Palíndromos em matemática. Verifique se um número de quatro dígitos é um palíndromo Palíndromos que consiste em k dígitos

Fonte de trabalho: Solução 4954. Exame Estadual Unificado 2016 Matemática, I.V. Yashchenko. 36 opções. Responder.

Tarefa 19. Chamaremos um número natural de palíndromo se em sua notação decimal todos os dígitos estiverem dispostos simetricamente (o primeiro e o último dígito são iguais, o segundo e o penúltimo, etc.). Por exemplo, os números 121 e 953359 são palíndromos, mas os números 10 e 953953 não são palíndromos.

a) Dê um exemplo de número palindrômico divisível por 45.

b) Quantos números palindrômicos de cinco algarismos existem que são divisíveis por 45?

c) Encontre o décimo maior número palíndromo que é divisível por 45.

Solução.

a) A opção mais simples seria o número palindrômico 5445, que é divisível por 45.

Responder: 5445.

b) Vamos decompor o número 45 em fatores primos, obtemos

ou seja, o número deve ser divisível por 5 e por 9. Um sinal de que um número é divisível por 5 é a presença do número 5 no final do número (não levamos em consideração o número 0, porque ele não não serve). Obtemos um número palindrômico na forma 5aba5, onde a, b são os dígitos do número. Um sinal de que um número é divisível por 9 é que a soma dos algarismos

deve ser divisível por 9. Desta condição temos:

Para b = 0: ;

Para b = 1: ;

Para b = 2: ;

Para b=3: ;

Para b = 5: ;

Para b = 6: ;

Para b=7: ;

Descrição da apresentação por slides individuais:

1 diapositivo

Descrição do slide:

O que é um palíndromo? O trabalho foi feito pela professora de matemática Galina Vladimirovna Prikhodko

2 slides

Descrição do slide:

Problema Um motorista olhou para o medidor de seu carro e viu um número simétrico (palíndromo) 15.951 km (leia o mesmo da esquerda para a direita ou vice-versa). Ele pensou que, muito provavelmente, outro número simétrico não apareceria tão cedo. Porém, após 2 horas ele descobriu um novo número simétrico. A que velocidade constante o motorista viajou durante essas duas horas? Solução: O próximo número simétrico é 16.061. A diferença é 16.061 - 15.951 = 110 km. Se você dividir 110 km por 2 horas, obterá uma velocidade de 55 km/h. Resposta: 55 km/h

3 slides

Descrição do slide:

Tarefa do Exame de Estado Unificado a) Dê um exemplo de número palíndromo divisível por 15. b) Quantos números palíndromos de cinco dígitos existem que são divisíveis por 15? c) Encontre o 37º maior número palindrômico divisível por 15. Respostas: a) 5115; b) 33; c) 59295

4 slides

Descrição do slide:

O que significa palíndromo? A palavra palíndromo vem da palavra grega palindromos, que significa “voltar correndo novamente”. Os palíndromos podem ser não apenas números, mas também palavras, frases e até textos.

5 slides

Descrição do slide:

Em matemática, os números - palíndromos são lidos da mesma forma, tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda. Exemplos são todos os números de um dígito, números de dois dígitos na forma αα, como 11 e 99, números de três dígitos na forma αβα, como 535 e assim por diante. Além disso, todos os números de dois dígitos fornecem palíndromos (o maior número de etapas - 24 - requer os números 89 e 98).Mas ainda não se sabe se o número 196 fornece um palíndromo. Palíndromos numéricos 676 (o menor número do palíndromo que é o quadrado de um não palíndromo é 26). 121 (o menor número do palíndromo que é o quadrado do palíndromo é 11).

6 slides

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Superpalíndromo Algumas frases e frases palindrômicas são conhecidas por nós desde os tempos antigos. Então, muitas vezes, eles recebiam um significado mágico. Os palíndromos mágicos também incluem quadrados mágicos, por exemplo, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (traduzido como “O semeador de Arepo mal consegue manter suas rodas”).

