhas A4. E a gaiola é necessária apenas para projetos de desenhos precisos e de alta qualidade.

Qualquer desenho de um gráfico de função começa com eixos coordenados.

Os desenhos podem ser bidimensionais ou tridimensionais.

Vamos primeiro considerar o caso bidimensional Sistema de coordenadas retangulares cartesianas:

1) Desenhe eixos coordenados. O eixo é chamado eixo x , e o eixo é eixo y . Nós sempre tentamos desenhá-los limpo e não torto. As flechas também não devem se parecer com a barba do Papa Carlo.

2) Assinamos os eixos com letras grandes “X” e “Y”. Não se esqueça de rotular os eixos.

3) Defina a escala ao longo dos eixos: desenhe um zero e dois uns. Ao fazer um desenho, a escala mais conveniente e frequentemente utilizada é: 1 unidade = 2 células (desenho à esquerda) - se possível, siga-a. Porém, de vez em quando acontece que o desenho não cabe na folha do caderno - então reduzimos a escala: 1 unidade = 1 célula (desenho à direita). É raro, mas acontece que a escala do desenho tem que ser reduzida (ou aumentada) ainda mais

NÃO HÁ NECESSIDADE de “metralhadora”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Pois o plano coordenado não é um monumento a Descartes, e o aluno não é uma pomba. Nós colocamos zero E duas unidades ao longo dos eixos. Às vezes em vez de unidades, é conveniente “marcar” outros valores, por exemplo, “dois” no eixo das abcissas e “três” no eixo das ordenadas - e este sistema (0, 2 e 3) também definirá de forma única a grade de coordenadas.

É melhor estimar as dimensões estimadas do desenho ANTES de construir o desenho. Assim, por exemplo, se a tarefa requer desenhar um triângulo com vértices , , , então é completamente claro que a escala popular de 1 unidade = 2 células não funcionará. Por que? Vejamos a questão - aqui você terá que medir quinze centímetros para baixo e, obviamente, o desenho não caberá (ou mal caberá) em uma folha de caderno. Portanto, selecionamos imediatamente uma escala menor: 1 unidade = 1 célula.

Aliás, cerca de centímetros e células de notebook. É verdade que 30 células de notebook contêm 15 centímetros? Para se divertir, meça 15 centímetros em seu caderno com uma régua. Na URSS isso pode ter sido verdade... É interessante notar que se você medir esses mesmos centímetros na horizontal e na vertical, os resultados (nas células) serão diferentes! A rigor, os notebooks modernos não são xadrez, mas sim retangulares. Isso pode parecer um absurdo, mas desenhar, por exemplo, um círculo com um compasso em tais situações é muito inconveniente. Para ser sincero, nesses momentos você começa a pensar na correção do camarada Stalin, que foi enviado a campos para hackear a produção, sem falar na indústria automobilística nacional, na queda de aviões ou na explosão de usinas de energia.

Falando em qualidade, ou uma breve recomendação sobre papelaria. Hoje, a maioria dos notebooks à venda são, para dizer o mínimo, uma porcaria completa. Porque ficam molhados, e não só com canetas de gel, mas também com canetas esferográficas! Eles economizam dinheiro no papel. Para realizar os testes, recomendo usar cadernos da Fábrica de Papel e Celulose de Arkhangelsk (18 folhas, quadradas) ou “Pyaterochka”, embora seja mais caro. É aconselhável escolher uma caneta de gel; mesmo o refil de gel chinês mais barato é muito melhor do que uma caneta esferográfica, que mancha ou rasga o papel. A única caneta esferográfica “competitiva” de que me lembro é a Erich Krause. Ela escreve de forma clara, bonita e consistente – seja com o núcleo cheio ou quase vazio.

Adicionalmente: A visão de um sistema de coordenadas retangulares através dos olhos da geometria analítica é abordada no artigo (não) dependência linear de vetores. Base de vetores, informações detalhadas sobre os trimestres de coordenadas podem ser encontradas no segundo parágrafo da lição Desigualdades lineares.

Caso 3D

É quase a mesma coisa aqui.

1) Desenhe eixos coordenados. Padrão: eixo aplicado – direcionado para cima, eixo – direcionado para a direita, eixo – direcionado para baixo para a esquerda estritamente em um ângulo de 45 graus.

2) Rotule os eixos.

3) Defina a escala ao longo dos eixos. A escala ao longo do eixo é duas vezes menor que a escala ao longo dos outros eixos. Observe também que no desenho à direita usei um "entalhe" não padrão ao longo do eixo (esta possibilidade já foi mencionada acima). Do meu ponto de vista, isso é mais preciso, rápido e esteticamente mais agradável - não há necessidade de procurar o meio da célula no microscópio e “esculpir” uma unidade próxima à origem das coordenadas.

