Cone. Tronco

Superfície cônica chamada de superfície formada por todas as linhas retas que passam por cada ponto da curva dada e um ponto fora da curva (Fig. 32).

Essa curva é chamada guia , direto - gerando , ponto - cume superfície cônica.

Superfície cônica circular reta chamada de superfície formada por todas as linhas que passam por cada ponto do círculo dado e um ponto na linha que é perpendicular ao plano do círculo e passa pelo seu centro. No que se segue, esta superfície será brevemente referida como superfície cônica (fig.33).

cone (cone circular reto ) é chamado de corpo geométrico limitado por uma superfície cônica e um plano paralelo ao plano do círculo guia (Fig. 34).

Arroz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Um cone pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo contendo um dos catetos do triângulo.

O círculo que limita o cone é chamado base . O vértice de uma superfície cônica é chamado cume cone. O segmento de linha que liga o topo de um cone com o centro de sua base é chamado alta cone. Os segmentos que formam uma superfície cônica são chamados gerando cone. eixo de um cone é uma linha reta que passa pelo vértice do cone e pelo centro de sua base. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone. Desenvolvimento da superfície lateral Um cone é um setor cujo raio é igual ao comprimento da geratriz do cone, e o comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base do cone.

Para um cone, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde Ré o raio da base;

H- altura;

eu- o comprimento da geratriz;

S principal- área de base;

lado S

S cheio

Vé o volume do cone.

cone truncado chamada de parte do cone encerrada entre a base e o plano de corte paralelo à base do cone (Fig. 35).

Um cone truncado pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um trapézio retangular em torno de um eixo contendo a face lateral do trapézio, perpendicular às bases.

Os dois círculos que delimitam o cone são chamados de motivos . Altura de um cone truncado é a distância entre suas bases. Os segmentos que formam a superfície cônica de um cone truncado são chamados gerando . A reta que passa pelos centros das bases chama-se eixo cone truncado. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone truncado.

Para um cone truncado, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

(8)

Onde Ré o raio da base inferior;

ré o raio da base superior;

Hé a altura, l é o comprimento da geratriz;

lado Sé a área de superfície lateral;

S cheioé a área total da superfície;

Vé o volume do cone truncado.

Exemplo 1 A seção do cone paralela à base divide a altura na proporção de 1:3, contando a partir do topo. Encontre a área da superfície lateral de um cone truncado se o raio da base e a altura do cone forem 9 cm e 12 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 36).

Para calcular a área da superfície lateral de um cone truncado, usamos a fórmula (8). Encontre os raios das bases Cerca de 1A e Cerca de 1 V e gerando AB.

Considere triângulos semelhantes SO 2B e SO 1A, coeficiente de similaridade , então

Daqui

Desde então

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual a:

Responda: .

Exemplo2. Um quarto de círculo de raio é dobrado em uma superfície cônica. Encontre o raio da base e a altura do cone.

Solução. O quádruplo de um círculo é um desenvolvimento da superfície lateral do cone. Indicar ré o raio de sua base, H- altura. A área de superfície lateral é calculada pela fórmula: . É igual à área de um quarto de círculo: . Obtemos uma equação com duas incógnitas r e eu(gerador de um cone). Neste caso, a geratriz é igual ao raio de um quarto de círculo R, então obtemos a seguinte equação: , de onde Conhecendo o raio da base e a geratriz, encontramos a altura do cone:

Responda: 2cm, .

Exemplo 3 Um trapézio retangular com um ângulo agudo de 45 O, uma base menor de 3 cm e um lado inclinado igual a , gira em torno do lado perpendicular às bases. Encontre o volume do corpo de revolução obtido.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 37).

Como resultado da rotação, obtemos um cone truncado; para encontrar seu volume, calculamos o raio da base maior e a altura. em um trapézio O 1 O 2 AB vamos gastar AC^O 1B. Em temos: então este triângulo é isósceles CA=BC\u003d 3 cm.

Responda:

Exemplo 4 Um triângulo com lados 13 cm, 37 cm e 40 cm gira em torno de um eixo externo que é paralelo ao lado maior e está a 3 cm dele (o eixo está localizado no plano do triângulo). Encontre a área da superfície do corpo de revolução resultante.

Solução . Vamos fazer um desenho (Fig. 38).

A superfície do corpo de revolução resultante consiste nas superfícies laterais de dois cones truncados e na superfície lateral do cilindro. Para calcular essas áreas, é necessário conhecer os raios das bases dos cones e do cilindro ( SER e CO) formando cones ( BC e CA) e a altura do cilindro ( AB). O desconhecido é apenas CO. é a distância do lado do triângulo ao eixo de rotação. Vamos encontrar DC. A área do triângulo ABC de um lado é igual ao produto da metade do lado AB pela altura desenhada para ele DC, por outro lado, conhecendo todos os lados do triângulo, calculamos sua área usando a fórmula de Heron.

Ao estudar o material do tópico, você precisa aprender:

tipos de corpos de revolução;

definições de corpos de revolução;

definições de elementos de corpos de revolução;

conceitos de desenvolvimento de um cilindro e um cone;

definição e cálculo da superfície lateral e total do cilindro e do cone;

definição do plano tangente à esfera e suas propriedades;

o conceito de área de superfície de uma esfera;

definição de um poliedro inscrito numa esfera e descrito à sua volta.

No processo de resolução de problemas, as seguintes habilidades são testadas:

retratam corpos de revolução;

Calcular elementos de corpos de revolução;

retratar seções de corpos;

Calcule a área da superfície lateral e total do cilindro e do cone;

Escreva uma equação para uma esfera.

Questões da prova teórica

Opção 1

1. O conceito de superfície cilíndrica e seus elementos. Formule a definição de um cilindro e seus elementos.

2. Deduza uma fórmula para calcular a área da superfície de uma esfera.

3. Encontre a razão entre a área da superfície lateral e a seção axial do cone.

opção 2

1. O conceito de superfície cônica. Formule a definição de um cone e seus elementos.

2. Determine a posição do centro da esfera circunscrita a uma pirâmide quadrangular regular. Prove sua afirmação.

3. Encontre a razão entre a área da superfície lateral e a seção axial do cilindro.

Opção 3

1. Formule a definição de cone truncado e seus elementos.

2. Determine a posição do centro da esfera inscrita em uma pirâmide triangular regular. Prove sua afirmação.

3. Prove que a superfície total de um cone equilátero é igual à superfície de uma bola com diâmetro igual à altura do cone.

Opção 4

1. Formule as definições de esfera e bola. Escreva as equações de uma esfera de raio R centrada no ponto O(0; 0; 0) e no ponto A(x0; y0; z0).

2. Deduza uma fórmula para calcular a superfície lateral de um cone.

3. Prove que a área da superfície total de um cilindro é igual à área da superfície lateral de outro cilindro de mesmo raio, cuja altura é igual à soma do raio e a altura desse cilindro .

Trabalho independente 17

Opção 1

1. A área da seção axial do cilindro é 16. Encontre a área da seção deste cilindro, que é paralela ao eixo e localizada a uma distância dele igual à metade do raio da base de o cilindro.

2. O semicírculo é dobrado em uma superfície cônica. Encontre o ângulo entre a geratriz e a altura do cone.

3. Os raios de duas bolas são 16 e 20 dm, a distância entre seus centros é 25 dm. Encontre a circunferência do círculo onde suas superfícies se cruzam.

opção 2

1. O raio da base do cilindro é de 26 cm, formando 4,8 dm. A que distância do eixo do cilindro deve ser traçada uma seção paralela ao eixo e com a forma de um quadrado?

2. O raio do setor é 3 m, seu ângulo é 120°. O setor é dobrado em uma superfície cônica. Encontre o raio da base do cone.

3. As diagonais do losango são 30 e 40 cm. A superfície esférica toca todos os lados do losango. Encontre a distância do centro da esfera ao plano do losango se o raio da esfera for 13 cm.

Opção 3

1. O raio da base do cilindro é 12 cm. Encontre a distância entre a seção axial e a seção com metade da área.

2. O ângulo de desenvolvimento da superfície lateral do cone é de 120°. A geratriz do cone é 15 cm Calcule o diâmetro da base do cone.

3. Um losango é sobreposto a uma bola de raio de 10 cm, de modo que cada lado, igual a 12,5 cm, toque a bola. O plano do losango está a 8 cm do centro da bola. Encontre a área do losango.

Opção 4

1. Duas seções perpendiculares entre si são traçadas através da geratriz do cilindro, cujas áreas são iguais a 60 e 80 dm. Encontre a área da seção axial.

2. O raio da base do cone é de 12 cm, formando 40 cm. Calcule o ângulo de varredura desse cone.

3. Os lados do triângulo são 10 dm, 10 dm e 12 dm. Encontre a distância do plano do triângulo ao centro da bola tangente aos lados do triângulo. O raio da bola é de 5 dm.

Trabalho independente 18

Opção 1

1. A diagonal da seção axial do cilindro é 25% maior que o diâmetro de sua base. Encontre a área total do cilindro se a distância entre seus centros for 15 cm.

2. Desenvolvimento da superfície lateral do cilindro - um quadrado com um lado de 4 dm. Encontre o volume do cilindro.

3. As diagonais da seção axial do cone truncado são mutuamente perpendiculares, a altura do cone é H, formando l. Encontre a superfície lateral do cone.

4. O raio da base do cone é de 12 cm, formando 40 cm. Encontre o ângulo de desenvolvimento da superfície lateral do cone.

5. Gerador de um cone truncado 10 cm, diferença de base 6 cm, área de seção axial 112 cm2. Encontre a superfície lateral do cone.

6. Um paralelogramo cujos lados são 21 cm e 89 cm e cuja diagonal é 100 cm gira em torno do lado menor. Encontre o volume do corpo de revolução.

7. Um triângulo retângulo com catetos 16 e 12 cm gira em torno da hipotenusa. Encontre o volume e a área de rotação.

opção 2

1. A superfície lateral do cilindro é metade de sua superfície total. Encontre a superfície total do cilindro se a diagonal da seção axial for 10 pol.

2. A superfície total do cilindro é 500 p cm2, o diâmetro de sua base é 20 cm. Encontre o volume do cilindro.

3. A geratriz de um cone truncado refere-se à sua altura como 41:40. Os raios da base são 24 e 6 cm Encontre a superfície lateral do cone.

4. O ângulo de desenvolvimento da superfície lateral do cone é de 120°. A geratriz do cone é 15 cm. Encontre a superfície total do cone.

5. Encontre a altura de um cone truncado se sua superfície lateral for igual à soma das áreas das bases e os raios das bases forem R e r.

6. Um trapézio isósceles com bases de 12 e 18 cm e um ângulo agudo de 60° gira em torno de uma base menor. Encontre a superfície e o volume do corpo de revolução.

7. Um triângulo com dois lados iguais a 5 cm e 8 cm, faz um ângulo de 60°, gira em torno do lado maior. Encontre a superfície e o volume do corpo de revolução.

Trabalho independente 19

Opção 1

1. Um triângulo retângulo com catetos 16 e 12 cm gira em torno da hipotenusa. Encontre a superfície do corpo de revolução.

2. Os raios das bases do cinturão esférico são 63 e 39 cm, sua altura é 36 cm. Encontre a superfície do cinturão esférico.

3. A altura de uma pirâmide triangular regular h. As costelas laterais são mutuamente perpendiculares. Encontre o raio da esfera circunscrita.

4. Em uma pirâmide truncada triangular regular, a altura é 17 cm, os raios dos círculos descritos em torno das bases são 5 e 12 cm. Encontre o raio da bola circunscrita.

5. Um quadrado de lado igual a a gira em torno de uma perpendicular à diagonal, traçada por sua extremidade. Encontre a superfície do corpo resultante.

opção 2

1. Um triângulo cujos dois lados medem 5 e 8 cm, formam um ângulo de 60°, gira em torno do maior lado. Encontre a superfície do corpo de revolução.

2. A superfície total do segmento esférico é igual a S. Determine a altura do segmento se o raio da bola for R.

3. A base da pirâmide é um triângulo regular, cujo lado mede 3 dm. Uma das arestas laterais tem 2 dm e é perpendicular à base. Encontre o raio da esfera circunscrita.

4. Os lados das bases de uma pirâmide truncada quadrangular regular são 7 e 1 dm. A aresta lateral está inclinada em relação à base em um ângulo de 45° Encontre o raio da esfera circunscrita.

5. Um hexágono regular de lado a gira em torno do eixo externo, que é paralelo ao lado e afastado dele pelo comprimento do apótema. Encontre a superfície do corpo resultante.

Trabalho independente 20

Opção 1

1. A aresta lateral de uma pirâmide triangular regular é igual a b e forma um ângulo a com o plano de base. Um cilindro equilátero está inscrito em uma pirâmide de modo que o plano da base esteja no plano da base da pirâmide. Encontre o volume do cilindro.

2. A base da pirâmide é um triângulo regular. Uma aresta lateral é perpendicular ao plano de base e é igual a l, e as outras duas formam um ângulo a com o plano de base. Um prisma reto está inscrito na pirâmide, dos quais três vértices estão nas bordas laterais da pirâmide e os outros três estão na base da pirâmide, a diagonal da face lateral do prisma está com o plano da base Ð b. Encontre a altura do prisma.

3. Em um prisma quadrangular regular, a área da face lateral é igual a q. Encontre a área da seção diagonal.

4. Um plano perpendicular ao diâmetro da bola a divide em partes de 3 e 9 cm. Em que partes é dividido o volume da bola?

opção 2

1. O ângulo no topo da seção axial do cone é 2b. A circunferência da base é c. Determine a área da superfície lateral do cone.

2. As diagonais da seção axial de um cone truncado são divididas pelo ponto de interseção na proporção de 2:1, contando a partir da base maior. O ângulo entre as diagonais voltadas para a base é a. A diagonal é l. Encontre o volume do cone.

3. A aresta lateral de um paralelepípedo reto é de 5 cm, os lados da base são de 6 e 8 cm, uma das diagonais da base é de 12 cm. Encontre as diagonais do paralelepípedo.

4. Que parte do volume da bola é o volume de um segmento esférico com altura igual a 0,1 do diâmetro da bola?

Opção 3

1. A geratriz do cone é igual a l e está inclinada em relação ao plano da base em um ângulo a. Determine a área total da superfície do cubo inscrito.

2. Na base do cone está inscrito um quadrado cujo lado é a. O plano que passa por um dos lados desse quadrado e o vértice do cone, ao se cruzar com a superfície do cone, forma um triângulo isósceles com ângulo no vértice igual a a. Encontre o volume do cone.

3. O lado da base de um prisma quadrangular regular é 15 cm e a altura é 20 cm. Encontre a menor distância do lado da base à diagonal do prisma que não o intercepta.

4. Duas bolas iguais estão dispostas de modo que o centro de uma fique sobre a superfície da outra. Como o volume da parte total das bolas está relacionado ao volume da bola inteira?

Opção 4

1. Um prisma triangular reto com nervuras iguais está inscrito em um cone, cuja geratriz é inclinada em relação ao plano da base em um ângulo a. Encontre o volume do prisma se o raio da base do cone for R.

2. O volume do cone é V. Uma pirâmide está inscrita no cone, na base da qual se encontra um triângulo isósceles com um ângulo a entre os lados. Encontre o volume da pirâmide.

3. Em um paralelepípedo direito, a aresta lateral é de 1 m, os lados da base são 23 dm e 11 dm, as diagonais da base são 2: 3. Encontre as áreas das seções diagonais.

4. No lado da base a e na aresta lateral b, encontre a superfície completa de um prisma hexagonal regular.

. Cone. Conceitos Básicos.

Definição. cone chamada de figura geométrica obtida pela rotação de um triângulo retângulo em torno de uma de suas pernas. A perna, em relação à qual a rotação ocorre - eixo cone, numericamente igual à sua altura; segunda perna - raio motivos; hipotenusa - geratriz (forma a superfície lateral do cone durante a rotação).

M- topo do cone O- centro básico MO- o eixo do cone, MO = Hé a altura do cone, OA = OV =…= Ré o raio da base, SOU= BM =…= eué a geratriz de um cone. Corte axial do cone triângulo isósceles (por exemplo, triângulo AMB). A seção de um cone por um plano paralelo à base é um círculo semelhante à base.

O desenvolvimento da superfície do cone consiste em um círculo e um setor do círculo.

. Tronco.

Definição. cone truncado chamada de figura geométrica obtida pela rotação de um trapézio retangular em torno de seu lado menor. Em outras palavras: um cone truncado é a parte do cone encerrada entre a base e a seção do cone paralela à base. Seção axial trapézio isósceles (por exemplo, ABB 1 MAS 1 ) .

B 1 UMA 1

. Volume e área de superfície de um cone.

	truncado

Aqui Ré o raio da base inferior, ré o raio da base superior, H- altura, eu- gerando.

Dúvidas e tarefas

Um saco é dobrado de papel, com a forma de um cone com um raio de base de 5 cm e uma altura de 10 cm. Determine a área da superfície do saco.

A geratriz do cone é de 2 cm e o raio da base é de 1 cm. Explique se a área de sua superfície total é maior ou menor que 6 cm 2.

Encontre a área total da superfície do cone se:

a) o raio de sua base é 2 e a geratriz é 4;

b) o raio da base é 3 e a altura é 4;

c) o raio da base é 4 e o ângulo de inclinação da geratriz em relação à base é 30 0 .

Encontre o volume do cone se:

a) o raio da base é 2 e a altura é 3;

b) o raio de sua base é 3 e a geratriz é 5;

c) o raio da base é igual a 2, e a geratriz está inclinada ao plano da base em um ângulo de 30°;

d) o raio da base é 3 e a área da seção axial é 12.

uma e b (uma < b) gira primeiro em torno de um deles e depois em torno do outro. Comparar:

a) a área das superfícies laterais dos cones obtidos;

b) as áreas das superfícies totais dos cones resultantes.

Um triângulo retângulo isósceles com catetos de comprimento 2 é girado em torno da hipotenusa. Encontre a área da superfície resultante.

Um triângulo retângulo com catetos 3 e 4 gira em torno da hipotenusa. Encontre a área da superfície resultante.

Um triângulo retângulo com catetos de 6 cm e 8 cm gira em torno do cateto menor. Calcule as áreas das superfícies laterais e cheias do cone formadas durante esta rotação.

Triângulo direito com pernas uma e b gira em torno da hipotenusa. Encontre o volume do corpo de revolução resultante.

Um paralelogramo com lados de 6 cm e 8 cm e um ângulo de 60 0 é girado em torno de uma linha reta contendo o lado maior do paralelogramo. Encontre a área da superfície resultante.

O ângulo entre a geratriz e o eixo do cone é de 45°, a geratriz é de 6,5 cm. Encontre a área da superfície lateral do cone.

A área da seção axial do cone é de 0,6 cm². A altura do cone é de 1,2 cm. Calcule a área total da superfície do cone.

Encontre o volume de um cone se a área da base for Q e a área da superfície lateral for P.

A altura de um cone é igual ao diâmetro de sua base. Encontre o volume de um cone se sua altura for H.

Encontre o volume de um cone se sua geratriz for 13 cm e a área da seção axial for 60 cm².

Os raios das bases do cone truncado são 3 m e 6 m, e a geratriz é 5 m. Encontre o volume do cone truncado.

Considera-se um cone com raio da base de 5 cm e geratriz de 3 cm. Uma seção paralela à base do cone é traçada através de um ponto da geratriz localizado a uma distância de 1 cm do topo. Conclua as seguintes tarefas em sequência:

a) encontre a área desta seção;

b) encontre a área da superfície lateral deste cone;

c) encontre a área da superfície lateral do cone cortada pelo plano traçado;

d) encontrar a área da superfície lateral do cone truncado cortada pelo plano traçado;

e) encontre a área total da superfície desse cone truncado.

Encontre a geratriz de um cone truncado se os raios das bases forem 3 cm e 6 cm e a altura for 4 cm.

A área da base do cone é de 12 cm², sua altura é de 6 cm. Encontre a área de sua seção, paralela à base e desenhada:

a) pela altura média;

b) a uma distância de 2 cm do topo do cone;

c) a uma distância de 4 cm do topo do cone.

Encontre os volumes dos cones cujas bases são as seções consideradas e cujo vértice é o vértice do cone dado.

A área da base do cone é de 25 cm² e a altura é de 5 cm. Uma seção paralela à base é desenhada a uma distância de 1 cm do topo. Encontre o volume do cone truncado cortado pela seção desenhada.

A altura do cone é de 5 cm. A uma distância de 2 cm do topo, ele é atravessado por um plano paralelo à base. Encontre o volume do cone original se o volume do cone menor cortado do cone original for 24 cm³.

Em um cone truncado, a altura é conhecida h, formando l e área S superfície lateral. Encontre a área da seção axial e o volume do cone truncado.

Como é sabido; quando um ponto gira em torno de um eixo, ele se move em um plano perpendicular ao eixo de rotação e descreve um círculo. Para aplicar o método de rotação para transformar o desenho, observamos os seguintes quatro elementos (Fig. 5.8):

eixo de rotação (MN);

plano de rotação de ponto(pl. S é perpendicular (MN));

centro de rotação;

raio de rotação (R; R= |OA|).

Como eixo de rotação, normalmente são utilizadas linhas retas, perpendiculares ou paralelas aos planos de projeção. Considere a rotação em torno de eixos perpendiculares aos planos de projeção.

Rotação do ponto A no desenho sobre o eixo MN, perpendicular ao plano H, mostrado na figura 5.9. Plano de rotação S é paralelo ao plano H e é representado na projeção frontal como segue S v. Projeção horizontal sobre o centro de rotação sobre coincide com a projeção tp eixos e a projeção horizontal oa raio de rotação OA é o seu valor natural. rotação de ponto MAS na figura 5.9 é feito por um ângulo φ no sentido anti-horário de modo que na nova posição do ponto com projeções a1", a1 o raio de rotação era paralelo ao planoV Quando um ponto gira em torno do eixo vertical, sua projeção horizontal se move ao longo do círculo e a projeção frontal se move paralela ao eixo x e perpendicular ao eixo de rotação.

Se o ponto for girado em torno de um eixo perpendicular ao plano V, sua projeção frontal se moverá ao longo do círculo e a projeção horizontal se moverá paralelamente ao eixo x.

A rotação de um ponto em torno de uma linha projetada é usada para resolver alguns problemas, por exemplo, para determinar o tamanho natural de um segmento de linha. Para isso (Fig. 5.10), um eixo de rotação com projeções é suficiente t "p", tp escolha para que passe por um dos pontos extremos do segmento, por exemplo, um ponto com projeções b", B. Então, ao virar o ponto MAS ângulo φ na posição A1 (OA1 || quadrado V, oa, || eixo x) segmento AB move para a posição A1B, paralelo ao plano V e, portanto, é projetada nele em tamanho real. Ao mesmo tempo, o ângulo a da inclinação do segmento será projetado em tamanho real AB ao plano H.

Rotação (rotação) de um ponto com projeções b", b em relação ao eixo com projeções t"p", tp, perpendicular ao plano V, mostrado na Figura 5.11. Ao girar o ponto NO movido no plano de rotação T (Th) para posicionar com projeções b1", b1 para que o raio de rotação OV tornar-se paralelo ao plano H (o "b" || eixo x).

Aplicação do método de rotação sem indicar no desenho os eixos de rotação perpendiculares aos planos de projeção.Se você girar uma figura geométrica em torno de um eixo perpendicular ao plano de projeção, a projeção nesse plano não muda nem na aparência nem no tamanho (apenas a posição da projeção em relação ao eixo de projeção muda). As projeções de pontos de uma figura geométrica em um plano paralelo ao eixo de rotação se movem ao longo de linhas retas paralelas ao eixo de projeção (com exceção das projeções de pontos localizados no eixo de rotação), e a projeção como um todo muda em forma e tamanho. Portanto, é possível aplicar o método de rotação sem especificar a representação do eixo de rotação. Naquilo

caso, sem alterar o tamanho e a forma de uma das projeções da imagem geométrica, mova essa projeção para a posição desejada e, em seguida, construa outra projeção conforme indicado acima.

A Figura 5.12 mostra o uso do método de rotação sem especificar os eixos para determinar o tamanho real do triângulo abc, dado por projeções a"b"c", ab. Para fazer isso, são realizadas duas rotações do plano em posição geral, na qual o triângulo está localizado, de modo que após a primeira rotação esse plano se torne perpendicular ao plano V, e após a segunda - paralela ao plano H. A primeira rotação em torno do eixo perpendicular ao plano H, sem especificar sua posição, foi realizada usando uma horizontal com projeções s"1", s-1 no plano do triângulo. Neste caso, a projeção horizontal aс girado para coincidir com a direção de projeção. A projeção horizontal do triângulo mantém sua forma e tamanho, apenas sua posição muda. pontos A, B e C com tal rotação, eles se movem em planos paralelos ao plano H. Projeções a1", c1, b1" a"a1", b"b1" e c"c1". A projeção frontal do triângulo na nova posição é o segmento a1"b1"c1".

A segunda rotação, levando o triângulo a uma posição paralela ao plano H, é feita em torno do eixo de rotação perpendicular ao plano H (a posição do eixo também não é indicada). A projeção frontal na segunda rotação mantém a aparência e o tamanho obtidos após a primeira rotação. pontos A1, D1 e C1 mover-se em planos paralelos ao plano V Projeções a 2 , b 2 , c 2 estão em linhas horizontais de comunicação a, a 2, blb2, c1c2. Projeção a2b2c 2 é o tamanho real do triângulo dado.

Ao realizar as rotações consideradas em torno de eixos perpendiculares aos planos de projeção, esses eixos não são indicados, mas podem ser facilmente encontrados. Por exemplo, se você desenhar segmentos aa1, b1b2 e traçar perpendiculares através de seus pontos médios, então o ponto de interseção resultante dessas perpendiculares será a projeção horizontal do eixo de rotação perpendicular ao plano H.

O uso do método de rotação sem especificar os eixos simplifica um pouco a construção, não há sobreposição de um

seção em outra, mas o desenho ocupa uma grande área. (O caso considerado de rotação sem representar os eixos de rotação é um caso especial do método de movimento plano-paralelo.)

Um método de rotação em torno de linhas retas paralelas aos planos de projeção.O tamanho natural de uma figura plana pode ser determinado girando em torno de um eixo paralelo ao plano de projeção, levando a figura a uma posição paralela ao plano de projeção com uma volta.

A Figura 5.13 mostra a definição do tamanho de um triângulo com projeções a"b"c", abc rotação em torno da horizontal.Neste caso, todos os pontos do triângulo(com exceção daqueles que se encontram no eixo de rotação)girar em torno de um eixo em círculos em planos perpendiculares ao eixo.Se o triângulo toma uma posição paralela ao plano de projeções, os raios de rotação de seus pontos serão paralelos a este plano, ou seja, serão projetados no plano H tamanho real.

A horizontal com projeções foi tomada como eixo de rotação s"1", s-1.

O ponto C no eixo de rotação permanece fixo. Para visualizar a projeção horizontal do triângulo após a rotação, você precisa encontrar a posição das projeções de seus outros dois vértices. Vértices com projeções a", a e b", b deslocamento triângulo-

estão em aviões P e Q movimento desses pontos. Projeção horizontal cerca de centro de rotação do vértice MAS é o ponto de intersecção da projeção horizontal s-1 eixos de rotação com projeção horizontal Ph.h. Sua projeção frontal está marcada nele. o. Segmentos oa - horizontais, o "um" - projeção frontal do raio de rotação do ponto MAS. tamanho real oA raio de rotação do ponto MAS definido da maneira discutida em 2.3 (veja a Fig. 2.9), ou seja, construindo um triângulo retângulo. Nas pernas oa e aA \u003d o "2" um triângulo é construído oa, sua hipotenusa é igual ao raio de rotação do ponto MAS.

A partir de uma projeção sobre ponto de pivô MAS na direção do traço Ph do plano de seu movimento, deixamos de lado o valor natural do raio de rotação. Marcando a projeção horizontal a, pontos A, girado para a posição de um triângulo paralelo ao plano N. Ponto de projeção horizontal bt NO na posição girada encontramos como o ponto de interseção da projeção horizontal 1-аt com traço Q h . Projeção horizontal a1cb1 expressa o valor natural de A ABC, pois após a rotação o plano do triângulo é paralelo ao plano N. A projeção frontal do triângulo girado coincide com a projeção frontal do triângulo 1 "s", ou seja, é um segmento de reta.

Se você deseja girar uma imagem geométrica plana para uma posição paralela ao plano V, então o frontal é escolhido para o eixo de rotação.

Gire o plano em torno de seu traço até que coincida com o plano de projeção correspondente(este caso também é chamado de método de combinação). Se o plano for girado em torno de seu traço até coincidir com o plano de projeção no qual este traço está localizado, as imagens geométricas localizadas no plano serão exibidas sem distorção. Este método é um caso especial de rotação em torno de uma horizontal ou frontal, pois o traço horizontal do plano pode ser considerado como a horizontal “zero” do plano horizontal, e o traço frontal como o frontal “zero”.

A Figura 5.14 mostra uma representação visual da rotação do plano de posição geral R em torno da pista horizontal P h na direção do avião V para o visualizador até alinhado com o plano N. Na posição de alinhamento plano R com avião

H linha reta P Uq é um traço R e, alinhado com o plano N. Trace Ph como o eixo de rotação não muda sua posição. Ponto Rx interseção de traços também não altera sua posição. Para construir uma posição combinada P L , um traço P v basta encontrar mais um ponto, por exemplo o ponto N, este traço (exceto para o ponto Rx) em uma posição alinhada com o plano N.

Ponto N descreve um arco em um plano Q, perpendicular ao eixo de rotação. Centro O este arco é o ponto de intersecção do plano Q com traço P h . Ponto N 0 no plano H é o ponto de intersecção do arco de raio ON no plano Q com traço Q h . Traçando uma linha reta passando por P x e N 0, obtemos P U0 . Segmento P X N não altera seu comprimento quando o plano gira; então aponte N0 pode ser obtido cruzando Qh com um arco descrito em um plano H, do ponto Р x com raio P X N.

Para realizar as construções consideradas no desenho (Fig. 5.15) no traço R e ponto arbitrário selecionado N (coincide com sua projeção P"). Através de sua projeção horizontal P direto sobre, perpendicular ao eixo de rotação - traço Ph.h. Um ponto é encontrado nesta linha N 0 , ou seja, ponto N após o alinhamento com o plano N. Ela foi encontrada à distância P X N 0 \u003d P x n "do ponto P x ou à distância oN 0 a partir do ponto o, igual ao raio de rotação do ponto N. Comprimento do raio oN 0 = oN definido, por exemplo, como a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos on e nN (nN=nn"). Linha reta P U0 , passando por pontos P x e N 0, - posição da pista combinada R e.

A posição combinada do ponto C0 é construída de forma semelhante C. Raio de rotação oC encontrado como a hipotenusa de um retângulo

triângulo com uma perna oc, a outra perna cc = s "1. A segunda versão da construção é feita usando o plano horizontal P com projeções c"2", c -2. Usando o raio do arco R x 2" posição correspondente encontrada 2o pontos 2 na linha Pv0, e na posição combinada 20C0 uma linha horizontal que passa por um ponto 2 0 paralelo ao traço de Ph.

Se for necessário combinar o plano com o plano de projeção frontal, o plano deve ser girado em torno de seu traçado frontal.

Nos desenhamos

6.1. Seja um prisma adequado. A transferência é dada pelo vetor: a) 0,5AB; b) AO, onde O é o centro da base inferior. Desenhe a imagem do prisma durante esta tradução. Desenhe a união e a interseção dos prismas original e resultante.

6.2. Dado um tetraedro regular. Desenhe um tetraedro, que é obtido a partir do dado como resultado de: a) simetria central em torno do meio da altura; b) simetria do espelho em relação ao plano que passa pelo meio da altura perpendicular a ele; c) rotação de 60° em torno de sua altura; d) uma rotação de 90" em torno da linha que une os pontos médios de suas bordas opostas. Desenhe a união e interseção do tetraedro original e resultante.

6.3. dado cubo. Desenhe um cubo, que é obtido a partir do dado como resultado de: a) transferência para um vetor direcionado ao longo de sua diagonal, com comprimento de metade desta diagonal; b) simetria central em torno de um ponto localizado em sua diagonal e dividindo-o na proporção de 2:1; c) simetria do espelho em relação a um plano que o intercepta ao longo de um hexágono regular; d) gire 90" em torno de uma linha reta que passa pelos pontos médios de duas arestas paralelas que não estão na mesma face. Desenhe a união e interseção dos cubos originais e resultantes.

6.4. Desenhe os corpos que podem ser obtidos girando o círculo

6.5. Desenhe os corpos obtidos girando: a) um cubo em torno de uma aresta; b) um cubo em torno da diagonal; c) um tetraedro regular em torno de uma aresta; d) um cone em torno de uma linha reta paralela ao eixo e passando fora dele.

Estão planejando

6.6. Como encontrar o volume e a área de superfície das figuras - uniões e interseções - das tarefas 6.1, 6.2?

6.7. Como encontrar o volume e a área da superfície das figuras do problema 6.5?

Apresentando

6.8. O centro de simetria de um corpo pode não pertencer a ele?

6.9. Dois segmentos iguais: a) paralelos; b) ter exatamente um ponto comum; c) cruzar. Que movimento um deles pode exibir no outro?

6.10. Dois segmentos são simétricos entre si em relação a dois planos. Qual será a figura se suas extremidades estiverem conectadas em série por segmentos?

6.11. Todos os planos possíveis são desenhados através de uma linha reta. Este ponto é refletido por todos esses planos. Que forma formam todos os pontos obtidos?

6.12. É verdade que: a) um paralelepípedo inclinado, de duas faces perpendiculares à base, tem um plano de simetria; b) entre as faces de um paralelepípedo com plano de simetria, há retângulos; c) um paralelepípedo com dois planos de simetria é retangular?

6.13. Como cortar um cubo em três pirâmides iguais?

Avalie

6.14. Um triângulo retângulo com hipotenusa d gira em torno de um dos catetos. Sob que condição o volume do corpo de revolução será o maior?

6.15. O perímetro de um triângulo isósceles é P. Este triângulo gira em torno da base. Qual desses triângulos dá o maior volume do corpo de revolução?

Nós pensamos

6.16. O centro de um cubo é refletido no plano de cada uma de suas faces. Prove que os pontos obtidos são os vértices do octaedro. É possível obter outros poliedros regulares desta forma?

6.17. Esta bola contém:

a) um tetraedro regular;

b) cubo. As faces deste poliedro foram estendidas até a intersecção com a esfera. Em que formas a esfera é dividida? Em que forma a bola é dividida? Quantos deles são iguais entre si?

Explorando

6.18. O movimento do espaço é uma tal transformação que coloca um ponto com coordenadas em correspondência com um ponto com coordenadas:

6.19. Um poliedro tem um centro de simetria, um centro de uma bola inscrita, um centro de uma bola inscrita e um centro de massa. Quantos desses pontos podem coincidir?

Entramos na universidade

6.20. Uma corda é desenhada a partir da extremidade do diâmetro da bola de modo que a superfície formada pela rotação em torno desse diâmetro divida o volume da bola em duas partes iguais. Determine o ângulo entre a corda e o diâmetro.

6.21. Um triângulo equilátero de lado a gira em torno de um eixo externo paralelo ao lado do triângulo e espaçado dele a uma distância igual à metade da altura do triângulo. Encontre o volume do corpo de revolução.

6.22. O triângulo gira em torno da bissetriz AD. Prove que as áreas das superfícies descritas neste caso pelos lados AB e AC estão relacionadas como os volumes obtidos pela rotação das partes ABD e

6.23. Um triângulo isósceles, cuja base é a, e o ângulo na base a, gira em torno de uma linha reta que passa por uma das extremidades da base perpendicular a ela. Encontre a área da superfície do corpo de revolução resultante.

6.24. A parte do quadrado ABCD, que permanece após um quarto de círculo com um centum no vértice D e raios iguais ao lado do quadrado, é cortada dele, gira em torno de um eixo que passa por D paralelo à diagonal AC . Encontre o volume do corpo de revolução resultante se o lado do quadrado for a.

6.25. A área de um trapézio retangular ABCD é igual a , o comprimento da altura AB é igual a h, o valor do ângulo agudo ADC do trapézio

igual a um. O ponto E é tomado do lado de CD de modo que . Encontre o volume do corpo obtido pela rotação do quadrilátero ABED em torno da linha AB.

6.26. Encontre o volume do corpo obtido pela rotação de um hexágono regular em torno de seu lado igual a um

6.27. Os pontos A e B são dados no círculo de um semicírculo de raio R. Se N é uma das extremidades do diâmetro e O é o centro do círculo, determine a área total da superfície do corpo formado pelo rotação do setor circular AOB em torno do diâmetro.

6.28. Dado um tetraedro regular ABCD. Cada um de seus vértices é refletido simetricamente em relação ao plano da face oposta a ele, resultando na obtenção dos pontos KLMN, respectivamente. Encontre a razão entre os volumes do tetraedro original e o resultante.

6.29. Os segmentos são desenhados no tetraedro conectando seus vértices com os pontos de interseção das medianas das faces opostas. Todos eles se cruzam no ponto O. O segundo tetraedro é simétrico ao primeiro em relação ao ponto O. O volume do tetraedro original é V. Encontre o volume da parte comum dos dois tetraedros.

Resposta: 0,5V.

6,30. O lado da base de um prisma regular tem um comprimento a, e a aresta lateral tem um comprimento de 1,125a. O ponto E é o meio da aresta AB e o ponto M está no segmento EC e EM EC. O segundo prisma é simétrico ao prisma em relação a uma linha reta Encontre o volume da parte comum desses prismas.

6.31. É dado um tetraedro regular de volume V. O segundo tetraedro é obtido a partir do primeiro girando-o no ângulo

e em torno da linha reta que liga os pontos médios das arestas de cruzamento do tetraedro. Encontre o volume da parte comum desses dois tetraedros.

6.32. Um cubo com uma aresta a é girado 90" em torno de uma linha reta que conecta os pontos médios de duas arestas paralelas que não estão na mesma face. Encontre o volume da parte comum do cubo original e da parte girada.

6.33. Uma pirâmide triangular regular com lado da base a é girada em torno do eixo de simetria por um ângulo de 60. Determine o volume da parte comum das pirâmides original e girada se as faces laterais forem triângulos retângulos.

6.34. Um tetraedro regular está inscrito em uma bola de raio R. Ao girá-lo em um ângulo - em torno da altura, é obtido um novo tetraedro, inscrito em uma bola. Encontre o volume da parte da esfera externa a ambos os tetraedros.

6,35. Um cone de revolução em torno de um eixo - uma linha reta perpendicular à sua altura e passando pelo vértice. Encontre a área da seção transversal do corpo de revolução resultante por um plano que passa pelo eixo de revolução se a geratriz do cone for 5 e a altura for 4.

TAREFAS Para § 26

Complementando a teoria

6.36. Prove que um plano passa por um plano paralelo a ele (se não por si mesmo) como resultado de:

uma transferência; b) simetria central.

Estão planejando

6.37. Em um cubo, o ponto O é o centro da face ABCD. Como calcular o ângulo entre a linha B, O e:

a) plano reto

d) avião

6.38. Seja PABCD uma pirâmide cuja base é o losango ABCD. RVCAVS). A área da face RVS é igual a S. Através do ponto K - o meio da aresta AD - é traçada uma seção paralela ao plano PAB. Como encontrar sua área?

6.39. Cada face lateral de um tetraedro regular girou em torno das bordas da base pelo mesmo ângulo para o exterior. Isso resultou em um poliedro com seis vértices e arestas iguais. Em que ângulo as bordas viraram?

Apresentando

6,40. Dois cones desiguais podem ter duas seções circulares iguais com o mesmo plano se estiverem no mesmo plano de um lado dele?

6.41. Os dois círculos são centralmente simétricos e não estão no mesmo plano. É verdade que estão na superfície de: a) uma esfera; b) um cilindro? E se esses círculos forem simétricos em espelho?

6.42. Nesse caso são dois iguais:

a) uma bola b) um cilindro; c) os cones são centralmente simétricos? Espelho simétrico?

6.43. Por quais rotações a bola pode ser mapeada sobre si mesma?

6.44. Por que turnos uma dessas figuras é mapeada para a outra se essas figuras são: a) duas linhas retas; b) dois planos; c) duas bolas iguais? Existe uma rotação que mapeia a segunda figura na primeira?

6,45. Sempre obtemos um corpo convexo girando uma figura convexa?

Nós pensamos

6,46. Usando propriedades de translação, prove que: a) duas perpendiculares a um plano são paralelas; b) dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos; c) se uma reta é paralela a uma reta perpendicular a um plano, então ela é perpendicular ao plano; d) os ângulos lineares de um ângulo diedro são iguais entre si.

6,47. Prove que a união de dois planos é uma figura: a) centralmente simétrica; b) espelho-simétrico.

6,48. A linha b é obtida da linha a por reflexão no plano a. Estas linhas têm um ponto comum. Prove que este ponto está no plano a.

6.49. Em uma bola de raio R, dois planos passam pelo centro, formando um ângulo entre eles. Como descobrir em que proporção eles quebraram o volume da bola?

6,50. Um plano é traçado pela bissetriz de um ângulo. Prove que os lados de um ângulo formam com ele ângulos iguais.

Explorando

6.51. É possível preencher todo o espaço com paralelepípedos iguais? Isso pode ser feito por outros poliedros iguais?

6,52. A seção de um corpo centralmente simétrico que passa pelo centro de simetria será centralmente simétrica?

6,53. O corpo é centralmente simétrico. Sua projeção ortogonal será centralmente simétrica? O contrário seria verdadeiro?

6,54. Cada um dos dois corpos é centralmente simétrico. Serão centralmente simétricos: a) unificação; b) cruzamento?

6,55. Um corpo centralmente simétrico é dividido por um plano. Uma parte dele acabou por ser centralmente simétrica. Haverá outra parte?

6,56. Existe um poliedro que tenha algum número pré-atribuído de planos de simetria?

TAREFAS Para § 27

Complementando a teoria

6,57. Prove que a composição de duas reflexões em planos de interseção é uma rotação, e em dois planos paralelos é uma translação.

6,58. Desenhe uma figura que passa por si mesma como resultado de: a) um parafuso; b) giro do espelho; c) reflexão deslizante.

6,59. Deixe o cubo Como resultado de algum movimento, ele passa para outro cubo. Desenhe este outro cubo se o movimento for: a) um parafuso com o eixo de rotação passando pelos centros das faces

vetor a, o ângulo de rotação é igual à rotação do espelho com o eixo de rotação , e reflexão em um plano perpendicular à reta e passando pelo centro do cubo; c) reflexão deslizante, onde a reflexão ocorre em um plano perpendicular à diagonal do cubo e passando pelo centro do cubo, e o vetor é igual a AC.

6,60. Seja RABC um tetraedro regular. Como resultado do movimento, ele passa para outro tetraedro. Desenhe este outro tetraedro se o movimento for assim:

a) um parafuso com um eixo de centro de rotação da base), um ângulo de rotação de 60 "e um vetor

b) rotação do espelho com eixo de rotação PQ, ângulo de rotação 60° e plano de reflexão perpendicular a PQ e passando pela meia altura

c) reflexão rasante com um plano de reflexão passando por PB e K - o meio do AC, e um vetor de 0,5 KV.

Apresentando

6.61. A orientação da base preserva: a) tradução; b) simetria central; c) simetria do espelho; d) volta; e) parafuso; e) rotação do espelho; g) reflexão deslizante?

6,62. O movimento tem pontos fixos, se este movimento: a) transferir; b) simetria central; c) simetria do espelho; d) volta; e) parafuso; e) rotação do espelho; g) reflexão deslizante?

6,63. Dados dois triângulos isósceles iguais. Que movimentos podem ser combinados se tiverem em comum: a) o topo de lados iguais; b) a lateral da base; c) lateral; d) mediana para base; e) a linha do meio dos lados?

c) uma de suas alturas a outra;

d) um segmento ligando os pontos médios de arestas opostas a outro segmento;

e) a seção de um plano de simetria para outro é a mesma;

f) uma seção que é um quadrado para outra que é a mesma? A segunda figura será mapeada na primeira em tal movimento?

6,66. Como resultado de quais movimentos são exibidos em si:

um corte b) linha reta; c) um círculo; d) quadrado; e) um polígono regular; e) losango; g) plano; h) ângulo diedro?

6,67. Como resultado de quais movimentos, o tetraedro RABC é exibido sobre si mesmo, no qual: a) ; b)

6,68. O corpo é a união de duas bolas, mas não uma bola. Que movimentos é exibido em si mesmo?

6,69. Uma pirâmide quadrangular tem: a) todas as arestas laterais são iguais e os ângulos planos opostos no topo são iguais;

b) todos os ângulos planos no vértice são iguais e as arestas laterais opostas são iguais. Com que movimentos pode ser autocombinado?

6,70. Que movimentos refletem o antiprisma em si mesmo?

6,71. Como dividir um cubo em: a) 8 cubos iguais; b) 6 pirâmides iguais; c) 3 pirâmides iguais; d) 4 prismas triangulares iguais?

6,72. Como dividir um prisma triangular reto em 3 tetraedros iguais? Algum deles é igual?

6,73. Como dividir um paralelepípedo em: a) 6 pirâmides de tamanhos iguais; b) três pirâmides iguais? Algum deles é igual?

6,74. Em uma bola de raio 1, foram desenhados três raios OA, OB, OS, dos quais cada dois são perpendiculares. Que parte do volume da bola é limitada por quartos dos grandes círculos da bola OAB, OAC, OBC e a superfície? Qual parte da superfície?

Nós pensamos

6,75. Duas pirâmides quadrangulares regulares e têm uma base comum ABCD. O ponto K é o meio da aresta, o ponto L é o meio da aresta, o ponto M é o ponto de interseção das medianas na face, o ponto N é o ponto de interseção das medianas na face. Prove que:

e) a distância do ponto K ao plano é igual à distância do ponto L ao plano da RHVS.

Explorando

6,76. Pegue a composição de quaisquer dois movimentos que você conheça e descubra: a) isso muda a orientação do plano; b) tem pontos fixos?

6,77. Quantos pontos fixos cada movimento que você conhece pode ter? Como eles estão localizados? E quantas linhas fixas pode ter? Aviões?

6,78. A linha b é obtida da linha a por algum movimento. Estabeleça a localização dessas linhas entre si, caso este movimento seja: a) um parafuso; b) giro do espelho; c) reflexão no espelho.

Trocando

6,79. Um fio é enrolado em um cilindro de raio R e altura H. Como você sabe o seu comprimento?

6,80. Você precisa projetar uma escada em espiral. Como você vai agir?

6,81. Você pode explicar como funciona um refletor de canto? É composto por três espelhos perpendiculares aos pares.