Em matemática, a média aritmética dos números (ou simplesmente a média) é a soma de todos os números de um determinado conjunto dividido pelo seu número. Este é o conceito mais generalizado e difundido do valor médio. Como você já entendeu, para encontrar você precisa somar todos os números dados a você e dividir o resultado pelo número de termos.
Qual é a média aritmética?
Vejamos um exemplo.
Exemplo 1. Os números são dados: 6, 7, 11. Você precisa encontrar seu valor médio.
Solução.
Primeiro, vamos encontrar a soma de todos os números dados.
Agora dividimos a soma resultante pelo número de termos. Como temos três termos, respectivamente, vamos dividir por três.
Portanto, a média de 6, 7 e 11 é 8. Por que 8? Sim, porque a soma de 6, 7 e 11 será igual a três oitos. Isso é claramente visto na ilustração.
O valor médio lembra um pouco o "alinhamento" de uma série de números. Como você pode ver, as pilhas de lápis se tornaram um nível.
Considere outro exemplo para consolidar o conhecimento adquirido.
Exemplo 2 Os números são dados: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Você precisa encontrar sua média aritmética.
Solução.
Encontramos a soma.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Divida pelo número de termos (neste caso, 15).
Portanto, o valor médio desta série de números é 22.
Agora considere os números negativos. Vamos lembrar como resumi-los. Por exemplo, você tem dois números 1 e -4. Vamos encontrar a soma deles.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Sabendo disso, considere outro exemplo.
Exemplo 3 Encontre o valor médio de uma série de números: 3, -7, 5, 13, -2.
Solução.
Encontrar a soma dos números.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Como existem 5 termos, dividimos a soma resultante por 5.
Portanto, a média aritmética dos números 3, -7, 5, 13, -2 é 2,4.
Em nosso tempo de progresso tecnológico, é muito mais conveniente usar programas de computador para encontrar o valor médio. O Microsoft Office Excel é um deles. Encontrar a média no Excel é rápido e fácil. Além disso, este programa está incluído no pacote de software do Microsoft Office. Vamos considerar uma breve instrução, valor usando este programa.
Para calcular o valor médio de uma série de números, você deve usar a função MÉDIA. A sintaxe para esta função é:
=Média(argumento1, argumento2, ... argumento255)
onde argument1, argument2, ... argument255 são números ou referências de células (células significam intervalos e matrizes).
Para deixar mais claro, vamos testar o conhecimento adquirido.
- Digite os números 11, 12, 13, 14, 15, 16 nas células C1 - C6.
- Selecione a célula C7 clicando nela. Nesta célula, exibiremos o valor médio.
- Clique na guia "Fórmulas".
- Selecione Mais funções > Estatística para abrir
- Selecione MÉDIA. Depois disso, uma caixa de diálogo deve ser aberta.
- Selecione e arraste as células C1-C6 para definir o intervalo na caixa de diálogo.
- Confirme suas ações com o botão "OK".
- Se você fez tudo corretamente, na célula C7 você deve ter a resposta - 13.7. Ao clicar na célula C7, a função (=Average(C1:C6)) será exibida na barra de fórmulas.
É muito útil usar esta função para contabilidade, faturas ou quando você só precisa encontrar a média de um intervalo muito longo de números. Por isso, é frequentemente utilizado em escritórios e grandes empresas. Isso permite que você mantenha os registros em ordem e seja possível calcular rapidamente algo (por exemplo, a renda média por mês). Você também pode usar o Excel para encontrar a média de uma função.
Quando o número de elementos do conjunto de números de um processo aleatório estacionário tende ao infinito, a média aritmética tende à expectativa matemática de uma variável aleatória.
Introdução
Denote o conjunto de números X = (x 1 , x 2 , …, x n), então a média da amostra é geralmente denotada por uma barra horizontal sobre a variável (, pronunciado " x com um traço").
A letra grega μ é geralmente usada para denotar a média aritmética de toda a população de números. Para uma variável aleatória , para a qual o valor médio é definido, μ é probabilidade média ou a expectativa matemática de uma variável aleatória. Se o conjunto Xé uma coleção de números aleatórios com uma média de probabilidade μ, então para qualquer amostra x eu desta coleção μ = E( x eu) é a expectativa desta amostra.
