Exemplos de aplicação do teorema de Pitágoras. Diferentes maneiras de provar o teorema de Pitágoras

Pitágoras é um cientista grego que viveu cerca de 2500 anos atrás (564-473 aC).

Seja dado um triângulo retângulo cujos lados uma, b e com(Fig. 267).

Vamos construir quadrados em seus lados. As áreas desses quadrados são respectivamente uma 2 , b 2 e com 2. Vamos provar isso com 2 = um 2 +b 2 .

Vamos construir dois quadrados MKOR e M'K'O'R' (Fig. 268, 269), tomando para o lado de cada um deles um segmento igual à soma dos catetos do triângulo retângulo ABC.

Concluídas as construções mostradas nas Figuras 268 e 269 nesses quadrados, veremos que o quadrado MKOR é dividido em dois quadrados com áreas uma 2 e b 2 e quatro triângulos retângulos iguais, cada um dos quais é igual ao triângulo retângulo ABC. O quadrado M'K'O'R' é dividido em um quadrilátero (está sombreado na Figura 269) e quatro triângulos retângulos, cada um dos quais também é igual ao triângulo ABC. O quadrilátero sombreado é um quadrado, pois seus lados são iguais (cada um é igual à hipotenusa do triângulo ABC, ou seja, com), e os ângulos são linhas retas ∠1 + ∠2 = 90°, de onde ∠3 = 90°).

Assim, a soma das áreas dos quadrados construídos sobre as pernas (na Figura 268 esses quadrados estão sombreados) é igual à área do quadrado MKOR sem a soma das áreas de quatro triângulos iguais, e a área de o quadrado construído sobre a hipotenusa (na Figura 269 este quadrado também está sombreado) é igual à área do quadrado M'K'O'R', igual ao quadrado de MKOR, sem a soma das áreas de quatro triângulos semelhantes. Portanto, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Obtemos a fórmula com 2 = um 2 +b 2, onde com- hipotenusa, uma e b- pernas de um triângulo retângulo.

O teorema de Pitágoras pode ser resumido da seguinte forma:

O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Da fórmula com 2 = um 2 +b 2 você pode obter as seguintes fórmulas:

uma 2 = com 2 - b 2 ;

b 2 = com 2 - uma 2 .

Essas fórmulas podem ser usadas para encontrar o lado desconhecido de um triângulo retângulo dados dois de seus lados.

Por exemplo:

a) se as pernas são dadas uma= 4cm, b\u003d 3 cm, então você pode encontrar a hipotenusa ( com):

com 2 = um 2 +b 2, ou seja com 2 = 4 2 + 3 2 ; com 2 = 25, de onde com= √25 = 5(cm);

b) se a hipotenusa é dada com= 17 cm e perna uma= 8 cm, então você pode encontrar outra perna ( b):

b 2 = com 2 - uma 2, ou seja b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, de onde b= √225 = 15 (cm).

Corolário: Se em dois triângulos retângulos ABC e A 1 B 1 C 1 hipotenusa com e com 1 são iguais, e a perna b triângulo ABC é maior que o cateto b 1 triângulo A 1 B 1 C 1,

então a perna uma triângulo ABC é menor que o cateto uma 1 triângulo A 1 B 1 C 1 .

De fato, com base no teorema de Pitágoras, temos:

uma 2 = com 2 - b 2 ,

uma 1 2 = com 1 2 - b 1 2

Nas fórmulas escritas, os minuendos são iguais, e o subtraendo na primeira fórmula é maior que o subtraendo na segunda fórmula, portanto, a primeira diferença é menor que a segunda,

ou seja uma 2 a 1 2 . Onde uma um 1.

No entanto, o nome é recebido em homenagem ao cientista apenas pelo motivo de ele ser a primeira e até a única pessoa que conseguiu provar o teorema.

O historiador alemão da matemática Kantor afirmou que o teorema já era conhecido pelos egípcios por volta de 2300 aC. e. Ele acreditava que os ângulos retos costumavam ser construídos graças aos triângulos retângulos com lados 3, 4 e 5.

O famoso cientista Kepler disse que a geometria tem um tesouro insubstituível - este é o teorema de Pitágoras, graças ao qual é possível derivar a maioria dos teoremas da geometria.

