A análise matemática é um ramo da matemática que trata do estudo de funções com base na ideia de uma função infinitesimal.

Os conceitos básicos da análise matemática são quantidade, conjunto, função, função infinitesimal, limite, derivada, integral.

Valor tudo o que pode ser medido e expresso por um número é chamado.

muitosé uma coleção de alguns elementos unidos por alguma característica comum. Os elementos de um conjunto podem ser números, figuras, objetos, conceitos, etc.

Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas e os elementos de um conjunto por letras minúsculas. Os elementos do conjunto são colocados entre chaves.

Se elemento x pertence ao conjunto X, então escreva x∈X (∈ - pertence).
Se o conjunto A faz parte do conjunto B, então escreva A ⊂ B (⊂ - Está contido).

Um conjunto pode ser definido de duas maneiras: por enumeração e por uma propriedade definidora.

Por exemplo, a enumeração define os seguintes conjuntos:

• A=(1,2,3,5,7) - conjunto de números
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) é um conjunto de alguns elementos x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) é o conjunto dos números naturais
• Z=(0,±1,±2,...,±n) é o conjunto de inteiros

O conjunto (-∞;+∞) é chamado linha numérica, e qualquer número é um ponto desta reta. Seja a um ponto arbitrário na reta real e δ um número positivo. O intervalo (a-δ; a+δ) é chamado δ-vizinhança do ponto a.

O conjunto X é limitado a partir de cima (a partir de baixo) se existe tal número c que para qualquer x ∈ X a desigualdade x≤с (x≥c) é satisfeita. O número c neste caso é chamado borda superior (inferior) conjuntos X. Um conjunto limitado acima e abaixo é chamado limitado. A menor (maior) das faces superiores (inferiores) do conjunto é chamada face superior (inferior) exata este conjunto.

Conjuntos Numéricos Básicos

N	(1,2,3,...,n) O conjunto de todos
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Definir números inteiros. O conjunto dos inteiros inclui o conjunto dos números naturais.
Q	Um monte de números racionais. Além dos números inteiros, existem também as frações. Uma fração é uma expressão da forma , onde pé um número inteiro, q- naturais. Decimais também podem ser escritos como . Por exemplo: 0,25 = 25/100 = 1/4. Os inteiros também podem ser escritos como . Por exemplo, na forma de uma fração com denominador "um": 2 = 2/1. Assim, qualquer número racional pode ser escrito como uma fração decimal - finita ou infinitamente periódica.
R	Muitos de todos numeros reais. Os números irracionais são frações não periódicas infinitas. Esses incluem: Juntos, dois conjuntos (números racionais e irracionais) formam o conjunto dos números reais (ou reais).

Se um conjunto não contém elementos, ele é chamado conjunto vazio e gravado Ø .

Elementos do simbolismo lógico

A notação ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

quantificador

Ao escrever expressões matemáticas, quantificadores são frequentemente usados.

quantificadoré chamado de símbolo lógico que caracteriza os elementos que o seguem em termos quantitativos.

• ∀- quantificador geral, é usado em vez das palavras "para todos", "para qualquer um".
• ∃- quantificador existencial, é usado em vez das palavras "existe", "tem". Também é usada a combinação de símbolos ∃!, que é lida porque há apenas um.

Operações em conjuntos

Dois os conjuntos A e B são iguais(A=B) se consistirem nos mesmos elementos.
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) então A=B.

União (soma) os conjuntos A e B é chamado de conjunto A ∪ B, cujos elementos pertencem a pelo menos um desses conjuntos.
Por exemplo, se A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), então A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Interseção (produto) Os conjuntos A e B são chamados de conjunto A ∩ B, cujos elementos pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
Por exemplo, se A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), então A ∩ B = (2,4)

diferença Os conjuntos A e B são chamados de conjunto AB, cujos elementos pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B.
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), então AB = (1,2)

Diferença simétrica os conjuntos A e B é chamado de conjunto A Δ B, que é a união das diferenças dos conjuntos AB e BA, ou seja, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), então A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5.6)

Propriedades das operações de conjunto

Propriedades de permutabilidade

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

propriedade associativa

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Conjuntos contáveis ​​e incontáveis

Para comparar dois conjuntos A e B, é estabelecida uma correspondência entre seus elementos.

Se esta correspondência for de um para um, então os conjuntos são chamados equivalentes ou equivalentes, A B ou B A.

Exemplo 1

O conjunto de pontos do cateto BC e a hipotenusa AC do triângulo ABC têm a mesma potência.

Conjunto matemático

Um monte de- um dos principais objetos da matemática, em particular, a teoria dos conjuntos. “Sob o conjunto queremos dizer a unificação em um todo de certos objetos completamente distinguíveis de nossa intuição ou de nosso pensamento” (G. Kantor). Isso não é, no sentido pleno, uma definição lógica do conceito de conjunto, mas apenas uma explicação (porque definir um conceito significa encontrar um conceito tão genérico no qual esse conceito está incluído como espécie, mas um conjunto talvez seja o conceito mais amplo de matemática e lógica).

teorias

Existem duas abordagens principais para o conceito de um conjunto - ingénuo e axiomático teoria de conjuntos.

Teoria axiomática dos conjuntos

Hoje, um conjunto é definido como um modelo que satisfaz os axiomas ZFC (os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha). Com essa abordagem, em algumas teorias matemáticas, surgem coleções de objetos que não são conjuntos. Tais coleções são chamadas de classes (de diferentes ordens).

Definir elemento

Os objetos que formam um conjunto são chamados definir elementos ou definir pontos. Os conjuntos são mais frequentemente indicados por letras maiúsculas do alfabeto latino, seus elementos - por pequenos. Se a é um elemento do conjunto A, então escreva a ∈ A (a pertence a A). Se a não é um elemento do conjunto A, então escreva a ∉ A (a não pertence a A).

Alguns tipos de conjuntos

• Um conjunto ordenado é um conjunto no qual a relação de ordem é dada.
• Um conjunto (em particular, um par ordenado). Ao contrário de apenas um conjunto, ele é escrito entre parênteses: ( x 1 , x 2 , x 3 , ...), e os elementos podem ser repetidos.

Por hierarquia:

Conjunto de conjuntos Subconjunto Superconjunto

Por limitação:

Operações em conjuntos

Literatura

• Stoll R. R. Conjuntos. Lógicas. teorias axiomáticas. - M.: Educação, 1968. - 232 p.

