Plano:
1. Pesquisa de métodos de estatística matemática na pesquisa pedagógica.
1. Pesquisa de métodos de estatística matemática na pesquisa pedagógica.
Recentemente, passos sérios foram dados para introduzir na pedagogia métodos matemáticos para avaliar e medir fenômenos pedagógicos e estabelecer relações quantitativas entre eles. Os métodos matemáticos permitem-nos abordar a solução de uma das tarefas mais difíceis da pedagogia - a avaliação quantitativa dos fenómenos pedagógicos. Somente o processamento de dados quantitativos e as conclusões resultantes podem provar ou refutar objetivamente a hipótese apresentada.
Na literatura pedagógica, são propostos vários métodos para o processamento estatístico de dados de um experimento pedagógico (L. B. Itelson, Yu. V. Pavlov e outros). Ao usar os métodos da estatística matemática, deve-se ter em mente que a estatística em si não revela a essência do fenômeno e não pode explicar as razões das diferenças que surgem entre os aspectos individuais do fenômeno. Por exemplo, uma análise dos resultados do estudo mostra que o método de ensino utilizado apresentou melhores resultados em relação aos registrados anteriormente. No entanto, esses cálculos não podem responder à pergunta por que o novo método é melhor que o antigo.
Os métodos matemáticos mais comuns usados ​​na pedagogia são:
1. Cadastro - um método para identificar a presença de uma determinada qualidade em cada membro do grupo e uma contagem total do número daqueles que têm ou não essa qualidade (por exemplo, o número de crianças que frequentaram as aulas sem passe e fez passes, etc.).
2. A classificação (ou método de classificação) envolve a organização dos dados coletados em uma determinada sequência, geralmente em ordem crescente ou decrescente de quaisquer indicadores e, consequentemente, determinando o lugar nesta linha para cada um dos assuntos (por exemplo, compilando um lista de crianças em função do número de aulas perdidas, etc.).
3. A escala como método de pesquisa quantitativa permite introduzir indicadores numéricos na avaliação de determinados aspectos dos fenômenos pedagógicos. Para isso, são feitas perguntas aos sujeitos, cujas respostas devem indicar o grau ou a forma de avaliação escolhida dentre essas avaliações, numeradas em uma determinada ordem (por exemplo, uma pergunta sobre prática de esportes com opção de respostas: a) I gosto, b) pratico regularmente, c) não pratico exercícios regularmente, d) não pratico nenhum tipo de esporte).
Correlacionar os resultados com a norma (com indicadores fornecidos) envolve determinar desvios da norma e correlacionar esses desvios com intervalos aceitáveis ​​(por exemplo, com aprendizado programado, 85-90% das respostas corretas são frequentemente consideradas a norma; se houver menos respostas, isso significa que o programa é muito difícil se mais, então é muito leve).
A penetração dos métodos matemáticos nas mais diversas esferas da atividade humana atualiza o problema da modelagem, com a ajuda da qual se estabelece a correspondência de um objeto real a um modelo matemático. Qualquer modelo é uma imagem homomórfica de algum sistema em outro sistema (homomorfismo é uma correspondência biunívoca entre sistemas que preserva relações básicas e operações básicas). Os modelos matemáticos em relação aos objetos simulados são análogos ao nível das estruturas.
A especificidade do processamento estatístico dos resultados da pesquisa psicológica e pedagógica reside no fato de que o banco de dados analisado é caracterizado por um grande número de indicadores de vários tipos, sua alta variabilidade sob a influência de fatores aleatórios não controlados, a complexidade das correlações entre as variáveis ​​da amostra, a necessidade de levar em conta fatores objetivos e subjetivos que interferem nos resultados diagnósticos. , principalmente ao decidir sobre a representatividade da amostra e avaliar hipóteses sobre a população geral. Os dados de pesquisa podem ser divididos em grupos de acordo com seu tipo:
O primeiro grupo são variáveis ​​nominais (gênero, dados pessoais, etc.). As operações aritméticas em tais quantidades não têm sentido, portanto, os resultados da estatística descritiva (média, variância) não são aplicáveis ​​a tais quantidades. A maneira clássica de analisá-los é dividi-los em classes de contingência em relação a certas características nominais e verificar diferenças significativas por classe.
O segundo grupo de dados possui uma escala de medida quantitativa, mas essa escala é ordinal (ordinal). Na análise de variáveis ​​ordinais, são utilizadas as tecnologias de subamostragem e de classificação. Os métodos paramétricos também são aplicáveis ​​com algumas limitações.
O terceiro grupo - variáveis ​​quantitativas que refletem a gravidade do indicador medido - são os testes de Cattell, desempenho acadêmico e outros testes de avaliação. Ao trabalhar com variáveis ​​desse grupo, todos os tipos de análise padrão são aplicáveis ​​e, com tamanho amostral suficiente, sua distribuição costuma ser próxima do normal. Assim, a variedade de tipos de variáveis ​​exige o uso de uma ampla gama de métodos matemáticos utilizados.
O procedimento de análise pode ser dividido nas seguintes etapas:
Preparando o banco de dados para análise. Esta etapa inclui a conversão dos dados para um formato eletrônico, verificando-os quanto a valores discrepantes, escolhendo um método para trabalhar com valores ausentes.
Estatísticas descritivas (cálculo de médias, variâncias, etc.). Os resultados da estatística descritiva determinam as características dos parâmetros da amostra analisada ou subamostras especificadas por uma partição ou outra.
Análise exploratória. A tarefa desta etapa é um estudo significativo de vários grupos de indicadores de amostra, seus relacionamentos, identificação dos principais fatores explícitos e ocultos (latentes) que afetam os dados, rastreamento de mudanças nos indicadores, seus relacionamentos e a significância dos fatores ao dividir o banco de dados em grupos, etc. A ferramenta de pesquisa são vários métodos e tecnologias de correlação, análise fatorial e de cluster. O objetivo da análise é formular hipóteses sobre a amostra dada e a população geral.
Análise detalhada dos resultados obtidos e verificação estatística das hipóteses propostas. Nesta etapa, são testadas hipóteses sobre os tipos de função de distribuição das variáveis ​​aleatórias, a significância das diferenças nas médias e variâncias nas subamostras, etc. Ao resumir os resultados do estudo, resolve-se a questão da representatividade da amostra.
Note-se que esta sequência de ações, a rigor, não é cronológica, com exceção da primeira etapa. À medida que os resultados da estatística descritiva são obtidos e determinados padrões são identificados, torna-se necessário testar hipóteses emergentes e proceder imediatamente à sua análise detalhada. Mas, em qualquer caso, ao testar hipóteses, recomenda-se analisá-las por vários meios matemáticos que correspondam adequadamente ao modelo, e uma hipótese deve ser aceita em um determinado nível de significância somente quando for confirmada por vários métodos diferentes.
Ao organizar qualquer medição, sempre assume-se uma correlação (comparação) do medido com o instrumento de medição (padrão). Após o procedimento de correlação (comparação), o resultado da medição é avaliado. Se na tecnologia, via de regra, os padrões materiais são usados ​​​​como medidores, nas medições sociais, incluindo medições pedagógicas e psicológicas, os medidores podem ser ideais. De fato, para determinar se uma determinada ação mental foi ou não formada em uma criança, é necessário comparar o real com o necessário. Nesse caso, o necessário é o modelo ideal que existe na cabeça do professor.
Deve-se notar que apenas alguns fenômenos pedagógicos podem ser medidos. A maioria dos fenômenos pedagógicos não pode ser medida, pois não existem padrões de fenômenos pedagógicos, sem os quais a medição não pode ser realizada.
Quanto a fenômenos como atividade, alegria, passividade, fadiga, habilidades, hábitos etc., ainda não é possível medi-los, pois não existem padrões de atividade, passividade, vivacidade etc. Devido à extrema complexidade e, em grande parte, à impossibilidade prática de medir fenômenos pedagógicos, atualmente são utilizados métodos especiais para uma avaliação quantitativa aproximada desses fenômenos.