Na prática, a diferença entre µ e x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) em que μ é uma variável típica, porque você pode ver a amostra em vez de toda a população. Portanto, se a amostra for apresentada aleatoriamente (em termos de teoria da probabilidade), então x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(mas não μ) pode ser tratada como uma variável aleatória tendo uma distribuição de probabilidade na amostra (distribuição de probabilidade da média).
Ambas as quantidades são calculadas da mesma maneira:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)Exemplos
- Para três números, você precisa somá-los e dividir por 3:
- Para quatro números, você precisa adicioná-los e dividir por 4:
Variável aleatória contínua
Se existe uma integral de alguma função f (x) (\displaystyle f(x)) uma variável, então a média aritmética desta função no segmento [ uma ; b] (\displaystyle)é definida por uma integral definida:
f(x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)Aqui está implícito que b > a. (\displaystyle b>a.)
Alguns problemas de usar a média
Falta de robustez
Embora a média aritmética seja frequentemente usada como média ou tendência central, esse conceito não se aplica a estatísticas robustas, o que significa que a média aritmética é fortemente influenciada por "grandes desvios". Vale ressaltar que para distribuições com grande assimetria, a média aritmética pode não corresponder ao conceito de “média”, e os valores da média de estatísticas robustas (por exemplo, a mediana) podem descrever melhor a tendência central.
O exemplo clássico é o cálculo da renda média. A média aritmética pode ser mal interpretada como a mediana, o que pode levar à conclusão de que há mais pessoas com mais renda do que realmente há. A renda "média" é interpretada de tal forma que a renda da maioria das pessoas se aproxima desse número. Essa renda "média" (no sentido da média aritmética) é maior que a renda da maioria das pessoas, pois uma renda alta com grande desvio da média torna a média aritmética fortemente enviesada (em contraste, a renda mediana "resiste" tal torção). No entanto, essa renda "média" não diz nada sobre o número de pessoas próximas à renda mediana (e nada diz sobre o número de pessoas próximas à renda modal). No entanto, se os conceitos de "média" e "maioria" forem tomados de ânimo leve, pode-se concluir incorretamente que a maioria das pessoas tem renda maior do que realmente é. Por exemplo, um relatório sobre o lucro líquido "médio" em Medina, Washington, calculado como a média aritmética de todos os rendimentos líquidos anuais dos residentes, dará um número surpreendentemente grande devido a Bill Gates. Considere a amostra (1, 2, 2, 2, 3, 9). A média aritmética é 3,17, mas cinco dos seis valores estão abaixo dessa média.
Juros compostos
Se os números multiplicar, mas não dobrar, você precisa usar a média geométrica, não a média aritmética. Na maioria das vezes, esse incidente acontece ao calcular o retorno do investimento em finanças.
Por exemplo, se as ações caíram 10% no primeiro ano e subiram 30% no segundo ano, então é incorreto calcular o aumento "médio" ao longo desses dois anos como a média aritmética (−10% + 30%) / 2 = 10%; a média correta neste caso é dada pela taxa de crescimento anual composta, da qual o crescimento anual é apenas cerca de 8,16653826392% ≈ 8,2%.
A razão para isso é que as porcentagens têm um novo ponto de partida a cada vez: 30% é 30% a partir de um número inferior ao preço no início do primeiro ano: se a ação começou em $ 30 e caiu 10%, vale $ 27 no início do segundo ano. Se a ação subir 30%, ela valerá $ 35,1 no final do segundo ano. A média aritmética desse crescimento é de 10%, mas como a ação cresceu apenas $ 5,1 em 2 anos, um aumento médio de 8,2% dá um resultado final de $ 35,1:
[US$ 30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = US$ 30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = US$ 35,1]. Se usarmos a média aritmética de 10% da mesma forma, não obteremos o valor real: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $ 36,3].
Juros compostos no final do ano 2: 90% * 130% \u003d 117%, ou seja, um aumento total de 17% e os juros compostos médios anuais 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\approx 108,2\%), ou seja, um aumento médio anual de 8,2%.
instruções
Artigo principal: Estatísticas de destino
Ao calcular a média aritmética de alguma variável que muda ciclicamente (por exemplo, fase ou ângulo), cuidados especiais devem ser tomados. Por exemplo, a média dos números 1 e 359 será igual a 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180. Este número está incorreto por dois motivos.
