Recentemente aprendi sobre objetos interessantes do mundo matemático como os fractais. Mas eles existem não apenas na matemática. Eles nos cercam em todos os lugares. Fractais são naturais. Falarei sobre o que são fractais, sobre os tipos de fractais, sobre exemplos desses objetos e suas aplicações neste artigo. Para começar, direi brevemente o que é um fractal.
Um fractal (lat. fractus - esmagado, quebrado, quebrado) é uma figura geométrica complexa que possui a propriedade de autosimilaridade, ou seja, composta por várias partes, cada uma delas semelhante à figura inteira. Num sentido mais amplo, fractais são entendidos como conjuntos de pontos no espaço euclidiano que possuem uma dimensão métrica fracionária (no sentido de Minkowski ou Hausdorff), ou uma dimensão métrica diferente da topológica. Como exemplo, inserirei uma imagem representando quatro fractais diferentes.
Vou contar um pouco sobre a história dos fractais. Os conceitos de fractal e geometria fractal, que surgiram no final dos anos 70, tornaram-se firmemente estabelecidos entre matemáticos e programadores desde meados dos anos 80. A palavra "fractal" foi cunhada por Benoit Mandelbrot em 1975 para se referir às estruturas irregulares, mas auto-semelhantes, com as quais ele estava preocupado. O nascimento da geometria fractal é geralmente associado à publicação do livro de Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, em 1977. Seus trabalhos utilizaram resultados científicos de outros cientistas que atuaram no período 1875-1925 na mesma área (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Mas somente em nossa época foi possível combinar seu trabalho em um único sistema.
Existem muitos exemplos de fractais, porque, como disse, eles nos rodeiam por toda parte. Na minha opinião, até mesmo todo o nosso Universo é um enorme fractal. Afinal, tudo nele, desde a estrutura do átomo até a estrutura do próprio Universo, se repete exatamente. Mas há, claro, exemplos mais específicos de fractais de diferentes áreas. Os fractais, por exemplo, estão presentes em dinâmicas complexas. Eles estão ali aparecem naturalmente ao estudar não-linear sistemas dinâmicos. O caso mais estudado é quando o sistema dinâmico é especificado por iterações de um polinômio ou holomorfo. função de um complexo de variáveis na superfície. Alguns dos fractais mais famosos deste tipo são o conjunto de Julia, o conjunto de Mandelbrot e as piscinas de Newton. Abaixo, em ordem, as imagens representam cada um dos fractais acima.
Outro exemplo de fractais são as curvas fractais. É melhor explicar como construir um fractal usando o exemplo das curvas fractais. Uma dessas curvas é o chamado Floco de Neve de Koch. Existe um simplesprocedimento para obtenção de curvas fractais em um plano. Vamos definir uma linha quebrada arbitrária com um número finito de links, chamada de gerador. A seguir, substituímos cada segmento por um gerador (mais precisamente, uma linha tracejada semelhante a um gerador). Na linha tracejada resultante, substituímos novamente cada segmento por um gerador. Continuando até o infinito, no limite obtemos uma curva fractal. Abaixo está o floco de neve de Koch (ou curva).
Há também uma enorme variedade de curvas fractais. Os mais famosos deles são o já citado Koch Snowflake, assim como a curva de Levy, a curva de Minkowski, a linha quebrada do Dragão, a curva do Piano e a árvore pitagórica. Acho que você pode facilmente encontrar uma imagem desses fractais e sua história na Wikipedia, se desejar.
O terceiro exemplo ou tipo de fractais são fractais estocásticos. Tais fractais incluem a trajetória do movimento browniano no plano e no espaço, evoluções de Schramm-Löwner, vários tipos de fractais aleatórios, ou seja, fractais obtidos por meio de um procedimento recursivo no qual um parâmetro aleatório é introduzido em cada etapa.
Existem também fractais puramente matemáticos. São, por exemplo, o conjunto de Cantor, a esponja de Menger, o Triângulo de Sierpinski e outros.
Mas talvez os fractais mais interessantes sejam os naturais. Fractais naturais são objetos na natureza que possuem propriedades fractais. E aqui a lista já é grande. Não vou listar tudo, porque provavelmente é impossível listar todos, mas vou falar de alguns. Por exemplo, na natureza viva, esses fractais incluem o nosso sistema circulatório e os pulmões. E também as copas e folhas das árvores. Isso também inclui estrelas do mar, ouriços-do-mar, corais, conchas do mar e algumas plantas como repolho ou brócolis. Vários desses fractais naturais da natureza viva são claramente mostrados abaixo.
Se considerarmos a natureza inanimada, então existem exemplos muito mais interessantes lá do que na natureza viva. Relâmpagos, flocos de neve, nuvens, conhecidos de todos, padrões nas janelas em dias gelados, cristais, cadeias de montanhas - todos esses são exemplos de fractais naturais da natureza inanimada.