Anteriormente, o teorema de Pitágoras era chamado de “teorema da noiva” ou “teorema da ninfa”. E o fato é que o desenho dela era muito parecido com uma borboleta ou uma ninfa. Os árabes, ao traduzirem o texto do teorema, decidiram que a ninfa significa a noiva. Foi assim que surgiu o nome interessante do teorema.

Teorema de Pitágoras, fórmula

Teorema

- em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos () é igual ao quadrado da hipotenusa (). Este é um dos teoremas fundamentais da geometria euclidiana.

Fórmula:

Como já mencionado, existem muitas provas diferentes do teorema com abordagens matemáticas versáteis. No entanto, teoremas de área são mais comumente usados.

Construir quadrados no triângulo ( azul, verde, vermelho)

Ou seja, a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa. Assim, as áreas desses quadrados são iguais -. Esta é a explicação geométrica de Pitágoras.

Demonstração do teorema pelo método das áreas: 1 via

Vamos provar isso.

Considere o mesmo triângulo com catetos a, b e hipotenusa c.

Completamos o triângulo retângulo para um quadrado. Da perna “a” continuamos a linha até a distância da perna “b” (linha vermelha).
Em seguida, desenhamos a linha da nova perna “a” à direita (linha verde).
Conectamos dois catetos com a hipotenusa “c”.

Acontece o mesmo triângulo, apenas invertido.

Da mesma forma, construímos do outro lado: da perna “a” traçamos a linha da perna “b” e descemos “a” e “b” E da parte inferior da perna “b” traçamos a linha do perna “a”. No centro de cada perna, foi desenhada uma hipotenusa “c”. Assim, as hipotenusas formaram um quadrado no centro.

Este quadrado é composto por 4 triângulos idênticos. E a área de cada triângulo retângulo = metade do produto de seus catetos. Respectivamente, . E a área do quadrado no centro = , já que todas as 4 hipotenusas têm lados. Os lados de um quadrilátero são iguais e os ângulos são retos. Como podemos provar que os ângulos estão certos? Muito simples. Vamos pegar o mesmo quadrado:

Sabemos que os dois ângulos mostrados na figura são 90 graus. Como os triângulos são iguais, então o próximo ângulo da perna “b” é igual à perna anterior “b”:

A soma desses dois ângulos = 90 graus. Assim, o ângulo anterior também é de 90 graus. Claro, o mesmo acontece do outro lado. Assim, temos realmente um quadrado com ângulos retos.

Como os ângulos agudos de um triângulo retângulo são 90 graus no total, o ângulo do quadrilátero também será 90 graus, porque 3 ângulos no total = 180 graus.

Assim, a área de um quadrado consiste em quatro áreas de triângulos retângulos idênticos e a área do quadrado, que é formada pelas hipotenusas.

Assim, temos um quadrado com lado . Sabemos que a área de um quadrado com um lado é o quadrado do seu lado. Ou seja Este quadrado consiste em quatro triângulos idênticos.

E isso significa que provamos o teorema de Pitágoras.

IMPORTANTE!!! Se encontrarmos a hipotenusa, adicionamos dois catetos e derivamos a resposta da raiz. Ao encontrar um dos catetos: do quadrado do comprimento do segundo cateto, subtraia o quadrado do comprimento da hipotenusa e encontre a raiz quadrada.

Exemplos de resolução de problemas

Exemplo 1

Tarefa

Dado: um triângulo retângulo com catetos 4 e 5.

Encontre a hipotenusa. Desde que a denotemos com

Decisão

A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. No nosso caso - .

Vamos usar o teorema de Pitágoras:

Então, um. As pernas somam 41.

Então . Então o quadrado da hipotenusa é 41.

O quadrado do número 41 = 6,4.

Encontramos a hipotenusa.

Responda

Hipotenusa = 6,4

O potencial de criatividade geralmente é atribuído às humanidades, deixando a análise científica natural, a abordagem prática e a linguagem seca de fórmulas e números. A matemática não pode ser classificada como uma disciplina de humanidades. Mas sem criatividade na "rainha de todas as ciências", você não irá longe - as pessoas sabem disso há muito tempo. Desde o tempo de Pitágoras, por exemplo.

Os livros didáticos, infelizmente, geralmente não explicam que em matemática é importante não apenas empinar teoremas, axiomas e fórmulas. É importante compreender e sentir seus princípios fundamentais. E, ao mesmo tempo, tente libertar sua mente de clichês e verdades elementares - somente nessas condições nascem todas as grandes descobertas.