O valor médio de uma variável cíclica, calculado de acordo com a fórmula acima, será deslocado artificialmente em relação à média real para o meio da faixa numérica. Por isso, a média é calculada de forma diferente, ou seja, o número com a menor variância (o ponto central) é escolhido como valor médio. Além disso, em vez de subtrair, a distância do módulo (ou seja, a distância circunferencial) é usada. Por exemplo, a distância modular entre 1° e 359° é 2°, não 358° (em um círculo entre 359° e 360°==0° - um grau, entre 0° e 1° - também 1°, no total - 2°).
Para encontrar o valor médio no Excel (seja um valor numérico, textual, percentual ou outro), existem muitas funções. E cada um deles tem suas próprias características e vantagens. Afinal, certas condições podem ser definidas nesta tarefa.
Por exemplo, os valores médios de uma série de números no Excel são calculados usando funções estatísticas. Você também pode inserir manualmente sua própria fórmula. Vamos considerar várias opções.
Como encontrar a média aritmética dos números?
Para encontrar a média aritmética, você soma todos os números do conjunto e divide a soma pelo número. Por exemplo, as notas de um aluno em ciência da computação: 3, 4, 3, 5, 5. O que vale para um trimestre: 4. Encontramos a média aritmética usando a fórmula: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Como fazer isso rapidamente usando funções do Excel? Tomemos, por exemplo, uma série de números aleatórios em uma string:
Ou: ative a célula e simplesmente insira manualmente a fórmula: =MÉDIA(A1:A8).
Agora vamos ver o que mais a função AVERAGE pode fazer.
Encontre a média aritmética dos dois primeiros e dos três últimos números. Fórmula: =MÉDIA(A1:B1;F1:H1). Resultado:
Média por condição
A condição para encontrar a média aritmética pode ser um critério numérico ou textual. Usaremos a função: =MÉDIASE().
Encontre a média aritmética dos números maiores ou iguais a 10.
Função: =MÉDIASE(A1:A8,">=10")
O resultado do uso da função AVERAGEIF na condição ">=10": O terceiro argumento - "Intervalo médio" - é omitido. Primeiro, não é necessário. Em segundo lugar, o intervalo analisado pelo programa contém APENAS valores numéricos. Nas células especificadas no primeiro argumento, a pesquisa será realizada de acordo com a condição especificada no segundo argumento.
Atenção! O critério de pesquisa pode ser especificado em uma célula. E na fórmula para fazer uma referência a ele.
Vamos encontrar o valor médio dos números pelo critério de texto. Por exemplo, a média de vendas do produto "tabelas".
A função ficará assim: =MÉDIASE($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Intervalo - uma coluna com nomes de produtos. O critério de pesquisa é um link para uma célula com a palavra "tabelas" (você pode inserir a palavra "tabelas" ao invés do link A7). Intervalo de média - as células das quais os dados serão obtidos para calcular o valor médio.
Como resultado do cálculo da função, obtemos o seguinte valor:
Atenção! Para um critério de texto (condição), o intervalo de média deve ser especificado.
Como calcular o preço médio ponderado no Excel?
Como sabemos o preço médio ponderado?
Fórmula: =SOMAPRODUTO(C2:C12,B2:B12)/SOMA(C2:C12).
Usando a fórmula SUMPRODUCT, descobrimos a receita total após a venda de toda a quantidade de mercadorias. E a função SUM - resume a quantidade de mercadorias. Ao dividir a receita total da venda de mercadorias pelo número total de unidades de mercadorias, encontramos o preço médio ponderado. Este indicador leva em consideração o "peso" de cada preço. Sua participação na massa total de valores.
Desvio padrão: fórmula no Excel
Distinguir entre o desvio padrão para a população geral e para a amostra. No primeiro caso, esta é a raiz da variância geral. Na segunda, a partir da variância da amostra.
Para calcular este indicador estatístico, é compilada uma fórmula de dispersão. A raiz é tirada dele. Mas no Excel existe uma função pronta para encontrar o desvio padrão.
O desvio padrão está vinculado à escala dos dados de origem. Isso não é suficiente para uma representação figurativa da variação da faixa analisada. Para obter o nível relativo de dispersão nos dados, o coeficiente de variação é calculado:
desvio padrão / média aritmética
A fórmula no Excel fica assim:
STDEV (intervalo de valores) / AVERAGE (intervalo de valores).
O coeficiente de variação é calculado em porcentagem. Portanto, definimos o formato de porcentagem na célula.
O conceito de média aritmética significa o resultado de uma simples sequência de cálculos do valor médio para uma série de números determinados previamente. Ressalta-se que este valor é atualmente amplamente utilizado por especialistas em diversos setores. Por exemplo, as fórmulas são conhecidas ao realizar cálculos por economistas ou funcionários da indústria estatística, onde é necessário ter um valor desse tipo. Além disso, este indicador é usado ativamente em vários outros setores relacionados ao acima.
Uma das características do cálculo desse valor é a simplicidade do procedimento. Faça os cálculos qualquer um pode. Você não precisa de nenhuma educação especial para isso. Muitas vezes não há necessidade de usar tecnologia de computador.
Como resposta à questão de como encontrar a média aritmética, considere várias situações.
A maneira mais simples de calcular esse valor é calculá-lo para dois números. O procedimento de cálculo neste caso é muito simples:
- Inicialmente, é necessário realizar a operação de somar os números selecionados. Isso muitas vezes pode ser feito, como se costuma dizer, manualmente, sem o uso de equipamentos eletrônicos.
- Depois que a adição é feita e seu resultado é obtido, é necessário dividir. Esta operação envolve a divisão da soma de dois números adicionados por dois - o número de números adicionados. É essa ação que permitirá que você obtenha o valor necessário.
Fórmula
Assim, a fórmula para calcular o valor exigido no caso de dois ficará assim:
(A+B)/2
Esta fórmula usa a seguinte notação:
A e B são números pré-selecionados para os quais você precisa encontrar um valor.
Encontrar um valor para três
O cálculo desse valor em uma situação em que três números são selecionados não será muito diferente da opção anterior:
- Para fazer isso, selecione os números necessários no cálculo e adicione-os para obter o total.
- Depois que essa soma de três for encontrada, é necessário realizar o procedimento de divisão novamente. Nesse caso, o valor resultante deve ser dividido por três, que corresponde ao número de números selecionados.
Fórmula
Assim, a fórmula necessária ao calcular os três aritméticos ficará assim:
(A+B+C)/3
Nesta fórmula foi adotada a seguinte notação:
A, B e C são os números para os quais será necessário encontrar a média aritmética.
Calculando a média aritmética de quatro
Como já visto por analogia com as opções anteriores, o cálculo deste valor para um valor igual a quatro será da seguinte ordem:
- Quatro dígitos são selecionados para os quais a média aritmética deve ser calculada. Em seguida, é realizado o somatório e a obtenção do resultado final deste procedimento.
- Agora, para obter o resultado final, você deve pegar a soma resultante de quatro e dividi-la por quatro. Os dados recebidos serão o valor requerido.
Fórmula
Da sequência de ações descritas acima para encontrar a média aritmética para quatro, você pode obter a seguinte fórmula:
(A+B+C+E)/4
Nesta fórmula variáveis têm o seguinte significado:
A, B, C e E são aqueles para os quais você precisa encontrar o valor da média aritmética.
Usando esta fórmula, sempre será possível calcular o valor necessário para um determinado número de números.
Calculando a média aritmética de cinco
A execução desta operação exigirá um determinado algoritmo de ações.
- Antes de tudo, você precisa selecionar cinco números para os quais a média aritmética será calculada. Após essa seleção, esses números, como nas opções anteriores, você só precisa somar e obter o valor final.
- O valor resultante precisará ser dividido pelo número deles por cinco, o que permitirá que você obtenha o valor necessário.
Fórmula
Assim, à semelhança das opções consideradas anteriormente, obtemos a seguinte fórmula para calcular a média aritmética:
(A+B+C+E+P)/5
Nesta fórmula, as variáveis têm a seguinte notação:
A, B, C, E e P são os números para os quais você deseja obter a média aritmética.
Fórmula de cálculo universal
Levando em consideração várias variantes de fórmulas para calcular a média aritmética, você pode prestar atenção ao fato de que eles têm um padrão comum.
Portanto, será mais prático aplicar a fórmula geral para encontrar a média aritmética. Afinal, há situações em que o número e o tamanho dos cálculos podem ser muito grandes. Portanto, seria mais sensato usar uma fórmula universal e não deduzir cada vez uma tecnologia individual para calcular esse valor.
O principal na determinação da fórmula é o princípio do cálculo da média aritmética cerca de.
Este princípio, como foi visto nos exemplos acima, se parece com isso:
- O número de números que são especificados para obter o valor necessário é contado. Esta operação pode ser realizada manualmente com um pequeno número de números e com a ajuda da tecnologia do computador.
