Tanto na 7ª quanto na 8ª série, muitas vezes resolvemos equações graficamente. Você notou que em quase todos esses exemplos, as equações tinham raízes “boas”? Eram números inteiros que eram facilmente encontrados com a ajuda de gráficos, principalmente em papel quadriculado. Mas isso nem sempre é o caso, apenas pegamos “bons” exemplos até agora.

Considere duas equações: = 2 - x e = 4 - x. A primeira equação tem uma única raiz x \u003d 1, pois os gráficos das funções y \u003d e y \u003d 2 - x se cruzam em um ponto A (1; 1) (Fig. 112). No segundo caso, os gráficos das funções - fs e y \u003d 4 - x também se cruzam em um ponto B (Fig. 113), mas com coordenadas "ruins". Usando o desenho, podemos concluir que a abcissa do ponto B é aproximadamente igual a 2,5. Nesses casos, eles falam não sobre a solução exata, mas sobre a solução aproximada da equação e escrevem assim:

Esta é uma das razões pelas quais os matemáticos decidiram introduzir o conceito de valor aproximado de um número real. Há uma segunda razão, e talvez ainda mais importante: o que é um número real? Este é um decimal infinito. Mas é inconveniente realizar cálculos com frações decimais infinitas, portanto, na prática, são usados ​​valores aproximados de números reais. Por exemplo, para um número, eles usam a igualdade aproximada 3,141 ou 3,142. O primeiro é chamado de valor aproximado (ou aproximação) do número n em termos de deficiência com precisão de 0,001; o segundo é chamado de valor aproximado (aproximação) do número k em excesso com uma precisão de 0,001. Aproximações mais precisas podem ser feitas: por exemplo,
3,1415 - aproximação por deficiência com precisão de 0,0001; 3,1416 é uma aproximação em excesso com uma precisão de 0,0001. Você pode fazer aproximações menos precisas, digamos, com uma precisão de 0,01: 3,14 para a deficiência, 3,15 para o excesso.
Você usou o sinal de igualdade aproximado » no curso de matemática das 5ª a 6ª séries e, provavelmente, no curso de física, e nós o usamos anteriormente, por exemplo, no § 27.

Exemplo 1 Encontre valores aproximados para deficiência e excesso com precisão de 0,01 para números:

Solução,

a) Sabemos que = 2,236 . 2,24 é uma aproximação em excesso com uma precisão de 0,01.
b) 2 + = 2.000... + 2.236... = 4.236... . Portanto, 2 + 4,23 é uma aproximação em termos de deficiência com precisão de 0,01; 2 + 4,24 é uma aproximação em excesso com uma precisão de 0,01.
c) Temos 0,31818... (ver § 26). Assim, 0,31 é uma aproximação da deficiência com precisão de 0,01; 0,32 é uma aproximação em excesso com uma precisão de 0,01.
A aproximação por deficiência e a aproximação por excesso são às vezes chamadas de arredondamento de um número.

Definição. O erro de aproximação (erro absoluto) é o módulo da diferença entre o valor exato de x e seu valor aproximado a: o erro de aproximação é | x - a |.
Por exemplo, o erro de igualdade aproximada é expresso como ou respectivamente como ,
Surge uma questão puramente prática: qual aproximação é melhor, em termos de deficiência ou excesso, ou seja, em qual caso o erro é menor? Isso, é claro, depende do número específico para o qual as aproximações são feitas. Normalmente, ao arredondar números positivos, as seguintes regras são usadas:
forcado:

Vamos aplicar esta regra a todos os números considerados nesta seção; Vamos escolher para os números considerados aquelas aproximações para as quais o erro é o menor.
1) = 3,141592... . Com uma precisão de 0,001, temos 3,142; aqui o primeiro dígito descartado é 5 (na quarta casa após a vírgula), então fizemos a aproximação em excesso.
Com uma precisão de 0,0001, temos 3,1416 - e aqui fizemos a aproximação do excesso, pois o primeiro dígito descartado (na quinta casa após a vírgula) é 9. Mas com uma precisão de 0,01, precisamos fazer a aproximação da deficiência : 3.14.
2) = 2,236... . Com uma precisão de 0,01, temos 2,24
(excesso de aproximação). ¦
3) 2 + = 4,236... . Com uma precisão de 0,01, temos 2 + 4,24 (excesso de aproximação).
4) = 0,31818... . Com uma precisão de 0,001, temos 0,318 (aproximação por deficiência).
Vejamos o último exemplo com mais detalhes. Vamos pegar um fragmento ampliado da linha de coordenadas (Fig. 114).

O ponto pertence ao segmento , o que significa que suas distâncias das extremidades do segmento não excedem o comprimento do segmento. Distâncias de pontos das extremidades
segmentos são iguais respectivamente segmento é 0,001. Significa, e
Assim, em ambos os casos (tanto para aproximar um número por deficiência, quanto para aproximá-lo por excesso), o erro não ultrapassa 0,001.
Até agora, falamos sobre aproximações de 0,01, 0,001 e assim por diante. Agora podemos limpar a terminologia.
Se a é um valor aproximado do número x e , mo diz-se que o erro da aproximação não excede h ou que o número x é igual ao número a c

até h.

Por que é importante poder encontrar valores aproximados de números? O fato é que é praticamente impossível operar com frações decimais infinitas e usá-las para medir quantidades. Na prática, em muitos casos, em vez de valores exatos, são tomadas aproximações com uma precisão predeterminada (erro). Essa ideia também está embutida nas calculadoras, em cujos visores é exibida a fração decimal final, ou seja, uma aproximação do número exibido na tela (com raras exceções, quando o número exibido é uma fração decimal final que cabe na tela).

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

Tarefa 6.12.

Expanda em uma série de Fourier uma função periódica f(x) com um período, dado no intervalo .

1.	f(x)= .	2.	f(x)=
3.	f(x)=	4.	f(x)=
5.	f(x)=	6.	f(x)=
7.	f(x)=	8.	f(x)=
9.	f(x)=	10.	f(x)=
11.	f(x)=	12.	f(x)=
13.	f(x)=	14.	f(x)=
15.	f(x)=	16.	f(x)=
17.	f(x)=	18.	f(x)=
19.	f(x)=	20.	f(x)=
21.	f(x)=	22.	f(x)=
23.	f(x)=	24.	f(x)=
25.	f(x)=	26.	f(x)=
27.	f(x)=	28.	f(x)=
29.	f(x)=	30.	f(x)=

Tarefa 6.13.