Tais descobertas incluem aquela que hoje conhecemos como o teorema de Pitágoras. Com sua ajuda, tentaremos mostrar que a matemática não apenas pode, mas deve ser divertida. E que esta aventura é adequada não apenas para nerds de óculos grossos, mas para todos que são fortes de mente e fortes de espírito.

Da história do problema

Estritamente falando, embora o teorema seja chamado de "teorema de Pitágoras", o próprio Pitágoras não o descobriu. O triângulo retângulo e suas propriedades especiais foram estudados muito antes dele. Há dois pontos de vista polares sobre esta questão. De acordo com uma versão, Pitágoras foi o primeiro a encontrar uma prova completa do teorema. Segundo outro, a prova não é de autoria de Pitágoras.

Hoje você não pode mais verificar quem está certo e quem está errado. Sabe-se apenas que a prova de Pitágoras, se alguma vez existiu, não sobreviveu. No entanto, há sugestões de que a famosa prova dos Elementos de Euclides possa pertencer a Pitágoras, e Euclides apenas a registrou.

Também se sabe hoje que problemas sobre um triângulo retângulo são encontrados em fontes egípcias da época do faraó Amenemhet I, em tábuas de argila babilônicas do reinado do rei Hamurabi, no antigo tratado indiano Sulva Sutra e na antiga obra chinesa Zhou -bi suan jin.

Como você pode ver, o teorema de Pitágoras ocupa a mente dos matemáticos desde os tempos antigos. Aproximadamente 367 várias evidências que existem hoje servem como confirmação. Nenhum outro teorema pode competir com ele a esse respeito. Autores de evidências notáveis incluem Leonardo da Vinci e o 20º Presidente dos Estados Unidos, James Garfield. Tudo isso fala da extrema importância desse teorema para a matemática: a maioria dos teoremas da geometria são derivados dele ou, de uma forma ou de outra, relacionados a ele.

Provas do teorema de Pitágoras

Os livros escolares fornecem principalmente provas algébricas. Mas a essência do teorema está na geometria, então vamos primeiro considerar as provas do famoso teorema que se baseiam nessa ciência.

Prova 1

Para a demonstração mais simples do teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, você precisa definir condições ideais: deixe o triângulo não apenas ser retângulo, mas também isósceles. Há razões para acreditar que foi esse triângulo que foi originalmente considerado pelos matemáticos antigos.

Demonstração "um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre seus catetos" pode ser ilustrado com o seguinte desenho:

Olhe para o triângulo retângulo isósceles ABC: Na hipotenusa AC, você pode construir um quadrado composto por quatro triângulos iguais ao ABC original. E sobre os catetos AB e BC construídos sobre um quadrado, cada um contendo dois triângulos semelhantes.

Aliás, esse desenho serviu de base para inúmeras anedotas e caricaturas dedicadas ao teorema de Pitágoras. Talvez o mais famoso seja "As calças pitagóricas são iguais em todas as direções":

Prova 2

Este método combina álgebra e geometria e pode ser visto como uma variante da antiga prova indiana do matemático Bhaskari.

Construir um triângulo retângulo com lados a, b e c(Figura 1). Em seguida, construa dois quadrados com lados iguais à soma dos comprimentos das duas pernas - (a+b). Em cada um dos quadrados, faça construções, como nas figuras 2 e 3.

No primeiro quadrado, construa quatro dos mesmos triângulos da Figura 1. Como resultado, dois quadrados são obtidos: um com lado a, o segundo com lado b.

No segundo quadrado, quatro triângulos semelhantes construídos formam um quadrado com um lado igual à hipotenusa c.

A soma das áreas dos quadrados construídos na Fig. 2 é igual à área do quadrado que construímos com o lado c na Fig. 3. Isso pode ser facilmente verificado calculando as áreas dos quadrados na Fig. 2 de acordo com a fórmula. E a área do quadrado inscrito na Figura 3. subtraindo as áreas de quatro triângulos retângulos iguais inscritos no quadrado da área de um quadrado grande com um lado (a+b).

Colocando tudo isso para baixo, temos: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Expanda os colchetes, faça todos os cálculos algébricos necessários e obtenha isso a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ao mesmo tempo, a área do inscrito na Fig.3. quadrado também pode ser calculado usando a fórmula tradicional S=c2. Aqueles. a2+b2=c2 Você provou o teorema de Pitágoras.

