Distância de um ponto a um plano: definição e exemplos de localização. Distância do ponto ao plano

Encontrar a distância de um ponto a um plano é um problema comum que surge ao resolver vários problemas de geometria analítica; por exemplo, este problema pode ser reduzido a encontrar a distância entre duas linhas retas que se cruzam ou entre uma linha reta e um plano paralelo a isto.

Considere o plano $β$ e um ponto $M_0$ com coordenadas $(x_0;y_0; z_0)$ que não pertence ao plano $β$.

Definição 1

A menor distância entre um ponto e um plano será a perpendicular traçada do ponto $M_0$ ao plano $β$.

Figura 1. Distância de um ponto a um plano. Author24 - intercâmbio online de trabalhos de alunos

Abaixo discutimos como encontrar a distância de um ponto a um plano usando o método de coordenadas.

Derivação da fórmula para o método de coordenadas para encontrar a distância de um ponto a um plano no espaço

Uma perpendicular do ponto $M_0$ que cruza o plano $β$ no ponto $M_1$ com coordenadas $(x_1;y_1; z_1)$ está em uma linha reta cujo vetor direção é o vetor normal do plano $β$. Neste caso, o comprimento do vetor unitário $n$ é igual a um. Assim, a distância de $β$ ao ponto $M_0$ será:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, onde $\vec(M_1M_0)$ é o vetor normal do plano $β$, e $\vec( n)$ é o vetor normal unitário do plano em consideração.

No caso em que a equação do plano é dada na forma geral $Ax+ By + Cz + D=0$, as coordenadas do vetor normal do plano são os coeficientes da equação $\(A;B;C\ )$, e o vetor normal unitário neste caso tem as coordenadas , calculadas usando a seguinte equação:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Agora podemos encontrar as coordenadas do vetor normal $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\esquerda(3\direita)$.

Também expressamos o coeficiente $D$ usando as coordenadas de um ponto situado no plano $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

As coordenadas do vetor normal unitário da igualdade $(2)$ podem ser substituídas na equação do plano $β$, então temos:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ Por_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ Por_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\esquerda(4\direita)$

A igualdade $(4)$ é uma fórmula para encontrar a distância de um ponto a um plano no espaço.

Algoritmo geral para encontrar a distância do ponto $M_0$ a um plano

Se a equação do plano não for dada na forma geral, primeiro você precisa reduzi-la à forma geral.
Depois disso, é necessário expressar a partir da equação geral do plano o vetor normal de um determinado plano através do ponto $M_0$ e um ponto pertencente a um determinado plano, para isso precisamos usar a igualdade $(3)$ .
A próxima etapa é buscar as coordenadas do vetor normal unitário do plano usando a fórmula $(2)$.
Finalmente, você pode começar a encontrar a distância do ponto ao plano, isso é feito calculando o produto escalar dos vetores $\vec(n)$ e $\vec(M_1M_0)$.

Determinação da distância entre: 1 - ponto e plano; 2 - reto e plano; 3 - aviões; 4 - as retas cruzadas são consideradas em conjunto, pois o algoritmo de solução para todos esses problemas é essencialmente o mesmo e consiste em construções geométricas que precisam ser realizadas para determinar a distância entre um determinado ponto A e o plano α. Se houver alguma diferença, consiste apenas no fato de que nos casos 2 e 3, antes de começar a resolver o problema, deve-se marcar um ponto arbitrário A na reta m (caso 2) ou no plano β (caso 3). distâncias entre linhas que se cruzam, primeiro as colocamos em planos paralelos α e β e depois determinamos a distância entre esses planos.

Consideremos cada um dos casos observados de resolução de problemas.

1. Determinação da distância entre um ponto e um plano.

A distância de um ponto a um plano é determinada pelo comprimento de um segmento perpendicular traçado de um ponto ao plano.

Portanto, a solução para este problema consiste em realizar sequencialmente as seguintes operações gráficas:

1) do ponto A baixamos a perpendicular ao plano α (Fig. 269);

2) encontre o ponto M de intersecção desta perpendicular com o plano M = a ∩ α;

3) determine o comprimento do segmento.