Ao fazer um desenho 3D, novamente, dê prioridade à escala
1 unidade = 2 células (desenho à esquerda).

Para que servem todas essas regras? Regras são feitas para serem quebradas. Isso é o que farei agora. O fato é que os desenhos subsequentes do artigo serão feitos por mim no Excel, e os eixos coordenados parecerão incorretos do ponto de vista do desenho correto. Eu poderia desenhar todos os gráficos à mão, mas na verdade é assustador desenhá-los, pois o Excel reluta em desenhá-los com muito mais precisão.

Gráficos e propriedades básicas de funções elementares

Uma função linear é dada pela equação. O gráfico de funções lineares é direto. Para construir uma linha reta basta conhecer dois pontos.

Exemplo 1

Construa um gráfico da função. Vamos encontrar dois pontos. É vantajoso escolher zero como um dos pontos.

Se então

Tomemos outro ponto, por exemplo, 1.

Se então

Ao completar tarefas, as coordenadas dos pontos geralmente são resumidas em uma tabela:

E os próprios valores são calculados oralmente ou em um rascunho, uma calculadora.

Foram encontrados dois pontos, vamos fazer um desenho:

Na hora de preparar um desenho sempre assinamos os gráficos.

Seria útil recordar casos especiais de uma função linear:

Observe como coloquei as assinaturas, as assinaturas não devem permitir discrepâncias ao estudar o desenho. Nesse caso, era extremamente indesejável colocar uma assinatura próximo ao ponto de intersecção das linhas, ou no canto inferior direito entre os gráficos.

1) Uma função linear da forma () é chamada de proporcionalidade direta. Por exemplo, . Um gráfico de proporcionalidade direta sempre passa pela origem. Assim, construir uma linha reta fica simplificado - basta encontrar apenas um ponto.

2) Uma equação da forma especifica uma linha reta paralela ao eixo, em particular, o próprio eixo é dado pela equação. O gráfico da função é traçado imediatamente, sem encontrar nenhum ponto. Ou seja, o verbete deve ser entendido da seguinte forma: “o y é sempre igual a –4, para qualquer valor de x”.

3) Uma equação da forma especifica uma linha reta paralela ao eixo, em particular, o próprio eixo é dado pela equação. O gráfico da função também é traçado imediatamente. A entrada deve ser entendida da seguinte forma: “x é sempre, para qualquer valor de y, igual a 1”.

Alguns perguntarão, por que lembrar da 6ª série?! É assim, talvez seja assim, mas ao longo dos anos de prática conheci uma boa dúzia de estudantes que ficaram perplexos com a tarefa de construir um gráfico como ou.

Construir uma linha reta é a ação mais comum na hora de fazer desenhos.

A reta é discutida detalhadamente no curso de geometria analítica, e os interessados ​​​​podem consultar o artigo Equação de uma linha reta em um plano.

Gráfico de uma função quadrática cúbica, gráfico de um polinômio

Parábola. Gráfico de uma função quadrática () representa uma parábola. Considere o famoso caso:

Vamos relembrar algumas propriedades da função.

Então, a solução da nossa equação: – é neste ponto que se localiza o vértice da parábola. Por que isso acontece pode ser encontrado no artigo teórico sobre a derivada e na lição sobre os extremos da função. Enquanto isso, vamos calcular o valor “Y” correspondente:

Assim, o vértice está no ponto

Agora encontramos outros pontos, usando descaradamente a simetria da parábola. Deve-se notar que a função – não é mesmo, mas, mesmo assim, ninguém cancelou a simetria da parábola.

Em que ordem encontrar os pontos restantes, acho que ficará claro na mesa final:

Este algoritmo de construção pode ser chamado figurativamente de “lançador” ou princípio de “ida e volta” com Anfisa Chekhova.

Vamos fazer o desenho:

Dos gráficos examinados, outro recurso útil vem à mente:

Para uma função quadrática () o seguinte é verdadeiro:

Se , então os ramos da parábola são direcionados para cima.

Se , então os ramos da parábola são direcionados para baixo.

Conhecimento aprofundado sobre a curva pode ser obtido na lição Hipérbole e parábola.

Uma parábola cúbica é dada pela função. Aqui está um desenho familiar da escola:

Vamos listar as principais propriedades da função

Gráfico de uma função

Representa um dos ramos de uma parábola. Vamos fazer o desenho:

Principais propriedades da função:

Neste caso, o eixo é assíntota vertical para o gráfico de uma hipérbole em .

