Variável aleatória Uma variável é chamada de variável que, como resultado de cada teste, assume um valor previamente desconhecido, dependendo de motivos aleatórios. Variáveis ​​aleatórias são denotadas por letras latinas maiúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ De acordo com seu tipo, variáveis ​​aleatórias podem ser discreto E contínuo.

Variável aleatória discreta- esta é uma variável aleatória cujos valores não podem ser mais que contáveis, ou seja, finitos ou contáveis. Por contabilidade queremos dizer que os valores de uma variável aleatória podem ser numerados.

Exemplo 1 . Aqui estão alguns exemplos de variáveis ​​​​aleatórias discretas:

a) o número de acertos no alvo com $n$ tiros, aqui os valores possíveis são $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) o número de emblemas descartados ao lançar uma moeda, aqui os valores possíveis são $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) o número de navios que chegam a bordo (um conjunto contável de valores).

d) a quantidade de chamadas que chegam ao PABX (conjunto contável de valores).

1. Lei da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta.

Uma variável aleatória discreta $X$ pode assumir valores $x_1,\dots ,\ x_n$ com probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. A correspondência entre esses valores e suas probabilidades é chamada lei de distribuição de uma variável aleatória discreta. Via de regra, essa correspondência é especificada por meio de uma tabela, cuja primeira linha indica os valores $x_1,\dots ,\ x_n$, e a segunda linha contém as probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondentes a esses valores.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pontos & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \pontos & p_n \\
\hline
\fim(matriz)$

Exemplo 2 . Seja a variável aleatória $X$ o número de pontos lançados ao lançar um dado. Essa variável aleatória $X$ pode assumir os seguintes valores: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. As probabilidades de todos esses valores são iguais a $1/6$. Então a lei da distribuição de probabilidade da variável aleatória $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\fim(matriz)$

Comente. Como na lei de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ os eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formam um grupo completo de eventos, então a soma das probabilidades deve ser igual a um, ou seja, $ \soma(p_i)=1$.

2. Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta.

Expectativa de uma variável aleatória define seu significado “central”. Para uma variável aleatória discreta, a expectativa matemática é calculada como a soma dos produtos dos valores $x_1,\dots ,\ x_n$ e as probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondentes a esses valores, ou seja : $M\esquerda(X\direita)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Na literatura de língua inglesa, outra notação $E\left(X\right)$ é usada.

Propriedades da expectativa matemática$M\esquerda(X\direita)$:

1. $M\left(X\right)$ está entre o menor e o maior valor da variável aleatória $X$.
2. A expectativa matemática de uma constante é igual à própria constante, ou seja, $M\esquerda(C\direita)=C$.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal da expectativa matemática: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. A expectativa matemática da soma das variáveis ​​​​aleatórias é igual à soma de suas expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. A expectativa matemática do produto de variáveis ​​​​aleatórias independentes é igual ao produto de suas expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplo 3 . Vamos encontrar a expectativa matemática da variável aleatória $X$ do exemplo $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\mais de (6))=3,5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ está entre o menor ($1$) e o maior ($6$) valores da variável aleatória $X$.

Exemplo 4 . Sabe-se que a expectativa matemática da variável aleatória $X$ é igual a $M\left(X\right)=2$. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória $3X+5$.

Usando as propriedades acima, obtemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cponto 2 +5=$11.

Exemplo 5 . Sabe-se que a expectativa matemática da variável aleatória $X$ é igual a $M\left(X\right)=4$. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória $2X-9$.

Usando as propriedades acima, obtemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cponto 4 -9=-1$.

3. Dispersão de uma variável aleatória discreta.

Os valores possíveis de variáveis ​​​​aleatórias com expectativas matemáticas iguais podem se dispersar de maneira diferente em torno de seus valores médios. Por exemplo, em dois grupos de alunos a pontuação média no exame de teoria das probabilidades foi 4, mas em um grupo todos eram bons alunos e no outro grupo havia apenas alunos C e alunos excelentes. Portanto, há necessidade de uma característica numérica de uma variável aleatória que mostre a dispersão dos valores da variável aleatória em torno de sua expectativa matemática. Essa característica é a dispersão.

