São fornecidas as propriedades básicas do logaritmo, gráfico de logaritmo, domínio de definição, conjunto de valores, fórmulas básicas, aumento e diminuição. Encontrar a derivada de um logaritmo é considerado. Bem como integral, expansão e representação de séries de potências usando números complexos.

Contente

Domínio, conjunto de valores, crescente, decrescente

O logaritmo é uma função monotônica, portanto não possui extremos. As principais propriedades do logaritmo são apresentadas na tabela.

Domínio	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Faixa de valores	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monótono	aumenta monotonicamente	diminui monotonicamente
Zeros, y = 0	x = 1	x = 1
Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x = 0	Não	Não
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valores privados

O logaritmo na base 10 é chamado logaritmo decimal e é denotado da seguinte forma:

Logaritmo para base e chamado Logaritmo natural:

Fórmulas básicas para logaritmos

Propriedades do logaritmo decorrentes da definição da função inversa:

A principal propriedade dos logaritmos e suas consequências

Fórmula de substituição de base

Logaritmo é a operação matemática de obter um logaritmo. Ao tomar logaritmos, os produtos dos fatores são convertidos em somas de termos.
A potencialização é a operação matemática inversa ao logaritmo. Durante a potenciação, uma determinada base é elevada ao grau de expressão sobre o qual a potenciação é realizada. Neste caso, as somas dos termos são transformadas em produtos de fatores.

Prova de fórmulas básicas para logaritmos

As fórmulas relacionadas aos logaritmos decorrem das fórmulas para funções exponenciais e da definição de uma função inversa.

Considere a propriedade da função exponencial
.
Então
.
Vamos aplicar a propriedade da função exponencial
:
.

Vamos provar a fórmula de substituição de base.
;
.
Supondo que c = b, temos:

Função inversa

O inverso de um logaritmo de base a é uma função exponencial com expoente a.

Se então

Se então

Derivada do logaritmo

Derivada do logaritmo do módulo x:
.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivando fórmulas >>>

Para encontrar a derivada de um logaritmo, ela deve ser reduzida à base e.
;
.

Integrante

A integral do logaritmo é calculada integrando por partes: .
Então,

Expressões usando números complexos

Considere a função de número complexo z:
.
Vamos expressar um número complexo z através do módulo R e argumento φ :
.
Então, usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou

No entanto, o argumento φ não definido exclusivamente. Se você colocar
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.

Portanto, o logaritmo, como função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.

Expansão da série de potências

Quando a expansão ocorre:

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.

Veja também:

Material da Wikipedia – a enciclopédia gratuita

Definição e propriedades

O zero complexo não possui logaritmo porque o expoente complexo não assume o valor zero. Diferente de zero $z$ pode ser representado de forma demonstrativa:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Onde $k$- número inteiro arbitrário

Então $\backslash matrm(Ln)\backslash ,z$é encontrado pela fórmula:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Aqui $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- logaritmo real. Segue-se disso:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Exemplos de valores logarítmicos complexos

Vamos apresentar o valor principal do logaritmo ( $\backslash ln$) e sua expressão geral ( $\backslash matrm(Ln)$) para alguns argumentos:

$\backslash ln(1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Deve-se ter cuidado ao converter logaritmos complexos, levando em consideração que eles têm valores múltiplos e, portanto, a igualdade dos logaritmos de quaisquer expressões não implica a igualdade dessas expressões. Exemplo errôneo raciocínio:

$eu\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- um erro óbvio.

Observe que à esquerda está o valor principal do logaritmo e à direita está o valor do ramo subjacente ( $k=-1$). A causa do erro é o uso descuidado da propriedade $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, o que, de modo geral, implica no caso complexo todo o conjunto infinito de valores do logaritmo, e não apenas o valor principal.

Função logarítmica complexa e superfície de Riemann

Devido à sua simples conexidade, a superfície de Riemann do logaritmo é uma cobertura universal para o plano complexo sem ponto $0$.

Continuação analítica

O logaritmo de um número complexo também pode ser definido como a continuação analítica do logaritmo real para todo o plano complexo. Deixe a curva $\backslash Gama$ começa em um, não passa por zero e não cruza a parte negativa do eixo real. Então o valor principal do logaritmo no ponto final $c$ torto $\backslash Gama$ pode ser determinado pela fórmula:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Se $\backslash Gama$- uma curva simples (sem auto-interseções), então, para os números nela contidos, identidades logarítmicas podem ser usadas sem medo, por exemplo:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash dois\; pontos\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

O ramo principal da função logarítmica é contínuo e diferenciável em todo o plano complexo, exceto na parte negativa do eixo real, na qual a parte imaginária muda abruptamente para $2\backslash pi$. Mas este fato é consequência da limitação artificial da parte imaginária do valor principal pelo intervalo $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Se considerarmos todos os ramos da função, então a continuidade ocorre em todos os pontos, exceto zero, onde a função não está definida. Se você resolver a curva $\backslash Gama$ cruze a parte negativa do eixo real, então a primeira interseção transfere o resultado do ramo de valor principal para o ramo adjacente, e cada interseção subsequente causa um deslocamento semelhante ao longo dos ramos da função logarítmica (ver figura).

Da fórmula de continuação analítica segue-se que em qualquer ramo do logaritmo:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash sobre\; z)$

Para qualquer círculo $S$, cobrindo o ponto $0$:

$\backslash oint\backslash limites\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

A integral é calculada no sentido positivo (sentido anti-horário). Essa identidade está subjacente à teoria dos resíduos.

Pode-se também definir a continuação analítica do logaritmo complexo usando séries conhecidas para o caso real:

{{{2}}}

(Linha 1)

{{{2}}}

(Linha 2)

Porém, da forma dessas séries segue-se que em um a soma das séries é igual a zero, ou seja, a série refere-se apenas ao ramo principal da função multivalorada do logaritmo complexo. O raio de convergência de ambas as séries é 1.

Conexão com funções trigonométricas e hiperbólicas inversas

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash nomedooperador(Arsh)z\; =\; \backslash nomedooperador(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- seno hiperbólico inverso $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- cosseno hiperbólico inverso $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- tangente hiperbólica inversa $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- cotangente hiperbólica inversa

Esboço histórico

As primeiras tentativas de estender logaritmos a números complexos foram feitas na virada dos séculos XVII para XVIII por Leibniz e Johann Bernoulli, mas não conseguiram criar uma teoria holística, principalmente porque o próprio conceito de logaritmo ainda não estava claramente definido. A discussão sobre esta questão ocorreu primeiro entre Leibniz e Bernoulli, e em meados do século XVIII entre D’Alembert e Euler. Bernoulli e D'Alembert acreditavam que deveria ser determinado $log(-x)\; =\; log(x)$, enquanto Leibniz provou que o logaritmo de um número negativo é um número imaginário. A teoria completa dos logaritmos de números negativos e complexos foi publicada por Euler em 1747-1751 e não difere essencialmente da moderna. Embora o debate tenha continuado (D'Alembert defendeu o seu ponto de vista e argumentou-o detalhadamente num artigo na sua Enciclopédia e noutras obras), a abordagem de Euler recebeu reconhecimento universal no final do século XVIII.