Expanda a função f (x) dada no intervalo (0; π) em uma série de Fourier, continuando (estendendo-a) de maneira par e ímpar. Plote gráficos para cada continuação.

1.	f(x) = ex	2.	f(x)=x2	3.	f(x)=x2
4.	f(x) = ch x	5.	f (x) \u003d e - x	6.	f (x) = (x - 1) 2
7.	f(x) = 3 – x / 2	8.	f(x) = sh2x	9.	f(x) = e 2x
10.	f (x) = (x - 2) 2	11.	f(x)=4x/3	12.	f(x) = chx/2
13.	f(x)= e 4x	14.	f(x)=(x+1)2	15.	f(x) = 5 – x
16.	f(x) = sh 3 x	17.	f (x) \u003d e - x / 4	18.	f (x) = (2 x - 1) 2
19.	f(x)=6x/4	20.	f (x) = ch 4 x	21.	f (x) \u003d e - 3 x
22.	f(x) = x 2 + 1	23.	f(x) = 7 - x / 7	24.	f(x) = sh x /5
25.	f (x) \u003d e - 2 x / 3	26.	f (x) = (x - π) 2	27.	f(x) = 10 – x
28.	f(x) = ch x / π	29.	f (x) = e 4 x / 3	30.	f (x) = (x - 5) 2

Tarefa 6.14.

Expanda em uma série de Fourier no intervalo especificado a função periódica f (x) com período .

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.

Tarefa 6.15.

Usando a expansão da função f(x) em uma série de Fourier no intervalo especificado, encontre a soma dessa série numérica.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Controle de trabalho número 7.

"Teoria da probabilidade"

Tarefa 7.1.

1. Cada uma das duas equipes de 5 atletas realiza um sorteio para atribuição de números. Os dois irmãos estão em times diferentes. Encontre a probabilidade de que os irmãos recebam: a) número 4; b) o mesmo número.

2. O dispositivo contém dois blocos idênticos de funcionamento independente com probabilidades de operação sem falhas de 0,8. Encontre a probabilidade de que o seguinte funcione sem falhas: a) apenas um bloco; b) pelo menos um bloco.

3. A base enviou a mercadoria para duas lojas. A probabilidade de entrega pontual para cada um deles é de 0,8. Encontre a probabilidade de que as mercadorias sejam recebidas no prazo: a) apenas uma loja; b) pelo menos uma loja.

4. O barco programado pode estar atrasado devido a dois motivos independentes: mau tempo e mau funcionamento do equipamento. A probabilidade de mau tempo é de 0,3, a probabilidade de falha é de 0,4. Encontre a probabilidade de que o barco se atrase: a) apenas por causa do mau tempo; b) por qualquer motivo.

5. Os termos do duelo prevêem 2 tiros de cada um dos duelistas por turno até o primeiro acerto. As probabilidades de acertar com um tiro são 0,2 e 0,3, respectivamente. Encontre a probabilidade de que o primeiro duelista: a) acerte o oponente com um segundo tiro; b) acertar o oponente.

6. A probabilidade de um atacante marcar um gol com um chute a gol é de 0,3. Encontre a probabilidade de que após dois golpes sejam marcados: a) apenas um gol; b) pelo menos um objetivo.

7. A probabilidade de detecção oportuna de um míssil de cruzeiro por uma estação de radar (RLS) é 0,8. Há dois radares de serviço. Encontre a probabilidade de o míssil ser detectado: a) por apenas um radar; b) pelo menos um radar.

8. O número do carro contém quatro dígitos. Encontre a probabilidade de que a soma dos dígitos do número do carro que se aproxima: a) seja igual a dois; b) não mais que dois.

9. Encontre a probabilidade de que um número de dois dígitos nomeado aleatoriamente: a) seja divisível por 3; b) tem uma soma de dígitos igual a 1.

10. Em uma caixa há cinco bolas brancas e duas vermelhas. Encontre a probabilidade de que duas bolas retiradas ao acaso sejam: a) da mesma cor; b) branco.

11. Duas pessoas, independentemente uma da outra, embarcam em um trem elétrico de oito vagões. Encontre a probabilidade de seu encontro.

12. O míssil carrega duas ogivas múltiplas que atingem o alvo independentemente uma da outra com probabilidades de 0,8 e 0,7. Encontre a probabilidade de que o alvo seja atingido por: a) apenas uma ogiva; b) pelo menos uma ogiva.

13. Em uma caixa há cinco bolas brancas e três pretas. Encontre a probabilidade de que duas bolas retiradas ao acaso sejam: a) de cores diferentes; b) preto.

14. Encontre a probabilidade de que dois transeuntes tenham nascido: a) em um mês; b) no verão.

15. Encontre a probabilidade de que a soma dos dígitos de um número de dois dígitos selecionado aleatoriamente: a) seja igual a cinco; b) menos de cinco.

16. Encontre a probabilidade de que o produto dos dígitos de um número de dois dígitos selecionado aleatoriamente: a) seja igual a três; b) menos de três.

17. As probabilidades de pegar peixes ao morder para pescadores são 0,2 e 0,3, respectivamente. Cada um tinha uma mordida. Encontre a probabilidade de que sua captura total seja: a) um peixe; b) pelo menos um peixe.

18. O número de telefone contém 6 dígitos. Encontre a probabilidade de que a soma dos dígitos de um número selecionado aleatoriamente: a) seja igual a 2; b) menos de 2.

19. Encontre a probabilidade de que a palavra "excelente" seja digitada após oito toques aleatórios de uma máquina de escrever. O teclado contém 40 teclas.

20. Dois jogadores de xadrez jogam uma partida de duas partidas. A probabilidade de ganhar em cada jogo pelo primeiro deles é de 0,6. Qual é a probabilidade de que ele ganhe: a) apenas um jogo; 2) pelo menos um jogo.

21. Dois atiradores cada um disparou um tiro no alvo com probabilidade p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Encontre a probabilidade de: a) apenas um acerto; b) pelo menos um acerto.

22. As probabilidades de ultrapassar a barra para dois saltadores são p 1 = 0,8, p 2 = 0,7, respectivamente. Encontre a probabilidade de que: a) apenas um deles tome a altura; b) pelo menos um deles tomará a altura.

23. O número do carro é composto por quatro dígitos. Encontre a probabilidade de que o número de um carro que se aproxima contenha: a) três cincos seguidos; b) três cincos.

