Romano Sargsyan

O trabalho de pesquisa “Problemas de corte” foi realizado por alunos do 8º ano

Os alunos são apresentados e explorados técnicas de corte de figuras nos jogos “Pentamino”, “Tangrams”, puzzles e prova de teoremas.

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Trabalho de pesquisa sobre o tema

"Problemas de corte"

Interpretado por: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

Alunos do 8º ano

MBOU "Escola Secundária Severomuyskaya"

Chefe: professor de matemática Ogarkova I.I.

1. Introdução
2. Referência histórica
3. Jogo "Pentamino"
4. Jogo "Tangram"
5. Problema "Bolo"
6. Tarefa nº 4 - “Cortar o retângulo”
7. Tarefa nº 5 - “Cortar dois quadrados”
8. Tarefa nº 6 - “Cortar dois quadrados-2”
9. Problema #7 – Cruz
10. Tarefa nº 8 – Cruz -2
11. Problema nº 9 - Quadrado 8*8
12. Problema nº 10 Área de um paralelogramo
13. Problema nº 11 Área de um trapézio
14. Problema nº 12 Área de um triângulo
15. Conclusão
16. Literatura.

Introdução

“A resolução de problemas é uma arte prática como

nadar, esquiar ou tocar piano;

você só pode aprender imitando o bom

amostras e praticando constantemente"

D. Poya

A paixão pela matemática muitas vezes começa com a reflexão sobre um problema que você gosta particularmente. Uma rica fonte de tais problemas são várias Olimpíadas - escolares, municipais, de ensino à distância, internacionais. Na preparação para as Olimpíadas, analisamos diversas tarefas e identificamos um conjunto de problemas cuja abordagem de resolução nos pareceu interessante e original. Estas são tarefas de corte. Tínhamos dúvidas: qual a peculiaridade de tais problemas, existem métodos e técnicas especiais para solucionar problemas de corte.

Relevância (Slide 2)

1. Os matemáticos descobrem novas conexões entre objetos matemáticos. Como resultado deste trabalho, são encontrados métodos gerais para resolver vários problemas. E esses problemas recebem métodos padronizados de solução, passando da categoria de criativos para a categoria de técnicos, ou seja, exigindo a utilização de métodos já conhecidos para sua solução.
2. As tarefas de corte ajudam os alunos a formar conceitos geométricos o mais cedo possível, usando uma variedade de materiais. Ao resolver tais problemas, surge um sentimento de beleza, lei e ordem na natureza.

Objeto de estudo: tarefas de corte

Assunto de estudo: uma variedade de problemas de corte, métodos e técnicas para resolvê-los.

Métodos de pesquisa: modelagem, comparação, generalização, analogias, estudo de recursos literários e da Internet, análise e classificação de informações.

(Slide3) Principalpropósito do estudoé expandir o conhecimento sobre a variedade de tarefas de corte.

Para atingir esse objetivo, pretendemos resolver o seguinte tarefas: (Slide 4)

1. selecione a literatura necessária
2. aprender a recortar formas geométricas nas partes necessárias à composição de uma ou outra forma geométrica, utilizando suas propriedades e características;
3. aprenda a provar que as áreas das figuras são iguais cortando-as em certas partes e provando que essas figuras são igualmente compostas;
4. conduzir pesquisas e projetos geométricos na resolução de problemas de vários tipos.
5. selecione o material para pesquisa, escolha as informações principais, interessantes e compreensíveis
6. analisar e sistematizar as informações recebidas
7. encontrar vários métodos e técnicas para resolver problemas de corte
8. classificar os problemas em estudo
9. encontre maneiras de remodelar: um triângulo em um paralelogramo equipartito; paralelogramo em um triângulo equilátero; trapézio em um triângulo equilátero.
10. Crie uma apresentação eletrônica do seu trabalho

Hipótese: Talvez a variedade de problemas cortantes, sua natureza “divertida” e a falta de regras e métodos gerais para resolvê-los causem dificuldades para os alunos ao considerá-los. Suponhamos que, após um exame mais detalhado das tarefas de corte, ficaremos convencidos de sua relevância, originalidade e utilidade.

Ao resolver problemas de corte, não precisamos de conhecimentos básicos de planimetria, mas precisaremos de engenhosidade, imaginação geométrica e informações geométricas bastante simples e conhecidas de todos.

(Slide 5) Antecedentes históricos

Os problemas de corte, como uma espécie de quebra-cabeça, chamam a atenção desde a antiguidade. O primeiro tratado, que trata de problemas de corte, foi escrito pelo famoso astrônomo e matemático árabe de Khorasan, Abu al-Wefa (940 - 998 DC). No início do século XX, graças ao rápido crescimento dos periódicos, a resolução de problemas de cortar figuras em um determinado número de partes e depois compô-las em uma nova figura atraiu a atenção como forma de entreter amplos setores da sociedade. Agora, os geômetras levaram esses problemas a sério, especialmente porque se baseiam no antigo problema das figuras de tamanhos iguais e compostas igualmente, que remonta aos geômetras antigos. Especialistas conhecidos neste ramo da geometria foram os famosos clássicos da geometria divertida e dos fabricantes de quebra-cabeças Henry E. Dudeney e Harry Lindgren.

Uma enciclopédia para resolver vários problemas de corte é o livro “Cutting Geometry” de Harry Lindgren. Neste livro você pode encontrar registros para cortar polígonos em determinadas formas

Ao considerar soluções para problemas de corte, você entende que não existe um algoritmo ou método universal. Às vezes, um geômetra novato pode superar significativamente uma pessoa mais experiente em sua solução. Esta simplicidade e acessibilidade são a base para a popularidade dos jogos baseados na resolução de tais problemas, por exemplo- (Slide 6) pentominó"parentes" de Tetris, tangram.

(Slide7) Jogo “Pentamino” Regras do jogo

A essência do jogo é construir várias silhuetas de objetos em um avião. O jogo envolve adicionar diferentes peças de um determinado conjunto de pentominós. O conjunto pentominó contém 12 figuras, cada uma delas composta por cinco quadrados idênticos, e os quadrados são “adjacentes” entre si apenas pelos lados.

Jogo "Tangram" (Slide 8)

No jogo “tangram”, um número significativo de figuras pode ser formado a partir de sete elementos básicos.Todas as figuras montadas devem ter área igual, pois montado a partir de elementos idênticos. Segue que:

1. Cada figura montada deve certamente incluir todos os sete elementos.
2. Ao compor uma figura, os elementos não devem se sobrepor, ou seja, estar localizado em apenas um plano.
3. Os elementos das figuras devem ser adjacentes entre si.

Tarefas

No jogo tangram, existem 3 categorias principais de tarefas:

1. Encontrar uma ou mais formas de construir uma determinada figura ou uma prova elegante da impossibilidade de construir uma figura.
2. Encontrar uma forma de representar as silhuetas de animais, pessoas e outros objetos reconhecíveis com a maior expressividade ou humor (ou ambos juntos).
3. Resolver vários problemas de geometria combinatória decorrentes da composição de figuras de 7 tans.

Tarefa 3 (slide 9)

Bolo , decorada com rosas, foi dividida em pedaços com três cortes retos para que cada pedaço contivesse exatamente uma rosa. Qual é o maior número de rosas que poderia haver no bolo?

Um comentário. A solução do problema é baseada na aplicação do axioma:“Uma linha reta divide um plano em dois semiplanos.”Todos os casos possíveis de disposição de três linhas retas devem ser representados. A partir da figura fica claro que o maior número de peças - 7 - é obtido quando as linhas se cruzam aos pares. Portanto, não poderia haver mais de 7 rosas no bolo.

Tarefa 4 (Slide10)

Corte o retângulo, ax2a em tais partes que a partir delas fosse possível compor um tamanho igual a ele:

1) triângulo retângulo;

2) quadrado.

A solução para o problema fica clara nas Figuras 2 e 3.

Tarefa 5 (slide 11)

Corte dois quadrados1x1 e 3x3 em partes que possam ser usadas para fazer um quadrado de tamanho igual.

Um comentário. Esta tarefa consiste em remodelar uma figura composta por dois quadrados em um quadrado de igual tamanho. A área do novo quadrado é 3 2 +1 2 , o que significa que o lado de um quadrado igual à soma desses quadrados é igual, ou seja, é a hipotenusa de um retângulo com catetos 3 e 1. A construção de tal quadrado fica clara na Figura 4

Tarefa 6 (slide 12)

Corte dois quadrados aleatóriosem partes que possam ser usadas para formar um quadrado de tamanho igual.

A solução para o problema fica clara na Figura 5. A área do novo quadrado é um 2 + b2 , o que significa que o lado de um quadrado igual à soma desses quadrados é igual a

ou seja, é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos a e b.

Tarefa 7 (slide 13)

Cruzar composto por cinco quadrados: um quadrado no centro e os outros quatro adjacentes às laterais. Corte-o em pedaços para que você possa fazer um quadrado do mesmo tamanho com eles.

A solução para o problema fica clara na Figura 6.

Tarefa 8 (slide 14)

Cruzar composto por cinco quadrados: um quadrado no centro e os outros quatro adjacentes às laterais. Como cobrir a superfície de um bastão com seis dessas cruzes, cada face igual em tamanho à cruz.

Um comentário. A cruz fica sobreposta na borda (Fig. 7), não há necessidade de aparar e colar novamente as “orelhas salientes” - elas se movem para a borda adjacente e vão parar nos lugares certos. Ao envolver as “orelhas salientes” nas faces adjacentes, você pode cobrir a superfície do cubo com seis cruzes (Fig. 8).

Tarefa 9 (slide 15)

Quadrado 8x8 corte em quatro partes, conforme mostrado na Figura 9. Um retângulo 13x5 é feito a partir das partes resultantes. A área de um retângulo é 65 e a área de um quadrado é 64. Explique onde está o erro.

Observações iniciais do professor:

Um pouco de contexto histórico: Muitos cientistas têm se interessado em resolver problemas desde os tempos antigos. Soluções para muitos problemas simples de corte foram encontradas pelos antigos gregos e chineses, mas o primeiro tratado sistemático sobre este tema foi escrito por Abul-Vef. Os geômetras começaram a resolver seriamente problemas de corte de figuras no menor número de partes e depois construir outra figura no início do século XX. Um dos fundadores desta seção foi o famoso fundador do quebra-cabeça Henry E. Dudeney.

Hoje em dia, os amantes de puzzles estão interessados ​​em resolver problemas de corte porque não existe um método universal para resolver tais problemas, e todos os que se comprometem a resolvê-los podem demonstrar plenamente a sua engenhosidade, intuição e capacidade de pensamento criativo. (Durante a aula indicaremos apenas um dos exemplos possíveis de corte. Pode-se presumir que os alunos podem acabar com alguma outra combinação correta - não há necessidade de ter medo disso).

Esta lição deve ser conduzida na forma de uma aula prática. Divida os participantes do círculo em grupos de 2 a 3 pessoas. Forneça a cada grupo figuras preparadas previamente pelo professor. Os alunos têm uma régua (com divisões), um lápis e uma tesoura. É permitido fazer apenas cortes retos com tesoura. Depois de cortar uma figura em pedaços, você precisa fazer outra figura com as mesmas peças.

Tarefas de corte:

1). Tente cortar a figura mostrada na figura em 3 partes de formato igual:

Dica: as formas pequenas se parecem muito com a letra T.

2). Agora corte esta figura em 4 partes de formato igual:

Dica: É fácil adivinhar que as figuras pequenas consistirão em 3 células, mas não existem muitas figuras com três células. Existem apenas dois tipos: canto e retângulo.

3). Divida a figura em duas partes iguais e use as partes resultantes para formar um tabuleiro de xadrez.

Dica: Sugira iniciar a tarefa a partir da segunda parte, como se estivesse pegando um tabuleiro de xadrez. Lembre-se do formato de um tabuleiro de xadrez (quadrado). Conte o número disponível de células em comprimento e largura. (Lembre-se que deve haver 8 células).

4). Experimente cortar o queijo em oito pedaços iguais com três movimentos da faca.

Dica: experimente cortar o queijo no sentido do comprimento.

Tarefas para solução independente:

1). Recorte um quadrado de papel e faça o seguinte:

· corte em 4 pedaços que podem ser usados ​​para fazer dois quadrados menores iguais.

· corte em cinco partes - quatro triângulos isósceles e um quadrado - e dobre-os para obter três quadrados.

, Concurso "Apresentação para a aula"

Apresentação para a aula

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

A experiência mostra que, ao utilizar métodos práticos de ensino, é possível formar nos alunos uma série de técnicas mentais necessárias para identificar corretamente características essenciais e não essenciais na familiarização com as figuras geométricas. a intuição matemática se desenvolve, o pensamento lógico e abstrato se desenvolve, uma cultura do discurso matemático é formada, as habilidades matemáticas e de design são desenvolvidas, a atividade cognitiva aumenta, o interesse cognitivo é formado, o potencial intelectual e criativo se desenvolve. O artigo fornece uma série de tarefas práticas sobre corte geométrico formas em pedaços para compor essas peças criar uma nova figura. Os alunos trabalham em tarefas em grupos. Cada grupo defende então o seu projeto.

Duas figuras são chamadas igualmente compostas se, cortando uma delas de uma certa maneira em um número finito de partes, é possível (arranjando essas partes de maneira diferente) formar uma segunda figura a partir delas. Portanto, o método de particionamento baseia-se no fato de que quaisquer dois polígonos igualmente compostos têm tamanhos iguais. É natural colocar a questão oposta: dois polígonos quaisquer com a mesma área são iguais em tamanho? A resposta a esta questão foi dada (quase simultaneamente) pelo matemático húngaro Farkas Bolyai (1832) e pelo oficial alemão e entusiasta da matemática Gerwin (1833): dois polígonos com áreas iguais são igualmente proporcionais.

O teorema de Bolyai-Gerwin afirma que qualquer polígono pode ser cortado em pedaços de modo que os pedaços possam formar um quadrado.

Exercício 1.

Corte o retângulo a X 2a em pedaços para que possam formar um quadrado.

Cortamos o retângulo ABCD em três partes ao longo das linhas MD e MC (M é o meio de AB)

Imagem 1

Movemos o triângulo AMD para que o vértice M coincida com o vértice C, a perna AM se move para o segmento DC. Movemos o triângulo MVS para a esquerda e para baixo de modo que a perna MV se sobreponha à metade do segmento DC. (Imagem 1)

Tarefa 2.

Corte o triângulo equilátero em pedaços para que possam ser dobrados em um quadrado.

Vamos denotar este triângulo regular ABC. É necessário cortar o triângulo ABC em polígonos para que possam ser dobrados em um quadrado. Então esses polígonos devem ter pelo menos um ângulo reto.

Seja K o ponto médio de CB, T o ponto médio de AB, escolha os pontos M e E do lado AC de modo que ME=AT=TV=BK=SC= A, SOU = CE = A/2.

Figura 2

Desenhemos o segmento MK e os segmentos EP e TN perpendiculares a ele. Vamos cortar o triângulo em pedaços ao longo das linhas construídas. Giramos o quadrilátero KRES no sentido horário em relação ao vértice K para que SC se alinhe com o segmento KV. Vamos girar o quadrilátero AMNT no sentido horário em relação ao vértice T para que AT se alinhe com TV. Vamos mover o triângulo MEP para que o resultado seja um quadrado. (Figura 2)

Tarefa 3.

Corte o quadrado em pedaços para que dois quadrados possam ser dobrados a partir deles.

Vamos denotar o quadrado original ABCD. Vamos marcar os pontos médios dos lados do quadrado - pontos M, N, K, H. Vamos desenhar os segmentos MT, HE, KF e NP - partes dos segmentos MC, HB, KA e ND, respectivamente.

Cortando o quadrado ABCD ao longo das linhas traçadas, obtemos o quadrado PTEF e quatro quadriláteros MDHT, HCKE, KBNF e NAMP.

Figura 3

PTEF é um quadrado pronto. Dos quadrantes restantes formaremos o segundo quadrado. Os vértices A, B, C e D são compatíveis em um ponto, os segmentos AM e BC, MD e KS, BN e CH, DH e AN são compatíveis. Os pontos P, T, E e F se tornarão os vértices do novo quadrado. (Figura 3)

Tarefa 4.

Um triângulo equilátero e um quadrado são recortados em papel grosso. Corte essas figuras em polígonos para que possam ser dobradas em um quadrado, e as partes devem preenchê-lo completamente e não devem se cruzar.

Corte o triângulo em pedaços e faça um quadrado com eles, conforme mostrado na tarefa 2. Comprimento do lado do triângulo – 2a. Agora você deve dividir o quadrado em polígonos para que dessas partes e do quadrado que saiu do triângulo você faça um novo quadrado. Pegue um quadrado com lado 2 A, vamos denotar isso como LRSD. Vamos desenhar segmentos mutuamente perpendiculares UG e VF de modo que DU=SF=RG=LV. Vamos cortar o quadrado em quadrantes.

Figura 4

Tomemos um quadrado composto por partes de um triângulo. Vamos dispor os quadriláteros - partes do quadrado, conforme mostrado na Figura 4.

Tarefa 5.

A cruz é composta por cinco quadrados: um quadrado no centro e os outros quatro adjacentes às laterais. Corte-o em pedaços para que você possa fazer um quadrado com eles.

Vamos conectar os vértices dos quadrados conforme mostrado na Figura 5. Corte os triângulos “externos” e mova-os para os espaços livres dentro do quadrado ABC.

Figura 5

Tarefa 6.

Redesenhe dois quadrados arbitrários em um.

A Figura 6 mostra como cortar e mover as peças quadradas.

Uma série de aulas eletivas sobre o tema “Resolvendo problemas de corte”

Nota explicativa

Básico metas que colocamos nas aulas eletivas são os seguintes:

Apresentar material sobre os tipos de polígonos de corte;

Promover a formação de competências nos alunos para realizar mentalmente transformações como:

• transferência paralela,

  vez,

  simetria central e diversas composições dessas transformações.

E o objetivo principal de todas as aulas: alcançar uma mudança positiva nas habilidades de pensamento espacial.

As tarefas oferecidas nas aulas eletivas são de natureza criativa, sua solução exige que os alunos: habilidades:

a capacidade de fazer transformações mentais que modifiquem a localização das imagens que os alunos têm em suas mentes, sua estrutura, estrutura;

a capacidade de alterar a imagem tanto em localização quanto em estrutura simultaneamente e executar repetidamente composições de operações individuais.

Planejamento temático:

1. Questionário nº 1 – 1 hora.

2. Problemas de corte. Corte tipo R – 1 hora.

3. Corte tipo P – 1 hora.

4. Corte tipo Q – 1 hora.

5. Corte tipo S – 1 hora.

6. Corte tipo T – 1 hora.

7. Questionário nº 2 – 1 hora.

Na compilação de uma série de aulas eletivas, foram utilizados problemas das revistas “Kvant”, “Mathematics at School” e do livro de G. Lindgren.

Diretrizes: Ao apresentar os problemas aos alunos, recomendamos considerá-los justamente de acordo com os tipos de recorte propostos por G. Lindgren, o que permite, por um lado, classificar esses problemas, por outro lado, em sala de aula resolver problemas envolvendo espaço transformações de vários níveis de complexidade (o segundo e terceiro tipos operando com imagens, segundo I.S. Yakimanskaya). Recomendamos o uso de tarefas de aulas eletivas ao trabalhar com alunos da 7ª à 9ª série.

Lição nº 1

Tópico: Problemas de corte. Corte tipo R (corte racional).

Alvo: Familiarizar os alunos com o conceito de problema de corte, explicar a essência do corte tipo R, analisando a solução de problemas para este tipo de corte, no processo de resolução de problemas, promover a formação de competências para realizar mentalmente as operações (corte, adicionar, recortar, girar, transferir paralelamente), promovendo assim o desenvolvimento do pensamento espacial.

Equipamento: papel, pastas coloridas, tesoura, cartaz.

Método: explicativo - ilustrativo.

Professor: cartaz no quadro:

Esquema: Problemas de corte

Problemas de corte

1) Corte a figura em várias figuras

3) Remodele uma ou mais formas em outra forma

2) Dobre uma figura a partir das figuras fornecidas

Entre todos os problemas de corte, a maioria deles são problemas de corte racional. Isso se deve ao fato de que tais cortes são fáceis de fazer e os quebra-cabeças baseados neles não são muito simples nem muito complexos.

Problemas em R - corte

1) Corte a figura em várias figuras (quase sempre iguais)

3) Remodele uma ou mais formas em uma determinada forma

2) Adicione um valor a partir de valores fornecidos (em sua maioria iguais)

3.1. Usando corte escalonado

3.2. Sem usar corte escalonado

Vamos conhecer a solução de problemas para cada tipo de corte R.

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Métodos: pesquisa parcial

Tarefa nº 1(AI) : Corte um quadrado com quatro quadrados de lado em duas partes iguais. Encontre tantas maneiras de cortar quanto possível.

Nota: Você só pode cortar nas laterais das células.

Solução:

Os alunos procuram esses cortes em seus cadernos, depois o professor resume todos os métodos de corte encontrados pelos alunos.

Problema nº 2(AI) : Corte essas formas em duas partes iguais.

Nota: Você pode cortar não apenas nas laterais das células, mas também na diagonal.

Os alunos buscam tais recortes em seus cadernos com a ajuda do professor.

A praça tem muitas propriedades maravilhosas. Ângulos retos, lados iguais e simetria conferem-lhe simplicidade e perfeição de forma. Existem muitos quebra-cabeças para dobrar quadrados feitos de peças de formas iguais e diferentes.

PARA exemplo tarefa nº 3(BII) : Você recebe quatro peças idênticas. Faça mentalmente um quadrado com eles, usando todas as quatro partes de cada vez. Faça todos os testes no papel. Apresente os resultados da sua solução na forma de um desenho feito à mão.

Solução:

Um tabuleiro de xadrez cortado em pedaços, que deve ser dobrado corretamente, é um dos quebra-cabeças populares e conhecidos. A complexidade da montagem depende de quantas partes o tabuleiro está dividido.

Proponho a seguinte tarefa:

Problema nº 4(BII) : Monte um tabuleiro de xadrez com as peças mostradas na imagem.

Solução:

Problema nº 5(VII) : Corte o “Barco” em duas partes para poder dobrá-las em um quadrado.

Solução:

1) corte em duas partes como na foto

vire uma das peças (ou seja, gire)

Problema nº 6(VII): Qualquer uma das três figuras pode ser cortada em duas partes, das quais é fácil dobrar um quadrado. Encontre esses cortes.

A) b)

V)

Solução:

transferência paralela da parte 1 em relação à parte 2

rotação da parte 1 em relação à parte 2

) b) V)

Problema nº 7(VII): Um retângulo com lados de 4 e 9 unidades é cortado em duas partes iguais, que, quando dobradas corretamente, podem ser obtidas como um quadrado.

o corte é feito em degraus de altura e largura iguais;

a figura é dividida em partes e uma parte sobe um (ou vários) degraus, colocando-a sobre outra parte.

Solução:

transferência paralela da parte 1

Problema nº 9(VII): Tendo cortado a figura mostrada na figura em duas partes, dobre-as em um quadrado de modo que os quadrados coloridos sejam simétricos em relação a todos os eixos de simetria do quadrado.

Solução:

transferência paralela da parte 1

Problema nº 9(ВIII): Como cortar dois quadrados 3 x 3 e 4 x 4 para que as partes resultantes possam ser dobradas em um quadrado? Pense em várias maneiras. Tente sobreviver com o mínimo de peças possível.

Solução:

transferência paralela de peças

Caminho:

Caminho:

translação e rotação paralela

caminho:

4 vias:

transferência paralela e rotação de peças

Os alunos, com a ajuda do professor, procuram os cortes.

Problema nº 10(AIII): A figura mostrada na figura deve ser dividida em 6 partes iguais, fazendo cortes apenas nas linhas da grade. De quantas maneiras você pode fazer isso?

Solução: Duas soluções possíveis.

Problema nº 11(BII): Construa um tabuleiro de xadrez com as peças fornecidas.

Solução:

Problema nº 12(BIII): Converta o retângulo 3 x 5 em um retângulo 5 x 3 sem girar as partes correspondentes.

Nota: Use corte escalonado.

Solução:(transferência paralela)

Problema nº 13(BIII): Corte a forma em 2 pedaços com um corte para formar um quadrado de 8 x 8.

Solução:

rotação da parte 2 em relação à parte 1

Diretrizes: Os problemas de corte do tipo R são alguns dos mais fáceis e interessantes. Muitos problemas para este tipo de corte envolvem vários métodos de solução, e a solução independente desses problemas pelos alunos pode ajudar a identificar todos os métodos de solução. As tarefas 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 envolvem os alunos a trabalhar com a imagem de figuras, através de transformações mentais (“corte”, adição, rotação, transferência paralela). Os problemas 4, 5, 9, 11 envolvem os alunos a trabalhar com modelos (feitos de papel), cortando diretamente a figura com uma tesoura e realizando transformações matemáticas (rotação, translação paralela) para encontrar soluções para os problemas. Tarefas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - para o segundo tipo de operação com imagens, tarefas 9, 10, 12 - para o terceiro tipo de operação com imagens.

Lição nº 2

Tópico: Corte tipo P (deslocamento do paralelogramo P).

Alvo: Explicar a essência do corte tipo P, no processo de análise da solução de problemas para este tipo de corte, ao mesmo tempo que promove a formação de competências para realizar mentalmente as operações (cortar, adicionar, recortar, transferência paralela), promovendo assim o desenvolvimento do pensamento espacial.

Equipamento:

Estágio I: Estágio Orientado

Método: apresentação problemática.

Professor apresenta um problema (resolva o problema nº 1) e mostra sua solução.

Tarefa nº 1(BIII): Converter um paralelogramo com lados de 3 e 5 cm em um novo paralelogramo com os mesmos ângulos do paralelogramo original, cujo lado mede 4 cm.

Solução: 1)

4)

abc D – paralelogramo

AB = 3, UMA D=5

faça um corte AO VO = D K = 4;

mova a parte 1 para cima (translação paralela) para a direita ao longo da linha de corte até que o ponto O caia na continuação do lado DC;

faça um corte KA' para que KA' || DC;

e Δ AA'K inserimos no recesso localizado abaixo do ponto O (transferência paralela de Δ AA'K ao longo da linha reta AO).

KVO D é o paralelogramo desejado (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  RUIM =  1 +  4,

1 =  2 e  4 =  3 – transversalmente em linhas paralelas.

Portanto,  RUIM =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  RUIM =  BKD, etc.

você

Problemas no deslocamento P

Remodelar uma ou mais formas em outra forma

leitor:

A essência do corte tipo P:

fazemos um corte desta figura que atenda aos requisitos da tarefa;

realizamos uma transferência paralela da parte cortada ao longo da linha de corte até que o topo da parte cortada coincida com a continuação do outro lado da figura original (paralelogramo);

fazemos um segundo corte paralelo ao lado do paralelogramo, obtemos outra parte;

Realizamos uma transferência paralela da peça recém-cortada ao longo da linha do primeiro corte até que os vértices coincidam (colocamos a peça na reentrância).

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Métodos: explicativo - ilustrativo

Problema nº 2(BII): Converta o quadrado 5 x 5 em um retângulo com largura 3.

Solução:

1) 2) – 3) 4)

seção AO / VO = D T = 3

transferência paralela ΔABO ao longo da linha reta AO até o ponto O  (DC)

cortar TA’ / TA’ || CD

Δ AA 'T por transferência paralela ao longo da linha reta AO.

TBOD é o retângulo desejado (TB = 3).

Problema nº 3(ВIII): Dobre três quadrados idênticos em um quadrado grande.

Nota: Dobre três quadrados em um retângulo e aplique o deslocamento P.

Solução:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problema nº 4(BIII): Corte o retângulo 5 x 1 em um quadrado

Nota: faça uma incisão AB (A C =
), aplique P shift ao retângulo XYWA.

Solução:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problema nº 5(ВIII): Converta o H russo em um quadrado.

Observação: faça um corte conforme mostrado na imagem, dobre as partes resultantes em um retângulo.

Solução:

Problema nº 6(BIII): Converta o triângulo em um trapézio.

Nota: Faça o corte conforme mostrado na imagem.

Solução:

gire a parte 1;

Seção AB;

ΔАВС transferência paralela ao longo de AB até o ponto B  (FM)

cortar OU / OU || FM;

ΔAOR por transporte paralelo ao longo de AB. O ponto P coincide com o ponto B;

OFBC é o trapézio desejado.

Problema nº 7(ВIII): Faça um quadrado com três cruzes gregas iguais.

Solução:

Problema nº 8(BIII): Converta a letra T em um quadrado.

Nota: Primeiro, recorte um retângulo da letra t.

Solução: S t = 6 (unidade 2), Skv = (
) 2

vez

composição de hífens paralelos

VM = KS =

Problema nº 9(ВIII): Redesenhe a bandeira mostrada na figura em um quadrado.

Nota: Primeiro converta a bandeira em um retângulo

Solução:

vez

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

transferência paralela

Diretrizes: Ao apresentar aos alunos problemas de corte tipo P, recomendamos que eles apresentem a essência desse tipo de corte na resolução de um problema específico. Recomendamos resolver os problemas primeiro em modelos (em papel), cortando diretamente as figuras com tesoura e realizando transferência paralela, e depois, no processo de resolução de problemas, de modelos de figuras para passar a trabalhar com imagens de formas geométricas, realizando transformações mentais (corte, transferência paralela).

Lição nº 3

Tópico: Corte tipo Q (Q é um deslocamento de um quadrilátero).

Alvo: Delineemos a essência do corte tipo Q, no processo de resolução de problemas para este tipo de corte, ao mesmo tempo que promovemos a formação de competências para realizar mentalmente operações (corte, adição, simetria central, rotação, transferência paralela), promovendo assim a desenvolvimento do pensamento espacial.

Equipamento: papel, pastas coloridas, tesouras.

Estágio I: Estágio Orientado

Método: apresentação problemática.

O professor coloca um problema aos alunos (resolva o problema nº 1) e mostra a solução.

Tarefa nº 1(BIII): Converta este quadrilátero em um novo quadrilátero.

Solução:

fazemos o corte HP para que VN = MN, PF = DF;

faça um corte EU/ME || Sol;

fazer um corte RT/RT || DE ANÚNCIOS ;

Δ 3 e Δ 1 são girados no sentido horário em relação à parte 2;

Parte 1 por transferência paralela ao longo de uma linha reta HF até o ponto T  AR;

AMCP é o quadrilátero necessário (com lados CP e AM (pode ser especificado na condição)).

Problema nº 2(BIII): Converta o quadrilátero em um novo quadrilátero (quadrilátero longo).

Solução:

(girar a parte 1 em relação ao ponto O até que OU coincida com AO);

(girar a peça (1 – 2) em relação ao ponto T até que VT coincida com WT);

XAZW é o quadrilátero necessário.

Em problemas que utilizam cortes Q, são feitos cortes e as peças cortadas sofrem uma transformação de rotação.

Tarefas para Corte Q

transformar uma determinada forma (quadrângulo) em outra forma (quadrângulo)

Em muitos problemas, elementos de deslocamento Q são usados ​​para transformar um triângulo em algum tipo de quadrilátero ou vice-versa (um triângulo como um "quadrilátero" com um de seus lados tendo comprimento zero).

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Problema nº 3(VII): Um pequeno triângulo é cortado do triângulo, conforme mostrado na figura. Reorganize o pequeno triângulo para formar um paralelogramo.

Gire a parte 1 em relação ao ponto P até que KR coincida com MR.

AOO'M é o paralelogramo necessário.

Problema nº 4(BII, BIII): Qual desses triângulos pode ser transformado em retângulos fazendo um (dois) cortes e reorganizando as partes resultantes?

1) 2) 3) 4)

5)

Solução:

1)

5)

1), 5) um corte (corte – a linha média do triângulo)

2)

3)

4)

2), 3), 4) dois cortes (1º corte – linha média, 2º corte – altura do vértice do triângulo).

Problema nº 5(VII): Reconstrua o trapézio em um triângulo.

Solução:

seção KS (AK = KB)

rotação ΔKVS em torno do ponto K para que os segmentos KV e KA fiquem alinhados.

Δ FCD o triângulo desejado.

Problema nº 6(ВIII): Como quebrar um trapézio em formas a partir das quais você pode fazer um retângulo?

Solução:

1) Seção OR (AO = OB, OR┴AD)

2) cortar TF (CT = TD, TF ┴AD)

rotação da parte 1 em relação ao ponto O para que AO e BO fiquem alinhados.

Gire a peça 2 em relação ao ponto T para que DT e CT fiquem alinhados.

PLMF – retângulo.

Etapa III: definição do dever de casa.

Problema nº 7(ВIII) : converter qualquer triângulo em um triângulo retângulo.

Comente:

1) primeiro converta um triângulo arbitrário em um retângulo.

2) retângulo em triângulo retângulo.

Solução:

vez

Problema nº 8(VII): Converta um paralelogramo arbitrário em um triângulo fazendo apenas um corte.

Solução:

vez

Gire a parte 2 em torno do ponto O em 180º (centro de simetria)

Diretrizes: Resumo da essência do corte Q que recomendamos

realizar no processo de resolução de problemas específicos. As principais transformações matemáticas utilizadas na resolução de problemas para este tipo de corte são: rotação (em particular, simetria central, translação paralela). Tarefas 1, 2, 7 – para ações práticas com modelos de formas geométricas; as tarefas 3, 4, 5, 6, 8 envolvem trabalhar com imagens de formas geométricas. Tarefas 3, 4, 5, 8 – para o segundo tipo de operação com imagens, tarefas 1, 2, 4, 6, 7 – para o terceiro tipo de operação com imagens.

Lição nº 4.

Tópico: Corte tipo S.

Alvo: Explicar a essência do corte tipo S, no processo de resolução de problemas para este tipo de corte, ao mesmo tempo que promove a formação de competências para realizar mentalmente as operações (cortar, somar, sobrepor, tornear, transferência paralela, simetria central), promovendo assim o desenvolvimento do pensamento espacial.

Equipamento: papel, pastas coloridas, tesouras, códigos positivos.

EU estágio: Palco orientado.

Método: explicativo e ilustrativo.

Tarefa nº 1(VII): como cortar um paralelogramo cujos lados medem 3,5 cm e 5 cm em um paralelogramo com lados 3,5 cm e 5,5 cm, fazendo apenas um “corte”?

Solução:

1) desenhe um segmento (corte) CO = 5,5 cm, divida o paralelogramo em duas partes.

2) aplicamos o triângulo COM ao lado oposto do paralelogramo AK. (ou seja, transferência paralela de ∆ COM para o segmento SA na direção de SA).

3) CAOO` é o paralelogramo desejado (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Tarefa nº 1(BIII): mostre como você pode cortar um quadrado em 3 partes para que possa usá-las para fazer um retângulo com um lado duas vezes maior que o outro.

Solução:

Construir quadrado ABCD

vamos desenhar a diagonal AC

Vamos desenhar metade do segmento diagonal BD OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Construa um retângulo a partir das 3 partes resultantes (comprimento AC, largura AD

Por esta:

realizar uma transferência paralela das partes 1 e 2. parte 1 (∆1) na direção D A, ∆2 na direção AB para o segmento AB.

AOO`C é o retângulo desejado (com lados AC, OA = ½ AC).

Professor: Consideramos a solução de 2 problemas; o tipo de corte utilizado na resolução desses problemas é figurativamente chamado de corte em S.

S -corteé basicamente a transformação de um paralelogramo em outro paralelogramo.

A essência deste corte na sequência:

fazemos um corte de comprimento igual ao lado do paralelogramo desejado;

realizamos uma transferência paralela da parte cortada até que os lados opostos iguais do paralelogramo coincidam (ou seja, aplicamos a parte cortada ao lado oposto do paralelogramo)

Dependendo dos requisitos da tarefa, o número de cortes dependerá.

Vamos considerar as seguintes tarefas:

Tarefa nº 3(BII): divida o paralelogramo em duas partes das quais você pode adicionar um retângulo.

Vamos desenhar um paralelogramo arbitrário.

Solução:

do ponto B, abaixe a altura de VN (VN┴AD)

Vamos realizar uma transferência paralela de ∆ AVN para o segmento BC na direção de BC.

Desenhe um desenho do retângulo resultante.

VNRS – retângulo.

Tarefa nº 4(BIII): Os lados do paralelogramo medem 3 e 4 cm. Transforme-o em um paralelogramo com lados de 3,5cm fazendo dois cortes.

Solução:

1)

2)

O paralelogramo desejado.

Em geral, o corte em S é baseado no método de sobreposição de tiras, que permite resolver o problema de transformação de quaisquer polígonos.

Nos problemas anteriores, pela sua facilidade, dispensamos o método de aplicação de listras, embora todas estas soluções possam ser obtidas através deste método. Mas em tarefas mais complexas você não pode prescindir de listras.

Brevemente método de faixa resume-se a isto:

1) Corte (se necessário) cada polígono (o polígono que está sendo transformado e o polígono no qual o polígono original deve ser transformado) em partes das quais duas tiras possam ser dobradas.

2) Coloque as tiras umas sobre as outras em um ângulo adequado, com as bordas de uma delas sempre posicionadas igualmente em relação aos elementos da outra tira.

3) Neste caso, todas as linhas localizadas na parte comum das 2 faixas mostrarão os locais dos cortes necessários.

Carta S, usado no termo “S-cut”, vem do inglês Strip – strip.

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Usando o problema 3 como exemplo, verifiquemos se o método de aplicação das listras dá a solução desejada.

Problema nº 3(VII): Divida o paralelogramo em duas partes das quais você pode adicionar um retângulo.

Solução:

1)

2)

3)

1) obtemos uma tira de um paralelogramo

2) listras de retângulos

3) sobrepor a tira 2 na tira 1, conforme mostra a Figura 3

4) obtemos a tarefa necessária.

Problema nº 5(BIII): Em um triângulo isósceles, são marcados os pontos médios dos lados laterais e suas projeções na base. Duas linhas retas são traçadas através dos pontos marcados. Mostre que as peças resultantes podem ser usadas para formar um losango.

Solução:

parte 2, 3 – rotação em torno de um ponto

parte 4 - transferência paralela

Neste problema o corte de triângulos já foi indicado, podemos verificar que se trata de um corte em S.

Problema nº 6(BIII): Converta três cruzes gregas em um quadrado (usando listras).

Solução:

1)

Colocamos uma tira de quadrados em uma tira de cruzes de modo que o ponto A e o ponto C pertençam às bordas da tira de cruzes.

∆АВН = ∆СD B, portanto, o quadrado consiste em ∆АВС e ∆АВМ.

Estágio III: Definindo o dever de casa

Problema nº 7(BIII): Converta este retângulo em outro retângulo cujos lados sejam diferentes dos lados do retângulo original.

Nota: Veja a solução para o problema 4.

Solução:

seção AO (AO – largura do retângulo requerido);

corte DP / DP  AO (DP – comprimento do retângulo requerido);

transferência paralela de ∆AVO na direção da aeronave para o segmento da aeronave;

transferência paralela de ∆АPD para o segmento AO na direção de AO;

Retângulo exigido pelo PFED.

Problema nº 8(BIII): Um triângulo regular é dividido em partes por um segmento; faça um quadrado com essas partes.

Nota: Você pode verificar, sobrepondo as tiras, que este é um corte em S.

rotação da parte 2 em torno do ponto O;

rotação da parte 3 em torno do ponto C;

transferência paralela da parte 4

Tarefa adicional nº 9(BII): Corte o paralelogramo ao longo de uma linha reta que passa pelo seu centro, de modo que as duas peças resultantes possam ser dobradas em um losango.

Solução:

O  QT

Corte QT;

parte 1 por transferência paralela ao segmento BC na direção BC (CD e AB são combinados).

Diretrizes: S – corte – um dos tipos de corte mais difíceis. Recomendamos que a essência deste corte seja delineada em tarefas específicas. Nas aulas de resolução de problemas de corte S, recomendamos a utilização de problemas em que são dadas figuras de corte e é necessário somar a figura desejada das partes resultantes, isso se explica pela dificuldade dos alunos em implementar de forma independente o método de aplicação das tiras, que é a essência do corte S. Ao mesmo tempo, nas tarefas mais acessíveis aos alunos (por exemplo, nas tarefas 3, 5, 8), o professor pode mostrar como o método de aplicação das tiras permite obter os cortes dados nas condições da tarefa. Tarefas 4, 5, 6, 8, 9 – para ações práticas com modelos de formas geométricas, tarefas 1, 2, 3, 7 – para trabalhar com imagens de formas geométricas. Tarefas 1, 3, 9 – para o segundo tipo de operação com imagens, tarefas 2, 4, 5, 6, 7, 8 – para o terceiro tipo de operação com imagens.

Lição nº 5

Tópico: Corte tipo T.

Alvo: Explicar a essência do corte tipo S, no processo de análise da solução de problemas para este tipo de corte, ao mesmo tempo que promove a formação de competências para realizar mentalmente as operações (cortar, somar, tornear, transferir paralelamente), promovendo assim o desenvolvimento de pensamento espacial.

Equipamento: papel, pastas coloridas, tesouras, pastas coloridas, códigos positivos.

Estágio I: Estágio Orientado

Método: explicativo e ilustrativo

Professor: Usar o corte em T para resolver problemas envolve a elaboração de um mosaico e sua posterior sobreposição. As tiras utilizadas no corte em S podem ser obtidas a partir de mosaicos. Portanto, o método lado a lado generaliza o método strip.

Consideremos a essência do corte em T usando o exemplo da resolução de problemas.

Tarefa nº 1(BIII): Converta a cruz grega em um quadrado.

1) o primeiro passo é converter o polígono original em elemento de mosaico (e isso é necessário);

2) a partir destes elementos fazemos o mosaico nº 1 (fazemos um mosaico com cruzes gregas);

5) todas as linhas localizadas na parte comum dos dois mosaicos mostrarão os locais dos cortes necessários.

Estágio II: Estágio de resolução de problemas

Método: parcialmente - pesquisa

Problema nº 2(BIII): A cruz grega é cortada em três partes, dobre essas partes em um retângulo.

Nota: podemos verificar que este corte é um corte tipo T.

Solução:

rotação da parte 1 em torno do ponto O;

gire a parte 2 em torno do ponto A.

Problema nº 3(BIII): Corte o quadrilátero convexo ao longo de duas linhas retas conectando os pontos médios dos lados opostos. Mostre que das quatro peças resultantes é sempre possível adicionar um paralelogramo.

rotação da parte 2 em torno do ponto O (ou centro de simetria) em 180;

rotação da parte 3 em torno do ponto C (ou centro de simetria) em 180;

parte 1 – transferência paralela.

Vamos mostrar o mosaico do qual foi obtido esse recorte.

Problema nº 4(BIII): Três triângulos idênticos foram cortados ao longo de diferentes medianas. Dobre as seis peças resultantes em um triângulo.

Solução:

1) a partir desses triângulos fazemos triângulos como na Figura 1 (simetria central);

2) fazemos outro triângulo a partir de três novos triângulos (lados iguais coincidem).

Vamos mostrar como essas seções foram feitas em mosaicos.

Problema nº 5(BIII): A cruz grega foi cortada em pedaços, e um triângulo retângulo isósceles foi feito a partir desses pedaços.

Solução:

parte 1 simetria central;

parte 3 simetria central;

partes 3 e 4 – vire.

Problema nº 6(BIII): Corte esta figura em um quadrado.

Solução:

rotação da parte 1 em torno do ponto O;

parte 3, gire 90 em torno do ponto A.

Problema nº 7(BIII): Corte a cruz grega em um paralelogramo (são dados cortes).

Solução:

parte 2 – transferência paralela relativa à parte 1;

parte 3 transferência paralela ao longo da linha de corte.

Etapa III: Definir o dever de casa.

Problema nº 8(BIII): Dois quadrantes convexos de papel idênticos com cortes: o primeiro ao longo de uma das diagonais e o segundo ao longo da outra diagonal. Prove que as partes resultantes podem ser usadas para formar um paralelogramo.

Solução: composição de turnos.

Problema nº 9(BIII): Faça um quadrado com duas cruzes gregas idênticas.

Solução:

Diretrizes: T – corte – o tipo de corte mais complexo, formando cortes do tipo S. Recomendamos que você explique a essência do corte em T no processo de resolução de problemas. Devido à complexidade de implementação do método mosaico para os alunos, que é a essência do corte em T, em sala de aula recomendamos a utilização de tarefas nas quais o corte é especificado e é necessário obter a figura desejada a partir das partes resultantes da figura usando transformações matemáticas (rotação, translação paralela). Ao mesmo tempo, em tarefas mais acessíveis aos alunos, o professor pode mostrar como obter dados de corte pelo método do mosaico. As tarefas propostas na aula nº 5 referem-se ao terceiro tipo de operação com imagens e envolvem os alunos a trabalhar com modelos de figuras geométricas através da realização de rotação e translação paralela.

À sua frente está um pedaço de papel com a imagem de: a) um triângulo, b) uma estrela de cinco pontas, c) um polígono em forma de cisne nadando. Em todo caso venha com, como dobrar um pedaço de papel para que a forma correspondente possa ser recortada em um corte reto e contínuo com uma tesoura.

Dica

Em todos os casos, a solução consiste quase inteiramente em etapas de dois tipos: você precisa adicionar ao longo da bissetriz de alguns dos ângulos associados à figura (para “reduzir” o número de segmentos que não permanecem na mesma linha) , ou ao longo da perpendicular a um dos segmentos (para “encaixar” seu comprimento no comprimento desejado).

Solução

As figuras abaixo mostram como dobrar as formas do enunciado do problema para depois recortar cada uma delas com um corte.

Com um triângulo tudo fica mais ou menos claro: somamos ao longo de uma bissetriz, depois ao longo da outra (Fig. 1).

A estrela também é bastante fácil de lidar. Primeiro você precisa dobrá-lo ao meio ao longo do eixo de simetria (uma ação completamente natural - já que você pode “dividir” a figura de uma só vez). Então - combine os dois raios da estrela entre si, somando ao longo da bissetriz de seu ângulo “externo”. Depois disso, restarão apenas três segmentos do contorno, fáceis de combinar (Fig. 2).

O cisne é a coisa mais difícil. Isto é compreensível: uma figura sem simetrias, com grande número de lados; portanto, será necessário um grande número de dobras. O diagrama para dobrar é mostrado na Fig. 3. Linhas pontilhadas simples representam dobras para baixo; linhas pontilhadas representam dobras para cima. Primeiro você precisa marcar essas dobras separadamente para que a folha tome o formato do telhado de uma casa, e só então dobrar a folha em um formato plano.

Uma série de fotografias mostra todo o processo de dobragem:

Leia sobre a origem de um sistema de dobras tão engenhoso no posfácio.

Posfácio

Todas as opções propostas na condição são apenas casos especiais da questão geral, que se parece com isto:

Dado um polígono numa folha plana de papel, é possível dobrar esta folha de modo que o polígono possa ser recortado com um corte reto?

Acontece que, independente do formato do polígono, a resposta a essa pergunta é sempre positiva: sim, você pode. (Claro, estamos agora discutindo este problema do ponto de vista da matemática e não tocamos no lado “físico” da questão: é impossível dobrar uma folha de papel muitas vezes. Acredita-se que é impossível dobrar até mesmo papel muito fino mais de 7 a 8 vezes. É quase isso: com algum esforço, você pode fazer 12 dobras, mas é improvável que consiga fazer mais.)

Além disso, se vários polígonos forem desenhados, a folha ainda poderá ser dobrada para que todos possam ser cortados com um corte (e nada extra será cortado). A questão é que o seguinte é verdadeiro teorema:

Deixe um gráfico arbitrário ser desenhado em um pedaço de papel. Então esta folha pode ser dobrada para que este gráfico possa ser cortado com um corte, e nada desnecessário será cortado.

Este teorema tem uma prova algorítmica. Ou seja, a sua prova fornece uma receita explícita de como construir o sistema de dobras necessário.

Resumidamente, a essência é esta. Primeiro devemos construir um esqueleto reto. Este é um conjunto de linhas - as trajetórias dos vértices do polígono original - ao longo das quais elas se movem durante sua compressão especial. A compressão funciona assim: movemos os lados do polígono “para dentro” a uma velocidade constante, de modo que cada lado se mova sem mudar de direção. Como você pode ver facilmente, a princípio os vértices rastejarão ao longo das bissetoras dos cantos do polígono. Ou seja, esta estranha construção à primeira vista simplesmente generaliza a ideia proposta na dica: que você deve tentar somar ao longo das bissetoras dos cantos de um polígono. Note que durante o processo de compressão, o polígono pode “desmoronar-se” em pedaços, como aconteceu na Fig. 5.

Depois de obtido o esqueleto, de cada um de seus vértices é necessário desenhar raios perpendiculares aos lados da figura original para os quais podem ser desenhados. Se o raio encontrar uma linha do esqueleto, depois de cruzá-lo, ele não deverá continuar em linha reta, mas ao longo de sua imagem espelhada em relação a essa linha. O sistema de dobra consiste em linhas desenhadas.

Mais informações sobre isso e como determinar a direção da dobra (“para cima” ou “para baixo”) podem ser encontradas no artigo E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Um breve histórico e outra abordagem para resolver o problema podem ser encontrados na página de Eric Demain, um dos autores da prova do teorema. Você também pode ler uma história um pouco mais popular sobre esse teorema (infelizmente, também em inglês). E por último, aconselho você a assistir ao desenho animado “Estudos Matemáticos”, no qual você pode ver claramente como dobrar um triângulo e uma estrela e depois recortá-los com um corte.

Finalmente, observo que questões semelhantes às discutidas acima têm sido levantadas há algum tempo. Por exemplo, em um livro japonês de 1721, como um dos problemas, os leitores foram solicitados a recortar uma figura de três losangos unidos usando um corte (Fig. 6). Mais tarde, o famoso ilusionista Harry Houdini explicou o método de recortar uma estrela em seu livro. Aliás, segundo a lenda, justamente porque essa estrela pode ser rapidamente recortada em papel ou tecido, agora vemos estrelas de cinco pontas na bandeira dos EUA: a costureira Betsy Ross, que, segundo a lenda, costurou a primeira bandeira, conseguiu convencer George Washington de que eles são mais bem usados ​​para a bandeira do que os de seis pontas que Washington originalmente queria usar.