Escreva uma resenha sobre o artigo "Logaritmo complexo"

Literatura

Teoria dos logaritmos

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N. Teoria das funções de uma variável complexa. - M.: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - Ed. 6º. - M.: Nauka, 1966. - 680 p.

História dos logaritmos

• Matemática do século XVIII // / Editado por A. P. Yushkevich, em três volumes. - M.: Ciência, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (eds.). Matemática do século XIX. Geometria. Teoria das funções analíticas. - M.: Ciência, 1981. - T. II.

Notas

1. Função logarítmica. // . - M.: Enciclopédia Soviética, 1982. - T. 3.
2. , Volume II, pp.
3. , Com. 623..
4. , Com. 92-94..
5. , Com. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Biblioteca Kvant, edição 21).
7. , Volume II, pp.
8. , Com. 624..
9. , Com. 325-328..
10. Rybnikov K. A. História da matemática. Em dois volumes. - M.: Editora. Universidade Estadual de Moscou, 1963. - T. II. - P. 27, 230-231..
11. , Com. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Ciência, 1987. - T. II. Geometria. - páginas 159-161. - 416 p.

Um trecho caracterizando o logaritmo complexo

Estava claro que aquele homem forte e estranho estava sob a influência irresistível exercida sobre ele por aquela garota morena, graciosa e amorosa.
Rostov notou algo novo entre Dolokhov e Sonya; mas ele não definiu para si mesmo que tipo de novo relacionamento era esse. “Eles estão todos apaixonados por alguém lá”, pensou ele em Sonya e Natasha. Mas ele não se sentia tão confortável com Sonya e Dolokhov como antes e começou a ficar em casa com menos frequência.
Desde o outono de 1806, todos voltaram a falar sobre a guerra com Napoleão com ainda mais fervor do que no ano passado. Não só foram nomeados recrutas, mas também mais 9 guerreiros entre mil. Em todos os lugares amaldiçoavam Bonaparte com anátema, e em Moscou só se falava da guerra que se aproximava. Para a família Rostov, todo o interesse desses preparativos para a guerra residia apenas no fato de que Nikolushka nunca concordaria em ficar em Moscou e apenas aguardava o fim da licença de Denisov para ir com ele ao regimento depois das férias. A próxima partida não só não o impediu de se divertir, mas também o encorajou a fazê-lo. Passava a maior parte do tempo fora de casa, em jantares, noites e bailes.

XI
No terceiro dia de Natal, Nikolai jantou em casa, o que raramente acontecia com ele ultimamente. Foi oficialmente um jantar de despedida, já que ele e Denisov partiriam para o regimento após a Epifania. Cerca de vinte pessoas almoçavam, incluindo Dolokhov e Denisov.
Nunca na casa de Rostov o ar do amor, a atmosfera do amor, se fez sentir com tanta força como nestas férias. “Capture momentos de felicidade, force-se a amar, apaixone-se! Só uma coisa é real no mundo – o resto é bobagem. E isso é tudo que estamos fazendo aqui”, disse a atmosfera. Nikolai, como sempre, tendo torturado dois pares de cavalos e não tendo tido tempo de visitar todos os lugares onde precisava estar e para onde era chamado, chegou em casa pouco antes do almoço. Assim que entrou, percebeu e sentiu o clima tenso e amoroso da casa, mas também percebeu uma estranha confusão reinando entre alguns membros da sociedade. Sonya, Dolokhov, a velha condessa e a pequena Natasha ficaram especialmente entusiasmados. Nikolai percebeu que algo iria acontecer antes do jantar entre Sonya e Dolokhov, e com sua sensibilidade de coração característica, ele foi muito gentil e cuidadoso durante o jantar ao lidar com os dois. Na mesma noite do terceiro dia de férias haveria um daqueles bailes no Yogel (o professor de dança), que ele dava nos feriados para todos os seus alunos e alunas.
- Nikolenka, você irá para Yogel? Por favor, vá”, Natasha disse a ele, “ele pediu especialmente a você, e Vasily Dmitrich (era Denisov) está indo”.
“Onde quer que eu vá por ordem do Sr. Atena!”, disse Denisov, que se colocou brincando na casa de Rostov aos pés da cavaleira Natasha, “o pas de chale [dança com um xale] está pronto para dançar”.
- Se eu tiver tempo! “Eu prometi aos Arkharovs, é a noite deles”, disse Nikolai.
“E você?...” ele se virou para Dolokhov. E agora mesmo perguntei isso, percebi que isso não deveria ter sido perguntado.
“Sim, talvez...” Dolokhov respondeu com frieza e raiva, olhando para Sonya e, franzindo a testa, exatamente com o mesmo olhar que olhou para Pierre no jantar do clube, olhou novamente para Nikolai.
“Há alguma coisa”, pensou Nikolai, e essa suposição foi ainda confirmada pelo fato de Dolokhov ter saído imediatamente após o jantar. Ele ligou para Natasha e perguntou o que era?
“Eu estava procurando por você”, disse Natasha, correndo até ele. “Eu te disse, você ainda não queria acreditar”, ela disse triunfantemente, “ele pediu Sonya em casamento”.
Não importa o quão pouco Nikolai tenha feito com Sonya durante esse tempo, algo pareceu surgir nele quando ouviu isso. Dolokhov era um par decente e, em alguns aspectos, brilhante para a órfã Sonya, sem dote. Do ponto de vista da velha condessa e do mundo, era impossível recusá-lo. E, portanto, o primeiro sentimento de Nikolai ao ouvir isso foi raiva de Sonya. Ele se preparava para dizer: “E ótimo, claro, devemos esquecer nossas promessas de infância e aceitar a oferta”; mas ele não teve tempo de dizer ainda...
- Você pode imaginar! Ela recusou, recusou completamente! – Natasha falou. “Ela disse que ama outra pessoa”, acrescentou após um breve silêncio.
“Sim, minha Sonya não poderia ter agido de outra forma!” pensou Nikolai.
“Não importa o quanto minha mãe pediu, ela recusou, e eu sei que ela não vai mudar o que disse...
- E a mãe perguntou a ela! – Nikolai disse em tom de censura.
“Sim”, disse Natasha. - Você sabe, Nikolenka, não fique com raiva; mas eu sei que você não vai se casar com ela. Eu sei, Deus sabe por quê, tenho certeza, você não vai se casar.
“Bem, você não sabe disso”, disse Nikolai; – mas preciso falar com ela. Que linda essa Sonya! – acrescentou sorrindo.
- Isso é tão lindo! Vou enviá-lo para você. - E Natasha, beijando o irmão, fugiu.
Um minuto depois, Sonya entrou, assustada, confusa e culpada. Nikolai se aproximou dela e beijou sua mão. Esta foi a primeira vez nesta visita que falaram cara a cara sobre o seu amor.
“Sophie”, disse ele a princípio timidamente, e depois com cada vez mais ousadia, “se você quiser recusar não apenas um casamento brilhante e lucrativo; mas ele é um homem maravilhoso e nobre... ele é meu amigo...
Sonya o interrompeu.
“Eu já recusei”, disse ela apressadamente.
- Se você recusar por mim, então temo que seja por minha causa...
Sonya o interrompeu novamente. Ela olhou para ele com olhos suplicantes e assustados.
“Nicolas, não me diga isso”, disse ela.
- Não, eu preciso. Talvez isso seja suficiente [arrogância] da minha parte, mas é melhor dizer. Se você recusar por mim, então devo lhe contar toda a verdade. Eu te amo, eu acho, mais do que qualquer pessoa...
“Isso é o suficiente para mim”, disse Sonya, corando.
- Não, mas já me apaixonei mil vezes e continuarei me apaixonando, embora não tenha por ninguém tanto sentimento de amizade, de confiança, de amor como por você. Então sou jovem. Mamãe não quer isso. Bem, é que não prometo nada. E peço que pensem na proposta de Dolokhov”, disse ele, com dificuldade em pronunciar o sobrenome do amigo.
- Não me diga isso. Eu não quero nada. Eu te amo como um irmão, e sempre te amarei, e não preciso de mais nada.
“Você é um anjo, não sou digno de você, mas só tenho medo de te enganar.” – Nikolai beijou a mão dela novamente.