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é "Conjunto matemático" em outros dicionários:

O conjunto de Vitali é o primeiro exemplo de um conjunto de números reais que não possui medida de Lebesgue. Este exemplo, que se tornou um clássico, foi publicado em 1905 pelo matemático italiano J. Vitali em seu artigo “Sul problema della misura dei gruppi di punti ... ... Wikipedia

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Uma variável aleatória é sua característica numérica. Se uma variável aleatória X tem uma função de distribuição F(x), então seu M. o. vontade: . Se a distribuição de X for discreta, então М.о.: , onde x1, x2, ... são valores possíveis da variável aleatória discreta X; p1... Enciclopédia Geológica

Apoio matemático do ACS- , o mesmo que software, software, um conjunto de programas matemáticos e algoritmos, um dos subsistemas de suporte. Geralmente inclui muitos programas para resolver problemas específicos em um computador, combinados pelo programa principal ... ... Dicionário Econômico e Matemático

Software ACS- o mesmo que software, software, um conjunto de programas matemáticos e algoritmos, um dos subsistemas de suporte. Geralmente inclui muitos programas para resolver problemas específicos em um computador, combinados pelo programa principal pelo despachante. ... ... Manual do Tradutor Técnico

- (matemática) ver teoria dos conjuntos...

Um modelo matemático é uma representação matemática da realidade. A modelagem matemática é o processo de construção e estudo de modelos matemáticos. Todas as ciências naturais e sociais usando o aparato matemático, de fato ... ... Wikipedia

Uma disciplina matemática dedicada à teoria e métodos de resolução de problemas de encontrar os extremos de funções em conjuntos de um espaço vetorial de dimensão finita definido por restrições lineares e não lineares (igualdades e desigualdades). M. p. ... ... Enciclopédia Matemática

Disciplina matemática dedicada à teoria e métodos de resolução de problemas de determinação de extremos de funções em conjuntos definidos por restrições lineares e não lineares (igualdades e desigualdades). M. p. seção da ciência de ... ... Grande Enciclopédia Soviética

Este termo tem outros significados, veja Prova. Em matemática, uma prova é uma cadeia de inferências lógicas que mostra que, para algum conjunto de axiomas e regras de inferência, uma determinada afirmação é verdadeira. Dependendo... Wikipédia

Livros

• Modelagem matemática da economia, Malykhin V.I. O livro discute os principais modelos matemáticos da economia: o modelo do consumidor individual (baseado na função de utilidade), o modelo da empresa manufatureira (baseado na função de produção),…

Breve sinopse

Sou um físico teórico por formação, mas tenho uma boa formação matemática. Na magistratura uma das disciplinas era a filosofia, era preciso escolher um tema e submeter um trabalho sobre ele. Como a maioria das opções eram mais de uma vez obmusoleny, decidi escolher algo mais exótico. Não pretendo novidade, apenas consegui acumular toda/quase toda a literatura disponível sobre este tema. Filósofos e matemáticos podem atirar pedras em mim, só ficarei grato por críticas construtivas.

P.S. Muito "linguagem seca", mas bastante legível após o programa universitário. Na maioria das vezes, as definições de paradoxos foram retiradas da Wikipedia (redação simplificada e marcação TeX pronta).

Introdução

Tanto a própria teoria dos conjuntos quanto os paradoxos inerentes a ela apareceram não muito tempo atrás, há pouco mais de cem anos. No entanto, durante esse período, um longo caminho foi percorrido, a teoria dos conjuntos, de uma forma ou de outra, tornou-se a base da maioria das seções da matemática. Seus paradoxos, ligados à infinidade de Cantor, foram explicados com sucesso literalmente em meio século.

Você deve começar com uma definição.

O que é uma multidão? A pergunta é bastante simples, a resposta é bastante intuitiva. Um conjunto é um conjunto de elementos representados por um único objeto. Kantor em seu trabalho Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre dá uma definição: por "conjunto" entendemos a combinação em um certo todo de certos objetos bem distinguíveis de nossa contemplação ou de nosso pensamento (que serão chamados de "elementos" do conjunto). Como você pode ver, a essência não mudou, a diferença está apenas na parte que depende da visão de mundo do determinante. A história da teoria dos conjuntos, tanto na lógica quanto na matemática, é altamente controversa. Na verdade, Kantor lançou as bases para isso no século 19, então Russell e os outros continuaram o trabalho.

Paradoxos (lógica e teoria dos conjuntos) - (de outro grego παράδοξος - inesperado, estranho de outro grego παρα-δοκέω - pareço) - contradições lógicas formais que surgem na teoria dos conjuntos significativa e na lógica formal, mantendo a correção lógica do raciocínio. Paradoxos surgem quando duas proposições mutuamente exclusivas (contraditórias) são igualmente prováveis. Paradoxos podem aparecer tanto na teoria científica quanto no raciocínio comum (por exemplo, o paradoxo de Russell sobre o conjunto de todos os conjuntos normais é dado por Russell: "O barbeiro da aldeia barbeia todos aqueles e apenas aqueles habitantes de sua aldeia que não se barbeiam. ele se barbeia?"). Uma vez que a contradição formal-lógica destrói o raciocínio como meio de descobrir e provar a verdade (em uma teoria em que um paradoxo aparece, qualquer sentença, tanto verdadeira quanto falsa, é demonstrável), surge o problema de identificar as fontes de tais contradições e encontrar maneiras de eliminá-los. O problema da compreensão filosófica de soluções específicas para paradoxos é um dos importantes problemas metodológicos da lógica formal e dos fundamentos lógicos da matemática.

O objetivo deste trabalho é estudar os paradoxos da teoria dos conjuntos como herdeiras de antigas antinomias e consequências bastante lógicas da transição para um novo nível de abstração - o infinito. A tarefa é considerar os principais paradoxos, sua interpretação filosófica.

Paradoxos básicos da teoria dos conjuntos

O barbeiro só barbeia quem não se barbeia. Ele se barbeia?

Vamos continuar com uma breve excursão pela história.

Alguns dos paradoxos lógicos são conhecidos desde os tempos antigos, mas devido ao fato de que a teoria matemática se limitava apenas à aritmética e à geometria, era impossível correlacioná-los com a teoria dos conjuntos. No século XIX, a situação mudou radicalmente: Kantor alcançou um novo nível de abstração em suas obras. Ele introduziu o conceito de infinito, criando assim um novo ramo da matemática e, assim, permitindo que diferentes infinitos fossem comparados usando o conceito de “potência de um conjunto”. No entanto, ao fazê-lo, ele criou muitos paradoxos. O primeiro é o chamado Paradoxo de Burali-Forti. Na literatura matemática, existem várias formulações baseadas em diferentes terminologias e um conjunto assumido de teoremas bem conhecidos. Aqui está uma das definições formais.

