X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10x

x2 x12

ax 2 bx c , onde a , b e c são números dados e a 0 .

Transformamos o trinômio quadrado ax 2 bx c como segue.

x2:

coeficiente

x): x

que é o quadrado de um número

Como resultado, obtemos:

Agora notando que

Obter

4a 2

Exemplo. Selecione um quadrado completo.

2 x 12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

1. Multiplique 8

x3 12 x 7.

24x23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Fatorar

a2x3

3 e 3 ;

4 3 85

16 6

2 520 9 519

16 0,25

16 0,25

Definição

Expressões como 2 x 2 + 3 x + 5 são chamadas de trinômio quadrado. No caso geral, um trinômio quadrado é uma expressão da forma a x 2 + b x + c, onde a, b, c a, b, c são números arbitrários e a ≠ 0.

Considere o trinômio quadrado x 2 - 4 x + 5 . Vamos escrever desta forma: x 2 - 2 2 x + 5. Vamos adicionar 2 2 a esta expressão e subtrair 2 2 , obtemos: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Observe que x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, então x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . A transformação que fizemos é chamada "seleção de um quadrado completo de um trinômio quadrado".

Selecione o quadrado perfeito do trinômio quadrado 9 x 2 + 3 x + 1 .

Observe que 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Então `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Adicione e subtraia à expressão resultante `(1/2)^2`, obtemos

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Vamos mostrar como o método de extrair um quadrado completo de um trinômio quadrado é usado para fatorar um trinômio quadrado.

Fatore o trinômio quadrado 4 x 2 - 12 x + 5 .

Selecionamos o quadrado completo do trinômio quadrado: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Agora aplique a fórmula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , obtemos: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x -1).

Fatore o trinômio quadrado - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Agora observe que 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 3 x 2 .

Adicionamos o termo 2 2 à expressão 9 x 2 - 12 x, obtemos:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Aplicamos a fórmula da diferença de quadrados, temos:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Fatore o trinômio quadrado 3 x 2 - 14 x - 5 .

Não podemos representar a expressão 3 x 2 como o quadrado de alguma expressão porque ainda não aprendemos isso na escola. Você passará por isso mais tarde, e já na Tarefa nº 4 estudaremos raízes quadradas. Vamos mostrar como podemos fatorar um dado trinômio quadrado:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Mostraremos como o método do quadrado completo é usado para encontrar os maiores ou menores valores de um trinômio quadrado.
Considere o trinômio quadrado x 2 - x + 3 . Selecionando um quadrado completo:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Observe que quando `x=1/2` o valor do trinômio quadrado é `11/4`, e quando `x!=1/2` um número positivo é adicionado ao valor de `11/4`, então nós obter um número maior que '11/4'. Assim, o menor valor do trinômio quadrado é `11/4` e é obtido com `x=1/2`.

Encontre o maior valor do trinômio quadrado - 16 2 + 8 x + 6 .

Selecionamos o quadrado completo do trinômio quadrado: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Com `x=1/4` o valor do trinômio quadrado é 7 , e com `x!=1/4` um número positivo é subtraído do número 7, ou seja, obtemos um número menor que 7 . Assim, o número 7 é o maior valor do trinômio quadrado, e é obtido com `x=1/4`.

Fatore o numerador e o denominador de `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` e cancele a fração.

Observe que o denominador da fração x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Decompomos o numerador da fração em fatores usando o método de extrair o quadrado completo do trinômio quadrado. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Esta fração foi reduzida para a forma `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` após a redução por (x - 3) obtemos `(x+5)/(x-3 )`.

Fatore o polinômio x 4 - 13 x 2 + 36.

Vamos aplicar o método do quadrado completo a este polinômio. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Como já observei, no cálculo integral não existe uma fórmula conveniente para integrar uma fração. E, portanto, há uma tendência triste: quanto mais “fantasia” a fração, mais difícil é encontrar a integral dela. A este respeito, é preciso recorrer a vários truques, que discutirei agora. Leitores preparados podem usar imediatamente índice:

• O método de subsunção sob o sinal do diferencial para frações simples

Método de Transformação Artificial do Numerador

Exemplo 1

A propósito, a integral considerada também pode ser resolvida pelo método de mudança de variável, denotando , mas a solução será muito mais longa.

Exemplo 2

Encontre a integral indefinida. Execute uma verificação.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Deve-se notar que aqui o método de substituição de variável não funcionará mais.

Atenção importante! Os exemplos nº 1, 2 são típicos e comuns. Em particular, essas integrais geralmente surgem no decorrer da resolução de outras integrais, em particular, ao integrar funções irracionais (raízes).

O método acima também funciona no caso se a maior potência do numerador for maior que a maior potência do denominador.