Yogel teve os bailes mais divertidos de Moscou. Foi o que disseram as mães, olhando para suas adolescentes executando os passos recém-aprendidos; isso foi dito pelos próprios adolescentes e adolescentes, [meninas e meninos] que dançaram até cair; essas meninas e rapazes adultos que vinham a esses bailes com a ideia de ser condescendente com eles e encontrar neles o que há de melhor em diversão. No mesmo ano, dois casamentos aconteceram nesses bailes. As duas lindas princesas dos Gorchakovs encontraram pretendentes e se casaram, e mais ainda, lançaram esses bailes para a glória. O que havia de especial nesses bailes era que não havia anfitrião e anfitriã: havia o bem-humorado Yogel, como penas voadoras, arrastando-se segundo as regras da arte, que aceitava ingressos para aulas de todos os seus convidados; foi que só quem quer dançar e se divertir, como as meninas de 13 e 14 anos que vestem vestidos longos pela primeira vez, quer ir a esses bailes. Todos, com raras exceções, eram ou pareciam bonitos: todos sorriam com tanto entusiasmo e seus olhos brilhavam muito. Às vezes até os melhores alunos dançavam pas de chale, dos quais a melhor era Natasha, que se distinguia pela sua graça; mas neste último baile só se dançaram ecosais, anglaises e a mazurca, que acabava de entrar na moda. O salão foi levado por Yogel para a casa de Bezukhov, e o baile foi um grande sucesso, como todos disseram. Havia muitas garotas bonitas e as senhoras de Rostov estavam entre as melhores. Ambos estavam especialmente felizes e alegres. Naquela noite, Sonya, orgulhosa da proposta de Dolokhov, de sua recusa e explicação com Nikolai, ainda estava girando em casa, não permitindo que a garota terminasse as tranças, e agora ela brilhava de alegria impetuosa.
Natasha, não menos orgulhosa por ter usado um vestido longo pela primeira vez em um baile de verdade, ficou ainda mais feliz. Ambas usavam vestidos de musselina branca com fitas rosa.
Natasha se apaixonou desde o minuto em que entrou no baile. Ela não estava apaixonada por ninguém em particular, mas estava apaixonada por todos. Aquele para quem ela olhou no momento em que olhou era aquele por quem ela estava apaixonada.
- Ah, que bom! – ela dizia, correndo até Sonya.
Nikolai e Denisov caminharam pelos corredores, olhando para os dançarinos com ternura e condescendência.
“Como ela será doce”, disse Denisov.
- Quem?
“Athena Natasha”, respondeu Denisov.
“E como ela dança, que g”ação!” depois de um breve silêncio, ele disse novamente.
- De quem você está falando?
“Sobre sua irmã”, gritou Denisov com raiva.
Rostov sorriu.
– Meu caro conde; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez", disse o pequeno Jogel, aproximando-se de Nikolai. "Voyez combien de jolies demoiselles." [Meu querido conde, você é um dos meus melhores alunos. Você precisa dançar. Olha que garotas lindas!] – Ele fez o mesmo pedido a Denisov, também seu ex-aluno.
“Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ou seja, [Não, minha querida, vou sentar perto da parede", disse Denisov. “Você não se lembra de como usei mal suas aulas?”
- Oh não! – Jogel disse apressadamente consolando-o. – Você só estava desatento, mas tinha habilidades, sim, você tinha habilidades.
A recém-introduzida mazurca foi tocada; Nikolai não pôde recusar Yogel e convidou Sonya. Denisov sentou-se ao lado das velhinhas e, apoiando os cotovelos no sabre, batendo o ritmo, contou algo alegremente e fez as velhinhas rirem, olhando para os jovens dançantes. Yogel, no primeiro casal, dançou com Natasha, seu orgulho e melhor aluna. Movendo delicadamente e com ternura os pés nos sapatos, Yogel foi o primeiro a voar pelo corredor com Natasha, que era tímida, mas executava passos com diligência. Denisov não tirou os olhos dela e bateu com o sabre, com uma expressão que dizia claramente que ele próprio não dançava só porque não queria, e não porque não podia. No meio da figura, ele chamou Rostov, que passava, até ele.
“Não é a mesma coisa”, disse ele. - Esta é uma mazurca polonesa? E ela dança excelentemente. - Sabendo que Denisov era famoso na Polônia por sua habilidade em dançar a mazurca polonesa, Nikolai correu até Natasha:
- Vá e escolha Denisov. Aqui ele está dançando! Milagre! - ele disse.
Quando chegou a vez de Natasha novamente, ela se levantou e rapidamente dedilhando os sapatos com laços, timidamente, correu sozinha pelo corredor até o canto onde Denisov estava sentado. Ela viu que todos estavam olhando para ela e esperando. Nikolai viu que Denisov e Natasha discutiam sorrindo, e que Denisov recusava, mas sorria alegremente. Ele correu.
“Por favor, Vasily Dmitrich”, disse Natasha, “vamos, por favor”.
“Sim, é isso, g’athena”, disse Denisov.
“Bem, isso é o suficiente, Vasya”, disse Nikolai.
“É como se eles estivessem tentando persuadir o gato Vaska”, disse Denisov brincando.
“Vou cantar para você a noite toda”, disse Natasha.
- A feiticeira fará qualquer coisa comigo! - disse Denisov e desatou o sabre. Ele saiu de trás das cadeiras, pegou firmemente a mão de sua senhora, levantou a cabeça e pisou no chão, esperando tato. Somente a cavalo e na mazurca a baixa estatura de Denisov não era visível, e ele parecia ser o mesmo jovem que se sentia. Depois de esperar a batida, ele olhou triunfante e brincalhão para sua dama de lado, de repente bateu um pé e, como uma bola, quicou elasticamente no chão e voou em círculo, arrastando sua dama com ele. Ele silenciosamente voou até meio do corredor em uma perna só, e parecia que não viu as cadeiras à sua frente e correu direto em direção a elas; mas de repente, batendo as esporas e abrindo as pernas, ele parou nos calcanhares, ficou ali por um segundo, com o rugido das esporas, bateu os pés em um lugar, virou-se rapidamente e, batendo o pé direito com o pé esquerdo, novamente voou em círculo. Natasha adivinhou o que ele pretendia fazer e, sem saber como, o seguiu – entregando-se a ele. Ora ele a circulou, ora à direita, ora à esquerda, ora caindo de joelhos, ele a circulou em torno de si mesmo, e novamente deu um pulo e correu para frente com tanta rapidez, como se pretendesse correr por todos os quartos sem respirar; então, de repente, ele parou de novo e de novo deu uma joelhada nova e inesperada. Quando ele, girando rapidamente a senhora na frente de sua casa, estalou a espora, curvando-se diante dela, Natasha nem mesmo fez uma reverência para ele. Ela olhou para ele perplexa, sorrindo como se não o reconhecesse. - O que é isso? - ela disse.
Apesar de Yogel não ter reconhecido esta mazurca como real, todos ficaram encantados com a habilidade de Denisov, começaram a escolhê-lo incessantemente e os velhos, sorrindo, começaram a falar da Polónia e dos bons velhos tempos. Denisov, corado da mazurca e enxugando-se com um lenço, sentou-se ao lado de Natasha e não saiu do lado dela durante todo o baile.