24. Duas equipes foram enviadas ao local do incêndio, que pode ser extinto a tempo com probabilidades p 1 = 0,9, p 2 = 0,8. Qual a probabilidade de extinguir o fogo, se para isso: a) basta um comando; b) ambos os comandos são necessários.

25. Dois aviões disparam um míssil contra um alvo com probabilidade de atingir p 1 =0,8, p 2 =0,9. Encontre a probabilidade de atingir o alvo: a) por dois mísseis; b) apenas um míssil.

26. O dispositivo consiste em três blocos de funcionamento independente A, B, C com as probabilidades de operação sem falhas P(A)=0,9, P(B)=0,8, P(C)=0,7. Encontre a probabilidade de operação sem problemas do dispositivo se isso exigir o funcionamento da unidade A e pelo menos uma das unidades B, C.

27. As probabilidades de cumprimento do plano mensal por duas oficinas do empreendimento são iguais a p 1 =0,9, p 2 =0,7. Assumindo que as lojas funcionam independentemente umas das outras, encontre as probabilidades de que: a) apenas uma loja cumpra o plano; b) pelo menos uma oficina cumprirá o plano.

28. Uma seção do circuito elétrico consiste em elementos conectados em série A, B com probabilidades de falha p 1 \u003d 0,1, p 2 \u003d 0,2. O elemento B é duplicado com a ajuda do elemento C conectado em paralelo a ele (p 3 \u003d 0.2). Encontre a probabilidade de operação sem falhas da seção: a) na ausência do elemento C; b) se disponível.

29. Duas armas disparam um projétil em um alvo com probabilidade de acertar p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Encontre a probabilidade de o alvo atingir: a) apenas um projétil; b) pelo menos um projétil.

30. As doenças A, B apresentam os mesmos sintomas encontrados no paciente. As probabilidades de doenças são P(A) = 0,3, P(B) = 0,5. Assumindo que uma pessoa pode adquirir doenças independentemente uma da outra, encontre a probabilidade de que o paciente esteja doente com: a) apenas uma das doenças; b) pelo menos uma doença.

Tarefa 7.2.

1. 70% do mesmo tipo de ferro à venda são fabricados na empresa A, 30% - na empresa B. A parcela de defeitos na empresa A é de 5%, na empresa B - 2%. a) Encontre a probabilidade de comprar um ferro defeituoso; b) o ferro adquirido revelou-se defeituoso. Qual é a probabilidade de que seja fabricado pela fábrica A?

2. Há 2 bolas brancas e 3 pretas na urna. Um deles é retirado ao acaso e colocado de lado. Em seguida, a segunda bola é sorteada. a) Encontre a probabilidade de que ele seja branco; b) a segunda bola retirada é branca. Qual é a probabilidade de a primeira bola ser preta?

3. O dispositivo é completado com uma unidade fabricada pelas fábricas 1 (fornece 60% das unidades), 2 (fornece 40% das unidades). A proporção de rejeitos na planta 1 é de 0,05, na planta 2 - 0,07. a) Encontre a probabilidade de que o dispositivo esteja com defeito; b) o dispositivo estava com defeito. Encontre a probabilidade de que o culpado seja a fábrica 1.

4. Na montagem dos rolamentos são utilizadas esferas, das quais 30% são fornecidas pela oficina 1 e 70% pela oficina 2. As taxas de rejeição nas oficinas são 0,1 e 0,05, respectivamente. a) Encontre a probabilidade de rolamento defeituoso; b) o rolamento estava com defeito. Encontre a probabilidade de que a loja 1 seja a culpada.

5. Duas urnas contêm 2 bolas brancas e 3 pretas. Uma bola é transferida aleatoriamente do primeiro para o segundo, então uma bola é retirada do segundo. a) Encontre a probabilidade de que ele seja branco; b) a bola extraída é branca. Qual é a probabilidade de que a bola preta tenha sido trocada?

6. Duas oficinas produzem, cada uma, 50% do mesmo tipo de TV à venda. A loja 1 produz 5% das TVs defeituosas, a loja 2 - 7%. a) Encontre a probabilidade de comprar uma TV com defeito; b) encontre a probabilidade de que a TV comprada tenha sido produzida pela oficina 1 se ela estiver com defeito.

7. A germinação (probabilidade de germinação) das sementes obtidas na estação de melhoramento 1 é 0,9, na estação 2 - 0,8. Uma quantidade igual de sementes de ambas as estações é colocada à venda. a) Encontrar a germinação das sementes adquiridas; b) Uma semente selecionada aleatoriamente não germinou quando semeada. Qual é a probabilidade de cultivá-la na estação 1?

8. Duas oficinas fornecem o mesmo número de parafusos por montagem. A parcela de rejeições na primeira loja é de 0,1, na segunda - 0,2. a) Encontre a probabilidade de que um parafuso escolhido ao acaso para montagem seja defeituoso; b) o parafuso estava com defeito. Qual é a probabilidade de que tenha sido feito pela loja 2?

9. O período latente da doença pode ser longo em 30% dos casos e curto em 70% dos casos. As probabilidades de recuperação são de 0,9 para períodos longos e 0,6 para períodos curtos. a) Encontre a probabilidade de recuperação de um paciente selecionado aleatoriamente; b) encontre a probabilidade de que o período latente tenha sido longo se o paciente se recuperasse.

10. Segundo as estatísticas, entre os bezerros que adoecem durante o ano, 20% adoecem na estação quente e 80% na estação fria. A probabilidade de recuperação de um bezerro que adoeceu na estação quente é de 0,9, na estação fria - 0,8. a) Encontre a probabilidade de recuperação de um paciente selecionado aleatoriamente; b) encontre a probabilidade de que o bezerro tenha adoecido durante a estação quente, se ele se recuperou.

11. A unidade é completada com um resistor de uma das três fábricas que realizam 60%, 30% e 20% do fornecimento. A porcentagem de rejeições entre os resistores é 0,3 na planta 1, 0,2 - na planta 2, 0,1 - na planta 3. A) Encontre a probabilidade de defeito da unidade produzida; b) encontre a probabilidade de que a unidade defeituosa esteja equipada com um resistor de fábrica 1.

12. Na fase de crise, a doença pode passar com igual probabilidade para as formas transitória (C) e lenta (B). As probabilidades de recuperação são 0,95 para o formulário C e 0,8 para o formulário B. a) Encontre a probabilidade de recuperação de um paciente selecionado aleatoriamente; b) encontre a probabilidade de que a doença tenha passado para a forma C se o paciente se recuperou.