Prova 3

A mesma antiga prova indiana é descrita no século XII no tratado “A Coroa do Conhecimento” (“Siddhanta Shiromani”), e como argumento principal o autor usa um apelo dirigido aos talentos matemáticos e poderes de observação dos alunos e seguidores: “Olha!”.

Mas vamos analisar essa prova com mais detalhes:

Dentro do quadrado, construa quatro triângulos retângulos conforme indicado no desenho. O lado do quadrado grande, que também é a hipotenusa, é denotado com. Vamos chamar as pernas do triângulo uma e b. De acordo com o desenho, o lado do quadrado interno é (a-b).

Use a fórmula da área quadrada S=c2 para calcular a área do quadrado externo. E, ao mesmo tempo, calcule o mesmo valor adicionando a área do quadrado interno e a área de quatro triângulos retângulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Você pode usar as duas opções para calcular a área de um quadrado para garantir que elas dêem o mesmo resultado. E isso lhe dá o direito de escrever isso c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado da solução, você obterá a fórmula do teorema de Pitágoras c2=a2+b2. O teorema foi provado.

Prova 4

Esta curiosa prova chinesa antiga é chamada de "Cadeira da Noiva" - por causa da figura semelhante a uma cadeira que resulta de todas as construções:

Ele usa o desenho que já vimos na Figura 3 na segunda prova. E o quadrado interno com lado c é construído da mesma maneira que na antiga demonstração indiana dada acima.

Se você cortar mentalmente dois triângulos retângulos verdes do desenho da Fig. 1, transferi-los para lados opostos do quadrado com lado c e anexar as hipotenusas às hipotenusas dos triângulos lilás, você obterá uma figura chamada "noiva cadeira” (Fig. 2). Para maior clareza, você pode fazer o mesmo com quadrados e triângulos de papel. Você verá que a "cadeira da noiva" é formada por dois quadrados: pequenos com um lado b e grande com um lado uma.

Essas construções permitiram que os antigos matemáticos chineses e nós que os seguimos chegássemos à conclusão de que c2=a2+b2.

Prova 5

Esta é outra maneira de encontrar uma solução para o teorema de Pitágoras com base na geometria. Chama-se Método Garfield.

Construir um triângulo retângulo abc. Precisamos provar que BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Para fazer isso, continue a perna CA e construir um segmento CD, que é igual à perna AB. Perpendicular Inferior DE ANÚNCIOS segmento de linha ED. Segmentos ED e CA são iguais. ligue os pontos E e NO, assim como E e Com e obter um desenho como a imagem abaixo:

Para provar a torre, recorremos novamente ao método que já testamos: encontramos a área da figura resultante de duas maneiras e igualamos as expressões entre si.

Encontrar a área de um polígono ABED pode ser feito somando as áreas dos três triângulos que o formam. E um deles URE, não é apenas retangular, mas também isósceles. Também não vamos esquecer que AB=CD, AC=ED e BC=CE- isso nos permitirá simplificar a gravação e não sobrecarregá-la. Então, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Ao mesmo tempo, é óbvio que ABEDé um trapézio. Portanto, calculamos sua área usando a fórmula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para nossos cálculos, é mais conveniente e claro representar o segmento DE ANÚNCIOS como a soma dos segmentos CA e CD.

Vamos escrever as duas formas de calcular a área de uma figura colocando um sinal de igual entre elas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos a igualdade de segmentos já conhecida por nós e descrita acima para simplificar o lado direito da notação: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. E agora abrimos os colchetes e transformamos a igualdade: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Tendo terminado todas as transformações, obtemos exatamente o que precisamos: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Provamos o teorema.

Claro, esta lista de evidências está longe de ser completa. O teorema de Pitágoras também pode ser provado usando vetores, números complexos, equações diferenciais, estereometria e similares. E até físicos: se, por exemplo, o líquido for derramado em volumes quadrados e triangulares semelhantes aos mostrados nos desenhos. Derramando líquido, é possível provar a igualdade de áreas e o próprio teorema como resultado.

Algumas palavras sobre trigêmeos pitagóricos

Esse tema é pouco ou pouco estudado no currículo escolar. Entretanto, é muito interessante e de grande importância na geometria. As triplas pitagóricas são usadas para resolver muitos problemas matemáticos. A ideia deles pode ser útil para você na educação superior.