Atualmente, costuma-se dividir todos os fenômenos psicológicos e pedagógicos em duas grandes categorias: fenômenos materiais objetivos (fenômenos que existem fora e independentemente de nossa consciência) e fenômenos não-materiais subjetivos (fenômenos característicos de uma determinada pessoa).
Os fenômenos materiais objetivos incluem: processos químicos e biológicos, movimentos realizados por uma pessoa, sons feitos por ela, ações realizadas por ela, etc.
Os fenômenos e processos subjetivos intangíveis incluem: sensações, percepções e ideias, fantasias e pensamentos, sentimentos, inclinações e desejos, motivação, conhecimento, habilidades, etc.
Todos os sinais de fenômenos e processos materiais objetivos são observáveis ​​e podem, em princípio, sempre ser medidos, embora a ciência moderna às vezes não consiga fazer isso. Qualquer propriedade ou característica pode ser medida diretamente. Isso significa que, por meio de operações físicas, sempre pode ser comparado com algum valor real tomado como padrão de medida da propriedade ou atributo correspondente.
Fenômenos não materiais subjetivos não podem ser medidos, pois não existem e não podem existir padrões materiais para eles. Portanto, métodos aproximados para avaliar fenômenos são usados ​​aqui - vários indicadores indiretos.
A essência do uso de indicadores indiretos é que a propriedade medida ou sinal do fenômeno em estudo está associado a certas propriedades do material, e o valor dessas propriedades do material é tomado como um indicador dos fenômenos não materiais correspondentes. Por exemplo, a eficácia de um novo método de ensino é avaliada pelo progresso dos alunos, a qualidade do trabalho de um aluno - pelo número de erros cometidos, a dificuldade do material que está sendo estudado - pela quantidade de tempo gasto, o desenvolvimento de traços mentais ou morais - pelo número de ações relevantes ou má conduta, etc.
Com todo o grande interesse que os pesquisadores costumam demonstrar pelos métodos de análise quantitativa de dados experimentais e de material de massa obtido por meio de diferentes métodos, a etapa de processamento é essencial - sua análise qualitativa. Com a ajuda de métodos quantitativos, é possível, com vários graus de confiabilidade, identificar a vantagem de um determinado método ou detectar uma tendência geral, provar que uma suposição científica em teste foi justificada etc. No entanto, uma análise qualitativa deve dar uma resposta à pergunta por que isso aconteceu, o que o favoreceu e o que serviu de obstáculo, e quão significativa foi a influência dessas interferências, se as condições experimentais eram muito específicas para essa técnica ser recomendada para uso em outras condições, etc. Nesta fase, também é importante analisar as razões que levaram os entrevistados individuais a dar uma resposta negativa e identificar as causas de certos erros típicos e até aleatórios no trabalho de crianças individuais, etc. O uso de todos esses métodos de análise dos dados coletados ajuda a avaliar com mais precisão os resultados do experimento, aumenta a confiabilidade das conclusões sobre eles e fornece mais fundamentos para futuras generalizações teóricas.
Os métodos estatísticos em pedagogia são usados ​​apenas para quantificar fenômenos. Para tirar conclusões e conclusões, é necessária uma análise qualitativa. Assim, na pesquisa pedagógica, os métodos da estatística matemática devem ser utilizados com cautela, levando em conta as peculiaridades dos fenômenos pedagógicos.
Assim, a maioria das características numéricas em estatística matemática são usadas quando a propriedade ou fenômeno em estudo tem uma distribuição normal, que é caracterizada por um arranjo simétrico dos valores dos elementos da população em relação ao valor médio. Infelizmente, em vista do estudo insuficiente dos fenômenos pedagógicos, as leis de distribuição em relação a eles, via de regra, são desconhecidas. Além disso, para avaliar os resultados do estudo, geralmente são obtidos valores de classificação, que não são resultados de medições quantitativas. Portanto, é impossível realizar operações aritméticas com eles e, portanto, calcular características numéricas para eles.
Cada série estatística e sua representação gráfica é um material agrupado e apresentado visualmente que deve ser submetido a processamento estatístico.
Os métodos de processamento estatístico permitem obter uma série de características numéricas que permitem prever o desenvolvimento do processo que nos interessa. Essas características, em particular, permitem comparar diferentes séries de números obtidos na pesquisa pedagógica e tirar conclusões e recomendações pedagógicas adequadas.
Todas as séries de variação podem diferir umas das outras das seguintes maneiras:
1. Em grande medida, ou seja. seus limites superior e inferior, que geralmente são chamados de limites.
2. O valor do atributo em torno do qual a maioria da variante está concentrada. Este valor de recurso reflete a tendência central da série, ou seja, típico da série.
3. Variações em torno da tendência central da série.
De acordo com isso, todos os indicadores estatísticos da série de variação são divididos em dois grupos:
-indicadores que caracterizam a tendência ou nível central da série;
-indicadores que caracterizam o nível de variação em torno da tendência central.
O primeiro grupo inclui várias características da média: mediana, média aritmética, média geométrica, etc. À segunda - faixa de variação (limites), desvio médio absoluto, desvio padrão, variância, coeficientes de assimetria e variação. Existem outros indicadores, mas não vamos considerá-los, porque. eles não são usados ​​em estatísticas educacionais.
Atualmente, o conceito de “modelo” é utilizado em vários sentidos, o mais simples deles é a designação de uma amostra, um padrão. Nesse caso, o modelo de uma coisa não traz nenhuma informação nova e não serve aos propósitos do conhecimento científico. Nesse sentido, o termo "modelo" na ciência não é usado. Em sentido amplo, um modelo é entendido como uma estrutura criada mental ou praticamente que reproduz uma parte da realidade de forma simplificada e visual. Em um sentido mais restrito, o termo "modelo" é usado para representar uma determinada área de fenômenos com a ajuda de outra, mais estudada, de fácil compreensão. Nas ciências pedagógicas, esse conceito é usado em sentido amplo como uma imagem específica do objeto em estudo, na qual são exibidas propriedades reais ou supostas, estrutura etc. A modelagem é amplamente utilizada em disciplinas acadêmicas como uma analogia que pode existir entre sistemas nos seguintes níveis: os resultados que os sistemas comparados fornecem; funções que determinam esses resultados; estruturas que asseguram o desempenho dessas funções; elementos que compõem as estruturas.
V. M. Tarabaev aponta que a técnica do chamado experimento multifatorial está sendo usada atualmente. Em um experimento multivariado, os pesquisadores abordam o problema empiricamente - eles variam com um grande número de fatores dos quais, segundo eles, depende o curso do processo. Essa variação por vários fatores é realizada usando métodos modernos de estatística matemática.
Um experimento multivariado é construído com base em análise estatística e usando uma abordagem sistemática do assunto da pesquisa. Assume-se que o sistema possui entradas e saídas que podem ser controladas, supõe-se também que este sistema pode ser controlado de forma a obter um determinado resultado na saída. Em um experimento multifatorial, todo o sistema é estudado sem uma imagem interna de seu mecanismo complexo. Este tipo de experiência abre grandes oportunidades para a pedagogia.
Literatura:
1. Zagvyazinsky, V. I. Metodologia e métodos de pesquisa psicológica e pedagógica: livro didático. bolsa para estudantes. superior ped. livro didático instituições / Zagvyazinsky V.I., Atakhanov R. - M .: Academy, 2005.
2. Gadelshina, T. G. Metodologia e métodos de pesquisa psicológica: livro didático. método. subsídio / Gadelshina T. G. - Tomsk, 2002.
3. Kornilova, T. V. Psicologia experimental: teoria e métodos: um livro didático para universidades / Kornilova T. V. - M .: Aspect Press, 2003.
4. Kuzin, F. A. Tese de doutorado: metodologia de redação, regras de projeto e procedimento de defesa / Kuzin F. A. - M., 2000.