Definição e propriedades

O zero complexo não possui logaritmo porque o expoente complexo não assume o valor zero. Diferente de zero textovc pode ser representado de forma demonstrativa:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte matemática/README - ajuda com a configuração.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Onde Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): k- número inteiro arbitrário

Então Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \mathrm(Ln)\,zé encontrado pela fórmula:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte matemática/README - ajuda com a configuração.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Aqui Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \ln\,r= \ln\,|z|- logaritmo real. Segue-se disso:

Fica claro pela fórmula que um e apenas um dos valores tem uma parte imaginária no intervalo Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc . Este valor é chamado importância principal logaritmo natural complexo. A função correspondente (já inequívoca) é chamada filial principal logaritmo e é denotado Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \ln\,z. Às vezes através Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \ln\, z também denota o valor do logaritmo que não está no ramo principal. Se Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): zé um número real, então o valor principal do seu logaritmo coincide com o logaritmo real comum.

Da fórmula acima segue-se também que a parte real do logaritmo é determinada da seguinte forma através dos componentes do argumento:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda com a configuração.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

A figura mostra que a parte real em função dos componentes é centralmente simétrica e depende apenas da distância à origem. É obtido girando o gráfico do logaritmo real em torno do eixo vertical. À medida que se aproxima de zero, a função tende a Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Veja matemática/README - ajuda com configuração.): -\infty.

O logaritmo de um número negativo é encontrado pela fórmula:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ tarde 2\pontos)

Exemplos de valores logarítmicos complexos

Vamos apresentar o valor principal do logaritmo ( Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \ln) e sua expressão geral ( Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \mathrm(Ln)) para alguns argumentos:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Veja math/README para ajuda na configuração.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Veja math/README para ajuda na configuração.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Veja matemática/README - ajuda com configuração.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Deve-se ter cuidado ao converter logaritmos complexos, levando em consideração que eles têm valores múltiplos e, portanto, a igualdade dos logaritmos de quaisquer expressões não implica a igualdade dessas expressões. Exemplo errôneo raciocínio:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte matemática/README - ajuda com a configuração.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -eu\pi- um erro óbvio.

Observe que à esquerda está o valor principal do logaritmo e à direita está o valor do ramo subjacente ( Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Veja matemática/README - ajuda com configuração.): k=-1). A causa do erro é o uso descuidado da propriedade Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, o que, de modo geral, implica no caso complexo todo o conjunto infinito de valores do logaritmo, e não apenas o valor principal.

Função logarítmica complexa e superfície de Riemann

Devido à sua simples conexidade, a superfície de Riemann do logaritmo é uma cobertura universal para o plano complexo sem ponto Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc .

Continuação analítica

O logaritmo de um número complexo também pode ser definido como a continuação analítica do logaritmo real para todo o plano complexo. Deixe a curva Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc começa em um, não passa por zero e não cruza a parte negativa do eixo real. Então o valor principal do logaritmo no ponto final Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): w torto Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \Gamma pode ser determinado pela fórmula:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda com a configuração.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Se Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \Gamma- uma curva simples (sem auto-interseções), então, para os números nela contidos, identidades logarítmicas podem ser usadas sem medo, por exemplo:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda com a configuração.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\dois pontos zw\in \Gamma

O ramo principal da função logarítmica é contínuo e diferenciável em todo o plano complexo, exceto na parte negativa do eixo real, na qual a parte imaginária muda abruptamente para Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Veja matemática/README - ajuda com configuração.): 2\pi. Mas este fato é consequência da limitação artificial da parte imaginária do valor principal pelo intervalo Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): (-\pi, \pi]. Se considerarmos todos os ramos da função, então a continuidade ocorre em todos os pontos, exceto zero, onde a função não está definida. Se você resolver a curva Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \Gamma cruze a parte negativa do eixo real, então a primeira interseção transfere o resultado do ramo de valor principal para o ramo adjacente, e cada interseção subsequente causa um deslocamento semelhante ao longo dos ramos da função logarítmica (ver figura).

Da fórmula de continuação analítica segue-se que em qualquer ramo do logaritmo:

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Para qualquer círculo Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte matemática/README para obter ajuda de configuração.): S, cobrindo o ponto Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): 0 :

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda na configuração.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

A integral é calculada no sentido positivo (sentido anti-horário). Essa identidade está subjacente à teoria dos resíduos.

Pode-se também definir a continuação analítica do logaritmo complexo usando séries conhecidas para o caso real:

Porém, da forma dessas séries segue-se que em um a soma das séries é igual a zero, ou seja, a série refere-se apenas ao ramo principal da função multivalorada do logaritmo complexo. O raio de convergência de ambas as séries é 1.

Conexão com funções trigonométricas e hiperbólicas inversas

Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Veja matemática/README - ajuda com configuração.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Veja matemática/README - ajuda com configuração.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- seno hiperbólico inverso Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte matemática/README - ajuda com a configuração.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- cosseno hiperbólico inverso Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangente hiperbólica inversa Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangente hiperbólica inversa

Esboço histórico

As primeiras tentativas de estender logaritmos a números complexos foram feitas na virada dos séculos XVII para XVIII por Leibniz e Johann Bernoulli, mas não conseguiram criar uma teoria holística, principalmente porque o próprio conceito de logaritmo ainda não estava claramente definido. A discussão sobre esta questão ocorreu primeiro entre Leibniz e Bernoulli, e em meados do século XVIII entre D’Alembert e Euler. Bernoulli e D'Alembert acreditavam que deveria ser determinado Não foi possível analisar a expressão (ficheiro executável textovc não encontrado; Consulte math/README para obter ajuda de configuração.): \log(-x) = \log(x), enquanto Leibniz provou que o logaritmo de um número negativo é um número imaginário. A teoria completa dos logaritmos de números negativos e complexos foi publicada por Euler em 1747-1751 e não difere essencialmente da moderna. Embora o debate tenha continuado (D'Alembert defendeu o seu ponto de vista e argumentou-o detalhadamente num artigo na sua Enciclopédia e noutras obras), a abordagem de Euler recebeu reconhecimento universal no final do século XVIII.