Variância de uma variável aleatória discreta$X$ é igual a:

$$D\esquerda(X\direita)=\soma^n_(i=1)(p_i(\esquerda(x_i-M\esquerda(X\direita)\direita))^2).\ $$

Na literatura inglesa a notação $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ é usada. Muitas vezes a variância $D\left(X\right)$ é calculada usando a fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ esquerda(X \direita)\direita))^2$.

Propriedades de dispersão$D\esquerda(X\direita)$:

1. A variância é sempre maior ou igual a zero, ou seja, $D\esquerda(X\direita)\ge 0$.
2. A variância da constante é zero, ou seja, $D\esquerda(C\direita)=0$.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal da dispersão, desde que seja elevado ao quadrado, ou seja, $D\esquerda(CX\direita)=C^2D\esquerda(X\direita)$.
4. A variância da soma das variáveis ​​​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja, $D\esquerda(X+Y\direita)=D\esquerda(X\direita)+D\esquerda(Y\direita)$.
5. A variância da diferença entre variáveis ​​​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja, $D\esquerda(X-Y\direita)=D\esquerda(X\direita)+D\esquerda(Y\direita)$.

Exemplo 6 . Vamos calcular a variância da variável aleatória $X$ do exemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\sobre (6))\cdot (\esquerda(6-3,5\direita))^2=((35)\sobre (12))\aproximadamente 2,92.$$

Exemplo 7 . Sabe-se que a variância da variável aleatória $X$ é igual a $D\left(X\right)=2$. Encontre a variância da variável aleatória $4X+1$.

Usando as propriedades acima, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\esquerda(X\direita)=16\cponto 2=32$.

Exemplo 8 . Sabe-se que a variância da variável aleatória $X$ é igual a $D\left(X\right)=3$. Encontre a variância da variável aleatória $3-2X$.

Usando as propriedades acima, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\esquerda(X\direita)=4\cponto 3=12$.

4. Função de distribuição de uma variável aleatória discreta.

O método de representar uma variável aleatória discreta na forma de uma série de distribuição não é o único e, o mais importante, não é universal, uma vez que uma variável aleatória contínua não pode ser especificada usando uma série de distribuição. Existe outra maneira de representar uma variável aleatória - a função de distribuição.

Função de distribuição a variável aleatória $X$ é chamada de função $F\left(x\right)$, que determina a probabilidade de a variável aleatória $X$ assumir um valor menor que algum valor fixo $x$, ou seja, $F\ esquerda(x\direita )=P\esquerda(X< x\right)$

Propriedades da função de distribuição:

1. $0\le F\esquerda(x\direita)\le 1$.
2. A probabilidade de a variável aleatória $X$ assumir valores do intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ é igual à diferença entre os valores da função de distribuição nas extremidades deste intervalo: $P\esquerda(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - não decrescente.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \direita)=1\ )$.

Exemplo 9 . Vamos encontrar a função de distribuição $F\left(x\right)$ para a lei de distribuição da variável aleatória discreta $X$ do exemplo $2$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fim(matriz)$

Se $x\le 1$, então, obviamente, $F\left(x\right)=0$ (incluindo para $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Se $ 1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Se $ 2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Se $ 3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Se $ 4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Se $ 5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Se $x > 6$, então $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\esquerda(X=4\direita)+P\esquerda(X=5\direita)+P\esquerda(X=6\direita)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Então $F(x)=\esquerda\(\begin(matriz)
0,\ em\ x\le 1,\\
1/6, em\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ em\ 2< x\le 3,\\
1/2, em \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ em\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ em\ 4< x\le 5,\\
1,\ para\ x > 6.
\end(matriz)\right.$

Nas aplicações da teoria das probabilidades, as características quantitativas do experimento são de importância primordial. Chama-se uma quantidade que pode ser determinada quantitativamente e que, como resultado de um experimento, pode assumir valores diferentes dependendo do caso. variável aleatória.

