A matemática como ciência surgiu em conexão com a necessidade de resolver problemas práticos: medições no solo, navegação, etc. Como resultado, a matemática era matemática numérica e seu objetivo era obter uma solução na forma de um número. A solução numérica de problemas aplicados sempre interessou os matemáticos. Os maiores representantes do passado combinaram em seus estudos o estudo dos fenômenos naturais, obtendo sua descrição matemática, ou seja, seu modelo matemático e sua pesquisa. A análise de modelos complicados exigia a criação de métodos especiais, geralmente numéricos, para a resolução de problemas. Os nomes de alguns desses métodos indicam que eles foram desenvolvidos pelos maiores cientistas de seu tempo. Estes são os métodos de Newton, Euler, Lobachevsky, Gauss, Chebyshev, Hermite.

A atualidade caracteriza-se por uma forte expansão das aplicações da matemática, em grande parte associada à criação e desenvolvimento da tecnologia informática. Como resultado do surgimento dos computadores em menos de 40 anos, a velocidade das operações aumentou de 0,1 operações por segundo com contagem manual para 10 operações por segundo em computadores modernos.

A opinião generalizada sobre a onipotência dos computadores modernos dá a impressão de que os matemáticos se livraram de todos os problemas associados à solução numérica de problemas, e o desenvolvimento de novos métodos para resolvê-los não é mais tão significativo. Na realidade, a situação é diferente, pois as necessidades da evolução, via de regra, colocam diante da ciência tarefas que estão à beira de suas capacidades. A expansão da aplicação da matemática levou à matematização de vários ramos da ciência: química, economia, biologia, geologia, geografia, psicologia, medicina, tecnologia, etc.

Há duas circunstâncias que inicialmente levaram ao desejo pela matematização das ciências:

em primeiro lugar, somente o uso de métodos matemáticos permite dar um caráter quantitativo ao estudo de um ou outro fenômeno do mundo material;

em segundo lugar, e isso é o principal, apenas o modo matemático de pensar faz um objeto. Esse método de pesquisa é chamado de experimento computacional - o estudo é totalmente objetivo.

Recentemente, surgiu outro fator que tem forte impacto nos processos de matematização do conhecimento. Este é o rápido desenvolvimento da tecnologia de computador. O uso de computadores para resolver problemas científicos, de engenharia e aplicados em geral é inteiramente baseado em sua matematização.

modelos matemáticos.

A tecnologia moderna para o estudo de problemas complexos baseia-se na construção e análise, geralmente com o auxílio de um computador, de modelos matemáticos do problema em estudo. Normalmente, um experimento computacional, como já vimos, consiste em uma série de etapas: definir um problema, construir um modelo matemático (formulação matemática do problema), desenvolver um método numérico, desenvolver um algoritmo para implementar um método numérico, desenvolver um programa, depurando um programa, realizando cálculos, analisando resultados.

Assim, o uso de computadores para resolver qualquer problema científico ou de engenharia está inevitavelmente associado à transição de um processo ou fenômeno real para seu modelo matemático. Assim, a aplicação de modelos na pesquisa científica e na prática da engenharia é a arte da modelagem matemática.

Um modelo é geralmente chamado de sistema representado ou materialmente realizado que reproduz as principais características mais significativas de um determinado fenômeno.

Os principais requisitos para o modelo matemático são a adequação do fenômeno em consideração, ou seja, deve refletir suficientemente os traços característicos do fenômeno. Ao mesmo tempo, deve ter simplicidade comparativa e acessibilidade de pesquisa.

O modelo matemático reflete a dependência entre as condições de ocorrência do fenômeno em estudo e seus resultados em determinadas construções matemáticas. Na maioria das vezes, os seguintes conceitos matemáticos são usados ​​como tais construções: função, funcional, operador, equação numérica, equação diferencial ordinária, equação diferencial parcial.

Os modelos matemáticos podem ser classificados de acordo com diferentes critérios: estáticos e dinâmicos, concentrados e distribuídos; determinístico e probabilístico.

Considere o problema de encontrar as raízes da equação não linear

As raízes da equação (1) são aqueles valores de x que, ao substituir, o transformam em uma identidade. Somente para as equações mais simples é possível encontrar uma solução na forma de fórmulas, ou seja, forma analítica. Mais frequentemente, é necessário resolver equações por métodos aproximados, os mais difundidos entre os quais, em conexão com o advento dos computadores, são os métodos numéricos.

O algoritmo para encontrar raízes por métodos aproximados pode ser dividido em duas etapas. Na primeira, estuda-se a localização das raízes e realiza-se sua separação. Existe uma área na qual existe uma raiz da equação ou uma aproximação inicial da raiz x 0 . A maneira mais simples de resolver este problema é estudar o gráfico da função f(x) . No caso geral, para resolvê-lo, é necessário envolver todos os meios de análise matemática.

A existência no intervalo encontrado de pelo menos uma raiz da equação (1) segue da condição de Bolzano:

f(a)*f(b)<0 (2)

Também é assumido que a função f(x) é contínua no intervalo dado. No entanto, essa condição não responde à pergunta sobre o número de raízes da equação em um determinado intervalo. Se a exigência de continuidade da função é complementada com a exigência de sua monotonicidade, e isso decorre da constância de sinal da primeira derivada, então podemos afirmar a existência de uma única raiz em um dado segmento.

Ao localizar raízes, também é importante conhecer as propriedades básicas desse tipo de equação. Por exemplo, lembre-se de algumas propriedades das equações algébricas:

onde são coeficientes reais.

• a) Uma equação de grau n tem n raízes, entre as quais podem existir tanto reais como complexas. Raízes complexas formam pares conjugados complexos e, portanto, a equação tem um número par de tais raízes. Para um valor ímpar de n, existe pelo menos uma raiz real.
• b) O número de raízes reais positivas é menor ou igual ao número de sinais de variáveis ​​na sequência de coeficientes. Substituir x por -x na equação (3) permite estimar o número de raízes negativas da mesma maneira.

Na segunda etapa de resolução da equação (1), utilizando a aproximação inicial obtida, é construído um processo iterativo que permite refinar o valor da raiz com alguma precisão predeterminada. O processo iterativo consiste em sucessivos refinamentos da aproximação inicial. Cada uma dessas etapas é chamada de iteração. Como resultado do processo de iteração, é encontrada uma sequência de valores aproximados das raízes da equação. Se esta sequência se aproximar do valor verdadeiro da raiz x à medida que n cresce, então o processo iterativo converge. Diz-se que um processo iterativo converge para pelo menos ordem m se a seguinte condição for satisfeita:

onde С>0 é alguma constante. Se m=1 , então se fala de convergência de primeira ordem; m=2 - cerca de quadrática, m=3 - cerca de convergência cúbica.

Os ciclos iterativos terminam se, para um determinado erro permitido, os critérios para desvios absolutos ou relativos forem atendidos:

ou a pequenez do resíduo:

Este trabalho é dedicado ao estudo de um algoritmo para resolução de equações não lineares usando o método de Newton.

