Ângulos de um trapézio isósceles. Olá! Este artigo se concentrará na solução de problemas com um trapézio. Este grupo de tarefas faz parte do exame, as tarefas são simples. Vamos calcular os ângulos do trapézio, base e altura. A solução de uma série de problemas se resume a resolver, como se costuma dizer: onde estamos sem o teorema de Pitágoras?
Vamos trabalhar com um trapézio isósceles. Tem lados e ângulos iguais nas bases. Há um artigo no blog sobre o trapézio.
Notamos uma pequena e importante nuance, que não descreveremos em detalhes no processo de resolução das tarefas em si. Veja, se temos duas bases, então a base maior é dividida em três segmentos pelas alturas reduzidas a ela - um é igual à base menor (estes são lados opostos do retângulo), os outros dois são iguais entre si ( estes são os catetos de triângulos retângulos iguais):
Um exemplo simples: dadas duas bases de um trapézio isósceles 25 e 65. A base maior é dividida em segmentos da seguinte forma:
*E mais! As designações de letras não são inseridas nas tarefas. Isso é feito intencionalmente para não sobrecarregar a solução com frescuras algébricas. Concordo que isso é matematicamente analfabeto, mas o objetivo é transmitir a essência. E você sempre pode fazer as designações de vértices e outros elementos e escrever uma solução matematicamente correta.
Considere as tarefas:
27439. As bases de um trapézio isósceles são 51 e 65. Os lados são 25. Encontre o seno do ângulo agudo do trapézio.
Para encontrar o ângulo, você precisa traçar as alturas. No esboço, denotamos os dados na condição de tamanho. A base inferior é 65, é dividida por alturas nos segmentos 7, 51 e 7:
Em um triângulo retângulo, conhecemos a hipotenusa e o cateto, podemos encontrar o segundo cateto (a altura do trapézio) e então calcular o seno do ângulo.
De acordo com o teorema de Pitágoras, a perna especificada é igual a:
Por isso:
Resposta: 0,96
27440. As bases de um trapézio isósceles são 43 e 73. O cosseno de um ângulo agudo de um trapézio é 5/7. Encontre o lado.
Vamos construir as alturas e marcar os dados na condição de magnitude, a base inferior é dividida nos segmentos 15, 43 e 15:
27441. A maior base de um trapézio isósceles é 34. O lado lateral é 14. O seno de um ângulo agudo é (2√10)/7. Encontre uma base menor.
Vamos construir alturas. Para encontrar uma base menor, precisamos encontrar a que o segmento que é a perna de um triângulo retângulo (indicado em azul) é igual a:
Podemos calcular a altura do trapézio e, em seguida, encontrar a perna:
Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a perna:
Então a base menor é:
27442. As bases de um trapézio isósceles são 7 e 51. A tangente de um ângulo agudo é 5/11. Encontre a altura do trapézio.
Vamos plotar as alturas e marcar os dados na condição de magnitude. A base inferior é dividida em segmentos:
O que fazer? Expressamos a tangente do ângulo que conhecemos na base de um triângulo retângulo:
27443. A base menor de um trapézio isósceles é 23. A altura do trapézio é 39. A tangente de um ângulo agudo é 13/8. Encontre uma base maior.
Construímos alturas e calculamos a que a perna é igual:
Então a base maior será:
27444. As bases de um trapézio isósceles são 17 e 87. A altura do trapézio é 14. Encontre a tangente de um ângulo agudo.
Construímos alturas e marcamos valores conhecidos no esboço. A base inferior é dividida nos segmentos 35, 17, 35:
Por definição de tangente:
77152. As bases de um trapézio isósceles são 6 e 12. O seno do ângulo agudo do trapézio é 0,8. Encontre o lado.
Vamos construir um esboço, construir alturas e observar os valores conhecidos, a base maior é dividida nos segmentos 3, 6 e 3:
Expressamos a hipotenusa, denotada como x, através do cosseno:
Da identidade trigonométrica básica encontramos cosα
Por isso:
27818. Qual é o maior ângulo de um trapézio isósceles se se sabe que a diferença entre os ângulos opostos é 50 0 ? Dê sua resposta em graus.
Do curso de geometria, sabemos que se tivermos duas retas paralelas e uma secante, que a soma dos ângulos internos unilaterais é 180 0 . No nosso caso, isso
A condição diz que a diferença de ângulos opostos é 50 0 , ou seja,
Dos pontos D e C descemos duas alturas:
Como mencionado acima, eles dividem a base maior em três segmentos: um é igual à base menor, os outros dois são iguais entre si.
