Na projeção isométrica, todos os coeficientes são iguais entre si:

k = t = n;

3 para 2 = 2,

k = yj 2UZ - 0,82.

Portanto, ao construir uma projeção isométrica, as dimensões do objeto, plotadas ao longo dos eixos axonométricos, são multiplicadas por 0,82. Tal recálculo de tamanhos é inconveniente. Portanto, por simplicidade, geralmente é realizada uma projeção isométrica sem reduzir o tamanho (distorção) ao longo dos eixos x, y, eu, Essa. tome o coeficiente de distorção reduzido igual à unidade. A imagem resultante do objeto na projeção isométrica é um pouco maior do que na realidade. O aumento neste caso é de 22% (expresso como o número 1,22 = 1: 0,82).

Cada segmento direcionado ao longo dos eixos x, y, z ou paralelo a eles, mantém sua magnitude.

A localização dos eixos de projeção isométrica é mostrada na fig. 6.4. Na fig. 6.5 e 6.6 mostram ortogonal (uma) e isométrico (b) projeção pontual MAS e segmento L NO.

Prisma hexagonal em isometria. A construção de um prisma hexagonal de acordo com este desenho em um sistema de projeções ortogonais (à esquerda na Fig. 6.7) é mostrada na Fig. 6.7. No eixo isométrico EU adiar altura H, desenhar linhas paralelas aos eixos oi. Marcar em uma linha paralela ao eixo X, posição dos pontos / e 4.

Para construir um ponto 2 determine as coordenadas deste ponto no desenho - x 2 e às 2 e, deixando de lado essas coordenadas na imagem axonométrica, construa um ponto 2. Os pontos são construídos da mesma maneira. 3, 5 e 6.

Os pontos construídos da base superior são conectados entre si, uma borda é desenhada do ponto / até a interseção com o eixo x, então -

bordas pontilhadas 2 , 3, 6. As nervuras da base inferior são traçadas paralelamente às nervuras da superior. Construindo um ponto EU, localizado na face lateral, ao longo das coordenadas x A(ou em A) e 1A evidente de

Isometria circular. Os círculos em isometria são representados como elipses (Fig. 6.8) indicando os valores dos eixos das elipses para os coeficientes de distorção reduzidos iguais a um.

O eixo maior das elipses está a 90° para elipses situadas NO PLANO xC>1 para OSI sim, NO AVIÃO 01 PARA O EIXO X, no plano hoy Para OSI?

Ao construir uma imagem isométrica à mão (como um desenho), uma elipse é executada em oito pontos. Por exemplo, bandejas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 (ver figura 6.8). pontos 1, 2, 3 e 4 são encontrados nos eixos axonométricos correspondentes, e os pontos 5, 6, 7 e 8 são construídos de acordo com os valores dos eixos maiores e menores correspondentes da elipse. Ao desenhar elipses em projeção isométrica, você pode substituí-las por ovais e construí-las da seguinte forma 1 . A construção é mostrada na fig. 6.8 no exemplo de uma elipse em um plano xOz. Do ponto / a partir do centro, faça um entalhe com um raio R=D na continuação do eixo menor da elipse no ponto O, (eles também constroem um ponto simétrico a ele da mesma maneira, o que não é mostrado no desenho). Do ponto O, como desenhar um arco a partir do centro CGC raio D, que é um dos arcos que compõem o contorno da elipse. Do ponto O, a partir do centro, traça-se um arco de raio O^Gà intersecção com o eixo maior da elipse nos pontos UO Passando pelos pontos O p 0 3 linha reta, encontrada na interseção com o arco CGC apontar PARA, que define 0 3K- o valor do raio do arco de fechamento da oval. pontos Para são também os pontos de conjugação dos arcos que compõem a oval.

Cilindro isométrico. A imagem isométrica de um cilindro é determinada pelas imagens isométricas dos círculos de sua base. Construção em isometria de um cilindro com altura H de acordo com o desenho ortogonal (Fig. 6.9, esquerda) e o ponto C em sua superfície lateral é mostrado na fig. 6.9, certo.

Sugerido por Yu.B. Ivanov.

Um exemplo de construção em uma projeção isométrica de um flange redondo com quatro furos cilíndricos e um triangular é mostrado na fig. 6.10. Ao construir os eixos de furos cilíndricos, bem como as arestas de um furo triangular, foram utilizadas suas coordenadas, por exemplo, as coordenadas x 0 e y 0 .

Construção de uma imagem axonométrica de uma peça, cujo desenho é mostrado na Fig.a.