Seria um erro GROSSEIRO se, ao traçar um desenho, você permitisse descuidadamente que o gráfico se cruzasse com uma assíntota.

Além disso, os limites unilaterais nos dizem que a hipérbole não limitado de cima E não limitado por baixo.

Vamos examinar a função no infinito: , ou seja, se começarmos a nos mover ao longo do eixo para a esquerda (ou para a direita) até o infinito, então os “jogos” ocorrerão em um passo ordenado infinitamente perto se aproxima de zero e, consequentemente, os ramos da hipérbole infinitamente perto aproximar-se do eixo.

Então o eixo é assíntota horizontal para o gráfico de uma função, se “x” tende para mais ou menos infinito.

A função é chance, e, portanto, a hipérbole é simétrica em relação à origem. Este fato fica evidente no desenho, além disso, é facilmente verificado analiticamente: .

O gráfico de uma função da forma () representa dois ramos de uma hipérbole.

Se , então a hipérbole está localizada no primeiro e terceiro trimestres de coordenadas(veja a imagem acima).

Se , então a hipérbole está localizada no segundo e quarto trimestres de coordenadas.

O padrão indicado de residência da hipérbole é fácil de analisar do ponto de vista das transformações geométricas dos gráficos.

Exemplo 3

Construa o ramo direito da hipérbole

Usamos o método de construção pontual, e é vantajoso selecionar os valores para que sejam divisíveis por um todo:

Vamos fazer o desenho:

Não será difícil construir o ramo esquerdo da hipérbole; a estranheza da função ajudará aqui. Grosso modo, na tabela de construção pontual, adicionamos mentalmente um sinal de menos a cada número, colocamos os pontos correspondentes e desenhamos o segundo ramo.

Informações geométricas detalhadas sobre a reta considerada podem ser encontradas no artigo Hipérbole e parábola.

Gráfico de uma função exponencial

Nesta seção considerarei imediatamente a função exponencial, pois em problemas de matemática superior em 95% dos casos é a exponencial que aparece.

Deixe-me lembrar que este é um número irracional: , isso será necessário na construção de um gráfico, que, na verdade, construirei sem cerimônia. Três pontos provavelmente são suficientes:

Vamos deixar o gráfico da função de lado por enquanto, falaremos mais sobre isso mais tarde.

Principais propriedades da função:

Gráficos de funções, etc., parecem fundamentalmente iguais.

Devo dizer que o segundo caso ocorre com menos frequência na prática, mas ocorre, por isso considerei necessário incluí-lo neste artigo.

Gráfico de uma função logarítmica

Considere uma função com logaritmo natural.
Vamos fazer um desenho ponto a ponto:

Se você esqueceu o que é um logaritmo, consulte os livros escolares.

Principais propriedades da função:

Domínio:

Faixa de valores: .

A função não é limitada por cima: , embora lentamente, mas o ramo do logaritmo sobe até o infinito.
Vamos examinar o comportamento da função perto de zero à direita: . Então o eixo é assíntota vertical para o gráfico de uma função como “x” tende a zero à direita.

É imperativo conhecer e lembrar o valor típico do logaritmo: .

Em princípio, o gráfico do logaritmo na base parece o mesmo: , , (logaritmo decimal na base 10), etc. Além disso, quanto maior a base, mais plano será o gráfico.

Não consideraremos o caso; não me lembro da última vez que construí um gráfico com tal base. E o logaritmo parece ser um convidado muito raro em problemas de matemática superior.

No final deste parágrafo direi mais um fato: Função exponencial e função logarítmica– estas são duas funções mutuamente inversas. Se você olhar atentamente para o gráfico do logaritmo, verá que este é o mesmo expoente, apenas está localizado de forma um pouco diferente.

Gráficos de funções trigonométricas

Onde começa o tormento trigonométrico na escola? Certo. Do seno

Vamos traçar a função

Esta linha é chamada sinusóide.

Deixe-me lembrá-lo de que “pi” é um número irracional: e em trigonometria faz seus olhos deslumbrarem.

Principais propriedades da função:

Esta função é periódico com ponto final. O que isso significa? Vejamos o segmento. À esquerda e à direita, exatamente a mesma parte do gráfico é repetida indefinidamente.

Domínio: , ou seja, para qualquer valor de “x” existe um valor seno.

Faixa de valores: . A função é limitado: , ou seja, todos os “jogos” ficam estritamente no segmento .
Isso não acontece: ou, mais precisamente, acontece, mas essas equações não têm solução.

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