7 slides

Descrição do slide:

Atualmente, o palíndromo é desprovido de todos os poderes mágicos e é um jogo de palavras simples que permite usar um pouco o cérebro. A maioria dos palíndromos são um conjunto de palavras relativamente coerente, mas também existem frases interessantes, integrais e compreensíveis, por exemplo: “Mas o Arcanjo invisível deitou-se no templo e ficou maravilhoso”. Se falamos de palavras palindrômicas, a palavra mais longa do mundo é considerada “SAIPPUAKIVIKAUPPIAS”, que traduzido do finlandês significa “vendedor de sabonete”.

8 slides

Descrição do slide:

Tarefa: descubra com que frequência os números simétricos ocorrem entre os números primos. Para números menores que 1.000, isso é fácil de descobrir na tabela de números primos. Entre os números simples de dois dígitos, existe apenas um número simétrico - 11. Então encontramos: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

Diapositivo 9

Descrição do slide:

Prova Entre os números de quatro algarismos não existem números primos simétricos. Vamos provar isso. O número simétrico de quatro dígitos tem a forma abba. De acordo com o critério de divisibilidade por 11, a diferença entre a soma dos números em casas ímpares e a soma dos números em casas ímpares: (a + b) - (b + a) = 0. Isso significa que todos os números simétricos de quatro dígitos são divisíveis por 11, ou seja, compostos. Da mesma forma, pode-se provar que não haverá números primos entre todos os números simétricos de 2n dígitos.

10 slides

Descrição do slide:

Até 100 existem 25 números primos, entre eles um é simétrico, que é 4%. Até 1.000 números primos tornam-se 168. Números simétricos - 16. Isso é aproximadamente 9,5%. Até 10.000, o número de números simétricos não muda. Até 1.000.000 - 78.498 números primos. Existem agora 109 números simétricos, o que representa aproximadamente 0,13%. É claro que a percentagem de números simétricos está a diminuir, mas não será de todo impossível dizer que entre números muito grandes os números primos são simétricos.

11 slides

Descrição do slide:

Tenho uma ideia: os palíndromos numéricos podem ser o resultado de operações em outros caracteres. Martin Gardner, autor do livro “There Is an Idea!”, sendo um conhecido divulgador da ciência, apresenta uma certa hipótese. Se você pegar um número natural (qualquer) e adicionar seu inverso (consistindo nos mesmos números, mas na ordem inversa) a ele, repita a ação, mas com a soma resultante, então em uma das etapas você obterá um palíndromo . Em alguns casos, basta realizar a adição uma vez: 213 + 312 = 525. Mas normalmente são necessárias pelo menos duas operações. Assim, por exemplo, se tomarmos o número 96, então, ao realizar a adição sequencial, um palíndromo pode ser obtido apenas no quarto nível: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 O A essência da hipótese é que se você pegar qualquer número, depois de um certo número de ações você definitivamente obterá um palíndromo. Exemplos podem ser encontrados não apenas em adição, mas também em exponenciação, extração de raízes e outras operações.

12 slides

Descrição do slide:

Exemplo1 Vamos pegar o número 619 Vamos lê-lo 1 passo da direita para a esquerda 916 Vamos somar dois números 1535 “virar” 5351 2º passo Vamos somar 6886 O número 6886 é um palíndromo. Além disso, foi obtido em apenas 2 etapas. Lendo da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita, obtemos o mesmo número.

Diapositivo 13

Descrição do slide:

Exemplo2 Vamos dar o número 95 1 passo. Passo 1 “Vamos virar” 59 Some 154 Passo 2. “Vamos virar” 451 2º passo Vamos somar 605 3º passo “Vamos virar” 506 3º passo Vamos somar 1111 O número 1111 é um palíndromo.

Diapositivo 14

Descrição do slide:

Pinóquio Todos vocês provavelmente se lembram do livro sobre as aventuras de Pinóquio. Você se lembra de como Malvina o ensinou a escrever? Ela disse para ele escrever a seguinte frase: E A ROSA CAIU NA PATA DE AZOR - esse é outro palíndromo.

