Dependência exponencial em processos naturais. Crescimento exponencial Evolução do exponencial

Tal como sublinhado na secção anterior, qualquer população é, em princípio, capaz de aumentar exponencialmente o seu tamanho, e é por isso que o modelo exponencial é utilizado para estimar o potencial de crescimento das populações. Em alguns casos, contudo, o modelo exponencial revela-se adequado para descrever processos realmente observados. Obviamente, isso é possível quando durante um tempo suficientemente longo (em relação à duração da geração) nada limita o crescimento da população e, consequentemente, o indicador da sua taxa específica ( R) mantém um valor positivo constante.

Por exemplo, em 1937, 2 faisões machos e 6 fêmeas foram trazidos para a pequena ilha de Protekshi (na costa noroeste dos EUA, perto do estado de Washington). (Phasanius colchicus torqualus), anteriormente não encontrado na ilha. Nesse mesmo ano começaram a procriar os faisões e 6 anos depois a população, que começou com 8 aves, já somava 1.898 indivíduos. Como segue da Fig. 28 A, durante pelo menos os primeiros 3-4 anos, o aumento no número de faisões foi bem descrito por uma relação exponencial (uma linha reta em uma escala de ordenada logarítmica). Infelizmente, mais tarde, devido ao início das hostilidades, as tropas foram estacionadas na ilha, as contagens anuais foram interrompidas e a própria população de faisões foi em grande parte exterminada.

Outro caso bem conhecido de crescimento populacional exponencial é o aumento no tamanho da população da pomba-anelada (Streptopelia decaocto) nas Ilhas Britânicas no final dos anos 1950 e início dos anos 1960. (Fig. 28, b). Este crescimento só parou após 8 anos, depois de todos os habitats adequados terem sido povoados.

A lista de exemplos de crescimento populacional exponencial pode ser continuada. Em particular, o aumento exponencial (ou pelo menos próximo do exponencial) do número de renas foi várias vezes maior (Rangifer tarandus) observado durante a sua introdução em várias ilhas. Assim, de 25 indivíduos (4 machos e 21 fêmeas), trazidos em 1911 para a Ilha de St. Paul (parte do arquipélago das Ilhas Pribilof, no Mar de Bering), surgiu uma população cujo tamanho em 1938 era de 0,011. atingiu 2 mil indivíduos, mas depois seguiu-se um declínio acentuado e, em 1950, apenas 8 veados permaneciam na ilha. Um quadro semelhante foi observado na Ilha de São Mateus (também localizada no Mar de Bering): 29 indivíduos (5 homens e 24 mulheres) introduzidos na ilha em 1944 deram origem a uma população de 1.350 indivíduos em 1957 e em 1963. - cerca de 6 mil indivíduos (a área desta ilha é de 332 km 2, o que é aproximadamente três vezes a área da Ilha de São Paulo). Nos anos seguintes, no entanto, houve um declínio catastrófico no número de veados; em 1966, restavam apenas 42. Em ambos os casos acima, a razão para o declínio acentuado no número foi a falta de alimentos no inverno, consistindo quase exclusivamente de líquenes.

No laboratório, é possível criar condições para um crescimento exponencial se os organismos cultivados forem abastecidos com excesso de recursos, que geralmente limitam o seu desenvolvimento, e também mantendo o valor de todos os parâmetros físico-químicos do ambiente dentro dos limites de tolerância do dado. espécies. Muitas vezes, para manter o crescimento exponencial, é necessário remover produtos metabólicos dos organismos (usando, por exemplo, sistemas de fluxo no cultivo de vários animais e plantas aquáticas) ou isolar indivíduos nascentes uns dos outros para evitar aglomeração (isto é importante, por exemplo, ao cultivar muitos roedores e outros animais com comportamento bastante complexo). Na prática, não é difícil obter experimentalmente uma curva de crescimento exponencial apenas para organismos muito pequenos (leveduras, protozoários, algas unicelulares, etc.). Organismos grandes são difíceis de cultivar em grandes quantidades por razões puramente técnicas. Além disso, isso requer muito tempo.