Na história da matemática, dois períodos principais podem ser convencionalmente distinguidos: a matemática elementar e a moderna. O marco, a partir do qual se costuma contar a era da nova (às vezes, dizem - mais alta) matemática, foi o século XVII - o século do surgimento da análise matemática. No final do século XVII. I. Newton, G. Leibniz e seus predecessores criaram o aparato de um novo cálculo diferencial e cálculo integral, que forma a base da análise matemática e até, talvez, a base matemática de toda ciência natural moderna.

A análise matemática é uma vasta área da matemática com um objeto de estudo característico (uma variável), um método de pesquisa peculiar (análise por meio de infinitesimais ou passando ao limite), um certo sistema de conceitos básicos (função, limite, derivada, diferencial, integral, série) e aparato em constante aperfeiçoamento e desenvolvimento, baseado no cálculo diferencial e integral.

Vamos tentar dar uma ideia de que tipo de revolução matemática ocorreu no século XVII, o que caracteriza a transição da matemática elementar associada ao nascimento da análise matemática para aquela que agora é objeto de pesquisa em análise matemática, e o que explica seu papel fundamental em todo o sistema moderno de conhecimento teórico e aplicado.

Imagine que você tem diante de você uma fotografia colorida lindamente executada de uma onda tempestuosa do oceano correndo para a praia: um poderoso recuo, um peito íngreme, mas levemente afundado, já inclinado para a frente e pronto para cair de cabeça com uma juba cinzenta rasgada pelo vento. Você parou o momento, conseguiu pegar a onda e agora pode estudá-la cuidadosamente em todos os seus detalhes sem pressa. Uma onda pode ser medida e, usando os meios da matemática elementar, você tirará muitas conclusões importantes sobre essa onda e, portanto, todas as suas irmãs oceânicas. Mas ao parar a onda, você a privou de movimento e vida. Sua origem, desenvolvimento, corrida, a força com que cai na praia - tudo isso acabou por estar fora do seu campo de visão, porque você ainda não possui uma linguagem ou um aparato matemático adequado para descrever e estudar não estático , mas em desenvolvimento, processos dinâmicos, variáveis ​​e suas inter-relações.