Pode-se provar que se é um conjunto arbitrário de números ordinais, então o conjunto-soma é um número ordinal maior ou igual a cada um dos elementos de . Suponha agora que é o conjunto de todos os números ordinais. Então é um número ordinal maior ou igual a qualquer um dos números em . Mas então e é um número ordinal, além disso, já é estritamente maior e, portanto, não é igual a nenhum dos números em . Mas isso contradiz a condição que é o conjunto de todos os números ordinais.

A essência do paradoxo é que quando o conjunto de todos os números ordinais é formado, um novo tipo ordinal é formado, que ainda não estava entre “todos” os números ordinais transfinitos que existiam antes da formação do conjunto de todos os números ordinais. Este paradoxo foi descoberto pelo próprio Cantor, descoberto e publicado independentemente pelo matemático italiano Burali-Forti, os erros deste último foram corrigidos por Russell, após o que a formulação adquiriu sua forma final.

Entre todas as tentativas de evitar tais paradoxos e, em certa medida, tentar explicá-los, a ideia do já mencionado Russell merece mais atenção. Ele propôs excluir da matemática e da lógica sentenças impredicativas nas quais a definição de um elemento de um conjunto depende deste último, o que causa paradoxos. A regra soa assim: "nenhum conjunto pode conter elementos definidos apenas em termos de um conjunto, assim como elementos que assumem esse conjunto em sua definição" . Tal restrição na definição de um conjunto nos permite evitar paradoxos, mas ao mesmo tempo estreita significativamente o escopo de sua aplicação na matemática. Além disso, isso não é suficiente para explicar sua natureza e as razões de sua aparição, enraizadas na dicotomia pensamento e linguagem, nas características da lógica formal. Até certo ponto, essa restrição pode ser traçada como uma analogia com o que em um período posterior psicólogos cognitivos e linguistas começaram a chamar de "categorização de nível básico": a definição é reduzida ao conceito mais fácil de entender e estudar.

Paradoxo de Cantor. Suponha que o conjunto de todos os conjuntos exista. Nesse caso, é verdade que todo conjunto é um subconjunto de . Mas segue-se disso que a cardinalidade de qualquer conjunto não excede a cardinalidade de . Mas em virtude do axioma do conjunto de todos os subconjuntos, pois , assim como qualquer conjunto, existe um conjunto de todos os subconjuntos , e pelo teorema de Cantor, que contraria a afirmação anterior. Portanto, não pode existir, o que conflita com a hipótese "ingênua" de que qualquer condição lógica sintaticamente correta define um conjunto, ou seja, para qualquer fórmula que não contenha livre. Uma prova notável da ausência de tais contradições com base na teoria dos conjuntos axiomatizada de Zermelo-Fraenkel é dada por Potter.

Do ponto de vista lógico, ambos os paradoxos acima são idênticos ao “Mentiroso” ou “O Barbeiro”: o julgamento expresso é direcionado não apenas a algo objetivo em relação a ele, mas também a si mesmo. No entanto, deve-se atentar não apenas para o lado lógico, mas também para o conceito de infinito, aqui presente. A literatura se refere à obra de Poincaré, na qual ele escreve: "a crença na existência de um infinito real... torna necessárias essas definições não predicativas" .

Em geral, os principais pontos são:

1. nesses paradoxos, viola-se a regra de separar claramente as “esferas” do predicado e do sujeito; o grau de confusão aproxima-se da substituição de um conceito por outro;
2. geralmente na lógica supõe-se que no processo de raciocínio o sujeito e o predicado mantêm seu volume e conteúdo, neste caso há uma transição de uma categoria para outra, o que resulta em uma discrepância;
3. a presença da palavra “todos” faz sentido para um número finito de elementos, mas no caso de um número infinito deles, é possível ter um que, para se definir, exigirá a definição de um conjunto;
4. leis lógicas básicas são violadas:
   1. a lei da identidade é violada quando a não identidade do sujeito e do predicado é revelada;
   2. a lei da contradição - quando duas sentenças contraditórias são derivadas com o mesmo direito;
   3. a lei do terceiro excluído - quando este terceiro deve ser reconhecido, e não excluído, pois nem o primeiro nem o segundo podem ser reconhecidos um sem o outro, porque são igualmente válidos.

Paradoxo de Russell. Aqui está uma de suas opções. Seja o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm como seu elemento. Ele contém a si mesmo como um elemento? Se sim, então, por definição, não deveria ser um elemento - uma contradição. Se não - então, por definição, deve ser um elemento - novamente uma contradição. Esta afirmação é logicamente derivada do paradoxo de Cantor, que mostra sua relação. No entanto, a essência filosófica se manifesta com mais clareza, pois o “automovimento” dos conceitos se dá bem “diante de nossos olhos”.

Paradoxo de Tristram Shandy. Em The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, de Stern, o herói descobre que levou um ano inteiro para contar os eventos do primeiro dia de sua vida e outro ano para descrever o segundo dia. A esse respeito, o herói reclama que o material de sua biografia se acumulará mais rápido do que ele pode processá-lo e nunca poderá completá-lo. “Agora eu mantenho”, Russell objeta a isso, “que se ele vivesse para sempre e seu trabalho não se tornasse um fardo para ele, mesmo que sua vida continuasse a ser tão agitada quanto no início, então nenhuma parte de sua biografia seria não permaneça não escrito.

De fato, Shandy poderia descrever os eventos do -º dia para o -º ano e, assim, em sua autobiografia, todos os dias seriam capturados. Em outras palavras, se a vida durasse indefinidamente, então teria tantos anos quanto dias.

Russell traça uma analogia entre este romance e Zenão com sua tartaruga. Para ele, a solução está no fato de que o todo equivale à sua parte no infinito. Aqueles. apenas o “axioma do senso comum” leva a uma contradição. No entanto, a solução do problema está no domínio da matemática pura. Obviamente, existem dois conjuntos - anos e dias, entre os elementos dos quais há uma correspondência bijetora - uma bijeção. Então, sob a condição de vida infinita do protagonista, há dois conjuntos infinitos de igual poder, o que, se considerarmos o poder como uma generalização do conceito do número de elementos de um conjunto, resolve o paradoxo.

Paradoxo (teorema) de Banach-Tarski ou dobrando o paradoxo da bola- um teorema da teoria dos conjuntos afirmando que uma bola tridimensional é composta igualmente por duas de suas cópias.

Dois subconjuntos do espaço euclidiano são ditos igualmente compostos se um pode ser dividido em um número finito de partes, movido e composto pelo segundo. Mais precisamente, dois conjuntos e são igualmente compostos se puderem ser representados como uma união finita de subconjuntos disjuntos e tal que para cada um o subconjunto seja congruente.

