3.1. Movimento uniforme em linha reta.

3.1.1. Movimento uniforme em linha reta- movimento em linha reta com módulo e direção de aceleração constantes:

3.1.2. Aceleração()- uma grandeza vetorial física mostrando o quanto a velocidade mudará em 1 s.

Em forma vetorial:

onde é a velocidade inicial do corpo, é a velocidade do corpo no momento do tempo t.

Na projeção no eixo Boi:

onde é a projeção da velocidade inicial no eixo Boi, - projeção da velocidade do corpo no eixo Boi no momento t.

Os sinais das projeções dependem da direção dos vetores e do eixo Boi.

3.1.3. Gráfico de projeção da aceleração em função do tempo.

Com movimento uniformemente variável, a aceleração é constante, portanto, serão linhas retas paralelas ao eixo do tempo (ver Fig.):

3.1.4. Velocidade em movimento uniforme.

Em forma vetorial:

Na projeção no eixo Boi:

Para movimento uniformemente acelerado:

Para câmera lenta:

3.1.5. Gráfico de projeção de velocidade versus tempo.

O gráfico da projeção da velocidade em função do tempo é uma linha reta.

Direção do movimento: se o gráfico (ou parte dele) estiver acima do eixo do tempo, o corpo se move na direção positiva do eixo Boi.

Valor de aceleração: quanto maior a tangente do ângulo de inclinação (quanto mais íngreme sobe ou desce), maior o módulo de aceleração; onde é a variação da velocidade ao longo do tempo

Interseção com o eixo do tempo: se o gráfico cruzar o eixo do tempo, o corpo desacelerou antes do ponto de interseção (movimento igualmente lento) e após o ponto de interseção começou a acelerar na direção oposta (movimento igualmente acelerado).

3.1.6. O significado geométrico da área sob o gráfico nos eixos

Área sob o gráfico quando no eixo Oi velocidade é atrasada, e no eixo Boi O tempo é o caminho percorrido pelo corpo.

Na fig. 3.5 é desenhado o caso do movimento uniformemente acelerado. O caminho neste caso será igual à área do trapézio: (3.9)

3.1.7. Fórmulas para calcular o caminho

Movimento uniformemente acelerado	Movimento lento uniforme
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Todas as fórmulas apresentadas na tabela funcionam apenas mantendo a direção do movimento, ou seja, até a interseção da reta com o eixo do tempo no gráfico da dependência da projeção da velocidade no tempo.

Se a interseção ocorreu, é mais fácil dividir o movimento em duas etapas:

antes de atravessar (frenagem):

Após cruzamento (aceleração, movimento na direção oposta)

Nas fórmulas acima - o tempo desde o início do movimento até a interseção com o eixo do tempo (tempo para parar), - o caminho que o corpo percorreu desde o início do movimento até a interseção com o eixo do tempo, - o tempo decorrido desde o momento de cruzar o eixo do tempo até o momento presente t, - o caminho que o corpo percorreu na direção oposta durante o tempo decorrido desde o momento em que cruzou o eixo do tempo até o momento presente t, - o módulo do vetor de deslocamento para todo o tempo de movimento, eu- o caminho percorrido pelo corpo durante todo o movimento.

3.1.8. Mova-se em -ésimo segundo.

Com o tempo, o corpo percorrerá o caminho:

Com o tempo, o corpo percorrerá o caminho:

Então, no intervalo i-ésimo, o corpo percorrerá o caminho:

O intervalo pode ser qualquer período de tempo. Na maioria das vezes com

Então em 1 segundo o corpo percorre o caminho:

Para 2º segundo:

Para o 3º segundo:

Se olharmos com atenção, veremos isso, etc.

Assim, chegamos à fórmula:

Em palavras: os caminhos percorridos pelo corpo em períodos sucessivos de tempo correlacionam-se entre si como uma série de números ímpares, e isso não depende da aceleração com que o corpo se move. Ressaltamos que esta relação é válida para

3.1.9. Equação de coordenadas do corpo para movimento uniformemente variável

Equação de coordenadas

Os sinais das projeções da velocidade e aceleração iniciais dependem da posição relativa dos vetores correspondentes e do eixo Boi.

Para resolver problemas, é necessário adicionar à equação a equação para alterar a projeção da velocidade no eixo:

3.2. Gráficos de grandezas cinemáticas para movimento retilíneo

3.3. corpo em queda livre

Queda livre significa o seguinte modelo físico:

1) A queda ocorre sob a influência da gravidade:

2) Não há resistência do ar (nas tarefas, às vezes se escreve “negligencie a resistência do ar”);

3) Todos os corpos, independentemente da massa, caem com a mesma aceleração (às vezes eles adicionam - “independentemente da forma do corpo”, mas consideramos o movimento de apenas um ponto material, então a forma do corpo não é mais tomada em conta);

4) A aceleração da queda livre é direcionada estritamente para baixo e é igual na superfície da Terra (em problemas, muitas vezes a tomamos por conveniência de cálculos);

3.3.1. Equações de movimento na projeção sobre o eixo Oi

Ao contrário do movimento ao longo de uma linha reta horizontal, quando longe de todas as tarefas muda a direção do movimento, em queda livre é melhor usar imediatamente as equações escritas em projeções sobre o eixo Oi.

Equação de coordenadas do corpo:

Equação de projeção de velocidade:

Como regra, em problemas, é conveniente escolher o eixo Oi Da seguinte maneira:

Eixo Oi direcionado verticalmente para cima;

A origem das coordenadas coincide com o nível da Terra ou o ponto mais baixo da trajetória.

Com esta escolha, as equações e são reescritas na seguinte forma:

3.4. Movimento em um avião Oxi.

Consideramos o movimento de um corpo com aceleração ao longo de uma linha reta. No entanto, o movimento uniforme não se limita a isso. Por exemplo, um corpo lançado em um ângulo em relação ao horizonte. Em tais tarefas, é necessário levar em consideração o movimento ao longo de dois eixos ao mesmo tempo:

Ou na forma vetorial:

E alterando a projeção da velocidade nos dois eixos:

3.5. Aplicação do conceito de derivada e integral

Não daremos aqui uma definição detalhada de derivada e integral. Para resolver problemas, precisamos apenas de um pequeno conjunto de fórmulas.