Escreva uma resenha sobre o artigo "Logaritmo complexo"

Literatura

Teoria dos logaritmos

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N. Teoria das funções de uma variável complexa. - M.: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - Ed. 6º. - M.: Nauka, 1966. - 680 p.

História dos logaritmos

• Matemática do século XVIII // / Editado por A. P. Yushkevich, em três volumes. - M.: Ciência, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (eds.). Matemática do século XIX. Geometria. Teoria das funções analíticas. - M.: Ciência, 1981. - T. II.

Notas

1. Função logarítmica. // . - M.: Enciclopédia Soviética, 1982. - T. 3.
2. , Volume II, pp.
3. , Com. 623..
4. , Com. 92-94..
5. , Com. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Biblioteca Kvant, edição 21).
7. , Volume II, pp.
8. , Com. 624..
9. , Com. 325-328..
10. Rybnikov K. A. História da matemática. Em dois volumes. - M.: Editora. Universidade Estadual de Moscou, 1963. - T. II. - P. 27, 230-231..
11. , Com. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Ciência, 1987. - T. II. Geometria. - páginas 159-161. - 416 p.

Um trecho caracterizando o logaritmo complexo

Do horror selvagem que se apoderou de nós, corremos como balas por um amplo vale, sem sequer pensar que poderíamos ir rapidamente para outro “andar”... Simplesmente não tivemos tempo para pensar nisso - estávamos com muito medo.
A criatura voou bem acima de nós, estalando ruidosamente seu bico aberto e cheio de dentes, e corremos o mais rápido que pudemos, espalhando salpicos vis e viscosos para os lados e rezando mentalmente para que algo de repente interessasse a esse assustador “pássaro milagroso”. Foi sentido que ela era muito mais rápida e simplesmente não tivemos chance de nos afastar dela. Por sorte, nem uma única árvore crescia nas proximidades, não havia arbustos, nem mesmo pedras atrás das quais se pudesse esconder, apenas uma sinistra rocha negra podia ser vista ao longe.
- Lá! – Stella gritou apontando o dedo para a mesma pedra.
Mas de repente, inesperadamente, bem na nossa frente, uma criatura apareceu de algum lugar, cuja visão literalmente congelou nosso sangue em nossas veias... Parecia que “saiu direto do ar” e foi realmente aterrorizante... O enorme carcaça preta estava completamente coberta por cabelos longos e ásperos, fazendo-o parecer um urso barrigudo, só que este “urso” era tão alto quanto uma casa de três andares... A cabeça protuberante do monstro era “coroada” com duas enormes curvas chifres, e a boca misteriosa era decorada com um par de presas incrivelmente longas, afiadas como facas, só de olhar para as quais, de susto, nossas pernas cederam... E então, surpreendentemente para nós, o monstro saltou facilmente e. .. pegou a “esterco” voadora em uma de suas enormes presas... Congelamos em estado de choque.
- Vamos correr!!! – Stella gritou. – Vamos correr enquanto ele está “ocupado”!..
E estávamos prontos para correr novamente sem olhar para trás, quando de repente uma voz fina soou nas nossas costas:
- Meninas, esperem!!! Não precisa fugir!.. Dean te salvou, ele não é um inimigo!
Nós nos viramos bruscamente - uma garotinha muito linda de olhos pretos estava atrás de nós... e acariciava calmamente o monstro que se aproximava dela!.. Nossos olhos se arregalaram de surpresa... Foi incrível! Certamente - foi um dia de surpresas!.. A menina, olhando para nós, sorriu de forma acolhedora, sem nenhum medo do monstro peludo que estava ao nosso lado.
- Por favor, não tenha medo dele. Ele é muito gentil. Vimos que Ovara estava te perseguindo e decidimos ajudar. Dean foi ótimo, ele chegou na hora certa. Sério, meu caro?
“Bom” ronronou, que soou como um leve terremoto, e, abaixando a cabeça, lambeu o rosto da garota.
– Quem é Owara e por que ela nos atacou? - Perguntei.
“Ela ataca todo mundo, ela é uma predadora.” E muito perigoso”, respondeu a garota calmamente. – Posso perguntar o que você está fazendo aqui? Vocês não são daqui, meninas?
- Não, não daqui. Estávamos apenas caminhando. Mas a mesma pergunta para você: o que você está fazendo aqui?
“Vou ver minha mãe...” a menina ficou triste. “Morremos juntos, mas por algum motivo ela acabou aqui.” E agora eu moro aqui, mas não conto isso para ela, porque ela nunca vai concordar com isso. Ela acha que eu estou indo...
– Não é melhor vir? É tão terrível aqui!.. – Stella encolheu os ombros.
“Não posso deixá-la aqui sozinha, estou de olho nela para que nada aconteça com ela.” E aqui Dean está comigo... Ele me ajuda.
Eu simplesmente não conseguia acreditar... Essa garotinha corajosa deixou voluntariamente seu lindo e gentil “chão” para viver neste mundo frio, terrível e estranho, protegendo sua mãe, que era muito “culpada” de alguma forma! Não creio que houvesse muitas pessoas tão corajosas e altruístas (mesmo adultos!) que se atrevessem a empreender tal façanha... E imediatamente pensei - talvez ela simplesmente não entendesse a que iria se condenar. ?!
– Há quanto tempo você está aqui, garota, se não for segredo?
“Recentemente...” o bebê de olhos pretos respondeu com tristeza, puxando uma mecha preta de seu cabelo encaracolado com os dedos. – Eu me encontrei em um mundo tão lindo quando morri!.. Ele era tão gentil e inteligente!.. E então vi que minha mãe não estava comigo e corri para procurá-la. Foi tão assustador no começo! Por alguma razão ela não estava em lugar nenhum... E então eu caí neste mundo terrível... E então eu a encontrei. Eu estava com tanto medo aqui... Tão sozinha... Mamãe mandou eu ir embora, ela até me repreendeu. Mas não posso deixá-la... Agora tenho um amigo, meu bom Dean, e já posso de alguma forma existir aqui.
Seu “bom amigo” rosnou novamente, o que deu a Stella e a mim enormes arrepios de “astral inferior”... Depois de me recompor, tentei me acalmar um pouco e comecei a olhar mais de perto esse milagre peludo... E ele, imediatamente sentindo que foi notado, ele mostrou terrivelmente sua boca com presas... Eu pulei para trás.
- Ah, não tenha medo, por favor! “Ele está sorrindo para você”, a garota “assegurou”.
Pois é... Você aprenderá a correr rápido com esse sorriso... - pensei comigo mesmo.
- Como é que você se tornou amigo dele? – Stella perguntou.
– Quando cheguei aqui pela primeira vez, fiquei com muito medo, principalmente quando monstros como você estavam atacando hoje. E então, um dia, quando quase morri, Dean me salvou de um monte de “pássaros” voadores assustadores. Eu também tive medo dele no começo, mas depois percebi que coração de ouro ele tem... Ele é o melhor amigo! Nunca tive nada assim, mesmo quando morei na Terra.
- Como você se acostumou tão rápido? Sua aparência não é bem, digamos, familiar...
– E aqui entendi uma verdade muito simples, que por algum motivo não percebi na Terra - a aparência não importa se uma pessoa ou criatura tem um bom coração... Minha mãe era muito bonita, mas às vezes ficava muito brava também. E então toda a beleza dela desapareceu em algum lugar... E Dean, apesar de assustador, é sempre muito gentil, e sempre me protege, sinto sua gentileza e não tenho medo de nada. Mas você pode se acostumar com a aparência...