Existem muitos métodos diferentes para resolver equações não lineares, alguns deles são apresentados abaixo:

• 1)Método de iteração. Ao resolver uma equação não linear por iteração, usamos a equação na forma x=f(x). O valor inicial do argumento x 0 e a precisão e são definidos. A primeira aproximação da solução x 1 é encontrada a partir da expressão x 1 \u003d f (x 0), a segunda - x 2 \u003d f (x 1) , etc No caso geral, a aproximação i+1 é encontrada pela fórmula xi+1 =f(xi). Repetimos este procedimento até |f(xi)|>e. A condição para a convergência do método de iteração |f"(x)|
• 2)O método de Newton. Ao resolver uma equação não linear pelo método de Newton, o valor inicial do argumento x 0 e a precisão e são definidos. Então, no ponto (x 0, F (x 0)) desenhamos uma tangente ao gráfico F (x ) e determine o ponto de interseção da tangente com o eixo de abcissas x 1. No ponto (x 1, F (x 1)) construímos novamente uma tangente, encontramos a próxima aproximação da solução desejada x 2, etc. Repetimos este procedimento até |F(xi)| > e. Para determinar o ponto de interseção (i + 1) da tangente com o eixo das abcissas, usamos a seguinte fórmula

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).

Condição de convergência para o método tangente F(x 0) F""(x)>0, etc.

3). método de dicotomia. A técnica de solução é reduzida à divisão gradual do intervalo de incerteza inicial pela metade de acordo com a fórmula

C para \u003d a para + em para / 2.

Para escolher o necessário entre os dois segmentos resultantes, é necessário encontrar o valor da função nas extremidades dos segmentos resultantes e considerar aquele em que a função mudará de sinal, ou seja, a condição f ( a k) * f (em k)<0.

O processo de divisão do segmento é realizado até que o comprimento do intervalo de incerteza atual seja menor que a precisão especificada, ou seja, em k - a k< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). método de acordes. A ideia do método é que se construa uma corda no segmento que contrai as extremidades do arco do gráfico da função y=f(x), e o ponto c, a interseção da corda com o eixo das abcissas , é considerado um valor aproximado da raiz

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

A próxima aproximação é procurada no intervalo ou dependendo dos sinais dos valores da função nos pontos a,b,c

x* O se f(c) H f(a) > 0 ;

x* O se f(c) x f(b)< 0 .

Se f "(x) não mudar de sinal para , denotando c \u003d x 1 e considerando a ou b como a aproximação inicial, obtemos as fórmulas iterativas do método do acorde com um ponto fixo à direita ou à esquerda.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), com f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), com f "(x) H f "(x)< 0 .

A convergência do método da corda é linear

Equações algébricas e transcendentais. Métodos de localização de raiz.

A forma mais geral da equação não linear:

f(x)=0 (2.1)

onde está a função f(x)é definido e contínuo em um intervalo finito ou infinito [a, b].

Definição 2.1. Qualquer número que inverte uma função f(x) para zero é chamado de raiz da equação (2.1).

Definição 2.2. Um número é chamado de raiz da k-ésima multiplicidade, se junto com a função f(x) suas derivadas até (k-1)-ésima ordem inclusive são iguais a zero:

Definição 2.3. Uma única raiz é chamada de raiz simples.

Equações não lineares com uma variável são subdivididas em algébricas e transcendentais.

Definição 2.4 . A equação (2.1) é chamada algébrica se a função F(x) for algébrica.

Por transformações algébricas, de qualquer equação algébrica, pode-se obter uma equação na forma canônica:

onde são os coeficientes reais da equação, x é a incógnita.

Sabe-se da álgebra que toda equação algébrica tem pelo menos uma raiz conjugada real ou duas complexas.

Definição 2.5. A equação (2.1) é chamada transcendental se a função F(x) não for algébrica.

Resolver a equação (2.1) significa:

• 1. Determine se a equação tem raízes.
• 2. Determine o número de raízes da equação.
• 3. Encontre os valores das raízes da equação com uma determinada precisão.

As equações encontradas na prática muitas vezes não podem ser resolvidas por métodos analíticos. Métodos numéricos são usados ​​para resolver tais equações.

O algoritmo para encontrar a raiz de uma equação usando um método numérico consiste em duas etapas:

• 1) departamento ou localização raiz, ou seja definindo um intervalo que contém uma raiz:
• 2) esclarecimento valores de raiz pelo método de aproximações sucessivas.

Métodos de localização de raiz. A base teórica do algoritmo de separação de raízes é o teorema de Cauchy sobre valores intermediários de uma função contínua.

Teorema 2.1. Se a função y \u003d f (x) for contínua no segmento [a, b] e f (a) \u003d A, f (b) \u003d B, então para qualquer ponto C situado entre A e B, existe um ponto que.

Consequência. Se a função y \u003d f (x) for contínua no segmento [a, b] e assumir valores de sinais diferentes em suas extremidades, nesse segmento haverá pelo menos uma raiz da equação f (x) \u003d 0.

Seja o domínio de definição e continuidade de uma função um segmento finito [a,b]. Divida o segmento em n partes: ,

Calculando sequencialmente os valores da função nos pontos, encontramos esses segmentos para os quais a condição é satisfeita:

Essa. , ou, . Esses segmentos contêm pelo menos uma raiz.

Teorema 2.2. Se a função y \u003d f (x) for contínua no segmento [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

Para separar as raízes, você também pode usar o gráfico da função no= f (X). As raízes da equação (2.1) são aqueles valores X, em que o gráfico da função y=f(x) cruza o eixo x. A construção de um gráfico de uma função, mesmo com baixa precisão, costuma dar uma ideia da localização das raízes da equação (2.1). Se traçar a função y \u003d f (x) causar dificuldade, a equação original (2.1) deve ser convertida para a forma c1(x)= c2(x) para que os gráficos das funções no= c1(x) e no= c2(x) eram bem simples. As abcissas dos pontos de interseção desses gráficos serão as raízes da equação (2.1).

Exemplo 1 Separe as raízes da equação x 2 -2cosx=0.

Solução. Vamos considerar duas maneiras de separar as raízes.