15 slides

Descrição do slide:

Palíndromos na literatura O PORCO PRESSIONOU A BERINGELA, VOCÊ, SASHA, ESTÁ CHEIO, NA TESTA, BOOM ARGENTINA TORNA NEGRA MAS VOCÊ É MAGRO, COMO AS NOTAS DE TOM, ADA CAÇADORES E DECAY

16 slides

Descrição do slide:

Palavras-palíndromos SHALASH, NAGAN, COSSACK, KOK, STOMP, ROTOR, KABAC, PULP, GRANDFATHER, RADAR

Diapositivo 17

Descrição do slide:

Frases palíndromas A RODA PAROU, NÃO SOU VELHO IRMÃO SENYA COMI UMA COBRA E O CÃO BOSA ARGENTINA ACHA UM NEGRO PARA PROCURAR UM TÁXI APRECIA UM NEGRO O ARGENTINO LYOSHA ENCONTROU UM BUG EM UMA PRATELEIRA

18 slides

Descrição do slide:

Palíndromos em línguas estrangeiras “Senhora, sou Adam” - a apresentação de um homem a uma senhora (Senhora, sou Adam). A isso a senhora pode responder modestamente com um “shifter”: “Eva” (Eva). Não são apenas frases ou conjuntos de letras que são simétricos. Corra em um carro rápido e seguro (Corra em um carro rápido e seguro) Você vê Deus? (Os gansos veem Deus?) Nunca ímpar ou par (Nunca ímpar ou par) Não acene (Não acene) Dogma: Eu sou Deus (Dogma: Eu sou Deus) Senhora, no Éden eu sou Adão (Senhora, no paraíso) Eu sou Adão) Ah, Satanás vê Natasha (Ah, Satanás vê Natasha) Deus viu que eu era um cachorro (Deus viu que eu era um cachorro) Eu prefiro Pi (eu prefiro π) Quente demais para vaiar (Quente demais para vaiar) )

Diapositivo 19

Descrição do slide:

Palíndromos-poemas Raramente seguro uma bituca de cigarro com a mão... Sento aqui sério, criando furiosamente em silêncio, vou rir uma vez, terei boa sorte, vou rir uma vez - Sim, estou feliz ! Você pode ler do começo ou do fim.

20 slides

Descrição do slide:

Na música, as peças musicais palindrômicas são tocadas “como de costume”, de acordo com as regras. Assim que a peça estiver concluída, as notas são invertidas. Então a peça é tocada novamente, mas a melodia não muda. Pode haver qualquer número de iterações, mas não se sabe o que é o fundo e o que é o topo. Essas peças musicais podem ser tocadas por duas pessoas, enquanto as notas são lidas em ambos os lados ao mesmo tempo. Exemplos de tais obras palindrômicas incluem The Way of the World, escrita por Moscheles, e Table Tune for Two, composta por Mozart.

Formulação.É fornecido um número de quatro dígitos. Verifique se é um palíndromo. Nota: Um palíndromo é um número, palavra ou texto que se lê da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda. Por exemplo, no nosso caso são os números 1441, 5555, 7117, etc.

Exemplos de outros números palindrômicos de casa decimal arbitrária, não relacionados ao problema que está sendo resolvido: 3, 787, 11, 91519, etc.

Solução. Para inserir um número no teclado, usaremos uma variável n. O número inserido pertence ao conjunto dos números naturais e tem quatro dígitos, portanto é obviamente maior que 255, portanto o tipo byte não é adequado para nós descrevê-lo. Então usaremos o tipo palavra.

Quais propriedades os números palindrômicos têm? Dos exemplos acima é fácil perceber que, devido à sua “legibilidade” idêntica em ambos os lados, o primeiro e o último dígito, o segundo e o penúltimo, etc., são iguais neles, até o meio. Além disso, se o número tiver um número ímpar de dígitos, então o dígito do meio pode ser ignorado na verificação, pois quando a regra acima é cumprida, o número é um palíndromo, independente de seu valor.

No nosso problema, tudo é ainda mais simples, pois a entrada é um número de quatro dígitos. Isso significa que para resolver o problema precisamos apenas comparar o 1º dígito do número com o 4º e o 2º dígito com o 3º. Se ambas as igualdades forem verdadeiras, então o número é um palíndromo. Resta obter os dígitos correspondentes do número nas variáveis individuais e, a seguir, por meio de um operador condicional, verificar o cumprimento de ambas as igualdades por meio de uma expressão booleana (lógica).