"A análise matemática não é menos abrangente do que a própria natureza: determina todas as relações tangíveis, mede tempos, espaços, forças, temperaturas." J. Fourier

Movimento, variáveis ​​e suas relações estão ao nosso redor. Vários tipos de movimento e suas regularidades constituem o principal objeto de estudo das ciências específicas: física, geologia, biologia, sociologia, etc. conhecimento aproximadamente na mesma medida que números e aritmética são necessários para descrever relações quantitativas. Assim, a análise matemática é a base da linguagem e dos métodos matemáticos para descrever as variáveis ​​e suas relações. Hoje, sem análise matemática, é impossível não apenas calcular trajetórias espaciais, a operação de reatores nucleares, o funcionamento de uma onda oceânica e os padrões de desenvolvimento de ciclones, mas também gerenciar economicamente a produção, distribuição de recursos, organização de processos tecnológicos, prever o curso de reações químicas ou mudanças no número de várias espécies interconectadas na natureza, animais e plantas, porque todos esses são processos dinâmicos.

A matemática elementar era basicamente a matemática das constantes, estudava principalmente as relações entre os elementos das figuras geométricas, as propriedades aritméticas dos números e as equações algébricas. Até certo ponto, sua atitude em relação à realidade pode ser comparada a um estudo atento, até mesmo minucioso e completo de cada quadro fixo de um filme que captura o mundo vivo em mudança e em desenvolvimento em seu movimento, que, no entanto, não é visível em um quadro separado. e que pode ser observado apenas olhando a fita como um todo. Mas assim como o cinema é impensável sem a fotografia, a matemática moderna é impossível sem aquela parte dela, que condicionalmente chamamos de elementar, sem as ideias e realizações de muitos cientistas notáveis, às vezes separados por dezenas de séculos.

A matemática é uma só, e sua parte “superior” está conectada com a “elementar” da mesma forma que o próximo andar de uma casa em construção está conectado com o anterior, e a largura dos horizontes que a matemática abre para nós no mundo ao nosso redor depende de qual andar deste edifício conseguimos chegar. Nascido no século XVII a análise matemática abriu possibilidades para a descrição científica, estudo quantitativo e qualitativo de variáveis ​​e movimento no sentido mais amplo da palavra.

Quais são os pré-requisitos para o surgimento da análise matemática?

No final do século XVII. surgiu a seguinte situação. Primeiro, no âmbito da própria matemática, ao longo dos anos, acumularam-se certas classes importantes de problemas do mesmo tipo (por exemplo, problemas de medição de áreas e volumes de figuras não padronizadas, problemas de desenho de tangentes a curvas) e métodos surgiram para resolvê-los em vários casos especiais. Em segundo lugar, descobriu-se que esses problemas estão intimamente relacionados com os problemas de descrever um movimento mecânico arbitrário (não necessariamente uniforme), e em particular com o cálculo de suas características instantâneas (velocidade, aceleração a qualquer momento), bem como encontrar a distância percorrida para o movimento a uma dada velocidade variável. A solução desses problemas era necessária para o desenvolvimento da física, astronomia e tecnologia.

Finalmente, em terceiro lugar, em meados do século XVII. os trabalhos de R. Descartes e P. Fermat lançaram as bases do método analítico de coordenadas (a chamada geometria analítica), que tornou possível formular problemas geométricos e físicos de origem heterogênea na linguagem geral (analítica) dos números e dependências numéricas, ou, como agora dizemos, funções numéricas.

NIKOLAI NIKOLAEVICH LUZIN (1883-1950) N. N. Luzin - matemático soviético, fundador da escola soviética da teoria da função, acadêmico (1929). Luzin nasceu em Tomsk, estudou no ginásio de Tomsk. O formalismo do curso de matemática do ginásio alienou o jovem talentoso, e somente um tutor capaz poderia revelar-lhe a beleza e a grandeza da ciência matemática. Em 1901, Luzin ingressou no departamento de matemática da Faculdade de Física e Matemática da Universidade de Moscou. Desde os primeiros anos de estudo, questões relacionadas ao infinito caíram em seu círculo de interesses. No final do século XIX. o cientista alemão G. Kantor criou a teoria geral dos conjuntos infinitos, que recebeu inúmeras aplicações no estudo de funções descontínuas. Luzin começou a estudar essa teoria, mas seus estudos foram interrompidos em 1905. O estudante, que participou de atividades revolucionárias, teve que partir por um tempo para a França. Lá, ele ouviu palestras dos matemáticos franceses mais proeminentes da época. Após seu retorno à Rússia, Luzin se formou na universidade e foi deixado para se preparar para uma cátedra. Logo ele foi novamente para Paris e depois para Göttingen, onde se aproximou de muitos cientistas e escreveu seus primeiros trabalhos científicos. O principal problema que interessava ao cientista era a questão de saber se pode haver conjuntos contendo mais elementos do que o conjunto dos números naturais, mas menos do que o conjunto de pontos do segmento (o problema do contínuo). Para qualquer conjunto infinito que pudesse ser obtido de segmentos usando as operações de união e interseção de conjuntos contáveis ​​de conjuntos, essa hipótese era verdadeira e, para resolver o problema, era necessário descobrir quais eram outras formas de construir conjuntos. Ao mesmo tempo, Luzin estudava a questão de saber se é possível representar qualquer função periódica, mesmo que tenha infinitos pontos de descontinuidade, como a soma de uma série trigonométrica, ou seja, somas de um conjunto infinito de vibrações harmônicas. Luzin obteve uma série de resultados significativos nestas questões e em 1915 defendeu sua dissertação "A Integral e a Série Trigonométrica", pela qual obteve imediatamente o título de Doutor em Matemática Pura, contornando o mestrado intermediário que existia na época. . Em 1917 Luzin tornou-se professor na Universidade de Moscou. Professor talentoso, ele atraiu os alunos mais capazes e os jovens matemáticos. A escola de Luzin atingiu seu apogeu nos primeiros anos pós-revolucionários. Os alunos de Luzin formaram uma equipe criativa, que foi chamada de brincadeira de "Luzitania". Muitos deles receberam resultados científicos de primeira classe durante seus dias de estudante. Por exemplo, P. S. Aleksandrov e M. Ya. Suslin (1894-1919) descobriram um novo método para construir conjuntos, que iniciou o desenvolvimento de uma nova direção - a teoria descritiva dos conjuntos. Pesquisas nessa área, conduzidas por Luzin e seus alunos, mostraram que os métodos usuais da teoria dos conjuntos não são suficientes para resolver muitos dos problemas que nela surgiram. As previsões científicas de Luzin foram totalmente confirmadas na década de 1960. século 20 Muitos alunos de N. N. Luzin mais tarde se tornaram acadêmicos e membros correspondentes da Academia de Ciências da URSS. Entre eles P. S. Alexandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentiev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov. L. G. Shnirelman e outros. Matemáticos soviéticos e estrangeiros modernos em suas obras desenvolvem as ideias de N. N. Luzin.