• a) Modo gráfico. Vamos reescrever a equação na forma x 2 =2cosx e construir um gráfico das funções y=x 2 ey=2cosx no mesmo sistema de coordenadas (Figura 5). como esses gráficos se cruzam em dois pontos, a equação tem duas raízes localizadas simetricamente em torno da origem nos intervalos (-/2; 0) e (0; /2).
• b) Método analítico. Deixar f(x)= x 2 -2cosx. Porque f(x)é uma função par, basta considerar apenas valores não negativos de x. Devido à desigualdade 2cosx2

Derivado f"(x)=2(x+senx). No intervalo (0; /2) f"(x)>0, portanto, f(x) aqui aumenta monotonicamente e seu gráfico pode cruzar o eixo X não mais que um ponto. notar que f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. Isso significa que a equação tem uma raiz positiva no intervalo (0; /2). Como a função é par, a equação também tem uma raiz negativa, simétrica à positiva. Agora vamos passar para o refinamento da raiz. Para aplicar o método de refinamento de raiz combinado, você precisa ter certeza de que f ""(x) on (0; /2) preserva o sinal e escolhe a aproximação inicial da raiz para aplicar o método da tangente. Deve satisfazer a condição: f(x)f ""(x)>0. Porque f ""(x)=2(1+cosx) é positivo em , então /2 pode ser tomado como a aproximação inicial da raiz no método tangente. Portanto, pode-se colocar x=/21,570796, x 1 =0 (ver diagrama do algoritmo). No nosso caso, o método do acorde fornecerá um valor aproximado da raiz com desvantagem e o método da tangente - com excesso.

Considere uma etapa iterativa de refinamento de raiz. Calcule os valores f(0), f(/2), f"(/2). Novos valores x 1 e x encontre, respectivamente, pelas fórmulas:

|x-x 1 |=0,387680,4>10 -4 =.

A precisão especificada não é alcançada e os cálculos devem ser continuados.

Número de iteração	x 1		f(x 1 )			|x-x 1 |

Portanto, o valor aproximado da raiz com a precisão necessária foi encontrado como resultado de três iterações e é aproximadamente igual a 1,0217.

Devido à simetria do gráfico da função f(x) o valor da segunda raiz é aproximadamente igual a -1,0217.

Clarificação da raiz.

Formulação do problema . Vamos supor que a raiz desejada da equação (2.1) seja separada, ou seja, segmento [a; b], que tem uma e apenas uma raiz da equação. Qualquer ponto deste segmento pode ser tomado como um valor aproximado da raiz. O erro desta aproximação não excede o comprimento [uma; b]. Conseqüentemente, o problema de encontrar um valor aproximado da raiz com uma dada precisão é reduzido a encontrar o segmento [a; b] (b - uma<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей refinamentos de raiz.

Descrição dos métodos numéricos. Os métodos numéricos possibilitam encontrar soluções para determinados problemas, sabendo de antemão que os resultados obtidos serão calculados com certo erro, portanto, para muitos métodos numéricos, é necessário conhecer antecipadamente o “nível de precisão” que o resultado solução corresponderá.

A este respeito, o problema de encontrar as raízes de um polinômio da forma (3.1)

é de particular interesse, porque as fórmulas para encontrar as raízes até mesmo de uma equação cúbica são bastante complicadas. Se for necessário encontrar as raízes de um polinômio cujo grau é, por exemplo, 5, então não se pode prescindir da ajuda de métodos numéricos, especialmente porque a probabilidade de tal polinômio ter raízes naturais (ou inteiras ou exatas com um parte fracionária "curta") é bem pequena e não há fórmulas para encontrar as raízes de uma equação de grau maior que 4. De facto, todas as outras operações serão reduzidas a esclarecimento das raízes, cujos intervalos são aproximadamente conhecidos com antecedência. A maneira mais fácil de encontrar essas raízes "aproximadas" é usar métodos gráficos.

Para encontrar as raízes de um polinômio, existem vários métodos numéricos: o método da iteração, o método das cordas e tangentes, o método da meia divisão, o método da secante.

Método de bissecção(também conhecido como o "método de dividir um segmento ao meio") também é recursivo, ou seja, prevê a repetição, tendo em conta os resultados obtidos.

A essência do método de meia divisão é a seguinte:

• - a função F(x) é dada;
• - o erro admissível Q é determinado;
• - algum intervalo [ a , b ] é definido, que contém exatamente a solução da equação.

1) Calculamos o valor da coordenada E, tomando o meio do segmento, ou seja,

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

• 2) Calcule os valores de F(a), F(b), F(E), e faça a seguinte verificação: Se F(E)>Q, então a raiz é encontrada com a precisão especificada. Se F(E)
• 3) Vá para o ponto 1.

Método de iterações simples (método de aproximações sucessivas). Substituímos a equação (2.1) por uma equação equivalente

x=(x) (3.3)

pode ser feito de várias maneiras, por exemplo

x=x+cf(x), c0. (3.4)

Vamos supor que alguma aproximação inicial da raiz da equação (3.3) seja escolhida. Definimos uma sequência numérica pelas fórmulas

X n+1 =(x n ), n=0,1,2,… (3.5)

Tal sequência é chamada iterativa.

Se no segmento contendo x 0 e todas as aproximações subsequentes x n , nN, a função (x) tem uma derivada contínua "(x) e |"(x)|q<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

Desta desigualdade, em particular, segue-se que a taxa de convergência do método de iteração simples depende do valor de q: quanto menor q, mais rápida é a convergência.

Portanto, na prática, ao encontrar as raízes pelo método de iteração simples, é desejável representar a equação (2.1) na forma (3.3) de tal forma que a derivada "(x) na vizinhança da raiz seja possivelmente menor em valor absoluto, para isso, às vezes é usado o parâmetro c da fórmula (3.4).

Método de Newton (método tangente). Se for conhecida uma aproximação inicial suficientemente boa para a qual vale a seguinte desigualdade:

então você pode calcular a única raiz da equação usando a fórmula de Newton

Como uma aproximação inicial, você pode usar os limites do intervalo e:

Se ligado.

A cada iteração desse método, a quantidade de cálculos é maior do que nos métodos de bisseções e iterações, pois é necessário encontrar não apenas o valor da função, mas também sua derivada. No entanto, a taxa de convergência do método de Newton é muito maior.

Teorema. Let Ser a raiz da equação, ou seja. , e é contínua. Então existe uma vizinhança da raiz tal que se a aproximação inicial pertence a esta vizinhança, então para o método de Newton a sequência de valores converge para at. O erro da ª aproximação da raiz pode ser estimado pela fórmula:

onde é o maior valor do módulo da segunda derivada no segmento, é o menor valor do módulo da primeira derivada no segmento.

Regra de parada:

Método das cordas e tangentes (combinadas). Este método baseia-se na construção de um gráfico esquemático de uma função, determinando os intervalos de sua interseção com o eixo das abcissas, e então “comprimindo” este intervalo usando cordas construídas e tangentes ao gráfico desta função.

Deve-se notar que também existem separadamente o método das cordas (dá o valor da raiz com deficiência) e o método das tangentes (com excesso). No entanto, a vantagem do método combinado reside na “compressão bilateral” do segmento considerado.

Considere o seguinte caso:

• - a função F(x) é dada e seu gráfico é construído;
• - o erro admissível Q é determinado
• - com base no gráfico, é definido um segmento no qual o gráfico da função intercepta o eixo das abcissas, portanto, neste segmento há uma raiz do polinômio em consideração (denotamos por A)

O algoritmo adicional é reduzido às seguintes ações:

• 1) construímos uma tangente ao gráfico da função no ponto F(b)
• 2) calculamos a coordenada x da interseção da tangente com o eixo das abcissas de acordo com a fórmula (3.9) e a denotamos por b "
• 3) construímos uma corda para o gráfico da função que passa pelos pontos F(a) e F(b).
• 4) Calculamos o ponto de intersecção da corda com o eixo das abcissas de acordo com a fórmula (2) e o denotamos por a".