Exemplo 3

Encontre a integral indefinida. Execute uma verificação.

Vamos começar com o numerador.

O algoritmo de seleção do numerador é algo assim:

1) No numerador eu preciso organizar , mas lá . O que fazer? Coloco entre colchetes e multiplico por: .

2) Agora eu tento abrir esses colchetes, o que acontece? . Hmm... já está melhor, mas não há empate com inicialmente no numerador. O que fazer? Você precisa multiplicar por:

3) Abrindo novamente os suportes: . E aqui está o primeiro sucesso! Necessário acabou! Mas o problema é que apareceu um termo extra. O que fazer? Para que a expressão não mude, devo adicionar o mesmo à minha construção:
. A vida ficou mais fácil. É possível organizar novamente no numerador?

4) Você pode. Nós tentamos: . Expanda os colchetes do segundo termo:
. Desculpe, mas eu realmente tinha na etapa anterior, e não . O que fazer? Precisamos multiplicar o segundo termo por:

5) Novamente, para verificação, abro os colchetes no segundo mandato:
. Agora é normal: obtido a partir da construção final do parágrafo 3! Mas novamente há um pequeno “mas”, um termo extra apareceu, o que significa que devo acrescentar à minha expressão:

Se tudo for feito corretamente, ao abrir todos os colchetes, devemos obter o numerador original do integrando. Verificamos:
Bom.

Por isso:

Preparar. No último período, apliquei o método de trazer a função sob o diferencial.

Se encontrarmos a derivada da resposta e levarmos a expressão a um denominador comum, obteremos exatamente o integrando original. O método considerado de expansão em uma soma nada mais é do que a ação inversa para trazer a expressão a um denominador comum.

O algoritmo de seleção do numerador nesses exemplos é melhor executado em um rascunho. Com algumas habilidades, também funcionará mentalmente. Lembro-me de um tempo recorde em que fiz uma seleção pela 11ª potência, e a expansão do numerador levou quase duas linhas de Werd.

Exemplo 4

Encontre a integral indefinida. Execute uma verificação.

Este é um exemplo de faça você mesmo.

O método de subsunção sob o sinal do diferencial para frações simples

Vamos passar para o próximo tipo de frações.
, , , (os coeficientes e não são iguais a zero).

De fato, alguns casos com arco-seno e arco-tangente já escorregaram na lição Método de mudança de variável em integral indefinida. Tais exemplos são resolvidos colocando a função sob o sinal do diferencial e depois integrando usando a tabela. Aqui estão alguns exemplos mais típicos com um logaritmo longo e alto:

Exemplo 5

Exemplo 6

Aqui é aconselhável pegar uma tabela de integrais e seguir quais fórmulas e como transformação ocorre. Observação, como e por quê quadrados são destacados nestes exemplos. Em particular, no Exemplo 6, primeiro precisamos representar o denominador como , em seguida, coloque sob o sinal do diferencial. E você precisa fazer tudo isso para usar a fórmula tabular padrão .

Mas o que observar, tente resolver os exemplos nº 7,8 por conta própria, especialmente porque eles são bastante curtos:

Exemplo 7

Exemplo 8

Encontre a integral indefinida:

Se você também puder verificar esses exemplos, então grande respeito é suas habilidades de diferenciação no seu melhor.

Método de seleção de quadrado completo

Integrais da forma , (coeficientes e não são iguais a zero) são resolvidos método de seleção de quadrados completos, que já apareceu na lição Transformações de plotagem geométrica.

Na verdade, essas integrais se reduzem a uma das quatro integrais de tabela que acabamos de considerar. E isso é conseguido usando as conhecidas fórmulas de multiplicação abreviadas:

As fórmulas são aplicadas nesse sentido, ou seja, a ideia do método é organizar artificialmente as expressões no denominador ou , e depois convertê-las, respectivamente, para ou .

Exemplo 9

Encontre a integral indefinida

Este é o exemplo mais simples onde com o termo - coeficiente unitário(e não algum número ou menos).

Nós olhamos para o denominador, aqui a coisa toda é claramente reduzida ao caso. Vamos começar convertendo o denominador:

Obviamente, você precisa adicionar 4. E para que a expressão não mude - os mesmos quatro e subtraia:

Agora você pode aplicar a fórmula:

Depois que a conversão for concluída SEMPREé desejável realizar um movimento inverso: está tudo bem, não há erros.

O design limpo do exemplo em questão deve ser algo assim:

Preparar. Trazendo uma função complexa "livre" sob o sinal diferencial: , em princípio, poderia ser desprezado

Exemplo 10

Encontre a integral indefinida:

Este é um exemplo de auto-resolução, a resposta está no final da lição.