Derivado:

Onde UMA, B e essas são as constantes.

Integrante:

Agora vamos ver como o conceito de derivada e integral é aplicável a quantidades físicas. Na matemática, a derivada é denotada por """, na física, a derivada no tempo é denotada por "∙" sobre uma função.

Velocidade:

ou seja, a velocidade é uma derivada do vetor raio.

Para projeção de velocidade:

Aceleração:

isto é, a aceleração é uma derivada da velocidade.

Para projeção de aceleração:

Assim, se a lei do movimento for conhecida, podemos encontrar facilmente a velocidade e a aceleração do corpo.

Agora usamos o conceito de integral.

Velocidade:

isto é, a velocidade pode ser encontrada como a integral da aceleração no tempo.

Vetor de raio:

isto é, o vetor raio pode ser encontrado tomando a integral da função velocidade.

Assim, se a função for conhecida, podemos encontrar facilmente tanto a velocidade quanto a lei do movimento do corpo.

As constantes nas fórmulas são determinadas a partir das condições iniciais - o valor e no momento

3.6. Triângulo de Velocidade e Triângulo de Deslocamento

3.6.1. triângulo de velocidade

Na forma vetorial, em aceleração constante, a lei da mudança de velocidade tem a forma (3.5):

Esta fórmula significa que o vetor é igual à soma vetorial dos vetores e a soma vetorial sempre pode ser representada na figura (veja a figura).

Em cada tarefa, dependendo das condições, o triângulo de velocidade terá sua própria forma. Tal representação possibilita o uso de considerações geométricas na resolução, o que muitas vezes simplifica a solução do problema.

3.6.2. Triângulo de Movimento

Na forma vetorial, a lei do movimento em aceleração constante tem a forma:

Ao resolver o problema, você pode escolher o sistema de referência da maneira mais conveniente, portanto, sem perder a generalidade, podemos escolher o sistema de referência para que, ou seja, a origem do sistema de coordenadas seja colocada no ponto onde o corpo está localizado no momento inicial. Então

ou seja, o vetor é igual à soma vetorial dos vetores e vamos desenhar na figura (ver Fig.).

Como no caso anterior, dependendo das condições, o triângulo de deslocamento terá sua própria forma. Tal representação possibilita o uso de considerações geométricas na resolução, o que muitas vezes simplifica a solução do problema.

GRÁFICOS

Determinação do tipo de movimento de acordo com o cronograma

1. O movimento uniformemente acelerado corresponde a um gráfico da dependência do módulo de aceleração no tempo, indicado na figura pela letra

1) A

2) B

3) NO

4) G

2. As figuras mostram gráficos da dependência do módulo de aceleração no tempo para diferentes tipos de movimento. Qual gráfico corresponde ao movimento uniforme?

1 4

3.
corpo movendo-se ao longo do eixo Oh acelerado de forma retilínea e uniforme, por algum tempo reduziu sua velocidade em 2 vezes. Qual dos gráficos da projeção da aceleração em função do tempo corresponde a tal movimento?

1 4

4. O paraquedista desce verticalmente com velocidade constante. Qual gráfico - 1, 2, 3 ou 4 - reflete corretamente a dependência de suas coordenadas S desde o momento do movimento t em relação à superfície da terra? Ignore a resistência do ar.

1) 3 4) 4

5. Qual dos gráficos da dependência da projeção da velocidade no tempo (Fig.) Corresponde ao movimento de um corpo lançado verticalmente para cima com uma certa velocidade (eixo S direcionado verticalmente para cima)?

13 4) 4

6.
Um corpo é lançado verticalmente para cima com alguma velocidade inicial da superfície da Terra. Qual dos gráficos da dependência da altura do corpo acima da superfície da Terra no tempo (Fig.) Corresponde a este movimento?

12

Determinação e comparação de características de movimento de acordo com o cronograma

7. O gráfico mostra a dependência da projeção da velocidade do corpo no tempo para o movimento retilíneo. Determine a projeção da aceleração do corpo.

1) – 10 m/s2

2) – 8 m/s2

3) 8 m/s2

4) 10 m/s2

8. A figura mostra um gráfico da dependência da velocidade de movimento dos corpos no tempo. Qual é a aceleração do corpo?

1) 1 m/s2

2) 2 m/s2

3) 3 m/s2

4) 18 m/s2

9. De acordo com o gráfico de projeção de velocidade versus temponem submetidona figura, determine o módulo de aceleração em uma linha retacorpo em movimento momento do tempo t= 2s.

1) 2 m/s2

2) 3 m/s2

3) 10 m/s2

4) 27 m/s2

10. x = 0, e ponto B no ponto x = 30km. Qual é a velocidade do ônibus no caminho de A para B?

1) 40 km/h

2) 50 km/h

3) 60 km/h

4) 75 km/h

11. A figura mostra o horário do ônibus do ponto A ao ponto B e vice-versa. O ponto A está no ponto x = 0, e ponto B no ponto x = 30km. Qual é a velocidade do ônibus no caminho de B para A?

1) 40 km/h

2) 50 km/h

3) 60 km/h

4) 75 km/h

12. O carro está se movendo ao longo de uma rua reta. O gráfico mostra a dependência da velocidade do carro em relação ao tempo. O módulo de aceleração é máximo no intervalo de tempo

1) 0 s a 10 s

2) de 10 s a 20 s

3) 20s a 30s

font-family: "times new roman>4) de 30 a 40 anos

13. Quatro corpos se movem ao longo de um eixo Boi.A figura mostra os gráficos das projeções de velocidadesυx de tempos t para esses órgãos. Qual dos corpos está se movendo com a menor aceleração de módulo?

1) 3 4) 4

14. A figura mostra um gráfico de dependência de caminhoSciclista de vez em quandot. Determine o intervalo de tempo em que o ciclista estava se movendo a uma velocidade de 2,5 m/s.

