Hoje, uma das habilidades mais importantes para qualquer especialista é a capacidade de resolver equações diferenciais. A solução de equações diferenciais - nenhuma tarefa aplicada pode prescindir disso, seja o cálculo de qualquer parâmetro físico ou a modelagem de mudanças decorrentes da política macroeconômica adotada. Essas equações também são importantes para várias outras ciências, como química, biologia, medicina, etc. Abaixo daremos um exemplo do uso de equações diferenciais na economia, mas antes disso falaremos brevemente sobre os principais tipos de equações.

Equações diferenciais - os tipos mais simples

Os sábios disseram que as leis do nosso universo estão escritas em linguagem matemática. Claro, existem muitos exemplos de várias equações em álgebra, mas estes são principalmente exemplos educacionais que não são aplicáveis ​​na prática. A matemática realmente interessante começa quando queremos descrever os processos que ocorrem na vida real. Mas como refletir o fator tempo, que está sujeito a processos reais – inflação, produto ou indicadores demográficos?

Lembre-se de uma definição importante de um curso de matemática sobre a derivada de uma função. A derivada é a taxa de variação da função, então ela pode nos ajudar a refletir o fator tempo na equação.

Ou seja, compomos uma equação com uma função que descreve o indicador de nosso interesse e adicionamos a derivada dessa função à equação. Esta é a equação diferencial. Agora vamos para o mais simples tipos de equações diferenciais para dummies.

A equação diferencial mais simples tem a forma $y'(x)=f(x)$, onde $f(x)$ é alguma função e $y'(x)$ é a derivada ou taxa de variação da função desejada . É resolvido por integração ordinária: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

O segundo tipo mais simples é chamado de equação diferencial separável. Essa equação se parece com isso $y'(x)=f(x)\cdot g(y)$. Pode-se ver que a variável dependente $y$ também faz parte da função construída. A equação é resolvida de forma muito simples - você precisa "separar as variáveis", ou seja, trazê-la para a forma $y'(x)/g(y)=f(x)$ ou $dy/g(y)= f(x)dx$. Resta integrar ambas as partes $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - esta é a solução de uma equação diferencial do tipo separável.

O último tipo simples é a equação diferencial linear de primeira ordem. Tem a forma $y'+p(x)y=q(x)$. Aqui $p(x)$ e $q(x)$ são algumas funções, e $y=y(x)$ é a função desejada. Para resolver tal equação, já são utilizados métodos especiais (o método de Lagrange de variação de uma constante arbitrária, o método de substituição de Bernoulli).

Existem tipos mais complexos de equações - equações de segunda, terceira e geralmente arbitrárias, equações homogêneas e não homogêneas, bem como sistemas de equações diferenciais. Para resolvê-los, você precisa de preparação preliminar e experiência na resolução de problemas mais simples.

De grande importância para a física e, surpreendentemente, para as finanças são as chamadas equações diferenciais parciais. Isso significa que a função desejada depende de várias variáveis ​​ao mesmo tempo. Por exemplo, a equação Black-Scholes do campo da engenharia financeira descreve o valor de uma opção (tipo de título) dependendo de seu rendimento, do valor dos pagamentos, bem como do momento de início e término dos pagamentos. Resolver uma equação diferencial parcial é bastante complicado, geralmente você precisa usar programas especiais como Matlab ou Maple.

Um exemplo de aplicação de uma equação diferencial em economia

Damos, como prometido, um exemplo simples de resolução de uma equação diferencial. Vamos definir a tarefa primeiro.

Para algumas empresas, a função da receita marginal da venda de seus produtos tem a forma $MR=10-0,2q$. Aqui $MR$ é a receita marginal da empresa e $q$ é a produção. Precisamos encontrar a renda total.

Como pode ser visto a partir do problema, este é um exemplo aplicado da microeconomia. Muitas empresas e empresas são constantemente confrontadas com esses cálculos no decorrer de suas atividades.

Vamos à solução. Como é conhecido da microeconomia, a receita marginal é uma derivada da receita total, e a receita é zero em vendas zero.

Do ponto de vista matemático, o problema se reduzia a resolver a equação diferencial $R’=10-0.2q$ sob a condição $R(0)=0$.

Integramos a equação, tomando a função antiderivada de ambas as partes, obtemos a solução geral: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Para encontrar a constante $C$, lembre-se da condição $R(0)=0$. Substitua: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Então C=0 e nossa função de receita total se torna $R(q)=10q-0.1q^2$. Problema resolvido.