– Você sabia que ficará aqui por muito tempo, muito mais tempo do que as pessoas vivem na Terra? Você realmente quer ficar aqui?..
“Minha mãe está aqui, então tenho que ajudá-la.” E quando ela “partir” para voltar a viver na Terra, eu também partirei... Para onde houver mais bondade. Neste mundo terrível, as pessoas são muito estranhas - como se nem vivessem. Por que é que? Você sabe algo sobre isso?
– Quem te disse que sua mãe iria embora para viver de novo? – Stella ficou interessada.
- Dean, claro. Ele sabe muito, mora aqui há muito tempo. Ele também disse que quando nós (minha mãe e eu) vivermos novamente, nossas famílias serão diferentes. E aí eu não terei mais essa mãe... Por isso quero ficar com ela agora.
- Como você fala com ele, seu Reitor? – Stella perguntou. – E por que você não quer nos dizer seu nome?
Mas é verdade – ainda não sabíamos o nome dela! E eles também não sabiam de onde ela veio...
– Meu nome era Maria... Mas isso realmente importa aqui?
- Certamente! – Stella riu. - Como posso me comunicar com você? Quando você sair, eles lhe darão um novo nome, mas enquanto você estiver aqui, terá que conviver com o antigo. Você falou com mais alguém aqui, menina Maria? – Stella perguntou, pulando de assunto em assunto por hábito.
“Sim, eu falei...” a menina disse hesitante. “Mas eles são tão estranhos aqui.” E tão infelizes... Por que estão tão infelizes?
– O que você vê aqui é propício à felicidade? – Fiquei surpreso com a pergunta dela. – Até a própria “realidade” local mata antecipadamente qualquer esperança!.. Como você pode ser feliz aqui?
- Não sei. Quando estou com minha mãe, parece-me que também poderia ser feliz aqui... É verdade, aqui é muito assustador, e ela realmente não gosta daqui... Quando eu disse isso concordei em ficar com ela, ela gritou comigo e disse que eu sou seu “infortúnio estúpido”... Mas não estou ofendido... eu sei que ela só está com medo. Apenas como eu...
– Talvez ela só quisesse protegê-lo de sua decisão “extrema”, e só queria que você voltasse para o seu “andar”? – Stella perguntou com cuidado, para não ofender.
– Não, claro... Mas obrigado pelas boas palavras. Mamãe muitas vezes me chamava de nomes não muito bons, mesmo na Terra... Mas sei que isso não foi por raiva. Ela estava simplesmente infeliz por eu ter nascido e muitas vezes me dizia que eu arruinei a vida dela. Mas não foi minha culpa, foi? Sempre tentei fazê-la feliz, mas por algum motivo não tive muito sucesso... E nunca tive pai. – Maria estava muito triste, e sua voz tremia, como se ela fosse chorar.
Stella e eu nos entreolhamos e tive quase certeza de que pensamentos semelhantes a visitavam... Eu já não gostava muito dessa “mãe” mimada e egoísta que, em vez de se preocupar com o filho, não se importava com seu sacrifício heróico eu entendi e, além disso, também a machuquei dolorosamente.
“Mas Dean diz que estou bem e que o deixo muito feliz!” – a menina balbuciou mais alegremente. “E ele quer ser meu amigo.” E outros que conheci aqui são muito frios e indiferentes, e às vezes até malvados... Principalmente aqueles que têm monstros ligados...
“Monstros – o quê?..” não entendemos.
- Bem, eles têm monstros terríveis sentados nas suas costas e dizendo-lhes o que devem fazer. E se eles não escutam, os monstros zombam deles terrivelmente... Tentei falar com eles, mas esses monstros não permitem.
Não entendemos absolutamente nada desta “explicação”, mas o próprio fato de alguns seres astrais torturarem pessoas não poderia permanecer “explorado” por nós, então imediatamente perguntamos a ela como poderíamos ver esse fenômeno surpreendente.
- Oh, sim em todos os lugares! Principalmente na “montanha negra”. Lá está ele, atrás das árvores. Você quer que a gente vá com você também?
- Claro, ficaremos muito felizes! – respondeu imediatamente a encantada Stella.
Para ser sincero, também não sorri muito com a perspectiva de namorar outra pessoa, “assustadora e incompreensível”, especialmente sozinha. Mas o interesse superou o medo, e nós, é claro, teríamos ido, apesar de estarmos com um pouco de medo... Mas quando um defensor como Dean caminhou conosco, imediatamente ficou mais divertido...
E então, depois de um breve momento, o verdadeiro Inferno se desdobrou diante de nossos olhos, escancarado de espanto... A visão lembrava as pinturas de Bosch (ou Bosc, dependendo do idioma para o qual você traduz), um artista “louco” que uma vez chocou o mundo inteiro com seu mundo da arte... Ele, claro, não era louco, mas era simplesmente um vidente que por algum motivo só conseguia ver o Astral inferior. Mas devemos dar-lhe o que lhe é devido - ele retratou-o soberbamente... Vi as suas pinturas num livro que estava na biblioteca do meu pai, e ainda me lembrava da sensação estranha que a maioria das suas pinturas carregava...
“Que horror!..” sussurrou a chocada Stella.
Provavelmente poderíamos dizer que já vimos muita coisa aqui, nos “chões”... Mas nem nós conseguimos imaginar isso no nosso mais terrível pesadelo!.. Por trás da “pedra negra” algo completamente impensável se abriu. .. Parecia um enorme “caldeirão” achatado esculpido na rocha, no fundo do qual borbulhava “lava” carmesim... O ar quente “estourou” por toda parte com estranhas bolhas avermelhadas brilhantes, das quais saía vapor escaldante e caiu em grandes gotas no chão, ou nas pessoas que caíram sob ele naquele momento... Gritos de partir o coração foram ouvidos, mas imediatamente silenciaram, pois as criaturas mais nojentas sentaram-se nas costas das mesmas pessoas, que com um olhar satisfeito “controlava” suas vítimas, sem prestar a menor atenção ao seu sofrimento... Sob os pés descalços das pessoas, pedras quentes ficavam vermelhas, a terra carmesim, explodindo de calor, borbulhava e “derretia”... Salpicos de calor o vapor irrompeu por enormes fendas e, queimando os pés dos seres humanos que soluçavam de dor, foram levados para as alturas, evaporando-se com uma leve fumaça... E bem no meio do “poço” corria um vermelho brilhante, largo rio de fogo, no qual, de vez em quando, os mesmos monstros nojentos jogavam inesperadamente uma ou outra entidade atormentada, que, ao cair, causava apenas um breve respingo de faíscas laranja, e então, transformando-se por um momento em uma nuvem branca e fofa, desapareceu. .. para sempre... Era um verdadeiro Inferno, e Stella e eu queríamos “desaparecer” dali o mais rápido possível...
“O que vamos fazer?” Stella sussurrou com um terror silencioso. - Você quer ir até lá? Há algo que possamos fazer para ajudá-los? Olha quantos são!..
Estávamos em um penhasco marrom-escuro e seco pelo calor, observando a “mistura” cheia de horror de dor, desesperança e violência que se estendia abaixo, e nos sentíamos tão infantilmente impotentes que até minha guerreira Stella, desta vez, dobrou categoricamente suas “asas de babados”. .” “e estava pronta na primeira chamada para correr para o seu próprio, tão querido e confiável “andar” superior...

Prova da fórmula .

=

= =

já que seno e cosseno não dependem da adição de um ângulo que é múltiplo de

E essa igualdade já é óbvia, pois é a forma trigonométrica de um número complexo.

Assim, o logaritmo existe para todos os pontos do plano, exceto zero. Para um número real positivo, o argumento é 0, então este conjunto infinito de pontos tem a forma , ou seja, um dos valores, nomeadamente, em , cairá no eixo real. Se calcularmos o logaritmo de um número negativo, obtemos , ou seja, o conjunto de pontos é deslocado para cima e nenhum deles cai no eixo real.

Fica claro pela fórmula que somente quando o argumento do número original é zero, um dos valores do logaritmo cai no eixo real. E isso corresponde ao semieixo direito, e é por isso que no curso de matemática escolar eram considerados apenas logaritmos de números positivos. Também existem logaritmos de números negativos e imaginários, mas não possuem um único valor no eixo real.

O desenho a seguir mostra onde todos os valores do logaritmo de um número positivo estão localizados no plano. Um deles está no eixo real, os demais estão acima e abaixo de , e assim por diante. Para um número negativo ou complexo, o argumento é diferente de zero, portanto esta sequência de pontos é deslocada verticalmente, resultando em nenhum ponto no eixo real.

Exemplo. Calcular.

Solução. Vamos definir o módulo do número (igual a 2) e o argumento 180 0, isto é. Então = .

Apêndice 1. Perguntas para provas (para ingressos).

Palestra nº 1

1. Prove a fórmula de integração por partes.

Palestra nº 2

1. Prove que a substituição , onde r = LCM (r 1 ,...,r k) reduz a integral à integral de uma fração racional.

2. Prove que a substituição reduz a integral da forma à integral de uma fração racional.

3. Derive fórmulas para converter seno e cosseno

Para substituição trigonométrica universal.

4. Prove que no caso em que a função é ímpar em relação ao cosseno, a substituição reduz a integral a uma fração racional.

5. Prove que no caso quando

substituição: reduz a integral a uma fração racional.

6. Prove que para uma integral da forma

7. Prove a fórmula

8. Prove que para uma integral da forma a substituição produz uma integral para uma fração racional.

9. Prove que para uma integral da forma a substituição reduz a integral a uma fração racional.

Palestra nº 3

1. Prove que a função é uma antiderivada da função .

2. Prove a fórmula de Newton-Leibniz: .

3. Prove a fórmula para o comprimento de uma curva dada explicitamente:

.

4. Prove a fórmula para o comprimento de uma curva dada em coordenadas polares

Palestra nº 4

Prove o teorema: converge, converge.

Palestra nº 5

1. Derive (prove) a fórmula para a área de uma superfície explicitamente dada .

2. Derivação de fórmulas de transição para coordenadas polares.

3. Derivação do determinante Jacobiano de coordenadas polares.

4. Derivação de fórmulas de transição para coordenadas cilíndricas.

5. Derivação do determinante Jacobiano de coordenadas cilíndricas.

6. Derivação de fórmulas para transição para coordenadas esféricas:

.

Palestra nº 6

1. Prove que a substituição reduz uma equação homogênea a uma equação com variáveis ​​separáveis.

2. Derive a forma geral da solução de uma equação linear homogênea.

3. Derive a forma geral da solução de uma equação linear não homogênea pelo método de Lagrange.

4. Prove que a substituição reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear.

Aula nº 7.

1. Prove que a substituição reduz a ordem da equação em k.

2. Prove que a substituição reduz a ordem da equação em um .

3. Prove o teorema: A função é uma solução para uma equação diferencial homogênea linear e possui uma raiz característica.

4. Prove o teorema de que uma combinação linear de soluções para uma diferença linear homogênea. a equação também é sua solução.

5. Prove o teorema da imposição de soluções: Se é uma solução para uma equação diferencial linear não homogênea com o lado direito, e é uma solução para a mesma equação diferencial, mas com o lado direito, então a soma é uma solução para a equação com o lado direito.

Palestra nº 8.

1. Prove o teorema de que o sistema de funções é linearmente dependente.

2. Prove o teorema de que existem n soluções linearmente independentes para uma equação diferencial linear homogênea de ordem n.

3. Prove que se 0 é a raiz da multiplicidade , então o sistema de soluções correspondente a esta raiz tem a forma .

Palestra nº 9.

1. Prove pela forma exponencial que ao multiplicar números complexos, os módulos são multiplicados e os argumentos são somados.

2. Prove a fórmula de Moivre para o grau n

3. Prove a fórmula para a raiz de um número complexo de ordem n

4. Prove isso E

são generalizações de seno e cosseno, ou seja, para números reais, essas fórmulas produzirão seno (cosseno).

5. Prove a fórmula do logaritmo de um número complexo:

Apêndice 2.

Questões menores e orais sobre conhecimentos teóricos (para colóquios).

Palestra nº 1

1. O que são antiderivadas e integrais indefinidas, como elas diferem?

2. Explique porque é também uma antiderivada.

3. Escreva a fórmula de integração por partes.

4. Qual substituição é necessária na forma integral e como ela elimina raízes?

5. Escreva o tipo de decomposição do integrando de uma fração racional nas mais simples, no caso em que todas as raízes são diferentes e reais.

6. Escreva o tipo de decomposição do integrando de uma fração racional nas mais simples, no caso em que todas as raízes são reais e há uma raiz múltipla de multiplicidade k.

Palestra nº 2.

1. Escreva qual é a decomposição de uma fração racional nas frações mais simples no caso em que o denominador tem um fator de 2 graus com um discriminante negativo.

2. Que substituição reduz a integral a uma fração racional?

3. O que são substituições trigonométricas universais?

4. Que substituições são feitas nos casos em que a função sob o sinal integral é ímpar em relação ao seno (cosseno)?

5. Quais substituições são feitas se o integrando contém as expressões , , ou .

Palestra nº 3.

1. Definição de integral definida.

2. Liste algumas das propriedades básicas da integral definida.

3. Escreva a fórmula de Newton-Leibniz.

4. Escreva a fórmula do volume de um corpo de revolução.

5. Escreva uma fórmula para o comprimento de uma curva dada explicitamente.

6. Escreva a fórmula para o comprimento de uma curva definida parametricamente.

Palestra nº 4.

1. Definição de integral imprópria (usando limite).

2. Qual é a diferença entre integrais impróprias de 1ª e 2ª espécie.

3. Dê exemplos simples de integrais convergentes de 1º e 2º tipo.

4. Para quais valores convergem as integrais (T1)?

5. Como a convergência está relacionada ao limite finito da antiderivada (T2)

6. Qual é o critério necessário para a convergência, sua formulação.

7. Teste de comparação na forma final

8. Sinal de comparação de forma extrema.

9. Definição de integral múltipla.

Palestra nº 5.

1. Alterando a ordem de integração, mostre com um exemplo simples.

2. Escreva a fórmula da área superficial.

3. O que são coordenadas polares, escreva as fórmulas de transição.

4. Qual é o Jacobiano do sistema de coordenadas polares?

5. O que são coordenadas cilíndricas e esféricas, qual a sua diferença.

6. Qual é o Jacobiano das coordenadas cilíndricas (esféricas)?

Palestra nº 6.

1. O que é uma equação diferencial de 1ª ordem (visão geral).

2. Qual é uma equação diferencial de 1ª ordem resolvida em relação à derivada. Dê algum exemplo.

3. O que é uma equação com variáveis ​​separáveis.

4. O que é uma solução geral e particular, condições de Cauchy.

5. O que é uma equação homogênea, qual o método geral para resolvê-la.

6. O que é uma equação linear, qual é o algoritmo para resolvê-la, qual é o método de Lagrange.

7. Qual é a equação de Bernoulli, um algoritmo para resolvê-la.

Aula nº 7.

1. Qual substituição é necessária para uma equação da forma .

2. Que substituição é necessária para uma equação da forma .

3. Mostre com exemplos como isso pode ser expresso na forma .

4. O que é uma equação diferencial linear de ordem n.

5. O que é um polinômio característico, equação característica.

6. Formule um teorema sobre em que r a função é uma solução para uma equação diferencial linear homogênea.

7. Formule um teorema de que uma combinação linear de soluções para uma equação linear homogênea também é sua solução.

8. Formule o teorema da imposição de soluções e suas consequências.

9. O que são sistemas de funções linearmente dependentes e linearmente independentes, dê alguns exemplos.

10. Qual é o determinante de Wronski de um sistema de n funções, dê um exemplo do determinante de Wronski para sistemas LZS e LNS.

Palestra nº 8.

1. Que propriedade o determinante de Wronski possui se a função do sistema for linearmente dependente.

2. Quantas soluções linearmente independentes existem para uma equação diferencial linear homogênea de ordem n.

3. Determinação do FSR (sistema fundamental de soluções) de uma equação linear homogênea de ordem n.

4. Quantas funções contém o FSR?

5. Escreva a forma do sistema de equações para encontrar pelo método de Lagrange para n=2.

6. Anote o tipo de solução específica no caso em que

7. O que é um sistema linear de equações diferenciais, escreva um exemplo.

8. O que é um sistema autônomo de equações diferenciais.

9. Significado físico de um sistema de equações diferenciais.

10. Escreva em que funções consiste o FSR do sistema de equações, se os autovalores e autovetores da matriz principal deste sistema forem conhecidos.

Palestra nº 9.

1. O que é uma unidade imaginária.

2. O que é um número conjugado e o que acontece quando você o multiplica pelo número original.

3. Qual é a forma trigonométrica e exponencial de um número complexo.

4. Escreva a fórmula de Euler.

5. Qual é o módulo, o argumento de um número complexo.

6. o que acontece com módulos e argumentos durante a multiplicação (divisão).

7. Escreva a fórmula de Moivre para o grau n.

8. Escreva a fórmula para uma raiz de ordem n.

9. Escreva fórmulas generalizadas de seno e cosseno para um argumento complexo.

10. Escreva a fórmula do logaritmo de um número complexo.

Apêndice 3. Problemas de palestras.

Palestra nº 1

Exemplo. . Exemplo. .

Exemplo. . Exemplo. .

Exemplo. Exemplo. .

Exemplo. . Exemplo. .

Palestra nº 2

Exemplo. . Exemplo. .

Exemplo. . Exemplo. .

Exemplo. . Exemplo.. , onde, número .

Exemplo. Divida exponencialmente.

Exemplo. Encontre usando a fórmula de Moivre.

Exemplo. Encontre todos os valores da raiz.

A função exponencial de uma variável real (com base positiva) é determinada em várias etapas. Primeiro, para valores naturais - como produto de fatores iguais. A definição então se estende a números inteiros negativos e valores diferentes de zero pelas regras. A seguir, consideramos expoentes fracionários nos quais o valor da função exponencial é determinado usando raízes: . Para valores irracionais, a definição já está ligada ao conceito básico da análise matemática – com a passagem ao limite, por questões de continuidade. Todas estas considerações não são de forma alguma aplicáveis ​​às tentativas de estender a função exponencial a valores complexos do indicador, e o que é, por exemplo, não é completamente claro.

Pela primeira vez, uma potência com um expoente complexo de base natural foi introduzida por Euler com base na análise de uma série de construções do cálculo integral. Às vezes, expressões algébricas muito semelhantes, quando integradas, dão respostas completamente diferentes:

Ao mesmo tempo, aqui a segunda integral é formalmente obtida da primeira quando substituída por

Disto podemos concluir que com a definição adequada de uma função exponencial com um expoente complexo, as funções trigonométricas inversas estão relacionadas aos logaritmos e, portanto, a função exponencial está relacionada aos trigonométricos.

Euler teve a coragem e a imaginação de dar uma definição razoável para uma função exponencial com base, a saber,

Esta é uma definição e, portanto, esta fórmula não pode ser provada; só podemos procurar argumentos a favor da razoabilidade e conveniência de tal definição. A análise matemática fornece muitos argumentos desse tipo. Vamos nos limitar a apenas um.

Sabe-se que de verdade existe uma relação limitante: . No lado direito há um polinômio que também faz sentido para valores complexos de . O limite de uma sequência de números complexos é determinado naturalmente. Uma sequência é considerada convergente se as sequências de partes reais e imaginárias convergem e é aceita

Vamos encontrá-lo. Para fazer isso, voltemos à forma trigonométrica e para o argumento selecionaremos valores do intervalo. Com esta escolha fica claro que para . Avançar,

Para ir até o limite, é necessário verificar a existência de limites e encontrar esses limites. É claro que

Então, na expressão

a parte real tende a , a parte imaginária tende a assim

Este argumento simples fornece um dos argumentos a favor da definição de Euler da função exponencial.

Vamos agora estabelecer que ao multiplicar os valores de uma função exponencial, os expoentes se somam. Realmente:

2. Fórmulas de Euler.

Vamos colocar a definição da função exponencial. Nós temos:

Substituindo b por -b, obtemos

Adicionando e subtraindo essas igualdades termo a termo, encontramos as fórmulas

chamadas fórmulas de Euler. Eles estabelecem uma conexão entre funções trigonométricas e funções exponenciais com expoentes imaginários.

3. Logaritmo natural de um número complexo.

Um número complexo dado na forma trigonométrica pode ser escrito na forma Esta forma de escrever um número complexo é chamada de exponencial. Ele retém todas as boas propriedades da forma trigonométrica, mas é ainda mais conciso. Além disso, portanto, é natural supor que a parte real do logaritmo de um número complexo é o logaritmo do seu módulo, e a parte imaginária é o seu argumento. Isso explica até certo ponto a propriedade “logarítmica” do argumento - o argumento do produto é igual à soma dos argumentos dos fatores.