1) 5 s a 7 s

2) 3 s a 5 s

3) 1s a 3s

4) 0 a 1 s

15. A figura mostra um gráfico da dependência das coordenadas de um corpo que se move ao longo do eixoOX, de tempos. Comparar velocidadesv1 , v2 ev3 corpos às vezes t1, t2, t3

1) v1 > v2 = v3

2) v1 > v2 > v3

3) v1 < v2 < v3

4) v 1 = v 2 > v 3

16. A figura mostra um gráfico da dependência da projeção da velocidadecrescimento do corpo ao longo do tempo.

A projeção da aceleração do corpo no intervalo de tempo de 5 a 10 s é representada por um gráfico

13 4) 4

17. Um ponto material se move em linha reta com aceleração, cuja dependência do tempo é mostrada na figura. A velocidade inicial do ponto é 0. Qual ponto no gráfico corresponde à velocidade máxima do ponto material:

1) 2

2) 3

3) 4

4) 5

Compilação de dependências cinemáticas (funções da dependência de quantidades cinemáticas no tempo) de acordo com o cronograma

18. Na fig. mostra um gráfico de coordenadas do corpo em função do tempo. Determine a lei cinemática do movimento deste corpo

1) x( t) = 2 + 2 t

2) x( t) = – 2 – 2 t

3) x( t) = 2 – 2 t

4) x ( t ) = – 2 + 2 t

19. A partir do gráfico da velocidade de um corpo em função do tempo, determine a função da velocidade desse corpo em função do tempo

1) vx= – 30 + 10 t

2) vx = 30 + 10 t

3) v x = 30 – 10 t

4) vx = – 30 + 10 t

Determinação do deslocamento e caminho de acordo com o cronograma

20. Determine a trajetória percorrida por um corpo em movimento em linha reta em 3 s a partir do gráfico da velocidade de um corpo em função do tempo.

1) 2 metros

2) 4 metros

3) 18 m

4) 36m

21. Uma pedra é lançada verticalmente para cima. A projeção de sua velocidade na direção vertical varia com o tempo de acordo com o gráfico da figura. Qual é a distância percorrida pela pedra nos primeiros 3 segundos?

1) 30 metros

2) 45 m

3) 60 metros

4) 90 metros

22. Uma pedra é lançada verticalmente para cima. A projeção de sua velocidade na direção vertical varia com o tempo de acordo com o gráfico da figura h.21. Qual é a distância percorrida pela pedra durante todo o voo?

1) 30 metros

2) 45 metros

3) 60 metros

4) 90 m

23. Uma pedra é lançada verticalmente para cima. A projeção de sua velocidade na direção vertical varia com o tempo de acordo com o gráfico da figura h.21. Qual é o deslocamento da pedra nos primeiros 3 s?

1) 0m

2) 30 metros

3) 45 m

4) 60 metros

24. Uma pedra é lançada verticalmente para cima. A projeção de sua velocidade na direção vertical varia com o tempo de acordo com o gráfico da figura h.21. Qual é o deslocamento da pedra durante todo o vôo?

1) 0 m

2) 30 metros

3) 60 metros

4) 90 metros

25. A figura mostra um gráfico da dependência da projeção da velocidade de um corpo movendo-se ao longo do eixo Ox no tempo. Qual é o caminho percorrido pelo corpo no instante t = 10 s?

1) 1m

2) 6m

3) 7 metros

4) 13 m

26. posição: relativa; z-index:24">O carrinho começa a se mover do repouso ao longo da fita de papel. Há um conta-gotas no carrinho, que em intervalos regulares deixa manchas de tinta na fita.

Escolha um gráfico de velocidade versus tempo que descreva corretamente o movimento do carrinho.

1 4

EQUAÇÕES

27. O movimento de um trólebus durante a frenagem de emergência é dado pela equação: x = 30 + 15t – 2,5t2, m Qual é a coordenada inicial do trólebus?

1) 2,5 m

2) 5 metros

3) 15 metros

4) 30 m

28. O movimento da aeronave durante a corrida de decolagem é dado pela equação: x = 100 + 0,85t2, m Qual é a aceleração da aeronave?

1) 0 m/s2

2) 0,85 m/s2

3) 1,7 m/s2

4) 100 m/s2

29. O movimento de um carro de passeio é dado pela equação: x = 150 + 30t + 0,7t2, m. Qual é a velocidade inicial do carro?

1) 0,7 m/s

2) 1,4 m/s

3) 30 m/s

4) 150 m/s

30. A equação para a projeção da velocidade de um corpo em movimento no tempo:vx= 2 +3t(EM). Qual é a equação correspondente para a projeção do deslocamento do corpo?

1) Sx = 2 t + 3 t2 2) Sx = 4 t + 3 t2 3) Sx = t + 6 t2 4) Sx = 2 t + 1,5 t 2

31. A dependência da coordenada no tempo para algum corpo é descrita pela equação x = 8t - t2. Em que instante a velocidade do corpo é zero?

1) 8 segundos

2) 4 segundos

3) 3 segundos

4) 0 segundos

TABELAS

32. X movimento uniforme de um corpo ao longo do tempo t:

t, Com
X , m

Com que velocidade o corpo se moveu do tempo 0 s para motempo 4 s?

1) 0,5 m/s

2) 1,5 m/s

3) 2 EM

4) 3 m/s

33. A tabela mostra a dependência da coordenada X movimentos do corpo ao longo do tempo t:

t, Com
X, m

Determine a velocidade média do corpo no intervalo de tempo de 1s a 3s.

1) 0 m/s

2) ≈0,33 m/s

3) 0,5 m/s

4) 1 m/s

t, Com	0	1	2	3	4	5
x1 m
x2, m
x3, m
x4, m

Qual dos corpos poderia ter uma velocidade constante e ser diferente de zero?

1) 1

35. Quatro corpos moviam-se ao longo do eixo Ox. A tabela mostra a dependência de suas coordenadas no tempo.

t, Com	0	1	2	3	4	5
x1 m
x2, m
x3, m
x4, m

Qual dos corpos poderia ter aceleração constante e ser diferente de zero?