Assim, obtemos um novo segmento , que (de acordo com as definições de corda e tangente) ainda contém a solução da equação A.

Agora tomamos o segmento como um novo segmento e repetimos os passos 1-4 até que a diferença F(b)-F(a) se torne menor que o erro inicialmente embutido Q. Também notamos que depois disso é recomendado tirar a média aritmética F como a solução desejada (a) e F(b).

Assim, se a corda (tangente) dá o valor da raiz com excesso, então esta raiz é tomada como o novo limite direito, e se com deficiência, então o esquerdo. Em ambos os casos, a raiz exata situa-se entre os pontos de intersecção da corda e a tangente com o eixo das abcissas.

Observações sobre o método das cordas e tangentes. Como a solução do problema requer encontrar a derivada da função F(x), o método das cordas e tangentes é bastante difícil de implementar no nível do programa, porque as regras de cálculo de derivativos de uma forma geral são bastante complicadas para a "compreensão" de um computador; ao especificar diretamente a derivada para cada grau do polinômio, a memória do computador é seriamente carregada, o que diminui muito o trabalho e a configuração da função e, consequentemente, sua derivada diretamente no código do programa é inaceitável. No entanto, usando este método, a convergência do intervalo para a raiz ocorre mais rapidamente, principalmente se o método das cordas e tangentes for combinado com o método da bissecção, pois o meio do novo segmento geralmente oferece uma solução completamente satisfatória.

O método secante. O método secante pode ser obtido a partir do método de Newton substituindo a derivada por uma expressão aproximada - a fórmula da diferença:

A fórmula (3.8) usa as duas aproximações anteriores u. Portanto, para um dado valor inicial, é necessário calcular a próxima aproximação, por exemplo, pelo método de Newton com uma substituição aproximada da derivada pela fórmula

Algoritmo do método secante:

1) o valor inicial e o erro são dados. Calcular

2) para n= 1,2, ….. enquanto a condição é satisfeita, calculamos pela fórmula (3.8).

Formulação do problema

Separação de raiz

Refinamento de raiz

1.2.3.2. Método de iteração

1.2.3.4. método de acordes

Formulação do problema

Equações algébricas

( 1.2.1-1)

equação transcendental

(1.2.1-2)

Refinamento iterativo de raízes.

Na fase de separação das raízes, o problema de encontrar os segmentos mais estreitos possíveis, que contém uma e apenas uma raiz da equação, é resolvido.

A etapa de refinamento da raiz visa calcular um valor aproximado da raiz com uma determinada precisão. Neste caso, são utilizados métodos iterativos para calcular aproximações sucessivas à raiz: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., em que cada aproximação subsequente x n+1 é calculada com base no x n anterior. Cada etapa é chamada de iteração. Se a sequência x 0 , x 1 , ..., x n , … como n ® ¥ tem um limite igual ao valor da raiz , diz-se que o processo iterativo converge.

Existem várias maneiras de separar e refinar as raízes, que discutiremos a seguir.

Separação de raiz

A raiz da equação f(x)=0 é considerada separada (localizada) no segmento se esta equação não possuir outras raízes neste segmento. Para separar as raízes da equação, é necessário dividir o intervalo de valores admissíveis da função f(x) em segmentos bastante estreitos, cada um dos quais contém apenas uma raiz. Existir gráfico e analítico métodos de separação de raízes.

Refinamento de raiz

A tarefa de refinar a raiz da equação com precisão separada pelo segmento é encontrar tal valor aproximado da raiz para o qual a desigualdade . Se a equação não tem uma, mas várias raízes, então o estágio de refinamento é realizado para cada raiz separada.

Método de meia divisão

Seja a raiz da equação f(x)=0 separada no segmento , ou seja, há uma única raiz neste segmento, e a função neste segmento é contínua.

O método da bissecção permite obter uma sequência de segmentos aninhados , , …,,…, tal que f(a i).f(b i)< 0 , onde i=1,2,…,n, e o comprimento de cada segmento subsequente é metade do comprimento do anterior:

O estreitamento sequencial do segmento em torno do valor desconhecido da raiz garante a execução em alguma etapa n desigualdades |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

Pode ser tomado como um valor aproximado da raiz, por exemplo, seu ponto médio

No método da bissecção, de iteração para iteração, o comprimento do segmento inicial é consistentemente reduzido pela metade (Fig. 1.2.3-1). Portanto, no enésimo passo, a seguinte estimativa do erro do resultado é válida:

( 1.2.3-1)

onde é o valor exato da raiz, x n í é o valor aproximado da raiz no enésimo passo.

Comparando a estimativa de erro resultante com a precisão fornecida, podemos estimar o número necessário de etapas:

(1.2.3-2)

Pode-se ver pela fórmula que a diminuição do valor e(aumento da precisão) leva a um aumento significativo na quantidade de cálculos, portanto, na prática, o método da meia divisão é usado para uma descoberta relativamente aproximada da raiz, e seu refinamento é realizado usando outros métodos mais eficientes .

Arroz. 1.2.3-2. Esquema do algoritmo do método de bissecção

O esquema do algoritmo de bissecção é mostrado na fig. 1.2.3-2. O algoritmo acima assume que o lado esquerdo da equação f(x) é projetado como um módulo de software.

Exemplo 1.2.3-1. Especifique a raiz da equação x 3 +x-1=0 com uma precisão de =0,1, localizada no segmento .

Os resultados são convenientemente apresentados usando a Tabela 1.2.3-3.

Tabela 1.2.3-3

k	uma	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	a k	bk
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

Após a quarta iteração, o comprimento do segmento |b 4 -a 4 | = |0,688-0,625| = 0,063 tornou-se menor que o valor e, portanto, para o valor aproximado da raiz, você pode obter o valor do meio deste segmento: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0,656 .

O valor da função f(x) no ponto x = 0,656 é f(0,656) = -0,062 .

Método de iteração

O método de iteração envolve a substituição da equação f(x)=0 por uma equação equivalente x=j(x). Se a raiz da equação é separada no segmento , então com base na aproximação inicial x 0 н, você pode obter uma sequência de aproximações para a raiz

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)

onde a função j(x) é chamada de função iterativa.

A condição de convergência para o método de iteração simples é determinada pelo seguinte teorema.

Deixe a raiz X* equações x=j(x) separados em um segmentoe construiu uma sequência de aproximações de acordo com a regra x n \u003d j (x n -1) . Então, se todos os membros da sequência x n = j(x n -1) í e existe tal q(0 isso para todos x О realizado|j'(x)| = q<1, então esta sequência é convergente e o limite da sequência é o valor da raiz x* , ou seja o processo de iteração converge para a raiz da equação independentemente da aproximação inicial.