Outros exemplos para diferentes tipos de controle remoto são coletados na página:

Apêndice

Resolução de equações diferenciais online no site para os alunos consolidarem o material que estudaram. E pratique suas habilidades práticas. Equações diferenciais online. Difuras online, solução matemática online. Solução passo a passo de problemas matemáticos online. A ordem, ou grau, de uma equação diferencial é a ordem mais alta das derivadas incluídas nela. Equações diferenciais online. O processo de resolver uma equação diferencial é chamado de integração. O problema de integrar uma equação diferencial é considerado resolvido se a descoberta da função desconhecida puder ser trazida para a quadratura, independentemente de a integral resultante ser expressa na forma final em termos de funções conhecidas ou não. Solução passo a passo de equações diferenciais online. Todas as equações diferenciais podem ser divididas em equações diferenciais ordinárias (EDO), que incluem apenas funções (e suas derivadas) de um argumento, e equações diferenciais parciais (EDP), nas quais as funções de entrada dependem de muitas variáveis. Equações diferenciais online. Existem também equações diferenciais estocásticas (SDEs) envolvendo processos aleatórios. Solução passo a passo de equações diferenciais online. Dependendo das combinações de derivadas, funções, variáveis ​​independentes, as equações diferenciais são divididas em lineares e não lineares, com coeficientes constantes ou variáveis, homogêneas ou não homogêneas. Devido à importância das aplicações, equações diferenciais parciais quasilineares (lineares em relação a derivadas mais altas) são destacadas em uma classe separada. As soluções de equações diferenciais são divididas em soluções gerais e particulares. Equações diferenciais online. As soluções gerais incluem constantes indefinidas e, para equações diferenciais parciais, funções arbitrárias de variáveis ​​independentes que podem ser refinadas a partir de condições de integração adicionais (condições iniciais para equações diferenciais ordinárias, condições iniciais e de contorno para equações diferenciais parciais). Solução passo a passo de equações diferenciais online. Depois de determinar a forma dessas funções constantes e indefinidas, as soluções tornam-se particulares. A busca de soluções para equações diferenciais ordinárias levou ao estabelecimento de uma classe de funções especiais - funções frequentemente encontradas em aplicações que não são expressas em termos de funções elementares conhecidas. Equações diferenciais online. Suas propriedades foram estudadas em detalhes, tabelas de valores foram compiladas, interconexões foram determinadas, etc. . O conjunto de números enumerados pode ser explorado. A melhor resposta para o problema dado. Como encontrar na primeira aproximação o vetor de saída para a região de convergência sobre equações diferenciais sem esclarecer o limite superior encontrado. A escolha é óbvia para funções matemáticas crescentes. Existe um método progressivo acima do nível da pesquisa. Para alinhar com a condição inicial do problema, a solução dos diferenciais ajudará a encontrar um valor escolhido de valor único. Pode ser que ele possa determinar o desconhecido imediatamente. Como no exemplo anterior de indicar uma solução para um problema matemático, as equações diferenciais lineares são a resposta para um problema específico em um período de tempo especificado. A manutenção do procedimento de estudo não é definida localmente. Será para que haja um exemplo para cada aluno e a solução das equações diferenciais será determinada pela pessoa designada ao executor responsável a partir de pelo menos dois valores. Pegue uma função de valor geral em um determinado segmento e avise ao longo de qual eixo haverá uma lacuna. Tendo estudado equações diferenciais online, é possível mostrar inequivocamente o quão importante é o resultado, se for fornecido a partir das condições iniciais. Cortar uma região de uma definição de função é impossível, pois não há definição de tarefa localmente. Sendo encontrada a partir de um sistema de equações, a resposta contém uma variável que pode ser calculada no sentido geral, mas naturalmente será possível resolver uma equação diferencial online sem esta ação para determinar a referida condição. Perto do intervalo do segmento, percebe-se como a solução de equações diferenciais online é capaz de adiantar o resultado da pesquisa em um sentido positivo no momento do corte do conhecimento dos alunos. O melhor nem sempre é obtido pela abordagem geral aceita dos negócios. No nível 2x, pode-se visualizar de maneira útil todas as equações diferenciais lineares naturais necessárias, mas a capacidade de calcular um valor numérico levará a um aumento no conhecimento. De acordo com qualquer técnica em matemática, existem equações diferenciais que são apresentadas em expressões de natureza diferente, como homogêneas ou complexas. Realizada uma análise geral do estudo da função, ficará claro que a solução de diferencial como um conjunto de possibilidades representa um claro erro nos valores. A verdade está no espaço acima das linhas de abcissa. Em algum lugar no domínio de uma função complexa, em algum ponto de sua definição, as equações diferenciais lineares serão capazes de representar a resposta de forma analítica. isto é, em termos gerais, como a essência. Nada vai mudar ao alterar a variável. No entanto, é necessário perscrutar a resposta com especial interesse. Na verdade, a calculadora altera a razão no final, ou seja, como a solução das equações diferenciais é proporcional ao valor global é indicado dentro da solução desejada. Em alguns casos, um aviso de erro em massa é inevitável. As equações diferenciais online implementam uma ideia geral do problema, mas, no final, você precisa fornecer os aspectos positivos do produto cruzado o mais rápido possível. Em matemática, casos de erro na teoria dos números não são