Fundamentos da resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem (LNDE-2) com coeficientes constantes (PC)

Um CLDE de segunda ordem com coeficientes constantes $p$ e $q$ tem a forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, onde $f\left( x \right)$ é uma função contínua.

As duas afirmações a seguir são verdadeiras em relação ao 2º LNDE com PC.

Suponha que alguma função $U$ seja uma solução particular arbitrária de uma equação diferencial não homogênea. Vamos supor também que alguma função $Y$ é uma solução geral (OR) da equação diferencial homogênea linear correspondente (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Então o OR de LNDE-2 é igual à soma das soluções particulares e gerais indicadas, ou seja, $y=U+Y$.

Se o lado direito do LIDE de 2ª ordem é a soma das funções, ou seja, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, então primeiro você pode encontrar o PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ que corresponde a cada das funções $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, e depois disso escreva o LNDE-2 PD como $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solução de LNDE de 2ª ordem com PC

Obviamente, a forma de um ou outro PD $U$ de um dado LNDE-2 depende da forma específica de seu lado direito $f\left(x\right)$. Os casos mais simples de busca do PD do LNDE-2 são formulados como as quatro regras a seguir.

Regra número 1.

O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ou seja, é chamado de polinômio de grau $n$. Então seu PR $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, onde $Q_(n) \left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes nulas da equação característica do LODE-2 correspondente. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método dos coeficientes indefinidos (NC).

Regra número 2.

O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left( x\right)$ é um polinômio de grau $n$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, onde $Q_(n ) \left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $\alpha $. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NK.

Regra número 3.

A parte direita do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, onde $a$, $b$ e $\beta $ são números conhecidos. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\right )\cdot x^(r) $, onde $A$ e $B$ são coeficientes desconhecidos e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $i\cdot \beta $. Os coeficientes $A$ e $B$ são encontrados pelo método END.

Regra número 4.

O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, onde $P_(n) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $ n$, e $P_(m) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $m$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, onde $Q_(s) \left(x\right) $ e $ R_(s) \left(x\right)$ são polinômios de grau $s$, o número $s$ é o máximo de dois números $n$ e $m$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente, igual a $\alpha +i\cdot \beta $. Os coeficientes dos polinômios $Q_(s) \left(x\right)$ e $R_(s) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NK.

O método NK consiste em aplicar a seguinte regra. Para encontrar os coeficientes desconhecidos do polinômio, que fazem parte da solução particular da equação diferencial não homogênea LNDE-2, é necessário:

• substituir o PD $U$, escrito de forma geral, na parte esquerda do LNDE-2;
• no lado esquerdo do LNDE-2, faça simplificações e agrupe termos com as mesmas potências $x$;
• na identidade resultante, igualar os coeficientes dos termos com as mesmas potências $x$ dos lados esquerdo e direito;
• resolver o sistema resultante de equações lineares para coeficientes desconhecidos.

Exemplo 1

Tarefa: encontre o OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Encontre também o PR , satisfazendo as condições iniciais $y=6$ para $x=0$ e $y"=1$ para $x=0$.

Escreva o LODA-2 correspondente: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Equação característica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. As raízes da equação característica: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Essas raízes são reais e distintas. Assim, o OR do LODE-2 correspondente tem a forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

A parte direita deste LNDE-2 tem a forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. É necessário considerar o coeficiente do expoente do expoente $\alpha =3$. Este coeficiente não coincide com nenhuma das raízes da equação característica. Portanto, o PR deste LNDE-2 tem a forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vamos procurar os coeficientes $A$, $B$ usando o método NK.

Encontramos a primeira derivada do CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Encontramos a segunda derivada do CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Substituímos as funções $U""$, $U"$ e $U$ em vez de $y""$, $y"$ e $y$ no dado LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ao mesmo tempo, já que o expoente $e^(3\cdot x) $ está incluído como um fator em todos os componentes, então pode ser omitido.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Realizamos ações no lado esquerdo da igualdade resultante:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Usamos o método NC. Obtemos um sistema de equações lineares com duas incógnitas:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

A solução para este sistema é: $A=-2$, $B=-1$.

O CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para o nosso problema é assim: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

O OR $y=Y+U$ para o nosso problema é assim: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Para procurar um PD que satisfaça as condições iniciais dadas, encontramos a derivada $y"$ OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Substituímos em $y$ e $y"$ as condições iniciais $y=6$ por $x=0$ e $y"=1$ por $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Temos um sistema de equações:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Nós resolvemos. Encontramos $C_(1) $ usando a fórmula de Cramer e $C_(2) $ é determinado a partir da primeira equação:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3,$

Assim, o PD desta equação diferencial é: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Vimos que, no caso em que se conhece a solução geral de uma equação linear homogênea, é possível encontrar uma solução geral de uma equação não homogênea pelo método da variação de constantes arbitrárias. No entanto, a questão de como encontrar a solução geral da equação homogênea permaneceu em aberto. Em um caso particular, quando na equação diferencial linear (3) todos os coeficientes p eu(X)= um eu - constantes, é resolvido de forma bastante simples, mesmo sem integração.

Considere uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes, ou seja, equações da forma

y (n) + um 1 y (n – 1) + ... um n – 1 y " + a n y = 0, (14)

Onde um eu- constantes (eu= 1, 2, ...,n).

Como se sabe, para uma equação linear homogênea de 1ª ordem, a solução é uma função da forma e kx. Buscaremos uma solução para a Eq. (14) na forma j (X) = e kx.

Vamos substituir na equação (14) a função j (X) e seus derivados de ordem m (1 £ m£ n)j (m) (X) = km e kx. Obter

(kn + a 1 k n – 1 +… e n – 1 k + a n)e kx = 0,

mas e k x ¹ 0 para qualquer X, É por isso

k n + a 1 k n – 1 + ... um n – 1 k + a n = 0. (15)

A equação (15) é chamada equação característica, polinômio do lado esquerdo,- polinômio característico , suas raízes- raízes características equação diferencial (14).

Conclusão:

funçãoj (X) = e kx - solução da equação linear homogênea (14) se e somente se o número k - raiz da equação característica (15).

Assim, o processo de resolução da equação linear homogênea (14) é reduzido à resolução da equação algébrica (15).

Existem vários casos de raízes características.

1.Todas as raízes da equação característica são reais e distintas.

Nesse caso n raízes características diferentes k 1 ,k 2 ,..., k n corresponde n diferentes soluções da equação homogênea (14)

Pode-se mostrar que essas soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um sistema fundamental de soluções. Assim, a solução geral da equação é a função

Onde Com 1 , C 2 , ..., ~n - constantes arbitrárias.

EXEMPLO 7. Encontre a solução geral da equação linear homogênea:

a) no¢ ¢ (X) - 6no¢ (X) + 8no(X) = 0,b) no¢ ¢ ¢ (X) + 2no¢ ¢ (X) - 3no¢ (X) = 0.

Decisão. Vamos fazer uma equação característica. Para fazer isso, substituímos a derivada de ordem m funções y(x) para o grau correspondente

k(no (m) (x) « k m),

enquanto a função em si no(X) já que a derivada de ordem zero é substituída por k 0 = 1.

No caso (a), a equação característica tem a forma k 2 - 6k + 8 = 0. As raízes desta equação quadrática k 1 = 2,k 2 = 4. Como são reais e diferentes, a solução geral tem a forma j (X)= C 1 e 2X + De 2 e 4x.

Para o caso (b), a equação característica é a equação de terceiro grau k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Encontre as raízes desta equação:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

t . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

Essas raízes características correspondem ao sistema fundamental de soluções da equação diferencial:

j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .

A solução geral, de acordo com a fórmula (9), é a função

j (X)= C 1 +C 2 e x + C 3 e - 3X .

II . Todas as raízes da equação característica são diferentes, mas algumas delas são complexas.

Todos os coeficientes da equação diferencial (14), e consequentemente, de sua equação característica (15)- números reais, então se c entre as raízes características existe uma raiz complexa k 1 = a + ib, ou seja, sua raiz conjugada k 2 = ` k 1 = um- ib.Primeira raiz k 1 corresponde à solução da equação diferencial (14)

j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(usamos a fórmula de Euler e i x = cosx + isinx). Da mesma forma, a raiz k 2 = um- ib corresponde a decisão

j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ibx= machado(cosbx - isinbx).

Essas soluções são complexas. Para obter deles soluções reais, usamos as propriedades das soluções de uma equação linear homogênea (ver 13.2). Funções

são soluções reais da equação (14). Além disso, essas soluções são linearmente independentes. Assim, pode-se tirar a seguinte conclusão.

Regra 1.Um par de raízes complexas conjugadas a± ib da equação característica no FSR da equação homogênea linear (14) corresponde a duas soluções particulares reaise .

EXEMPLO 8. Encontre a solução geral da equação:

a) no¢ ¢ (X) - 2no ¢ (X) + 5no(X) = 0 ;b) no¢ ¢ ¢ (X) - no¢ ¢ (X) + 4no ¢ (X) - 4no(X) = 0.

Decisão. No caso da equação (a), as raízes da equação característica k 2 - 2k + 5 = 0 são dois números complexos conjugados

k 1, 2 = .

Portanto, de acordo com a regra 1, eles correspondem a duas soluções reais linearmente independentes: e , e a solução geral da equação é a função

j (X)= C 1 e x co 2x + C 2 e x pecado 2x.

No caso (b), para encontrar as raízes da equação característica k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, fatoramos seu lado esquerdo:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Portanto, temos três raízes características: k 1 = 1,k2 , 3 = ± 2eu. Cornu k 1 corresponde a decisão , e um par de raízes complexas conjugadas k 2, 3 = ± 2eu = 0 ± 2eu- duas soluções reais: e . Compomos a solução geral da equação:

j (X)= C 1 e x + C 2 porque 2x + C 3 pecado 2x.

III . Entre as raízes da equação característica existem múltiplos.

Deixe ser k 1 - verdadeira raiz da multiplicidade m equação característica (15), ou seja, entre as raízes existem m raízes iguais. Cada um deles corresponde à mesma solução da equação diferencial (14) No entanto, inclua m soluções iguais no FSR são impossíveis, pois constituem um sistema de funções linearmente dependente.

Pode-se mostrar que no caso de uma raiz múltipla k 1 soluções da equação (14), além da função, são as funções

As funções são linearmente independentes em todo o eixo numérico, pois , ou seja, podem ser incluídas no FSR.

Regra 2 raiz característica real k 1 multiplicidades m em FSR corresponde m soluções:

Se um k 1 - raiz complexa da multiplicidade m equação característica (15), então existe uma raiz conjugada k 1 multiplicidades m. Por analogia, obtemos a seguinte regra.

Regra 3. Um par de raízes complexas conjugadas a± ib no FSR corresponde a 2m soluções linearmente independentes reais:

, , ..., ,

, , ..., .

EXEMPLO 9. Encontre a solução geral da equação:

a) no¢ ¢ ¢ (X) + 3no¢ ¢ (X) + 3no¢ (X)+ y ( X)= 0;b) 4(X) + 6no¢ ¢ (X) + 9no(X) = 0.

Decisão. No caso (a), a equação característica tem a forma

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

ou seja k =- 1 - raiz de multiplicidade 3. Com base na regra 2, escrevemos a solução geral:

j (X)= C 1 +C 2 x + C 3 x 2 .

A equação característica no caso (b) é a equação

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

ou então,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± eu .

Temos um par de raízes complexas conjugadas, cada uma de multiplicidade 2. De acordo com a Regra 3, a solução geral é escrita como

j (X)= C 1 +C 2 x + C 3 +C 4 x.

Segue-se do exposto que para qualquer equação linear homogênea com coeficientes constantes, pode-se encontrar um sistema fundamental de soluções e formar uma solução geral. Portanto, a solução da equação não homogênea correspondente para qualquer função contínua f(x) no lado direito pode ser encontrado usando o método de variação de constantes arbitrárias (ver Seção 5.3).

Exemplo r10. Usando o método de variação, encontre a solução geral da equação não homogênea no¢ ¢ (X) - no¢ (X) - 6no(X) = x e 2x .

Decisão. Primeiro, encontramos a solução geral da equação homogênea correspondente no¢ ¢ (X) - no¢ (X) - 6no(X) = 0. As raízes da equação característica k 2 - k- 6 = 0 são k 1 = 3,k 2 = - 2, um solução geral da equação homogênea - função ` no ( X) = C 1 e 3X +C 2 e - 2X .

Vamos procurar uma solução para a equação não homogênea na forma

no( X) = Com 1 (X)e 3X +C 2 (X)e 2X . (*)

Vamos encontrar o determinante de Vronsky

C[e 3X , e 2X ] = .

Vamos compor o sistema de equações (12) em relação às derivadas das funções desconhecidas Com ¢ 1 (X) e Com¢ 2 (X):

Resolvendo o sistema usando as fórmulas de Cramer, obtemos

Integrando, encontramos Com 1 (X) e Com 2 (X):

Substituindo funções Com 1 (X) e Com 2 (X) em igualdade (*), obtemos a solução geral da equação no¢ ¢ (X) - no¢ (X) - 6no(X) = x e 2x :

No caso em que o lado direito de uma equação linear não homogênea com coeficientes constantes tem uma forma especial, uma solução particular da equação não homogênea pode ser encontrada sem recorrer ao método de variação de constantes arbitrárias.

Considere a equação com coeficientes constantes

y (n) + 1 ano (n– 1) + ... um n – 1 ano " + a n y = f (x), (16)

f( x) = emachado(P n(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)

Onde P n(x) e Rm(x) - polinômios de grau n e m respectivamente.

Decisão privada s*(X) da equação (16) é determinado pela fórmula

no* (X) = xse machado(Senhor(x)cosbx + Nº(x)sinbx), (18)

Onde Senhor(x) e N r(x) - polinômios de grau r = máximo(n, m) com coeficientes indeterminados , uma s igual à multiplicidade da raiz k 0 = a + ib polinômio característico da equação (16), enquanto é assumido s= 0 se k 0 não é uma raiz característica.

Para formular uma solução particular usando a fórmula (18), precisamos encontrar quatro parâmetros - a, b, r e s. Os três primeiros são determinados a partir do lado direito da equação, com r- é realmente o mais alto x encontrado no lado direito. Parâmetro sé encontrado comparando o número k 0 = a + ib e o conjunto de todas (levando em conta multiplicidades) raízes características da equação (16) que são encontradas na resolução da equação homogênea correspondente.

Consideremos casos particulares da forma da função (17):

1) em uma ¹ 0, b= 0f(x)= e ax P n(x);

2) quando uma= 0, b ¹ 0f(x)= P n(x) comosbx + Rm(x)sinbx;

3) quando uma = 0, b = 0f(x)=Pn(x).

Observação 1. Se P n (x) º 0 ou Rm (x)º 0, então o lado direito da equação f(x) = e ax P n (x)ñ osbx ou f(x) = e ax R m (x)sinbx, ou seja, contém apenas uma das funções - cosseno ou seno. Mas na notação de uma solução particular, ambos devem estar presentes, pois, de acordo com a fórmula (18), cada um deles é multiplicado por um polinômio com coeficientes indefinidos de mesmo grau r = max(n, m).

Exemplo 11. Determinar a forma de uma solução particular de uma equação linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes, se o lado direito da equação for conhecido f(X) = e x(2xcos 3x +(x 2 + 1)pecado 3x) e as raízes da equação característica:

uma ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3eu,k 3, 4 = ± 1;

dentro ) k 1, 2 = 1 ± 3eu,k 3, 4 = 1 ± 3eu.

Decisão. No lado direito, encontramos que na solução particular no*(X), que é determinado pela fórmula (18), parâmetros: uma= 1, b= 3, r= 2. Eles permanecem os mesmos para os três casos, daí o número k 0 , que especifica o último parâmetro s fórmula (18) é igual a k 0 = 1+ 3eu. No caso (a) não há número entre as raízes características k 0 = 1 + 3eu, meios, s= 0, e a solução particular tem a forma

s*(X) = x 0 e x(M 2 (x)porque 3x + N 2 (x)pecado 3x) =

= ex( (Machado 2 + Bx + C)porque 3x +(UMA 1 x 2 + B 1 x + C 1)pecado 3x.

No caso (b) o número k 0 = 1 + 3eu ocorre apenas uma vez entre as raízes características, o que significa que s= 1 e

s*(X) = x e x((Machado 2 + Bx + C)porque 3x +(UMA 1 x 2 + B 1 x + C 1)pecado 3x.

Para o caso (c) temos s= 2 e

s*(X) = x 2 e x((Machado 2 + Bx + C)porque 3x +(A 1 x 2 + B 1 x + C 1)pecado 3x.

No exemplo 11, existem dois polinômios de 2º grau com coeficientes indeterminados no registro da solução particular. Para encontrar uma solução, você precisa determinar os valores numéricos desses coeficientes. Vamos formular uma regra geral.

Para determinar os coeficientes desconhecidos de polinômios Senhor(x) e N r(x) igualdade (17) é diferenciada o número de vezes necessário, a função é substituída s*(X) e suas derivadas na equação (16). Comparando suas partes esquerda e direita, obtém-se um sistema de equações algébricas para encontrar os coeficientes.

Exemplo 12. Encontre uma solução para a equação no¢ ¢ (X) - no¢ (X) - 6no(X) = x 2x, tendo determinado uma solução particular da equação não homogênea pela forma do lado direito.

Decisão. A solução geral da equação não homogênea tem a forma

no( X) = ` no(X)+ s*(X),

Onde ` no ( X) - a solução geral da equação homogênea correspondente, e s*(X) - uma solução particular de uma equação não homogênea.

Primeiro resolvemos a equação homogênea no¢ ¢ (X) - no¢ (X) - 6no(X) = 0. Sua equação característica k 2 - k- 6 = 0 tem duas raízes k 1 = 3,k 2 = - 2, conseqüentemente, ` no ( X) = C 1 e 3X +C 2 e - 2X .

Usamos a fórmula (18) para determinar o tipo de solução particular no*(X). Função f(x) = x 2x é um caso especial (a) da fórmula (17), enquanto a = 2,b= 0 e r= 1, ou seja k 0 = 2 + 0eu = 2. Comparando com as raízes características, concluímos que s= 0. Substituindo os valores de todos os parâmetros na fórmula (18), temos s*(X) = (A + B)e 2X .

Para encontrar valores MAS e NO, encontre as derivadas de primeira e segunda ordem da função s*(X) = (A + B)e 2X :

s*¢ (X)= Ae 2X + 2(A + B)e 2X = (2A + A + 2B)e 2x,

s*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2A + A + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .

Após substituir a função s*(X) e suas derivadas na equação temos

(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2A + A + 2B)e 2X - 6(A + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

Assim, uma solução particular da equação não homogênea tem a forma

s*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,

e a solução geral - no ( X) = C 1 e 3X +C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Observação 2.No caso em que se coloca o problema de Cauchy para uma equação não homogênea, deve-se primeiro encontrar uma solução geral para a equação

no( X) = ,

tendo determinado todos os valores numéricos dos coeficientes em no*(X). Então use as condições iniciais e, substituindo-as na solução geral (e não na s*(X)), encontre os valores das constantes C i.

Exemplo 13. Encontre uma solução para o problema de Cauchy:

no¢ ¢ (X) - no¢ (X) - 6no(X) = x 2x ,y(0) = 0, e ¢ (X) = 0.

Decisão. Solução geral desta equação

no(X) = C 1 e 3X +C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X

foi encontrado no Exemplo 12. Para encontrar uma solução particular que satisfaça as condições iniciais do problema de Cauchy dado, obtemos o sistema de equações

Resolvendo, temos C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Portanto, a solução do problema de Cauchy é a função

no(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Observação 3(princípio de superposição). Se em uma equação linear L n[y(x)]= f(x), Onde f(x) = f 1 (x)+f 2 (x) e s* 1 (x) - solução da equação L n[y(x)]= f 1 (x), uma s* 2 (x) - solução da equação L n[y(x)]= f 2 (x), então a função s*(X)= y* 1 (x)+ s* 2 (x) é um solução da equação L n[y(x)]= f(x).

EXEMPLO 14. Indique a forma da solução geral da equação linear

no¢ ¢ (X) + 4no(X) = x + senx.

Decisão. Solução geral da equação homogênea correspondente

` no(x) = C 1 porque 2x + C 2 pecado 2x,

uma vez que a equação característica k 2 + 4 = 0 tem raízes k 1, 2 = ± 2eu.O lado direito da equação não corresponde à fórmula (17), mas se introduzirmos a notação f 1 (x) = x, f 2 (x) = senx e use o princípio da superposição , então uma solução particular da equação não homogênea pode ser encontrada na forma s*(X)= y* 1 (x)+ s* 2 (x), Onde s* 1 (x) - solução da equação no¢ ¢ (X) + 4no(X) = x, uma s* 2 (x) - solução da equação no¢ ¢ (X) + 4no(X) = senx. Pela fórmula (18)

s* 1 (x) = Machado + B,s* 2 (x) = Ccosx + Dsinx.

Então uma solução particular

s*(X) \u003d Ax + B + Ccosx + Dsinx,

portanto, a solução geral tem a forma

no(X) = C 1 porque 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.

EXEMPLO 15. O circuito elétrico consiste em uma fonte de corrente conectada em série com fem e(t) = E pecadoW t, indutância eu e recipientes Com, e

Este artigo revela a questão de resolver equações diferenciais não homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. A teoria será considerada juntamente com exemplos dos problemas apresentados. Para decifrar termos incompreensíveis, é necessário recorrer ao tópico das definições e conceitos básicos da teoria das equações diferenciais.

Considere uma equação diferencial linear (LDE) de segunda ordem com coeficientes constantes da forma y "" + p y " + q y \u003d f (x) , onde p e q são números arbitrários e a função existente f (x) é contínua no intervalo de integração x .

Passemos à formulação do teorema geral da solução para o LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema geral da solução para LDNU

Teorema 1

A solução geral, localizada no intervalo x, de uma equação diferencial não homogênea da forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) com coeficientes de integração contínua no intervalo x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) e uma função contínua f (x) é igual à soma da solução geral y 0 , que corresponde ao LODE, e alguma solução particular y ~ , onde a equação não homogênea original é y = y 0 + e ~ .

Isso mostra que a solução de tal equação de segunda ordem tem a forma y = y 0 + y ~ . O algoritmo para encontrar y 0 é considerado no artigo sobre equações diferenciais homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Depois disso, deve-se proceder à definição de y ~ .

A escolha de uma determinada solução para o LIDE depende do tipo de função disponível f(x) localizada no lado direito da equação. Para isso, é necessário considerar separadamente as soluções de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

Quando f (x) é considerado um polinômio de enésimo grau f (x) = P n (x) , segue-se que uma solução particular do LIDE é encontrada por uma fórmula da forma y ~ = Q n (x ) x γ , onde Q n ( x) é um polinômio de grau n, r é o número de raízes nulas da equação característica. O valor de y ~ é uma solução particular y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , então os coeficientes disponíveis, que são definidos pelo polinômio
Q n (x) , encontramos usando o método dos coeficientes indefinidos da igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 1

Calcule usando o teorema de Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Decisão

Em outras palavras, é necessário passar para uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y "" - 2 y " = x 2 + 1 , que satisfará as condições dadas y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

A solução geral de uma equação não homogênea linear é a soma da solução geral que corresponde à equação y 0 ou uma solução particular da equação não homogênea y ~ , ou seja, y = y 0 + y ~ .

Primeiro, vamos encontrar uma solução geral para o LNDE e depois uma particular.

Vamos prosseguir para encontrar y 0 . Escrever a equação característica ajudará a encontrar as raízes. Nós entendemos isso

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Descobrimos que as raízes são diferentes e reais. Por isso, escrevemos

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Vamos encontrar y ~ . Pode-se ver que o lado direito da equação dada é um polinômio de segundo grau, então uma das raízes é igual a zero. A partir daqui temos que uma solução particular para y ~ será

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, onde os valores de A, B, C tomar coeficientes indefinidos.

Vamos encontrá-los a partir de uma igualdade da forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Então obtemos isso:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Igualando os coeficientes com os mesmos expoentes x , obtemos um sistema de expressões lineares - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Ao resolver de qualquer uma das maneiras, encontramos os coeficientes e escrevemos: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 e y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Essa entrada é chamada de solução geral da equação diferencial de segunda ordem linear não homogênea original com coeficientes constantes.

Para encontrar uma solução particular que satisfaça as condições y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , é necessário determinar os valores C1 e C2, com base em uma igualdade da forma y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Obtemos isso:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Trabalhamos com o sistema de equações resultante da forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , onde C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Aplicando o teorema de Cauchy, temos que

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Responda: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Quando a função f (x) é representada como um produto de um polinômio com grau n e um expoente f (x) = P n (x) e a x , então obtemos que uma solução particular do LIDE de segunda ordem será uma equação da forma y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , onde Q n (x) é um polinômio de grau n e r é o número de raízes da equação característica igual a α .

Os coeficientes pertencentes a Q n (x) são encontrados pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 2

Encontre a solução geral de uma equação diferencial da forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Decisão

Equação geral y = y 0 + y ~ . A equação indicada corresponde ao LOD y "" - 2 y " = 0. O exemplo anterior mostra que suas raízes são k1 = 0 e k 2 = 2 e y 0 = C 1 + C 2 e 2 x de acordo com a equação característica.

Pode-se ver que o lado direito da equação é x 2 + 1 · e x . A partir daqui, o LNDE é encontrado através de y ~ = e a x Q n (x) x γ , onde Q n (x) , que é um polinômio de segundo grau, onde α = 1 e r = 0, porque a equação característica não não tem raiz igual a 1. Daí obtemos que

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C são coeficientes desconhecidos, que podem ser encontrados pela igualdade y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Percebido

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Igualamos os indicadores para os mesmos coeficientes e obtemos um sistema de equações lineares. A partir daqui encontramos A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Responda: pode-se ver que y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 é uma solução particular de LIDE, e y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Quando a função é escrita como f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sen β x , e A 1 e EM 1 são números, então uma equação da forma y ~ = A cos β x + B sen β x x γ , onde A e B são considerados coeficientes indefinidos, e r o número de raízes conjugadas complexas relacionadas à equação característica, igual a ± i β. Neste caso, a busca dos coeficientes é realizada pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 3

Encontre a solução geral de uma equação diferencial da forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sen (2 x) .

Decisão

Antes de escrever a equação característica, encontramos y 0 . Então

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Temos um par de raízes conjugadas complexas. Vamos transformar e obter:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sen (2 x)

As raízes da equação característica são consideradas um par conjugado ± 2 i , então f (x) = cos (2 x) + 3 sen (2 x) . Isso mostra que a busca por y ~ será feita a partir de y ~ = (A cos (β x) + B sen (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sen (2 x)) x. Desconhecidas os coeficientes A e B serão buscados a partir de uma igualdade da forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sen (2 x) .

Vamos transformar:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sen (2 x) x) " = = (- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x)

Então vê-se que

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sen (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ - 4 A sen (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sen(2x)

É necessário igualar os coeficientes de senos e cossenos. Obtemos um sistema da forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Segue-se que y ~ = (A cos (2 x) + B sen (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x .

Responda: a solução geral do LIDE original de segunda ordem com coeficientes constantes é considerada

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x

Quando f (x) = e a x P n (x) sen (β x) + Q k (x) cos (β x) , então y ~ = e a x (L m (x) sen (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Temos que r é o número de pares complexos conjugados de raízes relacionadas à equação característica, igual a α ± i β , onde P n (x) , Q k (x) , L m ( x e Nm (x) são polinômios de grau n, k, m, onde m = m a x (n, k). Encontrando coeficientes L m (x) e Nm (x)é produzido com base na igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 4

Encontre a solução geral y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Decisão

Fica claro a partir da condição que

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Então m = m a x (n , k) = 1 . Encontramos y 0 escrevendo primeiro a equação característica da forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Descobrimos que as raízes são reais e distintas. Portanto y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Em seguida, é necessário procurar uma solução geral baseada em uma equação não homogênea y ~ da forma

y ~ = e α x (L m (x) sen (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))

Sabe-se que A, B, C são coeficientes, r = 0, pois não há par de raízes conjugadas relacionadas à equação característica com α ± i β = 3 ± 5 · i . Esses coeficientes são encontrados a partir da igualdade resultante:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Encontrar a derivada e termos semelhantes dá

E 3 x ((15 A + 23 C) x sen (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sen (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sen (5 x) + 45 sen (5 x) + + 8 x cos ( 5x) - 5 cos (5x))

Depois de igualar os coeficientes, obtemos um sistema da forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

De tudo segue que

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)pecado(5x))

Responda: agora a solução geral da equação linear dada foi obtida:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritmo para resolver LDNU

Definição 1

Qualquer outro tipo de função f(x) para a solução fornece para o algoritmo de solução:

• encontrar a solução geral da equação homogênea linear correspondente, onde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , onde 1 e ano 2 são soluções particulares linearmente independentes de LODE, A partir de 1 e De 2 são consideradas constantes arbitrárias;
• aceitação como solução geral do LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• definição de derivadas de uma função através de um sistema da forma C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , e encontrar funções C1(x) e C 2 (x) por integração.

Exemplo 5

Encontre a solução geral para y "" + 36 y = 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Decisão

Continuamos escrevendo a equação característica, tendo escrito previamente y 0 , y "" + 36 y = 0 . Vamos escrever e resolver:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sen (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sen (6 x)

Temos que o registro da solução geral da equação dada terá a forma y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . É necessário passar para a definição de funções derivadas C1(x) e C2(x) de acordo com o sistema com equações:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sen (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sen (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

É preciso tomar uma decisão sobre C 1 "(x) e C2" (x) usando qualquer método. Então escrevemos:

C 1 "(x) \u003d - 4 sen 2 (6 x) + 2 sen (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sen (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sen (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Cada uma das equações deve ser integrada. Em seguida, escrevemos as equações resultantes:

C 1 (x) = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4

Segue que a solução geral terá a forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4 sen (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6 x)

Responda: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6x)

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Instituição educacional "Estado da Bielorrússia

Academia Agrícola"

Departamento de Matemática Superior

Diretrizes

sobre o estudo do tópico "Equações diferenciais lineares de segunda ordem" por alunos do departamento de contabilidade da forma de educação por correspondência (NISPO)

Gorki, 2013

Equações diferenciais lineares

segunda ordem com constantecoeficientes

Equações diferenciais homogêneas lineares

Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é chamada de equação da forma

Essa. uma equação que contém a função desejada e suas derivadas apenas no primeiro grau e não contém seus produtos. Nesta equação e
são alguns números, e a função
dado em algum intervalo
.

Se um
no intervalo
, então a equação (1) assume a forma

, (2)

e chamou linear homogêneo . Caso contrário, a equação (1) é chamada linear não homogêneo .

Considere a função complexa

, (3)

Onde
e
são funções reais. Se a função (3) é uma solução complexa da equação (2), então a parte real
, e a parte imaginária
soluções
tomadas separadamente são soluções da mesma equação homogênea. Assim, qualquer solução complexa da equação (2) gera duas soluções reais desta equação.

As soluções de uma equação linear homogênea têm as seguintes propriedades:

Se um é uma solução da equação (2), então a função
, Onde Com- uma constante arbitrária, também será uma solução para a equação (2);

Se um e são soluções da equação (2), então a função
também será uma solução para a equação (2);

Se um e são soluções da equação (2), então sua combinação linear
também será uma solução para a equação (2), onde e
são constantes arbitrárias.

Funções
e
chamado linearmente dependente no intervalo
se existem esses números e
, que não são iguais a zero ao mesmo tempo, que neste intervalo a igualdade

Se a igualdade (4) vale apenas quando
e
, então as funções
e
chamado Linearmente independente no intervalo
.

Exemplo 1 . Funções
e
são linearmente dependentes, pois
ao longo de toda a reta numérica. Neste exemplo
.

Exemplo 2 . Funções
e
são linearmente independentes em qualquer intervalo, uma vez que a igualdade
só é possível se e
, e
.

Construção de uma solução geral de um homogêneo linear

equações

Para encontrar uma solução geral para a equação (2), você precisa encontrar duas de suas soluções linearmente independentes e . Combinação linear dessas soluções
, Onde e
são constantes arbitrárias e fornecerão a solução geral de uma equação linear homogênea.

Soluções linearmente independentes da Eq. (2) serão procuradas na forma

, (5)

Onde - algum número. Então
,
. Vamos substituir essas expressões na equação (2):

ou
.

Como
, então
. Então a função
será uma solução para a equação (2) se satisfará a equação

. (6)

A equação (6) é chamada equação característica para a equação (2). Esta equação é uma equação quadrática algébrica.

Deixe ser e são as raízes desta equação. Eles podem ser reais e diferentes, ou complexos, ou reais e iguais. Vamos considerar esses casos.

Deixe as raízes e as equações características são reais e distintas. Então as soluções da equação (2) serão as funções
e
. Essas soluções são linearmente independentes, pois a igualdade
só pode ser realizada quando
, e
. Portanto, a solução geral da Eq. (2) tem a forma

,

Onde e
são constantes arbitrárias.

Exemplo 3
.

Decisão . A equação característica para este diferencial será
. Resolvendo esta equação quadrática, encontramos suas raízes
e
. Funções
e
são soluções da equação diferencial. A solução geral desta equação tem a forma
.

número complexo é chamada de expressão da forma
, Onde e são números reais e
é chamada de unidade imaginária. Se um
, então o número
é chamado de puramente imaginário. Se
, então o número
é identificado com um número real .

Número é chamada de parte real do número complexo, e - a parte imaginária. Se dois números complexos diferem um do outro apenas no sinal da parte imaginária, eles são chamados de conjugados:
,
.

Exemplo 4 . Resolva uma equação quadrática
.

Decisão . Equação discriminante
. Então. Da mesma maneira,
. Assim, esta equação quadrática tem raízes complexas conjugadas.

Sejam as raízes da equação característica complexas, ou seja,
,
, Onde
. As soluções da equação (2) podem ser escritas como
,
ou
,
. Pelas fórmulas de Euler

,
.

Então ,. Como é sabido, se uma função complexa é uma solução de uma equação linear homogênea, então as soluções dessa equação são as partes real e imaginária dessa função. Assim, as soluções da equação (2) serão as funções
e
. Desde a igualdade

só pode ser realizado se
e
, então essas soluções são linearmente independentes. Portanto, a solução geral da equação (2) tem a forma

Onde e
são constantes arbitrárias.

Exemplo 5 . Encontre a solução geral da equação diferencial
.

Decisão . A equação
é característico para o diferencial dado. Resolvemos e obtemos raízes complexas
,
. Funções
e
são soluções linearmente independentes da equação diferencial. A solução geral desta equação tem a forma.

Sejam as raízes da equação característica reais e iguais, i.e.
. Então as soluções da equação (2) são as funções
e
. Essas soluções são linearmente independentes, pois a expressão pode ser identicamente igual a zero somente quando
e
. Portanto, a solução geral da equação (2) tem a forma
.

Exemplo 6 . Encontre a solução geral da equação diferencial
.

Decisão . Equação característica
tem raízes iguais
. Neste caso, as soluções linearmente independentes da equação diferencial são as funções
e
. A solução geral tem a forma
.

Equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas com coeficientes constantes

e lado direito especial

A solução geral da equação linear não homogênea (1) é igual à soma da solução geral
equação homogênea correspondente e qualquer solução particular
equação não homogênea:
.

Em alguns casos, uma solução particular de uma equação não homogênea pode ser encontrada simplesmente pela forma do lado direito
equações (1). Vamos considerar os casos em que é possível.

Essa. o lado direito da equação não homogênea é um polinômio de grau m. Se um
não é uma raiz da equação característica, então uma solução particular da equação não homogênea deve ser buscada na forma de um polinômio de grau m, ou seja

Chances
são determinados no processo de encontrar uma solução particular.

Se
é a raiz da equação característica, então uma solução particular da equação não homogênea deve ser buscada na forma

Exemplo 7 . Encontre a solução geral da equação diferencial
.

Decisão . A equação homogênea correspondente para esta equação é
. Sua equação característica
tem raízes
e
. A solução geral da equação homogênea tem a forma
.

Como
não é uma raiz da equação característica, então buscaremos uma solução particular da equação não homogênea na forma de uma função
. Encontre as derivadas desta função
,
e substitua na equação:

ou . Iguale os coeficientes em e membros gratuitos:
Resolvendo este sistema, obtemos
,
. Então uma solução particular da equação não homogênea tem a forma
, e a solução geral desta equação não homogênea será a soma da solução geral da equação homogênea correspondente e a solução particular da não homogênea:
.

Deixe a equação não homogênea ter a forma

Se um
não é uma raiz da equação característica, então uma solução particular da equação não homogênea deve ser buscada na forma. Se
é a raiz da equação característica da multiplicidade k (k=1 ou k=2), então neste caso a solução particular da equação não homogênea terá a forma .

Exemplo 8 . Encontre a solução geral da equação diferencial
.

Decisão . A equação característica para a equação homogênea correspondente tem a forma
. suas raízes
,
. Neste caso, a solução geral da equação homogênea correspondente é escrita como
.

Uma vez que o número 3 não é a raiz da equação característica, então uma solução particular da equação não homogênea deve ser buscada na forma
. Vamos encontrar derivadas de primeira e segunda ordens:,

Substituindo na equação diferencial:
+ +,
+,.

Iguale os coeficientes em e membros gratuitos:

Daqui
,
. Então uma solução particular desta equação tem a forma
, e a solução geral

.

Método de Lagrange de variação de constantes arbitrárias

O método de variação de constantes arbitrárias pode ser aplicado a qualquer equação linear não homogênea com coeficientes constantes, independentemente da forma do lado direito. Este método permite sempre encontrar uma solução geral para uma equação não homogênea se a solução geral da equação homogênea correspondente for conhecida.

Deixe ser
e
são soluções linearmente independentes da Eq. (2). Então a solução geral desta equação é
, Onde e
são constantes arbitrárias. A essência do método de variação de constantes arbitrárias é que a solução geral da equação (1) é procurada na forma

Onde
e
- novos recursos desconhecidos a serem encontrados. Como existem duas funções desconhecidas, duas equações contendo essas funções são necessárias para encontrá-las. Essas duas equações formam o sistema

que é um sistema de equações algébricas lineares em relação a
e
. Resolvendo este sistema, encontramos
e
. Integrando ambas as partes das igualdades obtidas, encontramos

e
.

Substituindo essas expressões em (9), obtemos a solução geral da equação linear não homogênea (1).

Exemplo 9 . Encontre a solução geral da equação diferencial
.

Decisão. A equação característica para a equação homogênea correspondente à equação diferencial dada é
. Suas raízes são complexas
,
. Como
e
, então
,
, e a solução geral da equação homogênea tem a forma Então a solução geral desta equação não homogênea será procurada na forma em que
e
- funções desconhecidas.

O sistema de equações para encontrar essas funções desconhecidas tem a forma

Resolvendo este sistema, encontramos
,
. Então

,
. Vamos substituir as expressões obtidas na fórmula geral da solução:

Esta é a solução geral desta equação diferencial obtida pelo método de Lagrange.

Perguntas para o autocontrole do conhecimento

Qual equação diferencial é chamada de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes?

Qual equação diferencial linear é chamada de homogênea e qual é chamada de não homogênea?

Quais são as propriedades de uma equação linear homogênea?

Que equação é chamada característica de uma equação diferencial linear e como ela é obtida?

De que forma a solução geral de uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes é escrita no caso de diferentes raízes da equação característica?

De que forma a solução geral de uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes é escrita no caso de raízes iguais da equação característica?

De que forma a solução geral de uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes é escrita no caso de raízes complexas da equação característica?

Como é escrita a solução geral de uma equação linear não homogênea?

De que forma é procurada uma solução particular de uma equação linear não homogênea se as raízes da equação característica são diferentes e não iguais a zero, e o lado direito da equação é um polinômio de grau m?

De que forma se busca uma solução particular de uma equação linear não homogênea se houver um zero entre as raízes da equação característica e o lado direito da equação for um polinômio de grau m?

Qual é a essência do método de Lagrange?