Kandinsky sistematizou seus pontos de vista sobre a pintura em um livro "Ponto e linha no plano"(1926). Estudando formas geométricas, o artista descobriu que elas podem ser usadas para realçar ou enfraquecer as propriedades da cor. Para esta pintura, ele usou uma paleta suave deslocada para cores localizadas em uma parte do espectro.

Citações do livro:
LINHA
A linha geométrica é um objeto invisível. É um traço de um ponto em movimento, ou seja, seu produto. Ele surgiu do movimento - ou seja, como resultado da destruição do resto mais alto e autocontido do ponto. Aqui houve um salto de estático para dinâmico.
Assim, a linha é o maior oposto do elemento pictórico primário - o ponto. E pode ser designado com a máxima precisão como elemento secundário.

ORIGEM
Forças vindas de fora, transformando um ponto em uma linha, podem ser diferentes. A variedade de linhas depende do número dessas forças e suas combinações.
No final, a [origem] de todas as formas de linha pode ser reduzida a dois casos:
1. a aplicação de uma força e
2. aplicação de duas forças:
a) ação alternada única ou múltipla de ambas as forças,
b) ação simultânea de ambas as forças.

EM LINHA RETA
Se uma força vinda de fora move o ponto em qualquer direção, então surge o primeiro tipo de linha, e a direção escolhida permanece inalterada, e a própria linha tende a se mover ao longo de um caminho reto indefinidamente.
Esta é a linha reta, representando em sua tensão a forma mais comprimida da infinita possibilidade de movimento.
...
Entre as retas, distinguimos três tipos, em relação aos quais todas as outras retas são apenas desvios.
1. A forma mais simples de uma linha reta é a horizontal. Na mente humana, corresponde à linha ou superfície em que uma pessoa está ou se move. Assim, a horizontal é uma base de rolamento fria, que pode ser estendida em um plano em várias direções. Frio e planicidade são os sons principais desta linha, podendo ser definida como a forma mais curta de possibilidade fria ilimitada de movimento.
2. Completamente oposta a esta linha, tanto externa quanto internamente, perpendicular a ela, está a vertical, na qual a planura é substituída pela altura, ou seja, o frio é substituído pelo calor. Assim, a vertical é a forma mais curta de possibilidade ilimitada de movimento quente.
3. A terceira forma típica de uma linha reta é uma diagonal, que se desvia esquematicamente em um ângulo igual de ambas as anteriores e, portanto, tem uma atração igual para ambas, o que determina seu som interno, uma combinação uniforme de frio e calor. Então: a forma mais curta de possibilidade ilimitada de calor-frio de movimento.. .

Figura geométrica- um conjunto de pontos em uma superfície (muitas vezes em um plano), que forma um número finito de linhas.

As principais figuras geométricas do plano são ponto e Em linha reta linha. Um segmento, um raio, uma linha quebrada são as figuras geométricas mais simples em um plano.

Ponto- a menor figura geométrica, que é a base de outras figuras em qualquer imagem ou desenho.

Cada vez mais complexo figura geométrica existe um conjunto de pontos que possuem uma certa propriedade, característica apenas para esta figura.

Linha reta, ou Em linha reta - este é um conjunto infinito de pontos localizados na 1ª linha, que não tem começo nem fim. Em uma folha de papel, você pode ver apenas parte de uma linha reta, porque. não tem limite.

A linha é desenhada assim:

A parte de uma linha reta que é limitada em 2 lados por pontos é chamada segmento reta ou cortada. Ele é retratado assim:

Raioé uma semi-reta direcionada que tem um ponto de origem e que não tem fim. O feixe é mostrado assim:

Se você colocar um ponto em uma linha reta, esse ponto dividirá a linha reta em 2 feixes direcionados de forma oposta. Esses raios são chamados adicional.

linha quebrada- vários segmentos que estão conectados entre si de tal forma que o final do 1º segmento é o início do 2º segmento, e o final do 2º segmento é o início do 3º segmento, e assim sucessivamente, com vizinhos ( que têm 1 poço no ponto comum) os segmentos estão localizados em diferentes linhas retas. Quando o final do último segmento não coincidir com o início do 1º, essa linha quebrada será chamada abrir:

Quando o final do último segmento da polilinha coincide com o início do 1º, então esta polilinha será fechado. Um exemplo de uma polilinha fechada é qualquer polígono:

Polilinha fechada de quatro links - quadrilátero (retângulo):

Polilinha fechada de três links -

Tópico da lição

Figuras geométricas

O que é uma figura geométrica

Figuras geométricas são uma coleção de muitos pontos, linhas, superfícies ou corpos que estão localizados em uma superfície, plano ou espaço e formam um número finito de linhas.