Exemplos de variáveis ​​aleatórias:

1. O número de vezes que um número par de pontos aparece em dez lançamentos de um dado.

2. O número de acertos no alvo por um atirador que dispara uma série de tiros.

3. O número de fragmentos de uma bomba explodindo.

Em cada um dos exemplos dados, a variável aleatória só pode assumir valores isolados, ou seja, valores que podem ser numerados através de uma série natural de números.

Tal variável aleatória, cujos valores possíveis são números individuais isolados, que esta variável assume com certas probabilidades, é chamada discreto.

O número de valores possíveis de uma variável aleatória discreta pode ser finito ou infinito (contável).

Lei da distribuição Uma variável aleatória discreta é uma lista de seus valores possíveis e suas probabilidades correspondentes. A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta pode ser especificada na forma de uma tabela (série de distribuição de probabilidade), analítica e graficamente (polígono de distribuição de probabilidade).

Ao realizar um experimento, torna-se necessário avaliar o valor que está sendo estudado “em média”. O papel do valor médio de uma variável aleatória é desempenhado por uma característica numérica chamada expectativa matemática, que é determinado pela fórmula

Onde x 1 , x 2 ,.. , x n– valores de variáveis ​​​​aleatórias X, A p 1 ,p 2 , ... , p n– as probabilidades desses valores (observe que p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Exemplo. O tiro é realizado no alvo (Fig. 11).

Um acerto em I dá três pontos, em II – dois pontos, em III – um ponto. O número de pontos marcados em um arremesso por um arremessador tem uma lei de distribuição da forma

Para comparar a habilidade dos atiradores, basta comparar os valores médios dos pontos marcados, ou seja, expectativas matemáticas M(X) E M(S):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(S) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

O segundo atirador dá em média um número de pontos um pouco maior, ou seja, dará melhores resultados quando disparado repetidamente.

Observemos as propriedades da expectativa matemática:

1. A expectativa matemática de um valor constante é igual à própria constante:

M(C) =C.

2. A expectativa matemática da soma das variáveis ​​aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas dos termos:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. A expectativa matemática do produto de variáveis ​​aleatórias mutuamente independentes é igual ao produto das expectativas matemáticas dos fatores

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. A negação matemática da distribuição binomial é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de um evento ocorrer em uma tentativa (tarefa 4.6).

M(X) =pr.

Avaliar como uma variável aleatória “em média” se desvia de sua expectativa matemática, ou seja, Para caracterizar a dispersão dos valores de uma variável aleatória na teoria das probabilidades, utiliza-se o conceito de dispersão.

Variância variável aleatória Xé chamada de expectativa matemática do desvio quadrático:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

A dispersão é uma característica numérica da dispersão de uma variável aleatória. Fica claro pela definição que quanto menor a dispersão de uma variável aleatória, mais próximos seus valores possíveis estão localizados em torno da expectativa matemática, ou seja, melhor os valores da variável aleatória são caracterizados por sua expectativa matemática. .

Da definição segue-se que a variância pode ser calculada usando a fórmula

.

É conveniente calcular a variância usando outra fórmula:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

A dispersão tem as seguintes propriedades:

1. A variância da constante é zero:

D(C) = 0.

2. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:

D(Experiência do cliente) = C 2 D(X).

3. A variância da soma das variáveis ​​​​aleatórias independentes é igual à soma da variância dos termos:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. A variância da distribuição binomial é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de ocorrência e não ocorrência de um evento em uma tentativa:

D(X) = npq.

Na teoria das probabilidades, uma característica numérica igual à raiz quadrada da variância de uma variável aleatória é frequentemente usada. Esta característica numérica é chamada de desvio quadrático médio e é denotada pelo símbolo

.

Caracteriza o tamanho aproximado do desvio de uma variável aleatória em relação ao seu valor médio e tem a mesma dimensão da variável aleatória.