- Os números selecionados são somados. Essa operação na maioria das situações é realizada por meio de tecnologia computacional, pois os números podem ser compostos por dois, três ou mais dígitos.
- O valor obtido pela soma dos números selecionados deve ser dividido pelo número deles. Este valor é determinado na fase inicial do cálculo da média aritmética.
Assim, a fórmula geral para calcular a média aritmética de uma série de números selecionados ficará assim:
(À+Â+…+N)/N
Esta fórmula contém as seguintes variáveis:
A e B são números que são escolhidos antecipadamente para calcular sua média aritmética.
N é o número de números que foram obtidos para calcular o valor necessário.
Substituindo os números selecionados nesta fórmula a cada vez, sempre podemos obter o valor necessário da média aritmética.
Como visto, encontrar a média aritméticaé um procedimento fácil. No entanto, é preciso estar atento aos cálculos que estão sendo realizados e verificar o resultado obtido. Essa abordagem é explicada pelo fato de que, mesmo nas situações mais simples, existe a possibilidade de obter um erro, o que pode afetar os cálculos posteriores. Nesse sentido, recomenda-se o uso de tecnologia computacional capaz de realizar cálculos de qualquer complexidade.
Qual é a média aritmética
A média aritmética de vários valores é a razão entre a soma desses valores e seu número.
A média aritmética de uma certa série de números é chamada de soma de todos esses números, dividida pelo número de termos. Assim, a média aritmética é o valor médio da série numérica.
Qual é a média aritmética de vários números? E eles são iguais à soma desses números, que é dividida pelo número de termos dessa soma.
Como encontrar a média aritmética
Não há nada difícil em calcular ou encontrar a média aritmética de vários números, basta somar todos os números apresentados e dividir o valor resultante pelo número de termos. O resultado obtido será a média aritmética desses números.
Vamos considerar esse processo com mais detalhes. O que precisamos fazer para calcular a média aritmética e obter o resultado final desse número.
Primeiro, para calculá-lo, você precisa determinar um conjunto de números ou o número deles. Esse conjunto pode incluir números grandes e pequenos, e seu número pode ser qualquer coisa.
Em segundo lugar, todos esses números precisam ser somados e obter sua soma. Naturalmente, se os números são simples e seu número é pequeno, os cálculos podem ser feitos à mão. E se o conjunto de números for impressionante, é melhor usar uma calculadora ou planilha.
E, em quarto lugar, a quantidade obtida da adição deve ser dividida pelo número de números. Como resultado, obtemos o resultado, que será a média aritmética desta série.
Para que serve a média aritmética?
A média aritmética pode ser útil não só para resolver exemplos e problemas nas aulas de matemática, mas para outros fins necessários na vida diária de uma pessoa. Tais metas podem ser o cálculo da média aritmética para calcular o gasto médio das finanças por mês, ou para calcular o tempo que você passa na estrada, também para saber assiduidade, produtividade, velocidade, produtividade e muito mais.
Então, por exemplo, vamos tentar calcular quanto tempo você gasta indo para a escola. Indo para a escola ou voltando para casa, você gasta um tempo diferente na estrada a cada vez, porque quando você está com pressa, você vai mais rápido e, portanto, a estrada leva menos tempo. Mas, voltando para casa, você pode ir devagar, conversando com os colegas, admirando a natureza e, portanto, levará mais tempo para a estrada.
Portanto, você não poderá determinar com precisão o tempo gasto na estrada, mas, graças à média aritmética, poderá descobrir aproximadamente o tempo gasto na estrada.
Digamos que no primeiro dia depois do fim de semana você passou quinze minutos no caminho de casa para a escola, no segundo dia sua viagem levou vinte minutos, na quarta você percorreu a distância em vinte e cinco minutos, no mesmo tempo que você fez o seu caminho na quinta-feira, e na sexta você não estava com pressa e voltou por meia hora.
Vamos encontrar a média aritmética, somando o tempo, para todos os cinco dias. Então,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Agora divida esse valor pelo número de dias
Através deste método, você aprendeu que a viagem de casa para a escola leva aproximadamente vinte e três minutos do seu tempo.
Trabalho de casa
1. Usando cálculos simples, encontre a média aritmética da frequência dos alunos em sua aula por semana.
2. Encontre a média aritmética:
3. Resolva o problema:
