Este artigo revela a derivação da equação de uma reta que passa por dois pontos dados em um sistema de coordenadas retangulares localizado em um plano. Derivamos a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados em um sistema de coordenadas retangulares. Mostraremos e resolveremos visualmente vários exemplos relacionados ao material abordado.
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Antes de obter a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, é necessário atentar para alguns fatos. Existe um axioma que diz que através de dois pontos não coincidentes em um plano é possível traçar uma reta e apenas uma. Em outras palavras, dois pontos dados do plano são determinados por uma linha reta que passa por esses pontos.
Se o plano é dado pelo sistema de coordenadas retangulares Oxy, então qualquer linha reta representada nele corresponderá à equação da linha reta no plano. Há também uma conexão com o vetor diretor da reta, dados estes suficientes para elaborar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados.
Considere um exemplo de resolução de um problema semelhante. É necessário formular a equação de uma reta a passando por dois pontos desencontrados M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) localizados no sistema de coordenadas cartesianas.
Na equação canônica de uma linha reta em um plano, tendo a forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , um sistema de coordenadas retangulares O x y é especificado com uma linha reta que se cruza com ela em um ponto com coordenadas M 1 (x 1, y 1) com um vetor guia a → = (a x , a y) .
É necessário compor a equação canônica da reta a, que passará por dois pontos de coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) .
A reta a tem um vetor diretor M 1 M 2 → com coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pois intercepta os pontos M 1 e M 2. Obtivemos os dados necessários para transformar a equação canônica com as coordenadas do vetor de direção M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) e as coordenadas dos pontos M 1 sobre eles (x 1, y 1) e M 2 (x 2 , y 2). Obtemos uma equação da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Considere a figura abaixo.
Após os cálculos, escrevemos as equações paramétricas de uma reta em um plano que passa por dois pontos com coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) . Obtemos uma equação da forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ou x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Vejamos mais de perto alguns exemplos.
Exemplo 1
Escreva a equação de uma linha reta que passa por 2 pontos dados com coordenadas M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .
Decisão
A equação canônica para uma linha reta que intercepta em dois pontos com coordenadas x 1 , y 1 e x 2 , y 2 assume a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . De acordo com a condição do problema, temos que x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. É necessário substituir valores numéricos na equação x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . A partir daqui temos que a equação canônica terá a forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Resposta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Se for necessário resolver um problema com um tipo diferente de equação, para começar, você pode ir para o canônico, pois é mais fácil chegar a qualquer outro.
Exemplo 2
Componha a equação geral de uma linha reta que passa por pontos com coordenadas M 1 (1, 1) e M 2 (4, 2) no sistema de coordenadas O x y.
Decisão
Primeiro você precisa escrever a equação canônica de uma dada reta que passa pelos dois pontos dados. Obtemos uma equação da forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Trazemos a equação canônica para a forma desejada, então obtemos:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Responda: x - 3 y + 2 = 0 .
Exemplos de tais tarefas foram considerados em livros escolares nas aulas de álgebra. As tarefas escolares diferiam porque a equação de uma linha reta com um coeficiente de inclinação era conhecida, tendo a forma y \u003d k x + b. Se você precisar encontrar o valor da inclinação ke o número b, no qual a equação y \u003d k x + b define uma linha no sistema O x y que passa pelos pontos M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) , onde x 1 ≠ x 2 . Quando x 1 = x 2 , então a inclinação assume o valor de infinito, e a linha M 1 M 2 é definida por uma equação geral incompleta da forma x - x 1 = 0 .
Porque os pontos M 1 e M 2 estão em uma linha reta, então suas coordenadas satisfazem a equação y 1 = k x 1 + b e y 2 = k x 2 + b. É necessário resolver o sistema de equações y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b em relação a ke b.
Para fazer isso, encontramos k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Com tais valores de k e b, a equação de uma linha reta que passa pelos dois pontos dados assume a seguinte forma y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Memorizar um número tão grande de fórmulas de uma só vez não funcionará. Para fazer isso, é necessário aumentar o número de repetições na resolução de problemas.
Exemplo 3
Escreva a equação de uma reta com inclinação que passa por pontos com coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.
