Equações do sistema com frações. Resolvendo equações com uma variável no denominador de uma fração

Até agora, resolvemos apenas equações inteiras em relação à incógnita, ou seja, equações em que os denominadores (se houver) não continham a incógnita.

Muitas vezes você tem que resolver equações que contêm a incógnita nos denominadores: tais equações são chamadas fracionárias.

Para resolver esta equação, multiplicamos ambos os lados dela por isto é, por um polinômio contendo a incógnita. A nova equação será equivalente à dada? Para responder à pergunta, vamos resolver esta equação.

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Resolvendo esta equação do primeiro grau, encontramos:

Então, a equação (2) tem uma única raiz

Substituindo na equação (1), temos:

Portanto, também é a raiz da equação (1).

A equação (1) não tem outras raízes. Em nosso exemplo, isso pode ser visto, por exemplo, pelo fato de que na equação (1)

Como o divisor desconhecido deve ser igual ao dividendo 1 dividido pelo quociente 2, ou seja

Assim, as equações (1) e (2) têm uma única raiz e, portanto, são equivalentes.

2. Agora resolvemos a seguinte equação:

O denominador comum mais simples: ; multiplique todos os termos da equação por ele:

Após a redução temos:

Vamos expandir os colchetes:

Trazendo termos semelhantes, temos:

Resolvendo esta equação, encontramos:

Substituindo na equação (1), temos:

Do lado esquerdo, recebemos expressões que não fazem sentido.

Portanto, a raiz da equação (1) não é. Isso implica que as equações (1) e não são equivalentes.

Neste caso, dizemos que a equação (1) adquiriu uma raiz estranha.

Vamos comparar a solução da equação (1) com a solução das equações que consideramos anteriormente (ver § 51). Para resolver essa equação, tivemos que realizar duas operações que não haviam sido vistas antes: primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por uma expressão contendo a incógnita (denominador comum) e, segundo, reduzimos frações algébricas por fatores contendo o desconhecido.

Comparando a Equação (1) com a Equação (2), vemos que nem todos os valores de x válidos para a Equação (2) são válidos para a Equação (1).

São os números 1 e 3 que não são valores admissíveis da incógnita para a equação (1), e como resultado da transformação eles se tornaram admissíveis para a equação (2). Um desses números acabou sendo uma solução para a equação (2), mas, é claro, não pode ser uma solução para a equação (1). A equação (1) não tem soluções.

Este exemplo mostra que ao multiplicar ambas as partes da equação por um fator contendo a incógnita, e ao reduzir frações algébricas, pode-se obter uma equação que não é equivalente à dada, a saber: podem aparecer raízes estranhas.

Daí tiramos a seguinte conclusão. Ao resolver uma equação contendo uma incógnita no denominador, as raízes resultantes devem ser verificadas por substituição na equação original. Raízes estranhas devem ser descartadas.

Equações contendo uma variável no denominador podem ser resolvidas de duas maneiras:

Reduzindo frações a um denominador comum

Usando a propriedade básica da proporção

Independentemente do método escolhido, é necessário, após encontrar as raízes da equação, selecionar dentre os valores encontrados os valores aceitáveis, ou seja, aqueles que não transformam o denominador em $0$.

1 caminho. Trazendo frações para um denominador comum.

Exemplo 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Decisão:

1. Mova a fração do lado direito da equação para a esquerda

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Para fazer isso corretamente, lembramos que ao mover elementos para outra parte da equação, o sinal na frente das expressões muda para o oposto. Então, se no lado direito havia um sinal de “+” antes da fração, então no lado esquerdo haverá um sinal de “-” na frente dele, então no lado esquerdo temos a diferença das frações.