Assim, se a condição de convergência do método de iteração for satisfeita, então a sequência x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,…, obtida pela fórmula x n +1 = j(x n ), converge para o valor exato da raiz:

A condição j(x)н para xн significa que todas as aproximações x 1 , x 2 , …, x n ,…, obtidas pela fórmula iterativa, devem pertencer ao segmento onde a raiz é separada.

Para estimar o erro do método de iteração, a condição

por número q pode assumir o maior valor |j"(x)| , e o processo de iterações deve ser continuado até que a desigualdade

(1.2.3-5)

Na prática, uma fórmula simplificada de estimativa de erro é frequentemente usada. Por exemplo, se 0

|x n -1 - x n | £.

Usando a fórmula iterativa x n +1 = j(x n) permite obter o valor da raiz da equação f(x)=0 com qualquer grau de precisão .

Ilustração geométrica do método de iteração. No plano X0Y, traçamos os gráficos das funções y=x e y=j(x ). A raiz da equação x=j(x) é a abcissa do ponto de interseção dos gráficos da função y = j(x ) e y direto = x. Vamos fazer uma aproximação inicial x 0 н . Na curva y \u003d j (x) corresponde ao ponto A 0 \u003d j (x 0). Para encontrar a próxima aproximação, desenhe uma linha reta horizontal através do ponto A 0 até a interseção com a linha reta y \u003d x (ponto B 1) e abaixe a perpendicular à interseção com a curva (ponto A 1), ou seja, x 1 \u003d j (x 0) . Continuando a construção de maneira semelhante, temos uma linha quebrada A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ..., para a qual as abcissas comuns dos pontos representam uma aproximação sucessiva x 1, x 2, . .., x n ("escada") até a raiz X*. Da fig. 1.2.3-3a pode-se ver que o processo converge para a raiz da equação.

Considere agora outra forma da curva y = j(x) (Fig. 1.2.6b). Neste caso, a linha tracejada A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... tem a forma de uma “espiral”. No entanto, neste caso, a convergência também é observada.

É fácil ver que no primeiro caso a derivada satisfaz a condição 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-1. Assim, é óbvio que se |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

Agora considere os casos em que |j'(x) |> 1. Na fig. 1.2.3-4a mostra o caso em que j'(x)>1, e na fig. 1.2.3-4b - quando j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

Maneiras de melhorar a convergência do processo de iteração. Considere duas opções para representar a função j(x) na transição da equação f(x) para x=j(x).

1. Seja a função j(x) diferenciável e monótona nas vizinhanças da raiz, e seja um número k £ |j'(x)|, onde k ³ 1 (ou seja, o processo diverge). Vamos substituir a equação x=j(x) por sua equação equivalente x=Y(x ) , Onde Y(x) = 1/j(x)(vamos passar para a função inversa). Então

o que significa q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. Representamos a função j(x) como j(x) = x - lf(x), onde l é o coeficiente , não igual

zero. Para que o processo convirja, é necessário que
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), onde m 1 e M 1 são os valores mínimo e máximo de f'(x) (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) para хн, ou seja. 0£ m 1 £ f¢(x) £ M 1 £1. Então

e o processo irá convergir, a fórmula recursiva tem a forma

Se f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

O parâmetro λ também pode ser determinado pela regra:

Se , então , e se , então , onde .

O esquema do algoritmo do método de iteração é mostrado na fig. 1.2.3-5.

A equação original f(x)=0 foi transformada em uma forma conveniente para iterações: O lado esquerdo da equação original f(x) e a função de iteração fi(x) no algoritmo são projetados como módulos de software separados.

Arroz. 1.2.3-5. Diagrama de algoritmo do método de iteração

Exemplo 1.2.3-2. Refine a raiz da equação 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 com uma precisão de 0,1, que está localizada no segmento .

Trazemos a equação para uma forma conveniente para iterações:

Portanto, para o valor aproximado da raiz da equação, tomamos o valor x 3 = 3,6892, que fornece a precisão necessária dos cálculos. Neste ponto f(x 3)=0,0027.

método de acordes

Interpretação geométrica do método de acordesé o seguinte
(Fig.1.2.3-8).

Vamos desenhar um segmento de reta passando pelos pontos A e B. A próxima aproximação x 1 é a abcissa do ponto de interseção da corda com o eixo 0x. Vamos construir a equação de um segmento de reta:

Vamos colocar y = 0 e encontrar o valor x = x 1 (outra aproximação):

Repetimos o processo de cálculo para obter a próxima aproximação da raiz - x 2 :

No nosso caso (Fig. 1.2.11) e a fórmula de cálculo do método do acorde será semelhante

Esta fórmula é válida quando o ponto b é tomado como um ponto fixo e o ponto a atua como uma aproximação inicial.

Considere outro caso (Fig. 1.2.3-9), quando .

A equação da reta para este caso tem a forma

A próxima aproximação x 1 em y = 0

Então a fórmula recursiva para o método dos acordes para este caso tem a forma

Deve-se notar que para o ponto fixo no método das cordas, escolhe-se o final do segmento para o qual a condição f (x) ∙ f¢¢ (x)>0 é satisfeita.

Assim, se o ponto a é tomado como um ponto fixo , então x 0 = b atua como uma aproximação inicial e vice-versa.

As condições suficientes que garantem o cálculo da raiz da equação f(x)=0 usando a fórmula das cordas serão as mesmas do método da tangente (método de Newton), mas ao invés da aproximação inicial, escolhe-se um ponto fixo. O método do acorde é uma modificação do método de Newton. A diferença é que a próxima aproximação no método de Newton é o ponto de intersecção da tangente com o eixo 0X, e no método das cordas - o ponto de intersecção da corda com o eixo 0X - as aproximações convergem para a raiz de lados diferentes.

A estimativa do erro do método da corda é determinada pela expressão

(1.2.3-15)

Condição de término do processo de iteração pelo método dos acordes

(1.2.3-16)

Se M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ e.

Exemplo 1.2.3-4. Especifique a raiz da equação e x - 3x = 0, separada em um segmento com precisão de 10 -4 .

Vamos verificar a condição de convergência:

Portanto, a=0 deve ser escolhido como ponto fixo e x 0 \u003d 1 deve ser tomado como a aproximação inicial, pois f (0) \u003d 1> 0 e f (0) * f "(0)> 0 .

Resultados do cálculo obtidos usando a fórmula
1.2.3-14 são apresentados na Tabela 1.2.3-4.