Vimos exemplos e tipos de fractais. Quanto ao uso de fractais, eles são utilizados em diversas áreas do conhecimento. Na física, os fractais surgem naturalmente na modelagem de processos não lineares, como fluxo turbulento de fluidos, processos complexos de difusão-adsorção, chamas, nuvens, etc. Os fractais são usados na modelagem de materiais porosos, por exemplo, na petroquímica. Em biologia, eles são usados para modelar populações e para descrever sistemas de órgãos internos (o sistema de vasos sanguíneos). Após a criação da curva de Koch, foi proposta sua utilização no cálculo do comprimento do litoral. Os fractais também são usados ativamente em engenharia de rádio, ciência da informação e tecnologia da computação, telecomunicações e até economia. E, claro, a visão fractal é ativamente usada na arte e na arquitetura modernas. Aqui está um exemplo de padrões fractais:
E assim, com isso penso completar minha história sobre um fenômeno matemático tão incomum como o fractal. Hoje aprendemos o que é um fractal, como surgiu, sobre os tipos e exemplos de fractais. Também falei sobre sua aplicação e demonstrei visualmente alguns dos fractais. Espero que você tenha gostado desta pequena excursão ao mundo dos incríveis e fascinantes objetos fractais.
Concluído pela aluna da 7ª série Polina Karpyuk
Prioda é criado a partir de figuras semelhantes, mas não percebemos. Nesta galeria reunimos imagens nas quais a fractalidade é claramente visível.
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Legendas dos slides:
Fractais na natureza Concluído por: Aluna da 7ª turma “B” Polina Karpyuk Supervisora: Molchanova Irina Pavlovna Rubtsovsk-2015
A matemática, quando vista corretamente, reflete não apenas a verdade, mas também uma beleza incomparável. Bertrand Russel
O que uma árvore, uma praia, uma nuvem ou os vasos sanguíneos da nossa mão têm em comum? Existe uma propriedade de estrutura inerente a todos os objetos listados: eles são autossimilares. De um galho, como de um tronco de árvore, saem brotos menores, deles ainda menores, etc., ou seja, um galho é semelhante à árvore inteira. O sistema circulatório é estruturado de maneira semelhante: das artérias partem as arteríolas e delas os menores capilares, através dos quais o oxigênio entra nos órgãos e tecidos. O matemático americano Benoit Mandelbrot chamou essa propriedade dos objetos de fractalidade, e os próprios objetos - fractais. A própria palavra “fractal” é traduzida do latim como “parcial”, “dividido”, “fragmentado” e quanto ao conteúdo deste termo, não existe formulação como tal. Geralmente é interpretado como um conjunto autossimilar, uma parte do todo, que repete sua estrutura no nível micro. .
Fotografias espaciais das paisagens da Terra geralmente fornecem excelentes exemplos de fractais.
As linhas costeiras geralmente têm uma forma fractal, mas variam no grau em que são acidentadas. Este exemplo mostra duas propriedades características dos fractais naturais: Os canais individuais não são cópias uns dos outros, mas têm contornos curvilíneos semelhantes, como se fossem desenhados pelo mesmo padrão. Os dutos grandes têm contorno semelhante aos dutos pequenos e muito pequenos. Se ampliarmos, por exemplo, o canto inferior esquerdo da imagem, obteremos algo semelhante à imagem inteira
A interação da água e da terra dá origem a estruturas fractais nas paisagens – sejam elas montanhas, rios ou costas.
Provavelmente todos conhecem a pintura do artista japonês Hokusai “A Grande Onda”, onde uma onda tsunami é retratada tendo como pano de fundo o Fuji. Se você olhar atentamente para esta foto, notará que ao desenhar a crista de uma onda, o artista utilizou um fractal, como se consistisse em inúmeras patas aquáticas predatórias. Portanto, esta imagem é frequentemente usada como ilustração para livros sobre teoria do caos e fractais.
Quando uma duna de areia é erodida pela água, ela replica em pequena escala o que dá forma fractal a paisagens maiores da Terra.
A descarga atmosférica é um exemplo de fractais naturais.
Esta imagem ilustra não apenas a natureza fractal das copas das árvores, mas sugere outra consideração interessante: a floresta como comunidade biológica é também um fractal. Árvores individuais - grandes e pequenas - atuam então como ramos do fractal. Eles são semelhantes, mas não se repetem.
As nervuras das folhas são um fractal plano natural. Para cada planta, o padrão característico é único, assim como o padrão papilar na mão de uma pessoa é único. Goethe (poeta e cientista) acreditava que a folha é a parte mais expressiva da planta, que reflete toda a sua morfologia.
As samambaias são um exemplo de fractais naturais muito semelhantes aos fractais de computador. Além disso, também são interessantes porque as samambaias são uma das plantas evolutivamente mais antigas, juntamente com vários musgos e outras plantas inferiores.