Decisão
Para resolver o problema, usamos uma fórmula com uma inclinação que tem a forma y \u003d k x + b. Os coeficientes keb devem ter um valor tal que esta equação corresponda a uma linha reta que passa por dois pontos com coordenadas M 1 (- 7 , - 5) e M 2 (2 , 1) .
pontos M 1 e M 2 localizados em uma linha reta, então suas coordenadas devem inverter a equação y = k x + b a igualdade correta. Daqui temos que - 5 = k · (- 7) + b e 1 = k · 2 + b. Vamos combinar a equação no sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b e resolver.
Na substituição, obtemos que
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Agora os valores k = 2 3 e b = - 1 3 são substituídos na equação y = k x + b . Obtemos que a equação desejada passando pelos pontos dados será uma equação que tem a forma y = 2 3 x - 1 3 .
Esta forma de resolver predetermina o dispêndio de uma grande quantidade de tempo. Existe uma maneira pela qual a tarefa é resolvida literalmente em duas etapas.
Vamos escrever a equação canônica de uma linha reta que passa por M 2 (2, 1) e M 1 (- 7 , - 5) , tendo a forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Agora vamos passar para a equação da inclinação. Obtemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Resposta: y = 2 3 x - 1 3 .
Se no espaço tridimensional existe um sistema de coordenadas retangulares O x y z com dois pontos dados não coincidentes com coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), o reta M passando por eles 1 M 2 , é necessário obter a equação desta reta.
Temos que equações canônicas da forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z e equações paramétricas x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ são capaz de definir uma linha no sistema de coordenadas O x y z passando por pontos com coordenadas (x 1, y 1, z 1) com um vetor de direção a → = (a x, a y, a z) .
Reta M 1 M 2 tem um vetor direcional da forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , onde a linha passa pelo ponto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), portanto, a equação canônica pode ser da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, por sua vez, paramétrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Considere uma figura que mostra 2 pontos dados no espaço e a equação de uma linha reta.
Exemplo 4
Escreva a equação de uma linha reta definida em um sistema de coordenadas retangular O x y z do espaço tridimensional, passando pelos dois pontos dados com coordenadas M 1 (2, - 3, 0) e M 2 (1, - 3, - 5 ).
Decisão
Precisamos encontrar a equação canônica. Como estamos falando de espaço tridimensional, isso significa que quando uma linha reta passa por pontos dados, a equação canônica desejada terá a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Por condição, temos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Segue-se que as equações necessárias podem ser escritas da seguinte forma:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Resposta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
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Este artigo continua o tópico da equação de uma linha reta em um plano: considere esse tipo de equação como a equação geral de uma linha reta. Vamos definir um teorema e dar sua prova; Vamos descobrir o que é uma equação geral incompleta de uma linha reta e como fazer transições de uma equação geral para outros tipos de equações de uma linha reta. Consolidaremos toda a teoria com ilustrações e resolução de problemas práticos.
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Seja um sistema de coordenadas retangular O x y dado no plano.
Teorema 1
Qualquer equação do primeiro grau, com a forma A x + B y + C \u003d 0, onde A, B, C são alguns números reais (A e B não são iguais a zero ao mesmo tempo) define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares no plano. Por sua vez, qualquer linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano é determinada por uma equação que tem a forma A x + B y + C = 0 para um determinado conjunto de valores A, B, C.
Prova
Este teorema consiste em dois pontos, vamos provar cada um deles.
- Vamos provar que a equação A x + B y + C = 0 define uma linha no plano.
Seja algum ponto M 0 (x 0 , y 0) cujas coordenadas correspondem à equação A x + B y + C = 0 . Assim: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia dos lados esquerdo e direito das equações A x + B y + C \u003d 0 os lados esquerdo e direito da equação A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obtemos uma nova equação que se parece com A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . É equivalente a A x + B y + C = 0 .
A equação resultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 é uma condição necessária e suficiente para a perpendicularidade dos vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Assim, o conjunto de pontos M (x, y) define em um sistema de coordenadas retangular uma linha reta perpendicular à direção do vetor n → = (A, B) . Podemos supor que não é assim, mas então os vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) não seriam perpendiculares, e a igualdade A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 não seria verdade.