Tabela 1.2.3-4

Arroz. 1.2.3-10. Esquema do algoritmo do método de acordes

A equação não linear é

1) equação algébrica ou transcendental

2) equação algébrica

3) equação trigonométrica

4) equação transcendental

Tópico 1.2. Métodos para resolver equações não lineares

Formulação do problema

Separação de raiz

1.2.2.1. Separação gráfica de raízes

1.2.2.2. Ramo Analítico de Raízes

Refinamento de raiz

1.2.3.1. Método de meia divisão

1.2.3.2. Método de iteração

1.2.3.3. Método de Newton (método tangente)

1.2.3.4. método de acordes

1.2.3.5. Comparação de métodos para resolver equações não lineares

1.2.4. Tarefas de teste no tópico "Métodos para resolver equações não lineares"

Formulação do problema

Um dos problemas mais importantes e mais comuns da análise matemática é o problema de determinar as raízes de uma equação com uma incógnita, que pode ser representada na forma geral como f(x) = 0. Dependendo da forma da função f( x), equações algébricas e transcendentais são distinguidas. Equações algébricas são chamadas de equações em que o valor da função f(x) é um polinômio de enésimo grau:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1)

Qualquer equação não algébrica é chamada equação transcendental. A função f(x) em tais equações é pelo menos uma das seguintes funções: exponencial, logarítmica, trigonométrica ou trigonométrica inversa.

A solução da equação f (x) \u003d 0 é o conjunto de raízes, ou seja, esses valores da variável independente para a qual a equação se transforma em uma identidade. No entanto, os valores exatos das raízes só podem ser encontrados analiticamente para alguns tipos de equações. Em particular, as fórmulas que expressam a solução de uma equação algébrica só podem ser obtidas para equações não superiores ao quarto grau. Há ainda menos oportunidades para obter uma solução exata de equações transcendentais. Deve-se notar que o problema de encontrar os valores exatos das raízes nem sempre é correto. Portanto, se os coeficientes da equação são números aproximados, a precisão dos valores calculados das raízes certamente não pode exceder a precisão dos dados originais. Essas circunstâncias nos obrigam a considerar a possibilidade de encontrar as raízes da equação com precisão limitada (raízes aproximadas).

O problema de encontrar a raiz de uma equação com uma dada precisão (>0) é considerado resolvido se for calculado um valor aproximado, que difere do valor exato da raiz por não mais que o valor e

(1.2.1-2)

O processo de encontrar a raiz aproximada da equação consiste em duas etapas:

1) separação de raízes (localização de raízes);

Equações que contêm funções desconhecidas elevadas a uma potência maior que um são chamadas não lineares.
Por exemplo, y=ax+b é uma equação linear, x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 é não linear (geralmente escrito como F(x)=0).

Um sistema de equações não lineares é a solução simultânea de várias equações não lineares com uma ou mais variáveis.

Existem muitos métodos resolvendo equações não lineares e sistemas de equações não lineares, que normalmente são classificados em 3 grupos: numéricos, gráficos e analíticos. Os métodos analíticos permitem determinar os valores exatos da solução das equações. Os métodos gráficos são os menos precisos, mas permitem em equações complexas determinar os valores mais aproximados, a partir dos quais no futuro você pode começar a encontrar soluções mais precisas para as equações. A solução numérica de equações não lineares envolve passar por duas etapas: a separação da raiz e seu refinamento para uma certa precisão especificada.
A separação das raízes é realizada de várias maneiras: graficamente, usando vários programas de computador especializados, etc.

Vamos considerar vários métodos para refinar raízes com uma precisão específica.

Métodos para a solução numérica de equações não lineares

método de meia divisão.

A essência do método de meia divisão é dividir o intervalo pela metade (с=(a+b)/2) e descartar a parte do intervalo em que não há raiz, ou seja, condição F(a)xF(b)

Figura 1. Usando o método da meia divisão na resolução de equações não lineares.

Considere um exemplo.

Vamos dividir o segmento em 2 partes: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0.5.
Se o produto F(a)*F(x)>0, então o início do segmento a é transferido para x (a=x), caso contrário, o final do segmento b é transferido para o ponto x (b=x ). Dividimos o segmento resultante pela metade novamente, etc. Todos os cálculos são mostrados na tabela abaixo.

Figura 2. Tabela de resultados de cálculo

Como resultado dos cálculos, obtemos o valor, levando em consideração a precisão necessária, igual a x=-0,946

método de acordes.

Ao usar o método de acorde, é especificado um segmento, no qual há apenas uma raiz com a precisão especificada e. Uma linha (corda) é traçada pelos pontos do segmento a e b, que possuem coordenadas (x(F(a); y(F(b)))). Em seguida, os pontos de intersecção desta linha com o eixo de abcissas (ponto z) são determinados.
Se F(a)xF(z)

Fig.3. Utilização do método das cordas na resolução de equações não lineares.

Considere um exemplo.É necessário resolver a equação x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 dentro de e

Em geral, a equação se parece com: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Encontre os valores de F(x) nas extremidades do segmento:

F(-1) = - 0,2>0;

Vamos definir a segunda derivada F''(x) = 6x-0,4.

F''(-1)=-6,4
F''(0)=-0,4

Nas extremidades do segmento, observa-se a condição F(-1)F''(-1)>0, portanto, para determinar a raiz da equação, usamos a fórmula:

Todos os cálculos são mostrados na tabela abaixo.

Fig.4. Tabela de resultados de cálculo

Como resultado dos cálculos, obtemos o valor, levando em consideração a precisão necessária, igual a x=-0,946

Método Tangente (Newton)

Este método baseia-se na construção de tangentes ao gráfico, que são desenhadas em uma das extremidades do intervalo. No ponto de interseção com o eixo X (z1), uma nova tangente é construída. Este procedimento continua até que o valor obtido seja comparável com o parâmetro de precisão desejado e (F(zi)

Fig.5. Utilização do método das tangentes (Newton) na resolução de equações não lineares.

Considere um exemplo.É necessário resolver a equação x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 dentro de e

Em geral, a equação se parece com: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Vamos definir a primeira e a segunda derivada: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0,4=-6,4
F''(0)=-0,4
A condição F(-1)F''(-1)>0 é cumprida, então os cálculos são feitos de acordo com a fórmula:

Onde x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2

Todos os cálculos são mostrados na tabela abaixo.

Fig.6. Tabela de resultados de cálculo

Como resultado dos cálculos, obtemos o valor, levando em consideração a precisão necessária, igual a x=-0,946

Considere o problema de encontrar as raízes da equação não linear

As raízes da equação (1) são aqueles valores de x que, ao substituir, o transformam em uma identidade. Somente para as equações mais simples é possível encontrar uma solução na forma de fórmulas, ou seja, forma analítica. Mais frequentemente, é necessário resolver equações por métodos aproximados, os mais difundidos entre os quais, em conexão com o advento dos computadores, são os métodos numéricos.

O algoritmo para encontrar raízes por métodos aproximados pode ser dividido em duas etapas. Na primeira, estuda-se a localização das raízes e realiza-se sua separação. Existe uma área na qual existe uma raiz da equação ou uma aproximação inicial da raiz x 0 . A maneira mais simples de resolver este problema é estudar o gráfico da função f(x) . No caso geral, para resolvê-lo, é necessário envolver todos os meios de análise matemática.

A existência no intervalo encontrado de pelo menos uma raiz da equação (1) segue da condição de Bolzano:

f(a)*f(b)<0 (2)

Também é assumido que a função f(x) é contínua no intervalo dado. No entanto, essa condição não responde à pergunta sobre o número de raízes da equação em um determinado intervalo. Se a exigência de continuidade da função é complementada com a exigência de sua monotonicidade, e isso decorre da constância de sinal da primeira derivada, então podemos afirmar a existência de uma única raiz em um dado segmento.

Ao localizar raízes, também é importante conhecer as propriedades básicas desse tipo de equação. Por exemplo, lembre-se de algumas propriedades das equações algébricas:

onde são coeficientes reais.

• a) Uma equação de grau n tem n raízes, entre as quais podem existir tanto reais como complexas. Raízes complexas formam pares conjugados complexos e, portanto, a equação tem um número par de tais raízes. Para um valor ímpar de n, existe pelo menos uma raiz real.
• b) O número de raízes reais positivas é menor ou igual ao número de sinais de variáveis ​​na sequência de coeficientes. Substituir x por -x na equação (3) permite estimar o número de raízes negativas da mesma maneira. iteração dicotomia newton não linear

Na segunda etapa de resolução da equação (1), utilizando a aproximação inicial obtida, é construído um processo iterativo que permite refinar o valor da raiz com alguma precisão predeterminada. O processo iterativo consiste em sucessivos refinamentos da aproximação inicial. Cada uma dessas etapas é chamada de iteração. Como resultado do processo de iteração, é encontrada uma sequência de valores aproximados das raízes da equação. Se esta sequência se aproximar do valor verdadeiro da raiz x à medida que n cresce, então o processo iterativo converge. Diz-se que um processo iterativo converge para pelo menos ordem m se a seguinte condição for satisfeita:

onde С>0 é alguma constante. Se m=1 , então se fala de convergência de primeira ordem; m=2 - cerca de quadrática, m=3 - cerca de convergência cúbica.

Os ciclos iterativos terminam se, para um determinado erro permitido, os critérios para desvios absolutos ou relativos forem atendidos:

ou a pequenez do resíduo:

Este trabalho é dedicado ao estudo de um algoritmo para resolução de equações não lineares usando o método de Newton.

Departamento: ASOIiU

Trabalho de laboratório

Sobre o tema: ENCONTRANDO A RAIZ DE UMA EQUAÇÃO NÃO LINEAR. MÉTODOS PARA RESOLVER UM SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

Moscou, 2008

ENCONTRANDO A RAIZ DE UMA EQUAÇÃO NÃO LINEAR

1. Declaração do problema

Seja dada uma função que é contínua junto com suas diversas derivadas. É necessário encontrar todas ou algumas raízes reais da equação

Esta tarefa é dividida em várias subtarefas. Primeiro, é necessário determinar o número de raízes, para investigar sua natureza e localização. Segundo, encontre os valores aproximados das raízes. Em terceiro lugar, escolha as raízes de seu interesse e calcule-as com a precisão necessária e. A primeira e a segunda tarefas são resolvidas, via de regra, por métodos analíticos ou gráficos. No caso em que apenas as raízes reais da equação (1) são procuradas, é útil compilar uma tabela de valores de função. Se a função tem sinais diferentes em dois nós vizinhos da tabela, então entre esses nós existe um número ímpar de raízes da equação (pelo menos uma). Se esses nós estiverem próximos, provavelmente haverá apenas uma raiz entre eles.

Os valores aproximados encontrados das raízes podem ser refinados usando vários métodos iterativos. Vamos considerar três métodos: 1) o método da dicotomia (ou divisão do segmento ao meio); 2) método de iteração simples e 3) método de Newton.

2. Métodos para resolver o problema

2.1 Método de dividir um segmento ao meio

O método mais simples para encontrar a raiz da equação não linear (1) é o método de meia divisão.

Seja uma função contínua no segmento. Se os valores da função nas extremidades do segmento tiverem sinais diferentes, ou seja, então isso significa que dentro do segmento dado existe um número ímpar de raízes. Deixe, por definição, ter apenas uma raiz. A essência do método é reduzir pela metade o comprimento do segmento em cada iteração. Encontramos o meio do segmento (veja a Fig. 1) Calcule o valor da função e selecione o segmento no qual a função muda de sinal. Divida o novo segmento ao meio novamente. E continuamos esse processo até que o comprimento do segmento seja igual ao erro predeterminado no cálculo da raiz e. A construção de várias aproximações sucessivas de acordo com a fórmula (3) é mostrada na Figura 1.

Então, o algoritmo do método de dicotomia:

1. Defina a distância e o erro e.

2. Se f(a) ef(b) tiverem os mesmos sinais, emita uma mensagem sobre a impossibilidade de encontrar a raiz e parar.

Figura 1. O método de dividir um segmento ao meio para resolver uma equação da forma f(x)=0.

3. Caso contrário, calcule c=(a+b)/2

4. Se f(a) ef(c) tiverem sinais diferentes, coloque b=c, caso contrário, a=c.

5. Se o comprimento do novo segmento for , calcule o valor da raiz c=(a+b)/2 e pare, caso contrário, vá para a etapa 3.

Como o comprimento do segmento é reduzido em 2 N vezes em N passos, o erro dado para encontrar a raiz e será alcançado em iterações.

Como pode ser visto, a taxa de convergência é baixa, mas as vantagens do método incluem simplicidade e convergência incondicional do processo iterativo. Se o segmento contiver mais de uma raiz (mas um número ímpar), uma sempre será encontrada.

Comente. Para determinar o intervalo em que se encontra a raiz, é necessária uma análise adicional da função, baseada em estimativas analíticas ou no uso de um método de solução gráfica. Também é possível organizar uma busca de valores de função em diferentes pontos até que a condição de mudança de sinal da função seja atendida

2.2 Método de iteração simples

Ao usar este método, a equação não linear original (1) deve ser reescrita na forma

Vamos denotar a raiz desta equação como C * . Seja conhecida a aproximação inicial da raiz. Substituindo este valor no lado direito da equação (2), obtemos uma nova aproximação

etc. Para o passo (n+1), obtemos a seguinte aproximação

(3)

Assim, de acordo com a fórmula (3), obtemos uma sequência С 0 , С 1 ,…,С n +1 , que tende à raiz С * em n®¥. O processo iterativo para se os resultados de duas iterações sucessivas forem próximos, ou seja, a condição

(4)

Vamos estudar a condição e a taxa de convergência da sequência numérica (C n ) para n®¥. Lembre-se da definição de taxa de convergência. Uma sequência (C n ) convergindo para o limite С * tem uma taxa de convergência de ordem a se, para n®¥, a condição

Vamos supor que tem uma derivada contínua, então o erro na (n+1)-ésima etapa da iteração e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) pode ser representado como uma série

e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

Assim, obtemos que sob a condição

çg¢(C*)ç<1(6)

a sequência (3) convergirá para a raiz com uma velocidade linear a=1. A condição (6) é uma condição para a convergência do método de iteração simples. Obviamente, o sucesso do método depende de quão bem a função é escolhida.

