O gráfico de uma função de 2 variáveis ​​z = f(x,y) é uma superfície projetada no plano XOY no domínio de definição da função D.
Considere a superfície σ , dado pela equação z = f(x,y), onde f(x,y) é uma função diferenciável, e seja M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) um ponto fixo na superfície σ, ou seja, z 0 = f(x 0 ,y 0). Propósito. A calculadora online foi projetada para encontrar equações normais do plano tangente e da superfície. A solução é elaborada em formato Word. Se você precisar encontrar a equação de uma tangente a uma curva (y = f(x)), precisará usar este serviço.

Regras para entrada de funções:

Regras para entrada de funções:

Plano tangente à superfície σ no ponto dela M 0 é o plano no qual se encontram as tangentes a todas as curvas desenhadas na superfície σ através do ponto M 0 .
A equação do plano tangente à superfície definida pela equação z = f(x,y) no ponto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) tem a forma:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

O vetor é chamado de vetor normal da superfície σ no ponto M 0. O vetor normal é perpendicular ao plano tangente.
Normal à superfície σ no ponto M 0 é uma linha reta que passa por este ponto e tem direção do vetor N.
As equações canônicas da normal à superfície definidas pela equação z = f(x,y) no ponto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), onde z 0 = f(x 0 ,y 0), tem o formato:

Exemplo nº 1. A superfície é dada pela equação x 3 +5y. Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0 (0;1).
Solução. Vamos escrever as equações tangentes na forma geral: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - e 0 )
De acordo com as condições do problema, x 0 = 0, y 0 = 1, então z 0 = 5
Vamos encontrar as derivadas parciais da função z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
No ponto M 0 (0,1) os valores das derivadas parciais são:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Usando a fórmula, obtemos a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ou -5 y+z = 0

Exemplo nº 2. A superfície é definida implicitamente y 2 -1/2*x 3 -8z. Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0 (1;0;1).
Solução. Encontrar as derivadas parciais de uma função. Como a função é especificada implicitamente, procuramos derivadas usando a fórmula:

Para nossa função:

Então:

No ponto M 0 (1,0,1) valores das derivadas parciais:
f" x (1;0;1) = -3/16
f"y(1;0;1) = 0
Usando a fórmula, obtemos a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0: z - 1 = -3/16 (x - 1) + 0(y - 0) ou 3/16 x+z- 19 / 16 = 0

Exemplo. Superfície σ dado pela equação z= y/x + xy – 5x 3. Encontre a equação do plano tangente e normal à superfície σ no ponto M 0 (x 0 ,sim 0 ,z 0), pertencente a ela, se x 0 = –1, sim 0 = 2.
Vamos encontrar as derivadas parciais da função z= f(x,sim) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,sim) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + sim – 15x 2 ;
por favor' ( x,sim) = (y/x + xy – 5x 3)’y = 1/x + x.
Ponto M 0 (x 0 ,sim 0 ,z 0) pertence à superfície σ , para que possamos calcular z 0 , substituindo o dado x 0 = –1 e sim 0 = 2 na equação de superfície:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
No ponto M 0 (–1, 2, 1) valores de derivadas parciais:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f e '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Usando a fórmula (5) obtemos a equação do plano tangente à superfície σ no ponto M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(sim – 2) z – 1= –15x – 15 – 2sim + 4 15x + 2sim + z + 10 = 0.
Usando a fórmula (6) obtemos as equações canônicas da normal à superfície σ no ponto M 0: .
Respostas: equação do plano tangente: 15 x + 2sim + z+ 10 = 0; equações normais: .

Exemplo nº 1. Dada uma função z=f(x,y) e dois pontos A(x 0, y 0) e B(x 1, y 1). Obrigatório: 1) calcular o valor z 1 da função no ponto B; 2) calcular o valor aproximado z 1 da função no ponto B com base no valor z 0 da função no ponto A, substituindo o incremento da função ao passar do ponto A ao ponto B por um diferencial; 3) crie uma equação para o plano tangente à superfície z = f(x,y) no ponto C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Solução.
Vamos escrever as equações tangentes na forma geral:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
De acordo com as condições do problema, x 0 = 1, y 0 = 2, então z 0 = 25
Vamos encontrar as derivadas parciais da função z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
No ponto M 0 (1,2) os valores das derivadas parciais são:
f" x (1;2) = 26
f"y (1;2) = 36
Usando a fórmula, obtemos a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
ou
-26 x-36 y+z+73 = 0

Exemplo nº 2. Escreva as equações do plano tangente e normal ao parabolóide elíptico z = 2x 2 + y 2 no ponto (1;-1;3).