4.1. O atirador dispara três tiros no alvo. A probabilidade de acertar o alvo a cada tiro é de 0,3.

Construa uma série de distribuição para o número de ocorrências.

Solução. O número de acertos é uma variável aleatória discreta X. Cada valor x n variável aleatória X corresponde a uma certa probabilidade P n .

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta, neste caso, pode ser especificada perto de distribuição.

Neste problema X assume valores 0, 1, 2, 3. De acordo com a fórmula de Bernoulli

,

Vamos encontrar as probabilidades dos valores possíveis da variável aleatória:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Organizando os valores da variável aleatória X em ordem crescente, obtemos a série de distribuição:

X n

Observe que o montante

significa a probabilidade de que a variável aleatória X assumirá pelo menos um valor dentre os possíveis, e este evento é confiável, portanto

.

4.2 .Há quatro bolas na urna com números de 1 a 4. Duas bolas são retiradas. Valor aleatório X– a soma dos números das bolas. Construa uma série de distribuição de uma variável aleatória X.

Solução. Valores de variáveis ​​aleatórias X são 3, 4, 5, 6, 7. Vamos encontrar as probabilidades correspondentes. Valor da variável aleatória 3 X pode ser aceito no único caso em que uma das bolas selecionadas tenha o número 1 e a outra 2. O número de resultados de teste possíveis é igual ao número de combinações de quatro (o número de pares possíveis de bolas) de dois.

Usando a fórmula clássica de probabilidade, obtemos

Da mesma maneira,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

A soma 5 pode aparecer em dois casos: 1 + 4 e 2 + 3, então

.

X tem o formato:

Encontre a função de distribuição F(x) variável aleatória X e plote-o. Calcular para X sua expectativa matemática e variância.

Solução. A lei de distribuição de uma variável aleatória pode ser especificada pela função de distribuição

F(x) =P(X x).

Função de distribuição F(x) é uma função contínua à esquerda não decrescente definida em toda a reta numérica, enquanto

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Para uma variável aleatória discreta, esta função é expressa pela fórmula

.

Portanto neste caso

Gráfico de função de distribuição F(x) é uma linha escalonada (Fig. 12)

	F(x)

Valor esperadoM(X) é a média aritmética ponderada dos valores X 1 , X 2 ,......X n variável aleatória X com escalas ρ 1, ρ 2, …… , ρ n e é chamado de valor médio da variável aleatória X. De acordo com a fórmula

M(X)=x 1 ρ 1 +x 2 ρ 2 +……+x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersão caracteriza o grau de dispersão dos valores de uma variável aleatória em relação ao seu valor médio e é denotado D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]=M(X 2) –[M(X)] 2 .

Para uma variável aleatória discreta, a variância tem a forma

ou pode ser calculado usando a fórmula

Substituindo os dados numéricos do problema na fórmula, obtemos:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dois dados são lançados duas vezes ao mesmo tempo. Escreva a lei binomial de distribuição de uma variável aleatória discreta X- o número de ocorrências de um número total par de pontos em dois dados.

Solução. Vamos apresentar um evento aleatório

A= (dois dados em um lançamento resultaram em um total par de pontos).

Usando a definição clássica de probabilidade, encontramos

R(A)= ,

Onde n - o número de resultados de teste possíveis é encontrado de acordo com a regra

multiplicação:

n = 6∙6 =36,

eu - número de pessoas favorecendo o evento A resultados - iguais

eu= 3∙6=18.

Assim, a probabilidade de sucesso em uma tentativa é

ρ =P(A)= 1/2.

O problema é resolvido usando um esquema de teste de Bernoulli. Um desafio aqui seria lançar dois dados uma vez. Número de tais testes n = 2. Variável aleatória X assume valores 0, 1, 2 com probabilidades

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

A distribuição binomial necessária de uma variável aleatória X pode ser representado como uma série de distribuição:

X n
ρ n

4.5 . Num lote de seis peças existem quatro peças padrão. Três partes foram selecionadas aleatoriamente. Construa uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X– o número de peças padrão entre as selecionadas e encontre sua expectativa matemática.