No entanto, você não deve tomar uma decisão precipitada. Talvez possamos simplificar o circuito resultante? Tomemos, por exemplo, o número já mencionado acima 1441. O que acontece se o dividirmos em dois números de dois algarismos, o primeiro dos quais conterá a casa dos milhares e das centenas do original, e o segundo conterá as casas das dezenas e unidades do original. Obtemos os números 14 e 41. Agora, se o segundo número for substituído pela sua notação inversa (fizemos isso em tarefa 5), então obtemos dois números iguais 14 e 14! Essa transformação é bastante óbvia, pois o palíndromo é lido da mesma forma em ambas as direções, consiste em uma combinação de números repetidos duas vezes, e uma das cópias é simplesmente virada ao contrário.

Daí a conclusão: você precisa dividir o número original em dois números de dois dígitos, inverter um deles e depois comparar os números resultantes usando o operador condicional se. Aliás, para obter uma gravação reversa da segunda metade de um número, precisamos criar mais duas variáveis para salvar os dígitos utilizados. Vamos denotá-los como a E b, e eles serão como byte.

Agora vamos descrever o algoritmo em si:

1) Digite o número n;

2) Atribua o dígito da unidade do número n variável a e descarte-o. Então atribuímos a casa das dezenas n variável b e também descarte-o:

3) Atribuir a uma variável a um número que representa a entrada reversa armazenada em variáveis a E b segunda parte do número original n de acordo com a fórmula já conhecida:

4) Agora podemos usar um teste de expressão booleana para a igualdade dos números resultantes n E a assistência ao operador se e organize a saída da resposta usando ramificações:

se n = a então writeln('Sim') senão writeln('Não');

Como a declaração do problema não diz explicitamente de que forma a resposta deve ser exibida, consideraremos lógico exibi-la em um nível intuitivo para o usuário, acessível na própria linguagem Pascal. Lembre-se de que usando o operador escrever (escrever) você pode exibir o resultado de uma expressão do tipo booleano, e se esta expressão for verdadeira, a palavra 'TRUE' será exibida (true em inglês significa "true"), se for falso - a palavra FALSE (false em inglês) em inglês significa "falso"). Então a construção anterior com se pode ser substituído por

programa PalíndromoNum;
n: palavra;
a, b: byte;
começar
leia(n);
uma:= n mod 10;
n:=ndiv 10;
b:=n mod 10;
n:=ndiv 10;
uma:= 10 * uma + b;
escrevern(n = a)

Yakovlev Danilo

Quase todos os conceitos matemáticos, de uma forma ou de outra, baseiam-se no conceito de número, e o resultado final de qualquer teoria matemática, via de regra, é expresso na linguagem dos números. Muitos deles, principalmente os números naturais, de acordo com certas características e propriedades, são agrupados em estruturas separadas (coleções) e possuem nomes próprios. Assim, o objetivo do estudo é familiarizar-se com os números palindrômicos

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FEDERAÇÃO RUSSA

Instituição educacional orçamentária municipal

"Escola Secundária nº 7"

Cidade de Nijnevartovsk

Trabalho de pesquisa
para a conferência científica e prática escolar de jovens pesquisadores

Palíndromos em matemática

2016

INTRODUÇÃO 4

PARTE PRINCIPAL................................................ .................................................. ...... ....................5

CONCLUSÃO 9

REFERÊNCIAS 11

Hipótese
Os números primos fazem parte dos números que constituem todos os números naturais.
Ao explorar o conjunto dos números primos, pode-se obter conjuntos numéricos surpreendentes com suas propriedades extraordinárias.

Propósito do estudo
Quase todos os conceitos matemáticos, de uma forma ou de outra, baseiam-se no conceito de número, e o resultado final de qualquer teoria matemática, via de regra, é expresso na linguagem dos números. Muitos deles, principalmente os números naturais, de acordo com certas características e propriedades, são agrupados em estruturas separadas (coleções) e possuem nomes próprios. Por isso,propósito do estudoé uma introdução aos números palindrômicos.

