Uma esfera cujo volume é 8π está inscrita em um cubo. Encontre o volume do cubo.

Decisão

Seja a o lado do cubo. Então o volume do cubo é V = a 3 .

Como a bola está inscrita em um cubo, o raio da bola é igual à metade da aresta do cubo, ou seja, R = a/2 (ver Fig.).

O volume da bola é V w \u003d (4/3)πR 3 e é igual a 8π, portanto

(4/3)πR 3 = 8π,

E o volume do cubo é V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Tarefa B9 (Estudo de Caso 2015)

O volume do cone é 32. Pelo meio da altura, traça-se uma seção paralela à base do cone, que é a base de um cone menor com o mesmo vértice. Encontre o volume do cone menor.

Decisão

Considere as tarefas:

72353. O volume de um cone é 10. Uma seção é traçada pelo meio da altura paralela à base do cone, que é a base de um cone menor com o mesmo vértice. Encontre o volume do cone menor.

Imediatamente, notamos que os cones originais e truncados são semelhantes, e se considerarmos o cone truncado em relação ao original, podemos dizer o seguinte: o cone menor é semelhante ao maior com um coeficiente igual a um segundo ou 0,5. Nós podemos escrever:

Poderia ser escrito:

Você poderia pensar assim!

Considere o cone original em relação ao cortado. Podemos dizer que um cone maior é semelhante a um cortado com um fator de dois, escrevemos:

Agora olhe para a solução sem usar propriedades de similaridade.

O volume de um cone é igual a um terço do produto da área de sua base e sua altura:

Considere uma projeção lateral (vista lateral) com a seção especificada:

Deixe o raio do cone maior ser R, a altura é H. A seção (a base do cone menor) passa pelo meio da altura, então sua altura será igual a H / 2. E o raio da base é R/2, isso decorre da semelhança dos triângulos.

Vamos escrever o volume do cone original:

O volume do cone de corte será igual a:

Essas soluções detalhadas são apresentadas para que você possa ver como pode construir o raciocínio. Aja de qualquer maneira - o principal é que você entenda a essência da decisão. Deixe o caminho que você escolher não ser racional, o resultado é importante (o resultado correto).

Resposta: 1,25

318145. Em um recipiente em forma de cone, o nível do líquido atinge a metade da altura. O volume do líquido é de 70 ml. Quantos mililitros de líquido devem ser adicionados para encher completamente o recipiente?

Esta tarefa é semelhante à anterior. Embora estejamos falando de um líquido aqui, o princípio da solução é o mesmo.

Temos dois cones - este é o próprio recipiente e o cone "pequeno" (preenchido com líquido), eles são semelhantes. Sabe-se que os volumes de corpos semelhantes estão relacionados da seguinte forma:

O cone original (vaso) é semelhante a um cone cheio de líquido com coeficiente igual a 2, pois se diz que o nível do líquido atinge a metade da altura. Você pode escrever com mais detalhes:

Calculamos:

Assim, você precisa adicionar:

Outras tarefas com líquidos.

74257. Encontre o volume V de um cone cuja geratriz é 44 e está inclinada em relação ao plano da base em um ângulo de 30 0 . Dê sua resposta V/Pi.

Volume do cone:

Encontramos a altura do cone pela propriedade de um triângulo retângulo.

O cateto oposto ao ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa. A hipotenusa, neste caso, é a geratriz do cone. Portanto, a altura do cone é 22.

Encontramos o quadrado do raio da base usando o teorema de Pitágoras:

*Precisamos do quadrado do raio, não do raio em si.

Cone. Tronco

Superfície cônica chamada de superfície formada por todas as linhas retas que passam por cada ponto da curva dada e um ponto fora da curva (Fig. 32).

Essa curva é chamada guia , direto - gerando , ponto - cume superfície cônica.

Superfície cônica circular reta chamada de superfície formada por todas as linhas que passam por cada ponto do círculo dado e um ponto na linha que é perpendicular ao plano do círculo e passa pelo seu centro. No que se segue, esta superfície será brevemente referida como superfície cônica (fig.33).

cone (cone circular reto ) é chamado de corpo geométrico limitado por uma superfície cônica e um plano paralelo ao plano do círculo guia (Fig. 34).

Arroz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Um cone pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo contendo um dos catetos do triângulo.

O círculo que limita o cone é chamado base . O vértice de uma superfície cônica é chamado cume cone. O segmento de linha que liga o topo de um cone com o centro de sua base é chamado alto cone. Os segmentos que formam uma superfície cônica são chamados gerando cone. eixo de um cone é uma linha reta que passa pelo vértice do cone e pelo centro de sua base. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone. Desenvolvimento da superfície lateral Um cone é um setor cujo raio é igual ao comprimento da geratriz do cone, e o comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base do cone.

Para um cone, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde Ré o raio da base;

H- altura;

eu- o comprimento da geratriz;

S principal- área de base;

lado S

S cheio

Vé o volume do cone.

cone truncado chamada de parte do cone encerrada entre a base e o plano de corte paralelo à base do cone (Fig. 35).

Um cone truncado pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um trapézio retangular em torno de um eixo contendo a face lateral do trapézio, perpendicular às bases.

Os dois círculos que delimitam o cone são chamados de motivos . Altura de um cone truncado é a distância entre suas bases. Os segmentos que formam a superfície cônica de um cone truncado são chamados gerando . A reta que passa pelos centros das bases chama-se eixo cone truncado. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone truncado.

Para um cone truncado, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

(8)

Onde Ré o raio da base inferior;

ré o raio da base superior;

Hé a altura, l é o comprimento da geratriz;

lado Sé a área de superfície lateral;

S cheioé a área total da superfície;

Vé o volume do cone truncado.