Nesse caso, eles são 3, 9 e 3 (para um total de 15). Além disso, notamos que os triângulos retângulos são cortados pelas alturas e são isósceles, pois os ângulos na base são iguais a 45 0 . Segue-se que a altura do trapézio será igual a 3.
Isso é tudo! Boa sorte para você!
Atenciosamente, Alexandre.
Ângulos de um trapézio isósceles (isósceles)
Tarefa.
Decisão.
Para um n-gon convexo, a soma dos ângulos é 180°(n-2).
Assim, a soma dos ângulos de um trapézio isósceles (isósceles) é:
180 (4 - 2) = 360 graus.
Com base nas propriedades de um trapézio isósceles de que seus ângulos são iguais aos pares, denotamos um par de ângulos como x. Como um ângulo é 30 graus maior que o segundo, a soma dos ângulos de um trapézio isósceles é:
x + (x + 30) + x + (x + 30) = 360
4x + 60 = 360
x = 75
Responda: os ângulos de um trapézio isósceles (isósceles) são iguais a 75 e 105 graus em pares.
Tarefa.
Encontre os ângulos de um trapézio isósceles se um ângulo for 30 graus maior que o outro.
Decisão.
Para resolver o problema, usamos o seguinte teorema:
trapézio isósceles
Observação. Isso faz parte do curso com tarefas em geometria (seção isósceles trapézio). Se você precisa resolver um problema de geometria, que não está aqui - escreva sobre isso no fórum. Para denotar a ação de extrair uma raiz quadrada na resolução de problemas, o símbolo é usado√ ou sqrt(), com a expressão radical indicada entre colchetes.
Tarefa
As bases de um trapézio isósceles (isósceles) são 8 e 20 centímetros. O lado lateral é de 10 cm. Encontre a área de um trapézio como este que tem uma altura de 12 cm.
Decisão.
Do vértice B do trapézio ABCD abaixamos a altitude BM até a base AD. Do vértice C até a base AD vamos abaixar a altura CN. Como MBCN é um retângulo, então
AD=BC+AM+ND
Os triângulos resultantes do fato de termos baixado da base menor de um trapézio isósceles para duas alturas maiores são iguais. Por isso,
AD = BC + AM * 2
AM = (AD - BC) / 2
AM = (20 - 8) / 2 = 6 cm
Assim, no triângulo ABM formado pela altura baixada da base menor do trapézio para a maior, conhecemos o cateto e a hipotenusa. A perna restante, que também é a altura do trapézio, encontramos pelo teorema de Pitágoras:
BM 2 = AB 2 - AM 2
BM 2 = 102 - 62
MB=8cm
Como a altura do trapézio ABCD é 8 cm e a altura de um trapézio semelhante é 12 cm, então o coeficiente de similaridade será igual a
k = 12 / 8 = 1,5
Como em tais figuras todas as dimensões geométricas são proporcionais entre si com um coeficiente de similaridade, encontramos a área de um trapézio semelhante. O produto da meia soma das bases de um trapézio semelhante pela altura é expresso em termos das dimensões geométricas conhecidas do trapézio original e o coeficiente de similaridade:
Ssub = (AD * k + BC * k) / 2 * (BM * k)
Spod \u003d (20 * 1,5 + 8 * 1,5) / 2 * (8 * 1,5) \u003d (30 + 12) / 2 * 12 \u003d 252 cm 2
Responda: 252 cm2
Tarefa
Em um trapézio isósceles, a base maior é 36 cm, o lado é 25 cm, a diagonal é 29 cm. Encontre a área do trapézio.
Decisão.
Do vértice B do trapézio ABCD abaixamos a altitude BM até a base AD. Para os triângulos retângulos resultantes ABM e BMD, o seguinte é verdadeiro:
AB 2 = BM 2 + AM 2
AD 2 = BM 2 + MD 2
Como a altura de um trapézio isósceles é simultaneamente igual a
BM 2 = AB 2 - AM 2
BM 2 = AD 2 - MD 2
Por isso,
AB 2 - AM 2 = AD 2 - MD 2
25 2 - AM 2 = 29 2 - MD 2
Como AD = AM + MD, então
AM + MD = 36
MD = 36-AM
Onde
25 2 - AM 2 = 29 2 - (36 - AM) 2
625 - AM 2 = 841 - (36 - AM) 2
625 - AM 2 = 841 - (1296 - 72AM + AM 2)
625 - AM 2 = 72 AM - 455 - AM 2
625 = 72AM - 455
AM=15
Onde MD = 36 - 15 = 21
Como AM \u003d 15, o valor da base menor de um trapézio isósceles será igual a 36 - 15 * 2 \u003d 6 cm
Encontramos a altura de um trapézio isósceles usando o teorema de Pitágoras:
BM 2 = AB 2 - AM 2
BM 2 = 625 - 225
BM=20
A área de um trapézio isósceles é igual ao produto da metade da soma das bases pela altura do trapézio.
S \u003d 1/2 (36 + 6) * 20 \u003d 420 cm 2.
Responda: 420 cm2.
Trapézio isósceles (parte 2)
Observação. Isso faz parte do curso com tarefas em geometria (seção isósceles trapézio). Se você precisa resolver um problema de geometria, que não está aqui - escreva sobre isso no fórum. Para denotar a ação de extrair uma raiz quadrada na resolução de problemas, utiliza-se o símbolo √ ou sqrt(), e a expressão radical é indicada entre colchetes.
Tarefa.
Em um trapézio isósceles ABCD, a base menor BC = 5 cm, o ângulo ABC = 135 graus, a altura do trapézio é 3 cm. Encontre a base maior.
Decisão.
Vamos abaixar a altura BE do vértice B até a base AD.
Como resultado, o ângulo ABC é igual à soma das medidas em graus dos ângulos ABE e EBC. Como as bases do trapézio são paralelas, o ângulo EBC é de 90 graus. Daí o ângulo ABE = 135 - 90 = 45 graus.
Como BE é a altura, então o triângulo ABE é um triângulo retângulo. Conhecendo o ângulo ABE, determinamos que o ângulo EAB é igual a 180º - 90º - 45º = 45º. Daí resulta que o triângulo ABE é isósceles, isto é, AE = BE = 3 cm.
Como o trapézio ABCD é isósceles, a base maior é 5 + 3 + 3 = 11 cm.
Responda: a maior base de um trapézio isósceles mede 11 cm.
Tarefa
Encontre a linha média de um trapézio isósceles cuja diagonal é a bissetriz de um ângulo agudo, cujo lado é 5, e uma das bases é 2 vezes a outra.
Decisão.
Como as bases do trapézio são paralelas, o ângulo ADB é igual ao ângulo DBC, assim como os ângulos internos transversalmente. Como a diagonal é bissetriz pela condição, os ângulos ADB e BDC são iguais. Daí resulta que os ângulos CBD e CDB são iguais.
2. Em um triângulo isósceles ABC com base AC, o lado lateral AB é 2, e a altura traçada até a base é a raiz de 3. Encontre o cosseno do ângulo A.
3. No triângulo ABC AC=BC , AB=32 , cosA=4\5. encontre a altura CH
trapézio isósceles. POR FAVOR COM DESENHO E DETALHES
Ajude-me, por favor:)
As linhas AM, BN e CO são paralelas, DM = MN = NO. Encontrar:
1) o comprimento do segmento DC, se:
a) AB=12; b) BC=9cm; c) AD = m
2) o comprimento do segmento AB se:
a) BD=16cm; b) CA=18 cm: c) CC=b
3) o comprimento do segmento AC, se:
a) CD=27 cm; b) DC=36cm; c) DB=a
Preciso para amanhã :(
2. desenhe um segmento arbitrário AB, divida-o:
a) em 5 partes iguais
b) em 6 partes iguais
3. Encontre os ângulos de um trapézio isósceles se sua base menor for igual ao lado e metade da outra base.
A distância do centro de um círculo inscrito em um trapézio retangular até as extremidades do lado lateral maior é 6 e 8 cm encontre a área do trapézio. tarefa 3. Em um triângulo retângulo ABC (ângulo C \u003d 90 graus) AB \u003d 10 cm, o raio do círculo inscrito nele é de 2 cm. Encontre a área desse triângulo. tarefa 4. O ponto divide a corda AB em segmentos de 12 e 16 cm. Encontre o diâmetro do círculo se a distância do ponto C ao centro do círculo for 8 cm. quadrilátero ABCO se o ângulo AOC = 120 graus. .
1.) Em um triângulo isósceles ABC, o lado lateral AB é duas vezes o comprimento de sua base AC, e o perímetro é 30 cm. Encontre a base AC2.) No triângulo ABC, a mediana BD é a bissetriz do triângulo. Encontre o perímetro do triângulo ABC se o perímetro do triângulo ABD for 16 cm e a mediana BD for 5 cm.
3.) Determine o tipo de triângulo se um de seus lados mede 5 cm e o outro mede
3cm e o perímetro é 7cm.
4.) Segmento AK - a altura do triângulo isósceles ABC traçado à base BC. Encontre os ângulos BAK e BKA se o ângulo BAC=46 graus.
5.) O triângulo ABC é isósceles com base AC. Defina o ângulo 2 se o ângulo 1 for 68 graus.
6.) No triângulo ABC, a mediana CM é desenhada. Sabe-se que CM = MB, ângulo MAC = 53 graus, ângulo MBC = 37 graus. Encontre o ângulo ACB.
7.) Determine o tipo de triângulo, cujas duas alturas estão fora do triângulo, e desenhe um desenho se tal triângulo existir.
8.) A mediana BM do triângulo ABC é perpendicular à sua bissetriz AD. Encontre AB se AC = 12 cm.
No início, esclarecemos que um trapézio é uma figura geométrica, que é um quadrilátero com dois lados opostos paralelos. Eles são chamados de bases do trapézio e os outros dois são chamados de lados. Ao conectar os pontos centrais dos lados, você pode obter a linha do meio da figura. Essas propriedades de um trapézio fundamentam o cálculo de todas as suas outras características. Para calcular a base de um trapézio (grande ou pequeno), você pode usar várias abordagens diferentes. Tudo depende da completude das informações disponíveis sobre o objeto geométrico. A maioria das tarefas possui dados de outros lados e ângulos do trapézio na condição, o que simplifica bastante a tarefa. Muitas vezes, a solução é diminuir a altura até a base e usar o teorema de Pitágoras para encontrar os parâmetros corretos. O cálculo de uma das bases com as informações disponíveis sobre a área do trapézio e a segunda base não apresenta nenhum problema. Considere os casos mais comuns com exemplos.
Como encontrar a base de um trapézio retangular
Um trapézio retangular é um trapézio em que um dos ângulos é igual a 90 graus. Esta é a mais simples de todas as opções para calcular a base. Via de regra, a condição do problema contém dados sobre a segunda base, e a solução é apenas determinar o fragmento da base que forma o segundo canto da figura com o lado. Como no caso descrito acima, consideramos um triângulo separado com uma base do fragmento desejado. De acordo com o teorema de Pitágoras, calculamos essa parte, adicionamos ou subtraímos da segunda base e obtemos o parâmetro desejado.
Como encontrar a base de um trapézio isósceles
Parece que a situação é com um trapézio isósceles. Este conceito é entendido como tal trapézio, cujos lados são iguais. Esta figura é absolutamente simétrica em relação ao centro, porque os pares de ângulos nela são iguais. Isso é bastante conveniente, pois, tendo informações sobre pelo menos um ângulo, podemos calcular facilmente os parâmetros de todos os outros. Como as partes laterais do trapézio são iguais entre si, então, como no problema anterior, devemos encontrar a base através de um pequeno fragmento dele. O comprimento do segundo fragmento corresponderá exatamente ao comprimento do primeiro. Isso também é feito através da imagem da altura formando um triângulo. Através dos parâmetros dos ângulos e de um lado desse triângulo, podemos obter facilmente a parte necessária da base maior.
Como encontrar a menor base de um trapézio isósceles
Se conhecermos os parâmetros da base maior, os lados, isso pode ser feito assim. Em uma base maior, abaixamos a altura e escrevemos os dois teoremas de Pitágoras. Um refletirá os parâmetros de um triângulo no qual a diagonal atua como hipotenusa, a altura como um cateto e a base maior como o outro cateto sem um segmento cortado pela altura.
O segundo teorema deve ser relevante para um triângulo, que consiste em uma hipotenusa - um lado, uma perna - altura e uma perna - um segmento de uma base maior.
Compomos um sistema dessas equações e o resolvemos. Encontramos o segmento cortado pela altura da maior distância. Subtraia os parâmetros duplicados deste segmento dos parâmetros da base maior e obtenha o comprimento da base menor.