incomuns. Definitivamente precisa ser verificado. Naturalmente, é melhor dar esse direito aos profissionais de sua área e são eles que ajudarão a resolver a equação diferencial online, pois sua experiência é colossal e positiva. A diferença nas superfícies das figuras e na área é tal que não é a solução de equações diferenciais online que permitirá ver, mas o conjunto de objetos não intersectados é tal que a linha é paralela ao eixo. Como resultado, você pode obter o dobro de valores. Sendo implícita, nossa ideia de correção da notação formal prevê equações diferenciais lineares tanto na área de visualização quanto em relação à superestimação deliberada da qualidade do resultado. Uma discussão sobre um tópico que é interessante para todos os alunos é publicada várias vezes na revisão. Ao longo do estudo do curso completo de palestras, focaremos nossa atenção nas equações diferenciais e campos de estudo da ciência afins, se isso não contradizer a verdade. Muitas etapas podem ser evitadas no início da jornada. Se a solução de diferenciais ainda é fundamentalmente algo novo para os alunos, então o antigo não é esquecido, mas progride para o futuro em alta taxa de desenvolvimento. Inicialmente, as condições para um problema de matemática divergem, mas isso é indicado no parágrafo à direita. Após a expiração do tempo especificado por definição, a possibilidade de um resultado proporcional dependente em diferentes planos de movimento do vetor não é excluída. Um caso tão simples é corrigido da mesma maneira que as equações diferenciais lineares são descritas em uma calculadora de forma geral, portanto, será mais rápido e o deslocamento dos cálculos não levará a uma opinião errônea. Apenas cinco casos nomeados de acordo com a teoria podem ultrapassar os limites do que está acontecendo. Nossa solução de equações diferenciais ajudará a calcular manualmente o valor em números já nos primeiros estágios de decomposição do espaço funcional. Nos lugares certos, é necessário apresentar o ponto de contato das quatro linhas de forma geral. Mas se você tiver que forçar a tarefa, será fácil igualar a complexidade. Os dados iniciais são suficientes para projetar a perna adjacente e as equações diferenciais online parecem alinhadas à esquerda e a superfície unilateral é direcionada para o rotor vetorial. Acima do limite superior, são possíveis valores numéricos além da condição especificada. É possível levar em conta a fórmula matemática e resolver a equação diferencial online devido a três incógnitas no valor geral da proporção. O método local de cálculo é reconhecido como válido. O sistema de coordenadas é retangular em movimento relativo do plano. A solução geral on-line de equações diferenciais torna possível tirar uma conclusão inequívoca em favor de uma varredura computacional através de definições de matriz em toda a linha reta localizada acima do gráfico de uma função explicitamente especificada. A solução é vista se você aplicar o vetor de movimento ao ponto de contato dos três hemisférios. O cilindro é obtido girando o retângulo ao redor do lado e as equações diferenciais lineares podem mostrar a direção do movimento do ponto de acordo com as expressões dadas de sua lei de movimento. Os dados iniciais estão corretos e o problema em matemática é intercambiável sob uma condição simples. No entanto, devido às circunstâncias, tendo em vista a complexidade do subproblema de configuração, as equações diferenciais simplificam o processo de cálculo de espaços numéricos no nível do espaço tridimensional. É fácil provar o contrário, mas é possível evitá-lo, como no exemplo acima. Na matemática superior, os seguintes pontos são fornecidos: quando um problema é reduzido a uma forma simplificada, o maior esforço possível por parte dos alunos deve ser estendido a ele. As linhas sobrepostas umas às outras caem no deslocamento. A solução Pro diferencial ainda retoma a vantagem do referido método na linha curva. Se você reconhecer a princípio não o que você precisa, então a fórmula matemática fará um novo valor da expressão. O objetivo é a abordagem ideal para resolver as tarefas definidas pelo professor. Você não deve supor que as equações diferenciais lineares em uma forma simplificada excederão o resultado esperado. Colocamos três vetores em uma superfície finitamente composta. ortogonais entre si. Vamos calcular o produto. Vamos adicionar um número maior de símbolos e escrever todas as variáveis ​​da função da expressão resultante. Existe uma proporção. Várias ações anteriores ao final do cálculo não darão uma resposta inequívoca para a solução de equações diferenciais imediatamente, mas somente após o tempo alocado ter decorrido ao longo do eixo das ordenadas. À esquerda do ponto de descontinuidade, dado implicitamente da função, desenhamos um eixo ortogonal ao melhor vetor crescente e colocamos as equações diferenciais online ao longo do menor valor limite do limite inferior do objeto matemático. Vamos adicionar um argumento extra na área de quebra da função. À direita dos pontos da linha curva, as fórmulas escritas por nós para reduzir a um denominador comum ajudarão a resolver a equação diferencial online. A única abordagem correta é aquela que lançará luz sobre problemas não resolvidos da teoria à prática, no caso geral de forma inequívoca. As linhas na direção das coordenadas dos pontos dados nunca fecharam a posição extrema do quadrado, no entanto, a solução de equações diferenciais online ajudará tanto alunos quanto nós, e apenas iniciantes neste campo, a estudar matemática. Estamos falando da possibilidade de substituir o argumento value em todas as sublinhas significativas de um campo. Em princípio, como seria de esperar, nossas equações diferenciais lineares são algo isolado em um único conceito de significado reduzido. Para ajudar os alunos, um dos melhores entre os serviços similares é uma calculadora. Passe por todos os cursos e escolha o melhor para você.