2. Agora notamos que as frações têm denominadores diferentes, o que significa que para fazer a diferença é necessário trazer as frações para um denominador comum. O denominador comum será o produto dos polinômios nos denominadores das frações originais: $(2x-1)(x+3)$

Para obter uma expressão idêntica, o numerador e o denominador da primeira fração devem ser multiplicados pelo polinômio $(x+3)$, e a segunda pelo polinômio $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Vamos realizar a transformação no numerador da primeira fração - vamos multiplicar os polinômios. Lembre-se que para isso é necessário multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio, multiplicar por cada termo do segundo polinômio, depois multiplicar o segundo termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio e somar os resultados

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Apresentamos termos semelhantes na expressão resultante

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Execute uma transformação semelhante no numerador da segunda fração - multiplicaremos os polinômios

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Então a equação terá a forma:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Agora frações com o mesmo denominador, então você pode subtrair. Lembre-se que ao subtrair frações com o mesmo denominador do numerador da primeira fração, é necessário subtrair o numerador da segunda fração, deixando o denominador igual

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Vamos transformar a expressão no numerador. Para abrir os colchetes precedidos do sinal “-”, todos os sinais antes dos termos entre parênteses devem ser invertidos

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Apresentamos termos semelhantes

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Então a fração terá a forma

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Uma fração é igual a $0$ se seu numerador for 0. Portanto, igualamos o numerador da fração a $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Vamos resolver a equação linear:

4. Vamos amostrar as raízes. Isso significa que é necessário verificar se os denominadores das frações originais se transformam em $0$ quando as raízes são encontradas.

Estabelecemos a condição de que os denominadores não sejam iguais a $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Isso significa que todos os valores das variáveis são permitidos, exceto $-3$ e $0,5$.

A raiz que encontramos é um valor válido, portanto, pode ser considerada com segurança a raiz da equação. Se a raiz encontrada não fosse um valor válido, essa raiz seria estranha e, é claro, não seria incluída na resposta.

Responda:$-0,2.$

Agora podemos escrever um algoritmo para resolver uma equação que contém uma variável no denominador

Um algoritmo para resolver uma equação que contém uma variável no denominador

Mova todos os elementos do lado direito da equação para o lado esquerdo. Para obter uma equação idêntica, é necessário mudar todos os sinais na frente das expressões do lado direito para o oposto

Se no lado esquerdo obtivermos uma expressão com denominadores diferentes, os trazemos para um comum usando a propriedade principal da fração. Execute transformações usando transformações idênticas e obtenha a fração final igual a $0$.

Iguale o numerador a $0$ e encontre as raízes da equação resultante.

Vamos amostrar as raízes, ou seja. encontre valores de variáveis válidos que não transformem o denominador em $0$.

2 maneiras. Usando a propriedade básica da proporção

A principal propriedade de uma proporção é que o produto dos termos extremos da proporção é igual ao produto dos termos médios.

Exemplo 2

Usamos esta propriedade para resolver esta tarefa

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Vamos encontrar e igualar o produto dos membros extremos e médios da proporção.

$\left(2x+3\right)\cdot(\x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Resolvendo a equação resultante, encontramos as raízes do original

2. Vamos encontrar valores admissíveis de uma variável.

Da solução anterior (1ª via) já descobrimos que quaisquer valores são permitidos exceto $-3$ e $0,5$.

Então, tendo estabelecido que a raiz encontrada é um valor válido, descobrimos que $-0,2$ será a raiz.

"Solução de equações racionais fracionárias"

Lições objetivas:

Tutorial:

formação do conceito de equações racionais fracionárias; considerar várias maneiras de resolver equações racionais fracionárias; considere um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias, incluindo a condição de que a fração seja igual a zero; ensinar a solução de equações racionais fracionárias de acordo com o algoritmo; verificar o nível de assimilação do tópico através da realização de trabalhos de teste.

Em desenvolvimento:

desenvolvimento da capacidade de operar corretamente com o conhecimento adquirido, de pensar logicamente; desenvolvimento de habilidades intelectuais e operações mentais - análise, síntese, comparação e generalização; desenvolvimento de iniciativa, capacidade de tomar decisões, não parando por aí; desenvolvimento do pensamento crítico; desenvolvimento de habilidades de pesquisa.

Nutrir:

educação de interesse cognitivo no assunto; educação para a independência na resolução de problemas educacionais; educação da vontade e perseverança para alcançar os resultados finais.

Tipo de lição: lição - explicação do novo material.

Durante as aulas

1. Momento organizacional.

Olá, pessoal! As equações são escritas no quadro-negro, observe-as cuidadosamente. Você consegue resolver todas essas equações? Quais não são e por quê?