Portanto, a equação A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 define uma certa linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano e, portanto, a equação equivalente A x + B y + C \u003d 0 define a mesma linha. Assim provamos a primeira parte do teorema.
- Vamos provar que qualquer linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano pode ser dada por uma equação de primeiro grau A x + B y + C = 0 .
Vamos definir uma linha reta a em um sistema de coordenadas retangulares no plano; ponto M 0 (x 0 , y 0) por onde passa esta reta, assim como o vetor normal desta reta n → = (A , B) .
Deixe também existir algum ponto M (x , y) - um ponto flutuante da linha. Neste caso, os vetores n → = (A , B) e M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) são perpendiculares entre si, e seu produto escalar é zero:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
Vamos reescrever a equação A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definir C: C = - A x 0 - B y 0 e finalmente obter a equação A x + B y + C = 0 .
Então, provamos a segunda parte do teorema e provamos o teorema inteiro como um todo.
Definição 1
Uma equação que parece A x + B y + C = 0 - Esse equação geral de uma reta em um plano em um sistema de coordenadas retangularOx.
Com base no teorema provado, podemos concluir que uma linha reta dada em um plano em um sistema de coordenadas retangulares fixo e sua equação geral estão inextricavelmente ligadas. Em outras palavras, a linha original corresponde à sua equação geral; a equação geral de uma linha reta corresponde a uma determinada linha reta.
Também segue da prova do teorema que os coeficientes A e B para as variáveis x e y são as coordenadas do vetor normal da reta, que é dado pela equação geral da reta A x + B y + C = 0 .
Considere um exemplo específico da equação geral de uma linha reta.
Seja dada a equação 2 x + 3 y - 2 = 0, que corresponde a uma linha reta em um dado sistema de coordenadas retangulares. O vetor normal desta reta é o vetor n → = (2 , 3) . Desenhe uma determinada linha reta no desenho.
Pode-se argumentar também o seguinte: a reta que vemos no desenho é determinada pela equação geral 2 x + 3 y - 2 = 0, pois as coordenadas de todos os pontos de uma determinada reta correspondem a essa equação.
Podemos obter a equação λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 multiplicando ambos os lados da equação geral da reta por um número diferente de zero λ. A equação resultante é equivalente à equação geral original, portanto, descreverá a mesma linha no plano.
Definição 2Equação geral completa de uma linha reta- uma equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, na qual os números A, B, C são diferentes de zero. Caso contrário, a equação é incompleto.
Analisemos todas as variações da equação geral incompleta da reta.
- Quando A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, a equação geral se torna B y + C \u003d 0. Tal equação geral incompleta define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangular O x y que é paralelo ao eixo O x, pois para qualquer valor real de x, a variável y assumirá o valor -C.B. Em outras palavras, a equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, quando A \u003d 0, B ≠ 0, define o lugar geométrico dos pontos (x, y) cujas coordenadas são iguais ao mesmo número -C.B.
- Se A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, a equação geral se torna y \u003d 0. Tal equação incompleta define o eixo x O x .
- Quando A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, obtemos uma equação geral incompleta A x + C \u003d 0, definindo uma linha reta paralela ao eixo y.
- Seja A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, então a equação geral incompleta terá a forma x \u003d 0, e esta é a equação da linha de coordenadas O y.
- Finalmente, quando A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, a equação geral incompleta assume a forma A x + B y \u003d 0. E esta equação descreve uma linha reta que passa pela origem. De fato, o par de números (0 , 0) corresponde à igualdade A x + B y = 0 , pois A · 0 + B · 0 = 0 .
Vamos ilustrar graficamente todos os tipos acima da equação geral incompleta de uma linha reta.
Exemplo 1
Sabe-se que a reta dada é paralela ao eixo y e passa pelo ponto 2 7 , - 11 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.
Decisão
Uma linha reta paralela ao eixo y é dada por uma equação da forma A x + C \u003d 0, na qual A ≠ 0. A condição também especifica as coordenadas do ponto através do qual a linha passa, e as coordenadas deste ponto correspondem às condições da equação geral incompleta A x + C = 0 , ou seja, a igualdade está correta:
A 2 7 + C = 0
É possível determinar C a partir dele dando a A algum valor diferente de zero, por exemplo, A = 7 . Nesse caso, obtemos: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conhecemos os dois coeficientes A e C, substituímos na equação A x + C = 0 e obtemos a equação necessária da reta: 7 x - 2 = 0
Responda: 7 x - 2 = 0
Exemplo 2
O desenho mostra uma linha reta, é necessário anotar sua equação.