13. No caso desta doença, as formas A e B são encontradas com igual frequência, o que determina seu curso posterior. No caso A, o paciente se recupera em um mês com probabilidade de 0,8, no caso B - com probabilidade de 0,6. a) Encontre a probabilidade de recuperação em um mês para um paciente selecionado aleatoriamente; b) encontre a probabilidade do curso da doença na forma A, se o paciente se recuperou dentro de um mês.

14. A probabilidade de cumprimento do plano pelo arrastão com a chegada atempada do petroleiro de reabastecimento é de 0,8, com a chegada prematura - 0,4. O petroleiro chega a tempo em 90% dos casos. a) Encontrar a probabilidade de cumprimento do plano pelo arrastão; b) calcular a probabilidade de reabastecimento atempado, caso se saiba que o arrastão cumpriu o plano.

15. O verão pode ser seco 20% do tempo, excessivamente úmido 30% do tempo e normal o resto do tempo. As probabilidades de maturação da cultura são 0,7, 0,6 e 0,9, respectivamente. a) Encontre a probabilidade de amadurecimento da cultura em um ano escolhido aleatoriamente; b) encontre a probabilidade de que o verão tenha sido seco se a colheita estava madura.

16. Nesta área, encontram-se apenas as doenças A e B, cujos sintomas são aparentemente indistinguíveis. Entre os pacientes A ocorre em 30% dos casos, B - em 70%. As probabilidades de recuperação de doenças são 0,6 e 0,3, respectivamente. a) encontre a probabilidade de que um paciente escolhido aleatoriamente se recupere; b) Qual é a probabilidade de que a pessoa recuperada tenha a doença A?

17. Um objeto pode ser colocado em operação no prazo com uma entrega planejada de equipamentos com probabilidade de 0,9, com entrega com atraso - com probabilidade de 0,6. Em média, foram observadas entregas planejadas em 80% dos pedidos, entregas com atraso - em 20%. a) Qual é a probabilidade de entrega do objeto no prazo? b) encontre a probabilidade de entrega pontual, se for conhecido que o objeto foi entregue no prazo.

18. Uma reação nuclear pode gerar partículas do tipo A em 70% dos casos e do tipo B em 30% dos casos. As partículas A são detectadas pelo dispositivo com uma probabilidade de 0,8, as partículas B - com uma probabilidade de 1. a) Encontre a probabilidade de detectar uma partícula no próximo experimento; b) O dispositivo notou o aparecimento de uma partícula. Qual a probabilidade de ser tipo B?

19. Entre os nascidos na primeira metade do ano, o peso médio ultrapassa 60% dos recém-nascidos, na segunda metade do ano - 30%. Supondo que a taxa de natalidade nos dois semestres seja a mesma, encontre: a) a probabilidade de excesso de peso de uma criança selecionada aleatoriamente; b) a probabilidade de ter um filho no primeiro semestre do ano, se ele estiver acima do peso.

20. O elétron emitido pelo cátodo pode ser "rápido" com probabilidade de 0,7 e "lento" - com probabilidade de 0,3. A probabilidade de elétrons "rápidos" atingirem o alvo é 0,9, "lento" - 0,4. Encontre a probabilidade de que: a) o elétron atinja o alvo; b) o elétron era "lento" se atingisse o alvo.

21. Uma raposa perseguindo uma lebre cinzenta o ultrapassa em 30% dos casos, uma lebre branca - em 20% dos casos. Ambos os tipos de lebres são encontrados na floresta com a mesma frequência. a) Qual é a probabilidade de a raposa alcançar uma lebre encontrada aleatoriamente; b) encontre a probabilidade de que a lebre ultrapassada fosse cinza.

22. A probabilidade de uma aeronave se atrasar em condições adversas (mau tempo, razões técnicas) é de 0,6 e em condições favoráveis ​​- 0,1. Condições desfavoráveis ​​foram observadas em 20% dos voos, favoráveis ​​- em 80%. Encontre a probabilidade de que: a) o avião se atrase no próximo voo; b) o atraso foi acompanhado por condições desfavoráveis.

23. Produtos do mesmo tipo são comercializados nas fábricas 1 e 2, fornecendo 60% e 40% dos produtos. A proporção de rejeitos na planta 1 é de 0,05, na planta 2 - 0,07. Encontre a probabilidade de que: a) o produto adquirido seja defeituoso; b) o produto defeituoso foi produzido pela fábrica 2.

24. Dois lotes contêm o mesmo número de peças do mesmo tipo e possuem cotas de rejeição (probabilidade de peças defeituosas) iguais a 0,1 e 0,2, respectivamente. Um dos lotes é selecionado aleatoriamente do qual a peça é removida. a) Encontre a probabilidade de que seja defeituoso; b) Encontre a probabilidade de que a peça que se revelou defeituosa pertencesse ao primeiro lote.

25. A probabilidade de atingir um alvo por um bombardeiro em tempo claro é de 0,9, com mau tempo - 0,7. Tempo claro em 1º de junho foi observado em 60% dos casos, mau tempo - em 40%. Encontre a probabilidade de que em 1º de junho: a) o alvo seja atingido; b) o tempo estava limpo se o alvo foi atingido.

26. Dois enxadristas A e B jogam uma partida. A probabilidade de A ganhar se tiver peças brancas é 0,7, se tiver peças pretas - 0,4. A cor das peças é determinada antes do jogo por sorteio. Encontre a probabilidade de que: a) o jogador de xadrez A vença; b) A jogou com peças pretas se se sabe que ele ganhou.

27. A probabilidade de chegada atempada da embarcação em caso de funcionamento sem problemas do motor é de 0,8 e em caso de avaria - 0,1. O motor funcionou perfeitamente em 90% das viagens da embarcação. Encontre a probabilidade de que: a) o navio não se atrase na próxima viagem; b) avarias do motor, se o navio estiver atrasado.

28. O dispositivo pode ser operado em 30% dos casos em condições difíceis, onde falha com probabilidade de 0,3, e em 70% dos casos - em condições favoráveis, onde falha com probabilidade de 0,1. Encontre a probabilidade de que: a) o dispositivo falhe; b) o dispositivo com falha foi operado em condições adversas.

29. De uma urna contendo 3 bolas brancas e 2 pretas, 2 bolas são retiradas. A cor do primeiro deles é desconhecida. Encontre a probabilidade de que: a) a segunda bola seja branca; b) a primeira bola era preta se a segunda fosse branca.