A combinação dessas circunstâncias levou ao fato de que no final do século XVII. dois cientistas - I. Newton e G. Leibniz - conseguiram criar independentemente um aparato matemático para resolver esses problemas, resumindo e generalizando resultados individuais de seus predecessores, incluindo o antigo cientista Arquimedes e contemporâneos de Newton e Leibniz - B. Cavalieri, B .Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Este aparato formou a base da análise matemática - um novo ramo da matemática que estuda vários processos de desenvolvimento, ou seja, inter-relações de variáveis, que em matemática são chamadas de dependências funcionais ou, em outras palavras, funções. A propósito, o próprio termo “função” era necessário e surgiu naturalmente precisamente no século XVII, e agora adquiriu não apenas um significado matemático geral, mas também científico geral.

Informações iniciais sobre os conceitos básicos e o aparato matemático de análise são dadas nos artigos "Cálculo Diferencial" e "Cálculo Integral".

Para concluir, gostaria de me deter em apenas um princípio de abstração matemática que é comum a toda matemática e característico da análise e, nesse sentido, explicar de que forma a análise matemática estuda as variáveis ​​e qual é o segredo de tal universalidade de seus métodos. para estudar todos os tipos de processos específicos de desenvolvimento e suas inter-relações.

Vejamos alguns exemplos explicativos e analogias.

Às vezes, não percebemos mais que, por exemplo, uma proporção matemática, escrita não para maçãs, cadeiras ou elefantes, mas em uma forma abstrata abstraída de objetos específicos, é uma conquista científica notável. Esta é uma lei matemática que a experiência mostrou ser aplicável a vários objetos concretos. Assim, estudando em matemática as propriedades gerais dos números abstratos, abstratos, estudamos as relações quantitativas do mundo real.

Por exemplo, sabe-se de um curso de matemática escolar que, portanto, em uma situação específica, você poderia dizer: “Se dois caminhões basculantes de seis toneladas não forem alocados a mim para transportar 12 toneladas de solo, você poderá solicitar três caminhões basculantes de quatro toneladas e o trabalho estará feito, e se eles derem apenas um caminhão basculante de quatro toneladas, então ela terá que fazer três voos. Portanto, agora familiares para nós, números abstratos e padrões numéricos estão associados às suas manifestações e aplicações específicas.

Aproximadamente da mesma maneira, as leis de mudança de quantidades variáveis ​​concretas e processos em desenvolvimento da natureza estão conectados com a forma-função abstrata e abstrata na qual eles aparecem e são estudados na análise matemática.

Por exemplo, uma proporção abstrata pode ser um reflexo da dependência da bilheteria do cinema do número de ingressos vendidos, se 20 são 20 copeques - o preço de um ingresso. Mas se estamos pedalando em uma rodovia a 20 km por hora, então a mesma proporção pode ser interpretada como a relação do tempo (horas) do nosso passeio de bicicleta e a distância (quilômetros) percorrida durante esse tempo, você sempre pode argumentar que , por exemplo, uma mudança de várias vezes leva a uma mudança proporcional (ou seja, pelo mesmo número de vezes) no valor de , e se , então a conclusão oposta também é verdadeira. Então, em particular, para dobrar a receita de bilheteria de um cinema, você tem que atrair o dobro de espectadores, e para andar de bicicleta na mesma velocidade duas vezes mais longe, você tem que andar duas vezes mais.

A matemática estuda tanto a dependência mais simples quanto outras dependências muito mais complexas em uma forma abstrata, geral e abstrata, abstraída da interpretação privada. As propriedades de uma função identificada em tal estudo ou métodos para estudar essas propriedades serão da natureza de técnicas matemáticas gerais, conclusões, leis e conclusões aplicáveis ​​a cada fenômeno específico em que a função estudada de forma abstrata ocorre, independentemente de qual campo de conhecimento ao qual esse fenômeno pertence.

Assim, a análise matemática como um ramo da matemática tomou forma no final do século XVII. O objeto de estudo em análise matemática (como aparece a partir de posições modernas) são funções, ou, em outras palavras, dependências entre variáveis.

Com o advento da análise matemática, tornou-se possível para a matemática estudar e refletir os processos de desenvolvimento do mundo real; variáveis ​​e movimento entraram na matemática.