Equações nas quais as partes esquerda e direita são expressões racionais fracionárias são chamadas de equações racionais fracionárias. O que você acha que vamos estudar hoje na lição? Formule o tema da lição. Então, abrimos os cadernos e anotamos o tópico da lição “Solução de equações racionais fracionárias”.

2. Atualização do conhecimento. Levantamento frontal, trabalho oral com a turma.

E agora vamos repetir o principal material teórico que precisamos para estudar um novo tópico. Por favor responda as seguintes questões:

1. O que é uma equação? ( Igualdade com uma variável ou variáveis.)

2. Como é chamada a Equação #1? ( Linear.) Método de resolução de equações lineares. ( Mova tudo com a incógnita para o lado esquerdo da equação, todos os números para a direita. Traga termos semelhantes. Encontre o multiplicador desconhecido).

3. Como é chamada a Equação #3? ( Quadrado.) Métodos de resolução de equações quadráticas. ( Seleção do quadrado completo, por fórmulas, usando o teorema de Vieta e suas consequências.)

4. O que é uma proporção? ( Igualdade de duas relações.) A principal propriedade da proporção. ( Se a proporção for verdadeira, então o produto de seus termos extremos é igual ao produto dos termos médios.)

5. Quais propriedades são usadas na resolução de equações? ( 1. Se na equação transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada. 2. Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número diferente de zero, será obtida uma equação equivalente ao dado.)

6. Quando uma fração é igual a zero? ( Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero.)

3. Explicação do novo material.

Resolva a equação nº 2 em cadernos e no quadro.

Responda: 10.

Que equação racional fracionária você pode tentar resolver usando a propriedade básica da proporção? (Número 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Resolva a equação nº 4 em cadernos e no quadro.

Responda: 1,5.

Que equação racional fracionária você pode tentar resolver multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador? (Número 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Responda: 3;4.

Agora tente resolver a equação #7 de uma das maneiras.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Responda: 0;5;-2.			Responda: 5;-2.

Explique por que isso aconteceu? Por que há três raízes em um caso e duas no outro? Que números são as raízes desta equação racional fracionária?

Até agora, os alunos não conheceram o conceito de raiz estranha, é realmente muito difícil para eles entenderem por que isso aconteceu. Se ninguém na classe puder dar uma explicação clara desta situação, então o professor faz perguntas orientadoras.

Nas equações nº 2 e 4 no denominador do número, nº 5-7 - expressões com uma variável

O valor da variável em que a equação se torna uma verdadeira igualdade

Faça uma verificação

Ao fazer uma prova, alguns alunos percebem que precisam dividir por zero. Eles concluem que os números 0 e 5 não são as raízes desta equação. Surge a pergunta: existe uma maneira de resolver equações racionais fracionárias que elimine esse erro? Sim, este método é baseado na condição de que a fração seja igual a zero.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Se x=5, então x(x-5)=0, então 5 é uma raiz estranha.

Se x=-2, então x(x-5)≠0.

Responda: -2.

Vamos tentar formular um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias dessa maneira. As próprias crianças formulam o algoritmo.

Algoritmo para resolver equações racionais fracionárias:

1. Mova tudo para o lado esquerdo.

2. Traga frações para um denominador comum.

3. Faça um sistema: a fração é igual a zero quando o numerador é igual a zero e o denominador não é igual a zero.

4. Resolva a equação.

5. Verifique a desigualdade para excluir raízes estranhas.

6. Anote a resposta.

Discussão: como formalizar a solução se for utilizada a propriedade básica da proporção e a multiplicação de ambos os lados da equação por um denominador comum. (Suplemente a solução: exclua de suas raízes aquelas que transformam o denominador comum em zero).

4. Compreensão primária de material novo.

Trabalho em dupla. Os alunos escolhem como resolver a equação por conta própria, dependendo do tipo de equação. Tarefas do livro didático "Álgebra 8", 2007: Nº 000 (b, c, i); Nº 000(a, e, g). O professor controla o desempenho da tarefa, responde às perguntas que surgem e presta assistência aos alunos com desempenho insatisfatório. Autoteste: As respostas são escritas no quadro.

b) 2 é uma raiz estranha. Resposta:3.

c) 2 é uma raiz estranha. Resposta: 1,5.

a) Resposta: -12,5.

g) Resposta: 1; 1.5.