Movimento uniforme- este é o movimento a uma velocidade constante, ou seja, quando a velocidade não muda (v \u003d const) e não há aceleração ou desaceleração (a \u003d 0).

Movimento retilíneo- este é o movimento em linha reta, ou seja, a trajetória do movimento retilíneo é uma linha reta.

Movimento retilíneo uniformeé um movimento em que o corpo faz os mesmos movimentos para quaisquer intervalos de tempo iguais. Por exemplo, se dividirmos algum intervalo de tempo em segmentos de um segundo, então, com movimento uniforme, o corpo se moverá a mesma distância para cada um desses segmentos de tempo.

A velocidade do movimento retilíneo uniforme não depende do tempo e em cada ponto da trajetória é direcionada da mesma forma que o movimento do corpo. Ou seja, o vetor deslocamento coincide na direção com o vetor velocidade. Neste caso, a velocidade média para qualquer período de tempo é igual à velocidade instantânea:

Velocidade do movimento retilíneo uniformeé uma quantidade vetorial física igual à razão do deslocamento do corpo por qualquer período de tempo para o valor deste intervalo t:

Assim, a velocidade do movimento retilíneo uniforme mostra qual movimento um ponto material faz por unidade de tempo.

em movimento com movimento retilíneo uniforme é determinado pela fórmula:

Distância viajada em movimento retilíneo é igual ao módulo de deslocamento. Se a direção positiva do eixo OX coincide com a direção do movimento, então a projeção da velocidade no eixo OX é igual à velocidade e é positiva:

v x = v, ou seja, v > 0

A projeção do deslocamento no eixo OX é igual a:

s \u003d vt \u003d x - x 0

onde x 0 é a coordenada inicial do corpo, x é a coordenada final do corpo (ou a coordenada do corpo a qualquer momento)

Equação de movimento, ou seja, a dependência da coordenada do corpo no tempo x = x(t), assume a forma:

Se a direção positiva do eixo OX é oposta à direção do movimento do corpo, então a projeção da velocidade do corpo no eixo OX é negativa, a velocidade é menor que zero (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Dependência da velocidade, coordenadas e trajeto no tempo

A dependência da projeção da velocidade do corpo no tempo é mostrada na fig. 1.11. Como a velocidade é constante (v = const), o gráfico da velocidade é uma linha reta paralela ao eixo do tempo Ot.

Arroz. 1.11. A dependência da projeção da velocidade do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

A projeção do movimento sobre o eixo de coordenadas é numericamente igual à área do retângulo OABS (Fig. 1.12), pois a magnitude do vetor de movimento é igual ao produto do vetor de velocidade e o tempo durante o qual o movimento foi feito.

Arroz. 1.12. A dependência da projeção do movimento do corpo no tempo para o movimento retilíneo uniforme.

O gráfico do deslocamento em função do tempo é mostrado na Fig. 1.13. Pode-se ver no gráfico que a projeção da velocidade é igual a

v = s 1 / t 1 = tg α

onde α é o ângulo de inclinação do gráfico em relação ao eixo do tempo.

Quanto maior o ângulo α, mais rápido o corpo se move, ou seja, maior sua velocidade (quanto mais o corpo percorre em menos tempo). A tangente da inclinação da tangente ao gráfico da dependência da coordenada no tempo é igual à velocidade:

Arroz. 1.13. A dependência da projeção do movimento do corpo no tempo para o movimento retilíneo uniforme.

A dependência da coordenada no tempo é mostrada na fig. 1.14. Pode-se ver pela figura que

tg α 1 > tg α 2

portanto, a velocidade do corpo 1 é maior que a velocidade do corpo 2 (v 1 > v 2).

tg α 3 = v 3< 0

Se o corpo está em repouso, então o gráfico da coordenada é uma linha reta paralela ao eixo do tempo, ou seja,

Arroz. 1.14. Dependência da coordenada do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

Relação entre valores angulares e lineares

Pontos separados de um corpo em rotação têm diferentes velocidades lineares. A velocidade de cada ponto, sendo direcionada tangencialmente ao círculo correspondente, muda continuamente sua direção. A magnitude da velocidade é determinada pela velocidade de rotação do corpo e pela distância R do ponto considerado ao eixo de rotação. Deixe o corpo girar em um ângulo em um curto período de tempo (Figura 2.4). Um ponto localizado a uma distância R do eixo percorre uma trajetória igual a

Velocidade linear de um ponto por definição.

Aceleração tangencial

Usando a mesma relação (2.6), obtemos

Assim, tanto a aceleração normal quanto a tangencial crescem linearmente com a distância do ponto ao eixo de rotação.

Conceitos Básicos.

oscilação periódica um processo no qual um sistema (por exemplo, mecânico) retorna ao mesmo estado após um certo período de tempo é chamado. Este período de tempo é chamado de período de oscilação.

Restaurando a força- a força sob a ação da qual ocorre o processo oscilatório. Essa força tende a devolver o corpo ou ponto material desviado da posição de repouso para sua posição original.

Dependendo da natureza do impacto em um corpo oscilante, as vibrações livres (ou naturais) e as vibrações forçadas são distinguidas.

Vibrações livres ocorre quando apenas a força restauradora atua sobre o corpo oscilante. Caso não ocorra dissipação de energia, as oscilações livres não são amortecidas. No entanto, os processos oscilatórios reais são amortecidos, porque um corpo oscilante é afetado por forças de resistência ao movimento (principalmente forças de atrito).

Vibrações forçadas são realizadas sob a ação de uma força externa que muda periodicamente, que é chamada de força motriz. Em muitos casos, os sistemas realizam oscilações que podem ser consideradas harmônicas.

Vibrações harmônicas chamados de movimentos oscilatórios em que o deslocamento do corpo da posição de equilíbrio é realizado de acordo com a lei do seno ou cosseno:

Para ilustrar o significado físico, considere um círculo e gire o raio OK com uma seta de velocidade angular ω no sentido anti-horário (7.1). Se no momento inicial o OK estava em um plano horizontal, depois de um tempo t ele se deslocará em um ângulo. Se o ângulo inicial for diferente de zero e igual a φ 0 , então o ângulo de rotação será igual a A projeção no eixo XO 1 é igual a . À medida que o raio OK gira, o valor da projeção muda e o ponto oscilará em relação ao ponto - para cima, para baixo, etc. Neste caso, o valor máximo de x é igual a A e é chamado de amplitude de oscilação; ω - frequência circular ou cíclica - fase de oscilação - fase inicial. Para uma revolução do ponto K ao longo do círculo, sua projeção fará uma oscilação completa e retornará ao ponto inicial.