Se usarmos o teorema da escolha, então a definição soa assim:

O axioma da escolha implica que há uma divisão da superfície de uma esfera unitária em um número finito de partes, as quais, por transformações do espaço euclidiano tridimensional que não alteram a forma desses componentes, podem ser reunidas em duas partes. esferas de raio unitário.

Obviamente, dada a exigência de que essas partes sejam mensuráveis, essa afirmação não é viável. O famoso físico Richard Feynman em sua biografia contou como certa vez conseguiu vencer a disputa sobre dividir uma laranja em um número finito de partes e recompô-la.

Em certos pontos, esse paradoxo é usado para refutar o axioma da escolha, mas o problema é que o que consideramos geometria elementar não é essencial. Aqueles conceitos que consideramos intuitivos devem ser estendidos ao nível das propriedades das funções transcendentais.

Para enfraquecer ainda mais a confiança daqueles que acreditam que o axioma da escolha está errado, deve-se mencionar o teorema de Mazurkiewicz e Sierpinski, que afirma que existe um subconjunto não vazio do plano euclidiano que possui dois subconjuntos disjuntos, cada um dos quais podem ser divididos em um número finito de partes, de modo que podem ser traduzidas por isometrias em uma cobertura do conjunto . A prova não requer o uso do axioma da escolha. Outras construções baseadas no axioma da certeza resolvem o paradoxo de Banach-Tarski, mas não são de tanto interesse.

1. Paradoxo de Richard: Necessário nomear "o menor número não mencionado neste livro". A contradição é que, por um lado, isso pode ser feito, já que existe o menor número mencionado neste livro. A partir dele, pode-se também nomear o menor sem nome. Mas aqui surge um problema: o continuum é incontável, entre quaisquer dois números você pode inserir um número infinito de números intermediários. Por outro lado, se pudéssemos nomear esse número, ele passaria automaticamente da classe não mencionada no livro para a classe mencionada.
2. Paradoxo Grelling-Nilson: palavras ou sinais podem denotar alguma propriedade e ao mesmo tempo tê-la ou não. A formulação mais trivial soa assim: a palavra “heterológica” (que significa “não aplicável a si mesma”) é heterológica? é violado. No caso de palavras com alto nível de abstração, é impossível decidir se essas palavras são heterológicas.
3. Paradoxo de Skolem: usando o teorema da completude de Gödel e o teorema de Löwenheim-Skolem, obtemos que a teoria axiomática dos conjuntos permanece verdadeira mesmo quando apenas um conjunto contável de conjuntos é assumido (disponível) para sua interpretação. Ao mesmo tempo, a teoria axiomática inclui o já mencionado teorema de Cantor, que nos leva a incontáveis ​​conjuntos infinitos.

Resolução de paradoxos

A criação da teoria dos conjuntos deu origem ao que é considerado a terceira crise da matemática, que ainda não foi resolvida satisfatoriamente para todos. Historicamente, a primeira abordagem foi a teoria dos conjuntos. Baseava-se no uso do infinito real, quando se considerava que qualquer sequência infinita se completa no infinito. A ideia era que, na teoria dos conjuntos, muitas vezes era preciso operar em conjuntos que poderiam ser partes de outros conjuntos maiores. Ações bem-sucedidas neste caso foram possíveis apenas em um caso: os conjuntos dados (finitos e infinitos) são concluídos. Um certo sucesso foi evidente: a teoria axiomática dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, toda uma escola de matemática de Nicolas Bourbaki, que existe há mais de meio século e ainda causa muitas críticas.

O Logicismo foi uma tentativa de reduzir toda a matemática conhecida aos termos da aritmética e, em seguida, reduzir os termos da aritmética aos conceitos da lógica matemática. Frege assumiu isso de perto, mas depois de terminar o trabalho no trabalho, ele foi forçado a apontar sua inconsistência, depois que Russell apontou as contradições na teoria. O mesmo Russell, como mencionado anteriormente, tentou eliminar o uso de definições impredicativas com a ajuda da "teoria dos tipos". No entanto, seus conceitos de conjunto e infinito, bem como o axioma da redutibilidade, revelaram-se ilógicos. O principal problema era que as diferenças qualitativas entre a lógica formal e matemática não eram levadas em conta, bem como a presença de conceitos supérfluos, inclusive de natureza intuitiva.
Como resultado, a teoria do logicismo não conseguiu eliminar as contradições dialéticas dos paradoxos associados ao infinito. Havia apenas princípios e métodos que permitiam livrar-se pelo menos de definições não predicativas. Em seu próprio raciocínio, Russell era o herdeiro de Cantor.

No final do século XIX - início do século XX. a difusão do ponto de vista formalista sobre a matemática esteve associada ao desenvolvimento do método axiomático e do programa de fundamentação da matemática, que foi proposto por D. Hilbert. A importância desse fato é indicada pelo fato de que o primeiro dos vinte e três problemas que ele apresentou à comunidade matemática foi o problema do infinito. A formalização era necessária para provar a consistência da matemática clássica, "excluindo dela toda a metafísica". Dados os meios e métodos usados ​​por Hilbert, seu objetivo acabou sendo fundamentalmente impossível, mas seu programa teve um enorme impacto em todo o desenvolvimento subsequente dos fundamentos da matemática. Hilbert trabalhou nesse problema por um longo tempo, tendo primeiro construído a axiomática da geometria. Como a solução do problema se mostrou bastante bem-sucedida, ele decidiu aplicar o método axiomático à teoria dos números naturais. Aqui está o que ele escreveu em relação a isso: “Eu persigo um objetivo importante: sou eu quem gostaria de lidar com as questões da fundação da matemática como tal, transformando cada afirmação matemática em uma fórmula estritamente derivável”. Ao mesmo tempo, planejou-se livrar-se do infinito reduzindo-o a um certo número finito de operações. Para fazer isso, ele se voltou para a física com seu atomismo, a fim de mostrar toda a inconsistência das quantidades infinitas. De fato, Hilbert levantou a questão da relação entre teoria e realidade objetiva.

Uma ideia mais ou menos completa de métodos finitos é dada pelo aluno de Hilbert, J. Herbran. Por raciocínio finito, ele entende tal raciocínio que satisfaz as seguintes condições: paradoxos lógicos

Apenas um número finito e definido de objetos e funções é sempre considerado;

As funções têm uma definição precisa, e essa definição nos permite calcular seu valor;

Ele nunca afirma "Este objeto existe" a menos que uma maneira de construí-lo seja conhecida;

O conjunto de todos os objetos X de qualquer coleção infinita nunca é considerado;

Se se sabe que qualquer raciocínio ou teorema é verdadeiro para todos esses X , isso significa que esse raciocínio geral pode ser repetido para cada X específico, e esse raciocínio geral em si deve ser considerado apenas como um modelo para tal raciocínio específico.

