Uma série de resultados inerentes a esta ação podem ser notados. Esses resultados são chamados Propriedades da adição de números naturais. Neste artigo, analisaremos detalhadamente as propriedades da adição de números naturais, escreveremos usando letras e daremos exemplos explicativos.

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Propriedade associativa da adição de números naturais.

Agora damos um exemplo que ilustra a propriedade associativa da adição de números naturais.

Imagine uma situação: 1 maçã caiu da primeira macieira e 2 maçãs e mais 4 maçãs caíram da segunda macieira. Agora considere a seguinte situação: 1 maçã e mais 2 maçãs caíram da primeira macieira e 4 maçãs caíram da segunda macieira. É claro que o mesmo número de maçãs estará no chão tanto no primeiro quanto no segundo caso (o que pode ser verificado por recálculo). Ou seja, o resultado da adição do número 1 à soma dos números 2 e 4 é igual ao resultado da adição da soma dos números 1 e 2 ao número 4.

O exemplo considerado permite-nos formular a propriedade associativa da adição de números naturais: para somar uma dada soma de dois números a um dado número, pode-se somar o primeiro termo desta soma a este número e somar o segundo termo de essa soma ao resultado obtido. Esta propriedade pode ser escrita usando letras como esta: a+(b+c)=(a+b)+c, onde a , b e c são números naturais arbitrários.

Observe que na igualdade a+(b+c)=(a+b)+c existem parênteses "(" e ")". Parênteses são usados ​​em expressões para indicar a ordem em que as ações são executadas - as ações entre colchetes são executadas primeiro (mais sobre isso na seção). Em outras palavras, os colchetes incluem expressões cujos valores são avaliados primeiro.

Concluindo este parágrafo, notamos que a propriedade associativa da adição nos permite determinar de forma única a adição de três, quatro e mais números naturais.

A propriedade de adicionar zero e um número natural, a propriedade de adicionar zero a zero.

Sabemos que zero NÃO é um número natural. Então, por que decidimos considerar a propriedade de adição de zero e um número natural neste artigo? Há três razões para isso. Primeiro: esta propriedade é usada ao adicionar números naturais em uma coluna. Segundo: esta propriedade é usada ao subtrair números naturais. Terceiro: se assumirmos que zero significa ausência de algo, então o significado de somar zero e um número natural coincide com o significado de somar dois números naturais.

Façamos o raciocínio que nos ajudará a formular a propriedade de adição de zero e um número natural. Imagine que não há itens na caixa (em outras palavras, há 0 itens na caixa), e a itens são colocados nela, onde a é qualquer número natural. Ou seja, adicionado 0 e a itens. É claro que após esta ação há itens na caixa. Portanto, a igualdade 0+a=a é verdadeira.

Da mesma forma, se uma caixa contém um item e 0 itens são adicionados a ela (ou seja, nenhum item é adicionado), então após esta ação, um item estará na caixa. Então a+0=a.

Agora podemos enunciar a propriedade da adição de zero e um número natural: a soma de dois números, um dos quais é zero, é igual ao segundo número. Matematicamente, esta propriedade pode ser escrita como a seguinte igualdade: 0+a=a ou a+0=a, onde a é um número natural arbitrário.

Separadamente, prestamos atenção ao fato de que ao adicionar um número natural e zero, a propriedade comutativa da adição permanece verdadeira, ou seja, a+0=0+a .

Por fim, formulamos a propriedade de adição zero-zero (é bastante óbvia e dispensa comentários adicionais): a soma de dois números que são cada um zero é zero. Ou seja, 0+0=0 .

Agora é hora de descobrir como a adição de números naturais é realizada.

Bibliografia.

• Matemática. Quaisquer livros didáticos para as séries 1, 2, 3, 4 de instituições educacionais.
• Matemática. Quaisquer livros didáticos para 5 classes de instituições de ensino.

O tópico ao qual esta lição é dedicada é “Propriedades da Adição”. Nele, você conhecerá as propriedades comutativas e associativas da adição, examinando-as com exemplos específicos. Descubra quando você pode usá-los para facilitar o processo de cálculo. Os casos de teste ajudarão a determinar quão bem você aprendeu o material.

Lição: Propriedades de adição

Observe atentamente a expressão:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Precisamos encontrar seu valor. Vamos fazê-lo.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

O resultado da expressão 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Diga-me, foi conveniente calcular? Calcular não era muito conveniente. Olhe novamente para os números nesta expressão. É possível trocá-los para que os cálculos sejam mais convenientes?

Se reorganizarmos os números de forma diferente:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

O resultado final da expressão é 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vemos que os resultados das expressões são os mesmos.

Os termos podem ser trocados se for conveniente para cálculos, e o valor da soma não mudará a partir disso.

Existe uma lei na matemática: Lei comutativa da adição. Ele diz que a soma não muda com o rearranjo dos termos.

Tio Fyodor e Sharik discutiram. Sharik descobriu o valor da expressão como estava escrita, e tio Fyodor disse que conhecia outra maneira mais conveniente de calcular. Você vê uma maneira mais conveniente de calcular?

A bola resolveu a expressão como está escrita. E o tio Fyodor disse que conhece a lei que permite alterar os termos, e trocou os números 25 e 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vemos que o resultado continua o mesmo, mas o cálculo ficou muito mais fácil.

Observe as expressões a seguir e leia-as.

6 + (24 + 51) = 81 (a 6 some a soma de 24 e 51)
Existe uma maneira conveniente de calcular?
Vemos que, se somarmos 6 e 24, obtemos um número redondo. É sempre mais fácil adicionar algo a um número redondo. Pegue entre parênteses a soma dos números 6 e 24.
(6 + 24) + 51 = …
(adicione 51 à soma dos números 6 e 24)

Vamos calcular o valor da expressão e ver se o valor da expressão mudou?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vemos que o valor da expressão permanece o mesmo.

Vamos praticar com mais um exemplo.

(27 + 19) + 1 = 47 (adicione 1 à soma dos números 27 e 19)
Que números podem ser convenientemente agrupados de forma a obter uma forma conveniente?
Você adivinhou que esses são os números 19 e 1. Vamos fazer a soma dos números 19 e 1 entre parênteses.
27 + (19 + 1) = …
(para 27 some a soma dos números 19 e 1)
Vamos encontrar o valor desta expressão. Lembramos que a ação entre parênteses é executada primeiro.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

O significado da nossa expressão permanece o mesmo.

Lei associativa da adição: dois termos adjacentes podem ser substituídos por sua soma.

Agora vamos praticar usando as duas leis. Precisamos calcular o valor da expressão:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Primeiro, usamos a propriedade comutativa da adição, que nos permite trocar termos. Vamos trocar os termos 14 e 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Agora usamos a propriedade associativa, que nos permite substituir dois termos vizinhos por sua soma.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Primeiro, descobrimos o valor da soma de 38 e 2.

Agora a soma é 14 e 6.

3. Festival de ideias pedagógicas "Aula Aberta" ().

fazer em casa

1. Calcule a soma dos termos de diferentes maneiras:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Calcule os resultados das expressões:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Calcule o valor de maneira conveniente:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Então, em geral, a subtração de números naturais NÃO tem a propriedade comutativa. Vamos escrever esta afirmação em letras. Se a e b são números naturais desiguais, então a−b≠b−a. Por exemplo, 45−21≠21−45 .

A propriedade de subtrair a soma de dois números de um número natural.

A próxima propriedade está relacionada à subtração da soma de dois números de um número natural. Vejamos um exemplo que nos dará uma compreensão dessa propriedade.

Imagine que temos 7 moedas em nossas mãos. Primeiro decidimos ficar com 2 moedas, mas pensando que isso não será suficiente, decidimos guardar mais uma moeda. Com base no significado de somar números naturais, pode-se argumentar que, neste caso, decidimos salvar o número de moedas, que é determinado pela soma 2 + 1. Então, pegamos duas moedas, adicionamos outra moeda a elas e as colocamos em um cofrinho. Nesse caso, o número de moedas restantes em nossas mãos é determinado pela diferença 7−(2+1) .

Agora vamos imaginar que temos 7 moedas e colocamos 2 moedas no cofrinho e depois disso - outra moeda. Matematicamente, este processo é descrito pela seguinte expressão numérica: (7−2)−1 .

Se contarmos as moedas que permanecem nas mãos, no primeiro e no segundo casos temos 4 moedas. Ou seja, 7−(2+1)=4 e (7−2)−1=4 , então 7−(2+1)=(7−2)−1 .

O exemplo considerado nos permite formular a propriedade de subtrair a soma de dois números de um determinado número natural. Subtrair de um determinado número natural uma determinada soma de dois números naturais é o mesmo que subtrair o primeiro termo dessa soma de um determinado número natural e, em seguida, subtrair o segundo termo da diferença resultante.

Lembre-se de que demos sentido à subtração de números naturais apenas para o caso em que o minuendo é maior que o subtraendo, ou igual a ele. Portanto, podemos subtrair uma dada soma de um dado número natural somente se esta soma não for maior que o número natural que está sendo reduzido. Observe que, sob essa condição, cada um dos termos não excede o número natural do qual a soma é subtraída.

Usando letras, a propriedade de subtrair a soma de dois números de um determinado número natural é escrita como uma igualdade a−(b+c)=(a−b)−c, onde a , b e c são alguns números naturais, e as condições a>b+c ou a=b+c são satisfeitas.

A propriedade considerada, bem como a propriedade associativa de adição de números naturais, permite subtrair a soma de três ou mais números de um determinado número natural.

A propriedade de subtrair um número natural da soma de dois números.

Passamos para a próxima propriedade, que está relacionada à subtração de um dado número natural de uma dada soma de dois números naturais. Considere exemplos que nos ajudarão a "ver" essa propriedade de subtrair um número natural da soma de dois números.

Suponha que temos 3 balas no primeiro bolso e 5 balas no segundo, e vamos precisar dar 2 balas. Podemos fazer isso de diferentes maneiras. Vamos tomá-los por sua vez.

Primeiro, podemos colocar todos os doces em um bolso, depois tirar 2 doces de lá e distribuí-los. Vamos descrever essas ações matematicamente. Depois de colocarmos os doces em um bolso, seu número será determinado pela soma de 3 + 5. Agora, do número total de doces, daremos 2 doces, enquanto o número restante de doces que temos será determinado pela seguinte diferença (3+5)−2 .

Em segundo lugar, podemos dar 2 doces tirando-os do primeiro bolso. Nesse caso, a diferença 3−2 determina o número restante de doces no primeiro bolso, e o número total de doces restantes será determinado pela soma (3−2)+5 .

Em terceiro lugar, podemos dar 2 doces do segundo bolso. Então a diferença 5−2 corresponderá ao número de doces restantes no segundo bolso, e o número total de doces restantes será determinado pela soma 3+(5−2) .

É claro que em todos os casos teremos o mesmo número de doces. Portanto, as igualdades (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) são válidas.

Se tivéssemos que dar não 2, mas 4 doces, poderíamos fazê-lo de duas maneiras. Primeiro, dê 4 doces, tendo previamente colocado todos em um bolso. Nesse caso, o número restante de doces é determinado por uma expressão como (3+5)−4 . Em segundo lugar, poderíamos dar 4 doces do segundo bolso. Neste caso, o número total de doces dá a seguinte soma 3+(5−4) . É claro que no primeiro e segundo casos teremos o mesmo número de doces, portanto, a igualdade (3+5)−4=3+(5−4) é verdadeira.

Depois de analisar os resultados obtidos resolvendo os exemplos anteriores, podemos formular a propriedade de subtrair um dado número natural de uma dada soma de dois números. Subtrair um determinado número natural de uma determinada soma de dois números é o mesmo que subtrair um determinado número de um dos termos e, em seguida, adicionar a diferença resultante e outro termo. Deve-se notar que o número subtraído NÃO deve ser maior que o termo do qual esse número é subtraído.

Vamos escrever a propriedade de subtrair um número natural de uma soma usando letras. Sejam a , b e c alguns números naturais. Então, desde que a seja maior ou igual a c, então a igualdade (a+b)−c=(a−c)+b, e sob a condição de que b é maior ou igual a c , a igualdade (a+b)−c=a+(b−c). Se a e b forem maiores ou iguais a c , então ambas as últimas igualdades são verdadeiras e podem ser escritas da seguinte forma: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Por analogia, pode-se formular a propriedade de subtrair um número natural da soma de três ou mais números. Nesse caso, esse número natural pode ser subtraído de qualquer termo (claro, se for maior ou igual ao número que está sendo subtraído), e os termos restantes podem ser adicionados à diferença resultante.

Para visualizar a propriedade sonora, podemos imaginar que temos muitos bolsos, e eles contêm doces. Suponha que precisamos dar 1 doce. É claro que podemos dar 1 doce de qualquer bolso. Ao mesmo tempo, não importa de que bolso damos, pois isso não afeta o número de doces que restamos.

Vamos dar um exemplo. Sejam a , b , c e d alguns números naturais. Se a>d ou a=d , então a diferença (a+b+c)−d é igual à soma de (a−d)+b+c . Se b>d ou b=d , então (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Se c>d ou c=d , então a igualdade (a+b+c)−d=a+b+(c−d) é verdadeira.

Deve-se notar que a propriedade de subtrair um número natural da soma de três ou mais números não é uma propriedade nova, pois decorre das propriedades de adicionar números naturais e da propriedade de subtrair um número da soma de dois números.

Bibliografia.

• Matemática. Quaisquer livros didáticos para as séries 1, 2, 3, 4 de instituições educacionais.
• Matemática. Quaisquer livros didáticos para 5 classes de instituições de ensino.