30. Duas oficinas fornecem o mesmo tipo de unidades para montagem do produto. O primeiro deles fornece 60% de todos os nós, o segundo - 40%. A probabilidade de um nó ser defeituoso é 0,2 para a loja 1 e 0,3 para a loja 2. Encontre a probabilidade de que: a) um nó selecionado aleatoriamente seja defeituoso; b) o conjunto defeituoso veio da loja 1.

Tarefa 7.3.

Construa uma série de distribuição, uma função de distribuição e seu gráfico, encontre a expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória X - o número de ocorrências de um evento aleatório A na série de testes independentes indicados abaixo.

1. Uma moeda é lançada 4 vezes. A - perda do brasão em um lance, Р(А)=0,5.

2. O atirador atira no alvo 3 vezes. A - acertar com um tiro, P(A)=0,6.

3. O pescador lança sua linha três vezes. A - mordida com um lance, P (A) \u003d 0,3.

4. De uma urna contendo 2 bolas brancas e 3 pretas, uma bola é retirada ao acaso (se for branca, então A veio), que é então devolvida à urna. A experiência é repetida 3 vezes.

5. São semeadas 3 sementes de abóbora. A germinação (probabilidade de germinação A de uma semente) é P(A)=0,8.

6. Uma partícula elementar pode ser registrada por um dispositivo (evento A) com probabilidade P(A)=0,7. Três partículas voam alternadamente na frente do dispositivo.

7. A - um evento que ocorre quando o primeiro dígito do número do carro que se aproxima é zero. Dois carros passam alternadamente.

8. A - falha do equipamento elétrico do carro durante o ano, P (A) \u003d 0,3. Três veículos estão sendo avaliados.

9. A - um evento que consiste em quebrar um recorde mundial por um atleta, Р(А)=0,2. Três atletas participam da competição.

10. A arma dispara três projéteis no alvo. A - acerto de projétil, P(A)=0,8.

11. Um livro retirado aleatoriamente de uma estante pode se tornar um livro didático (evento A) com probabilidade P(A)=0,4. Três livros são recuperados.

12. Ao nascer, um pósitron pode adquirir orientação de rotação direita (evento A) ou esquerda, Р(А)=0,6. 3 pósitrons são considerados.

13. A presença de argila azul indica a possibilidade de depósito de diamante (evento A) com probabilidade P(A)=0,4. A argila azul é encontrada em três áreas.

14. Durante o período de floração, a planta pode ser polinizada (evento A) com probabilidade P(A)=0,8. 4 plantas são consideradas.

15. Um pescador pode pegar um peixe ao morder (evento A) com probabilidade P(A)=0,4. O pescador deu três mordidas.

16. Em uma reação nuclear, uma partícula ressonante (evento A) pode ser formada com probabilidade P(A)=0,2. Três reações são consideradas.

17. Uma muda colocada no solo pode ser aceita (evento A) com probabilidade P(A)=0,7. Três mudas foram plantadas.

18. O gerador de uma usina pode falhar durante o ano (evento A) com probabilidade P(A)=0,2. Considera-se um período de três anos de operação do gerador.

19. Durante o dia, o leite no pote pode azedar (evento A) com probabilidade P(A)=0,4. O caso de três potes é considerado.

20. Em uma fotografia tirada em uma câmara de nuvens, uma partícula é registrada no experimento (evento A) com probabilidade P(A)=0,5. Foram realizados 4 experimentos.

21. A - o aparecimento de um número par de pontos ao lançar um dado. O dado é lançado 4 vezes.

22. Três canhões disparam contra seus alvos, A - o projétil atinge o alvo, P(A)=0,7.

23. Ao morder, um pescador pode retirar um peixe (evento A) com probabilidade P(A)=0,6. A mordida ocorreu em 4 pescadores.

24. A batida do rotor do motor elétrico leva à sua falha na probabilidade P(A) = 0,8. Três motores do mesmo tipo são considerados.

25. Ao fabricar uma peça, ela pode apresentar defeito (evento A) com probabilidade P(A)=0,2. Três peças foram feitas.

26. A máquina funciona perfeitamente por um ano (evento A) com probabilidade P(A)=0,8. Há 4 máquinas na oficina.

27. A - o aparecimento de um número ímpar de pontos ao lançar um dado. O dado é lançado 4 vezes.

28. O trem pode chegar no horário (evento A) com probabilidade P(A)=0,9. Três voos estão sendo considerados.

29. Em média, ao digitar uma página de texto, o operador comete um erro (evento A) em 30% dos casos. O artigo contém 4 páginas de texto.

30. Uma aeronave de reconhecimento pode detectar um alvo (evento A) com probabilidade P(A)=0,8. Três aviões foram enviados para localizar o alvo.

Tarefa 7.4.

Dada a função de distribuição F(x) da variável aleatória RV X, encontre a densidade de distribuição e plote-a. Calcule a probabilidade P( uma≤X≤ b) atingindo o valor de CB em um determinado intervalo, expectativa matemática e dispersão.

1.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Tarefa 7.5.

Encontre a probabilidade de cair no intervalo dado [ a, b] valores de uma variável aleatória normalmente distribuída X se sua esperança matemática for conhecida M[X] e variação D[X].

Var.	M[X]	D[X]		b
			-2
			-1
			-1
	-8		-9
			-2
			-1

Walter A. Aue / flickr.com

Físicos americanos refinaram a dimensão do espaço-tempo comparando a distância até a fonte, calculada a partir da atenuação das ondas gravitacionais e do desvio para o vermelho da radiação eletromagnética. Os cientistas realizaram esses cálculos para o evento GW170817 e descobriram que a dimensão do nosso espaço-tempo é aproximadamente igual a D≈ 4,0 ± 0,1. Além disso, eles estabeleceram um limite inferior para a vida útil de um gráviton, que era de cerca de 450 milhões de anos. A pré-impressão do artigo está disponível em arXiv.org.

Atualizado: em julho de 2018, o artigo foiPublicados no Journal of Cosmology and Astroarticle Physics.

A relatividade geral e o Modelo Padrão são construídos na suposição de que vivemos em um espaço-tempo quadridimensional. Mais precisamente, em (3 + 1)-dimensional: 3 dimensões espaciais e uma temporal. Por outro lado, os cientistas tendem a duvidar das afirmações mais elementares. Talvez a dimensão do nosso espaço-tempo não seja exatamente igual a quatro, mas apenas muito próxima desse valor? De fato, existem teorias nas quais nosso espaço-tempo está embutido em espaços dimensionais superiores. Portanto, de um modo geral, a quadridimensionalidade do nosso mundo deve ser provada, e não tida como certa.