Então, o que são trigêmeos pitagóricos? Os chamados números naturais, reunidos em três, cuja soma dos quadrados de dois é igual ao terceiro número ao quadrado.

Os triplos pitagóricos podem ser:

primitivo (todos os três números são relativamente primos);
não primitivo (se cada número de um triplo é multiplicado pelo mesmo número, você obtém um novo triplo que não é primitivo).

Mesmo antes de nossa era, os antigos egípcios eram fascinados pela mania dos números de triplos pitagóricos: nas tarefas eles consideravam um triângulo retângulo com lados de 3,4 e 5 unidades. A propósito, qualquer triângulo cujos lados são iguais aos números da tríplice pitagórica é, por padrão, retangular.

Exemplos de triplos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.

Aplicação prática do teorema

O teorema de Pitágoras encontra aplicação não apenas na matemática, mas também na arquitetura e construção, astronomia e até literatura.

Primeiro, sobre construção: o teorema de Pitágoras encontra ampla aplicação nele em problemas de diferentes níveis de complexidade. Por exemplo, olhe para a janela românica:

Vamos denotar a largura da janela como b, então o raio do grande semicírculo pode ser denotado como R e expressar através b: R=b/2. O raio de semicírculos menores também pode ser expresso em termos de b: r=b/4. Neste problema, estamos interessados no raio do círculo interno da janela (vamos chamá-lo de p).

O teorema de Pitágoras é útil para calcular R. Para fazer isso, usamos um triângulo retângulo, indicado por uma linha pontilhada na figura. A hipotenusa de um triângulo consiste em dois raios: b/4+p. Uma perna é um raio b/4, outro b/2-p. Usando o teorema de Pitágoras, escrevemos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Em seguida, abrimos os colchetes e obtemos b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Vamos transformar essa expressão em pb/2=b 2 /4-pb. E então dividimos todos os termos em b, damos semelhantes para obter 3/2*p=b/4. E no final descobrimos que p=b/6- que é o que precisávamos.

Usando o teorema, você pode calcular o comprimento das vigas de um telhado de duas águas. Determine a altura necessária de uma torre móvel para que o sinal alcance um determinado assentamento. E até mesmo instalar uma árvore de Natal na praça da cidade. Como você pode ver, esse teorema não vive apenas nas páginas dos livros didáticos, mas muitas vezes é útil na vida real.

No que diz respeito à literatura, o teorema de Pitágoras inspirou escritores desde a antiguidade e continua a fazê-lo hoje. Por exemplo, o escritor alemão do século XIX Adelbert von Chamisso inspirou-se nela para escrever um soneto:

A luz da verdade não se dissipará tão cedo,
Mas, tendo brilhado, é improvável que se dissipe
E, como há milhares de anos,
Não causará dúvidas e disputas.

O mais sábio quando toca o olho
Luz da verdade, graças aos deuses;
E cem touros, esfaqueados, mentem -
O presente de retorno do sortudo Pitágoras.

Desde então, os touros têm rugido desesperadamente:
Para sempre despertou a tribo do touro
evento aqui mencionado.

Eles acham que está na hora
E novamente eles serão sacrificados
Algum grande teorema.

(traduzido por Victor Toporov)

E no século XX, o escritor soviético Yevgeny Veltistov em seu livro "As Aventuras da Eletrônica" dedicou um capítulo inteiro às provas do teorema de Pitágoras. E meio capítulo de uma história sobre um mundo bidimensional que poderia existir se o teorema de Pitágoras se tornasse a lei fundamental e até mesmo a religião de um único mundo. Seria muito mais fácil viver nele, mas também muito mais chato: por exemplo, ninguém lá entende o significado das palavras “redondo” e “fofo”.

E no livro “As Aventuras da Eletrônica”, o autor, pela boca da professora de matemática Taratara, diz: “O principal na matemática é o movimento do pensamento, as novas ideias”. É esse vôo criativo do pensamento que gera o teorema de Pitágoras - não é à toa que ele tem tantas provas diversas. Ajuda a ir além do habitual e olhar para as coisas familiares de uma nova maneira.