Decisão
O desenho dado nos permite obter facilmente os dados iniciais para resolver o problema. Vemos no desenho que a reta dada é paralela ao eixo O x e passa pelo ponto (0,3).
A linha reta, que é paralela à abcissa, é determinada pela equação geral incompleta B y + С = 0. Encontre os valores de B e C. As coordenadas do ponto (0, 3), uma vez que uma determinada linha reta passa por ele, satisfará a equação da linha reta B y + С = 0, então a igualdade é válida: В · 3 + С = 0. Vamos definir B para algum valor diferente de zero. Digamos B \u003d 1, neste caso, da igualdade B · 3 + C \u003d 0 podemos encontrar C: C \u003d - 3. Usando os valores conhecidos de B e C, obtemos a equação necessária da linha reta: y - 3 = 0.
Responda: y - 3 = 0 .
Equação geral de uma linha reta que passa por um ponto dado do plano
Deixe a linha dada passar pelo ponto M 0 (x 0, y 0), então suas coordenadas correspondem à equação geral da linha, ou seja. a igualdade é verdadeira: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia os lados esquerdo e direito desta equação dos lados esquerdo e direito da equação geral completa da linha reta. Obtemos: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, esta equação é equivalente à geral original, passa pelo ponto M 0 (x 0, y 0) e tem um vetor normal n → \u003d (A, B) .
O resultado que obtivemos permite escrever a equação geral de uma reta para as coordenadas conhecidas do vetor normal da reta e as coordenadas de um certo ponto dessa reta.
Exemplo 3
Dado um ponto M 0 (- 3, 4) através do qual a linha passa, e o vetor normal desta linha n → = (1 , - 2) . É necessário escrever a equação de uma dada reta.
Decisão
As condições iniciais nos permitem obter os dados necessários para compilar a equação: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Então:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
O problema poderia ter sido resolvido de outra forma. A equação geral de uma linha reta tem a forma A x + B y + C = 0 . O vetor normal dado permite obter os valores dos coeficientes A e B , então:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Agora vamos encontrar o valor de C, usando o ponto M 0 (- 3, 4) dado pela condição do problema, por onde passa a reta. As coordenadas deste ponto correspondem à equação x - 2 · y + C = 0 , ou seja. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Portanto C = 11. A equação de linha reta necessária assume a forma: x - 2 · y + 11 = 0 .
Responda: x - 2 y + 11 = 0 .
Exemplo 4
Dada uma linha 2 3 x - y - 1 2 = 0 e um ponto M 0 sobre esta linha. Apenas a abcissa deste ponto é conhecida e é igual a - 3. É necessário determinar a ordenada do ponto dado.
Decisão
Vamos definir a designação das coordenadas do ponto M 0 como x 0 e y 0 . Os dados iniciais indicam que x 0 \u003d - 3. Como o ponto pertence a uma determinada reta, então suas coordenadas correspondem à equação geral dessa reta. Então a seguinte igualdade será verdadeira:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Defina y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Responda: - 5 2
Transição da equação geral de uma reta para outros tipos de equações de uma reta e vice-versa
Como sabemos, existem vários tipos de equação da mesma reta no plano. A escolha do tipo de equação depende das condições do problema; é possível escolher o que for mais conveniente para sua solução. É aqui que a habilidade de converter uma equação de um tipo em uma equação de outro tipo é muito útil.
Primeiro, considere a transição da equação geral da forma A x + B y + C = 0 para a equação canônica x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Se A ≠ 0, então transferimos o termo B y para o lado direito da equação geral. No lado esquerdo, tiramos A dos colchetes. Como resultado, obtemos: A x + C A = - B y .
Esta igualdade pode ser escrita como uma proporção: x + C A - B = y A .
Se B ≠ 0, deixamos apenas o termo A x no lado esquerdo da equação geral, transferimos os outros para o lado direito, obtemos: A x \u003d - B y - C. Tiramos - B dos colchetes, então: A x \u003d - B y + C B.