Tenhamos uma superfície definida por uma equação da forma

Vamos apresentar a seguinte definição.

Definição 1. Uma linha reta é chamada tangente à superfície em algum ponto se for

tangente a qualquer curva situada na superfície e passando pelo ponto.

Como um número infinito de curvas diferentes na superfície passa pelo ponto P, então, de modo geral, haverá um número infinito de tangentes à superfície que passa por esse ponto.

Vamos apresentar o conceito de pontos singulares e ordinários de uma superfície

Se em um ponto todas as três derivadas forem iguais a zero ou pelo menos uma dessas derivadas não existir, então o ponto M é chamado de ponto singular da superfície. Se em um ponto todas as três derivadas existem e são contínuas, e pelo menos uma delas é diferente de zero, então o ponto M é chamado de ponto ordinário da superfície.

Agora podemos formular o seguinte teorema.

Teorema. Todas as linhas tangentes a uma determinada superfície (1) em seu ponto ordinário P estão no mesmo plano.

Prova. Consideremos uma certa linha L na superfície (Fig. 206) passando por um determinado ponto P da superfície. Deixe a curva em consideração ser dada por equações paramétricas

A tangente à curva será a tangente à superfície. As equações desta tangente têm a forma

Se as expressões (2) forem substituídas na equação (1), então esta equação se tornará uma identidade em relação a t, uma vez que a curva (2) está na superfície (1). Diferenciando-o por obtemos

As projeções deste vetor dependem - das coordenadas do ponto P; observe que como o ponto P é comum, essas projeções no ponto P não desaparecem simultaneamente e, portanto,

tangente a uma curva que passa pelo ponto P e está na superfície. As projeções deste vetor são calculadas com base nas equações (2) no valor do parâmetro t correspondente ao ponto P.

Calculemos o produto escalar dos vetores N e que é igual à soma dos produtos das projeções de mesmo nome:

Com base na igualdade (3), a expressão do lado direito é igual a zero, portanto,

Da última igualdade segue-se que o vetor LG e o vetor tangente à curva (2) no ponto P são perpendiculares. O raciocínio acima é válido para qualquer curva (2) que passa pelo ponto P e está na superfície. Consequentemente, cada tangente à superfície no ponto P é perpendicular ao mesmo vetor N e, portanto, todas essas tangentes estão no mesmo plano perpendicular ao vetor LG. O teorema foi provado.

Definição 2. O plano no qual todas as retas tangentes às retas da superfície que passam por seu ponto P dado estão localizadas é chamado de plano tangente à superfície no ponto P (Fig. 207).

Observe que em pontos singulares da superfície pode não haver um plano tangente. Nesses pontos, as linhas tangentes à superfície podem não estar no mesmo plano. Por exemplo, o vértice de uma superfície cônica é um ponto singular.

As tangentes à superfície cônica neste ponto não estão no mesmo plano (elas próprias formam uma superfície cônica).

Vamos escrever a equação do plano tangente à superfície (1) em um ponto ordinário. Como este plano é perpendicular ao vetor (4), portanto, sua equação tem a forma

Se a equação da superfície for dada na forma ou a equação do plano tangente, neste caso, assume a forma

Comente. Se colocarmos a fórmula (6), então esta fórmula terá a forma

seu lado direito é a diferencial completa da função. Por isso, . Assim, o diferencial total de uma função de duas variáveis ​​em um ponto correspondente aos incrementos das variáveis ​​independentes x e y é igual ao incremento correspondente da aplicação do plano tangente à superfície, que é o gráfico desta função.

Definição 3. Uma linha reta traçada através de um ponto na superfície (1) perpendicular ao plano tangente é chamada de normal à superfície (Fig. 207).

Vamos escrever as equações normais. Como sua direção coincide com a direção do vetor N, suas equações terão a forma

Definição 1 : O plano tangente à superfície em um determinado ponto P (x 0, y 0, z 0) é um plano que passa pelo ponto P e contém todas as tangentes construídas no ponto P para todas as curvas possíveis nesta superfície que passa pelo ponto P.

Seja a superfície s dada pela equação F (X, no, z) = 0 e ponto P (x 0 , sim 0 , z 0) pertence a esta superfície. Vamos selecionar alguma curva na superfície eu, passando pelo ponto R.

Deixar X = X(t), no = no(t), z = z(t) - equações paramétricas da reta eu.

Vamos supor que: 1) função F(X, no, z) é diferenciável no ponto R e nem todas as suas derivadas parciais neste ponto são iguais a zero; 2) funções X(t), no(t), z(t) também são diferenciáveis.

Como a curva pertence à superfície s, as coordenadas de qualquer ponto desta curva, sendo substituídas na equação da superfície, irão transformá-la em uma identidade. Assim, a igualdade idêntica é verdadeira: F [x(t), no(t), z (t)]= 0.

Diferenciando esta identidade em relação à variável t, usando a regra da cadeia, obtemos uma nova igualdade idêntica, válida em todos os pontos da curva, inclusive no ponto P (x 0 , sim 0 , z 0):

Deixe o ponto P corresponder ao valor do parâmetro t 0, isto é x 0 = x (t 0), sim 0 = sim (t 0), z 0 = z (t 0). Então a última relação calculada no ponto R, assumirá a forma

Esta fórmula é o produto escalar de dois vetores. O primeiro é um vetor constante

independente da escolha da curva na superfície.

O segundo vetor é tangente no ponto R para a linha eu, o que significa que depende da escolha da reta na superfície, ou seja, é um vetor variável.

Com a notação introduzida, a igualdade é:

vamos reescrever como.

Seu significado é este: o produto escalar é igual a zero, portanto os vetores são perpendiculares. Selecionando todas as curvas possíveis que passam por um ponto R na superfície s, teremos diferentes vetores tangentes construídos no ponto R para essas linhas; o vetor independe desta escolha e será perpendicular a qualquer um deles, ou seja, todos os vetores tangentes estão localizados no mesmo plano, que, por definição, é tangente à superfície s, e ao ponto R neste caso é chamado de ponto tangente. O vetor é o vetor de direção normal da superfície.

Definição 2: A normal à superfície s no ponto P é uma linha reta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano tangente construído neste ponto.

Provamos a existência de um plano tangente e, consequentemente, de uma normal à superfície. Vamos escrever suas equações:

Equação do plano tangente construído no ponto P (x0, y0, z0) à superfície s dada pela equação F(x, y, z) = 0;

Equação da normal construída em um ponto R para a superfície S.

Exemplo: Encontre a equação da superfície formada pela rotação da parábola:

z 2 = 2p (você +2)

em torno do eixo y, calcule desde que o ponto M(3, 1, -3) pertence à superfície. Encontre as equações do plano normal e tangente à superfície no ponto M.

Solução. Usando a regra para escrever uma superfície de rotação, obtemos:

z 2 + x 2 = 2p (você +2) .

Substituindo as coordenadas do ponto M nesta equação, calculamos o valor do parâmetro p: 9 + 9 = 2º(1 + 2) . Registramos a visão final da superfície de revolução passando pelo ponto M:

z 2 + x 2 = 6(s +2).

Agora encontraremos as equações do plano normal e tangente usando as fórmulas, para as quais primeiro calculamos as derivadas parciais da função:

F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (s +2):

Então a equação do plano tangente assume a forma 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 ou x - y - z - 5 = 0;

1°

1°. Equações do plano tangente e normal para o caso de definição explícita da superfície.

Consideremos uma das aplicações geométricas das derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Deixe a função z = f (x;e) diferenciável no ponto (x0; e 0) alguma área DÎ R2. Vamos cortar a superfície S, representando a função z, aviões x=x0 E y = y 0(Fig. 11).

Avião X = x0 cruza a superfície S ao longo de alguma linha z 0 (você), cuja equação é obtida substituindo na expressão da função original z ==f (x;e) em vez de X números x0. Ponto M 0 (x0;e 0,f (x0;e 0)) pertence à curva z 0 (e). Devido à função diferenciável z no ponto M 0 função z 0 (e) também é diferenciável no ponto y =y 0 . Portanto, neste ponto do plano x=x0 para a curva z 0 (e) uma tangente pode ser desenhada eu 1.

Fazendo um raciocínio semelhante para a seção no = e 0, vamos construir uma tangente eu 2 para a curva z 0 (x) no ponto X = x 0 - Direto 1 1 E 1 2 defina um plano chamado plano tangenteà superfície S no ponto M 0.

Vamos criar sua equação. Como o avião passa pelo ponto Mo(x0;e 0;z 0), então sua equação pode ser escrita como

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

que pode ser reescrito assim:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(dividindo a equação por -C e denotando ).

Nós vamos encontrar Um 1 e B1.

Equações tangentes 1 1 E 1 2 parece

respectivamente.

Tangente eu 1 está no plano a , portanto, as coordenadas de todos os pontos eu 1 satisfazer a equação (1). Este fato pode ser escrito na forma de um sistema

Resolvendo este sistema em relação a B 1, obtemos que. Realizando um raciocínio semelhante para a tangente eu 3, é fácil estabelecer isso.

Substituindo os valores Um 1 e B 1 na equação (1), obtemos a equação do plano tangente necessária:

Reta que passa por um ponto M 0 e perpendicular ao plano tangente construído neste ponto da superfície é chamado de normal.

Usando a condição de perpendicularidade da reta e do plano, é fácil obter as equações normais canônicas:

Comente. As fórmulas para o plano tangente e normal à superfície são obtidas para pontos comuns, ou seja, não especiais, da superfície. Ponto M 0 superfície é chamada especial, se neste ponto todas as derivadas parciais forem iguais a zero ou pelo menos uma delas não existir. Não consideramos tais pontos.

Exemplo. Escreva equações para o plano tangente e normal à superfície em seu ponto M(2; -1; 1).

Solução. Vamos encontrar as derivadas parciais desta função e seus valores no ponto M

A partir daqui, aplicando as fórmulas (2) e (3), teremos: z-1=2(x-2)+2(y+1) ou 2х+2у-z-1=0- equação do plano tangente e - equações normais.

2°. Equações do plano tangente e normal para o caso de definição implícita da superfície.

Se a superfície S dado pela equação F (x; você;z)= 0, então equações (2) e (3), levando em consideração o fato de que derivadas parciais podem ser encontradas como derivadas de uma função implícita.

Equação do plano normal

1.

4.

Plano tangente e superfície normal

Seja dada alguma superfície, A é um ponto fixo da superfície e B é um ponto variável da superfície,

(Figura 1).

Vetor diferente de zero

→

n

chamado vetor normal para a superfície no ponto A, se

limão B→A j = π 2 .

Um ponto de superfície F (x, y, z) = 0 é chamado de comum se neste ponto

1. as derivadas parciais F" x , F "y , F "z são contínuas;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Se pelo menos uma dessas condições for violada, o ponto da superfície é chamado ponto especial da superfície .

Teorema 1. Se M(x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto comum da superfície F (x , y , z) = 0 , então o vetor

→ n = graduado F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → eu + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

é normal a esta superfície no ponto M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Prova dado no livro de I.M. Petrushko, L. A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Curso de matemática superior: Cálculo integral. Funções de diversas variáveis. Equações diferenciais. M.: Editora MPEI, 2002 (p. 128).

Normal à superfície em algum ponto existe uma linha reta cujo vetor direção é normal à superfície neste ponto e que passa por este ponto.

Canônico equações normais pode ser representado na forma

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y - y 0 F" y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Plano tangenteà superfície em um determinado ponto é um plano que passa por esse ponto perpendicular à normal à superfície neste ponto.

Desta definição segue-se que equação do plano tangente tem o formato:

(3)

Se um ponto em uma superfície for singular, então nesse ponto o vetor normal à superfície pode não existir e, portanto, a superfície pode não ter um plano normal e um plano tangente.

Significado geométrico do diferencial total de uma função de duas variáveis

Seja a função z = f (x, y) diferenciável no ponto a (x 0, y 0). Seu gráfico é a superfície

f (x, y) − z = 0.

Vamos colocar z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Então o ponto A (x 0 , y 0 , z 0 ) pertence à superfície.

As derivadas parciais da função F (x, y, z) = f (x, y) − z são

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

e no ponto A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. eles são contínuos;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Portanto, A é um ponto ordinário da superfície F (x, y, z) e neste ponto existe um plano tangente à superfície. De acordo com (3), a equação do plano tangente tem a forma:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

O deslocamento vertical de um ponto no plano tangente ao passar do ponto a (x 0, y 0) para um ponto arbitrário p (x, y) é B Q (Fig. 2). O incremento correspondente de aplicações é

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Aqui do lado direito tem um diferencial d função z z = f (x, y) no ponto a (x 0, x 0). Por isso,
d f (x 0 , y 0 ). é o incremento da aplicação de um ponto do plano tangente ao gráfico da função f (x, y) no ponto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Da definição de diferencial segue-se que a distância entre o ponto P no gráfico de uma função e o ponto Q no plano tangente é um infinitesimal de ordem superior à distância do ponto p ao ponto a.