Este é outro exemplo famoso e impressionante de um fractal natural que possui formas matematicamente claras. Existem pelo menos três níveis de pirâmides engenhosas auto-semelhantes Repolho Romanesco
Um fractal magicamente lindo que poderia muito bem inspirar algum artista. Enquanto isso, observe mais de perto: isso é apenas um cacho apertado de folhas de repolho.
Estes são exemplos interessantes de estrutura fractal no mundo mineral. Carbonate Apatite Gold Nugget é um tesouro requintado criado pela própria natureza.
Você já pensou que literalmente pensamos em fractais? Há algo em que pensar aqui - quem diria que o cérebro é uma das criações mais incríveis e únicas da natureza. E acontece que externamente ele tem as mesmas características fractais das nuvens atmosféricas ou do sistema radicular das urtigas.
Aqui tudo é ainda mais complicado: duas árvores fractais separadas estão interligadas - o sangue venoso é fornecido para uma e o sangue arterial enriquecido com oxigênio é descarregado para a outra. E na totalidade, o pulmão é um sistema surpreendentemente complexo de três fractais – um respiratório e dois circulatórios.
A retina contém células sensíveis à luz que nos permitem ver. Nesta foto eles são verde-amarelados. Eles formam uma rede (a retina), mas esta rede é caótica e fractal.
Esta é a barriga de um porco. Suas manchas coloridas também parecem seguir regras fractais. Este é um tema interessante e, mais importante ainda, tem muitas aplicações, incluindo significado militar. Quais são as regras para traçar um padrão de camuflagem para que seu usuário se misture com as formas naturais - paisagem e vegetação?
Obrigado pela sua atenção!!!
As formas matemáticas conhecidas como fractais originam-se da genialidade do eminente cientista Benoit Mandelbrot. Ele passou a maior parte de sua vida nos Estados Unidos, onde lecionou matemática na Universidade de Yale. Em 1977 e 1982, Mandelbrot publicou trabalhos científicos dedicados ao estudo da "geometria fractal" ou "geometria da natureza", nos quais decompôs formas matemáticas aparentemente aleatórias em elementos constituintes que, após uma inspeção mais detalhada, revelaram-se repetidos - o que comprova a existência de algum tipo de padrão de cópia. A descoberta de Mandelbrot teve consequências positivas significativas no desenvolvimento da física, astronomia e biologia.
Como funciona um fractal?
Um fractal (do latim “fractus” - quebrado, esmagado, quebrado) é uma figura geométrica complexa que consiste em várias sequências infinitas de partes, cada uma delas semelhante à figura inteira, e se repete à medida que a escala diminui.
A estrutura do fractal em todas as escalas não é trivial. Aqui precisamos esclarecer o que isso significa. Assim, figuras regulares, como um círculo, uma elipse ou o gráfico de uma função suave, são organizadas de tal forma que, ao considerar um pequeno fragmento de uma figura regular em uma escala suficientemente grande, será semelhante a um fragmento de uma linha reta. Para fractais, um aumento na escala não leva a uma simplificação da estrutura da figura, e em todas as escalas vemos uma imagem uniformemente complexa.
Na natureza, muitos objetos têm propriedades fractais, por exemplo: copas de árvores, couve-flor, nuvens, sistemas circulatório e alveolar de humanos e animais, cristais, flocos de neve, cujos elementos estão dispostos em uma estrutura complexa, litorais (o conceito fractal permitiu cientistas para medir a costa das Ilhas Britânicas e outros objetos anteriormente não mensuráveis).
Vejamos a estrutura da couve-flor. Se você cortar uma das flores, é óbvio que a mesma couve-flor permanece em suas mãos, só que menor em tamanho. Podemos continuar cortando repetidas vezes, mesmo sob um microscópio – mas tudo o que obtemos são pequenas cópias da couve-flor. Neste caso mais simples, mesmo uma pequena parte do fractal contém informações sobre toda a estrutura final.
Um exemplo notável de fractal na natureza é “Romanescu”, também conhecido como “brócolis Romanescu” ou “couve-flor coral”. A primeira menção a este vegetal exótico remonta à Itália do século XVI. Os botões deste repolho crescem em espiral logarítmica. Artistas 3D, designers e chefs nunca deixam de admirá-la. Estes últimos, aliás, valorizam especialmente o vegetal pelo sabor mais refinado (doce e de nozes, não sulfuroso) que o repolho pode ter, e pelo fato de ser menos quebradiço que a couve-flor comum. Além disso, o brócolis romano é rico em vitamina C, antioxidantes e carotenóides.
Fractais em tecnologia digital
A geometria fractal deu um contributo inestimável para o desenvolvimento de novas tecnologias no domínio da música digital e também tornou possível a compressão de imagens digitais. Os algoritmos de compressão de imagens fractais existentes baseiam-se no princípio de armazenar uma imagem comprimida em vez da própria imagem digital. Para uma imagem comprimida, a imagem principal permanece como um ponto fixo. A Microsoft utilizou uma das variantes desse algoritmo ao publicar sua enciclopédia, mas por um motivo ou outro essa ideia não foi amplamente utilizada.