No entanto, na época da última publicação nesta área, Gödel já havia recebido seus resultados, em essência, ele novamente descobriu e aprovou a presença da dialética no processo de cognição. Em essência, o desenvolvimento posterior da matemática demonstrou o fracasso do programa de Hilbert.

O que exatamente Gödel provou? Existem três resultados principais:

1. Gödel mostrou a impossibilidade de uma prova matemática da consistência de qualquer sistema grande o suficiente para incluir toda a aritmética, uma prova que não usaria outras regras de inferência além daquelas encontradas no próprio sistema. Tal prova, que usa uma regra de inferência mais poderosa, pode ser útil. Mas se essas regras de inferência forem mais fortes do que os meios lógicos do cálculo aritmético, não haverá confiança na consistência das suposições usadas na prova. De qualquer forma, se os métodos usados ​​não forem finitistas, o programa de Hilbert se tornará impraticável. Gödel apenas mostra a inconsistência dos cálculos para encontrar uma prova finita da consistência da aritmética.

2. Gõdel apontou as limitações fundamentais das possibilidades do método axiomático: o sistema Principia Mathematica, como qualquer outro sistema com o qual a aritmética é construída, é essencialmente incompleto, ou seja, para qualquer sistema consistente de axiomas aritméticos existem sentenças aritméticas verdadeiras que são não derivado dos axiomas deste sistema.

3. O teorema de Gödel mostra que nenhuma extensão de um sistema aritmético pode torná-lo completo, e mesmo se o preenchermos com um conjunto infinito de axiomas, então no novo sistema sempre haverá verdade, mas não dedutível por meio desse sistema, posições. A abordagem axiomática da aritmética dos números naturais não pode abranger todo o domínio das proposições aritméticas verdadeiras, e o que queremos dizer com o processo de prova matemática não se limita ao uso do método axiomático. Após o teorema de Gõdel, tornou-se sem sentido esperar que o conceito de uma prova matemática convincente pudesse ser dado de uma vez por todas as formas delineadas.

A última nesta série de tentativas de explicar a teoria dos conjuntos foi o intuicionismo.

Ele passou por vários estágios em sua evolução - semi-intuicionismo, intuicionismo propriamente dito, ultra-intuicionismo. Em diferentes estágios, os matemáticos estavam preocupados com diferentes problemas, mas um dos principais problemas da matemática é o problema do infinito. Os conceitos matemáticos de infinito e continuidade têm sido objeto de análise filosófica desde seus primórdios (idéias dos atomistas, aporias de Zenão de Elea, métodos infinitesimais na antiguidade, cálculo infinitesimal nos tempos modernos, etc.). A maior controvérsia foi causada pelo uso de vários tipos de infinito (potencial, real) como objetos matemáticos e sua interpretação. Todos esses problemas, em nossa opinião, foram gerados por um problema mais profundo - o papel do sujeito no conhecimento científico. O fato é que o estado de crise da matemática é gerado pela incerteza epistemológica da comparação entre o mundo do objeto (infinito) e o mundo do sujeito. O matemático como sujeito tem a possibilidade de escolher os meios de cognição - infinito potencial ou real. O uso do infinito potencial como um devir lhe dá a oportunidade de realizar, de construir um conjunto infinito de construções que podem ser construídas em cima de finitas, sem ter um passo finito, sem completar a construção, só isso é possível. O uso do infinito atual lhe dá a oportunidade de trabalhar com o infinito como já realizável, concluído em sua construção, como efetivamente dado ao mesmo tempo.

No estágio do semi-intuicionismo, o problema do infinito ainda não era independente, mas estava entrelaçado ao problema da construção de objetos matemáticos e formas de justificá-lo. O semi-intuicionismo de A. Poincaré e dos representantes da escola parisiense da teoria das funções Baire, Lebesgue e Borel foi direcionado contra a aceitação do axioma da livre escolha, que comprova o teorema de Zermelo, que afirma que qualquer conjunto pode ser feito completamente ordenados, mas sem especificar uma forma teórica de determinar os elementos de qualquer subconjunto dos conjuntos desejados. Não há como construir um objeto matemático, e não existe um objeto matemático em si. Os matemáticos acreditavam que a presença ou ausência de um método teórico para construir uma sequência de objetos de estudo pode servir de base para fundamentar ou refutar esse axioma. Na versão russa, o conceito semi-intuitivo nos fundamentos filosóficos da matemática foi desenvolvido na direção do efetivismo desenvolvido por N.N. Luzin. O efetivismo é uma oposição às principais abstrações da doutrina do infinito de Cantor – atualidade, escolha, indução transfinita, etc.

Para o efetivismo, a abstração da viabilidade potencial é epistemologicamente mais valiosa do que a abstração do infinito real. Graças a isso, torna-se possível introduzir o conceito de ordinais transfinitos (números ordinais infinitos) com base no conceito efetivo de crescimento de funções. A configuração epistemológica do efetivismo para mostrar o contínuo (continuum) baseou-se nas médias discretas (aritmética) e na teoria descritiva dos conjuntos (funções) criada por N.N. Luzin. O intuicionismo do holandês L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting vê como um objeto tradicional de estudo as sequências emergentes livremente de vários tipos. Nesse estágio, resolvendo problemas matemáticos propriamente ditos, incluindo a reestruturação de toda a matemática em uma nova base, os intuicionistas levantaram a questão filosófica do papel do matemático como sujeito cognoscente. Qual é a sua posição, onde ele é mais livre e ativo na escolha dos meios de cognição? Os intuicionistas foram os primeiros (e na fase do semi-intuicionismo) a criticar o conceito de infinito real, a teoria dos conjuntos de Cantor, vendo nela a violação da capacidade do sujeito de influenciar o processo de busca científica de uma solução para um problema construtivo . No caso de usar infinito potencial, o sujeito não se ilude, pois para ele a ideia de infinito potencial é intuitivamente muito mais clara do que a ideia de infinito real. Para um intuicionista, um objeto é considerado existente se for dado diretamente a um matemático ou se o método de construção for conhecido. De qualquer forma, o sujeito pode iniciar o processo de completar a construção de uma série de elementos de seu conjunto. O objeto não construído não existe para os intuicionistas. Ao mesmo tempo, o sujeito que trabalha com o infinito atual será privado dessa oportunidade e sentirá a dupla vulnerabilidade da posição adotada:

1) nunca é possível realizar essa construção infinita;

2) ele decide operar com o infinito atual como com um objeto finito, e nesse caso perde sua especificidade do conceito de infinito. O intuicionismo limita conscientemente as possibilidades de um matemático pelo fato de que ele pode construir objetos matemáticos exclusivamente por meios que, embora obtidos com a ajuda de conceitos abstratos, são eficazes, convincentes, comprováveis, funcionalmente construtivos precisamente na prática e são eles próprios intuitivamente claros como construções, construções, cuja confiabilidade na prática, não há dúvida. O intuicionismo, apoiando-se no conceito de infinito potencial e métodos de pesquisa construtivos, lida com a matemática do devir, a teoria dos conjuntos refere-se à matemática do ser.