5. Declaração de dever de casa.

2. Aprenda o algoritmo para resolver equações racionais fracionárias.

3. Resolva nos cadernos nº 000 (a, d, e); Nº 000(g, h).

4. Tente resolver o nº 000(a) (opcional).

6. Cumprimento da tarefa de controle sobre o tema estudado.

O trabalho é feito em folhas.

Exemplo de trabalho:

A) Quais das equações são racionais fracionárias?

B) Uma fração é zero quando o numerador é ______________________ e o denominador é _______________________.

P) O número -3 é a raiz da Equação #6?

D) Resolva a equação nº 7.

Critérios de avaliação da tarefa:

"5" é dado se o aluno completou mais de 90% da tarefa corretamente. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" é dado ao aluno que completou menos de 50% da tarefa. O grau 2 não é colocado no diário, o 3 é opcional.

7. Reflexão.

Nos folhetos com trabalhos independentes, coloque:

1 - se a aula foi interessante e compreensível para você; 2 - interessante, mas não claro; 3 - não é interessante, mas compreensível; 4 - não é interessante, não é claro.

8. Resumindo a lição.

Então, hoje na lição, nos familiarizamos com equações racionais fracionárias, aprendemos a resolver essas equações de várias maneiras, testamos nosso conhecimento com a ajuda de trabalho educacional independente. Você aprenderá os resultados do trabalho independente na próxima lição, em casa você terá a oportunidade de consolidar o conhecimento adquirido.

Qual método de resolução de equações racionais fracionárias, na sua opinião, é mais fácil, mais acessível, mais racional? Independentemente do método de resolução de equações racionais fracionárias, o que não deve ser esquecido? Qual é a "astúcia" das equações racionais fracionárias?

Obrigado a todos, a aula acabou.

Calculadora de frações projetado para cálculo rápido de operações com frações, ele ajudará você a adicionar, multiplicar, dividir ou subtrair frações facilmente.

Os alunos modernos começam a estudar frações já na 5ª série e, a cada ano, os exercícios com eles se tornam mais complicados. Termos matemáticos e quantidades que aprendemos na escola raramente são úteis para nós na idade adulta. No entanto, frações, ao contrário de logaritmos e graus, são bastante comuns na vida cotidiana (medir distâncias, pesar mercadorias, etc.). Nossa calculadora é projetada para operações rápidas com frações.

Primeiro, vamos definir o que são frações e o que são. Frações são a razão de um número para outro; este é um número que consiste em um número inteiro de frações de uma unidade.

Tipos de fração:

Ordinário
Decimais
misturado

Exemplo frações ordinárias:

O valor de cima é o numerador, o de baixo é o denominador. O traço nos mostra que o número de cima é divisível pelo número de baixo. Em vez de um formato de escrita semelhante, quando o traço é horizontal, você pode escrever de maneira diferente. Você pode colocar uma linha inclinada, por exemplo:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Decimais são o tipo mais popular de frações. Eles consistem em uma parte inteira e uma parte fracionária, separadas por uma vírgula.

Exemplo decimal:

0,2 ou 6,71 ou 0,125

Consiste em um número inteiro e uma parte fracionária. Para descobrir o valor dessa fração, você precisa adicionar o número inteiro e a fração.

Exemplo de frações mistas:

A calculadora de frações em nosso site é capaz de realizar rapidamente qualquer operação matemática com frações online:

Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão

Para realizar o cálculo, você precisa inserir os números nos campos e selecionar a ação. Para frações, você precisa preencher o numerador e o denominador, um número inteiro não pode ser escrito (se a fração for comum). Não se esqueça de clicar no botão "igual".

É conveniente que a calculadora forneça imediatamente um processo para resolver um exemplo com frações, e não apenas uma resposta pronta. É graças à solução detalhada que você pode usar este material na resolução de problemas escolares e para dominar melhor o material abordado.

Você precisa calcular o exemplo:

Após inserir os indicadores nos campos do formulário, obtemos:

Para fazer um cálculo independente, insira os dados no formulário.

Calculadora de frações

Digite duas frações:

		+ - * :

seções relacionadas.