Objetivos de pesquisa

1. Estude a literatura sobre o tema de pesquisa.

2. Considere as propriedades dos palíndromos.

3. Descubra qual o papel dos números primos na mudança das propriedades dos números que nos interessam.

Assunto de estudo– um conjunto de números primos.

Objeto de estudo– os números são palíndromos.

Métodos de pesquisa:

teórico
enquete
análise

INTRODUÇÃO

Um dia, enquanto jogava boliche, notei números incomuns: 44, 77, 99, 101 e me perguntei o que eram esses números. Procurando na internet, descobri que esses números são palíndromos.

Palíndromo (do grego πάλιν - “voltar, de novo” e do grego δρóμος - “correr”), às vezes também palíndromo, da gr. palíndromos correndo de volta).

Falando sobre o que é um palíndromo, é preciso dizer que os “trocadores” são conhecidos desde a antiguidade. Freqüentemente, eles recebiam um significado mágico e sagrado. Surgiram palíndromos, cujos exemplos podem ser encontrados em diversas línguas, presumivelmente na Idade Média.

Um palíndromo pode ser obtido como resultado de operações com outros números. Então, no livro “Tenho uma ideia!” O famoso divulgador da ciência Martin Gardner menciona a “hipótese do palíndromo” em conexão com este problema.Se você pegar um número natural (qualquer) e adicionar seu inverso (consistindo nos mesmos números, mas na ordem inversa) a ele, repita a ação, mas com a soma resultante, então em uma das etapas você obterá um palíndromo . Em alguns casos, basta realizar a adição uma vez: 213 + 312 = 525. Mas normalmente são necessárias pelo menos duas operações. Assim, por exemplo, se tomarmos o número 96, então, realizando a adição sequencial, um palíndromo pode ser obtido apenas no quarto nível: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 O A essência da hipótese é que se você pegar qualquer número, depois de um certo número de ações você definitivamente obterá um palíndromo.

PARTE PRINCIPAL

Números são palíndromos

Encontrar números - palíndromos em matemática não foi difícil. Tentei escrever um número para esses números - palíndromos.

Em números de dois dígitos - palíndromos, o número de unidades coincide com o número de dezenas.

– em números de três algarismos – palíndromos, o número de centenas sempre coincide com o número de unidades.

Em números de quatro dígitos - palíndromos, o número de unidades de milhares coincide com o número de unidades e o número de centenas com o número de dezenas, etc.

Fórmulas são palíndromos

Fórmulas palindrômicas despertaram meu interesse. Por fórmulas - palíndromos, quero dizer uma expressão (consistindo na soma ou diferença de números) cujo resultado não muda com a leitura da expressão da direita para a esquerda.

Se você adicionar números que são palíndromos, a soma não muda. Adicionar números de dois dígitos é bastante simples, decidi anotar a soma dos números de três dígitos.

Por exemplo: 121+343=464

Em geral, pode ser escrito assim:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x

111x + 111y = 111y + 111x

111(x + y) = 111(y + x)

x + y = y + x

Reorganizar os termos não altera a soma(propriedade comutativa de adição).

Pode ser provado exatamente da mesma maneira para números de 4, 5 e n dígitos.

Consideremos todos os pares desses números de dois dígitos para que o resultado de sua subtração não mude como resultado da leitura da diferença da direita para a esquerda.

Qualquer número de dois dígitos pode ser representado como uma soma de termos de dígitos:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)

- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)

(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) – (10y 1 + x 1)

10x 1 + y 1 – 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 – 10y 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 anos 1 = 11 x 2 + 11 anos 2

11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Esses números têm somas iguais de dígitos.

Agora você pode fazer as seguintes diferenças:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25, etc.

Palíndromos nominais

Palíndromos são encontrados em alguns conjuntos de números que possuem nomes próprios: número de Fibonacci, número de Smith, Repdigit, Repunit.

Números de Fibonaccinomear os elementos de uma sequência numérica. Nele, cada próximo número de uma série é obtido pela soma dos dois números anteriores.

Exemplo: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Número de Smith - um número composto cuja soma dos dígitos é igual à soma dos dígitos de seus divisores primos.