Para o intuicionista Brouwer, como representante do empirismo matemático, a lógica é secundária; ele a critica e a lei do terceiro excluído.

Em suas obras parcialmente místicas, ele não nega a existência do infinito, mas não permite sua atualização, apenas potencialização. O principal para ele é a interpretação e justificação dos meios lógicos e raciocínio matemático usados ​​na prática. A restrição adotada pelos intuicionistas supera a incerteza do uso do conceito de infinito na matemática e expressa o desejo de superar a crise na fundação da matemática.

O ultra-intuicionismo (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov e outros) é a última etapa do desenvolvimento do intuicionismo, na qual suas ideias principais são modernizadas, suplementadas e transformadas significativamente, sem alterar sua essência, mas superando deficiências e fortalecendo aspectos positivos, guiados por os critérios de rigor matemático. A fraqueza da abordagem intuicionista era uma compreensão estreita do papel da intuição como a única fonte de justificativa para a correção e eficácia dos métodos matemáticos. Tomando a “clareza intuitiva” como critério de verdade em matemática, os intuicionistas empobreceram metodologicamente as possibilidades de um matemático como sujeito do conhecimento, reduziram sua atividade apenas a operações mentais baseadas na intuição e não incluíram a prática no processo de conhecimento matemático. O programa ultra-intuitivo de fundamentar a matemática é uma prioridade russa. Assim, os matemáticos domésticos, superando as limitações do intuicionismo, adotaram a metodologia eficaz da dialética materialista, reconhecendo a prática humana como fonte de formação tanto de conceitos matemáticos quanto de métodos matemáticos (inferências, construções). Os ultraintuicionistas resolveram o problema da existência de objetos matemáticos, baseando-se não no conceito subjetivo indefinido de intuição, mas na prática matemática e em um mecanismo específico para construir um objeto matemático - um algoritmo expresso por uma função recursiva computável.

O ultra-intuicionismo potencializa as vantagens do intuicionismo, que consistem na possibilidade de ordenar e generalizar os métodos de resolução de problemas construtivos utilizados por matemáticos de qualquer direção. Portanto, o intuicionismo do último estágio (ultraintuicionismo) está próximo do construtivismo em matemática. No aspecto epistemológico, as principais ideias e princípios do ultraintuicionismo são: crítica à axiomática clássica da lógica; o uso e fortalecimento significativo (nas instruções explícitas de A.A. Markov) do papel da abstração da identificação (abstração mental das propriedades diferentes dos objetos e o isolamento simultâneo das propriedades gerais dos objetos) como uma forma de construir e entender construtivamente o abstrato conceitos, julgamentos matemáticos; prova da consistência de teorias consistentes. No aspecto formal, a aplicação da abstração da identificação é justificada por suas três propriedades (axiomas) de igualdade - reflexividade, transitividade e simetria.

Para resolver a principal contradição da matemática sobre o problema do infinito, que deu origem a uma crise de seus fundamentos, no estágio do ultra-intuicionismo nas obras de A.N. Kolmogorov sugeriu saídas para a crise resolvendo o problema das relações entre lógica clássica e intuicionista, matemática clássica e intuicionista. O intuicionismo de Brouwer geralmente negava a lógica, mas como qualquer matemático não pode prescindir da lógica, a prática do raciocínio lógico ainda era preservada no intuicionismo, alguns princípios da lógica clássica eram permitidos, que tinham a axiomática como base. SK Kleene, R. Wesley ainda observam que a matemática intuicionista pode ser descrita como uma espécie de cálculo, e o cálculo é uma forma de organizar o conhecimento matemático com base na lógica, formalização e sua forma - algoritmização. Uma nova versão da relação entre lógica e matemática dentro da estrutura de requisitos intuicionistas para clareza intuitiva de julgamentos, especialmente aqueles que incluíam negação, A.N. Kolmogorov propôs o seguinte: ele apresentou a lógica intuicionista, intimamente relacionada à matemática intuicionista, na forma de um cálculo mínimo implicativo axiomático de proposições e predicados. Assim, o cientista apresentou um novo modelo de conhecimento matemático, superando as limitações do intuicionismo em reconhecer apenas a intuição como meio de cognição e as limitações do logicismo, que absolutiza as possibilidades da lógica na matemática. Essa posição permitiu demonstrar de forma matemática a síntese do intuitivo e do lógico como base da racionalidade flexível e sua eficácia construtiva.

Assim, o aspecto epistemológico do conhecimento matemático nos permite avaliar as mudanças revolucionárias na fase de crise dos fundamentos da matemática na virada dos séculos XIX-XX. de novas posições na compreensão do processo de cognição, a natureza e o papel do sujeito nele. O sujeito epistemológico da teoria tradicional do conhecimento, correspondente ao período de dominação da abordagem teórica dos conjuntos na matemática, é um sujeito abstrato, incompleto, “parcial”, representado nas relações sujeito-objeto, arrancado por abstrações, lógica, formalismo da realidade, conhecendo racionalmente, teoricamente seu objeto e entendido como um espelho, refletindo e copiando com precisão a realidade. De fato, o sujeito foi excluído da cognição como processo real e resultado da interação com o objeto. A entrada do intuicionismo na arena da luta de tendências filosóficas na matemática levou a uma nova compreensão do matemático como sujeito do conhecimento - uma pessoa que sabe, cuja abstração filosófica deve ser construída, por assim dizer, de novo. O matemático apareceu como um sujeito empírico, já entendido como uma pessoa real integral, incluindo todas aquelas propriedades que foram abstraídas no sujeito epistemológico - concretude empírica, variabilidade, historicidade; é um agir e conhecer na cognição real, um sujeito criativo, intuitivo, inventivo. A filosofia da matemática intuicionista tornou-se a base, o fundamento do paradigma epistemológico moderno, construído sobre o conceito de racionalidade flexível, em que uma pessoa é um sujeito integral (holístico) da cognição, possuindo novas qualidades cognitivas, métodos, procedimentos; ele sintetiza sua natureza e forma abstrato-epistemológica e lógico-metodológica, e ao mesmo tempo recebe uma compreensão existencial-antropológica e "histórico-metafísica".