Métodos Matemáticos de Pesquisa Operacional

modelo de análise de regressão programático

Introdução

Descrição da área temática e apresentação do problema de pesquisa

Parte prática

Conclusão

Bibliografia

Introdução

Na economia, a base de quase todas as atividades é a previsão. Já com base na previsão, é elaborado um plano de ação e medidas. Assim, podemos dizer que a previsão de variáveis ​​macroeconômicas é um componente fundamental dos planos de todos os sujeitos da atividade econômica. A previsão pode ser realizada com base em métodos qualitativos (especialistas) e quantitativos. Estes, por si só, não podem fazer nada sem uma análise qualitativa, assim como as avaliações de especialistas devem ser apoiadas por cálculos sólidos.

Já as previsões, mesmo no nível macroeconômico, são de natureza de cenário e são desenvolvidas de acordo com o seguinte princípio: o que acontece se… , - e são muitas vezes um estágio preliminar e uma justificativa para grandes programas econômicos nacionais. As previsões macroeconômicas geralmente são feitas com um lead time de um ano. A prática moderna do funcionamento da economia exige previsões de curto prazo (meio ano, um mês, uma década, uma semana). Projetado para as tarefas de fornecer informações avançadas para participantes individuais na economia.

Com as mudanças nos objetos e tarefas de previsão, a lista de métodos de previsão mudou. Métodos adaptativos de previsão de curto prazo receberam rápido desenvolvimento.

A previsão econômica moderna exige que os desenvolvedores tenham especialização versátil, conhecimento de vários campos da ciência e da prática. As tarefas do previsor incluem o conhecimento do aparato científico (geralmente matemático) de previsão, os fundamentos teóricos do processo de previsão, fluxos de informação, software e interpretação dos resultados da previsão.

A principal função da previsão é fundamentar o possível estado do objeto no futuro ou determinar caminhos alternativos.

A importância da gasolina como principal tipo de combustível hoje é difícil de superestimar. E é tão difícil superestimar o impacto de seu preço na economia de qualquer país. A natureza do desenvolvimento da economia do país como um todo depende da dinâmica dos preços dos combustíveis. Um aumento nos preços da gasolina provoca um aumento nos preços dos bens industriais, leva ao aumento dos custos inflacionários na economia e à diminuição da lucratividade das indústrias intensivas em energia. O custo dos produtos petrolíferos é um dos componentes dos preços dos bens no mercado consumidor, e os custos de transporte afetam a estrutura de preços de todos os bens e serviços de consumo, sem exceção.

De particular importância é a questão do custo da gasolina na economia ucraniana em desenvolvimento, onde qualquer mudança nos preços causa uma reação imediata em todos os seus setores. No entanto, a influência desse fator não se limita à esfera da economia; muitos processos políticos e sociais também podem ser atribuídos às consequências de suas flutuações.

Assim, o estudo e previsão da dinâmica deste indicador assume particular importância.

O objetivo deste trabalho é prever os preços dos combustíveis para o futuro próximo.

1. Descrição da área temática e declaração do problema de pesquisa

O mercado de gasolina ucraniano dificilmente pode ser chamado de constante ou previsível. E há muitas razões para isso, a começar pelo fato de que a matéria-prima para a produção do combustível é o petróleo, cujos preços e volume de produção são determinados não apenas pela oferta e demanda nos mercados interno e externo, mas também pela política estatal, bem como por acordos especiais de empresas fabricantes. Em condições de forte dependência da economia ucraniana, ela depende da exportação de aço e produtos químicos, e os preços desses produtos estão mudando constantemente. E por falar em preço da gasolina, não se pode deixar de notar sua tendência de alta. Apesar da política de contenção seguida pelo Estado, o seu crescimento é habitual para a maioria dos consumidores. Os preços dos produtos petrolíferos na Ucrânia hoje mudam diariamente. Dependem principalmente do custo do petróleo no mercado mundial ($/barril) e do nível da carga tributária.

O estudo dos preços da gasolina é muito relevante na atualidade, uma vez que os preços de outros bens e serviços dependem desses preços.

Neste artigo, consideraremos a dependência dos preços da gasolina no tempo e fatores como:

ü preços do petróleo, dólar americano por barril

ü taxa de câmbio oficial do dólar (NBU), hryvnia por dólar americano

ü índice de Preços ao Consumidor

O preço da gasolina, produto do refino de petróleo, está diretamente relacionado ao preço do recurso natural especificado e ao volume de sua produção. A taxa de câmbio do dólar tem um impacto significativo em toda a economia ucraniana, em particular na formação de preços em seus mercados domésticos. A ligação direta deste parâmetro com os preços da gasolina depende diretamente da taxa de câmbio do dólar americano. O IPC reflete a variação geral dos preços dentro do país, e como é economicamente comprovado que a variação dos preços de alguns bens na grande maioria dos casos (em condições de livre concorrência) leva a um aumento nos preços de outros bens , é razoável supor que uma mudança nos preços dos bens em todo o país afeta o indicador estudado no trabalho.

Descrição do aparato matemático usado nos cálculos

Análise de regressão

A análise de regressão é um método de modelagem de dados medidos e estudo de suas propriedades. Os dados consistem em pares de valores da variável dependente (a variável de resposta) e da variável independente (a variável explicativa). Modelo de regressão<#"19" src="doc_zip1.jpg" />. A análise de regressão é a busca por uma função que descreva essa relação. A regressão pode ser representada como uma soma de componentes não aleatórios e aleatórios. onde é a função de dependência de regressão e é uma variável aleatória aditiva com expectativa mat zero. A suposição sobre a natureza da distribuição dessa quantidade é chamada de hipótese de geração de dados.<#"8" src="doc_zip6.jpg" />tem uma distribuição gaussiana<#"20" src="doc_zip7.jpg" />.

O problema de encontrar um modelo de regressão de várias variáveis ​​livres é colocado da seguinte forma. Uma amostra é dada<#"24" src="doc_zip8.jpg" />valores de variáveis ​​livres e o conjunto de valores correspondentes da variável dependente. Esses conjuntos são indicados como o conjunto de dados iniciais.