Período Té o tempo de uma oscilação completa. Após o tempo T, repetem-se os valores de todas as grandezas físicas que caracterizam as oscilações. Em um período, um ponto oscilante percorre um caminho numericamente igual a quatro amplitudes.

Velocidade angularé determinado a partir da condição de que para o período T o raio OK fará uma revolução, ou seja, irá girar em um ângulo de 2π radianos:

Frequência de oscilação- o número de oscilações de um ponto em um segundo, ou seja, a frequência de oscilação é definida como o recíproco do período de oscilação:

Forças elásticas do pêndulo da mola.

Um pêndulo de mola consiste em uma mola e uma bola maciça montada em uma haste horizontal ao longo da qual pode deslizar. Deixe uma bola com um furo ser montada em uma mola, que desliza ao longo do eixo guia (haste). Na fig. 7.2a mostra a posição da bola em repouso; na fig. 7.2, b - compressão máxima e na fig. 7.2, в - posição arbitrária da bola.

Sob a ação de uma força restauradora igual à força de compressão, a bola oscilará. Força de compressão F \u003d -kx, onde k é o coeficiente de rigidez da mola. O sinal de menos mostra que a direção da força F e o deslocamento x são opostos. Energia potencial de uma mola comprimida

cinético.

Para derivar a equação do movimento da bola, é necessário conectar x e t. A conclusão é baseada na lei da conservação da energia. A energia mecânica total é igual à soma das energias cinética e potencial do sistema. Nesse caso:

. Na posição b): .

Como a lei de conservação da energia mecânica é cumprida no movimento considerado, podemos escrever:

. Vamos definir a velocidade a partir daqui:

Mas, por sua vez, e portanto . Variáveis ​​separadas . Integrando esta expressão, obtemos: ,

onde é a constante de integração. Segue-se deste último que

Assim, sob a ação de uma força elástica, o corpo realiza oscilações harmônicas. Forças de natureza diferente da elástica, mas nas quais a condição F = -kx é satisfeita, são chamadas quase-elásticas. Sob a influência dessas forças, os corpos também fazem oscilações harmônicas. Em que:

tendência:
Rapidez:
aceleração:

Pêndulo matemático.

Um pêndulo matemático é um ponto material suspenso em um fio inextensível sem peso, oscilando em um plano vertical sob a ação da gravidade.

Tal pêndulo pode ser considerado uma bola pesada de massa m, suspensa em um fio fino, cujo comprimento l é muito maior que o tamanho da bola. Se for desviado por um ângulo α (Fig. 7.3.) da linha vertical, então sob a influência da força F - um dos componentes do peso P, ele oscilará. O outro componente , direcionado ao longo da rosca, não é levado em consideração, pois equilibrada pela tensão na corda. Em pequenos ângulos de deslocamento, a coordenada x pode ser contada na direção horizontal. Da Fig. 7.3 pode-se ver que a componente do peso perpendicular ao fio é igual a

O sinal de menos no lado direito significa que a força F é direcionada para diminuir o ângulo α. Levando em conta a pequenez do ângulo α

Para derivar a lei do movimento de pêndulos matemáticos e físicos, usamos a equação básica para a dinâmica do movimento rotacional

O momento da força em relação ao ponto O: , e o momento de inércia: M=FL. Momento de inércia J neste caso aceleração angular:

Levando em conta esses valores, temos:

Sua decisão ,

Como você pode ver, o período de oscilação de um pêndulo matemático depende de seu comprimento e da aceleração da gravidade e não depende da amplitude das oscilações.

vibrações amortecidas.

Todos os sistemas oscilatórios reais são dissipativos. A energia das oscilações mecânicas de tal sistema é gradualmente gasta no trabalho contra as forças de atrito; portanto, as oscilações livres sempre amortecem - sua amplitude diminui gradualmente. Em muitos casos, quando não há atrito seco, na primeira aproximação pode-se considerar que em baixas velocidades de movimento, as forças que causam o amortecimento das vibrações mecânicas são proporcionais à velocidade. Essas forças, independentemente de sua origem, são chamadas de forças de resistência.

Vamos reescrever essa equação da seguinte forma:

e denotar:

onde representa a frequência com que as oscilações livres do sistema ocorreriam na ausência de resistência do meio, ou seja, em r = 0. Essa frequência é chamada de frequência de oscilação natural do sistema; β - fator de amortecimento. Então

Procuraremos uma solução para a equação (7.19) na forma em que U é alguma função de t.

Diferenciamos essa expressão duas vezes em relação ao tempo t e, substituindo os valores da primeira e segunda derivadas na equação (7.19), obtemos

A solução desta equação depende essencialmente do sinal do coeficiente em U. Considere o caso em que este coeficiente é positivo. Introduzimos a notação Então Com ω real, a solução para esta equação, como sabemos, é a função

Assim, no caso de baixa resistência do meio , a solução da equação (7.19) será a função

O gráfico desta função é mostrado na Fig. 7.8. As linhas pontilhadas mostram os limites dentro dos quais o deslocamento do ponto oscilante está localizado. A quantidade é chamada de frequência de oscilação cíclica natural do sistema dissipativo. As oscilações amortecidas são oscilações não periódicas, pois nunca repetem, por exemplo, os valores máximos de deslocamento, velocidade e aceleração. O valor geralmente é chamado de período de oscilações amortecidas, mais corretamente, o período condicional de oscilações amortecidas,

O logaritmo natural da razão das amplitudes de deslocamento uma após a outra após um intervalo de tempo igual ao período T é chamado de decréscimo de amortecimento logarítmico.