Conclusão

Este artigo foi criado para que você possa olhar além do currículo escolar em matemática e aprender não apenas aquelas provas do teorema de Pitágoras que são dadas nos livros didáticos "Geometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) e "Geometria 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), mas também outras formas curiosas de provar o famoso teorema. E veja também exemplos de como o teorema de Pitágoras pode ser aplicado na vida cotidiana.

Em primeiro lugar, essas informações permitirão que você obtenha pontuações mais altas nas aulas de matemática - informações sobre o assunto de fontes adicionais são sempre muito apreciadas.

Em segundo lugar, queríamos ajudá-lo a ter uma ideia de como a matemática é interessante. Ser convencido por exemplos concretos de que há sempre um lugar para a criatividade. Esperamos que o teorema de Pitágoras e este artigo o inspirem a fazer suas próprias pesquisas e descobertas emocionantes em matemática e outras ciências.

Conte-nos nos comentários se você achou as evidências apresentadas no artigo interessantes. Você achou essas informações úteis em seus estudos? Deixe-nos saber o que você pensa sobre o teorema de Pitágoras e este artigo - ficaremos felizes em discutir tudo isso com você.

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teorema de Pitágoras: A soma das áreas dos quadrados suportados pelas pernas ( uma e b), é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa ( c).

Formulação geométrica:

O teorema foi originalmente formulado da seguinte forma:

Formulação algébrica:

Isto é, denotando o comprimento da hipotenusa do triângulo através de c, e os comprimentos das pernas através uma e b :

uma 2 + b 2 = c 2

Ambas as formulações do teorema são equivalentes, mas a segunda formulação é mais elementar, não requer o conceito de área. Ou seja, a segunda afirmação pode ser verificada sem saber nada sobre a área e medindo apenas os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.

Teorema de Pitágoras inverso:

Prova de

Até o momento, 367 provas deste teorema foram registradas na literatura científica. Provavelmente, o teorema de Pitágoras é o único teorema com um número tão impressionante de provas. Tal variedade só pode ser explicada pelo significado fundamental do teorema para a geometria.

Claro, conceitualmente, todos eles podem ser divididos em um pequeno número de classes. O mais famoso deles: provas pelo método de área, provas axiomáticas e exóticas (por exemplo, usando equações diferenciais).

Através de triângulos semelhantes

A seguinte prova da formulação algébrica é a mais simples das provas construídas diretamente dos axiomas. Em particular, não utiliza o conceito de área da figura.

Deixe ser abc existe um triângulo retângulo C. Vamos desenhar uma altura de C e denote sua base por H. Triângulo ACH semelhante a um triângulo abc em dois cantos. Da mesma forma, o triângulo CBH semelhante abc. Apresentando a notação

Nós temos

O que é equivalente

Somando, obtemos

Provas de área

As seguintes provas, apesar de sua aparente simplicidade, não são tão simples assim. Todos eles usam as propriedades da área, cuja demonstração é mais complicada do que a demonstração do próprio teorema de Pitágoras.

Prova por Equivalência

Organize quatro triângulos retângulos iguais como mostrado na Figura 1.
Quadrilátero com lados cé um quadrado porque a soma de dois ângulos agudos é 90° e o ângulo reto é 180°.
A área da figura inteira é igual, por um lado, à área de um quadrado com um lado (a + b), e por outro lado, a soma das áreas de quatro triângulos e dois internos quadrados.

Q.E.D.

Evidência por Equivalência

Uma elegante prova de permutação

Um exemplo de uma dessas provas é mostrado no desenho à direita, onde o quadrado construído sobre a hipotenusa é convertido por permutação em dois quadrados construídos sobre os catetos.

A prova de Euclides

Desenho para a prova de Euclides

Ilustração para a prova de Euclides

A ideia da prova de Euclides é a seguinte: vamos tentar provar que metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das metades das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos, e depois as áreas dos catetos os quadrados grandes e dois pequenos são iguais.

Considere o desenho à esquerda. Nele, construímos quadrados nos lados de um triângulo retângulo e desenhamos um raio s do vértice do ângulo reto C perpendicular à hipotenusa AB, ele corta o quadrado ABIK, construído sobre a hipotenusa, em dois retângulos - BHJI e HAKJ, respectivamente. Acontece que as áreas desses retângulos são exatamente iguais às áreas dos quadrados construídos nas pernas correspondentes.