Exemplo 11

Encontre a integral indefinida:

O que fazer quando há um sinal de menos na frente? Nesse caso, você precisa tirar o menos dos colchetes e organizar os termos na ordem em que precisamos:. Constante("duplo" neste caso) Não toque!

Agora adicionamos um entre parênteses. Analisando a expressão, chegamos à conclusão de que precisamos de um atrás do colchete - adicione:

Aqui está a fórmula, aplique:

SEMPRE realizamos uma verificação no rascunho:
, que deveria ser verificado.

O design limpo do exemplo se parece com isto:

Nós complicamos a tarefa

Exemplo 12

Encontre a integral indefinida:

Aqui, com o termo, não é mais um coeficiente único, mas um “cinco”.

(1) Se uma constante for encontrada em, então a retiramos imediatamente dos colchetes.

(2) Em geral, é sempre melhor tirar essa constante da integral, para que ela não atrapalhe.

(3) É óbvio que tudo será reduzido à fórmula . É necessário entender o termo, ou seja, obter um "dois"

(4) Sim, . Então, adicionamos à expressão e subtraímos a mesma fração.

(5) Agora selecione um quadrado completo. No caso geral, também é necessário calcular , mas aqui temos uma longa fórmula logarítmica , e a ação não faz sentido para executar, por que - ficará claro um pouco mais baixo.

(6) Na verdade, podemos aplicar a fórmula , apenas em vez de "x" temos, o que não nega a validade da integral tabular. Estritamente falando, falta um passo - antes da integração, a função deveria ter sido colocada sob o sinal diferencial: , mas, como observei repetidamente, isso é muitas vezes negligenciado.

(7) Na resposta abaixo da raiz, é desejável abrir todos os colchetes de volta:

Complicado? Este não é o mais difícil no cálculo integral. Embora, os exemplos em consideração não sejam tão complicados, pois exigem uma boa técnica de cálculo.

Exemplo 13

Encontre a integral indefinida:

Este é um exemplo de faça você mesmo. Responda no final da aula.

Existem integrais com raízes no denominador, que, com a ajuda de uma substituição, são reduzidas a integrais do tipo considerado, você pode ler sobre elas no artigo Integrais complexos, mas é projetado para alunos altamente preparados.

Colocando o numerador sob o sinal do diferencial

Esta é a parte final da lição, no entanto, integrais desse tipo são bastante comuns! Se a fadiga se acumulou, talvez seja melhor ler amanhã? ;)

As integrais que consideraremos são semelhantes às integrais do parágrafo anterior, elas têm a forma: ou (os coeficientes , e não são iguais a zero).

Ou seja, temos uma função linear no numerador. Como resolver essas integrais?

Calculadora on-line.
Seleção do quadrado do binômio e fatoração do trinômio quadrado.

Aqueles. os problemas são reduzidos a encontrar os números \(p, q \) e \(n, m \)

O programa não só dá a resposta ao problema, mas também mostra o processo de solução.

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir um trinômio quadrado, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir um polinômio quadrado

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Os números podem ser inseridos como inteiros ou frações.
Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma de um decimal, mas também na forma de uma fração ordinária.

Regras para inserir frações decimais.
Em frações decimais, a parte fracionária do inteiro pode ser separada por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais como este: 2,5x - 3,5x^2

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Ao inserir uma expressão você pode usar colchetes. Neste caso, ao resolver, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemplo de solução detalhada

Seleção do quadrado do binômio.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Responda:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Fatoração.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\esquerda(x^2+x-2 \direita) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Responda:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

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Um pouco de teoria.

Extração de um binômio quadrado de um trinômio quadrado

Se o trinômio quadrado ax 2 + bx + c é representado como a (x + p) 2 + q, onde p e q são números reais, então eles dizem que de trinômio quadrado, o quadrado do binômio é destacado.

Vamos extrair o quadrado do binômio do trinômio 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Para fazer isso, representamos 6x como um produto de 2 * 3 * x e, em seguida, adicionamos e subtraímos 3 2 . Nós temos:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Que. nós selecionou o quadrado do binômio do trinômio quadrado, e mostrou que:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Fatoração de um trinômio quadrado

Se o trinômio quadrado ax 2 +bx+c é representado como a(x+n)(x+m), onde n e m são números reais, então diz-se que a operação foi realizada fatorações de um trinômio quadrado.

Vamos usar um exemplo para mostrar como essa transformação é feita.

Vamos fatorar o trinômio quadrado 2x 2 +4x-6.