Situações em que surgem condições para um crescimento exponencial também são possíveis na natureza, e não apenas para as populações insulares. Por exemplo, em lagos de latitudes temperadas na primavera, após o derretimento do gelo, as camadas superficiais contêm uma grande quantidade de elementos biogênicos (fósforo, nitrogênio, silício), que geralmente são deficientes em algas planctônicas e, portanto, não é surpreendente que imediatamente após o aquecimento da água, ocorre um aumento rápido (quase exponencial) no número de diatomáceas ou algas verdes. Só pára quando todos os elementos deficientes estão ligados às células das algas ou quando a produção das populações é equilibrada pelo seu consumo por vários animais fitófagos.

Embora existam outros exemplos de aumentos exponenciais realmente observados nos números, não se pode dizer que sejam muito numerosos. Obviamente, se a população aumenta de acordo com a lei exponencial, isso ocorre apenas por um período muito curto, seguido de um declínio ou atingindo um patamar (= nível estacionário). Em princípio, são possíveis várias opções para travar o crescimento exponencial da população. A primeira opção é alternar períodos de crescimento exponencial dos números com períodos de declínio acentuado (catastrófico), até valores muito baixos. Tal regulação (e por regulação populacional entendemos a ação de quaisquer mecanismos que levem à limitação do crescimento populacional) é mais provável em organismos com ciclo de vida curto que vivem em locais com flutuações pronunciadas nos principais fatores limitantes, por exemplo, em insetos vivendo em altas latitudes. É também óbvio que tais organismos devem ter fases dormentes que lhes permitam sobreviver a estações desfavoráveis. A segunda opção é parar abruptamente o crescimento exponencial e manter a população num nível constante (=estacionário), em torno do qual são possíveis várias flutuações. A terceira opção é uma saída suave para o planalto. A forma de S resultante da curva indica que à medida que o tamanho da população aumenta, a sua taxa de crescimento não permanece constante, mas diminui. O crescimento populacional em forma de S é observado com muita frequência tanto em experimentos de laboratório quanto quando espécies são introduzidas em novos habitats.

Um dos grandes mitos em que se baseou a economia do final do século XX foi o mito do crescimento exponencial. Presumia-se que a tecnologia mudaria ainda mais rapidamente, de modo que a economia também cresceria exponencialmente, tornando-nos todos mais ricos do que os nossos pais e desproporcionalmente mais ricos do que os nossos bisavôs. No entanto, as coisas parecem ter corrido mal desde 2000, pelo menos economicamente. O problema deve-se em parte à fuga de capitais para os mercados emergentes, possibilitada pela Internet e pelas comunicações modernas. No entanto, mesmo para além desta realidade inconveniente, reside o pensamento verdadeiramente preocupante de que o progresso tecnológico e, portanto, a possibilidade de melhorar os padrões de vida, podem não gerar qualquer crescimento exponencial.

Na visão de vários entusiastas, a crença no progresso tecnológico exponencial transformou-se numa singularidade que ou já está acontecendo ou está prestes a nos ultrapassar. Espera-se que conduza a uma maior aceleração do progresso, que será tão poderoso que o futuro da história humana será muito diferente do passado.

Mas antes de saudarmos o surgimento da singularidade, deve-se notar que, segundo os defensores desta teoria, ela será causada pelo surgimento de máquinas mais inteligentes que os humanos, que posteriormente ganharão vantagem, criarão robôs ainda mais inteligentes e deixarão humanidade para trás. Assim, a singularidade não representará uma melhoria quase infinita na qualidade de vida da humanidade, porque presumivelmente tais máquinas superinteligentes não estarão particularmente interessadas no padrão de vida das pessoas – ou mesmo quererão nos usar como cobaias ou animais de estimação. (Neste último caso, estarei sem dúvida na vanguarda dos candidatos à eliminação - é improvável que possua as qualidades de um animal de estimação que a nossa gata Eudoxia exibe regularmente).