Todas as projeções axonométricas devem ser realizadas de acordo com GOST 2.317-68.

As projeções axonométricas são obtidas projetando um objeto e seu sistema de coordenadas associado em um plano de projeção. As axonometrias são divididas em retangulares e oblíquas.

Para projeções axonométricas retangulares, a projeção é perpendicular ao plano de projeção e o objeto é posicionado de forma que todos os três planos do objeto sejam visíveis. Isso é possível, por exemplo, quando os eixos estão localizados como em uma projeção isométrica retangular, para a qual todos os eixos de projeção estão localizados em um ângulo de 120 graus (ver Fig. 1). A palavra projeção "isométrica" ​​significa que o coeficiente de distorção em todos os três eixos é o mesmo. De acordo com a norma, o coeficiente de distorção ao longo dos eixos pode ser tomado igual a 1. O coeficiente de distorção é a razão entre o tamanho do segmento de projeção e o tamanho real do segmento na peça, medido ao longo do eixo.

Vamos construir uma axonometria da peça. Primeiro, vamos definir os eixos, como para uma projeção isométrica retangular. Vamos começar da fundação. Deixemos de lado o valor do comprimento da peça 45 ao longo do eixo x e o valor da largura da peça 30 ao longo do eixo y. Nas imagens axonométricas, ao aplicar cotas, linhas de extensão são traçadas paralelas aos eixos axonométricos, linhas de cota - paralelas ao segmento medido.

Em seguida, desenhamos as diagonais da base superior e encontramos o ponto pelo qual passará o eixo de rotação do cilindro e do furo. Apagamos as linhas invisíveis da base inferior para que não interfiram em nossa construção posterior (Fig. 3)

.

A desvantagem de uma projeção isométrica retangular é que os círculos em todos os planos serão projetados em elipses na imagem axonométrica. Portanto, primeiro vamos aprender a construir aproximadamente elipses.

Se um círculo está inscrito em um quadrado, então 8 pontos característicos podem ser marcados nele: 4 pontos de contato entre o círculo e o meio do lado do quadrado e 4 pontos de interseção das diagonais do quadrado com o círculo ( Fig. 4, a). A Fig. 4c e a Fig. 4b mostram a maneira exata de construir os pontos de intersecção da diagonal de um quadrado com um círculo. A Figura 4e mostra um método aproximado. Ao construir projeções axonométricas, metade da diagonal do quadrilátero no qual o quadrado é projetado será dividida na mesma proporção.

Transferimos essas propriedades para nossa axonometria (Fig. 5). Construímos uma projeção de um quadrilátero no qual um quadrado é projetado. Em seguida, construímos uma elipse Fig.6.

Em seguida, subimos a uma altura de 16 mm e transferimos a elipse para lá (Fig. 7). Removemos linhas extras. Voltamo-nos para a construção de buracos. Para isso, construímos uma elipse no topo, na qual se projeta um furo de diâmetro 14 (Fig. 8). Além disso, para mostrar um furo com um diâmetro de 6 mm, é necessário cortar mentalmente um quarto da peça. Para fazer isso, vamos construir o meio de cada lado, como na Fig. 9. Em seguida, construímos uma elipse correspondente a um círculo de diâmetro 6 na base inferior e, a uma distância de 14 mm da parte superior da parte, já desenhamos duas elipses (uma correspondente a um círculo com diâmetro de 6, e o outro correspondente a um círculo com diâmetro de 14) Fig.10. Em seguida, cortamos um quarto da peça e removemos as linhas invisíveis (Fig. 11).

Vamos prosseguir para a construção do reforço. Para fazer isso, no plano superior da base, medimos 3 mm da borda da peça e desenhamos um segmento com metade da espessura da nervura (1,5 mm) de comprimento (Fig. 12), marcamos também a nervura na lado distante da peça. Um ângulo de 40 graus não nos convém ao construir a axonometria, então calculamos a segunda perna (será igual a 10,35 mm) e construímos o segundo ponto do ângulo ao longo do plano de simetria usando-o. Para construir a borda da nervura, construímos uma linha reta a uma distância de 1,5 mm do eixo no plano superior da peça, depois desenhamos as linhas paralelas ao eixo x até cruzarem com a elipse externa e inferior a reta vertical. Desenhe uma linha reta através do ponto inferior do limite da nervura paralela à nervura ao longo do plano de corte (Fig. 13) até cruzar com a linha vertical. Em seguida, conectamos o ponto de interseção com um ponto no plano de corte. Para construir a borda mais distante, desenhamos uma linha reta paralela ao eixo X a uma distância de 1,5 mm até a interseção com a elipse externa. Em seguida, encontramos a distância na qual o ponto superior do limite da nervura é (5,24 mm) e separamos a mesma distância em uma linha reta vertical do lado mais distante da peça (veja a Fig. 14) e a conectamos ao lado mais distante ponto inferior da costela.

Removemos as linhas extras e hachuramos os planos de corte. As linhas hachuradas das seções nas projeções axonométricas são aplicadas paralelamente a uma das diagonais das projeções dos quadrados situados nos planos coordenados correspondentes, cujos lados são paralelos aos eixos axonométricos (Fig. 15).

Para uma projeção isométrica retangular, as linhas de hachura serão paralelas às linhas de hachura mostradas no diagrama no canto superior direito (Fig. 16). Resta descrever os orifícios laterais. Para fazer isso, marcamos os centros dos eixos de rotação dos furos e construímos elipses, conforme indicado acima. Da mesma forma, construímos raios de arredondamento (Fig. 17). A axonometria final é mostrada na Fig.18.

Para projeções oblíquas, a projeção é realizada em um ângulo em relação ao plano de projeção, diferente de 90 e 0 graus. Um exemplo de uma projeção oblíqua é a projeção dimétrica frontal oblíqua. É bom porque no plano dado pelos eixos X e Z, círculos paralelos a este plano serão projetados para o valor verdadeiro (o ângulo entre os eixos X e Z é de 90 graus, o eixo Y é inclinado em um ângulo de 45 graus no horizonte). Projeção "dimétrica" ​​significa que os coeficientes de distorção ao longo dos dois eixos X e Z são os mesmos, ao longo do eixo Y o coeficiente de distorção é duas vezes menor.

Ao escolher uma projeção axonométrica, é necessário se esforçar para que o maior número de elementos seja projetado sem distorção. Portanto, ao escolher a posição de uma peça em uma projeção dimétrica frontal oblíqua, ela deve ser posicionada de forma que os eixos do cilindro e furos fiquem perpendiculares ao plano de projeção frontal.

A disposição dos eixos e a imagem axonométrica da peça "Rack" em uma projeção dimétrica frontal oblíqua é mostrada na Fig.18.

Uma variedade das quais são axonométricas e, incluindo projeções isométricas, também são divididas em ortogonais (perpendiculares), com a direção de projeção perpendicular ao plano de projeção, e oblíquas, com um ângulo entre a direção e o plano diferente do direito . De acordo com os padrões soviéticos (veja), as projeções axonométricas podem ser ortogonais e oblíquas. Pelos padrões ocidentais, as projeções axonométricas são apenas projeções ortogonais e as projeções oblíquas são consideradas separadamente. Como resultado, de acordo com os padrões ocidentais, a projeção isométrica é definida de forma mais restrita e, além da igualdade de escala ao longo dos eixos, inclui a condição de igualdade de ângulos de 120° entre as projeções de qualquer par de eixos. Para evitar confusão, a menos que especificado de outra forma, a projeção isométrica significa apenas vista isométrica retangular.

Vistas isométricas padrão

Projeção isométrica retangular (ortogonal)

Em uma projeção isométrica retangular, os eixos axonométricos formam ângulos de 120° entre si, o eixo Z" é direcionado verticalmente. Os coeficientes de distorção () têm um valor numérico. Via de regra, para simplificar as construções, é realizada a projeção isométrica sem distorção ao longo dos eixos, ou seja, o coeficiente de distorção é tomado igual a 1, neste caso, obtém-se um aumento nas dimensões lineares por um fator de 1.

vista isométrica frontal oblíqua

O eixo Z" é direcionado verticalmente, o ângulo entre o eixo X e Z" é de 90°, o eixo Y é inclinado 135° (120° e 150° são permitidos) a partir do eixo Z".

A projeção isométrica frontal é realizada ao longo dos eixos X", Y" e Z" sem distorção.

As curvas paralelas ao plano frontal são projetadas sem distorção.

vista isométrica horizontal oblíqua

O eixo Z" é direcionado verticalmente, entre o eixo Z" e o eixo Y" o ângulo de inclinação é de 120° (são permitidos 135° e 150°), mantendo o ângulo entre os eixos X" e Y" igual a 90 °.

Uma projeção isométrica horizontal é realizada sem distorção ao longo dos eixos X", Y" e Z".

Limitações da projeção axonométrica

Projeção isométrica em jogos de computador e pixel art

Desenho de um aparelho de TV em pixel art quase isométrico. O padrão de pixel tem uma proporção de 2:1

Notas

1. De acordo com GOST 2 .317-69 - Sistema unificado para documentação de projeto. Projeções axonométricas.
2. Aqui, o plano horizontal é o plano perpendicular ao eixo Z (que é o protótipo do eixo Z").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Projeções Geométricas Planares e Transformações de Visualização // Pesquisas Computacionais ACM (CSUR): revista. - ACM, dezembro de 1978. - Vol. 10. - No. 4. - S. 465-502. - ISSN 0360-0300. - DOI:10.1145/356744.356750
4. Jeff Verde. Visualização do GameSpot: Arcanum (inglês) . GameSpot (29 de fevereiro de 2000). (link indisponível - história) Recuperado em 29 de setembro de 2008.
5. Steve Butts. SimCity 4: Prévia da hora do rush. IGN (9 de setembro de 2003). Arquivado
6. GDC 2004: A História de Zelda (Inglês). IGN (25 de março de 2004). Arquivado do original em 19 de fevereiro de 2012. Recuperado em 29 de setembro de 2008.

Instrução

Construa com régua e transferidor ou compasso e régua para uma projeção isométrica retangular (orogonal). Neste tipo de projeção axonométrica, todos os três eixos - OX, OY, OZ - são ângulos de 120° entre si, enquanto o eixo OZ tem orientação vertical.

Para simplificar, desenhe uma projeção isométrica sem distorção ao longo dos eixos, pois é costume igualar o fator de distorção isométrica a um. A propósito, “isométrico” em si significa “tamanho igual”. De fato, ao exibir um objeto tridimensional em um plano, a razão entre o comprimento de qualquer segmento projetado paralelo ao eixo de coordenadas e o comprimento real desse segmento é igual a 0,82 para todos os três eixos. Portanto, as dimensões lineares do objeto em isometria (com o coeficiente de distorção aceito) aumentam 1,22 vezes. Neste caso, a imagem permanece correta.

Comece a projetar o objeto no plano axonométrico a partir de sua face superior. Meça ao longo do eixo OZ a partir do centro de interseção dos eixos coordenados a altura da peça. Desenhe linhas finas para os eixos X e Y através deste ponto. A partir do mesmo ponto, reserve metade do comprimento da peça ao longo de um eixo (por exemplo, ao longo do eixo Y). Desenhe um segmento do tamanho necessário (largura da peça) através do ponto encontrado paralelo ao outro eixo (OX).

Agora, ao longo do outro eixo (OX), reserve metade da largura. Por este ponto, desenhe um segmento do tamanho desejado (comprimento da peça) paralelo ao primeiro eixo (OY). As duas linhas desenhadas devem se cruzar. Complete o resto da face superior.

Se este rosto tiver um buraco redondo, desenhe-o. Na isometria, um círculo é mostrado como uma elipse porque estamos olhando para ele de um ângulo. Calcule as dimensões dos eixos desta elipse com base no diâmetro do círculo. Eles são iguais: a = 1,22D e b = 0,71D. Se o círculo está localizado em um plano horizontal, o eixo a da elipse é sempre horizontal, o eixo b é sempre vertical. Neste caso, a distância entre os pontos da elipse no eixo X ou Y é sempre igual ao diâmetro do círculo D.

Desenhe a partir dos três cantos da face superior as arestas verticais iguais à altura da peça. Conecte as bordas através de seus pontos inferiores.

Se a forma tiver um buraco retangular, desenhe-o. Separe um segmento vertical (paralelo ao eixo Z) do comprimento desejado a partir do centro da borda da face superior. Através do ponto resultante, desenhe um segmento do tamanho necessário paralelo à face superior e, portanto, o eixo X. A partir dos pontos extremos desse segmento, desenhe arestas verticais do tamanho desejado. Conecte seus pontos inferiores. Do ponto inferior direito do losango desenhado, desenhe a borda interna do furo, que deve ser paralela ao eixo Y.

A construção das projeções axonométricas começa com os eixos axonométricos.

Posição dos eixos. Os eixos da projeção dimétrica frontal estão dispostos como mostrado na fig. 85, a: o eixo x é horizontal, o eixo z é vertical, o eixo y está em um ângulo de 45 ° com a linha horizontal.

O ângulo de 45° pode ser construído usando um esquadro de estiragem de 45°, 45° e 90°, conforme mostrado na fig. 85b.

A posição dos eixos de projeção isométrica é mostrada na fig. 85, g. Os eixos xey são colocados em um ângulo de 30° com a linha horizontal (ângulo de 120° entre os eixos). A construção dos eixos é convenientemente realizada usando um quadrado com ângulos de 30, 60 e 90 ° (Fig. 85, e).

Para construir os eixos de uma projeção isométrica usando um compasso, você precisa desenhar o eixo z, descrever a partir do ponto O um arco de raio arbitrário; sem alterar a solução do compasso, a partir do ponto de interseção do arco e do eixo z, faça serifas no arco, conecte os pontos resultantes ao ponto O.

Ao construir uma projeção dimétrica frontal ao longo dos eixos xez (e paralelamente a eles), as dimensões reais são deixadas de lado; ao longo do eixo y (e paralelamente a ele), as dimensões são reduzidas em 2 vezes, daí o nome "dimetria", que em grego significa "dupla dimensão".

Ao construir uma projeção isométrica ao longo dos eixos x, y, z e paralelo a eles, são estabelecidas as dimensões reais do objeto, daí o nome "isometria", que em grego significa "medidas iguais".

Na fig. 85, in e e mostra a construção de eixos axonométricos em papel forrado em gaiola. Neste caso, para obter um ângulo de 45°, as diagonais são desenhadas em células quadradas (Fig. 85, c). Uma inclinação do eixo de 30 ° (Fig. 85, d) é obtida com uma relação dos comprimentos dos segmentos 3: 5 (3 e 5 células).

Construção de projeções frontais dimétricas e isométricas. Construir projeções frontais dimétricas e isométricas da peça, das quais três vistas são mostradas na fig. 86.

A ordem de construção das projeções é a seguinte (Fig. 87):

1. Desenhe eixos. A face frontal da peça é construída, deixando de lado os valores reais da altura - ao longo do eixo z, comprimento - ao longo do eixo x (Fig. 87, a).

2. Dos vértices da figura resultante, paralelamente ao eixo v, são desenhadas nervuras que vão para a distância. A espessura da peça é colocada ao longo deles: para a projeção dimétrica frontal - reduzida em 2 vezes; para isometria - real (Fig. 87, b).

3. Através dos pontos obtidos, traçam-se retas paralelas às arestas da face frontal (Fig. 87, c).

4. Remova as linhas extras, trace o contorno visível e aplique as dimensões (Fig. 87, d).

Compare as colunas esquerda e direita na Fig. 87. O que é comum e qual a diferença entre as construções dadas neles?

A partir da comparação dessas figuras e do texto dado a elas, podemos concluir que a ordem de construção das projeções dimétricas e isométricas frontais é geralmente a mesma. A diferença está na localização dos eixos e no comprimento dos segmentos plotados ao longo do eixo y.

Em alguns casos, a construção de projeções axonométricas é mais conveniente a partir da construção da figura da base. Portanto, consideraremos como as figuras geométricas planas localizadas horizontalmente são representadas na axonometria.

A construção da projeção axonométrica do quadrado é mostrada na fig. 88, a e b.

Ao longo do eixo x está o lado do quadrado a, ao longo do eixo y - metade do lado a / 2 para a projeção dimétrica frontal e o lado a para a projeção isométrica. As extremidades dos segmentos são conectadas por linhas retas.

A construção de uma projeção axonométrica de um triângulo é mostrada na fig. 89, a e b.

Simetricamente ao ponto O (a origem dos eixos coordenados), metade do lado do triângulo a / 2 é colocado ao longo do eixo x, e sua altura h está ao longo do eixo y (para a projeção dimétrica frontal, metade da altura h/2). Os pontos resultantes são conectados por linhas retas.

A construção de uma projeção axonométrica de um hexágono regular é mostrada na fig. 90.

No eixo x, à direita e à esquerda do ponto O, coloque segmentos iguais ao lado do hexágono. Os segmentos s / 2 são dispostos ao longo do eixo y simetricamente ao ponto O, igual à metade da distância entre os lados opostos do hexágono (para a projeção dimétrica frontal, esses segmentos são divididos pela metade). A partir dos pontos m e n obtidos no eixo y, são desenhados segmentos à direita e à esquerda paralelos ao eixo x, iguais à metade do lado do hexágono. Os pontos resultantes são conectados por linhas retas.

Responda às perguntas

1. Como estão localizados os eixos das projeções frontal dimétrica e isométrica? Como eles são construídos?