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Muitas vezes apenas uma menção equações diferenciais deixa os alunos desconfortáveis. Por que isso está acontecendo? Na maioria das vezes, porque ao estudar o básico do material, surge uma lacuna no conhecimento, devido à qual o estudo mais aprofundado de diurs se torna simplesmente tortura. Nada está claro o que fazer, como decidir por onde começar?

No entanto, tentaremos mostrar que diurs não é tão difícil quanto parece.

Conceitos básicos da teoria das equações diferenciais

Desde a escola, conhecemos as equações mais simples nas quais precisamos encontrar a incógnita x. Na verdade equações diferenciais apenas ligeiramente diferente deles - em vez de uma variável X eles precisam encontrar uma função y(x) , o que transformará a equação em uma identidade.

D equações diferenciais são de grande importância prática. Isso não é matemática abstrata que não tem nada a ver com o mundo ao nosso redor. Com a ajuda de equações diferenciais, muitos processos naturais reais são descritos. Por exemplo, as vibrações das cordas, o movimento de um oscilador harmônico, por meio de equações diferenciais em problemas de mecânica, encontram a velocidade e a aceleração de um corpo. Também DU são amplamente utilizados em biologia, química, economia e muitas outras ciências.

Equação diferencial (DU) é uma equação contendo as derivadas da função y(x), a própria função, variáveis ​​independentes e outros parâmetros em várias combinações.

Existem muitos tipos de equações diferenciais: equações diferenciais ordinárias, lineares e não lineares, homogêneas e não homogêneas, equações diferenciais de primeira ordem e superiores, equações diferenciais parciais e assim por diante.

A solução de uma equação diferencial é uma função que a transforma em uma identidade. Existem soluções gerais e particulares de controle remoto.

A solução geral da equação diferencial é o conjunto geral de soluções que transformam a equação em uma identidade. Uma solução particular de uma equação diferencial é uma solução que satisfaz condições adicionais especificadas inicialmente.

A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem mais alta das derivadas nela incluídas.

Equações diferenciais ordinárias

Equações diferenciais ordinárias são equações contendo uma variável independente.

Considere a equação diferencial ordinária mais simples de primeira ordem. Parece:

Esta equação pode ser resolvida simplesmente integrando seu lado direito.

Exemplos de tais equações:

Equações de Variáveis ​​Separáveis

Em geral, esse tipo de equação se parece com isso:

Aqui está um exemplo:

Resolvendo tal equação, você precisa separar as variáveis, trazendo-a para a forma:

Depois disso, resta integrar as duas partes e obter uma solução.