Solução. Valores de variáveis ​​aleatórias X são os números 0,1,2,3. Está claro que R(X=0)=0, pois existem apenas duas peças não padronizadas.

R(X=1) =
=1/5,

R(X = 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Lei de distribuição de uma variável aleatória X Vamos apresentá-lo na forma de uma série de distribuição:

X n
ρ n

Valor esperado

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Prove que a expectativa matemática de uma variável aleatória discreta X- número de ocorrências do evento A V n ensaios independentes, em cada um dos quais a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a ρ – igual ao produto do número de tentativas pela probabilidade de ocorrência de um evento em uma tentativa, ou seja, para provar que a expectativa matemática da distribuição binomial

M(X) =n . ρ ,

e dispersão

D(X) =n.p. .

Solução. Valor aleatório X pode assumir valores 0, 1, 2..., n. Probabilidade R(X= k) é encontrado usando a fórmula de Bernoulli:

R(X=k)= R n(k) = ρ Para (1-ρ ) n- Para

Série de distribuição de uma variável aleatória X tem o formato:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Onde q= 1- ρ .

Para a expectativa matemática temos a expressão:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

No caso de um teste, ou seja, com n= 1 para variável aleatória X 1 – número de ocorrências do evento A- a série de distribuição tem a forma:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Se X k – número de ocorrências do evento A em qual teste, então R(X Para)= ρ E

X=X 1 +X 2 +….+X n .

A partir daqui obtemos

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. O departamento de controle de qualidade verifica a padronização dos produtos. A probabilidade de o produto ser padrão é 0,9. Cada lote contém 5 produtos. Encontre a expectativa matemática de uma variável aleatória discreta X- o número de lotes, cada um dos quais conterá 4 produtos padrão - se 50 lotes estiverem sujeitos a inspeção.

Solução. A probabilidade de haver 4 produtos padrão em cada lote selecionado aleatoriamente é constante; vamos denotar isso por ρ .Então a expectativa matemática da variável aleatória Xé igual a M(X)= 50∙ρ.

Vamos encontrar a probabilidade ρ de acordo com a fórmula de Bernoulli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Três dados são lançados. Encontre a expectativa matemática da soma dos pontos perdidos.

Solução. Você pode encontrar a distribuição de uma variável aleatória X- a soma dos pontos perdidos e depois a sua expectativa matemática. No entanto, esse caminho é muito complicado. É mais fácil usar outra técnica, representando uma variável aleatória X, cuja expectativa matemática precisa ser calculada, na forma de uma soma de várias variáveis ​​​​aleatórias mais simples, cuja expectativa matemática é mais fácil de calcular. Se a variável aleatória X eué o número de pontos rolados eu– os ossos ( eu= 1, 2, 3), então a soma dos pontos X será expresso na forma

X = X 1 +X 2 +X 3 .

Para calcular a expectativa matemática da variável aleatória original, resta apenas usar a propriedade da expectativa matemática

M(X 1 +X 2 +X 3 )=M(X 1 )+M(X 2)+M(X 3 ).

É óbvio que

R(X eu =K)= 1/6, PARA= 1, 2, 3, 4, 5, 6, eu= 1, 2, 3.

Portanto, a expectativa matemática da variável aleatória X eu parece

M(X eu) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Determine a expectativa matemática do número de dispositivos que falharam durante o teste se:

a) a probabilidade de falha para todos os dispositivos é a mesma R, e o número de dispositivos em teste é igual a n;

b) probabilidade de falha para eu – do dispositivo é igual a p eu , eu= 1, 2, … , n.

Solução. Deixe a variável aleatória Xé o número de dispositivos com falha, então

X = X 1 +X 2 +… +X n ,

X eu =

Está claro que

R(X eu = 1)= R eu , R(X eu = 0)= 1– R eu ,eu= 1, 2, … ,n.