O princípio de compressão fractal de informações para armazenamento compacto de informações sobre nós da rede “Netsukuku” é utilizado pelo sistema para atribuição de endereços IP. Cada nó armazena 4 kilobytes de informações sobre o estado dos nós vizinhos. Qualquer novo nó se conecta à Internet geral sem exigir regulação central da distribuição de endereços IP. Podemos concluir que o princípio da compressão fractal da informação garante o funcionamento descentralizado de toda a rede e, portanto, o trabalho nela ocorre da forma mais estável possível.
Os fractais são amplamente utilizados em computação gráfica - na construção de imagens de árvores, arbustos, superfícies do mar, paisagens montanhosas e outros objetos naturais. Graças aos gráficos fractais, foi inventada uma forma eficaz de implementar objetos não euclidianos complexos cujas imagens são semelhantes às naturais: são algoritmos de síntese de coeficientes fractais, que permitem reproduzir uma cópia de qualquer imagem o mais próximo possível do original. Curiosamente, além da “pintura” fractal, há também música fractal e animação fractal. Nas artes plásticas existe uma direção que trata da obtenção da imagem de um fractal aleatório - “monótipo fractal” ou “estochatipia”.
A base matemática dos gráficos fractais é a geometria fractal, onde o princípio da herança dos “objetos pais” originais é a base para os métodos de construção de “imagens herdeiras”. Os próprios conceitos de geometria fractal e gráficos fractais surgiram há apenas cerca de 30 anos, mas já se tornaram firmemente estabelecidos na vida cotidiana de designers de computadores e matemáticos.
Os conceitos básicos da computação gráfica fractal são:
- Triângulo fractal - figura fractal - objeto fractal (hierarquia em ordem decrescente)
- Linha fractal
- Composição fractal
- “Objeto pai” e “Objeto sucessor”
Como construir um fractal?
O criador dos fractais desempenha o papel de artista, fotógrafo, escultor e cientista-inventor ao mesmo tempo. Quais são as próximas etapas da criação de um desenho do zero?
- definir a forma do desenho usando uma fórmula matemática
- investigar a convergência do processo e variar seus parâmetros
- selecione o tipo de imagem
- escolha uma paleta de cores
Dentre os editores gráficos fractais e outros programas gráficos podemos destacar:
"Artista de Arte"
“Pintor” (sem um computador, nenhum artista jamais alcançará as capacidades estabelecidas pelos programadores apenas através de um lápis e um pincel)
“Adobe Photoshop” (mas aqui a imagem não é criada “do zero”, mas, via de regra, apenas processada)
A natureza é uma criação perfeita, estão convencidos os cientistas, que descobrem as proporções da seção áurea na estrutura do corpo humano e as figuras fractais na cabeça de uma couve-flor.
“O estudo e a observação da natureza deram origem à ciência”, escreveu Cícero no século I aC. Mais tarde, com o desenvolvimento da ciência e seu distanciamento do estudo da natureza, os cientistas se surpreendem ao descobrir o que era conhecido pelos nossos ancestrais, mas não foi confirmado pelos métodos científicos.
É interessante encontrar formações semelhantes no micro e macrocosmo; também pode ser inspirador que a ciência possa descrever a geometria destas formações. O sistema circulatório, um rio, um raio, galhos de árvores... todos esses são sistemas semelhantes, constituídos por partículas diferentes e em escala diferente.
Proporções da “proporção áurea”
Até os antigos gregos, e possivelmente os egípcios, conheciam a proporção da “proporção áurea”. Luca Pacioli, um matemático renascentista, chamou esta proporção de “proporção divina”. Mais tarde, os cientistas descobriram que a proporção áurea, tão agradável ao olho humano e frequentemente encontrada na arquitetura clássica, na arte e até na poesia, pode ser encontrada em toda a natureza.
A proporção áurea é a divisão de um segmento em duas partes desiguais, em que a parte curta está relacionada com a longa assim como a parte longa está com o segmento inteiro. A proporção da parte longa para todo o segmento é um número infinito, uma fração irracional 0,618..., a proporção da parte curta é 0,382...
Se você construir um retângulo com lados cuja proporção é igual à proporção da “proporção áurea”, e inscrever outro “retângulo áureo” nele, outro naquele, e assim por diante ad infinitum para dentro e para fora, então uma espiral pode ser desenhado ao longo dos cantos dos retângulos. É interessante que tal espiral coincida com o corte da concha de um náutilo, assim como com outras espirais encontradas na natureza.