Vamos tentar provar que a área do quadrado DECA é igual à área do retângulo AHJK Para fazer isso, usamos uma observação auxiliar: A área de um triângulo com a mesma altura e base que o dado retângulo é igual à metade da área do retângulo dado. Isso é consequência de definir a área de um triângulo como metade do produto da base pela altura. Desta observação segue-se que a área do triângulo ACK é igual à área do triângulo AHK (não mostrado), que, por sua vez, é igual à metade da área do retângulo AHJK.

Vamos agora provar que a área do triângulo ACK também é igual a metade da área do quadrado DECA. A única coisa que precisa ser feita para isso é provar a igualdade dos triângulos ACK e BDA (já que a área do triângulo BDA é igual a metade da área do quadrado pela propriedade acima). Essa igualdade é óbvia, os triângulos são iguais em dois lados e o ângulo entre eles. Ou seja - AB = AK, AD = AC - a igualdade dos ângulos CAK e BAD é fácil de provar pelo método de movimento: vamos girar o triângulo CAK 90 ° no sentido anti-horário, então é óbvio que os lados correspondentes dos dois triângulos considerados coincidirá (devido ao fato de que o ângulo no vértice do quadrado é de 90°).

O argumento sobre a igualdade das áreas do quadrado BCFG e do retângulo BHJI é completamente análogo.

Assim, provamos que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. A ideia por trás dessa prova é ilustrada com a animação acima.

Prova de Leonardo da Vinci

Os principais elementos da prova são a simetria e o movimento.

Considere o desenho, como pode ser visto pela simetria, o segmento CEU disseca a praça UMABHJ em duas partes idênticas (uma vez que os triângulos UMABC e JHEU são iguais na construção). Usando uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário, vemos a igualdade das figuras sombreadas CUMAJEU e GDUMAB . Agora está claro que a área da figura sombreada por nós é igual à soma da metade das áreas dos quadrados construídos nas pernas e a área do triângulo original. Por outro lado, é igual à metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa, mais a área do triângulo original. O último passo da prova é deixado para o leitor.

Demonstração pelo método infinitesimal

A seguinte prova usando equações diferenciais é frequentemente atribuída ao famoso matemático inglês Hardy, que viveu na primeira metade do século XX.

Considerando o desenho mostrado na figura e observando a mudança de lado uma, podemos escrever a seguinte relação para incrementos laterais infinitesimais com e uma(usando triângulos semelhantes):

Demonstração pelo método infinitesimal

Usando o método de separação de variáveis, encontramos

Uma expressão mais geral para alterar a hipotenusa no caso de incrementos de ambas as pernas

Integrando esta equação e usando as condições iniciais, obtemos

c 2 = uma 2 + b 2 + constante.

Assim, chegamos à resposta desejada

c 2 = uma 2 + b 2 .

É fácil ver que a dependência quadrática na fórmula final aparece devido à proporcionalidade linear entre os lados do triângulo e os incrementos, enquanto a soma se deve às contribuições independentes do incremento de diferentes catetos.

Uma prova mais simples pode ser obtida se assumirmos que uma das pernas não sofre um incremento (neste caso, a perna b). Então para a constante de integração temos

Variações e Generalizações

Se, em vez de quadrados, outras figuras semelhantes são construídas nas pernas, então a seguinte generalização do teorema de Pitágoras é verdadeira: Em um triângulo retângulo, a soma das áreas de figuras semelhantes construídas sobre os catetos é igual à área da figura construída sobre a hipotenusa. Em particular:
- A soma das áreas dos triângulos regulares construídos sobre os catetos é igual à área de um triângulo regular construído sobre a hipotenusa.
- A soma das áreas dos semicírculos construídos nas pernas (como no diâmetro) é igual à área do semicírculo construído na hipotenusa. Este exemplo é usado para provar as propriedades de figuras limitadas por arcos de dois círculos e com o nome de lúnula hipocrática.

História

Chu-pei 500-200 aC. À esquerda está a inscrição: a soma dos quadrados dos comprimentos da altura e a base é o quadrado do comprimento da hipotenusa.

O antigo livro chinês Chu-pei fala de um triângulo pitagórico com lados 3, 4 e 5: No mesmo livro, é proposto um desenho que coincide com um dos desenhos da geometria hindu de Baskhara.