Vamos denotar por τ o intervalo de tempo durante o qual a amplitude de oscilação diminui por um fator de e. Então

Portanto, o coeficiente de amortecimento é uma grandeza física recíproca ao intervalo de tempo τ durante o qual a amplitude diminui por um fator de e. O valor τ é chamado de tempo de relaxação.

Seja N o número de oscilações após as quais a amplitude diminui por um fator de e. Então

Consequentemente, o decremento de amortecimento logarítmico δ é uma quantidade física recíproca ao número de oscilações N, após o qual a amplitude diminui por um fator de e

Vibrações forçadas.

No caso de oscilações forçadas, o sistema oscila sob a ação de uma força externa (forçada), e devido ao trabalho dessa força, as perdas de energia do sistema são compensadas periodicamente. A frequência das oscilações forçadas (frequência forçada) depende da frequência de mudança da força externa.

Deixe esta força mudar com o tempo de acordo com a lei , onde é a amplitude da força motriz. A força restauradora e a força de resistência Então a segunda lei de Newton pode ser escrita da seguinte forma.

Movimento retilíneo uniforme Este é um caso especial de movimento não uniforme.

Movimento irregular- este é um movimento em que um corpo (ponto material) faz movimentos desiguais em intervalos de tempo iguais. Por exemplo, um ônibus urbano se move de forma desigual, pois seu movimento consiste principalmente em aceleração e desaceleração.

Movimento de variável igual- este é um movimento em que a velocidade de um corpo (ponto material) muda da mesma maneira para quaisquer intervalos de tempo iguais.

Aceleração de um corpo em movimento uniforme permanece constante em magnitude e direção (a = const).

O movimento uniforme pode ser uniformemente acelerado ou uniformemente desacelerado.

Movimento uniformemente acelerado- este é o movimento de um corpo (ponto material) com uma aceleração positiva, ou seja, com esse movimento, o corpo acelera com uma aceleração constante. No caso de movimento uniformemente acelerado, o módulo da velocidade do corpo aumenta com o tempo, a direção da aceleração coincide com a direção da velocidade do movimento.

Movimento lento uniforme- este é o movimento de um corpo (ponto material) com aceleração negativa, ou seja, com tal movimento, o corpo desacelera uniformemente. Com o movimento uniformemente lento, os vetores velocidade e aceleração são opostos e o módulo da velocidade diminui com o tempo.

Em mecânica, qualquer movimento retilíneo é acelerado, de modo que o movimento lento difere do movimento acelerado apenas pelo sinal da projeção do vetor de aceleração no eixo selecionado do sistema de coordenadas.

Velocidade média do movimento variávelé determinado pela divisão do movimento do corpo pelo tempo durante o qual esse movimento foi feito. A unidade de velocidade média é m/s.

Vcp = s/t

- esta é a velocidade do corpo (ponto material) em um determinado ponto no tempo ou em um determinado ponto da trajetória, ou seja, o limite para o qual a velocidade média tende com uma diminuição infinita no intervalo de tempo Δt:

Vetor de velocidade instantânea movimento uniforme pode ser encontrado como a primeira derivada do vetor deslocamento em relação ao tempo:

Projeção do vetor de velocidade no eixo OX:

Vx = x'

esta é a derivada da coordenada em relação ao tempo (as projeções do vetor velocidade em outros eixos de coordenadas são obtidas de forma semelhante).

- este é o valor que determina a taxa de variação da velocidade do corpo, ou seja, o limite para o qual a variação da velocidade tende com uma diminuição infinita no intervalo de tempo Δt:

Vetor de aceleração de movimento uniforme pode ser encontrado como a primeira derivada do vetor velocidade em relação ao tempo ou como a segunda derivada do vetor deslocamento em relação ao tempo:

Se o corpo se move retilíneo ao longo do eixo OX de um sistema de coordenadas cartesianas retilíneas que coincidem em direção com a trajetória do corpo, então a projeção do vetor velocidade neste eixo é determinada pela fórmula:

V x = v 0x ± a x t

O sinal "-" (menos) na frente da projeção do vetor aceleração refere-se ao movimento uniformemente lento. Equações de projeções do vetor velocidade em outros eixos de coordenadas são escritas de forma semelhante.

Como a aceleração é constante (a \u003d const) com movimento uniformemente variável, o gráfico de aceleração é uma linha reta paralela ao eixo 0t (eixo do tempo, Fig. 1.15).

Arroz. 1.15. Dependência da aceleração do corpo no tempo.

Velocidade versus tempoé uma função linear, cujo gráfico é uma linha reta (Fig. 1.16).

Arroz. 1.16. Dependência da velocidade do corpo no tempo.

Gráfico de velocidade versus tempo(Fig. 1.16) mostra que

Nesse caso, o deslocamento é numericamente igual à área da figura 0abc (Fig. 1.16).

A área de um trapézio é metade da soma dos comprimentos de suas bases vezes a altura. As bases do trapézio 0abc são numericamente iguais:

0a = v 0bc = v

A altura do trapézio é t. Assim, a área do trapézio e, portanto, a projeção do deslocamento no eixo OX, é igual a:

No caso de movimento uniformemente lento, a projeção da aceleração é negativa, e na fórmula para a projeção do deslocamento, o sinal “–” (menos) é colocado na frente da aceleração.

O gráfico da dependência da velocidade do corpo no tempo em várias acelerações é mostrado na Fig. 1.17. O gráfico da dependência do deslocamento no tempo em v0 = 0 é mostrado na fig. 1.18.

Arroz. 1.17. Dependência da velocidade do corpo no tempo para vários valores de aceleração.

Arroz. 1.18. Dependência do deslocamento do corpo no tempo.

A velocidade do corpo em um determinado momento t 1 é igual à tangente do ângulo de inclinação entre a tangente ao gráfico e o eixo do tempo v \u003d tg α, e o movimento é determinado pela fórmula:

Se o tempo de movimento do corpo for desconhecido, você pode usar outra fórmula de deslocamento resolvendo um sistema de duas equações:

Isso nos ajudará a derivar uma fórmula para a projeção do deslocamento:

Como a coordenada do corpo a qualquer momento é determinada pela soma da coordenada inicial e da projeção do deslocamento, ficará assim:

O gráfico da coordenada x(t) também é uma parábola (assim como o gráfico de deslocamento), mas o vértice da parábola geralmente não coincide com a origem. Para um x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Mostraremos como você pode encontrar o caminho percorrido pelo corpo usando um gráfico de velocidade versus tempo.