Se o plano α estiver na posição geral, então para baixar uma perpendicular a este plano, é necessário primeiro determinar a direção das projeções horizontal e frontal deste plano. Encontrar o ponto de encontro desta perpendicular com o plano também requer construções geométricas adicionais.

A solução do problema é simplificada se o plano α ocupar uma determinada posição em relação aos planos de projeção. Neste caso, tanto a projeção da perpendicular quanto a localização do ponto de seu encontro com o plano são realizadas sem quaisquer construções auxiliares adicionais.

EXEMPLO 1. Determine a distância do ponto A ao plano α que se projeta frontalmente (Fig. 270).

SOLUÇÃO. Através de A" traçamos a projeção horizontal da perpendicular l" ⊥ h 0α, e através de A" - sua projeção frontal l" ⊥ f 0α. Marcamos o ponto M" = l" ∩ f 0α . Desde manhã || π 2, então [A" M"] == |AM| =d.

A partir do exemplo considerado, fica claro como o problema é resolvido de forma simples quando o avião ocupa uma posição saliente. Portanto, se um plano de posição geral for especificado nos dados de origem, antes de prosseguir com a solução, o plano deverá ser movido para uma posição perpendicular a qualquer plano de projeção.

EXEMPLO 2. Determine a distância do ponto K ao plano especificado por ΔАВС (Fig. 271).

1. Transferimos o plano ΔАВС para a posição de projeção *. Para fazer isso, passamos do sistema xπ 2 /π 1 para x 1 π 3 /π 1: a direção do novo eixo x 1 é escolhida perpendicularmente à projeção horizontal do plano horizontal do triângulo.

2. Projete ΔABC em um novo plano π 3 (o plano ΔABC é projetado em π 3, em [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projete o ponto K no mesmo plano (K" → K" 1).

4. Através do ponto K" 1 desenhamos (K" 1 M" 1)⊥ o segmento [C" 1 B" 1]. A distância necessária d = |K" 1 M" 1 |

A solução do problema é simplificada se o plano for definido por traços, pois não há necessidade de traçar projeções de linhas de nível.

EXEMPLO 3. Determine a distância do ponto K ao plano α, dado pelos trilhos (Fig. 272).

* A forma mais racional de transferir o plano do triângulo para a posição de projeção é substituir os planos de projeção, pois neste caso basta construir apenas uma projeção auxiliar.

SOLUÇÃO. Substituímos o plano π 1 pelo plano π 3, para isso desenhamos um novo eixo x 1 ⊥ f 0α. Em h 0α marcamos um ponto arbitrário 1" e determinamos sua nova projeção horizontal no plano π 3 (1" 1). Através dos pontos X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) e 1" 1 traçamos h 0α 1. Determinamos a nova projeção horizontal do ponto K → K" 1. Do ponto K" 1 baixamos a perpendicular a h 0α 1 e marcamos o ponto de sua intersecção com h 0α 1 - M" 1. O comprimento do segmento K" 1 M" 1 indicará a distância necessária.

2. Determinação da distância entre uma linha reta e um plano.

A distância entre uma linha reta e um plano é determinada pelo comprimento de um segmento perpendicular que cai de um ponto arbitrário da linha reta até o plano (ver Fig. 248).

Portanto, a solução para o problema de determinação da distância entre a reta m e o plano α não difere dos exemplos discutidos no parágrafo 1 para determinar a distância entre um ponto e um plano (ver Fig. 270...272). Como ponto, você pode considerar qualquer ponto pertencente à linha m.

3. Determinação da distância entre planos.

A distância entre os planos é determinada pelo tamanho do segmento perpendicular que cai de um ponto tomado em um plano para outro plano.

Desta definição segue-se que o algoritmo para resolver o problema de encontrar a distância entre os planos α e β difere de um algoritmo semelhante para resolver o problema de determinar a distância entre a linha m e o plano α apenas porque a linha m deve pertencer ao plano α , ou seja, para determinar a distância entre os planos α e β segue:

1) traçar uma linha reta m no plano α;

2) selecione um ponto arbitrário A na linha m;

3) do ponto A, abaixe a perpendicular l ao plano β;

4) determinar o ponto M - ponto de encontro da perpendicular l com o plano β;

5) determine o tamanho do segmento.