O termo “figura” é, até certo ponto, formalmente aplicado a um conjunto de pontos, mas, como regra, costuma-se chamar de figura os conjuntos localizados em um plano e limitados a um número finito de linhas.

Ponto e linha são as principais figuras geométricas localizadas no plano.

As figuras geométricas mais simples no plano incluem um segmento, um raio e uma linha quebrada.

O que é geometria

A geometria é uma ciência matemática que estuda as propriedades das formas geométricas. Se o termo "geometria" é traduzido literalmente para o russo, significa "agrimensura", já que nos tempos antigos a principal tarefa da geometria, como ciência, era a medição de distâncias e áreas na superfície da terra.

A aplicação prática da geometria é inestimável em todos os momentos e independentemente da profissão. Nem um trabalhador, nem um engenheiro, nem um arquiteto, nem mesmo um artista pode prescindir do conhecimento de geometria.

Na geometria, existe uma seção que trata do estudo de várias figuras em um plano e é chamada de planimetria.

Você já sabe que uma figura é um conjunto arbitrário de pontos localizados em um plano.

As figuras geométricas incluem: um ponto, uma linha, um segmento, um raio, um triângulo, um quadrado, um círculo e outras figuras que a planimetria estuda.

Ponto

Pelo material estudado acima, você já sabe que o ponto se refere às principais formas geométricas. E embora esta seja a menor figura geométrica, é necessária para a construção de outras figuras em um plano, desenho ou imagem e é a base de todas as outras construções. Afinal, a construção de formas geométricas mais complexas consiste em muitos pontos característicos de uma determinada figura.

Na geometria, os pontos são indicados por letras maiúsculas do alfabeto latino, por exemplo, como: A, B, C, D ....

E agora vamos resumir, e então, do ponto de vista matemático, um ponto é um objeto tão abstrato no espaço que não tem volume, área, comprimento e outras características, mas continua sendo um dos conceitos fundamentais da matemática. Um ponto é um objeto de dimensão zero que não tem definição. De acordo com a definição de Euclides, um ponto é algo que não pode ser definido.

Em linha reta

Como um ponto, uma linha refere-se a figuras em um plano que não tem definição, pois consiste em um número infinito de pontos localizados em uma linha, que não tem começo nem fim. Pode-se argumentar que uma linha reta é infinita e não tem limite.

Se uma linha reta começa e termina com um ponto, então ela não é mais uma linha reta e é chamada de segmento.

Mas às vezes uma linha reta tem um ponto de um lado e não do outro. Neste caso, a linha se transforma em um raio.

Se pegarmos uma linha reta e colocarmos um ponto no meio, ela dividirá a linha reta em dois raios de direção oposta. Essas vigas são opcionais.

Se você tiver vários segmentos à sua frente, interconectados de modo que o final do primeiro segmento se torne o início do segundo, e o final do segundo segmento se torne o início do terceiro, etc., e esses segmentos não estão no mesma linha reta e, quando conectadas, têm um ponto comum, então a cadeia é uma linha quebrada.

Exercício

Qual linha quebrada é chamada de aberta?
Como se define uma linha?
Qual é o nome de uma linha quebrada que tem quatro links fechados?
Qual é o nome de uma linha quebrada com três links fechados?

Quando o final do último segmento da polilinha coincide com o início do 1º segmento, essa linha quebrada é chamada de fechada. Um exemplo de uma polilinha fechada é qualquer polígono.

Plano

Como um ponto e uma linha reta, o plano é um conceito primário, não tem definição e não pode ser visto como tendo começo nem fim. Portanto, ao considerar um plano, consideramos apenas aquela parte dele, que é limitada por uma linha tracejada fechada. Assim, qualquer superfície lisa pode ser considerada um plano. Esta superfície pode ser um pedaço de papel ou uma mesa.