Exemplo: 202=2+0+2=4

Repdígito - um número natural em que todos os dígitos são iguais.

Reunir - um número natural escrito apenas com unidades

Construtor numérico

A partir de números primos palindrômicos, organizando-os de uma certa maneira, digamos linha por linha, você pode criar figuras simétricas, distinguidas por um padrão original de números repetidos.

Aqui, por exemplo, está uma bela combinação de palíndromos simples escritos com 1 e 3 (Fig. 1). A peculiaridade desse triângulo numérico é que o mesmo fragmento se repete três vezes sem quebrar a simetria do padrão.

Arroz. 1

É fácil ver que o número total de linhas e colunas é um número primo (17). Além disso, números primos e somas de algarismos: fragmentos destacados em vermelho (17); cada linha exceto a primeira (5, 11, 17, 19, 23); a terceira, quinta, sétima e nona colunas (7, 11) e a “escada” de unidades formando os lados do triângulo (11). Finalmente, se nos movermos paralelamente aos “lados” indicados e somarmos os números da terceira e quinta linhas separadamente (Fig. 2), obteremos mais dois números primos (17, 5).

Arroz. 2

Continuando a construção, você pode construir figuras mais complexas com base neste triângulo. Assim, não é difícil obter outro triângulo com propriedades semelhantes movendo-se do final, ou seja, partindo do último número, riscando a cada passo dois números idênticos localizados simetricamente e reorganizando ou substituindo outros - 3 por 1 e vice-versa . Neste caso, os próprios números devem ser escolhidos de forma que o número resultante seja simples. Combinando as duas figuras, obtemos um losango com um padrão numérico característico, escondendo muitos números primos (Fig. 3). Em particular, a soma dos números destacados em vermelho é 37.

Arroz. 3

Você também pode criar figuras poligonais a partir de números que possuem certas propriedades. Suponha que você precise construir uma figura a partir de palíndromos simples escritos usando 1 e 3, cada um dos quais com dígitos extremos que são uns, e a soma de todos os dígitos e o número total de uns na linha são números primos (a exceção é um único palíndromo de dígitos). Além disso, um número simples deve expressar o número total de linhas, bem como os dígitos 1 ou 3, encontrados no registro.

Na Fig. A Figura 4 mostra uma das soluções para o problema - uma “casa” construída a partir de 11 palíndromos diferentes.

Arroz. 4

Claro, não é necessário limitar-se a dois dígitos e exigir a presença de todos os dígitos indicados no registro de cada número utilizado. Pelo contrário: afinal, são as suas combinações inusitadas que conferem originalidade ao padrão da figura. Para confirmar isso, damos vários exemplos de belas dependências palindrômicas (Fig. 5-7).

Arroz. 5

Arroz. 6

Arroz. 7

CONCLUSÃO

Em meu trabalho, observei números - palíndromos, fórmulas - palíndromos para a soma de números de três dígitos e a diferença de números de dois dígitos e consegui prová-los. Conheci números naturais incríveis: palíndromos e repunitos. Todos eles devem suas propriedades aos números primos.
Intuitivamente, compilei fórmulas para a soma e a diferença de números de n dígitos, o produto e o quociente de números de dois dígitos.

No caso da multiplicação temos:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13, etc.

O produto dos primeiros algarismos é igual ao produto dos segundos algarismos x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Para divisão, obtemos os seguintes exemplos:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23, etc.

Ainda não consegui provar essas afirmações, mas acho que poderei fazê-lo no futuro.

Na literatura consegui encontrar fórmulas - palíndromos para multiplicar números de vários dígitos

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Alcancei o objetivo do meu trabalho. Olhei para os números - palíndromos e os escrevi de forma geral. Ele deu exemplos e provou fórmulas - palíndromos para somar e subtrair números de dois dígitos. Identifiquei uma série de questões que ainda tenho que trabalhar e explorar fórmulas – palíndromos. Isso significa que confirmei a hipótese de que os números primos fazem parte dos números que constituem todos os números naturais. Ao explorar o conjunto dos números primos, pode-se obter conjuntos numéricos surpreendentes com suas propriedades extraordinárias.