Na prática, é aconselhável utilizar um algoritmo de solução diferente, que diferirá daquele dado apenas porque, antes de prosseguir com o primeiro passo, os planos devem ser transferidos para a posição de projeção.

A inclusão desta operação adicional no algoritmo simplifica a execução de todos os outros pontos, sem exceção, o que acaba levando a uma solução mais simples.

EXEMPLO 1. Determine a distância entre os planos α e β (Fig. 273).

SOLUÇÃO. Passamos do sistema xπ 2 /π 1 para x 1 π 1 /π 3. Com relação ao novo plano π 3, os planos α e β ocupam uma posição saliente, portanto a distância entre os novos traços frontais f 0α 1 e f 0β 1 é a desejada.

Na prática da engenharia, muitas vezes é necessário resolver o problema de construir um plano paralelo a um determinado plano e afastado dele a uma determinada distância. O exemplo 2 abaixo ilustra a solução para tal problema.

EXEMPLO 2. É necessário construir projeções de um plano β paralelo a um determinado plano α (m || n), se for conhecido que a distância entre eles é d (Fig. 274).

1. No plano α, desenhe linhas horizontais arbitrárias h (1, 3) e linhas de frente f (1,2).

2. Do ponto 1 restauramos a perpendicular l ao plano α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Na perpendicular l marcamos um ponto arbitrário A.

4. Determine o comprimento do segmento - (a posição indica no diagrama a direção metricamente não distorcida da reta l).

5. Desenhe o segmento = d na linha reta (1"A 0) do ponto 1".

6. Marque nas projeções l" e l" os pontos B" e B", correspondentes ao ponto B 0.

7. Através do ponto B desenhamos o plano β (h 1 ∩ f 1). Para β || α, é necessário cumprir a condição h 1 || h e f 1 || f.

4. Determinação da distância entre linhas que se cruzam.

A distância entre as linhas que se cruzam é determinada pelo comprimento da perpendicular contida entre os planos paralelos aos quais pertencem as linhas que se cruzam.

Para traçar planos mutuamente paralelos α e β através de retas que se cruzam m e f, é suficiente traçar através do ponto A (A ∈ m) uma reta p paralela à reta f, e através do ponto B (B ∈ f) uma linha reta k paralela à reta m . As linhas que se cruzam m e p, f e k definem os planos mutuamente paralelos α e β (ver Fig. 248, e). A distância entre os planos α e β é igual à distância necessária entre as linhas de cruzamento m e f.

Outra forma pode ser proposta para determinar a distância entre as linhas que se cruzam, que consiste no fato de que, por meio de algum método de transformação de projeções ortogonais, uma das linhas que se cruzam é transferida para a posição de projeção. Neste caso, uma projeção da linha degenera em um ponto. A distância entre as novas projeções das linhas de cruzamento (ponto A" 2 e segmento C" 2 D" 2) é a exigida.

Na Fig. 275 mostra uma solução para o problema de determinação da distância entre o cruzamento das linhas a e b, dados os segmentos [AB] e [CD]. A solução é realizada na seguinte sequência:

1. Transfira uma das linhas de cruzamento (a) para uma posição paralela ao plano π 3; Para fazer isso, passe do sistema de planos de projeção xπ 2 /π 1 para o novo x 1 π 1 /π 3, o eixo x 1 é paralelo à projeção horizontal da linha reta a. Determine a" 1 [A" 1 B" 1] e b" 1.

2. Ao substituir o plano π 1 pelo plano π 4, transladamos a linha reta

e posicionar a" 2, perpendicular ao plano π 4 (o novo eixo x 2 é traçado perpendicularmente a a" 1).

3. Construa uma nova projeção horizontal da linha reta b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. A distância do ponto A" 2 à reta C" 2 D" 2 (segmento (A" 2 M" 2 ] (é a necessária.