Injeção

Uma figura que tem duas semirretas e um vértice é chamada de ângulo. A junção dos raios é o vértice desse ângulo, e os raios que formam esse ângulo são considerados seus lados.

Exercício:

1. Como o ângulo é indicado no texto?
2. Quais unidades podem medir o ângulo?
3. Quais são os ângulos?

Paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares.

Retângulo, quadrado e losango são casos especiais de paralelogramo.

Um paralelogramo com ângulos retos iguais a 90 graus é um retângulo.

Um quadrado é o mesmo paralelogramo, e seus ângulos e lados são iguais.

Quanto à definição de um losango, é uma figura geométrica, todos os lados iguais.

Além disso, você deve saber que qualquer quadrado é um losango, mas nem todo losango pode ser um quadrado.

Trapézio

Ao considerar tal figura geométrica como um trapézio, podemos dizer que, em particular, como um quadrilátero, tem um par de lados opostos paralelos e é curvilíneo.

Círculo e círculo

Um círculo é um lugar geométrico de pontos em um plano equidistantes de um dado ponto, chamado centro, a uma dada distância não nula, chamada raio.

Triângulo

O triângulo que você já está estudando também pertence a formas geométricas simples. Este é um dos tipos de polígonos, em que parte do plano é limitada por três pontos e três segmentos que conectam esses pontos em pares. Qualquer triângulo tem três vértices e três lados.

Exercício: Qual triângulo é chamado de degenerado?

Polígono

Os polígonos incluem formas geométricas de várias formas que possuem uma linha quebrada fechada.

Em um polígono, todos os pontos que conectam os segmentos são seus vértices. E os segmentos que compõem o polígono são seus lados.

Você sabe que o surgimento da geometria remonta a séculos e está associado ao desenvolvimento de vários ofícios, cultura, arte e observação do mundo circundante. Sim, e o nome das formas geométricas é uma confirmação disso, pois seus termos surgiram não apenas assim, mas por sua semelhança e semelhança.

Afinal, o termo "trapézio" na tradução da língua grega antiga da palavra "trapézio" significa uma mesa, uma refeição e outras palavras derivadas.

"Cone" vem da palavra grega "konos", que na tradução soa como uma pinha.

"Linha" tem raízes latinas e vem da palavra "linum", na tradução soa como um fio de linho.

Você sabia que, se você pegar figuras geométricas com o mesmo perímetro, entre elas o dono da maior área era um círculo.

Figura geométrica definido como qualquer conjunto de pontos.

Se todos os pontos de uma figura geométrica pertencem ao mesmo plano, ela é chamada de plana. Por exemplo, um segmento, um retângulo são figuras planas. Há figuras que não são planas. Este é, por exemplo, um cubo, uma bola, uma pirâmide.

Como o conceito de figura geométrica é definido através do conceito de conjunto, podemos dizer que uma figura está incluída em outra (ou está contida em outra), podemos considerar a união, interseção e diferença de figuras.

O ponto é um conceito indefinível. O ponto geralmente é introduzido desenhando-o ou perfurando-o com uma caneta em um pedaço de papel. Considera-se que um ponto não tem comprimento, nem largura, nem área.

Linhaé um conceito indefinido. Eles introduzem a linha modelando-a a partir de um cordão ou desenhando-a em um quadro, em um pedaço de papel. A principal propriedade de uma linha reta: uma linha reta é infinita. As linhas curvas podem ser fechadas ou abertas.

Raioé uma parte de uma linha reta limitada em um lado.

Segmento de linha- a parte de uma linha reta delimitada entre dois pontos - as extremidades do segmento.

linha quebrada- uma linha de segmentos conectados em série em ângulo entre si. O link de uma linha quebrada é um segmento. Os pontos de conexão dos links são chamados de vértices da polilinha.

Injeção- Esta é uma figura geométrica que consiste em um ponto e dois raios que emanam deste ponto. Os raios são chamados os lados do ângulo, e seu início comum é o seu vértice. Um ângulo é indicado de diferentes maneiras: ou seu vértice, ou seus lados, ou três pontos são indicados: o vértice e dois pontos nos lados do ângulo.

Um ângulo é chamado reto se seus lados estão na mesma linha reta. Um ângulo que é metade de um ângulo reto é chamado de ângulo reto. Um ângulo menor que um ângulo reto é chamado de ângulo agudo. Um ângulo maior que um ângulo reto, mas menor que um ângulo reto é chamado de ângulo obtuso.