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Natália Karpushina.

PARA TRÁS

Um palíndromo numérico é um número natural que tem a mesma leitura da esquerda para a direita e da direita para a esquerda. Em outras palavras, distingue-se pela simetria da notação (a disposição dos números), e o número de caracteres pode ser par ou ímpar. Os palíndromos são encontrados em alguns conjuntos de números que possuem nomes próprios: entre os números de Fibonacci - 8, 55 (6º e 10º membros da sequência de mesmo nome); números figurados - 676, 1001 (quadrado e pentagonal, respectivamente); Números Smith - 45454, 983389. Qualquer repdigit, por exemplo 2222222 e, em particular, repunit, também possui esta propriedade.

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

E a essência da hipótese é que, tomando qualquer número, após um número finito de ações obteremos definitivamente um palíndromo.

Você pode considerar não apenas adição, mas também outras operações, incluindo exponenciação e extração de raízes. Aqui estão alguns exemplos de como eles podem ser usados para criar outros a partir de alguns palíndromos:

JOGOS DE NÚMEROS

Até agora olhamos principalmente para números compostos. Agora vamos passar para números simples. Em sua infinita variedade encontram-se muitos exemplares curiosos e até famílias inteiras de palíndromos. Somente entre os primeiros cem milhões de números naturais existem 781 palíndromos simples, com vinte caindo nos primeiros mil, dos quais quatro são números de um dígito - 2, 3, 5, 7 e apenas um de dois dígitos - 11. Muitos fatos interessantes e belos padrões estão associados a esses números.

Em primeiro lugar, existe um palíndromo simples único com um número par de dígitos - 11. Em outras palavras, qualquer palíndromo com um número par de dígitos maior que dois é um número composto, o que é fácil de provar com base no teste de divisibilidade por 11 .

Em segundo lugar, o primeiro e o último dígito de qualquer palíndromo simples só podem ser 1, 3, 7 ou 9. Isto decorre dos sinais conhecidos de divisibilidade por 2 e 5. É curioso que todos os números simples de dois dígitos escritos usando os dígitos listados (com exceção de 19), podem ser divididos em pares de números “invertidos” (números mutuamente invertidos) da forma e , onde os números a e b são diferentes. Cada um deles, independentemente do número que vem primeiro, é lido da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda:

13 e 31, 17 e 71,

37 e 73, 79 e 97.

Olhando para a tabela de números primos, encontraremos pares semelhantes, em cujo registro também existem outros números, em particular, entre os números de três dígitos haverá quatorze desses pares.

Além disso, entre os palíndromos simples de três dígitos existem pares de números cujo dígito do meio difere em apenas 1:

18 1 e 1 9 1, 37 3 e 3 8 3,

78 7 e 7 9 7, 91 9 e 9 2 9.

Uma imagem semelhante é observada para números primos maiores, por exemplo:

948 49 e 94 9 49,

1177 711 e 117 8 711.

Os números primos palindrômicos podem ser “definidos” por diferentes fórmulas simétricas, que refletem as características de sua notação. Isso é visto claramente no exemplo dos números de cinco dígitos:

A propósito, números simples de vários dígitos do formulário aparentemente são encontrados apenas entre Repunites. Existem cinco desses números conhecidos. Vale ressaltar que para cada um deles o número de dígitos é expresso como um número primo: 2, 19, 23, 317, 1031. Mas entre os números primos, em que todos os dígitos exceto o central, um palíndromo de comprimento muito impressionante foi descoberto - tem 1749 dígitos:

Em geral, entre os números primos palindrômicos existem exemplos surpreendentes. Aqui está apenas um exemplo - um gigante numérico

E é interessante porque contém 11.811 dígitos, que podem ser divididos em três grupos palidrômicos, e em cada grupo o número de dígitos é expresso como um número primo (5.903 ou 5).

CASAIS NOTÁVEIS

Curiosos padrões palindrômicos também podem ser vistos em grupos de números primos que contêm determinados dígitos. Digamos apenas os números 1 e 3, e em cada número. Assim, os números primos de dois dígitos formam os pares ordenados 13 - 31 e 31 - 13, de seis números primos de três dígitos, cinco números ao mesmo tempo, entre os quais existem dois palíndromos: 131 e 313, e mais dois números formam pares de “reversões” 311 - 113 e 113 - 311 Em todos estes casos, os pares formados são representados visualmente na forma de quadrados numéricos (Fig. 1).

Arroz. 1

Suas propriedades lembram quadrados mágicos e latinos. Por exemplo, em um quadrado médio, a soma dos números em cada linha e cada coluna é 444, nas diagonais - 262 e 626. Somando os números de todas as células, obtemos 888. E o que é típico, cada soma é um palíndromo. Mesmo escrevendo vários números de uma tabela sem espaço, obtemos novos palíndromos: 3113, 131313131, etc. Qual é o maior número que pode ser composto desta forma? Será um palíndromo?

Se somarmos 131 ou 313 a cada um dos pares 311 - 113 e 113 - 311, formam-se quatro trigêmeos palindrômicos. Vamos escrever um deles em uma coluna:

Como podemos ver, tanto os próprios números quanto a combinação desejada deles fazem-se sentir quando lidos em diferentes direções. Além disso, a disposição dos números é simétrica, e sua soma em cada linha, em cada coluna e em uma das diagonais é expressa por um número simples - 5.

É preciso dizer que os números considerados são interessantes por si só. Por exemplo, o palíndromo 131 é um número primo cíclico: quaisquer rearranjos sucessivos do primeiro dígito para a última posição produzem os números primos 311 e 113. Você pode apontar outros palíndromos primos que tenham a mesma propriedade?

Mas os pares de números “invertidos” 13 - 31 e 113 - 311, quando elevados ao quadrado, também dão pares de números “invertidos”: 169 - 961 e 12769 - 96721. É curioso que até as somas de seus dígitos tenham sido relacionado de maneira astuta:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Acrescentemos que entre os números naturais existem outros pares de “reversões” com propriedade semelhante: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111, etc. Para responder a essa pergunta, você precisa entender o que há de especial no registro desses números, quais números e em que quantidades podem estar presentes nele.

CONSTRUTOR NUMÉRICO

Aqui, por exemplo, está uma bela combinação de palíndromos simples escritos com 1 e 3 (exceto o primeiro, Fig. 2). A peculiaridade desse triângulo numérico é que o mesmo fragmento se repete três vezes sem quebrar a simetria do padrão.

Arroz. 2

Arroz. 3

Continuando a construção, você pode construir figuras mais complexas com base neste triângulo. Assim, não é difícil obter outro triângulo com propriedades semelhantes movendo-se do final, ou seja, partindo do último número, riscando a cada passo dois números idênticos localizados simetricamente e reorganizando ou substituindo outros - 3 por 1 e vice-versa . Neste caso, os próprios números devem ser escolhidos de forma que o número resultante seja simples. Combinando as duas figuras, obtemos um losango com um padrão numérico característico, escondendo muitos números primos (Fig. 4). Em particular, a soma dos números destacados em vermelho é 37.

Arroz. 4

Outro exemplo é um triângulo obtido do original após a adição de seis palíndromos simples (Fig. 5). A figura chama imediatamente a atenção pela sua elegante estrutura de unidades. É delimitado por duas repunites simples do mesmo comprimento: 23 unidades constituem a “base” e o mesmo número constitui os “lados” do triângulo.

Arroz. 5

Mais algumas figuras

Na Fig. A Figura 6 mostra uma das soluções para o problema - uma “casa” construída a partir de 11 palíndromos diferentes.

Arroz. 6

Arroz. 7

Arroz. 8

Arroz. 9

Agora, munido de uma tabela de números primos, você mesmo pode construir números como os que propusemos.

E por fim, mais uma curiosidade - um triângulo, literalmente perfurado longitudinalmente e transversalmente por palíndromos (Fig. 10). Possui 11 linhas de números primos e as colunas são formadas por repdígitos. E o mais importante: o palíndromo 193111111323111111391 que limita a figura pelos lados é um número primo!

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Fonte de trabalho: Solução 4954. Exame Estadual Unificado 2016 Matemática, I.V. Yashchenko. 36 opções. Responder.

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