Pensando logicamente, podemos identificar três singularidades que já ocorreram na história da humanidade: o surgimento da fala, a transição da vida nômade para a agricultura sedentária e, posteriormente, a Revolução Industrial. Cada um desses fenômenos acelerou dez vezes o desenvolvimento da humanidade, de modo que mudanças que levaram milhões de anos apenas sob a influência da evolução começaram a ocorrer após o advento da fala em centenas de milhares de anos, com a invenção da agricultura - em dezenas de milhares de anos, e em apenas dois ou três séculos – após a Revolução Industrial. Cada uma dessas mudanças mudou completamente a vida; também avançou a um ritmo mais rápido e, desde a Revolução Industrial, ocorreram enormes avanços tecnológicos num curto período de vida humana.

Vale a pena olhar mais de perto a singularidade da Revolução Industrial. Durou cerca de 200 anos e nenhuma de suas primeiras inovações trouxe mudanças significativas à vida. Carro Recém-chegado para bombear água nas minas, inventado em 1712, não levou diretamente a grandes mudanças e não foi seguido por nenhum motor muito mais avançado, como o do James watt, até 1769 (e os motores Watt começaram a ser amplamente utilizados apenas na década de 1790). No entanto, a revolução tecnológica foi acompanhada por uma revolução igualmente importante no pensamento humano, que começou por volta da fundação da Royal Society em 1662 e continuou " A riqueza das Nações» Adam Smith(em 1776) até ao início do século XIX.

Assim, embora o cidadão de 1785 não desfrutasse particularmente dos avanços tecnológicos em comparação com o seu antepassado de 1660, enquanto um século antes os alquimistas eram ridicularizados na pintura do famoso José Wright agora serve como capa para " Perdas dos Alquimistas" Os primeiros enormes frutos técnicos da Revolução Industrial vieram mais tarde – a produção têxtil só descolou na década de 1790 e a rede ferroviária só apareceu depois de 1830 – mas as mudanças mentais que formaram a singularidade já tinham ocorrido por volta de 1785.

Nesse sentido, ainda não estamos ameaçados por nenhuma singularidade. A Internet, que mudou radicalmente as comunicações mundiais e o nosso modo de vida, não é uma mudança mais revolucionária do que a luz eléctrica, o telefone ou o automóvel. A vida em 2010 é na verdade diferente da vida em 1995. Podemos organizar uma empresa global de produção ou de serviços com muito mais eficiência hoje do que podíamos em 1995. Os jovens passam a maior parte das suas vidas sem dormir a navegar na Internet ou a falar ao telemóvel, algo que não podiam fazer antes de 1995.

No entanto, este também foi o caso 15-20 anos após o aparecimento de tecnologias fatídicas anteriores. Em 1845, após a invenção das ferrovias, os padrões de viagem já eram diferentes daqueles de 1830. Em 1905, após a invenção da electricidade, os padrões urbanos de trabalho nocturno e entretenimento eram muito diferentes dos de 1890. Da mesma forma, a vida na zona rural da América em 1925, com o advento do Tin Lizzie (Ford Modelo T), era completamente diferente do que era em 1910.

Assim, cada uma destas invenções mudou radicalmente alguns aspectos do modo de vida, mas ao mesmo tempo ainda não aceleraram o processo de invenção e progresso, como a Revolução Industrial. Após a difusão das invenções, a vida tornou-se diferente, mas o ritmo do progresso tecnológico foi muito moderado. A Internet é semelhante a este tipo de inovação: mudou significativamente as nossas vidas, mas não acelerou as mudanças tanto como a Revolução Industrial, e não existem pré-requisitos para isso. Na verdade, pode-se argumentar, com razão, que a geração que testemunhou a maior parte das mudanças revolucionárias foi a da minha tia-avó Beatrice, que nasceu em 1889 e morreu em 1973. Durante a infância utilizou-se iluminação a gás e cavalos de tração e, na velhice, pilotou aviões com todas as forças e visitou a lua.

Olhando para o futuro, existem três avanços tecnológicos plausíveis que poderão potencialmente acelerar o ritmo da mudança, mesmo que não causem uma singularidade. São eles: a criação de uma máquina mais inteligente que uma pessoa, a descoberta de métodos de manipulação de genes que possam aumentar as capacidades cognitivas humanas, bem como descobertas de natureza técnica, médica ou genética que possam levar a um aumento significativo da esperança de vida humana. .

A possibilidade de um super-robô tem sido considerada a razão mais popular para a suposta singularidade, mas após uma inspeção mais detalhada verifica-se que é improvável que leve a isso. Os teóricos da singularidade gostam de citar a lei de Moore, uma teoria proposta Gordon Moore em 1965, segundo o qual a velocidade de processamento do computador dobra a cada dois anos. Contudo, na realidade estamos a aproximar-nos seriamente do limite desta progressão; fatores limitantes são a velocidade da luz, a energia necessária para operar microprocessadores (que produzem calor), o comprimento de onda da radiação eletromagnética e o tamanho das estruturas atômicas.

Em algumas gerações, de acordo com a lei de Moore, nos aproximaremos de uma barreira temporária, o que complicará significativamente o progresso, e em 5-6 gerações, de acordo com a mesma lei, nos aproximaremos de uma barreira permanente, além da qual, com o atualmente imaginável tecnologias, o progresso será impossível. Deve-se reconhecer que novos progressos no campo da inteligência informática são realizados através de uma melhor programação e arquitectura com paralelismo massivo, mas a realidade é que após o progresso de 2015-2020 nesta área haverá um abrandamento significativo, e não uma aceleração. Tal como a última mudança verdadeiramente revolucionária no design automóvel foi a invenção da transmissão automática em 1939, é evidente que os intermináveis avanços no design mecânico atingirão gradualmente um limite natural.

A engenharia genética para melhorar as capacidades mentais humanas irá, sem dúvida, mudar o nosso mundo, mas isso provavelmente não acontecerá em breve, porque tais mudanças serão fortemente contestadas pela maioria dos grupos religiosos e governos ocidentais. Mesmo a simples clonagem, que consiste simplesmente na reprodução de um indivíduo existente, não avançou muito em dez anos e poderá ser adiada por uma geração no futuro. Mesmo com a aprovação do governo, os testes de segurança exigidos antes do início das experiências de melhoria do cérebro, existe a possibilidade de que os primeiros testes resultem simplesmente num aumento da capacidade cerebral para o nível existente, em vez de num aumento da mesma. Além disso, devido à necessidade biológica destas crianças amadurecerem antes dos 15 anos, obtendo o ensino superior nos próximos 5 a 10 anos, o resultado destas mudanças só aparecerá daqui a 50 anos. Nesse sentido, um super-robô, mesmo que fosse real, poderia ser criado mais rapidamente, pois seria imediatamente um adulto! Dado o facto de que os primeiros exemplos do Homem Melhorado serão uma pequena fracção da raça humana/nova raça humana, é claro que não se espera nenhuma macroaceleração a partir daqui até ao próximo século.

A terceira tecnologia potencial, a extensão da vida, é mais interessante. Tecnicamente, qualquer efeito significativo (além dos avanços médicos que aumentam a percentagem de pessoas que vivem até aos 90-100 anos de idade) provavelmente exigiria competências semelhantes para produzir uma vida de maior inteligência. No entanto, esta área enfrentará muito menos resistência ludita por parte de políticos e líderes religiosos, uma vez que os benefícios de uma vida mais longa são óbvios e teoricamente universais. Por outro lado, aumentar a esperança de vida daqueles que já vivem será muito mais difícil do que criar novas pessoas longevas, e muito provavelmente isto acontecerá mais tarde.

Acontece que em 2050 provavelmente poderemos ter filhos que viverão 150-200 anos (ou seja, mais tempo do que o necessário para superar os factores limitantes que ainda não conhecemos, porque não afectam os não- centenários). Depois de algum tempo, aprenderemos como aumentar, pelo menos parcialmente, a expectativa de vida das pessoas existentes. Dada a potencial procura em massa destas tecnologias, estas deverão espalhar-se rapidamente para a maioria das pessoas, uma vez que a produção em massa reduzirá o seu custo para níveis aceitáveis.

No entanto, embora o aumento do ciclo de vida melhore muito a vida de uma pessoa, não acelerará o progresso. Os centenários não começarão a trabalhar antes dos 25 anos, porque receberão uma educação mais abrangente do que a nossa. Quando regressarem ao trabalho, serão menos avessos ao risco e mais pacientes do que nós, uma vez que os atrasos consumirão menos o resto das suas vidas. Por sua vez, mesmo sem maior aceleração, necessitarão de educação repetida a cada 20-25 anos para que as suas competências de trabalho não fiquem irremediavelmente desatualizadas. Dado que os custos para eles nas condições de mudanças rápidas serão maiores do que para nós e os benefícios serão menores, eles próprios quererão abrandar o progresso. Só em combinação com um nível mais elevado de inteligência serão capazes de aceitar o ritmo vertiginoso da mudança pós-revolucionária.

Neste momento estava a considerar a possível aceleração de mudanças positivas. No entanto, existe a possibilidade de mudanças catastroficamente negativas que poderão devolver a civilização, os padrões de vida e o conhecimento a um nível mais primitivo. Uma possível fonte disto é uma guerra mundial, talvez diferente daquela de há 50 anos. Outro fator pode ser o desastre ambiental. Nada de bom é esperado aqui. O actual e inexorável crescimento populacional, que deverá abrandar mas não parar até 2050, será exacerbado por descobertas que aumentaram a esperança de vida para 200 anos, tanto devido à diminuição do número de mortes como ao aumento da taxa de natalidade devido a o fato de que a capacidade de reprodução será mantida por 100 anos. É uma questão saber se o aquecimento global é um problema grave num mundo de 7 a 10 mil milhões de habitantes, mas irá certamente tornar-se um problema grave num mundo de 20 mil milhões (e o esgotamento dos recursos será, portanto, um perigo mais real). Assim, a principal prioridade deveria ser medidas para abrandar o crescimento populacional ou, melhor ainda, regressar ao declínio. Afinal, antes da última singularidade, a população mundial era de apenas 1 bilhão; nesse ritmo, os nossos problemas ambientais e de recursos desapareceriam.

Para além da possibilidade de colapso, dois ou três prováveis desenvolvimentos tecnológicos ao longo dos próximos 50 anos – atingir o limite da Lei de Moore e aumentar a esperança de vida – provavelmente abrandarão o ritmo da mudança, em vez de o acelerarem. Apenas a terceira opção – inteligência geneticamente melhorada – tem potencial para acelerar o progresso, mas a oposição sistémica a esta tecnologia irá provavelmente atrasá-lo por muito tempo. A curva de desenvolvimento humano no século XXI será assim assintótica [limitada] e não exponencial.

A expressão “crescimento exponencial” entrou no nosso léxico para significar um aumento rápido, geralmente incontrolável. É frequentemente usado, por exemplo, para descrever o rápido crescimento das cidades ou o aumento da população. Porém, em matemática este termo tem um significado preciso e denota um certo tipo de crescimento.

O crescimento exponencial ocorre naquelas populações em que o aumento da população (o número de nascimentos menos o número de mortes) é proporcional ao número de indivíduos na população. Para uma população humana, por exemplo, a taxa de natalidade é aproximadamente proporcional ao número de pares reprodutivos, e a taxa de mortalidade é aproximadamente proporcional ao número de pessoas na população (denotamos isso N). Então, com uma aproximação razoável,

crescimento populacional = número de nascimentos - número de mortes

(Aqui R- assim chamado fator de proporcionalidade, o que nos permite escrever a expressão de proporcionalidade como uma equação.)

Deixe d N— número de indivíduos adicionados à população durante o tempo d t, então se na população total N indivíduos, então as condições para o crescimento exponencial serão satisfeitas se

d N = rN d t

Desde que Isaac Newton inventou o cálculo diferencial no século XVII, sabemos como resolver esta equação para N— tamanho da população em um determinado momento. (Para referência: esta equação é chamada diferencial.) Aqui está a solução dele:

N=N0 e rt

Onde N 0 é o número de indivíduos na população no início da contagem regressiva, e t- o tempo que passou desde este momento. O símbolo e denota um número tão especial, é chamado base do logaritmo natural(e é aproximadamente igual a 2,7), e todo o lado direito da equação é chamado função exponencial.

Para entender melhor o que é crescimento exponencial, imagine uma população constituída inicialmente por uma bactéria. Depois de um certo tempo (algumas horas ou minutos), a bactéria se divide em duas, duplicando assim o tamanho da população. Após o próximo período de tempo, cada uma dessas duas bactérias se dividirá novamente em duas e o tamanho da população dobrará novamente - haverá agora quatro bactérias. Depois de dez dessas duplicações, haverá mais de mil bactérias, depois de vinte - mais de um milhão e assim por diante. Se a população duplicar a cada divisão, o seu crescimento continuará indefinidamente.

Há uma lenda (provavelmente não é verdade) de que o homem que inventou o xadrez deu tanto prazer ao seu sultão que ele prometeu atender a qualquer um de seus pedidos. O homem pediu ao sultão que colocasse um grão de trigo na primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois na segunda, quatro na terceira e assim por diante. O Sultão, considerando esta exigência insignificante em comparação com o serviço que prestou, pediu ao seu súdito que apresentasse outro pedido, mas ele recusou. Naturalmente, na 64ª duplicação, o número de grãos tornou-se tal que não haveria trigo suficiente no mundo inteiro para satisfazer este pedido. Na versão da lenda que conheço, o Sultão naquele momento ordenou que a cabeça do inventor fosse cortada. A moral, como digo aos meus alunos, é: às vezes você não deveria ser muito esperto!

O exemplo do tabuleiro de xadrez (assim como o das bactérias imaginárias) mostra-nos que nenhuma população pode crescer para sempre. Mais cedo ou mais tarde, simplesmente ficará sem recursos – espaço, energia, água, seja o que for. Portanto, as populações só podem crescer exponencialmente durante algum tempo e, mais cedo ou mais tarde, o seu crescimento deverá abrandar. Para fazer isso, é necessário alterar a equação para que, quando o tamanho da população se aproximar do máximo possível (que pode ser suportado pelo ambiente externo), a taxa de crescimento diminua. Vamos chamar esse tamanho máximo da população K. Então a equação modificada ficará assim:

d N = RN(1 — (N/K))d t

Quando N muito menos K, membro N/K pode ser desprezado e voltamos à equação original do crescimento exponencial ordinário. No entanto, quando N aproxima-se do seu valor máximo K, valor 1 - ( N/K) tende a zero e, consequentemente, o crescimento populacional tende a zero. O tamanho total da população, neste caso, estabiliza e permanece no nível K. A curva descrita por esta equação, assim como a própria equação, têm vários nomes - Curva S, equação logística, Equação de Volterra, Equação de Lotka-Volterra. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 - notável matemático e professor italiano; Alfred Lotka, 1880-1949 - matemático e analista de seguros americano.) Qualquer que seja o nome, é uma expressão bastante simples do tamanho de uma população que cresce exponencialmente e depois desacelera à medida que se aproxima de algum limite. E reflecte o crescimento da população real muito melhor do que a função exponencial habitual.

As pessoas não são bons preditores do futuro. Durante a maior parte da história, as nossas experiências foram “locais e lineares”: usávamos as mesmas ferramentas, comíamos os mesmos alimentos, vivíamos num determinado local. Como resultado, nossas habilidades preditivas são baseadas na intuição e na experiência passada. É como uma escada: depois de subirmos alguns degraus, entendemos qual será o caminho restante ao longo desta escada. À medida que vivemos nossas vidas, esperamos que cada novo dia seja semelhante ao anterior. No entanto, agora tudo está mudando.

O famoso inventor e futurista americano Raymond Kurzweil, em seu livro “The Singularity Is Near”, escreve que o salto no desenvolvimento tecnológico que temos visto nas últimas décadas causou uma aceleração do progresso em muitas áreas diferentes. Isto levou a mudanças tecnológicas e sociais inesperadas que ocorrem não apenas entre gerações, mas também dentro delas. Agora, a abordagem intuitiva para prever o futuro não funciona. O futuro já não se desenrola linearmente, mas sim exponencialmente: está a tornar-se cada vez mais difícil prever o que acontecerá a seguir e quando acontecerá. O ritmo do progresso tecnológico surpreende-nos constantemente e, para acompanhá-lo e aprender a prever o futuro, devemos primeiro aprender a pensar exponencialmente.

O que é crescimento exponencial?

Ao contrário do crescimento linear, que é o resultado da adição repetida de uma constante, o crescimento exponencial é o resultado da multiplicação repetida. Se o crescimento linear for uma linha reta estável ao longo do tempo, então uma linha de crescimento exponencial é semelhante à decolagem. Quanto maior o valor, mais rápido ele cresce.

Imagine que você está caminhando por uma estrada e cada passo que você dá tem um metro de comprimento. Você dá seis passos e agora avançou seis metros. Depois de dar mais 24 passos, você estará a 30 metros de onde começou. Este é o crescimento linear.

Agora imagine (embora seu corpo não consiga fazer isso, imagine) que cada vez que o comprimento do seu passo dobra. Ou seja, primeiro você pisa um metro, depois dois, depois quatro, depois oito e assim por diante. Em seis dessas etapas você percorrerá 32 metros - isso é muito mais do que em seis etapas de um metro. É difícil de acreditar, mas se você continuar no mesmo ritmo, depois do trigésimo passo você estará a um bilhão de metros do ponto de partida. São 26 viagens ao redor da Terra. E este é um crescimento exponencial.

É interessante que cada novo passo com tanto crescimento seja a soma de todos os anteriores. Ou seja, após 29 etapas você percorreu 500 milhões de metros e cobre a mesma quantidade na trigésima etapa seguinte. Isto significa que qualquer um dos seus passos anteriores é incomparavelmente pequeno em relação aos próximos passos de crescimento explosivo, e a maior parte acontece durante um período de tempo relativamente curto. Se você pensar nesse crescimento como um movimento do ponto A para o ponto B, o maior progresso no movimento será feito no último estágio.

Muitas vezes ignoramos tendências exponenciais nas fases iniciais porque a taxa inicial de crescimento exponencial é lenta e gradual e difícil de distinguir do crescimento linear. Além disso, muitas vezes as previsões baseadas na suposição de que algum fenômeno se desenvolverá exponencialmente podem parecer incríveis e nós as recusamos.

“Quando a digitalização do genoma humano começou em 1990, os críticos notaram que, dada a velocidade a que o processo inicialmente ocorreu, seriam necessários milhares de anos para que o genoma fosse digitalizado. No entanto, o projeto foi concluído já em 2003”,- Raymond Kurzweil dá um exemplo.

Recentemente, o desenvolvimento da tecnologia tem sido exponencial: a cada década, a cada ano, podemos fazer incomparavelmente mais do que antes.

O crescimento exponencial pode acabar?

Na prática, as tendências exponenciais não duram para sempre. No entanto, alguns podem continuar por longos períodos de tempo se as condições forem adequadas para um desenvolvimento explosivo.

Normalmente, uma tendência exponencial consiste em uma série de ciclos de vida tecnológicos sucessivos em forma de S ou curvas em forma de S. Cada curva se parece com a letra “S” devido aos três estágios de crescimento que mostra: crescimento inicial lento, crescimento explosivo e nivelamento à medida que a tecnologia amadurece. Essas curvas em S se cruzam e, quando uma tecnologia desacelera, uma nova começa a surgir. A cada novo desenvolvimento em forma de S, o tempo necessário para atingir níveis mais elevados de desempenho diminui.

Por exemplo, ao discutir o desenvolvimento da tecnologia no século passado, Kurzweil lista cinco paradigmas de computação: eletromecânico, relés, tubos de vácuo, transistores discretos e circuitos integrados. Quando uma tecnologia esgotou o seu potencial, a próxima começou a progredir, e fê-lo mais rapidamente do que as suas antecessoras.

Planejando um futuro exponencial

Em condições de desenvolvimento exponencial, é muito difícil prever o que nos espera no futuro. Construir um gráfico baseado em uma progressão geométrica é uma coisa, mas estimar como a vida mudará dentro de dez a vinte anos é outra bem diferente. Mas uma regra simples a seguir é: espere que a vida o surpreenda muito e planeje as surpresas que você espera. Em outras palavras, você pode assumir os resultados mais incríveis e se preparar para eles como se tivessem acontecido definitivamente.

“O futuro será muito mais incrível do que a maioria das pessoas pode imaginar. Poucos compreenderam verdadeiramente o facto de que o próprio ritmo da mudança está a acelerar."- escreve Raymond Kurzweil.

Como será a nossa vida nos próximos cinco anos? Uma forma de fazer uma previsão é olhar para os últimos cinco anos e transportar essa experiência para os próximos cinco, mas este é um pensamento “linear”, que, como descobrimos, nem sempre funciona. O ritmo da mudança está a mudar, pelo que os progressos alcançados nos últimos cinco anos levarão mais tempo no futuro. É provável que as mudanças que você espera em cinco anos aconteçam em três ou dois anos. Com um pouco de prática, seremos mais capazes de prever os desenvolvimentos futuros da vida, aprenderemos a ver perspectivas de crescimento exponencial e seremos capazes de planear melhor o nosso próprio futuro.

Não é apenas um conceito interessante. O nosso pensamento, muitas vezes orientado para o desenvolvimento linear, pode levar-nos a um beco sem saída. É o pensamento linear que faz com que alguns empresários e políticos resistam à mudança; simplesmente não compreendem que o desenvolvimento ocorre de forma exponencial e preocupam-se com o facto de estar a tornar-se cada vez mais difícil controlar o futuro. Mas este é precisamente o campo da competição. Para acompanhar essa mudança é preciso estar sempre um passo à frente e não fazer o que é relevante agora, mas o que será relevante e demandado no futuro, levando em consideração que o desenvolvimento não ocorre de forma linear, mas exponencial.

O pensamento exponencial reduz o estresse destrutivo que vem do nosso medo do futuro e abre novas possibilidades. Se pudermos planear melhor o nosso futuro e pensar exponencialmente, facilitaremos a transição de um paradigma para outro e enfrentaremos o futuro com calma.

Se o crescimento populacional for proporcional ao número de indivíduos, o tamanho da população crescerá exponencialmente.

crescimento populacional = número de nascimentos - número de mortes

(Aqui R- o chamado coeficiente de proporcionalidade, que nos permite escrever a expressão da proporcionalidade na forma de uma equação.)

Deixe d N- número de indivíduos adicionados à população durante o tempo d t, então se na população total N indivíduos, então as condições para o crescimento exponencial serão satisfeitas se

Desde que Isaac Newton inventou o cálculo diferencial no século XVII, sabemos como resolver esta equação para N- tamanho da população em um determinado momento. (Para referência: tal equação é chamada diferencial.) Aqui está sua solução:

onde N 0 é o número de indivíduos na população no início da contagem regressiva, t- tempo que passou desde este momento. Símbolo e denota um número tão especial, é chamado base do logaritmo natural(e é aproximadamente igual a 2,7), e todo o lado direito da equação é chamado função exponencial.

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Quando N muito menos K, membro N/K pode ser desprezado e voltamos à equação original do crescimento exponencial ordinário. No entanto, quando N aproxima-se do seu valor máximo K, significado 1 - (N/K) tende a zero e, consequentemente, o crescimento populacional tende a zero. O tamanho total da população, neste caso, estabiliza e permanece no nível K. A curva descrita por esta equação, assim como a própria equação, têm vários nomes - Curva S, equação logística, Equação de Volterra, Equação de Lotka-Volterra. (Vito Volterra, 1860–1940 – eminente matemático e professor italiano; Alfred Lotka, 1880–1949 – matemático americano e analista de seguros.) Qualquer que seja o nome, é uma expressão bastante simples do tamanho de uma população que cresce acentuadamente exponencialmente e depois desacelerando ao se aproximar de um certo limite. E reflecte o crescimento da população real muito melhor do que a função exponencial habitual.

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