Vamos começar com o caso mais simples - movimento uniforme. A Figura 6.1 mostra um gráfico de v(t) - velocidade versus tempo. É um segmento de reta paralelo à base do tempo, pois com movimento uniforme a velocidade é constante.

A figura incluída neste gráfico é um retângulo (está sombreado na figura). Sua área é numericamente igual ao produto da velocidade v pelo tempo do movimento t. Por outro lado, o produto vt é igual ao caminho l percorrido pelo corpo. Assim, com movimento uniforme

o caminho é numericamente igual à área da figura incluída no gráfico de velocidade versus tempo.

Vamos agora mostrar que o movimento não uniforme também possui essa propriedade notável.

Deixe, por exemplo, o gráfico de velocidade versus tempo se parecer com a curva mostrada na Figura 6.2.

Vamos dividir mentalmente todo o tempo de movimento em intervalos tão pequenos que durante cada um deles o movimento do corpo pode ser considerado quase uniforme (essa divisão é mostrada por linhas tracejadas na Figura 6.2).

Então, o caminho percorrido para cada intervalo é numericamente igual à área da figura sob o pedaço correspondente do gráfico. Portanto, todo o caminho é igual à área das figuras incluídas em todo o gráfico. (A técnica que usamos é a base do cálculo integral, cujos fundamentos você aprenderá no curso "Princípios do Cálculo".)

2. Caminho e deslocamento em movimento retilíneo uniformemente acelerado

Vamos agora aplicar o método descrito acima para encontrar o caminho para o movimento retilíneo uniformemente acelerado.

A velocidade inicial do corpo é zero

Vamos direcionar o eixo x para a aceleração do corpo. Então a x = a, v x = v. Consequentemente,

A Figura 6.3 mostra um gráfico de v(t).

1. Usando a Figura 6.3, prove que em um movimento retilíneo uniformemente acelerado sem velocidade inicial, a trajetória l é expressa em termos do módulo de aceleração a e do tempo de viagem t pela fórmula

l = em 2/2. (2)

Conclusão principal:

em um movimento retilíneo uniformemente acelerado sem velocidade inicial, o caminho percorrido pelo corpo é proporcional ao quadrado do tempo do movimento.

Este movimento uniformemente acelerado difere significativamente do uniforme.

A Figura 6.4 mostra gráficos de trajetória versus tempo para dois corpos, um dos quais se move uniformemente e o outro uniformemente acelerado sem velocidade inicial.

2. Observe a Figura 6.4 e responda às perguntas.
a) De que cor é o gráfico de um corpo em movimento uniformemente acelerado?
b) Qual é a aceleração desse corpo?
c) Quais são as velocidades dos corpos no momento em que percorrem a mesma trajetória?
d) Em que instante as velocidades dos corpos são iguais?

3. Partindo, o carro percorreu uma distância de 20 m nos primeiros 4 s. Considere o movimento do carro como retilíneo e uniformemente acelerado. Sem calcular a aceleração do carro, determine a distância que o carro percorrerá:
a) em 8 segundos? b) em 16 s? c) em 2 segundos?

Vamos agora encontrar a dependência da projeção de deslocamento s x no tempo. Nesse caso, a projeção da aceleração no eixo x é positiva, então s x = l, a x = a. Assim, da fórmula (2) segue:

s x \u003d a x t 2 /2. (3)

As fórmulas (2) e (3) são muito semelhantes, o que às vezes leva a erros na resolução de problemas simples. A questão é que o valor da projeção do deslocamento pode ser negativo. Assim será se o eixo x estiver na direção oposta ao deslocamento: então s x< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. A Figura 6.5 mostra gráficos de tempo de viagem e projeção de deslocamento para algum corpo. De que cor é o gráfico de projeção de deslocamento?

A velocidade inicial do corpo não é zero

Lembre-se que, neste caso, a dependência da projeção da velocidade no tempo é expressa pela fórmula

v x = v 0x + a x t, (4)

onde v 0x é a projeção da velocidade inicial no eixo x.

Consideraremos ainda o caso quando v 0x > 0, a x > 0. Neste caso, podemos usar novamente o fato de que o caminho é numericamente igual à área da figura sob o gráfico da velocidade versus tempo. (Considere outras combinações de sinais da projeção da velocidade inicial e aceleração por conta própria: o resultado será a mesma fórmula geral (5).

A Figura 6.6 mostra um gráfico de v x (t) para v 0x > 0, a x > 0.

5. Usando a figura 6.6, prove que com um movimento retilíneo uniformemente acelerado com uma velocidade inicial, a projeção do deslocamento

s x \u003d v 0x + a x t 2 /2. (5)

Esta fórmula permite encontrar a dependência da coordenada x do corpo no tempo. Lembre-se (ver fórmula (6), § 2) que a coordenada x do corpo está relacionada com a projeção de seu deslocamento s x pela relação

s x \u003d x - x 0,

onde x 0 é a coordenada inicial do corpo. Consequentemente,

x = x 0 + s x , (6)

Das fórmulas (5), (6) obtemos:

x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)

6. A dependência da coordenada no tempo para algum corpo se movendo ao longo do eixo x é expressa em unidades SI pela fórmula x = 6 – 5t + t 2 .
a) Qual é a coordenada inicial do corpo?
b) Qual é a projeção da velocidade inicial no eixo x?
c) Qual é a projeção da aceleração no eixo x?
d) Desenhe um gráfico da coordenada x em função do tempo.
e) Desenhe um gráfico da projeção da velocidade em função do tempo.
e) Quando a velocidade do corpo é igual a zero?
g) O corpo voltará ao ponto de partida? Se sim, em que momento(s) no tempo?
h) O corpo passará pela origem? Se sim, em que momento(s) no tempo?
i) Desenhe um gráfico de projeção de deslocamento versus tempo.
j) Desenhe um gráfico de caminho versus tempo.