Vamos reescrever a igualdade como uma proporção: x - B = y + C B A .
Claro, não há necessidade de memorizar as fórmulas resultantes. Basta conhecer o algoritmo de ações durante a transição da equação geral para a canônica.
Exemplo 5
A equação geral da linha 3 y - 4 = 0 é dada. Ele precisa ser convertido em uma equação canônica.
Decisão
Escrevemos a equação original como 3 y - 4 = 0 . Em seguida, agimos de acordo com o algoritmo: o termo 0 x permanece no lado esquerdo; e no lado direito tiramos - 3 entre colchetes; obtemos: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Vamos escrever a igualdade resultante como uma proporção: x - 3 = y - 4 3 0 . Assim, obtivemos uma equação da forma canônica.
Resposta: x - 3 = y - 4 3 0.
Para transformar a equação geral de uma linha reta em paramétricas, primeiro, é realizada a transição para a forma canônica e, em seguida, a transição da equação canônica da linha reta para equações paramétricas.
Exemplo 6
A linha reta é dada pela equação 2 x - 5 y - 1 = 0 . Escreva as equações paramétricas desta reta.
Decisão
Vamos fazer a transição da equação geral para a canônica:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Agora vamos tomar ambas as partes da equação canônica resultante igual a λ, então:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Responda:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
A equação geral pode ser convertida em uma equação de linha reta com inclinação y = k x + b, mas somente quando B ≠ 0. Para a transição do lado esquerdo, deixamos o termo B y , o restante é transferido para a direita. Obtemos: B y = - A x - C . Vamos dividir ambas as partes da igualdade resultante por B , que é diferente de zero: y = - A B x - C B .
Exemplo 7
A equação geral de uma linha reta é dada: 2 x + 7 y = 0 . Você precisa converter essa equação em uma equação de inclinação.
Decisão
Vamos realizar as ações necessárias de acordo com o algoritmo:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Responda: y = - 2 7 x .
A partir da equação geral de uma linha reta, basta obter uma equação em segmentos da forma x a + y b \u003d 1. Para fazer essa transição, transferimos o número C para o lado direito da igualdade, dividimos ambas as partes da igualdade resultante por - С e, finalmente, transferimos os coeficientes das variáveis x e y para os denominadores:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Exemplo 8
É necessário converter a equação geral da reta x - 7 y + 1 2 = 0 na equação da reta em segmentos.
Decisão
Vamos mover 1 2 para o lado direito: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Divida por -1/2 ambos os lados da equação: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Responda: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
Em geral, a transição inversa também é fácil: de outros tipos de equações para a geral.
A equação de uma reta em segmentos e a equação com inclinação podem ser facilmente convertidas em uma geral simplesmente coletando todos os termos do lado esquerdo da equação:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
A equação canônica é convertida para a geral de acordo com o seguinte esquema:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Para passar do paramétrico, primeiro é realizada a transição para o canônico e depois para o geral:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Exemplo 9
As equações paramétricas da reta x = - 1 + 2 · λ y = 4 são dadas. É necessário escrever a equação geral desta reta.
Decisão
Vamos fazer a transição de equações paramétricas para canônicas:
x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Vamos passar de canônico para geral:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Responda: s - 4 = 0
Exemplo 10
A equação de uma linha reta nos segmentos x 3 + y 1 2 = 1 é dada. É necessário realizar a transição para a forma geral da equação.
Decisão:
Vamos apenas reescrever a equação na forma necessária:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Responda: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
Elaboração de uma equação geral de uma linha reta
Acima, dissemos que a equação geral pode ser escrita com as coordenadas conhecidas do vetor normal e as coordenadas do ponto pelo qual a reta passa. Tal linha reta é definida pela equação A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . No mesmo local analisamos o exemplo correspondente.
Agora vamos ver exemplos mais complexos nos quais, primeiro, é necessário determinar as coordenadas do vetor normal.
Exemplo 11
Dada uma reta paralela à reta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Também conhecido é o ponto M 0 (4 , 1) através do qual passa a linha dada. É necessário escrever a equação de uma dada reta.