Deve-se ter em mente que a transferência de uma das linhas de cruzamento para a posição saliente nada mais é do que a transferência dos planos de paralelismo, nos quais as linhas a e b podem ser encerradas, também para a posição saliente.

Na verdade, ao mover a linha a para uma posição perpendicular ao plano π 4, garantimos que qualquer plano contendo a linha a é perpendicular ao plano π 4, incluindo o plano α definido pelas linhas a e m (a ∩ m, m | | b ). Se traçarmos agora uma reta n, paralela a a e que cruza a reta b, então obtemos o plano β, que é o segundo plano de paralelismo, que contém as retas que se cruzam a e b. Desde β || α, então β ⊥ π 4 .

PROBLEMAS C2 DO EXAME DE ESTADO UNIFORME DE MATEMÁTICA PARA ENCONTRAR A DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

Kulikova Anastasia Yuryevna

Aluno do 5º ano do Departamento de Matemática. análise, álgebra e geometria EI KFU, Federação Russa, República do Tartaristão, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

supervisor científico, Ph.D. ped. Ciências, Professor Associado EI KFU, Federação Russa, República do Tartaristão, Elabuga

Nos últimos anos, tarefas de cálculo da distância de um ponto a um plano surgiram nas tarefas do Exame de Estado Unificado em matemática. Neste artigo, usando o exemplo de um problema, são considerados vários métodos para encontrar a distância de um ponto a um plano. O método mais adequado pode ser usado para resolver vários problemas. Tendo resolvido um problema usando um método, você pode verificar a exatidão do resultado usando outro método.

Definição. A distância de um ponto a um plano que não contém este ponto é o comprimento do segmento perpendicular traçado deste ponto ao plano dado.

Tarefa. Dado um paralelepípedo retangular ABCOMDA. 1 B 1 C 1 D 1 com lados AB=2, a.C.=4, A.A. 1 =6. Encontre a distância do ponto D avião ACD 1 .

1 maneira. Usando definição. Encontre a distância r( D, ACD 1) do ponto D avião ACD 1 (Fig. 1).

Figura 1. Primeiro método

Vamos realizar D. H.⊥AC, portanto, pelo teorema das três perpendiculares D 1 H⊥AC E (DD 1 H)⊥AC. Vamos realizar direto D. T. perpendicular D 1 H. Direto D. T. está em um avião DD 1 H, por isso D. T.⊥A.C.. Por isso, D. T.⊥ACD 1.

ACC vamos encontrar a hipotenusa AC e altura D. H.

De um triângulo retângulo D 1 D. H. vamos encontrar a hipotenusa D 1 H e altura D. T.

Responder: .

Método 2.Método de volume (uso de uma pirâmide auxiliar). Um problema deste tipo pode ser reduzido ao problema de cálculo da altura de uma pirâmide, onde a altura da pirâmide é a distância necessária de um ponto a um plano. Prove que esta altura é a distância necessária; encontre o volume desta pirâmide de duas maneiras e expresse essa altura.

Observe que com este método não há necessidade de construir uma perpendicular de um determinado ponto a um determinado plano.

Um cubóide é um paralelepípedo cujas faces são retângulos.

AB=CD=2, a.C.=DE ANÚNCIOS=4, A.A. 1 =6.

A distância necessária será a altura h pirâmides DAC 1 D, baixado do topo D na base DAC 1 (fig. 2).

Vamos calcular o volume da pirâmide DAC 1 D dois caminhos.

Ao calcular, na primeira forma tomamos ∆ como base DAC 1 então

Ao calcular da segunda forma, tomamos ∆ como base DAC, Então

Vamos igualar os lados direitos das duas últimas igualdades e obter

Figura 2. Segundo método

De triângulos retângulos ACD, ADICIONAR 1 , CDD 1 encontre a hipotenusa usando o teorema de Pitágoras

DAC

Calcule a área do triângulo ACD 1 usando a fórmula de Heron

Responder: .

3 maneiras. Método de coordenadas.

Deixe um ponto ser dado M(x 0 ,sim 0 ,z 0) e avião α , dado pela equação machado+por+cz+d=0 em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Distância do ponto M ao plano α pode ser calculado usando a fórmula:

Vamos apresentar um sistema de coordenadas (Fig. 3). Origem das coordenadas em um ponto EM;

Direto AB- eixo X, direto Sol- eixo sim, direto BB 1 - eixo z.