M(X eu)= 1∙R eu + 0∙(1-R eu)=P eu ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+… +M(X n)=P 1 +P 2 +… +P n .

No caso “a” a probabilidade de falha do dispositivo é a mesma, ou seja

R eu =p,eu= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Esta resposta poderia ser obtida imediatamente se notarmos que a variável aleatória X tem uma distribuição binomial com parâmetros ( n, p).

4.10. Dois dados são lançados simultaneamente duas vezes. Escreva a lei binomial de distribuição de uma variável aleatória discreta X - o número de lançamentos de um número par de pontos em dois dados.

Solução. Deixar

A=(lançando um número par no primeiro dado),

B =(lançando um número par no segundo dado).

Obter um número par em ambos os dados de uma só vez é expresso pelo produto AB. Então

R (AB) = R(A)∙R(EM) =
.

O resultado do segundo lançamento de dois dados não depende do primeiro, portanto a fórmula de Bernoulli se aplica quando

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Valor aleatório X pode assumir valores 0, 1, 2 , cuja probabilidade pode ser encontrada usando a fórmula de Bernoulli:

R(X = 0)=P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X = 1)=P 2 (1)=C ,R∙q = 6/16,

R(X = 2)=P 2 (2)=C , R 2 = 1/16.

Série de distribuição de uma variável aleatória X:

4.11. O dispositivo consiste em um grande número de elementos que operam de forma independente, com a mesma probabilidade muito pequena de falha de cada elemento ao longo do tempo. t. Encontre o número médio de recusas ao longo do tempo t elementos, se a probabilidade de pelo menos um elemento falhar durante esse tempo for 0,98.

Solução. Número de pessoas que recusaram ao longo do tempo t elementos – variável aleatória X, que é distribuído de acordo com a lei de Poisson, pois o número de elementos é grande, os elementos funcionam de forma independente e a probabilidade de falha de cada elemento é pequena. Número médio de ocorrências de um evento em n testes são iguais

M(X) = n.p..

Como a probabilidade de falha PARA elementos de n expresso pela fórmula

R n (PARA)
,

onde  = n.p., então a probabilidade de que nenhum elemento falhe durante o tempo t chegamos em K = 0:

R n (0)=e -  .

Portanto, a probabilidade do evento oposto está no tempo t pelo menos um elemento falha – igual a 1 - e -  . De acordo com as condições do problema, essa probabilidade é 0,98. Da Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

daqui  = -ln 0,02  4.

Então, com o tempo t operação do dispositivo, em média 4 elementos falharão.

4.12 . Os dados são lançados até surgir um “dois”. Encontre o número médio de lançamentos.

Solução. Vamos introduzir uma variável aleatória X– a quantidade de testes que devem ser realizados até que ocorra o evento de nosso interesse. A probabilidade de que X= 1 é igual à probabilidade de que durante um lançamento de dados apareça um “dois”, ou seja,

R(X = 1) = 1/6.

Evento X= 2 significa que no primeiro teste o “dois” não apareceu, mas no segundo sim. Probabilidade de evento X=2 é encontrado pela regra de multiplicação das probabilidades de eventos independentes:

R(X = 2) = (5/6)∙(1/6)

Da mesma maneira,

R(X = 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X = 4) = (5/6) 2 ∙1/6

etc. Obtemos uma série de distribuições de probabilidade:

					(5/6) Para ∙1/6

O número médio de lançamentos (tentativas) é a expectativa matemática

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + PARA (5/6) PARA -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + PARA (5/6) PARA -1 + …)

Vamos encontrar a soma da série:

PARAg PARA -1 = (g PARA) g 
.

Por isso,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Assim, você precisa fazer em média 6 lançamentos de dados até sair um “dois”.

4.13. Testes independentes são realizados com a mesma probabilidade de ocorrência do evento A em todos os testes. Encontre a probabilidade de um evento ocorrer A, se a variância do número de ocorrências de um evento em três tentativas independentes for 0,63 .