Uma equação é uma igualdade contendo uma letra cujo valor deve ser encontrado.

Nas equações, a incógnita é geralmente denotada por uma letra latina minúscula. As letras mais usadas são "x" [x] e "y" [y].

Raiz da equação- este é o valor da letra, no qual a igualdade numérica correta é obtida da equação.

resolva a equação- significa encontrar todas as suas raízes ou certificar-se de que não há raízes.

Tendo resolvido a equação, sempre anotamos o cheque após a resposta.

Informações para os pais

Caros pais, chamamos a atenção para o fato de que no ensino fundamental e no 5º ano as crianças NÃO conhecem o tema "Números negativos".

Portanto, eles devem resolver equações usando apenas as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão. Os métodos para resolver equações para o grau 5 são dados abaixo.

Não tente explicar a solução de equações transferindo números e letras de uma parte da equação para outra com uma mudança de sinal.

Você pode atualizar seus conhecimentos sobre os conceitos relacionados à adição, subtração, multiplicação e divisão na lição "Leis da aritmética".

Resolvendo equações para adição e subtração

Como encontrar o desconhecido
prazo

Como encontrar o desconhecido
minuendo

Como encontrar o desconhecido
subtraendo

Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Exame

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Exame

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Exame

Resolvendo equações para multiplicação e divisão

Como encontrar o desconhecido
fator

Como encontrar o desconhecido
dividendo

Como encontrar o desconhecido
divisor

Para encontrar o fator desconhecido, o produto deve ser dividido pelo fator conhecido.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

e 4 = 12
y=12:4
y=3
Exame

y:7=2
y = 2 7
a = 14
Exame

8:y=4
y=8:4
y=2
Exame

Uma equação é uma equação que contém a letra cujo sinal deve ser encontrado. A solução de uma equação é o conjunto de valores de letras que transforma a equação em uma verdadeira igualdade:

Lembre-se que para resolver equaçãoé necessário transferir os termos com a incógnita para uma parte da igualdade, e os termos numéricos para a outra, trazer os semelhantes e obter a seguinte igualdade:

A partir da última igualdade, determinamos a incógnita pela regra: "um dos fatores é igual ao quociente dividido pelo segundo fator".

Como os números racionais a e b podem ter sinais iguais e diferentes, o sinal da incógnita é determinado pelas regras de divisão dos números racionais.

O procedimento para resolver equações lineares

A equação linear deve ser simplificada abrindo os colchetes e realizando as ações da segunda etapa (multiplicação e divisão).

Mova as incógnitas para um lado do sinal de igual e os números para o outro lado do sinal de igual, ficando idêntico à igualdade dada,

Traga like para a esquerda e para a direita do sinal de igual, obtendo uma igualdade da forma machado = b.

Calcule a raiz da equação (encontre a incógnita X da igualdade x = b : uma),

Teste substituindo a incógnita na equação dada.

Se obtivermos uma identidade em igualdade numérica, a equação será resolvida corretamente.

Casos especiais de resolução de equações

Se um a equaçãoé dado por um produto igual a 0, então para resolvê-lo usamos a propriedade da multiplicação: "o produto é igual a zero se um dos fatores ou ambos os fatores forem iguais a zero."

27 (x - 3) = 0
27 não é igual a 0, então x - 3 = 0

O segundo exemplo tem duas soluções para a equação, pois
Esta é uma equação do segundo grau:

Se os coeficientes da equação são frações ordinárias, primeiro você precisa se livrar dos denominadores. Por esta:

Encontre um denominador comum;

Determinar fatores adicionais para cada termo da equação;

Multiplique os numeradores de frações e inteiros por fatores adicionais e anote todos os termos da equação sem denominadores (o denominador comum pode ser descartado);

Mova os termos com incógnitas para uma parte da equação e os termos numéricos para a outra a partir do sinal de igual, obtendo uma igualdade equivalente;

Traga termos semelhantes;

Propriedades básicas das equações

Em qualquer parte da equação, você pode trazer termos semelhantes ou abrir o colchete.

Qualquer termo da equação pode ser transferido de uma parte da equação para outra mudando seu sinal para o oposto.