Figura 3. Terceiro método

B(0,0,0), A(2,0,0), COM(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Deixar ax+por+ cz+ d=0 – equação plana DAC 1. Substituindo as coordenadas dos pontos nele A, C, D 1 obtemos:

Equação plana DAC 1 assumirei o formulário

Responder: .

4 vias. Método vetorial.

Vamos apresentar a base (Fig. 4) , .

Figura 4. Quarto método

, Concurso "Apresentação para a aula"

Aula: 11

Apresentação para a aula

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

Metas:

generalização e sistematização dos conhecimentos e competências dos alunos;
desenvolvimento de competências para analisar, comparar, tirar conclusões.

Equipamento:

projetor multimídia;
computador;
folhas com textos problemáticos

PROGRESSO DA CLASSE

I. Momento organizacional

II. Etapa de atualização de conhecimento(slide 2)

Repetimos como a distância de um ponto a um plano é determinada

III. Palestra(slides 3-15)

Nesta lição, veremos várias maneiras de determinar a distância de um ponto a um plano.

Primeiro método: computacional passo a passo

Distância do ponto M ao plano α:
– igual à distância ao plano α de um ponto arbitrário P situado em uma linha reta a, que passa pelo ponto M e é paralelo ao plano α;
– é igual à distância ao plano α de um ponto arbitrário P situado no plano β, que passa pelo ponto M e é paralelo ao plano α.

Resolveremos os seguintes problemas:

№1. No cubo A...D 1, encontre a distância do ponto C 1 ao plano AB 1 C.

Resta calcular o valor do comprimento do segmento O 1 N.

№2. Em um prisma hexagonal regular A...F 1, cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância do ponto A ao plano DEA 1.

Próximo método: método de volume.

Se o volume da pirâmide ABCM for igual a V, então a distância do ponto M ao plano α contendo ∆ABC é calculada pela fórmula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Na resolução de problemas, utilizamos a igualdade dos volumes de uma figura, expressa de duas maneiras diferentes.

Vamos resolver o seguinte problema:

№3. A aresta AD da pirâmide DABC é perpendicular ao plano base ABC. Encontre a distância de A ao plano que passa pelos pontos médios das arestas AB, AC e AD, se.

Ao resolver problemas método de coordenadas a distância do ponto M ao plano α pode ser calculada usando a fórmula ρ(M; α) = , onde M(x 0; y 0; z 0), e o plano é dado pela equação ax + by + cz + d = 0

Vamos resolver o seguinte problema:

№4. Em um cubo unitário A...D 1, encontre a distância do ponto A 1 ao plano BDC 1.

Vamos introduzir um sistema de coordenadas com origem no ponto A, o eixo y correrá ao longo da aresta AB, o eixo x ao longo da aresta AD e o eixo z ao longo da aresta AA 1. Então as coordenadas dos pontos B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Vamos criar uma equação para um plano passando pelos pontos B, D, C 1.

Então – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Portanto, ρ =

O seguinte método que pode ser usado para resolver problemas deste tipo é método de problemas de suporte.

A aplicação deste método consiste na utilização de problemas de referência conhecidos, que são formulados como teoremas.

Vamos resolver o seguinte problema:

№5. Em um cubo unitário A...D 1, encontre a distância do ponto D 1 ao plano AB 1 C.

Vamos considerar a aplicação método vetorial.

№6. Em um cubo unitário A...D 1, encontre a distância do ponto A 1 ao plano BDC 1.

Então, examinamos vários métodos que podem ser usados para resolver esse tipo de problema. A escolha de um método ou outro depende da tarefa específica e de suas preferências.

4. Trabalho em equipe

Tente resolver o problema de maneiras diferentes.

№1. A aresta do cubo A...D 1 é igual a . Encontre a distância do vértice C ao plano BDC 1.

№2. Em um tetraedro regular ABCD com aresta, encontre a distância do ponto A ao plano BDC

№3. Em um prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1 cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância de A ao plano BCA 1.