Ilustração: Homk/wikipedia.org
Fóssil de Nautilus.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Concha do Nautilus.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
A proporção da proporção áurea é percebida pelo olho humano como bela e harmoniosa. E a proporção 0,618... é igual à razão entre o número anterior e o próximo na série de Fibonacci. Os números de Fibonacci aparecem em toda a natureza: esta é a espiral ao longo da qual os ramos de uma planta se unem ao caule, a espiral ao longo da qual crescem as escamas de uma pinha ou os grãos de um girassol. Curiosamente, o número de linhas girando no sentido anti-horário e no sentido horário são números adjacentes na série de Fibonacci.
A cabeça de um repolho de brócolis e um chifre de carneiro giram em espiral... E no próprio corpo humano, claro, saudável e de proporções normais, encontram-se as proporções áureas.
Homem Vitruviano. Desenho de Leonardo da Vinci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... são números da série Fibonacci, em que cada termo subsequente é obtido a partir da soma dos dois anteriores. Galáxias espirais distantes fotografadas por satélites também giram em espirais de Fibonacci.
Galáxia espiral.
Foto: NASA
Três ciclones tropicais.
Foto: NASA
A molécula de DNA é torcida em uma dupla hélice.
DNA humano distorcido.
Ilustração: Zephyris/en.wikipedia.org
O furacão gira em espiral, a aranha tece sua teia em espiral.
Teia de uma aranha cruzada.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
A “proporção áurea” também pode ser observada na estrutura corporal da borboleta, em relação às partes torácica e abdominal do seu corpo, bem como na libélula. E a maioria dos ovos cabe, se não no retângulo da proporção áurea, pelo menos em um derivado dela.
Ilustração: Adolphe Millot
Fractais
Outras formas interessantes que podemos ver em toda a natureza são os fractais. Fractais são figuras compostas de partes, cada uma delas semelhante à figura inteira - isso não lembra o princípio da proporção áurea?
Árvores, relâmpagos, brônquios e o sistema circulatório humano têm forma fractal; samambaias e brócolis também são chamados de ilustrações naturais ideais de fractais. “Tudo é tão complicado, tudo é tão simples” é como funciona a natureza, as pessoas percebem, ouvindo-a com respeito.
“A natureza dotou o homem do desejo de descobrir a verdade”, escreveu Cícero, com cujas palavras gostaria de encerrar a primeira parte do artigo sobre a geometria na natureza.
O brócolis é uma ilustração natural perfeita de um fractal.
Foto: pdphoto.org
As folhas de samambaia têm o formato de uma figura fractal - são autossimilares.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Fractais verdes: folhas de samambaia.
Foto: John Foxx/Photos.com
Veias em uma folha amarelada, em forma de fractal.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Rachaduras em uma pedra: fractal em macro.
Foto: Bob Beale/Photos.com
Ramos do sistema circulatório nas orelhas de um coelho.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Relâmpago - ramo fractal.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Ramo das artérias do corpo humano.
Rio sinuoso e seus braços.
Foto: Júpiterimages/Photos.com
O gelo congelado no vidro tem um padrão semelhante.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
Uma folha de hera com veias ramificadas - em forma fractal.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Como o fractal foi descoberto
As formas matemáticas conhecidas como fractais originam-se da genialidade do eminente cientista Benoit Mandelbrot. Durante a maior parte de sua vida ele ensinou matemática na Universidade de Yale, nos EUA. Em 1977-1982, Mandelbrot publicou trabalhos científicos dedicados ao estudo da “geometria fractal” ou “geometria da natureza”, nos quais decompôs formas matemáticas aparentemente aleatórias em elementos componentes que, após um exame mais detalhado, revelaram-se repetidos - o que comprovou a presença de um determinado modelo para cópia. A descoberta de Mandelbrot teve consequências significativas no desenvolvimento da física, da astronomia e da biologia.
Fractais na natureza
Na natureza, muitos objetos têm propriedades fractais, por exemplo: copas de árvores, couve-flor, nuvens, sistemas circulatório e alveolar de humanos e animais, cristais, flocos de neve, cujos elementos estão dispostos em uma estrutura complexa, litorais (o conceito fractal permitiu cientistas para medir a costa das Ilhas Britânicas e outros objetos anteriormente não mensuráveis).
Vejamos a estrutura da couve-flor. Se você cortar uma das flores, é óbvio que a mesma couve-flor permanece em suas mãos, só que menor em tamanho. Podemos continuar cortando repetidas vezes, mesmo sob um microscópio – mas tudo o que obtemos são pequenas cópias da couve-flor. Neste caso mais simples, mesmo uma pequena parte do fractal contém informações sobre toda a estrutura final.
Fractais em tecnologia digital
A geometria fractal deu um contributo inestimável para o desenvolvimento de novas tecnologias no domínio da música digital e também tornou possível a compressão de imagens digitais. Os algoritmos de compressão de imagens fractais existentes baseiam-se no princípio de armazenar uma imagem comprimida em vez da própria imagem digital. Para uma imagem comprimida, a imagem principal permanece como um ponto fixo. A Microsoft utilizou uma das variantes desse algoritmo ao publicar sua enciclopédia, mas por um motivo ou outro essa ideia não foi amplamente utilizada.
A base matemática dos gráficos fractais é a geometria fractal, onde o princípio da herança dos “objetos pais” originais é a base para os métodos de construção de “imagens herdeiras”. Os próprios conceitos de geometria fractal e gráficos fractais surgiram há apenas cerca de 30 anos, mas já se tornaram firmemente estabelecidos na vida cotidiana de designers de computadores e matemáticos.
Os conceitos básicos da computação gráfica fractal são:
- Triângulo fractal - figura fractal - objeto fractal (hierarquia em ordem decrescente)
- Linha fractal
- Composição fractal
- “Objeto pai” e “Objeto sucessor”
Assim como nos gráficos vetoriais e tridimensionais, a criação de imagens fractais é calculada matematicamente. A principal diferença dos dois primeiros tipos de gráficos é que uma imagem fractal é construída de acordo com uma equação ou sistema de equações - você não precisa armazenar nada além da fórmula na memória do computador para realizar todos os cálculos - e isso a compactação do aparato matemático permitiu o uso dessa ideia na computação gráfica. Simplesmente alterando os coeficientes da equação, você pode facilmente obter uma imagem fractal completamente diferente - usando vários coeficientes matemáticos, são especificadas superfícies e linhas de formas muito complexas, o que permite implementar técnicas de composição como horizontais e verticais, simetria e assimetria , direções diagonais e muito mais.
Como construir um fractal?
O criador dos fractais desempenha o papel de artista, fotógrafo, escultor e cientista-inventor ao mesmo tempo. Quais são as próximas etapas da criação de um desenho do zero?
- definir a forma do desenho usando uma fórmula matemática
- investigar a convergência do processo e variar seus parâmetros
- selecione o tipo de imagem
- escolha uma paleta de cores
Dentre os editores gráficos fractais e outros programas gráficos podemos destacar:
- "Artista de Arte"
- “Pintor” (sem um computador, nenhum artista jamais alcançará as capacidades estabelecidas pelos programadores apenas através de um lápis e um pincel)
- “Adobe Photoshop” (mas aqui a imagem não é criada “do zero”, mas, via de regra, apenas processada)
Consideremos a estrutura de uma figura geométrica fractal arbitrária. Em seu centro está o elemento mais simples - um triângulo equilátero, que recebeu o mesmo nome: “fractal”. No segmento intermediário dos lados, construiremos triângulos equiláteros com lado igual a um terço do lado do triângulo fractal original. Usando o mesmo princípio, são construídos triângulos sucessores ainda menores da segunda geração - e assim por diante, ad infinitum. O objeto resultante é denominado “figura fractal”, de cujas sequências obtemos uma “composição fractal”.
Fonte: http://www.iknowit.ru/
Fractais e mandalas antigas
Em princípio, uma mandala é um símbolo geométrico de uma estrutura complexa, que é interpretada como um modelo do Universo, um “mapa do cosmos”. Este é o primeiro sinal de fractalidade!
São bordados em tecido, pintados em areia, feitos com pós coloridos e feitos de metal, pedra, madeira. Sua aparência brilhante e hipnotizante o torna uma bela decoração para pisos, paredes e tetos de templos na Índia. Na antiga língua indiana, “mandala” significa o círculo místico da relação entre as energias espirituais e materiais do Universo, ou em outras palavras, a flor da vida.
Queria escrever uma resenha muito curta sobre mandalas fractais, com um mínimo de parágrafos, mostrando que a relação existe claramente. Porém, ao tentar compreender e combinar informações sobre fractais e mandalas em um único todo, tive a sensação de um salto quântico para um espaço desconhecido para mim.
Demonstro a imensidão deste tema com uma citação: “Tais composições fractais ou mandalas podem ser usadas na forma de pinturas, elementos de design para espaços de vida e de trabalho, amuletos vestíveis, na forma de fitas de vídeo, programas de computador...”. em geral, o tema para o estudo dos fractais é simplesmente enorme.
Uma coisa que posso dizer com certeza é que o mundo é muito mais diversificado e rico do que as pobres ideias que as nossas mentes têm sobre ele.
Animais marinhos fractais
Minhas suposições sobre animais marinhos fractais não eram infundadas. Aqui estão os primeiros representantes. Um polvo é um animal marinho que vive no fundo da ordem dos cefalópodes.
Olhando para esta foto, a estrutura fractal de seu corpo e as ventosas em todos os oito tentáculos deste animal tornaram-se óbvias para mim. O número de ventosas nos tentáculos de um polvo adulto chega a 2.000.
Um fato interessante é que o polvo tem três corações: um (o principal) conduz o sangue azul por todo o corpo, e os outros dois - guelras - empurram o sangue pelas guelras. Alguns tipos desses fractais do fundo do mar são venenosos.
Ao adaptar-se e camuflar-se ao seu ambiente, o polvo tem a capacidade muito útil de mudar de cor.
Os polvos são considerados os mais “inteligentes” de todos os invertebrados. Eles conhecem as pessoas e se acostumam com quem os alimenta. Seria interessante observar polvos que são fáceis de treinar, têm boa memória e até reconhecem formas geométricas. Mas a vida útil desses animais fractais é curta - no máximo 4 anos.
O homem usa a tinta deste fractal vivo e de outros cefalópodes. São procurados por artistas pela durabilidade e lindo tom marrom. Na culinária mediterrânea, o polvo é fonte de vitaminas B3, B12, potássio, fósforo e selênio. Mas acho que você precisa saber cozinhar esses fractais marinhos para poder comê-los como alimento.
Aliás, é importante destacar que os polvos são predadores. Com seus tentáculos fractais eles seguram presas na forma de moluscos, crustáceos e peixes. É uma pena que um molusco tão bonito se torne o alimento desses fractais marinhos. Na minha opinião, ele também é um representante típico dos fractais do reino do mar.
Este é um parente dos caracóis, o gastrópode nudibrânquio Glaucus, também conhecido como Glaucus, também conhecido como Glaucus atlanticus, também conhecido como Glaucilla marginata. Este fractal também é incomum porque vive e se move sob a superfície da água, sendo mantido no lugar pela tensão superficial. Porque o molusco é hermafrodita e, após o acasalamento, ambos os “parceiros” põem ovos. Este fractal é encontrado em todos os oceanos da zona tropical.
Fractais do reino do mar
Cada um de nós, pelo menos uma vez na vida, segurou uma concha nas mãos e examinou-a com genuíno interesse infantil.
Normalmente as conchas são uma bela lembrança que lembra uma viagem ao mar. Quando você olha para esta formação espiral de moluscos invertebrados, não há dúvida sobre sua natureza fractal.
Nós, humanos, somos um pouco como esses moluscos de corpo mole, vivendo em casas fractais de concreto bem equipadas, colocando e movendo nossos corpos em carros velozes.
Outro representante típico do mundo subaquático fractal é o coral.
Existem mais de 3.500 variedades de corais conhecidas na natureza, com uma paleta de até 350 tonalidades de cores.
Coral é o material esquelético de uma colônia de pólipos de coral, também da família dos invertebrados. Suas enormes acumulações formam recifes de coral inteiros, cujo método fractal de formação é óbvio.
O coral pode ser chamado com total confiança de fractal do reino do mar.
Também é utilizado pelo homem como lembrança ou matéria-prima para joias e enfeites. Mas é muito difícil replicar a beleza e a perfeição da natureza fractal.
Mais uma vez, realizando o ritual na cozinha com faca e tábua de cortar, e depois mergulhando a faca em água fria, chorei e mais uma vez descobri como lidar com o fractal lacrimal que aparece diante dos meus olhos quase todos os dias .
O princípio da fractalidade é o mesmo da famosa boneca de nidificação - nidificação. É por isso que a fractalidade não é percebida imediatamente. Além disso, a cor clara e uniforme e sua capacidade natural de causar sensações desagradáveis não contribuem para a observação atenta do universo e a identificação de padrões matemáticos fractais.
Mas a salada de cebola lilás, pela sua cor e pela ausência de fitoncidas lacrimais, me fez pensar na fractalidade natural desse vegetal. Claro, este é um fractal simples, círculos comuns de diâmetros diferentes, pode-se até dizer o fractal mais primitivo. Mas não faria mal lembrar que a bola é considerada uma figura geométrica ideal dentro do nosso Universo.
Muitos artigos foram publicados na Internet sobre as propriedades benéficas da cebola, mas de alguma forma ninguém tentou estudar esse espécime natural do ponto de vista da fractalidade. Só posso afirmar a utilidade de usar um fractal em forma de cebola na minha cozinha.
P.S. Já comprei um cortador de legumes para cortar fractais. Agora temos que pensar em quão fractal é um vegetal tão saudável como o repolho branco comum. O mesmo princípio de aninhamento.
Fractais na arte popular
A história do mundialmente famoso brinquedo Matryoshka chamou minha atenção. Olhando mais de perto, podemos afirmar com segurança que este brinquedo souvenir é um típico fractal.
O princípio da fractalidade é óbvio quando todas as figuras de um brinquedo de madeira estão alinhadas e não aninhadas umas dentro das outras.
Minha pequena pesquisa sobre a história do surgimento desse fractal de brinquedo no mercado mundial mostrou que as raízes dessa beleza são japonesas. A boneca matryoshka sempre foi considerada uma lembrança russa original. Mas descobriu-se que ela era o protótipo da estatueta japonesa do velho sábio Fukuruma, que certa vez foi trazida do Japão para Moscou.