Dois ângulos são chamados adjacentes se eles têm um lado em comum e os outros lados desses ângulos são semi-retas complementares.

Triânguloé uma das formas geométricas mais simples. Um triângulo é uma figura geométrica, que consiste em três pontos que não se encontram na mesma linha reta e três segmentos de pares conectando-os. Em qualquer triângulo, os seguintes elementos são distinguidos: lados, ângulos, alturas, bissetrizes, medianas, linhas médias.

Um triângulo agudo é um triângulo em que todos os ângulos são agudos. Ângulo Reto - Um triângulo que tem um ângulo reto. Um triângulo que tem um ângulo obtuso é chamado de triângulo obtuso. Dizemos que os triângulos são congruentes se seus lados e ângulos correspondentes forem iguais. Neste caso, os ângulos correspondentes devem estar contra os lados correspondentes. Um triângulo é chamado isósceles se seus dois lados são iguais. Esses lados iguais são chamados de lados, e o terceiro lado é chamado de base do triângulo.

quadrilátero Uma figura é chamada de figura que consiste em quatro pontos e quatro segmentos conectando-os em série, e três desses pontos não devem estar em uma linha reta, e os segmentos que os conectam não devem se cruzar. Esses pontos são chamados de vértices do quadrilátero, e os segmentos que os conectam são chamados de lados.

Uma diagonal é um segmento de linha que conecta vértices opostos de um polígono.

Retângulo Um quadrilátero é chamado em que todos os ângulos são retos.

Quadrado m é um retângulo em que todos os lados são iguais.

polígonoé chamada de linha quebrada simples fechada se seus links adjacentes não estiverem na mesma linha reta. Os vértices da polilinha são chamados de vértices do polígono, e suas ligações são chamadas de lados. Os segmentos que conectam não-vizinhos são chamados de diagonais.

circunferência chamada de figura que consiste em todos os pontos do plano equidistantes de um ponto dado, que é chamado de centro. Mas como essa definição clássica não é dada nas séries elementares, o conhecimento do círculo é realizado pelo método de exibição, conectando-o à atividade prática direta de desenhar um círculo com uma bússola. A distância dos pontos ao seu centro é chamada de raio. Um segmento de linha que liga dois pontos em um círculo é chamado de corda. A corda que passa pelo centro é chamada de diâmetro.

Um círculo a parte de um plano limitada por um círculo.

Paralelepípedo Prisma cuja base é um paralelogramo.

Cuboé um paralelepípedo retangular, cujas arestas são todas iguais.

Pirâmide- um poliedro, no qual uma face (chamada de base) é algum tipo de polígono, e as faces restantes (chamadas de lado) são triângulos com um vértice comum.

Cilindro- um corpo geométrico formado por segmentos de todas as linhas paralelas encerradas entre dois planos paralelos, intersectando o círculo em um dos planos, e perpendiculares aos planos das bases. Um cone é um corpo formado por todos os segmentos que ligam um determinado ponto - seu topo - com pontos de um determinado círculo - a base do cone.

Bolaé o conjunto de pontos no espaço localizados a uma distância não maior do que uma dada distância positiva de um dado ponto. O ponto dado é o centro da bola, e a distância dada é o raio.

Figuras geométricas são um complexo de pontos, linhas, sólidos ou superfícies. Esses elementos podem estar localizados tanto no plano quanto no espaço, formando um número finito de linhas.

O termo "figura" significa vários conjuntos de pontos. Eles devem estar localizados em um ou mais planos e simultaneamente limitados a um número específico de linhas concluídas.

As principais figuras geométricas são o ponto e a linha. Eles são planos. Além deles, entre figuras simples, distinguem-se um raio, uma linha quebrada e um segmento.

Ponto

Esta é uma das principais figuras da geometria. É muito pequeno, mas sempre é usado para construir várias formas em um avião. O ponto é a figura principal para absolutamente todas as construções, mesmo as de maior complexidade. Na geometria, geralmente é denotado por uma letra do alfabeto latino, por exemplo, A, B, K, L.

Do ponto de vista da matemática, um ponto é um objeto espacial abstrato que não possui características como área, volume, mas ao mesmo tempo continua sendo um conceito fundamental na geometria. Este objeto de dimensão zero simplesmente não tem definição.