Decisão
As condições iniciais nos dizem que as retas são paralelas, então, como vetor normal da reta cuja equação precisa ser escrita, tomamos o vetor diretor da reta n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Agora conhecemos todos os dados necessários para compor a equação geral de uma reta:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Responda: 2 x - 3 y - 5 = 0 .
Exemplo 12
A reta dada passa pela origem perpendicular à reta x - 2 3 = y + 4 5 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.
Decisão
O vetor normal da linha dada será o vetor diretor da linha x - 2 3 = y + 4 5 .
Então n → = (3 , 5) . A linha reta passa pela origem, ou seja, pelo ponto O (0, 0). Vamos compor a equação geral de uma dada reta:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Responda: 3 x + 5 y = 0 .
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Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.
Existem infinitas linhas que podem ser traçadas através de qualquer ponto.
Por quaisquer dois pontos não coincidentes, há apenas uma linha reta.
Duas linhas não coincidentes no plano se cruzam em um único ponto ou são
paralelo (segue do anterior).
No espaço tridimensional, existem três opções para a posição relativa de duas linhas:
- linhas se cruzam;
- linhas retas são paralelas;
- linhas retas se cruzam.
Em linha reta linha- curva algébrica de primeira ordem: no sistema de coordenadas cartesianas, uma linha reta
é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).
Equação geral de uma reta.
Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem
Ah + Wu + C = 0,
e constante A, B não é igual a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada em geral
equação da reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e Com Os seguintes casos especiais são possíveis:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- a linha passa pela origem
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO
. B = C = 0, A ≠ 0- a linha coincide com o eixo UO
. A = C = 0, B ≠ 0- a linha coincide com o eixo Oh
A equação de uma linha reta pode ser representada de várias formas, dependendo de qualquer
condições iniciais.
Equação de uma reta por um ponto e um vetor normal.
Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)
perpendicular à reta dada pela equação
Ah + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto A(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).
Decisão. Vamos compor em A \u003d 3 e B \u003d -1 a equação da linha reta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar o coeficiente C
substituimos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto
C = -1. Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.
Equação de uma linha reta que passa por dois pontos.
Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), então equação de linha reta,
passando por estes pontos:
Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No
plano, a equação de uma linha reta escrita acima é simplificada:
E se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, E se x 1 = x 2 .
Fração = k chamado fator de inclinação Em linha reta.
Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).
Decisão. Aplicando a fórmula acima, obtemos:
Equação de uma linha reta por um ponto e uma inclinação.
Se a equação geral de uma reta Ah + Wu + C = 0 trazer para o formulário:
e designar 
, então a equação resultante é chamada
equação de uma linha reta com inclinação k.
A equação de uma linha reta em um ponto e um vetor diretor.
Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode entrar na tarefa
uma linha reta que passa por um ponto e um vetor direcional de uma linha reta.
Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição
Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor de direção da reta.
Ah + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).
Decisão. Vamos procurar a equação da linha reta desejada na forma: Ax + Por + C = 0. De acordo com a definição,
os coeficientes devem satisfazer as condições:
1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B
Então a equação de uma reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.
no x=1, y=2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação desejada:
x + y - 3 = 0
Equação de uma linha reta em segmentos.
Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por -C, obtemos:
ou onde
O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de interseção
reta com eixo Oh, uma b- a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo UO.
Exemplo. A equação geral de uma reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta linha reta em segmentos.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Equação normal de uma reta.
Se ambos os lados da equação Ah + Wu + C = 0 dividir por número 
, que é chamado
fator de normalização, então obtemos
xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.
O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ * C< 0.
R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha,
uma φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.
Exemplo. Dada a equação geral de uma linha reta 12x - 5a - 65 = 0. Necessário para escrever vários tipos de equações
esta linha reta.
A equação desta linha reta em segmentos:
A equação desta linha com inclinação: (dividir por 5)
Equação de uma reta:
cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.
Deve-se notar que nem toda linha reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, linhas retas,
paralelas aos eixos ou passando pela origem.
Ângulo entre linhas em um plano.
Definição. Se duas linhas são dadas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas
será definido como
Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas retas são perpendiculares
E se k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Direto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelos quando os coeficientes são proporcionais
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se também С 1 \u003d λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas
são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas linhas.