Kantor (o maior historiador alemão da matemática) acredita que a igualdade 3 ² + 4 ² = 5² já era conhecida pelos egípcios por volta de 2300 aC. e., durante o tempo do rei Amenemhet I (de acordo com o papiro 6619 do Museu de Berlim). De acordo com Cantor, os harpedonapts, ou "stringers", construíam ângulos retos usando triângulos retângulos com lados 3, 4 e 5.

É muito fácil reproduzir seu método de construção. Pegue uma corda de 12 m de comprimento e amarre-a ao longo de uma faixa colorida a uma distância de 3 m. de uma extremidade e 4 metros da outra. Um ângulo reto será delimitado entre os lados de 3 e 4 metros de comprimento. Pode-se objetar aos Harpedonapts que seu método de construção se torna redundante se se usar, por exemplo, o quadrado de madeira usado por todos os carpinteiros. De fato, são conhecidos desenhos egípcios nos quais tal ferramenta é encontrada, por exemplo, desenhos representando uma oficina de carpintaria.

Um pouco mais se sabe sobre o teorema de Pitágoras entre os babilônios. Em um texto que remonta ao tempo de Hamurabi, ou seja, a 2000 aC. e., um cálculo aproximado da hipotenusa de um triângulo retângulo é dado. A partir disso, podemos concluir que na Mesopotâmia eles foram capazes de realizar cálculos com triângulos retângulos, pelo menos em alguns casos. Com base, por um lado, no nível atual de conhecimento sobre a matemática egípcia e babilônica e, por outro, em um estudo crítico das fontes gregas, Van der Waerden (um matemático holandês) concluiu o seguinte:

Literatura

Em russo

Skopets Z.A. Miniaturas geométricas. M., 1990
Yelensky Sh. Seguindo os passos de Pitágoras. M., 1961
Van der Waerden B.L. Despertando a Ciência. Matemática do Egito Antigo, Babilônia e Grécia. M., 1959
Glazer G.I. História da matemática na escola. M., 1982
W. Litzman, "O Teorema de Pitágoras" M., 1960.
- Um site sobre o teorema de Pitágoras com um grande número de provas, o material é retirado do livro de W. Litzman, um grande número de desenhos são apresentados como arquivos gráficos separados.
O teorema de Pitágoras e o capítulo dos triplos pitagóricos do livro de D. V. Anosov “Um olhar sobre a matemática e algo a partir dela”
Sobre o teorema de Pitágoras e métodos de sua demonstração G. Glaser, acadêmico da Academia Russa de Educação, Moscou

Em inglês

O Teorema de Pitágoras em WolframMathWorld
Cut-The-Knot, seção sobre o teorema de Pitágoras, cerca de 70 provas e extensa informação adicional (eng.)

Fundação Wikimedia. 2010.

De acordo com van der Waerden, é muito provável que a proporção na forma geral já fosse conhecida na Babilônia por volta do século XVIII aC. e.

Aproximadamente 400 aC. e., de acordo com Proclo, Platão deu um método para encontrar triplos pitagóricos, combinando álgebra e geometria. Por volta de 300 a.C. e. nos "Elementos" de Euclides apareceu a mais antiga prova axiomática do teorema de Pitágoras.

Redação

A formulação principal contém operações algébricas - em um triângulo retângulo, cujos comprimentos das pernas são iguais a (\displaystyle a) e b (\displaystyle b), e o comprimento da hipotenusa é c (\displaystyle c), a relação é cumprida:

Uma formulação geométrica equivalente também é possível, recorrendo ao conceito de área figura: em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Nesta forma, o teorema é formulado no Principia de Euclides.

Teorema de Pitágoras Inverso- a declaração sobre a retangularidade de qualquer triângulo, cujos comprimentos dos lados estão relacionados pela relação a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Como consequência, para qualquer triplo de números positivos a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) e c (\displaystyle c), de tal modo que a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), existe um triângulo retângulo com catetos a (\displaystyle a) e b (\displaystyle b) e hipotenusa c (\displaystyle c).

Prova de

Pelo menos 400 provas do teorema de Pitágoras foram registradas na literatura científica, o que é explicado tanto pelo valor fundamental para a geometria quanto pela elementaridade do resultado. As principais direções das provas são: uso algébrico das razões de elementos triângulo (como, por exemplo, é o popular método de similaridade), método de área, existem também várias provas exóticas (por exemplo, usando equações diferenciais).