Em linha reta

Esta figura é completamente colocada em um plano. A linha reta não tem uma definição matemática específica, pois consiste em um grande número de pontos localizados em uma linha sem fim, que não tem limites e fronteiras.

Há também um corte. Esta também é uma linha reta, mas começa e termina com um ponto, o que significa que tem restrições geométricas.

Além disso, a linha pode se transformar em um feixe direcional. Isso acontece quando a linha começa a partir de um ponto, mas não tem um final claro. Se você colocar um ponto no meio da linha, ele será dividido em dois raios (adicionais), além disso, direcionados de forma oposta um para o outro.

Vários segmentos que são sequencialmente conectados uns aos outros por extremidades em um ponto comum e não estão localizados na mesma linha reta são comumente chamados de linha quebrada.

Injeção

As formas geométricas, cujos nomes discutimos acima, são consideradas elementos-chave utilizados na construção de modelos mais complexos.

Ângulo é uma construção que consiste em um vértice e dois raios que dele saem. Ou seja, os lados desta figura estão conectados em um ponto.

Plano

Considere outro conceito primário. Um plano é uma figura que não tem fim nem começo, assim como uma linha reta e um ponto. Durante a consideração deste elemento geométrico, apenas uma parte dele, limitada pelos contornos de uma linha fechada quebrada, é levada em consideração.

Qualquer superfície lisa e limitada pode ser considerada um plano. Pode ser uma tábua de passar roupa, uma folha de papel ou até mesmo uma porta.

Quadrângulos

Um paralelogramo é uma figura geométrica cujos lados opostos são paralelos entre si em pares. Entre os tipos particulares deste design, destacam-se um losango, um retângulo e um quadrado.

Um retângulo é um paralelogramo em que todos os lados se tocam em ângulos retos.

Um quadrado é um quadrilátero com lados e ângulos iguais.

Um losango é uma figura em que todas as faces são iguais. Neste caso, os ângulos podem ser completamente diferentes, mas em pares. Cada quadrado é considerado um losango. Mas na direção oposta, essa regra nem sempre funciona. Nem todo losango é um quadrado.

Trapézio

As formas geométricas são completamente diferentes e bizarras. Cada um deles tem uma forma e propriedades únicas.

Um trapézio é uma figura que é um pouco semelhante a um quadrilátero. Tem dois lados opostos paralelos e é considerado curvilíneo.

Um círculo

Esta figura geométrica implica a localização no mesmo plano de pontos equidistantes do seu centro. Nesse caso, um determinado segmento diferente de zero é geralmente chamado de raio.

Triângulo

Esta é uma figura geométrica simples que é frequentemente encontrada e estudada.

Um triângulo é considerado uma subespécie de um polígono, localizado no mesmo plano e limitado por três faces e três pontos de contato. Esses elementos são conectados em pares.

Polígono

Os vértices dos polígonos são os pontos que ligam os segmentos. E estes últimos, por sua vez, são considerados partidos.

Formas geométricas volumétricas

• prisma;
• esfera;
• cone;
• cilindro;
• pirâmide;

Esses corpos têm algo em comum. Todos eles estão limitados a uma superfície fechada, dentro da qual existem muitos pontos.

Corpos volumétricos são estudados não apenas em geometria, mas também em cristalografia.

Fatos curiosos

Certamente você estará interessado em ler as informações fornecidas abaixo.

• A geometria foi formada como uma ciência nos tempos antigos. Esse fenômeno geralmente está associado ao desenvolvimento da arte e de vários ofícios. E os nomes das formas geométricas indicam o uso dos princípios de determinação de semelhança e semelhança.
• Traduzido do grego antigo, o termo "trapézio" significa uma mesa para uma refeição.
• Se você pegar figuras diferentes cujo perímetro é o mesmo, o círculo terá a maior área.
• Traduzido do grego, o termo "cone" significa uma pinha.
• Há uma famosa pintura de Kazemir Malevich, que atraiu a atenção de muitos pintores desde o século passado. A obra "Quadrado Negro" sempre foi mística e misteriosa. A figura geométrica em uma tela branca encanta e surpreende ao mesmo tempo.

Há um grande número de formas geométricas. Todos eles diferem em parâmetros e às vezes até surpreendem com formas.