Um ponto importante também é a intuição na cognição e, em particular, na formação de conceitos matemáticos. Novamente, há uma luta com a filosofia, tentativas de excluir a lei do terceiro excluído, como não tendo significado na matemática e vindo da filosofia. No entanto, a presença de uma ênfase excessiva na intuição e a falta de justificativas matemáticas claras não permitiram transferir a matemática para uma base sólida.

No entanto, após o surgimento de um conceito rigoroso de algoritmo na década de 1930, a batuta do intuicionismo foi assumida pelo construtivismo matemático, cujos representantes deram uma contribuição significativa para a moderna teoria da computabilidade. Além disso, nas décadas de 1970 e 1980, foram descobertas conexões significativas entre algumas das ideias dos intuicionistas (mesmo aquelas que antes pareciam absurdas) e a teoria matemática do topos. A matemática encontrada em alguns topoi é muito semelhante àquela que os intuicionistas estavam tentando criar.

Como resultado, pode-se fazer uma afirmação: a maioria dos paradoxos acima simplesmente não existe na teoria dos conjuntos com autopropriedade. Se tal abordagem é definitiva é discutível, trabalhos futuros nesta área mostrarão.

Conclusão

A análise dialético-materialista mostra que os paradoxos são consequência da dicotomia entre linguagem e pensamento, uma expressão de profundas dificuldades dialéticas (o teorema de Gödel tornou possível manifestar a dialética no processo de cognição) e epistemológicas associadas aos conceitos de objeto e sujeito área em lógica formal, um conjunto (classe) em lógica e teoria dos conjuntos, com o uso do princípio de abstração, que permite introduzir novos objetos (abstratos) (infinito), com métodos para definir objetos abstratos na ciência, etc. Portanto, um maneira universal de eliminar todos os paradoxos não pode ser dada.

Se a terceira crise da matemática acabou (porque estava em uma relação causal com os paradoxos; agora os paradoxos são parte integrante) - as opiniões divergem aqui, embora os paradoxos formalmente conhecidos tenham sido eliminados em 1907. No entanto, agora na matemática existem outras circunstâncias que podem ser consideradas crises ou prenunciando uma crise (por exemplo, a ausência de uma justificativa rigorosa para a integral de caminho).

Quanto aos paradoxos, o conhecido paradoxo do mentiroso desempenhou um papel muito importante na matemática, assim como toda uma série de paradoxos na chamada teoria dos conjuntos ingênua (precedente axiomática) que causou uma crise de fundamentos (um desses paradoxos desempenhou um papel fatal na vida de G. Frege). Mas, talvez, um dos fenômenos mais subestimados da matemática moderna, que pode ser chamado de paradoxal e de crise, é a solução de Paul Cohen em 1963 para o primeiro problema de Hilbert. Mais precisamente, não o próprio fato da decisão, mas a natureza dessa decisão.

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A descrição da área temática (a criação de sua ontologia) começa com a seleção de objetos e sua classificação, que tradicionalmente consiste em compilar uma árvore de classes de subclasses e atribuir indivíduos a elas. Ao mesmo tempo, o termo “classe”, de fato, é usado no significado de “conjunto”: a referência de um objeto a uma classe é pensada como incluindo-o como um elemento no conjunto correspondente. O objetivo deste texto é mostrar que tal abordagem unificada para descrever a estrutura da área temática é uma forte simplificação e não permite fixar a variedade de relações semânticas dos objetos.

Vejamos três opções para classificar o indivíduo Bug:

1. Animal - cachorro - husky - Bug.
2. Serviço - equitação - Bug.
3. Canil - equipe de cães - Zhuchka.

A primeira sequência de entidades subordinadas é descrita sem ambiguidade pela especificação de classes e subclasses: o bug é um indivíduo da classe “like”, a classe “like” é uma subclasse de cães e aquela é uma subclasse da classe “animal”. . Neste caso, a classe "animais" é tratada como um conjunto de todos os animais, e a classe "curtidas" como um subconjunto do conjunto "cachorros". No entanto, tal descrição, apesar de ser bastante clara, é significativamente tautológica, auto-referencial: chamamos o Inseto individual de husky se estiver incluído no conjunto de huskies, e o próprio conjunto de huskies é definido como o totalidade de todos os indivíduos dos huskies - ou seja, inclusão no conjunto de nomes duplicados significativos. Além disso, a descrição de um conjunto de classes é completamente esgotada pela descrição de um indivíduo que se enquadra no conceito que define a classe. Deve-se notar também que a operação de tais conjuntos de classes não depende do número de elementos neles: o husky do Inseto será um husky mesmo quando for o único e último husky na Terra. Além disso, podemos operar com tais conjuntos de classes mesmo na ausência de indivíduos neles: podemos construir uma ontologia de dinossauros já extintos, pensar em uma classe que somente no futuro incluirá um dispositivo único sendo projetado ou construir um modelo da área de assunto de animais míticos, heróis de contos de fadas, embora ao mesmo tempo a cardinalidade de todos os conjuntos de classes seja igual a zero.

Então, se falamos do lado do conteúdo da classificação analisada (animal - cachorro - husky - Bug), então ele (o lado do conteúdo) não pode ser expresso de forma alguma através da relação de conjuntos e subconjuntos. Neste caso, estamos lidando com conceituação - a seleção de conceitos e estabelecendo relações gênero-espécie entre eles. Ao mesmo tempo, o número real de elementos da classe conceitual, ou seja, o escopo do conceito, não aparece em sua definição e é mencionado (e mesmo assim não significativamente) apenas quando um conceito (“like”) cai sob outro (“cão”), isto é, quando como uma espécie de gênero. Sim, podemos afirmar que a abrangência do conceito "cão" é maior que a abrangência do conceito "como", mas a proporção numérica real desses conjuntos não tem nenhum significado ontológico. Exceder o volume de uma classe do volume de uma subclasse nas relações gênero-espécie reflete apenas o fato de que, de acordo com a definição de gênero, ele deve incluir várias espécies - caso contrário, essa classificação perde o sentido. Ou seja, na classificação conceitual gênero-espécie, estamos interessados ​​no conteúdo dos conceitos - como o tipo "cachorro" difere do tipo "gato" (que também se enquadra no conceito genérico de "animal" para eles), e não como os volumes dos conjuntos de gênero e espécie estão relacionados e mais ainda os volumes de conceitos específicos (“cachorro” e “gato”). E para distinguir classes conceituais de conjuntos verdadeiramente contáveis, seria mais correto falar de caindo no conceito e não sobre inclusão em uma classe/conjunto. É claro que na notação formal, as afirmações “pertence ao conceito de X” e “é um elemento da classe X” podem parecer iguais, mas não entender a diferença essencial entre essas duas descrições pode levar a sérios erros de interpretação. a construção da ontologia.