Um grupo de físicos liderados por David Spergel estabeleceu limites precisos na dimensão do nosso espaço-tempo analisando ondas gravitacionais e eletromagnéticas que atingem a Terra quase simultaneamente, emitidas durante a fusão de duas estrelas de nêutrons. Por um lado, a distância até a fonte de onda pode ser determinada a partir do componente eletromagnético. Por outro lado, pode ser calculado a partir da atenuação das ondas gravitacionais. Obviamente, ambas as distâncias devem coincidir, o que impõe restrições à diferença entre a taxa de decaimento e a taxa prevista pela relatividade geral. Vale a pena notar que um erro adicional na distância determinada a partir do redshift é introduzido pelo fato de que os valores da constante de Hubble, medidos a partir da velocidade de recessão das galáxias e das flutuações da radiação cósmica de fundo, são um com o outro. Neste artigo, apenas por precaução, os cientistas realizaram cálculos para ambos os valores, mas o erro nos dados experimentais ainda superou essa diferença.

Na Relatividade Geral, a intensidade das ondas gravitacionais diminui inversamente com a primeira potência da distância da fonte: h ~ 1/r. No entanto, em teorias com mais dimensões, essa lei é modificada e o amortecimento ocorre mais rapidamente: h ~ 1/rγ , onde γ = ( D− 2)/2, e D- número de medições. Acontece que a energia da onda parece "vazar" em dimensões adicionais. Calculando a distância "eletromagnética" e "gravitacional" às estrelas de nêutrons, os físicos determinaram que o grau de dependência γ ≈ 1,00 ± 0,03, ou seja, a dimensão do nosso espaço D≈ 4,0 ± 0,1.

A distribuição de probabilidade em que vivemos D espaço tridimensional. Linhas de cores diferentes correspondem a diferentes valores da constante de Hubble usada nos cálculos

Por outro lado, em outro tipo de teorias alternativas, a gravidade é rastreada - em pequenas distâncias ela se comporta da mesma forma que na teoria quadridimensional, e em grandes distâncias assemelha-se a D-dimensional. Dadas as limitações do evento GW170817, os físicos determinaram o raio mínimo de blindagem para tais teorias em cerca de vinte megaparsecs. Neste caso, a fonte real das ondas está localizada na galáxia NGC 4993 a uma distância de cerca de quarenta megaparsecs.

Finalmente, a atenuação adicional das ondas gravitacionais pode surgir devido ao fato de que os grávitons são partículas instáveis ​​e decaem durante a viagem da fonte ao detector. Com base nessa suposição, os físicos calcularam um limite inferior para a vida útil de um gráviton. Descobriu-se que não pode ser inferior a 4,5 × 10 8 anos.

O registro simultâneo dos componentes gravitacional e eletromagnético teve grande influência nas teorias alternativas da gravidade. Por exemplo, no final de dezembro do ano passado em Cartas de Revisão Física Ao mesmo tempo, quatro artigos foram publicados de uma só vez, dedicados ao evento GW170817 e restrições a várias teorias quânticas da gravidade. Além disso, este evento é uma restrição muito estrita à velocidade da gravidade - agora a razão entre a velocidade da gravidade e a velocidade da luz pode diferir da unidade em não mais que 3 × 10 −15 .

Dmitry Trunin

Em 9 de setembro de 2007, o piloto Logan Gomez venceu a corrida Chicagoland 100 do campeonato IRL Indy Pro Series. Ele venceu o segundo colocado por 0,0005 segundos, estabelecendo um recorde de densidade de acabamentos no automobilismo mundial. Que equipamento pode medir o tempo com tanta precisão?

Na onda do farol Nas corridas modernas, o tempo é completamente automático. Cada carro está equipado com um rádio-farol que emite ondas de rádio em uma frequência única. Antenas, localizadas em locais estritamente definidos na pista, captam seu sinal e determinam por frequência por qual determinado carro passou. As antenas estão dispostas duas a uma: medindo o tempo que leva para percorrer a distância de uma antena a outra, o computador determina a velocidade do carro. Até 20 antenas podem ser localizadas no caminho. Antenas especiais são usadas para controlar a velocidade no pit lane. As informações dos receptores de rádio são enviadas para a central de cronometragem, onde mais de 20 engenheiros monitoram continuamente o funcionamento dos computadores. Por precaução, o sistema de cronometragem é apoiado por um par de fotocélulas infravermelhas instaladas na linha de chegada.

Tim Skorenko

É na série Indycar que os requisitos de tempo são os mais rigorosos. Nenhum outro campeonato pode se gabar de medir o tempo até o décimo de milésimo de segundo mais próximo. O número esmagador de séries é limitado a 0,001 s, e isso geralmente é suficiente com uma margem, mas há incidentes: por exemplo, na qualificação do Grande Prêmio da Europa de 1997 na classe de Fórmula 1, até três pilotos conseguiram mostrar um tempo que corresponde a um milésimo de segundo, - 1.21.072. A pole position acabou para Jacques Villeneuve, que completou sua volta mais rápida à frente dos outros.

Na Fórmula 1, a precisão do tempo mudou acentuadamente ao longo do tempo. No primeiro campeonato em 1950, 0,1 s foi suficiente para dar conta da finalização dos pilotos. Não houve uma única corrida incluída na classificação do campeonato, onde a diferença entre os pilotos seria inferior a um segundo. A precisão de 0,1 remonta ao primeiro Grande Prêmio da história do automobilismo - o Grande Prêmio da França em 1906, onde o vencedor, Ferenc Szys na Renault, foi de 12 horas 14 minutos e 7,4 segundos (não é páreo para o curto e corridas fáceis de hoje, certo?). Na maioria das corridas realizadas antes da Primeira Guerra Mundial, a precisão não excedeu 1 s.

Nas corridas modernas, o tempo é totalmente automático. Cada carro está equipado com um rádio-farol que emite ondas de rádio em uma frequência única. Antenas, localizadas em locais estritamente definidos na pista, captam seu sinal e determinam por frequência por qual determinado carro passou. As antenas estão dispostas duas a uma: medindo o tempo que leva para percorrer a distância de uma antena a outra, o computador determina a velocidade do carro. Até 20 antenas podem ser localizadas no caminho. Antenas especiais são usadas para controlar a velocidade no pit lane. As informações dos receptores de rádio são enviadas para a central de cronometragem, onde mais de 20 engenheiros monitoram continuamente o funcionamento dos computadores. Por precaução, o sistema de cronometragem é apoiado por um par de fotocélulas infravermelhas instaladas na linha de chegada.