Mas foi a indústria de brinquedos russa que trouxe fama mundial a esta estatueta japonesa. De onde veio a ideia do aninhamento fractal de um brinquedo permanece um mistério para mim pessoalmente. Muito provavelmente, o autor deste brinquedo usou o princípio de aninhar figuras umas dentro das outras. E a maneira mais fácil de investir são figuras semelhantes de tamanhos diferentes, e isso já é um fractal.
Um objeto de estudo igualmente interessante é a pintura de um brinquedo fractal. Esta é uma pintura decorativa - Khokhloma. Os elementos tradicionais de Khokhloma são padrões herbáceos de flores, frutos e galhos.
Novamente todos os sinais de fractalidade. Afinal, um mesmo elemento pode ser repetido diversas vezes em diferentes versões e proporções. O resultado é uma pintura fractal popular.
E se você não surpreender ninguém com a nova pintura de mouses de computador, capas de laptop e telefones, então o ajuste fractal de um carro em estilo folk é algo novo no design de automóveis. Só podemos ficar surpresos com a manifestação do mundo dos fractais em nossas vidas de uma forma tão incomum em coisas tão comuns para nós.
Fractais na cozinha
Um típico representante de um fractal do mundo vegetal estava na mesa da minha cozinha.
Com todo o meu amor pela couve-flor, sempre encontrei exemplares com superfície uniforme e sem sinais visíveis de fractalidade, e mesmo um grande número de inflorescências aninhadas umas nas outras não me dava motivo para ver um fractal neste útil vegetal.
Mas a superfície deste espécime em particular com a sua geometria fractal claramente definida não deixou a menor dúvida sobre a origem fractal deste tipo de repolho.
Outra ida ao hipermercado apenas confirmou o status fractal do repolho. Entre a enorme quantidade de vegetais exóticos havia uma caixa inteira de fractais. Era Romanescu, ou brócolis românico, couve-flor.
Acontece que designers e artistas 3D admiram suas formas exóticas semelhantes a fractais.
Os botões do repolho crescem em uma espiral logarítmica. A primeira menção ao repolho Romanescu veio da Itália no século XVI.
E o repolho brócolis não é um convidado frequente na minha dieta, embora seja muitas vezes superior à couve-flor no conteúdo de nutrientes e microelementos. Mas sua superfície e forma são tão uniformes que nunca me ocorreu ver nele um fractal vegetal.
Fractais em quilling
Tendo visto artesanatos perfurados na técnica quilling, nunca perdi a sensação de que eles me lembravam alguma coisa. A repetição dos mesmos elementos em tamanhos diferentes é, obviamente, o princípio da fractalidade.
Depois de assistir a outra master class sobre quilling, não houve mais dúvidas sobre a natureza fractal do quilling. Afinal, para fazer diversos elementos para artesanato quilling, utiliza-se uma régua especial com círculos de diferentes diâmetros. Apesar de toda a beleza e singularidade dos produtos, esta é uma técnica incrivelmente simples.
Quase todos os elementos principais do artesanato quilling são feitos de papel. Para estocar papel quilling grátis, dê uma olhada nas estantes de livros de sua casa. Certamente você encontrará algumas revistas brilhantes lá.
As ferramentas de quilling são simples e baratas. Tudo o que você precisa para realizar trabalhos de quilling amador pode ser encontrado entre os materiais de papelaria de sua casa.
E a história do quilling começa no século XVIII na Europa. Durante a Renascença, monges de mosteiros franceses e italianos usavam quilling para decorar capas de livros e nem sequer tinham consciência da natureza fractal da técnica de enrolar papel que tinham inventado. Meninas da alta sociedade até faziam cursos de quilling em escolas especiais. Foi assim que esta técnica começou a se espalhar por países e continentes.
Esta aula magistral de quilling em vídeo sobre como fazer plumagem luxuosa pode até ser chamada de “fractais do tipo faça você mesmo”. Com a ajuda de fractais de papel, são obtidos maravilhosos cartões de Dia dos Namorados exclusivos e muitas outras coisas interessantes. Afinal, a fantasia, assim como a natureza, é inesgotável.
Não é nenhum segredo que os japoneses são muito limitados em termos de espaço na vida e, portanto, precisam fazer o possível para usá-lo de maneira eficaz. Takeshi Miyakawa mostra como isso pode ser feito de forma eficaz e estética. Seu gabinete fractal confirma que o uso de fractais no design não é apenas uma homenagem à moda, mas também uma solução de design harmoniosa em condições de espaço limitado.
Este exemplo de uso de fractais na vida real, em relação ao design de móveis, me mostrou que os fractais são reais não apenas no papel, em fórmulas matemáticas e programas de computador.
E parece que a natureza usa o princípio da fractalidade em todos os lugares. Você só precisa dar uma olhada mais de perto e ele se manifestará em toda a sua magnífica abundância e infinidade de ser.