A equação de uma reta que passa por um ponto dado é perpendicular a uma reta dada.
Definição. Uma linha que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b
representado pela equação:
A distância de um ponto a uma linha.
Teorema. Se for dado um ponto M(x 0, y 0), então a distância até a linha Ah + Wu + C = 0 definido como:
Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base da perpendicular caiu do ponto M para um dado
direto. Então a distância entre os pontos M e M 1:
(1)
Coordenadas x 1 e 1 pode ser encontrada como uma solução para o sistema de equações:
A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicularmente
dada linha. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
então, resolvendo, temos:
Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:
O teorema foi provado.
Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.
Existem infinitas linhas que podem ser traçadas através de qualquer ponto.
Por quaisquer dois pontos não coincidentes, há apenas uma linha reta.
Duas linhas não coincidentes no plano se cruzam em um único ponto ou são
paralelo (segue do anterior).
No espaço tridimensional, existem três opções para a posição relativa de duas linhas:
- linhas se cruzam;
- linhas retas são paralelas;
- linhas retas se cruzam.
Em linha reta linha- curva algébrica de primeira ordem: no sistema de coordenadas cartesianas, uma linha reta
é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).
Equação geral de uma reta.
Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem
Ah + Wu + C = 0,
e constante A, B não é igual a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada em geral
equação da reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e Com Os seguintes casos especiais são possíveis:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- a linha passa pela origem
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO
. B = C = 0, A ≠ 0- a linha coincide com o eixo UO
. A = C = 0, B ≠ 0- a linha coincide com o eixo Oh
A equação de uma linha reta pode ser representada de várias formas, dependendo de qualquer
condições iniciais.
Equação de uma reta por um ponto e um vetor normal.
Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)
perpendicular à reta dada pela equação
Ah + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto A(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).
Decisão. Vamos compor em A \u003d 3 e B \u003d -1 a equação da linha reta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar o coeficiente C
substituimos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto
C = -1. Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.
Equação de uma linha reta que passa por dois pontos.
Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), então equação de linha reta,
passando por estes pontos:
Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No
plano, a equação de uma linha reta escrita acima é simplificada:
E se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, E se x 1 = x 2 .
Fração = k chamado fator de inclinação Em linha reta.
Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).
Decisão. Aplicando a fórmula acima, obtemos:
Equação de uma linha reta por um ponto e uma inclinação.
Se a equação geral de uma reta Ah + Wu + C = 0 trazer para o formulário:
e designar , então a equação resultante é chamada
equação de uma linha reta com inclinação k.
A equação de uma linha reta em um ponto e um vetor diretor.
Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode entrar na tarefa
uma linha reta que passa por um ponto e um vetor direcional de uma linha reta.
Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição
Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor de direção da reta.
Ah + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).
Decisão. Vamos procurar a equação da linha reta desejada na forma: Ax + Por + C = 0. De acordo com a definição,
os coeficientes devem satisfazer as condições:
1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B
Então a equação de uma reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.
no x=1, y=2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação desejada:
x + y - 3 = 0
Equação de uma linha reta em segmentos.
Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por -C, obtemos:
ou onde
O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de interseção
reta com eixo Oh, uma b- a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo UO.
Exemplo. A equação geral de uma reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta linha reta em segmentos.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Equação normal de uma reta.
Se ambos os lados da equação Ah + Wu + C = 0 dividir por número , que é chamado
fator de normalização, então obtemos
xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.
O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ * C< 0.
R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha,
uma φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.
Exemplo. Dada a equação geral de uma linha reta 12x - 5a - 65 = 0. Necessário para escrever vários tipos de equações
esta linha reta.
A equação desta linha reta em segmentos:
A equação desta linha com inclinação: (dividir por 5)
Equação de uma reta:
cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.
Deve-se notar que nem toda linha reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, linhas retas,
paralelas aos eixos ou passando pela origem.
Ângulo entre linhas em um plano.
Definição. Se duas linhas são dadas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas
será definido como
Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas retas são perpendiculares
E se k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Direto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelos quando os coeficientes são proporcionais
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se também С 1 \u003d λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas
são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas linhas.
A equação de uma reta que passa por um ponto dado é perpendicular a uma reta dada.
Definição. Uma linha que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b
representado pela equação:
A distância de um ponto a uma linha.
Teorema. Se for dado um ponto M(x 0, y 0), então a distância até a linha Ah + Wu + C = 0 definido como:
Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base da perpendicular caiu do ponto M para um dado
direto. Então a distância entre os pontos M e M 1:
(1)
Coordenadas x 1 e 1 pode ser encontrada como uma solução para o sistema de equações:
A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicularmente
dada linha. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
então, resolvendo, temos:
Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:
O teorema foi provado.
As equações canônicas de uma linha reta no espaço são equações que definem uma linha reta que passa por um determinado ponto colinearmente a um vetor de direção.
Sejam dados um ponto e um vetor direcional. Um ponto arbitrário está em uma linha eu somente se os vetores e são colineares, ou seja, eles satisfazem a condição:
.
As equações acima são as equações canônicas da linha.
Números m , n e p são projeções do vetor de direção nos eixos coordenados. Como o vetor é diferente de zero, então todos os números m , n e p não pode ser zero ao mesmo tempo. Mas um ou dois deles podem ser zero. Em geometria analítica, por exemplo, a seguinte notação é permitida:
,
o que significa que as projeções do vetor nos eixos Oi e Oz são iguais a zero. Portanto, tanto o vetor quanto a reta dada pelas equações canônicas são perpendiculares aos eixos Oi e Oz, ou seja, aviões yOz .
Exemplo 1 Compor equações de uma linha reta no espaço perpendicular a um plano 
e passando pelo ponto de intersecção deste plano com o eixo Oz
.
Decisão. Encontre o ponto de intersecção do plano dado com o eixo Oz. Como qualquer ponto do eixo Oz, tem coordenadas , então, assumindo na equação dada do plano x=y= 0, obtemos 4 z- 8 = 0 ou z= 2. Portanto, o ponto de intersecção do plano dado com o eixo Oz tem coordenadas (0; 0; 2) . Como a linha desejada é perpendicular ao plano, ela é paralela ao seu vetor normal. Portanto, o vetor normal pode servir como vetor diretor da linha reta 
dado plano.
Agora escrevemos as equações desejadas da linha reta que passa pelo ponto UMA= (0; 0; 2) na direção do vetor:
Equações de uma linha reta que passa por dois pontos dados
Uma linha reta pode ser definida por dois pontos sobre ela 
e 
Neste caso, o vetor diretor da linha reta pode ser o vetor . Então as equações canônicas da reta assumem a forma
.
As equações acima definem uma linha reta que passa por dois pontos dados.
Exemplo 2 Escreva a equação de uma linha reta no espaço que passa pelos pontos E .
Decisão. Escrevemos as equações desejadas da linha reta na forma dada acima no referencial teórico:
.
Como , então a linha desejada é perpendicular ao eixo Oi .
Reta como uma linha de interseção de planos
Uma linha reta no espaço pode ser definida como uma linha de interseção de dois planos não paralelos e, ou seja, como um conjunto de pontos que satisfazem um sistema de duas equações lineares
As equações do sistema também são chamadas de equações gerais de uma linha reta no espaço.
Exemplo 3 Compor equações canônicas de uma linha reta no espaço dado por equações gerais
Decisão. Para escrever as equações canônicas de uma linha reta ou, o que é o mesmo, a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados, você precisa encontrar as coordenadas de dois pontos quaisquer da linha reta. Eles podem ser os pontos de interseção de uma linha reta com quaisquer dois planos de coordenadas, por exemplo yOz e xOz .
Ponto de intersecção de uma linha com um plano yOz tem uma abscissa x= 0. Portanto, assumindo neste sistema de equações x= 0 , obtemos um sistema com duas variáveis:
A decisão dela y = 2 , z= 6 junto com x= 0 define um ponto UMA(0; 2; 6) da linha desejada. Assumindo então no sistema de equações dado y= 0, obtemos o sistema
A decisão dela x = -2 , z= 0 junto com y= 0 define um ponto B(-2; 0; 0) interseção de uma linha com um plano xOz .
Agora escrevemos as equações de uma linha reta que passa pelos pontos UMA(0; 2; 6) e B (-2; 0; 0) :
,
ou depois de dividir os denominadores por -2:
,