Ambos os lados da equação podem ser multiplicados (divididos) pelo mesmo número, exceto 0.

No exemplo acima, todas as suas propriedades foram usadas para resolver a equação.

Como resolver uma equação com uma incógnita em uma fração

Às vezes, as equações lineares assumem a forma quando desconhecido aparece no numerador de uma ou mais frações. Como na equação abaixo.

Nesses casos, tais equações podem ser resolvidas de duas maneiras.

eu caminho de solução
Reduzindo uma equação a uma proporção

Ao resolver equações usando o método de proporção, você deve executar as seguintes etapas:

trazer todas as frações para um denominador comum e adicioná-las como frações algébricas (apenas uma fração deve permanecer nos lados esquerdo e direito);

Resolva a equação resultante usando a regra da proporção.

Então, de volta à nossa equação. No lado esquerdo, já temos apenas uma fração, portanto não são necessárias transformações nela.

Vamos trabalhar com o lado direito da equação. Simplifique o lado direito da equação para que apenas uma fração permaneça. Para fazer isso, lembre-se das regras para adicionar um número com uma fração algébrica.

Agora usamos a regra da proporção e resolvemos a equação até o fim.

II método de solução
Redução a uma equação linear sem frações

Considere a equação acima novamente e resolva-a de uma maneira diferente.

Vemos que existem duas frações na equação "

Como resolver equações com frações. Solução exponencial de equações com frações.

Resolvendo equações com frações vamos ver exemplos. Os exemplos são simples e ilustrativos. Com a ajuda deles, você pode entender da maneira mais compreensível.
Por exemplo, você precisa resolver uma equação simples x/b + c = d.

Uma equação desse tipo é chamada linear, porque o denominador contém apenas números.

A solução é realizada multiplicando ambos os lados da equação por b, então a equação assume a forma x = b*(d – c), ou seja. o denominador da fração do lado esquerdo é reduzido.

Por exemplo, como resolver uma equação fracionária:
x/5+4=9
Multiplicamos ambas as partes por 5. Obtemos:
x+20=45

Outro exemplo onde a incógnita está no denominador:

Equações desse tipo são chamadas de racionais fracionárias ou simplesmente fracionárias.

Resolveríamos uma equação fracionária eliminando as frações, após o que essa equação, na maioria das vezes, se transforma em uma equação linear ou quadrática, que é resolvida da maneira usual. Você só deve levar em consideração os seguintes pontos:

o valor de uma variável que transforma o denominador em 0 não pode ser raiz;
você não pode dividir ou multiplicar a equação pela expressão =0.

Aqui entra em vigor um conceito como a área dos valores permitidos (ODZ) - esses são os valores das raízes da equação para os quais a equação faz sentido.

Assim, resolvendo a equação, é necessário encontrar as raízes, e então verificá-las quanto à conformidade com a ODZ. As raízes que não correspondem ao nosso DHS são excluídas da resposta.

Por exemplo, você precisa resolver uma equação fracionária:

Com base na regra acima, x não pode ser = 0, ou seja ODZ neste caso: x - qualquer valor diferente de zero.

Nós nos livramos do denominador multiplicando todos os termos da equação por x

E resolva a equação usual

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Vamos resolver a equação mais complicada:

ODZ também está presente aqui: x -2.

Resolvendo esta equação, não vamos transferir tudo em uma direção e trazer frações para um denominador comum. Imediatamente multiplicamos ambos os lados da equação por uma expressão que reduzirá todos os denominadores de uma vez.

Para reduzir os denominadores, você precisa multiplicar o lado esquerdo por x + 2 e o lado direito por 2. Então, ambos os lados da equação devem ser multiplicados por 2 (x + 2):

Esta é a multiplicação de frações mais comum, que já discutimos acima.

Escrevemos a mesma equação, mas de uma maneira ligeiramente diferente.

O lado esquerdo é reduzido por (x + 2), e o lado direito por 2. Após a redução, obtemos a equação linear usual:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, que corresponde ao nosso ODZ

Resolvendo equações com frações não é tão difícil quanto pode parecer. Neste artigo, mostramos isso com exemplos. Se você está tendo alguma dificuldade com como resolver equações com frações, então cancele a inscrição nos comentários.