Na América, os cronometristas eram muito mais progressistas. As corridas do pós-guerra da série AAA (mais tarde CART) geralmente exigiam uma precisão de medição de até 0,01. Isso se deve principalmente à configuração das pistas e à abundância de ovais, onde os espaços entre os pilotos são extremamente pequenos. A incrível precisão da cronometragem da IRL moderna se deve ao mesmo fator: das dezessete etapas do campeonato de 2010, oito são disputadas em ovais.

Incidentes e falhas

A cronometragem das corridas está intimamente ligada aos principais fabricantes mundiais de relógios e eletrônicos: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines... Quase todos eles estão representados em vários esportes de uma forma ou de outra como cronometristas oficiais. Erros e imprecisões na medição do tempo são praticamente excluídos hoje. De 1992 até hoje, o já mencionado 97 Grande Prêmio da Europa se tornou a única curiosidade cronométrica da Fórmula 1, e mesmo esses incidentes são completamente impossíveis na IRL.

Hoje, os sistemas de cronometragem da Indycar e da NASCAR são considerados entre os melhores do mundo. Cada pista está equipada de tal forma que os organizadores europeus só podem invejar. A pontuação vai para 0,0001 segundos (para Indycar), e os espectadores ao vivo a qualquer momento podem obter informações sobre a velocidade de cada carro na pista, seu tempo de volta e qualquer um dos setores do círculo, lacunas no pelaton com precisão de um setor, etc. em geral, o máximo de informação. Em uma corrida em que metade da temporada é disputada em ovais, o tempo é de extrema importância. O vencedor é muitas vezes determinado por um acabamento fotográfico.

Curiosamente, o conceito de "cronometrista oficial" apareceu recentemente. É a Tissot que está a "liderar" o campeonato mundial de motociclismo hoje, e nenhuma outra empresa tem o direito de interferir. Até 30 anos atrás, cada corrida individual tinha seus próprios cronometristas, “armados” com os equipamentos que os organizadores podiam comprar.

Antes da Segunda Guerra Mundial, quase todas as séries e classes de corrida eram cronometradas manualmente: pessoas especialmente treinadas com cronômetros ficavam na pista. Eles registraram o tempo de volta do próximo carro e registraram os dados. No entanto, também houve avanços. Em 1911, na primeira corrida das 500 Milhas de Indianápolis, o engenheiro Charlie Warner projetou e implementou o primeiro sistema de cronometragem semiautomático. Ao longo da linha de partida e chegada, um fio fino foi levemente esticado e levemente elevado acima do revestimento de tijolos. Cada máquina pressionava o fio no chão, aumentando sua tensão. Um selo de martelo foi preso ao fio, que, quando puxado, colocou uma marca de tinta em uma fita rastejante com divisões. A precisão da medição atingiu 0,01 s! Os números de carros em frente a cada ponto foram definidos manualmente pelo cronometrista. O sistema não se enraizou por um motivo engraçado: no meio da corrida, o carro do piloto Herb Little quebrou o fio. Ao puxar um novo (correndo na frente de carros em movimento), pelo menos 20 voltas se passaram, durante as quais o tempo foi aproximadamente. A vitória na corrida foi concedida a Ray Harrown no Marmon, mas outro piloto famoso, Ralph Mulford, tinha certeza até sua morte de que foi ele quem venceu a primeira Indy 500.

O apogeu do uso bem-sucedido de sistemas semiautomáticos cai na década de 1930. A Indy 500 usou então cronógrafos Stewart-Warner ou enormes cronógrafos Loughborough-Hayes.

Nos primeiros anos da série NASCAR, o timing era terrível. Em algumas corridas, um homem com papel e lápis sentou-se na linha de chegada e registrou: tal e tal vai primeiro, tal e tal - segundo. É verdade que isso dizia respeito apenas a trilhas de cascalho e lama. Nos autódromos, as coisas eram melhores. Em particular, foi na corrida em Elhart Lake "1951 que o cronógrafo Streeter-Amet foi usado. O dispositivo imprimiu sequencialmente (em décimos de segundo) em uma fita de papel o tempo de cada carro que passava, o trabalho de uma pessoa consistia em escrever números de carros em frente a cada número.

Um sistema de cronometragem totalmente automático foi usado pela primeira vez em uma corrida do campeonato USAC no circuito de Ontário em 1970. Cada veículo estava equipado com um transmissor que emitia ondas em sua própria frequência única. Uma antena foi instalada na linha de partida-chegada, captando a frequência de oscilação de cada transmissor - o restante do trabalho foi feito por um computador.

O cronometrista profissional David McKinney, que trabalhou em várias corridas na Austrália e Nova Zelândia na década de 1960, nos deu uma informação interessante: "Se o cronometrista mais qualificado com o melhor cronometrista consegue 'pegar' um décimo de segundo exatamente, ele está sorte." todas as medições manuais que já foram feitas em corridas podem ser consideradas aproximadas com segurança.

"Fórmula 1"

Na Europa, os sistemas automáticos apareceram muito mais tarde do que na América. Em séries internacionais como a Fórmula 1, a confusão e a vacilação reinavam. Até o final da década de 1970, a cronometragem em diferentes Grandes Prêmios era feita por pessoas completamente diferentes, usando equipamentos e métodos diferentes. Nas corridas livres, o papel dos cronometristas era mais frequentemente desempenhado pelas esposas dos cavaleiros. Por exemplo, Norma Hill, esposa do bicampeão mundial Graham Hill, ia com o marido a todos os Grandes Prêmios e cronometrava pessoalmente seus tempos de volta, verificando novamente o trabalho dos comissários.

Em meados da década de 1970, cansada das constantes confusões e erros, a equipe Ferrari começou a levar seus próprios equipamentos de alta precisão comprados nos Estados Unidos para o Grande Prêmio. Um dos mecânicos da eterna rival da Ferrari, a equipe Lotus, perguntou ao seu chefe Colin Chapman: "Por que não fazemos o mesmo?" “Você realmente acha que isso vai fazer nossos carros andarem mais rápido?” respondeu Chapman. Esta resposta caracteriza com muita precisão a atitude europeia em relação à precisão da cronometragem naqueles anos. No entanto, no final da década de 1970, quase todas as grandes equipes assinaram contratos com fabricantes de relógios e carregavam seus próprios sistemas de cronometragem com eles. Após uma das corridas, a revista Autosport escreveu: "As equipes publicam os tempos tão precisos nos relatórios oficiais que os números oficiais dos organizadores do Grande Prêmio parecem ter sido feitos usando um relógio do Mickey Mouse!"

Devido a erros de tempo, incidentes maravilhosos surgiam regularmente. Por exemplo, durante o chuvoso Grande Prêmio do Canadá em 1973, um carro de segurança foi levado à pista pela primeira vez. Os cronometristas estavam confusos, confundidos com round robins e somavam incorretamente o tempo antes e depois do pace car. Como resultado, Emerson Fittipaldi da Lotus, Jackie Oliver da Shadow e Peter Revson da McLaren comemoraram consistentemente a vitória. A vitória foi para o último - depois de várias horas de brigas.

Uma história igualmente interessante aconteceu no Grande Prêmio da Suécia de 1975. O piloto de março Vittorio Brambilla esteve longe de ser o mais rápido do pelaton, mas foi ele quem conquistou a pole position nessa corrida. Isso se deveu ao designer de março Robin Hurd se esgueirando bem na frente da fotocélula do gravador meio segundo antes de Brambilla cruzar a linha de chegada. Por algum milagre, ninguém viu isso, e o dispositivo registrou o tempo de Hurd a pé, e não o corredor.

O triunfo da tecnologia

As corridas de hoje são o triunfo da alta tecnologia. Por exemplo, a série NASCAR foi quase a última a mudar para métodos modernos de cronometragem, aderindo às tradições o máximo possível. Mas hoje, os sistemas de cronometragem da NASCAR são considerados alguns dos melhores do mundo. Tissot, o cronometrista oficial da série no exterior nos últimos quatro anos, equipou todas as pistas de uma maneira que os organizadores europeus só podem invejar. Em uma corrida em que 34 das 36 rodadas de uma temporada são ovais, o tempo é de extrema importância.

Nenhum sistema menos sério é usado no campeonato mundial de motociclismo (Tissot também é seu cronometrista). Ao contrário da NASCAR, ela não requer sistemas de vigilância sofisticados para determinar quem está à frente: os motociclistas não estão em um pelotão tão apertado. Mas como as pistas de MotoGP são da configuração tradicional europeia, e não ovais, também há dificuldades suficientes. Definir limites de tempo em determinados pontos da rota requer uma reflexão cuidadosa (os ovais são simplesmente divididos geometricamente em 4-8 partes).

A tecnologia de computador de hoje praticamente elimina a possibilidade de erro de tempo em corridas de automóveis ou motocicletas. Os organizadores do Grande Prêmio há muito tempo encontram problemas completamente diferentes em suas cabeças - segurança, ecologia, etc. E os cronometristas trabalham por si mesmos e trabalham. Você poderia dizer que é como um relógio.

Que seja necessário encontrar até (com uma desvantagem). Vamos organizar os cálculos assim:

Primeiro encontramos uma raiz aproximada até 1 apenas a partir do inteiro 2. Obtemos 1 (e o resto é 1). Escrevemos o número 1 na raiz e colocamos uma vírgula depois. Agora encontramos o número de décimos. Para fazer isso, adicionamos os números 3 e 5 ao resto de 1, à direita da vírgula, e continuamos a extração como se estivéssemos extraindo a raiz do inteiro 235. Escrevemos o número resultante 5 na raiz em lugar dos décimos. Não precisamos dos dígitos restantes do número raiz (104). Que o número resultante 1,5 será de fato uma raiz aproximada até , é evidente a partir do seguinte; se encontrássemos a maior raiz inteira de 235 com uma precisão de 1, obteríamos 15, o que significa

Dividindo cada um desses números por 100, temos:

(A partir da adição do número 0,00104, o sinal duplo ≤ deve obviamente mudar para o sinal<, а знак >permanece (desde 0,00104< 0,01).)

Que seja necessário encontrar, até uma aproximação, com uma desvantagem. Vamos encontrar um número inteiro, então - o número de décimos, então o número de centésimos. A raiz quadrada de um inteiro será 15 inteiros. Para obter o número de décimos, como vimos, é necessário adicionar mais dois dígitos ao resto de 23, à direita da vírgula:

Em nosso exemplo, esses números não existem; coloque zeros em seu lugar. Atribuindo-os ao resto e continuando a ação como se estivéssemos encontrando a raiz do inteiro 24800, encontraremos o décimo dígito 7. Resta encontrar o centésimo dígito. Para fazer isso, adicionamos mais dois zeros ao restante 151 e continuamos a extração, como se estivéssemos encontrando a raiz do inteiro 2480000. Obtemos 15,74. Que este número é de fato a raiz aproximada de 248, até menos, é evidente a partir do seguinte. Se encontrássemos a maior raiz quadrada inteira do inteiro 2480000, obteríamos 1574, o que significa

Dividindo cada um desses números por 10000 (1002), obtemos:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

Isso significa que 15,74 é aquela fração decimal, que chamamos de raiz aproximada com uma desvantagem de até 248.

Regra. Para extrair de um dado inteiro ou de uma dada fração decimal uma raiz aproximada com desvantagem com precisão de até, até, até, etc., primeiro encontre uma raiz aproximada com desvantagem com precisão de 1, extraindo a raiz do inteiro (se não estiver lá, escreva na raiz 0 inteiros).

Em seguida, encontre o número de décimos. Para fazer isso, dois dígitos do número subjugado são adicionados ao resto, à direita da vírgula (se não forem, dois zeros são atribuídos ao resto), e a extração continua da mesma forma que é feita ao extrair a raiz de um inteiro. A figura resultante é escrita na raiz no lugar de décimos.

Em seguida, encontre o número de centésimos. Para fazer isso, duas figuras são novamente atribuídas ao restante, ficando à direita daqueles que acabaram de ser demolidos, etc.

Assim, ao extrair a raiz de um inteiro com uma fração decimal o número deve ser dividido em faces de dois dígitos cada, a partir de uma vírgula, tanto para a esquerda (na parte inteira do número) quanto para a direita (na parte fracionária).

Exemplos.

No último exemplo, convertemos a fração em decimal calculando oito casas decimais para formar as quatro faces necessárias para encontrar as quatro casas decimais da raiz.