№4. Em uma pirâmide quadrilátera regular SABCD, cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância de A ao plano SCD.

V. Resumo da lição, lição de casa, reflexão

Que haja um avião . Vamos desenhar um normal
através da origem das coordenadas O. Seja dado
– ângulos formados pela normal com eixos coordenados.
. Deixar – comprimento do segmento normal
até cruzar com o avião. Supondo que os cossenos de direção da normal sejam conhecidos , derivamos a equação do plano .

Deixar
) é um ponto arbitrário no plano. O vetor normal unitário possui coordenadas. Vamos encontrar a projeção do vetor
ao normal.

Desde o ponto M pertence ao avião, então

Esta é a equação de um determinado plano, chamado normal .

Distância do ponto ao plano

Deixe um avião ser dado ,M*
– ponto no espaço, d – sua distância do avião.

Definição. Desvio pontos M* do avião é chamado de número ( + d), Se M* fica do outro lado do plano onde a direção positiva dos pontos normais e número (- d), se o ponto estiver localizado do outro lado do plano:

Teorema. Deixe o avião com unidade normal é dado pela equação normal:

Deixar M*
– ponto no espaço Desvio t. M* do plano é dado pela expressão

Prova. Projeção t.
* denotamos por normal P. Desvio de ponto M* do avião é igual

Regra. Encontrar desvio T. M* do plano, você precisa substituir as coordenadas t na equação normal do plano. M* . A distância de um ponto a um plano é .

Reduzindo a equação geral do plano à forma normal

Deixe o mesmo plano ser definido por duas equações:

Equação geral

Equação normal.

Como ambas as equações definem o mesmo plano, seus coeficientes são proporcionais:

Vamos elevar ao quadrado as três primeiras igualdades e somá-las:

A partir daqui vamos encontrar – fator de normalização:

. (10)

Multiplicando a equação geral do plano por um fator de normalização, obtemos a equação normal do plano:

Exemplos de problemas sobre o tema “Avião”.

Exemplo 1. Crie uma equação do plano passando por um determinado ponto
(2,1,-1) e paralelo ao plano.

Solução. Normal para plano :
. Como os planos são paralelos, então a normal também é normal ao plano desejado . Usando a equação de um plano passando por um determinado ponto (3), obtemos para o plano a equação:

Responder:

Exemplo 2. A base de uma perpendicular baixada da origem até um plano , é o ponto
. Encontre a equação do plano .

Solução. Vetor
é normal para o avião . Ponto M 0 pertence ao avião. Você pode usar a equação de um plano passando por um determinado ponto (3):

Responder:

Exemplo 3. Construir avião , passando pelos pontos

e perpendicular ao plano :.

Portanto, em algum momento M (x, sim, z) pertencia ao avião , é necessário que três vetores
eram coplanares:

=0.

Resta revelar o determinante e trazer a expressão resultante para a forma da equação geral (1).

Exemplo 4. Avião é dado pela equação geral:

Encontre o desvio do ponto
de um determinado plano.

Solução. Vamos trazer a equação do plano à forma normal.

Vamos substituir as coordenadas do ponto na equação normal resultante M*.

Responder:
.

Exemplo 5. O plano intercepta o segmento?

Solução. Cortar AB cruzou o avião, desvios E do avião deve ter sinais diferentes:

Exemplo 6. A interseção de três planos em um ponto.

O sistema possui solução única, portanto, os três planos possuem um ponto comum.

Exemplo 7. Encontrar as bissetrizes de um ângulo diédrico formado por dois planos dados.

Deixar E - desvio de algum ponto
do primeiro e segundo planos.

Em um dos planos bissetores (correspondente ao ângulo em que se encontra a origem das coordenadas) esses desvios são iguais em magnitude e sinal, e no outro são iguais em magnitude e opostos em sinal.

Esta é a equação do primeiro plano bissetor.

Esta é a equação do segundo plano bissetriz.

Exemplo 8. Determinando a localização de dois pontos dados E em relação aos ângulos diédricos formados por esses planos.