Solução. O número de ocorrências de um evento em três tentativas é uma variável aleatória X, distribuído de acordo com a lei binomial. A variância do número de ocorrências de um evento em tentativas independentes (com a mesma probabilidade de ocorrência do evento em cada tentativa) é igual ao produto do número de tentativas pelas probabilidades de ocorrência e não ocorrência do evento (problema 4.6)

D(X) = npq.

Por condição n = 3, D(X) = 0,63, então você pode R encontrar a partir da equação

0,63 = 3∙R(1-R),

que tem duas soluções R 1 = 0,7 e R 2 = 0,3.

Discreto chamada de variável aleatória que pode assumir valores separados e isolados com certas probabilidades.

EXEMPLO 1. O número de vezes que o brasão aparece em três lançamentos de moeda. Valores possíveis: 0, 1, 2, 3, suas probabilidades são iguais respectivamente:

P(0) = ; Р(1) = ; P(2) = ; P(3) = .

EXEMPLO 2. O número de elementos com falha em um dispositivo composto por cinco elementos. Valores possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5; suas probabilidades dependem da confiabilidade de cada elemento.

Variável aleatória discreta X pode ser dado por uma série de distribuição ou uma função de distribuição (a lei de distribuição integral).

Distribuição próxima é o conjunto de todos os valores possíveis Xeu e suas probabilidades correspondentes Reu = P(X = xeu), pode ser especificado como uma tabela:

XI				x n
eu				р n

Ao mesmo tempo, as probabilidades Reu satisfazer a condição

Reu= 1 porque

onde está o número de valores possíveis n pode ser finito ou infinito.

Representação gráfica da série de distribuição chamado polígono de distribuição . Para construí-lo, são necessários valores possíveis da variável aleatória ( Xeu) são plotados ao longo do eixo x, e as probabilidades Reu- ao longo do eixo das ordenadas; pontos Aeu com coordenadas ( Xeu, рeu) são conectados por linhas quebradas.

Função de distribuição variável aleatória X função chamada F(X), cujo valor no ponto Xé igual à probabilidade de que a variável aleatória X será menor que esse valor X, aquilo é

F(x) = P(X< х).

Função F(X) Para variável aleatória discreta calculado pela fórmula

F(X) = Reu , (1.10.1)

onde a soma é realizada sobre todos os valores eu, para qual Xeu< х.

EXEMPLO 3. De um lote contendo 100 produtos, dos quais há 10 defeituosos, cinco produtos são selecionados aleatoriamente para verificar sua qualidade. Construa uma série de distribuições de um número aleatório X produtos defeituosos contidos na amostra.

Solução. Como na amostra o número de produtos defeituosos pode ser qualquer número inteiro variando de 0 a 5 inclusive, então os valores possíveis Xeu variável aleatória X são iguais:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probabilidade R(X =k) que a amostra contém exatamente k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produtos defeituosos, é igual

P (X = k) = .

Como resultado dos cálculos usando esta fórmula com precisão de 0,001, obtemos:

R 1 =P(X = 0) @ 0,583;R 2 =P(X = 1) @ 0,340;R 3 =P(X = 2) @ 0,070;

R 4 =P(X = 3) @ 0,007;R 5 =P(X= 4) @ 0;R 6 =P(X = 5) @ 0.

Usando igualdade para verificar Rk=1, garantimos que os cálculos e arredondamentos foram feitos corretamente (ver tabela).

XI
eu

EXEMPLO 4. Dada uma série de distribuição de uma variável aleatória X :

XI
eu

Encontre a função de distribuição de probabilidade F(X) desta variável aleatória e construí-la.

Solução. Se X£ 10 então F(X)=P(X<X) = 0;

se 10<X£20 então F(X)=P(X<X) = 0,2 ;

se 20<X£ 30 então F(X)=P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

se 30<X£ 40 então F(X)=P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

se 40<X£ 50 então F(X)=P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Se X> 50, então F(X)=P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.