Vamos tirar o coeficiente a dos parênteses, ou seja. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Vamos transformar a expressão entre colchetes.
Para fazer isso, representamos 2x como a diferença 3x-1x e -3 como -1*3. Nós temos:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Que. nós fatorar o trinômio quadrado, e mostrou que:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Observe que a fatoração de um trinômio quadrado só é possível quando a equação quadrática correspondente a esse trinômio tem raízes.
Aqueles. no nosso caso, fatorar o trinômio 2x 2 +4x-6 é possível se a equação quadrática 2x 2 +4x-6 =0 tiver raízes. No processo de fatoração, descobrimos que a equação 2x 2 +4x-6 =0 tem duas raízes 1 e -3, porque com esses valores, a equação 2(x-1)(x+3)=0 se transforma em uma verdadeira igualdade.

Nesta lição, vamos relembrar todos os métodos estudados anteriormente para fatorar um polinômio e considerar exemplos de sua aplicação; além disso, estudaremos um novo método - o método do quadrado completo e aprenderemos a aplicá-lo na resolução de vários problemas.

Sujeito:Fatorando polinômios

Lição:Fatoração de polinômios. Método de seleção de quadrados completos. Combinação de métodos

Lembre-se dos principais métodos para fatorar um polinômio que foram estudados anteriormente:

O método de tirar um fator comum entre colchetes, ou seja, um fator que está presente em todos os membros do polinômio. Considere um exemplo:

Lembre-se de que um monômio é um produto de potências e números. Em nosso exemplo, ambos os membros têm alguns elementos comuns e idênticos.

Então, vamos tirar o fator comum dos colchetes:

;

Lembre-se de que multiplicando o multiplicador renderizado pelo colchete, você pode verificar a correção da renderização.

método de agrupamento. Nem sempre é possível retirar um fator comum em um polinômio. Neste caso, você precisa dividir seus membros em grupos de tal forma que em cada grupo você possa tirar o fator comum e tentar decompô-lo para que depois de tirar os fatores dos grupos, apareça um fator comum para o toda a expressão, e a expansão poderia ser continuada. Considere um exemplo:

Agrupe o primeiro termo com o quarto, o segundo com o quinto e o terceiro com o sexto respectivamente:

Vamos tirar os fatores comuns nos grupos:

A expressão tem um fator comum. Vamos tirar:

Aplicação de fórmulas de multiplicação abreviadas. Considere um exemplo:

;

Vamos escrever a expressão em detalhes:

Obviamente, temos diante de nós a fórmula do quadrado da diferença, pois há uma soma dos quadrados de duas expressões e seu produto duplo é subtraído dela. Vamos rolar pela fórmula:

Hoje vamos aprender outra maneira - o método de seleção de quadrados completos. Baseia-se nas fórmulas do quadrado da soma e do quadrado da diferença. Relembre-os:

A fórmula do quadrado da soma (diferença);

A peculiaridade dessas fórmulas é que elas contêm quadrados de duas expressões e seu duplo produto. Considere um exemplo:

Vamos escrever a expressão:

Então a primeira expressão é , e a segunda .

Para fazer uma fórmula para o quadrado da soma ou diferença, o duplo produto das expressões não é suficiente. Ele precisa ser adicionado e subtraído:

Vamos recolher o quadrado completo da soma:

Vamos transformar a expressão resultante:

Aplicamos a fórmula da diferença de quadrados, lembrando que a diferença dos quadrados de duas expressões é o produto e as somas por sua diferença:

Assim, este método consiste, em primeiro lugar, no fato de que é necessário identificar as expressões a e b que estão ao quadrado, ou seja, determinar quais expressões estão ao quadrado neste exemplo. Depois disso, você precisa verificar a presença de um produto duplo e, se não estiver lá, adicione e subtraia, isso não mudará o significado do exemplo, mas o polinômio pode ser fatorado usando as fórmulas para o quadrado da soma ou diferença e diferença de quadrados, se possível.

Vamos para a resolução de exemplos.

Exemplo 1 - fatorar:

Encontre expressões que são elevadas ao quadrado:

Vamos escrever qual deve ser o seu duplo produto:

Vamos somar e subtrair o produto duplo:

Vamos recolher o quadrado completo da soma e dar os semelhantes:

Vamos escrever de acordo com a fórmula da diferença de quadrados:

Exemplo 2 - resolva a equação:

;

Há um trinômio no lado esquerdo da equação. Você precisa fatorar isso. Usamos a fórmula do quadrado da diferença:

Temos o quadrado da primeira expressão e o produto duplo, falta o quadrado da segunda expressão, vamos somar e subtrair:

Vamos recolher o quadrado completo e dar termos semelhantes:

Vamos aplicar a fórmula da diferença de quadrados:

Então temos a equação

Sabemos que o produto é igual a zero somente se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Com base nisso, vamos escrever as equações:

Vamos resolver a primeira equação:

Vamos resolver a segunda equação:

Resposta: ou

;

Agimos de forma semelhante ao exemplo anterior - selecione o quadrado da diferença.