Por exemplo, para extrair a raiz quadrada, ou seja, resolver uma equação da forma x \u003d a 2, você pode colocar

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b)

É fácil mostrar que

½g 1"(C)½=1,

½g 2" (C)½<1.

Assim, o primeiro processo (7a) não converge de forma alguma, enquanto o segundo (7b) converge para qualquer aproximação inicial C 0 >0.

Arroz. 2. Interpretação gráfica do método de iterações simples para resolver uma equação da forma x=g(x).

Construção de várias aproximações sucessivas pela fórmula (3)

С 0 , С 1 , …, С n = C *

mostrado na Figura 2.

2.3 Método de Newton

Na literatura, esse método é frequentemente chamado de método tangente, assim como o método de linearização. Escolhemos a aproximação inicial С 0 . Vamos supor que o desvio С 0 do valor verdadeiro da raiz С * é pequeno, então, expandindo f(C *) em uma série de Taylor no ponto С 0 , obtemos

f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) +¼(8)

Se f¢(C 0) ¹ 0 , então em (8) podemos nos restringir a termos lineares em DC =C-C 0 . Considerando que f(C *)=0, de (9) podemos encontrar a seguinte aproximação para a raiz

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0)

ou para a (n+1)ª aproximação

C n+1 = C n – f (C n) / f ¢(C n) (9)

Para encerrar o processo iterativo, uma das duas condições pode ser usada

çC n +1 – C n ç

çf(C n +1) ç

O estudo da convergência do método de Newton é realizado de forma semelhante ao caso anterior. Obter independentemente que sob a condição

½f""(C)/2f"(C)½<1.

O método de Newton tem uma taxa de convergência quadrática ().

Arroz. 3. Interpretação gráfica do método de Newton para resolver uma equação da forma f(x)=0.

Construção de várias aproximações sucessivas pela fórmula (9)

С 0 , С 1 , …, С n = C *

mostrado na Figura 3.

1. Para uma dada função f(x)

Determine o número de raízes reais da equação f(x)=0, sua localização e valores aproximados (construa um gráfico ou imprima uma tabela de valores).

· Calcule uma das raízes encontradas (qualquer) com uma precisão de e=0,5*10 -3 .

Para cálculos, use o método de dividir o segmento pela metade (determine o número de iterações) e, em seguida, encontre a mesma raiz usando o método de Newton (também determinando o número de etapas de iteração).

Compare seus resultados.

Opções de tarefa

1.x3 –3x 2 +6x – 5 = 0 2.x3 +sinx –12x-1=0

3. x 3 –3x 2 –14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 +4sen x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 –3x 2 +x – 1 = 0 8. x 3 – 0,1x 2 +0,3x –0,6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0,5e x = 0

11.12,x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4x 2 -10x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 - 2,9 x 3 +0,1 x 2 + 5,8 x - 4,2=0

25,x4 +2,83x3 - 4,5x2 -64x-20=0 26.

MÉTODOS PARA RESOLVER UM SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

1. Formulação do problema

Seja necessário resolver um sistema de n equações não lineares:

(1)

Não há métodos diretos para resolver o sistema (1). Somente em alguns casos esse sistema pode ser resolvido diretamente. Por exemplo, para o caso de duas equações, às vezes é possível expressar uma variável desconhecida em termos de outra e, assim, reduzir o problema a resolver uma equação não linear em relação a uma incógnita.

O sistema de equações (1) pode ser escrito brevemente na forma vetorial:

. (2)

A equação (2) pode ter uma ou mais raízes no domínio D. É necessário estabelecer a existência das raízes da equação e encontrar os valores aproximados dessas raízes. Para encontrar as raízes, geralmente são utilizados métodos iterativos, nos quais a escolha da aproximação inicial é de fundamental importância. A aproximação inicial às vezes é conhecida a partir de considerações físicas. No caso de duas incógnitas, a aproximação inicial pode ser encontrada graficamente: plote as curvas f 1 (x 1 , x 2)=0 e f 2 (x 1 , x 2)=0 no plano (x 1 , x 2 ) e encontre seus pontos de interseção. Para três ou mais variáveis ​​(assim como para raízes complexas), não há maneiras satisfatórias de selecionar a aproximação inicial.

Vamos considerar dois métodos iterativos principais para resolver o sistema de equações (1), (2) - o método de iteração simples e o método de Newton.

2. Métodos para resolver um sistema de equações não lineares

2.1 Método de iteração simples

Vamos representar o sistema (1) na forma

(3)

ou em forma vetorial:

(4)

O algoritmo do método de iteração simples é o seguinte. Escolhemos alguma aproximação zero

A próxima aproximação é encontrada pelas fórmulas:

ou com mais detalhes:

(5)

O processo iterativo (5) continua até que as mudanças em todas as incógnitas em duas iterações sucessivas se tornem pequenas, ou seja,

Na prática, a desigualdade é frequentemente usada em vez da última condição:

(6)

onde é a norma rms de um vetor n-dimensional , ou seja

Ao usar esse método, o sucesso é amplamente determinado por uma boa escolha de aproximação inicial: ela deve estar próxima o suficiente da verdadeira solução. Caso contrário, o processo iterativo pode não convergir. Se o processo converge, então sua taxa de convergência é linear.

2.2. O método de Newton

Na literatura traduzida, você pode encontrar o nome método de Newton-Raphson. Este método converge muito mais rápido do que o método de iteração simples.

Seja conhecida alguma aproximação da raiz, de modo que

Então o sistema original (2) pode ser escrito da seguinte forma:

Expandindo a equação (7) em uma série de Taylor na vizinhança do ponto e nos restringindo a termos lineares em desvio, obtemos:

ou na forma coordenada:

(8)

O sistema (8) pode ser reescrito como:

(9)

O sistema resultante (9) é um sistema de equações algébricas lineares com respeito a incrementos

O valor das funções F 1 , F 2 , …, F n e suas derivadas em (9) são calculados em

.

O determinante do sistema (9) é o Jacobiano J:

(10)

Para a existência de uma solução única para o sistema de equações (9), ela deve ser diferente de zero. Tendo resolvido o sistema (9), por exemplo, pelo método de Gauss, encontramos uma nova aproximação:

.

Verificamos a condição (6). Caso não seja satisfeito, também encontramos o jacobiano (10) com uma nova aproximação e novamente resolvemos (9), assim, encontramos a 2ª aproximação, e assim sucessivamente.

As iterações param assim que a condição (6) é satisfeita.

Usando o método de Newton, encontre soluções para um sistema de equações não lineares com uma determinada precisão. Examine a convergência do processo iterativo.

Opções de tarefa

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.