Na segunda variante (serviço - condução - Bug), também não nos interessa comparar o conceito de "condução" com qualquer conjunto: o conteúdo semântico do enunciado "Bug - condução" não depende de ser a única condução um ou muitos deles. Parece que aqui estamos lidando com relações gênero-espécie: o conceito de "condução" pode ser considerado específico em relação ao conceito genérico de "serviço". Mas a conexão do indivíduo "Inseto" com o conceito de "condução" difere significativamente da conexão com o conceito de "como": o segundo conceito, conceitual, é imanente e invariavelmente inerente ao indivíduo, e o primeiro reflete o local em tempo especialização. O bicho não nasceu como cavaleiro, e talvez com a idade possa deixar de sê-lo e passar para a categoria de guardas, e na velhice, em geral, perder qualquer “profissão”. Ou seja, falando em especialização, podemos sempre destacar os eventos de aquisição e perda de conexão com um determinado conceito. Por exemplo, o Bug poderia ser reconhecido como o campeão absoluto da raça, e então perder esse título, o que é fundamentalmente impossível com conceitos conceituais: o Bug do nascimento à morte, ou seja, durante todo o período de sua existência como indivíduo, é um cão e um husky. Assim, uma pessoa permanece o conceito de “homem” por toda a sua vida, mas situacionalmente (de evento para evento) pode se enquadrar nos conceitos especializados de “aluno”, “aluno”, “médico”, “marido”, etc. notado, a conexão com esses conceitos não significa de forma alguma a inclusão em um determinado conjunto (embora possa parecer assim) - a atribuição de um conceito especializado é sempre o resultado de uma relação específica de um indivíduo com outros indivíduos: entrar em um escola, universidade, obtenção de diploma, registro de casamento, etc. Portanto, conceitos de especialização também podem ser chamados relacional. Dos exemplos acima, segue outra diferença significativa entre a classificação conceitual e a especialização: um indivíduo pode ter várias especializações (um inseto pode ser um cão de trenó e um campeão da raça, uma pessoa é um estudante e um marido), mas não pode simultaneamente insira mais de uma hierarquia conceitual (um bug não pode ser um cachorro e um gato).

E apenas na terceira versão da descrição de Zhuchka - como pertencente a um certo canil e como membro de uma equipe específica puxando trenós pela tundra - é simplesmente necessário mencionar a multidão. Somente neste caso, temos o direito de dizer que um indivíduo é um elemento de um conjunto concreto com um número contável de elementos, e não se enquadra no conceito, que pode ser representado como um conjunto abstrato, fixando condicionalmente o escopo de este conceito. E aqui é importante que um indivíduo seja parte de outro indivíduo, inicialmente definido como um conjunto: um canil e uma equipe são necessariamente um conjunto não vazio de cães, e o número de elementos desse conjunto está necessariamente incluído em suas definições como indivíduos. Ou seja, neste caso, devemos falar sobre a relação parte-todo: O bug faz parte do canil e faz parte da equipe. Além disso, a entrada ou não do Bug em uma determinada equipe altera seu conteúdo (equipe): se tivéssemos uma equipe-dois, então após a remoção do Bug, a equipe se transforma em uma única equipe. Nesses casos, estamos lidando não apenas com um conjunto contável (cães em um canil), mas com um indivíduo cuja essência muda quando a composição de seus elementos muda, é determinada por essa composição, ou seja, com sistema. Se um canil é apenas um grupo individual, descrito por meio de um conjunto de elementos incluídos nele, uma equipe é um sistema, cuja essência depende do número e das especificidades de suas partes.

Portanto, ao construir uma ontologia de uma área temática, pode-se destacar conjuntos de objetos reais, definidos precisamente como uma coleção de um certo número de indivíduos. São eles: uma aula na escola, mercadorias em uma caixa em um depósito, partes de um bloco de dispositivo eletrônico, etc. E esses conjuntos podem ser subconjuntos de outros conjuntos contáveis ​​reais: todos os alunos em uma escola, todos os bens em um partes de um dispositivo. Ao distinguir esses conjuntos, é essencial que eles (esses conjuntos) atuem como indivíduos independentes (uma equipe, um lote de mercadorias, um conjunto de peças), cujo principal atributo é justamente o número de elementos neles incluídos. Além disso, uma mudança nesse atributo pode levar a uma mudança no status do objeto, por exemplo, com o aumento do número de elementos, transformar um quarteto em quinteto ou um regimento em brigada. Também é importante que a descrição desses objetos-conjuntos, objetos complexos, não se limite à descrição dos indivíduos neles incluídos, embora possa incluir uma indicação do tipo admissível destes últimos (quarteto de cordas, equipe de cavalos). E tais relacionamentos - não entre conjuntos abstratos, mas entre conjuntos que são indivíduos, objetos complexos - são descritos com mais precisão como relacionamentos parte-todo, e não classe-subclasse.

Assim, a classificação tradicional dos indivíduos, atribuindo-os a determinados conjuntos de classes, não pode ser considerada homogênea. É preciso distinguir entre (1) a inclusão de indivíduos como partes de um objeto complexo (todo), cuja especificidade semântica não se limita à descrição de seus elementos. Ao mesmo tempo (1.1.), um objeto-todo pode ser considerado apenas como um conjunto nomeado de indivíduos (partes de um pacote, uma coleção de pinturas), para o qual, de fato, apenas o número de partes é importante. Esses objetos podem ser chamados grupos (ou coleções)). Também (1.2.) um objeto-todo pode ser significativamente (e não apenas quantitativamente) determinado por suas partes e, como resultado, ter atributos que as partes não possuem. Tal integridade é tradicionalmente chamada sistemas, e partes de sistemas - elementos. A segunda opção para descrever objetos atribuindo-os a subclasses é (2) a queda dos indivíduos sob o conceito, que só pode ser formalmente, tautológicamente descrita como a inclusão de indivíduos em um conjunto cujo poder é igual ao poder do conceito. A descrição conceitual dos indivíduos, por sua vez, pode ser classificada em (2.1) conceptual, fixando globalmente o tipo do indivíduo, e (2.2) especializado (relacional), localmente no tempo e no espaço (em termos de eventos) conectando o indivíduo com outros objetos.

O raciocínio acima, em primeiro lugar, levanta a questão da suficiência e adequação da abordagem tradicional para descrever a área temática usando uma classificação baseada na teoria dos conjuntos. E a conclusão é proposta: para fixar toda a variedade de relacionamentos de objetos em ontologias, são necessárias ferramentas de classificação mais diferenciadas (grupos, sistemas, conceitos conceituais e especializados). O formalismo da teoria dos conjuntos só pode ser usado como uma simplificação local para as necessidades de inferência, e não como o principal método de descrição.