Equações diferenciais lineares de primeira ordem

Tais equações assumem a forma:

Aqui p(x) e q(x) são algumas funções da variável independente, e y=y(x) é a função desejada. Aqui está um exemplo de tal equação:

Resolvendo tal equação, na maioria das vezes eles usam o método de variação de uma constante arbitrária ou representam a função desejada como um produto de duas outras funções y(x)=u(x)v(x).

Para resolver tais equações, é necessária uma certa preparação, e será bastante difícil levá-las “por capricho”.

Um exemplo de resolução de um DE com variáveis ​​separáveis

Portanto, consideramos os tipos mais simples de controle remoto. Agora vamos dar uma olhada em um deles. Seja uma equação com variáveis ​​separáveis.

Primeiro, reescrevemos a derivada de uma forma mais familiar:

Em seguida, separaremos as variáveis, ou seja, em uma parte da equação coletaremos todos os “jogos” e na outra - os “xes”:

Agora resta integrar as duas partes:

Integramos e obtemos a solução geral desta equação:

Claro, resolver equações diferenciais é um tipo de arte. Você precisa ser capaz de entender a que tipo uma equação pertence e também aprender a ver quais transformações você precisa fazer com ela para trazê-la para uma forma ou outra, sem mencionar apenas a capacidade de diferenciar e integrar. E é preciso prática (como em tudo) para ter sucesso na resolução de DE. E se no momento você não tiver tempo para descobrir como as equações diferenciais são resolvidas ou o problema de Cauchy subiu como um osso na garganta ou você não sabe, entre em contato com nossos autores. Em pouco tempo, forneceremos uma solução pronta e detalhada, cujos detalhes você pode entender a qualquer momento conveniente para você. Enquanto isso, sugerimos assistir a um vídeo sobre o tópico "Como resolver equações diferenciais":

Este artigo é um ponto de partida no estudo da teoria das equações diferenciais. Aqui estão reunidas as principais definições e conceitos que aparecerão constantemente no texto. Para melhor assimilação e compreensão, as definições são fornecidas com exemplos.

Equação Diferencial (DE)- esta é uma equação que inclui uma função desconhecida sob o sinal da derivada ou diferencial.

Se a função desconhecida é uma função de uma variável, então a equação diferencial é chamada comum(EDO abreviado - equação diferencial ordinária). Se a função desconhecida é uma função de muitas variáveis, então a equação diferencial é chamada Equação diferencial parcial.

A ordem máxima da derivada de uma função desconhecida incluída em uma equação diferencial é chamada a ordem da equação diferencial.

Aqui estão exemplos de EDOs de primeira, segunda e quinta ordens, respectivamente

Como exemplos de equações diferenciais parciais de segunda ordem, apresentamos

Além disso, consideraremos apenas equações diferenciais ordinárias da enésima ordem da forma ou , onde Ф(x, y) = 0 é uma função desconhecida definida implicitamente (quando possível, escreveremos na representação explícita y = f(x) ).

O processo de encontrar soluções para uma equação diferencial é chamado integração da equação diferencial.

Resolvendo uma equação diferencialé uma função dada implicitamente Ф(x, y) = 0 (em alguns casos, a função y pode ser expressa explicitamente em termos do argumento x), que transforma a equação diferencial em uma identidade.

NOTA.

A solução de uma equação diferencial é sempre buscada em um intervalo predeterminado X .

Por que estamos falando disso separadamente? Sim, porque nas condições de muitos problemas o intervalo X não é mencionado. Ou seja, a condição dos problemas geralmente é formulada da seguinte forma: “encontre uma solução para a equação diferencial ordinária ". Nesse caso, entende-se que a solução deve ser buscada para todo x para o qual tanto a função desejada y quanto a equação original fazem sentido.

A solução de uma equação diferencial é muitas vezes referida como integral de equação diferencial.

Funções ou pode ser chamado de solução para uma equação diferencial.

Uma das soluções da equação diferencial é a função . De fato, substituindo esta função na equação original, obtemos a identidade . É fácil ver que outra solução para esta EDO é, por exemplo, . Assim, as equações diferenciais podem ter muitas soluções.

Solução geral da equação diferencialé o conjunto de soluções contendo todas as soluções desta equação diferencial sem exceção.

A solução geral de uma equação diferencial também é chamada integral geral da equação diferencial.

Voltemos ao exemplo. A solução geral da equação diferencial tem a forma ou , onde C é uma constante arbitrária. Acima, indicamos duas soluções para esta EDO, que são obtidas a partir da integral geral da equação diferencial substituindo C = 0 e C = 1, respectivamente.

Se a solução de uma equação diferencial satisfaz as condições adicionais inicialmente dadas, então ela é chamada uma solução particular da equação diferencial.

Uma solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição y(1)=1 é . Sério, e .

Os principais problemas da teoria das equações diferenciais são problemas de Cauchy, problemas de valor de contorno e problemas de encontrar uma solução geral de uma equação diferencial em qualquer intervalo X.

Problema de Cauchyé o problema de encontrar uma solução particular de uma equação diferencial que satisfaça o dado condições iniciais, onde estão os números.

Problema de limiteé o problema de encontrar uma solução particular para uma equação diferencial de segunda ordem que satisfaça condições adicionais nos pontos de fronteira x 0 e x 1:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, onde f 0 e f 1 são dados números.

O problema de valor de contorno é frequentemente chamado problema de valor limite.

Uma equação diferencial ordinária de ordem n é chamada linear, se tem a forma , e os coeficientes são funções contínuas do argumento x no intervalo de integração.

Ou já resolvidos em relação à derivada, ou podem ser resolvidos em relação à derivada .

Solução geral de equações diferenciais do tipo no intervalo X, que é dado, pode ser encontrado tomando a integral de ambos os lados desta igualdade.

Obter .

Se olharmos para as propriedades da integral indefinida, encontramos a solução geral desejada:

y = F(x) + C,

Onde F(x)- uma das primitivas da função f(x) entre X, uma Comé uma constante arbitrária.

Observe que na maioria das tarefas o intervalo X não indique. Isso significa que uma solução deve ser encontrada para todos. x, para o qual e a função desejada y, e a equação original faz sentido.

Se você precisar calcular uma solução particular de uma equação diferencial que satisfaça a condição inicial y(x0) = y0, então depois de calcular a integral geral y = F(x) + C, ainda é necessário determinar o valor da constante C=C0 usando a condição inicial. Ou seja, uma constante C=C0 determinado a partir da equação F(x 0) + C = y 0, e a solução particular desejada da equação diferencial terá a forma:

y = F(x) + C0.

Considere um exemplo:

Encontre a solução geral da equação diferencial , verifique a exatidão do resultado. Vamos encontrar uma solução particular desta equação que satisfaça a condição inicial.

Decisão:

Depois de integrarmos a equação diferencial dada, obtemos:

.

Tomamos esta integral pelo método de integração por partes:

Que., é uma solução geral da equação diferencial.

Vamos verificar se o resultado está correto. Para fazer isso, substituímos a solução que encontramos na equação dada:

.

Ou seja, ao a equação original se transforma em uma identidade:

portanto, a solução geral da equação diferencial foi determinada corretamente.

A solução que encontramos é a solução geral da equação diferencial para cada valor real do argumento x.

Resta calcular uma solução particular da EDO que satisfaça a condição inicial. Em outras palavras, é necessário calcular o valor da constante Com, em que a igualdade será verdadeira:

.

.

Em seguida, substituindo C = 2 na solução geral da EDO, obtemos uma solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição inicial:

.

Equação diferencial ordinária pode ser resolvido em relação à derivada dividindo as 2 partes da equação por f(x). Esta transformação será equivalente se f(x) não vai a zero para nenhum x do intervalo de integração da equação diferencial X.

Situações são prováveis ​​quando, para alguns valores do argumento x ∈ X funções f(x) e g(x) zerar ao mesmo tempo. Para valores semelhantes x a solução geral da equação diferencial é qualquer função y, que é definido neles, porque .

Se para alguns valores do argumento x ∈ X a condição é satisfeita, o que significa que neste caso a EDO não tem soluções.

Para todos os outros x do intervalo X a solução geral da equação diferencial é determinada a partir da equação transformada.

Vejamos exemplos:

Exemplo 1

Vamos encontrar a solução geral da EDO: .

Decisão.

A partir das propriedades das funções elementares básicas, fica claro que a função logarítmica natural é definida para valores não negativos do argumento, portanto, o domínio da expressão log(x+3) existe um intervalo x > -3 . Portanto, a equação diferencial dada faz sentido para x > -3 . Com esses valores do argumento, a expressão x + 3 não desaparece, então pode-se resolver a EDO em relação à derivada dividindo as 2 partes por x + 3.

Nós temos .

Em seguida, integramos a equação diferencial resultante, resolvida em relação à derivada: . Para obter essa integral, usamos o método de subsunção sob o sinal da diferencial.