3. Relação entre caminho e velocidade

Ao resolver problemas, as relações entre caminho, aceleração e velocidade (inicial v 0 , final v ou ambos) são frequentemente usadas. Vamos derivar essas relações. Vamos começar com movimento sem velocidade inicial. Da fórmula (1) obtemos para o tempo de movimento:

Substituímos esta expressão na fórmula (2) para o caminho:

l \u003d em 2 / 2 \u003d a / 2 (v / a) 2 \u003d v 2 / 2a. (9)

Conclusão principal:

em um movimento retilíneo uniformemente acelerado sem velocidade inicial, a trajetória percorrida pelo corpo é proporcional ao quadrado da velocidade final.

7. Partindo, o carro adquiriu uma velocidade de 10 m/s no percurso de 40 m. Considere o movimento do carro como retilíneo e uniformemente acelerado. Sem calcular a aceleração do carro, determine que distância o carro percorreu desde o início do movimento quando sua velocidade era igual a: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?

A relação (9) também pode ser obtida lembrando que o caminho é numericamente igual à área da figura incluída no gráfico de velocidade versus tempo (Fig. 6.7).

Essa consideração o ajudará a lidar facilmente com a tarefa a seguir.

8. Usando a Figura 6.8, prove que ao frear com aceleração constante, o corpo para completamente no caminho l t \u003d v 0 2 / 2a, onde v 0 é a velocidade inicial do corpo, a é o módulo de aceleração.

No caso de frenagem de um veículo (carro, trem), o caminho percorrido até a parada completa é chamado de distância de frenagem. Observe: a distância de frenagem na velocidade inicial v 0 e a distância percorrida durante a aceleração da imobilidade até a velocidade v 0 com a mesma aceleração a módulo são as mesmas.

9. Durante a frenagem de emergência em piso seco, a aceleração do carro é módulo 5 m/s 2 . Qual é a distância de parada do carro na velocidade inicial: a) 60 km/h (velocidade máxima permitida na cidade); b) 120 km/h? Encontre a distância de parada nas velocidades indicadas durante o gelo, quando o módulo de aceleração é 2 m/s 2 . Compare as distâncias de parada que você encontrou com o comprimento da sala de aula.

10. Usando a Figura 6.9 e a fórmula que expressa a área de um trapézio em termos de sua altura e metade da soma de suas bases, prove que em um movimento retilíneo uniformemente acelerado:
a) l \u003d (v 2 - v 0 2) / 2a, se a velocidade do corpo aumentar;
b) l \u003d (v 0 2 - v 2) / 2a, se a velocidade do corpo diminuir.

11. Prove que as projeções de deslocamento, velocidade inicial e final e aceleração estão relacionadas pela relação

s x \u003d (v x 2 - v 0x 2) / 2ax (10)

12. Um carro em uma trajetória de 200 m acelerou de uma velocidade de 10 m/s para 30 m/s.
a) Com que velocidade o carro estava se movendo?
b) Quanto tempo o carro levou para percorrer a distância indicada?
c) Qual é a velocidade média do carro?

Perguntas e tarefas adicionais

13. O último vagão é desengatado do trem em movimento, após o que o trem se move uniformemente e o vagão se move com aceleração constante até parar.
a) Desenhe em um desenho gráficos de velocidade versus tempo para um trem e um carro.
b) Quantas vezes a distância percorrida pelo carro até a parada é menor que a distância percorrida pelo trem no mesmo tempo?

14. Partindo da estação, o trem viajou uniformemente por algum tempo, depois por 1 minuto - uniformemente a uma velocidade de 60 km / h, depois novamente acelerado uniformemente até parar na próxima estação. Os módulos de aceleração durante a aceleração e desaceleração foram diferentes. O trem viajou entre as estações em 2 minutos.
a) Desenhe um diagrama esquemático da dependência da projeção da velocidade do trem no tempo.
b) Usando este gráfico, encontre a distância entre as estações.
c) Que distância o trem percorreria se acelerasse na primeira seção do caminho e desacelerasse na segunda? Qual seria sua velocidade máxima?

15. O corpo se move uniformemente ao longo do eixo x. No momento inicial, estava na origem das coordenadas, e a projeção de sua velocidade era igual a 8 m/s. Após 2 s, a coordenada do corpo tornou-se igual a 12 m.
a) Qual é a projeção da aceleração do corpo?
b) Plote v x (t).
c) Escreva uma fórmula que expresse a dependência x(t) em unidades do SI.
d) A velocidade do corpo será zero? Se sim, em que momento?
e) O corpo visitará o ponto com coordenada 12 m uma segunda vez? Se sim, em que momento?
f) O corpo voltará ao ponto de partida? Se sim, em que momento e qual será a distância percorrida?

16. Após o empurrão, a bola rola pelo plano inclinado, após o que retorna ao ponto de partida. A uma distância b do ponto de partida, a bola visitou duas vezes em intervalos de tempo t 1 e t 2 após o empurrão. Para cima e para baixo ao longo do plano inclinado a bola se moveu com o mesmo módulo de aceleração.
a) Direcione o eixo x para cima ao longo do plano inclinado, escolha a origem na posição inicial da bola e escreva uma fórmula expressando a dependência de x(t), que inclui o módulo da velocidade inicial da bola v0 e o módulo da aceleração da bola a.
b) Usando esta fórmula e o fato de que a bola estava a uma distância b do ponto de partida nos instantes t 1 e t 2, componha um sistema de duas equações com duas incógnitas v 0 e a.
c) Tendo resolvido este sistema de equações, expresse v 0 e a até b, t 1 e t 2.
d) Expresse todo o caminho l percorrido pela bola em termos de b, t 1 e t 2.
e) Encontre os valores numéricos v 0 , a e l em b = 30 cm, t 1 = 1s, t 2 = 2 s.
f) Plote v x (t), s x (t), l(t) dependências.
g) Usando o gráfico de dependência sx(t), determine o momento em que o módulo do deslocamento da bola foi máximo.