Considere um sistema de m equações lineares contendo n variáveis

(1)

Este sistema pode ser escrito resumidamente como:

Ou em forma de matriz: Ax = B.

Em problemas de programação linear, são considerados sistemas de equações incertos, ou seja, tendo um número infinito de soluções. Então a classificação r da matriz do sistema

,
menor que o número de variáveis: rn. Isto significa que o número máximo de equações linearmente independentes em (1) é igual a r. Assumiremos que no sistema (1) o número de equações linearmente independentes é igual a m, ou seja, r = m. Da álgebra sabe-se que neste caso existem m variáveis, coeficientes que no sistema (1) formam uma matriz com um determinante diferente de zero. Tal determinante é chamado de básico menor e as variáveis ​​​​correspondentes são chamadas de básicas. As variáveis ​​n – m restantes são chamadas de variáveis ​​livres. Variáveis ​​​​básicas podem ser expressas por meio de variáveis ​​​​livres usando as equações do sistema (1), atribuir valores arbitrários às variáveis ​​​​livres e encontrar os valores das variáveis ​​​​básicas usando as fórmulas de Cramer. O resultado é uma das soluções para o sistema (1).

Definição 1. A solução do sistema de equações lineares (1), obtida com valores zero das variáveis ​​​​livres, é chamada de solução básica.

As variáveis ​​​​básicas e, portanto, os componentes diferentes de zero da solução básica, correspondem a colunas linearmente independentes da matriz de coeficientes do sistema de equações lineares. Isto nos permite dar uma definição diferente da solução básica de um sistema de equações lineares.

Definição 2. A solução básica de um sistema de equações lineares é uma solução deste sistema cujas componentes diferentes de zero correspondem a colunas linearmente independentes da matriz de coeficientes deste sistema.

As variáveis ​​de base podem ser grupos diferentes contendo m variáveis ​​das n variáveis ​​especificadas em (1). O número máximo possível de maneiras de selecionar m variáveis ​​de um conjunto contendo n variáveis ​​é igual ao número de combinações . Contudo, pode haver casos em que o determinante correspondente de uma matriz composta por coeficientes para m variáveis ​​selecionadas no sistema (1) seja igual a zero. Portanto, o número de grupos de variáveis ​​​​básicas não excede . Para cada grupo de variáveis ​​básicas, pode-se encontrar a solução básica correspondente do sistema (1). Do raciocínio acima segue o teorema:

Teorema. O número de soluções básicas de um sistema indeterminado (1), em que a classificação da matriz do sistemaR = eu < nnão excede .

Exemplo. Encontre todas as soluções básicas do sistema de equações (2):

(2)

Solução. Obviamente r=m=2, n=4. O número total de grupos de variáveis ​​básicas não é mais do que = 6. Porém, a primeira, segunda e quarta colunas dos coeficientes das variáveis ​​da matriz do sistema são proporcionais, portanto os determinantes de segunda ordem, compostos pelos coeficientes de quaisquer duas dessas três colunas, são iguais a zero. Conjuntos restantes:
,
E
.

Para um conjunto de variáveis
determinante composto por seus coeficientes d = = –2 0. Consequentemente, essas variáveis ​​podem ser consideradas variáveis ​​básicas,
- livre. Vamos atribuir valores zero às variáveis ​​​​livres:
Resolvemos o sistema:

(3)
, onde
.

Em geral, a equação linear tem a forma:

A equação tem solução: se pelo menos um dos coeficientes das incógnitas for diferente de zero. Neste caso, qualquer vetor dimensional é chamado de solução da equação se, ao substituir suas coordenadas, a equação se torna uma identidade.

Características gerais do sistema de equações resolvido

Exemplo 20.1

Descreva o sistema de equações.

Solução:

1. Existe uma equação contraditória envolvida?(Se os coeficientes, neste caso a equação tem a forma: e é chamada controverso.)

• Se um sistema contém algo contraditório, então tal sistema é inconsistente e não tem solução.

2. Encontre todas as variáveis ​​​​permitidas. (O desconhecido é chamadopermitido para um sistema de equações, se estiver incluído em uma das equações do sistema com coeficiente +1, mas não estiver incluído nas demais equações (ou seja, estiver incluído com coeficiente igual a zero).

3. O sistema de equações está resolvido? (O sistema de equações é chamado resolvido, se cada equação do sistema contém uma incógnita resolvida, entre as quais não há coincidentes)

As incógnitas resolvidas, retiradas uma de cada equação do sistema, formam conjunto completo de incógnitas resolvidas sistemas. (no nosso exemplo é)

As incógnitas permitidas incluídas no conjunto completo também são chamadas básico(), e não incluído no conjunto - livre ().

No caso geral, o sistema de equações resolvido tem a forma:

Nesta fase, o principal é entender o que é resolvido desconhecido(incluído na base e gratuito).

Geral Particular Básico soluções

Solução geral um sistema resolvido de equações é um conjunto de expressões de incógnitas resolvidas por meio de termos livres e incógnitas livres:

Decisão privadaé chamada de solução obtida a partir de uma solução geral para valores específicos de variáveis ​​​​livres e incógnitas.

Solução básicaé uma solução particular obtida da geral para valores zero das variáveis ​​​​livres.

• A solução básica (vetor) é chamada degenerar, se o número de suas coordenadas diferentes de zero for menor que o número de incógnitas permitidas.
• A solução básica é chamada não degenerado, se o número de suas coordenadas diferentes de zero for igual ao número de incógnitas permitidas do sistema incluído no conjunto completo.

Teorema (1)

O sistema de equações resolvido é sempre consistente(porque tem pelo menos uma solução); Além disso, se o sistema não tiver incógnitas livres,(isto é, em um sistema de equações, todas as equações permitidas são incluídas na base) então está definido(tem uma solução única); se houver pelo menos uma variável livre, então o sistema não está definido(tem um número infinito de soluções).

Exemplo 1. Encontre a solução geral, básica e qualquer solução particular do sistema de equações:

Solução:

1. Estamos verificando se o sistema está autorizado?

• O sistema está resolvido (já que cada uma das equações contém uma incógnita resolvida)

2. Incluímos incógnitas permitidas no conjunto - uma de cada equação.

3. Anotamos a solução geral dependendo das incógnitas permitidas que incluímos no conjunto.

4. Encontrando uma solução privada. Para fazer isso, igualamos variáveis ​​livres que não incluímos no conjunto com números arbitrários.

Responder: solução privada(uma das opções)

5. Encontrando a solução básica. Para fazer isso, igualamos a zero as variáveis ​​​​livres que não incluímos no conjunto.

Transformações elementares de equações lineares

Sistemas de equações lineares são reduzidos a sistemas resolvidos equivalentes usando transformações elementares.

Teorema (2)

Caso existam multiplique a equação do sistema por algum número diferente de zero, e deixe o resto das equações inalteradas, então . (ou seja, se você multiplicar os lados esquerdo e direito da equação pelo mesmo número, obterá uma equação equivalente a esta)

Teorema (3)

Se adicione outro a qualquer equação do sistema, e deixar todas as outras equações inalteradas, então obtemos um sistema equivalente a este. (ou seja, se você adicionar duas equações (somando seus lados esquerdo e direito), obterá uma equação equivalente aos dados)

Corolário dos Teoremas (2 e 3)

Se adicionar outra equação a uma equação multiplicada por um certo número, e deixe todas as outras equações inalteradas, então obtemos um sistema equivalente a este.

Fórmulas para recalcular os coeficientes do sistema

Se tivermos um sistema de equações e quisermos transformá-lo em um sistema de equações resolvido, o método Jordan-Gauss nos ajudará nisso.

Transformação da Jordânia com um elemento de resolução permite obter para um sistema de equações a incógnita resolvida na equação com número . (exemplo 2).

A transformação de Jordan consiste em transformações elementares de dois tipos:

Digamos que queremos tornar a incógnita na equação inferior uma incógnita resolvida. Para fazer isso, devemos dividir por , para que a soma seja .

Exemplo 2 Vamos recalcular os coeficientes do sistema

Ao dividir uma equação com um número por , seus coeficientes são recalculados usando as fórmulas:

Para excluir da equação com número , você precisa multiplicar a equação com número por e adicionar a esta equação.

Teorema (4) Sobre a redução do número de equações do sistema.

Se um sistema de equações contém uma equação trivial, então ela pode ser excluída do sistema e será obtido um sistema equivalente ao original.

Teorema (5) Sobre a incompatibilidade do sistema de equações.

Se um sistema de equações contém uma equação inconsistente, então ele é inconsistente.

Algoritmo do método Jordan-Gauss

O algoritmo para resolver sistemas de equações usando o método Jordan-Gauss consiste em uma série de etapas semelhantes, em cada uma das quais as ações são executadas na seguinte ordem:

1. Verifica se o sistema é inconsistente. Se um sistema contém uma equação inconsistente, então ele é inconsistente.
2. A possibilidade de reduzir o número de equações é verificada. Se o sistema contiver uma equação trivial, ela será riscada.
3. Se o sistema de equações for resolvido, anote a solução geral do sistema e, se necessário, as soluções particulares.
4. Se o sistema não for resolvido, então em uma equação que não contém uma incógnita resolvida, um elemento de resolução é selecionado e uma transformada de Jordan é realizada com este elemento.
5. Então volte ao ponto 1

Exemplo 3 Resolva um sistema de equações usando o método Jordan-Gauss.

Encontrar: duas soluções gerais e duas soluções básicas correspondentes

Solução:

Os cálculos são mostrados na tabela abaixo:

À direita da tabela estão as ações nas equações. As setas indicam a qual equação é adicionada a equação com o elemento resolutivo, multiplicado por um fator adequado.

As três primeiras linhas da tabela contêm os coeficientes das incógnitas e os lados direitos do sistema original. Os resultados da primeira transformada de Jordan com um elemento de resolução igual a um são fornecidos nas linhas 4, 5, 6. Os resultados da segunda transformada de Jordan com um elemento de resolução igual a (-1) são fornecidos nas linhas 7, 8, 9 Como a terceira equação é trivial, ela pode ser omitida.

Esta calculadora online encontra a solução geral para um sistema de equações lineares usando o método Jordan-Gauss. Uma solução detalhada é fornecida. Para calcular, selecione o número de equações e o número de variáveis. Em seguida, insira os dados nas células e clique no botão “Calcular”.

Veja abaixo a parte teórica de como encontrar uma solução para um sistema de equações lineares usando o método Jordan-Gauss.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Representação numérica:

Números inteiros e/ou frações comuns
Números inteiros e/ou decimais

Número de casas após o separador decimal

×

Aviso

Limpar todas as células?

Fechar Limpar

Instruções de entrada de dados. Os números são inseridos como inteiros (exemplos: 487, 5, -7623, etc.), decimais (ex. 67., 102,54, etc.) ou frações. A fração deve ser inserida no formato a/b, onde a e b (b>0) são números inteiros ou decimais. Exemplos 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.

Método Jordan-Gauss

O método Jordan-Gauss é um método para resolver sistemas de equações lineares e também um método para encontrar a matriz inversa. Este método é uma modificação do método de Gauss.

A primeira etapa do método Jordan-Gauss é semelhante ao método Gauss (movimento direto de Gauss), que pode ser visualizado em detalhes na página "Método Gauss online". A segunda etapa (reversa) do método Jordan-Gauss consiste em zerar todos os elementos da matriz de coeficientes do sistema de equações lineares acima dos elementos líderes. Observe que aqui estamos considerando um sistema arbitrário de equações lineares, onde o número de variáveis ​​pode não ser igual ao número de restrições.

Considere o seguinte sistema de equações lineares:

(1)

Vamos escrever o sistema (1) em forma matricial:

Machado=b

(2)

(3)

A- chamada de matriz de coeficientes do sistema, b− lado direito das restrições, x− vetor de variáveis ​​a serem encontradas. Deixe a classificação ( A)=p.

Vamos construir uma matriz estendida do sistema:

Se ,..., forem iguais a zero, então o sistema de equações lineares tem solução, mas se pelo menos um desses números for diferente de zero, então o sistema é inconsistente. Em outras palavras, o sistema (2) é consistente se e somente se a classificação da matriz A igual à classificação da matriz estendida ( A|b).

Deixar . Então, na ordem inversa, começando pelo elemento líder, aplicamos o movimento gaussiano reverso. A essência do movimento reverso é redefinir todos os elementos da matriz estendida que são superiores aos elementos principais.

Então, vamos redefinir todos os elementos da coluna p, acima do elemento. Como ≠0, adicionamos as linhas 1,2,... p− 1 com linha p, multiplicado por respectivamente.

A matriz expandida terá a seguinte forma:

Divida cada linha pelo seu elemento inicial correspondente (se existir um elemento inicial):

Então a solução pode ser escrita da seguinte forma:

Tipo de gravação matricial: Machado=b, Onde

Vamos denotar por um ij elementos eu-ésima linha e jª coluna.

Primeira etapa. Movimento gaussiano para frente

a onze . Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por 1/2, -3/2, respectivamente:

Vamos excluir elementos da 3ª coluna da matriz acima do elemento a 33. Para fazer isso, adicione as linhas 1, 2 à linha 3, multiplicadas por -3/2, -5/4, respectivamente:

Dividimos cada linha da matriz pelo elemento líder correspondente (se o elemento líder existir):

Tipo de gravação matricial: Machado=b, Onde

Vamos denotar por um ij elementos eu-ésima linha e jª coluna.

Primeira etapa. Movimento direto de Gauss.

Vamos excluir os elementos da 1ª coluna da matriz abaixo do elemento a onze . Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por 4/3, 5/3, respectivamente:

Segunda fase. Reversão gaussiana

Vamos excluir elementos da 2ª coluna da matriz acima do elemento a 22. Para fazer isso, adicione a linha 1 com a linha 2 multiplicada por -3/10:

Vamos expressar as variáveis x 1 , x 2 em relação a outras variáveis.

Então a solução vetorial pode ser representada da seguinte forma:

,

x 3 é um número real arbitrário.

§1. Sistemas de equações lineares.

Ver sistema

chamado de sistema eu equações lineares com n desconhecido.

Aqui
- desconhecido, - coeficientes para incógnitas,
- termos livres das equações.

Se todos os termos livres das equações forem iguais a zero, o sistema é chamado homogêneo.Por decisão sistema é chamado de coleção de números
, ao substituí-las no sistema em vez de incógnitas, todas as equações se transformam em identidades. O sistema é chamado articulação, se tiver pelo menos uma solução. Um sistema compatível que possui uma solução única é chamado certo. Os dois sistemas são chamados equivalente, se os conjuntos de suas soluções coincidirem.

O sistema (1) pode ser representado em forma de matriz usando a equação

(2)

.

§2. Compatibilidade de sistemas de equações lineares.

Vamos chamar a matriz estendida do sistema (1) de matriz

Teorema de Kronecker-Capelli. O sistema (1) é consistente se e somente se a classificação da matriz do sistema for igual à classificação da matriz estendida:

.

§3. Solução de sistemasn equações lineares comn desconhecido.

Considere um sistema não homogêneo n equações lineares com n desconhecido:

(3)

Teorema de Cramer.Se o principal determinante do sistema (3)
, então o sistema tem uma solução única, determinada pelas fórmulas:

aqueles.
,

Onde - determinante obtido do determinante substituição ª coluna para a coluna de membros livres.

Se
, e pelo menos um dos ≠0, então o sistema não tem soluções.

Se
, então o sistema tem infinitas soluções.

O sistema (3) pode ser resolvido usando sua forma matricial (2). Se a classificação da matriz Aé igual a n, ou seja
, então a matriz A tem um inverso
. Multiplicando a equação matricial
para a matriz
à esquerda, temos:

.

A última igualdade expressa o método de resolução de sistemas de equações lineares usando uma matriz inversa.

Exemplo. Resolva um sistema de equações usando uma matriz inversa.

Solução. Matriz
não degenerado, uma vez que
, o que significa que existe uma matriz inversa. Vamos calcular a matriz inversa:
.

,

Exercício. Resolva o sistema usando o método de Cramer.

§4. Resolução de sistemas arbitrários de equações lineares.

Seja dado um sistema não homogêneo de equações lineares da forma (1).

Suponhamos que o sistema seja consistente, ou seja, a condição do teorema de Kronecker-Capelli é satisfeita:
. Se a classificação da matriz
(número de incógnitas), então o sistema possui uma solução única. Se
, então o sistema tem infinitas soluções. Deixe-me explicar.

Deixe a classificação da matriz R(A)= R< n. Porque o
, então existe algum menor diferente de zero de ordem R. Vamos chamá-lo de menor básico. As incógnitas cujos coeficientes formam uma base menor serão chamadas de variáveis ​​básicas. Chamamos as incógnitas restantes de variáveis ​​livres. Vamos reorganizar as equações e renumerar as variáveis ​​​​para que esta menor fique localizada no canto superior esquerdo da matriz do sistema:

.

Primeiro R as linhas são linearmente independentes, o resto é expresso através delas. Portanto, essas linhas (equações) podem ser descartadas. Nós temos:

Vamos dar valores numéricos arbitrários às variáveis ​​​​livres: . Deixemos apenas as variáveis ​​básicas do lado esquerdo e movamos as livres para o lado direito.

Tenho o sistema R equações lineares com R desconhecido, cujo determinante é diferente de 0. Possui solução única.

Este sistema é denominado solução geral do sistema de equações lineares (1). Caso contrário: a expressão de variáveis ​​​​básicas por meio de variáveis ​​​​livres é chamada decisão geral sistemas. A partir dele você pode obter um número infinito de soluções privadas, fornecendo valores arbitrários às variáveis ​​livres. Uma solução particular obtida de uma solução geral para valores zero de variáveis ​​​​livres é chamada solução básica. O número de soluções básicas diferentes não excede
. Uma solução básica com componentes não negativos é chamada apoiando solução do sistema.

Exemplo.

,R=2.

Variáveis
- básico,
- livre.

Vamos somar as equações; vamos expressar
através
:

- decisão comum.

- solução privada para
.

- solução básica, referência.

§5. Método de Gauss.

O método Gauss é um método universal para estudar e resolver sistemas arbitrários de equações lineares. Consiste em reduzir o sistema a uma forma diagonal (ou triangular), eliminando sequencialmente as incógnitas por meio de transformações elementares que não violem a equivalência dos sistemas. Uma variável é considerada excluída se estiver contida em apenas uma equação do sistema com coeficiente 1.

Transformações elementares sistemas são:

Multiplicar uma equação por um número diferente de zero;

Adicionar uma equação multiplicada por qualquer número com outra equação;

Reorganizando equações;

Rejeitando a equação 0 = 0.

As transformações elementares podem ser realizadas não em equações, mas em matrizes estendidas dos sistemas equivalentes resultantes.

Exemplo.

Solução. Vamos escrever a matriz estendida do sistema:

.

Realizando transformações elementares, reduziremos o lado esquerdo da matriz à forma unitária: criaremos uns na diagonal principal e zeros fora dela.

Comente. Se, ao realizar transformações elementares, for obtida uma equação da forma 0 = k(Onde Para0), então o sistema é inconsistente.

A solução de sistemas de equações lineares pelo método de eliminação sequencial de incógnitas pode ser escrita na forma tabelas.

A coluna esquerda da tabela contém informações sobre variáveis ​​excluídas (básicas). As colunas restantes contêm os coeficientes das incógnitas e os termos livres das equações.

A matriz estendida do sistema é registrada na tabela de origem. A seguir, começamos a realizar as transformações de Jordan:

1. Selecione uma variável , que se tornará a base. A coluna correspondente é chamada de coluna-chave. Escolha uma equação na qual esta variável permanecerá, sendo excluída das demais equações. A linha correspondente da tabela é chamada de linha chave. Coeficiente , situado na interseção de uma linha-chave e uma coluna-chave, é chamado de chave.

2. Os elementos-chave da string são divididos em elementos-chave.

3. A coluna chave é preenchida com zeros.

4. Os elementos restantes são calculados usando a regra do retângulo. Forme um retângulo, em cujos vértices opostos haja um elemento-chave e um elemento recalculado; do produto dos elementos localizados na diagonal do retângulo com o elemento-chave, subtrai-se o produto dos elementos da outra diagonal e a diferença resultante é dividida pelo elemento-chave.

Exemplo. Encontre a solução geral e a solução básica do sistema de equações:

Solução.

Solução geral do sistema:

Solução básica:
.

Uma única transformação de substituição permite passar de uma base do sistema para outra: em vez de uma das variáveis ​​​​principais, uma das variáveis ​​​​livres é introduzida na base. Para fazer isso, selecione um elemento-chave na coluna da variável livre e execute as transformações de acordo com o algoritmo acima.

§6. Encontrando soluções de suporte

A solução de referência de um sistema de equações lineares é uma solução básica que não contém componentes negativos.

As soluções de referência do sistema são encontradas pelo método gaussiano quando as seguintes condições são atendidas.

1. No sistema original, todos os termos livres devem ser não negativos:
.

2. O elemento-chave é selecionado entre os coeficientes positivos.

3. Se uma variável introduzida na base tiver vários coeficientes positivos, então a linha chave é aquela em que a razão entre o termo livre e o coeficiente positivo é a menor.

Nota 1. Se, no processo de eliminação de incógnitas, aparecer uma equação em que todos os coeficientes são não positivos e o termo livre
, então o sistema não tem soluções não negativas.

Nota 2. Se não houver um único elemento positivo nas colunas de coeficientes para variáveis ​​livres, a transição para outra solução de referência será impossível.

Exemplo.

Exemplo 1. Encontre uma solução geral e alguma solução particular do sistema

Solução Fazemos isso usando uma calculadora. Vamos escrever as matrizes estendida e principal:

A matriz principal A é separada por uma linha pontilhada, escrevemos sistemas desconhecidos no topo, tendo em mente o possível rearranjo de termos nas equações do sistema. Ao determinar a classificação da matriz estendida, encontramos simultaneamente a classificação da matriz principal. Na matriz B, a primeira e a segunda colunas são proporcionais. Das duas colunas proporcionais, apenas uma pode cair na menor básica, então vamos mover, por exemplo, a primeira coluna além da linha pontilhada com o sinal oposto. Para o sistema, isso significa transferir termos de x 1 para o lado direito das equações.

Vamos reduzir a matriz à forma triangular. Trabalharemos apenas com linhas, pois multiplicar uma linha da matriz por um número diferente de zero e adicioná-lo a outra linha do sistema significa multiplicar a equação pelo mesmo número e adicioná-la com outra equação, o que não altera a solução do sistema. Trabalhamos com a primeira linha: multiplique a primeira linha da matriz por (-3) e adicione à segunda e terceira linhas sucessivamente. Em seguida, multiplique a primeira linha por (-2) e adicione à quarta.

A segunda e terceira linhas são proporcionais, portanto, uma delas, por exemplo a segunda, pode ser riscada. Isso equivale a riscar a segunda equação do sistema, pois é consequência da terceira.

Agora trabalhamos com a segunda linha: multiplique por (-1) e some à terceira.

O menor circulado com uma linha pontilhada tem a ordem mais alta (dos menores possíveis) e é diferente de zero (é igual ao produto dos elementos da diagonal principal), e este menor pertence tanto à matriz principal quanto à estendida, portanto rangA = rangB = 3.
Menor é básico. Inclui coeficientes para as incógnitas x 2 , x 3 , x 4 , o que significa que as incógnitas x 2 , x 3 , x 4 são dependentes e x 1 , x 5 são livres.
Vamos transformar a matriz, deixando apenas a base menor à esquerda (que corresponde ao ponto 4 do algoritmo de solução acima).

O sistema com os coeficientes desta matriz é equivalente ao sistema original e tem a forma

Usando o método de eliminação de incógnitas, encontramos:
, ,

Obtivemos relações expressando as variáveis ​​dependentes x 2, x 3, x 4 através das livres x 1 e x 5, ou seja, encontramos uma solução geral:

Ao atribuir quaisquer valores às incógnitas livres, obtemos qualquer número de soluções particulares. Vamos encontrar duas soluções específicas:
1) seja x 1 = x 5 = 0, então x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) coloque x 1 = 1, x 5 = -1, então x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Assim, foram encontradas duas soluções: (0,1,-3,3,0) – uma solução, (1,4,-7,7,-1) – outra solução.

Exemplo 2. Explore a compatibilidade, encontre uma solução geral e uma solução específica para o sistema

Solução. Vamos reorganizar a primeira e a segunda equações para ter uma na primeira equação e escrever a matriz B.

Obtemos zeros na quarta coluna operando com a primeira linha:

Agora obtemos os zeros na terceira coluna usando a segunda linha:

A terceira e quarta linhas são proporcionais, portanto uma delas pode ser riscada sem alterar a classificação:
Multiplique a terceira linha por (–2) e adicione à quarta:

Vemos que os postos das matrizes principal e estendida são iguais a 4, e o posto coincide com o número de incógnitas, portanto, o sistema tem uma solução única:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Exemplo 3. Examine a compatibilidade do sistema e encontre uma solução, se existir.

Solução. Compomos uma matriz estendida do sistema.

Reorganizamos as duas primeiras equações para que haja 1 no canto superior esquerdo:
Multiplicando a primeira linha por (-1), somando à terceira:

Multiplique a segunda linha por (-2) e adicione à terceira:

O sistema é inconsistente, pois na matriz principal recebemos uma linha composta por zeros, que é riscada quando o posto é encontrado, mas na matriz estendida permanece a última linha, ou seja, r B > r A .

Exercício. Investigue a compatibilidade deste sistema de equações e resolva-o usando cálculo matricial.
Solução

Exemplo. Prove a compatibilidade do sistema de equações lineares e resolva-o de duas formas: 1) pelo método de Gauss; 2) Método de Cramer. (insira a resposta no formato: x1,x2,x3)
Solução: doc: doc: xls
Responder: 2,-1,3.

Exemplo. Um sistema de equações lineares é dado. Prove sua compatibilidade. Encontre uma solução geral do sistema e uma solução particular.
Solução
Responder: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Exercício. Encontre as soluções gerais e particulares de cada sistema.
Solução. Estudamos este sistema usando o teorema de Kronecker-Capelli.
Vamos escrever as matrizes estendida e principal:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Aqui a matriz A está destacada em negrito.
Vamos reduzir a matriz à forma triangular. Trabalharemos apenas com linhas, pois multiplicar uma linha da matriz por um número diferente de zero e adicioná-lo a outra linha do sistema significa multiplicar a equação pelo mesmo número e adicioná-la com outra equação, o que não altera a solução do sistema.
Vamos multiplicar a 1ª linha por (3). Multiplique a 2ª linha por (-1). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Vamos multiplicar a 2ª linha por (2). Multiplique a 3ª linha por (-3). Vamos adicionar a 3ª linha à 2ª:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Multiplique a 2ª linha por (-1). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

O menor selecionado tem a ordem mais alta (dos menores possíveis) e é diferente de zero (é igual ao produto dos elementos da diagonal reversa), e esse menor pertence tanto à matriz principal quanto à estendida, portanto tocou( A) = rang(B) = 3 Como a classificação da matriz principal é igual à classificação da matriz estendida, então o sistema é colaborativo.
Este menor é básico. Inclui coeficientes para as incógnitas x 1 , x 2 , x 3 , o que significa que as incógnitas x 1 , x 2 , x 3 são dependentes (básicas) e x 4 , x 5 são gratuitas.
Vamos transformar a matriz, deixando apenas a base menor à esquerda.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

O sistema com os coeficientes desta matriz é equivalente ao sistema original e tem a forma:
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Usando o método de eliminação de incógnitas, encontramos:
Obtivemos relações expressando as variáveis ​​dependentes x 1 , x 2 , x 3 através das livres x 4 , x 5 , ou seja, encontramos decisão comum:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
incerto, porque tem mais de uma solução.

Exercício. Resolva o sistema de equações.
Responder:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Ao atribuir quaisquer valores às incógnitas livres, obtemos qualquer número de soluções particulares. O sistema é incerto