Exemplo 1 A seção do cone paralela à base divide a altura na proporção de 1:3, contando a partir do topo. Encontre a área da superfície lateral de um cone truncado se o raio da base e a altura do cone forem 9 cm e 12 cm.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 36).

Para calcular a área da superfície lateral de um cone truncado, usamos a fórmula (8). Encontre os raios das bases Cerca de 1A e Cerca de 1 V e gerando AB.

Considere triângulos semelhantes SO 2B e SO 1A, coeficiente de similaridade , então

Daqui

Desde então

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual a:

Responda: .

Exemplo2. Um quarto de círculo de raio é dobrado em uma superfície cônica. Encontre o raio da base e a altura do cone.

Decisão. O quádruplo de um círculo é um desenvolvimento da superfície lateral do cone. Indicar ré o raio de sua base, H- altura. A área de superfície lateral é calculada pela fórmula: . É igual à área de um quarto de círculo: . Obtemos uma equação com duas incógnitas r e eu(gerador de um cone). Neste caso, a geratriz é igual ao raio de um quarto de círculo R, então obtemos a seguinte equação: , de onde Conhecendo o raio da base e a geratriz, encontramos a altura do cone:

Responda: 2cm, .

Exemplo 3 Um trapézio retangular com um ângulo agudo de 45 O, uma base menor de 3 cm e um lado inclinado igual a , gira em torno do lado perpendicular às bases. Encontre o volume do corpo de revolução obtido.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 37).

Como resultado da rotação, obtemos um cone truncado; para encontrar seu volume, calculamos o raio da base maior e a altura. em um trapézio O 1 O 2 AB vamos gastar AC^O 1B. Em temos: então este triângulo é isósceles CA=BC\u003d 3 cm.

Responda:

Exemplo 4 Um triângulo com lados 13 cm, 37 cm e 40 cm gira em torno de um eixo externo que é paralelo ao lado maior e está a 3 cm dele (o eixo está localizado no plano do triângulo). Encontre a área da superfície do corpo de revolução resultante.

Decisão . Vamos fazer um desenho (Fig. 38).

A superfície do corpo de revolução resultante consiste nas superfícies laterais de dois cones truncados e na superfície lateral do cilindro. Para calcular essas áreas, é necessário conhecer os raios das bases dos cones e do cilindro ( SER e CO) formando cones ( BC e CA) e a altura do cilindro ( AB). O desconhecido é apenas CO. é a distância do lado do triângulo ao eixo de rotação. Vamos encontrar DC. A área do triângulo ABC de um lado é igual ao produto da metade do lado AB pela altura desenhada para ele DC, por outro lado, conhecendo todos os lados do triângulo, calculamos sua área usando a fórmula de Heron.

Volume do cone. Então chegamos aos cones e cilindros. Além dos que já foram publicados, serão cerca de nove artigos, consideraremos todos os tipos de tarefas. Se novas tarefas forem adicionadas ao banco aberto durante o ano, claro, elas também serão postadas no blog. Este artigo apresenta a teoria e exemplos em que ela é usada. Não basta saber a fórmula do volume de um cone, aliás, aqui está:

Nós podemos escrever:

Para resolver alguns exemplos, você precisa entender como os volumes de corpos semelhantes se correlacionam. É entender, e não apenas aprender a fórmula:

Ou seja, se aumentarmos (reduzirmos) as dimensões lineares do corpo em k vezes, a razão entre o volume do corpo resultante e o volume do original será igual a k 3 .

NOTA! Não importa como você define os volumes:

O fato é que no processo de resolução de problemas ao considerar tais corpos, alguns podem se confundir com o coeficiente k. A questão pode surgir - O que é igual a?

(dependendo do valor especificado na condição)

Tudo depende de qual lado você olha. É importante entender isso! Considere um exemplo - um cubo é dado, a borda do segundo cubo é três vezes maior:

Nesse caso, o coeficiente de similaridade é igual a três (a borda é aumentada três vezes), o que significa que a proporção ficará assim:

Ou seja, o volume do cubo resultante (maior) será 27 vezes maior.

Você pode olhar do outro lado.

Dado um cubo, a aresta do segundo cubo é três vezes menor:

O coeficiente de similaridade é igual a um terço (reduzindo a borda por um fator de três), o que significa que a proporção será semelhante a:

Ou seja, o volume do cubo resultante será 27 vezes menor.

Conclusão! Os índices não são importantes na designação de volumes, é importante entender como os corpos são considerados em relação uns aos outros.

É claro que:

- se o corpo original aumentar, o coeficiente será maior que um.

- se o corpo original diminuir, o coeficiente será menor que um.

Sobre a relação de volumes, podemos dizer o seguinte:

- se no problema dividirmos o volume de um corpo maior por um menor, obteremos o cubo do coeficiente de similaridade e o próprio coeficiente será maior que um.

- se dividirmos o volume de um corpo menor por um maior, obteremos o cubo do coeficiente de similaridade, e o próprio coeficiente será menor que um.

O mais importante a lembrar é que quando se trata de VOLUME de corpos semelhantes, o coeficiente de similaridade tem o TERCEIRO grau, e não o segundo, como no caso das áreas.

Mais um ponto a respeito.

A condição contém algo como uma geratriz de um cone. Este é um segmento que liga o topo do cone com os pontos da circunferência da base (indicados pela letra L na figura).

Aqui vale a pena notar que analisaremos problemas apenas com um cone direto (doravante simplesmente um cone). Os geradores de um cone reto são iguais

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.

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