Um modelo de regressão é fornecido - uma família paramétrica de funções dependendo de parâmetros e variáveis ​​livres. É necessário encontrar os parâmetros mais prováveis:

A função de probabilidade depende da hipótese de geração de dados e é dada por inferência Bayesiana<#"justify">Método dos mínimos quadrados

O método dos mínimos quadrados é um método para encontrar os parâmetros ótimos de regressão linear, de modo que a soma dos erros quadrados (resíduos de regressão) seja mínima. O método consiste em minimizar a distância euclidiana entre dois vetores - o vetor de valores recuperados da variável dependente e o vetor de valores reais da variável dependente.

A tarefa do método dos mínimos quadrados é escolher um vetor para minimizar o erro. Este erro é a distância de vetor para vetor. O vetor encontra-se no espaço coluna da matriz, pois existe uma combinação linear das colunas desta matriz com coeficientes. Encontrar uma solução usando o método dos mínimos quadrados é equivalente ao problema de encontrar um ponto mais próximo e localizado no espaço coluna da matriz.

Assim, o vetor deve ser uma projeção no espaço coluna, e o vetor residual deve ser ortogonal a este espaço. A ortogonalidade é que cada vetor no espaço coluna é uma combinação linear de colunas com alguns coeficientes, ou seja, é um vetor. Para tudo no espaço, esses vetores devem ser perpendiculares ao resíduo:

Como essa igualdade deve ser verdadeira para um vetor arbitrário, então

A solução de mínimos quadrados de um sistema inconsistente consistindo de equações com incógnitas é a equação

que é chamada de equação normal. Se as colunas de uma matriz são linearmente independentes, então a matriz é invertível e a única solução

A projeção de um vetor no espaço coluna de uma matriz tem a forma

A matriz é chamada de matriz de projeção do vetor no espaço coluna da matriz. Esta matriz tem duas propriedades principais: é idempotente e é simétrica, . O inverso também é verdadeiro: uma matriz com essas duas propriedades é uma matriz de projeção em seu espaço coluna.

Vamos ter dados estatísticos sobre o parâmetro y dependendo de x. Apresentamos esses dados na forma

xx1 X2 …..Xeu…..Xny *y 1*y 2*...... eu* …..y n *

O método dos mínimos quadrados permite um determinado tipo de dependência y= ?(x) escolha seus parâmetros numéricos de modo que a curva y= ?(x) exibiu os dados experimentais da melhor maneira de acordo com o critério fornecido. Considere a justificativa do ponto de vista da teoria das probabilidades para a definição matemática dos parâmetros incluídos em ? (x).

Suponha que a verdadeira dependência de y em x seja exatamente expressa pela fórmula y= ?(x). Os pontos experimentais apresentados na Tabela 2 desviam dessa dependência devido a erros de medição. Os erros de medição obedecem à lei normal de acordo com o teorema de Lyapunov. Considere algum valor do argumento x eu . O resultado do experimento é uma variável aleatória y eu , distribuído de acordo com a lei normal com expectativa matemática ?(x eu ) e com desvio padrão ?eu caracterizando o erro de medição. Deixe a precisão da medição em todos os pontos x=(x 1, X 2, …, X n ) é o mesmo, ou seja, ?1=?2=…=?n =?. Então a lei de distribuição normal Yi parece:

Como resultado de uma série de medições, ocorreu o seguinte evento: variáveis ​​aleatórias (y 1*,y 2*, …, yn *).

Descrição do produto de software selecionado

Mathcad - sistema de álgebra computacional da classe de sistemas de projeto auxiliados por computador<#"justify">4. Parte prática

A tarefa do estudo é prever os preços da gasolina. A informação inicial é uma série temporal de 36 semanas - de maio de 2012 a dezembro de 2012.

Os dados estatísticos (36 semanas) são apresentados na matriz Y. Em seguida, criaremos a matriz H, que será necessária para encontrar o vetor A.

Vamos apresentar os dados iniciais e os valores calculados usando o modelo:

Para avaliar a qualidade do modelo, utilizamos o coeficiente de determinação.

Primeiro, vamos encontrar o valor médio de Xs:

A parte da variância, que se deve à regressão, na variância total do indicador Y caracteriza o coeficiente de determinação R2.

Coeficiente de determinação, leva valores de -1 a +1. Quanto mais próximo de 1 for o valor do módulo do coeficiente, mais próxima será a relação do traço efetivo Y com os fatores X estudados.

O valor do coeficiente de determinação serve como um critério importante para avaliar a qualidade de modelos lineares e não lineares. Quanto maior a participação da variação explicada, menor o papel de outros fatores, o que significa que o modelo de regressão se aproxima bem dos dados iniciais e esse modelo de regressão pode ser usado para prever os valores do indicador efetivo. Obteve-se o coeficiente de determinação R2 = 0,78, portanto, a equação de regressão explica 78% da variância do traço efetivo, e 22% de sua variância (ou seja, variância residual) cabe à parcela de outros fatores.

Portanto, concluímos que o modelo é adequado.

Com base nos dados obtidos, é possível fazer uma previsão dos preços dos combustíveis para a 37ª semana de 2013. A fórmula para o cálculo é a seguinte:

A previsão calculada usando este modelo: o preço da gasolina é UAH 10.434.

Conclusão

Neste artigo, mostramos a possibilidade de realizar uma análise de regressão para prever os preços da gasolina para períodos futuros. O objetivo do trabalho do curso foi consolidar conhecimentos na unidade curricular "Métodos Matemáticos de Investigação Operacional" e adquirir competências no desenvolvimento de software que permita automatizar a investigação operacional numa determinada área disciplinar.

A previsão para o preço futuro da gasolina, é claro, não é inequívoca, o que se deve às peculiaridades dos dados iniciais e dos modelos desenvolvidos. No entanto, com base nas informações recebidas, é razoável supor que, é claro, os preços da gasolina não cairão no futuro próximo, mas provavelmente permanecerão no mesmo nível ou crescerão ligeiramente. É claro que os fatores relacionados às expectativas dos consumidores, política aduaneira e muitos outros fatores não são levados em consideração aqui, mas gostaria de observar que eles são amplamente mutuamente reembolsável . E seria bastante razoável notar que um salto acentuado nos preços da gasolina no momento é realmente extremamente duvidoso, o que, em primeiro lugar, está relacionado com a política seguida pelo governo.

Bibliografia

1.Buyul A., Zöfel P. SPSS: a arte do processamento da informação. Análise de dados estatísticos e restauração de padrões ocultos - São Petersburgo: OOO "DiaSoftUP", 2001. - 608 p.

2. Recursos da Internet http://www.ukrstat.gov.ua/

3. Recursos da Internet http://index.minfin.com.ua/

Recursos da Internet http://fx-commodities.ru/category/oil/

Tutoria

Precisa de ajuda para aprender um tópico?

Nossos especialistas irão aconselhar ou fornecer serviços de tutoria sobre tópicos de seu interesse.
Submeter uma candidatura indicando o tópico agora mesmo para saber sobre a possibilidade de obter uma consulta.

O método de projeto, que tem um enorme potencial para a formação de atividades educacionais não-versais, está se tornando cada vez mais difundido no sistema de ensino escolar, mas é bastante difícil “encaixar” o método de projeto no sistema de sala de aula. Eu incluo mini-estudos em uma aula regular. Essa forma de trabalho abre grandes oportunidades para a formação da atividade cognitiva e garante que as características individuais dos alunos sejam levadas em consideração, abrindo caminho para o desenvolvimento de habilidades em grandes projetos.

Download:

Visualização:

“Se um aluno na escola não aprendeu a criar nada sozinho, então na vida ele apenas imitará, copiará, pois são poucos os que, tendo aprendido a copiar, seriam capazes de fazer uma aplicação independente dessa informação.” L. N. Tolstoi.

Uma característica da educação moderna é um aumento acentuado na quantidade de informações que os alunos precisam aprender. E o grau de desenvolvimento do aluno é medido e avaliado por sua capacidade de adquirir novos conhecimentos de forma independente e usá-los em atividades educacionais e práticas. O processo pedagógico moderno exige o uso de tecnologias inovadoras no ensino.

O Padrão Educacional Estadual Federal da nova geração exige o uso de tecnologias do tipo atividade no processo educacional, os métodos de projeto e atividades de pesquisa são definidos como uma das condições para a implementação do programa educacional principal.

Um papel especial é dado a essas atividades nas aulas de matemática, e isso não é acidental. A matemática é a chave para a compreensão do mundo, a base do progresso científico e tecnológico e um importante componente do desenvolvimento da personalidade. Ele é projetado para incutir em uma pessoa a capacidade de entender o significado da tarefa que lhe foi atribuída, a capacidade de raciocinar logicamente, de aprender as habilidades do pensamento algorítmico.

É bastante difícil encaixar o método de projeto no sistema de aula-aula. Eu tento combinar de forma inteligente o sistema tradicional e centrado no aluno, incorporando elementos de pesquisa em uma aula regular. Vou dar vários exemplos.

Assim, ao estudar o tema “Círculo”, realizamos o seguinte estudo com os alunos.

Estudo matemático "Círculo".

1. Pense em como construir um círculo, quais ferramentas são necessárias para isso. Designação do círculo.
2. Para definir um círculo, vejamos quais propriedades essa figura geométrica possui. Vamos conectar o centro do círculo com um ponto pertencente ao círculo. Vamos medir o comprimento deste segmento. Vamos repetir o experimento três vezes. Vamos fazer uma conclusão.
3. O segmento de linha que liga o centro do círculo a qualquer ponto dele é chamado de raio do círculo. Esta é a definição de um raio. Notação de raio. Usando esta definição, construa um círculo com um raio de 2cm5mm.
4. Construa um círculo de raio arbitrário. Construa um raio, meça-o. Registre os resultados da medição. Construa mais três raios diferentes. Quantos raios podem ser desenhados em um círculo.
5. Vamos tentar, conhecendo a propriedade dos pontos do círculo, dar sua definição.
6. Construa um círculo de raio arbitrário. Conecte dois pontos do círculo de modo que este segmento passe pelo centro do círculo. Este segmento é chamado de diâmetro. Vamos definir o diâmetro. Designação do diâmetro. Construa mais três diâmetros. Quantos diâmetros tem um círculo.
7. Construa um círculo de raio arbitrário. Meça o diâmetro e o raio. Compara-os. Repita o experimento mais três vezes com círculos diferentes. Faça uma conclusão.
8. Conecte quaisquer dois pontos no círculo. O segmento resultante é chamado de acorde. Vamos definir um acorde. Construa mais três acordes. Quantos acordes tem o círculo.
9. O raio é uma corda. Prove.
10. O diâmetro é uma corda. Prove.

Os trabalhos de pesquisa podem ser de natureza propedêutica. Depois de examinar o círculo, você pode considerar várias propriedades interessantes que os alunos podem formular no nível de uma hipótese e depois provar essa hipótese. Por exemplo, o seguinte estudo:

"Pesquisa Matemática"

1. Construa um círculo com um raio de 3 cm e desenhe seu diâmetro. Conecte as extremidades do diâmetro a um ponto arbitrário no círculo e meça o ângulo formado pelas cordas. Faça as mesmas construções para mais dois círculos. O que você percebe.
2. Repita o experimento para um círculo de raio arbitrário e formule uma hipótese. Pode ser considerado comprovado com a ajuda das construções e medições realizadas.

Ao estudar o tópico “Arranjo mútuo de linhas em um plano”, um estudo matemático é realizado em grupos.

Tarefas para grupos:

1. Grupo.

1. Em um sistema de coordenadas, trace os gráficos da função

Y=2x, y=2x+7, y=2x+3, y=2x-4, y=2x-6.

2. Responda às perguntas preenchendo a tabela: