Definição. Deixe entrar n experimentos repetidos (testes) algum evento MAS veio n / D uma vez.

Número n / D chamado de frequência do evento MAS , e a razão

é chamada de frequência relativa (ou frequência) do evento MAS nesta série de testes.

Propriedades de frequência relativa

A frequência relativa de um evento tem as seguintes propriedades.

1. A frequência de qualquer evento encontra-se na faixa de zero a um, ou seja,

2. A frequência de um evento impossível é zero, ou seja,

3. A frequência de um determinado evento é 1, ou seja,

4. A frequência da soma de dois eventos incompatíveisé igual à soma das frequências (frequências) desses eventos, ou seja, se =Ø, então

A frequência tem propriedade , chamado de propriedade estabilidade estatística : com um aumento no número de experimentos (ou seja, com um aumento n ) a frequência de um evento assume valores próximos da probabilidade desse evento R .

Definição. Probabilidade estatística do evento A o número em torno do qual a frequência relativa de um evento flutua é chamado MAS o suficiente grandes números testes (experimentos) n .

Probabilidade do evento MAS indicado pelo símbolo R (MAS ) ou R (MAS ). O aparecimento da carta como símbolo do conceito de "probabilidade" R determinado pela sua presença em primeiro lugar na palavra em inglês probabilidade - probabilidade.

De acordo com esta definição

Propriedades de probabilidade estatística

1. Probabilidade Estatística Qualquer evento MAS está entre zero e um, ou seja,

2. Probabilidade estatística de um evento impossível ( MAS= Ø) é igual a zero, ou seja.

3. Probabilidade estatística de um determinado evento ( MAS= Ω) é igual a um, ou seja,

4. Soma de probabilidade estatística incompatível eventos é igual à soma das probabilidades desses eventos, ou seja, E se A B= Ø, então

A definição clássica de probabilidade

Faça o experimento com n resultados que podem ser representados como um grupo de eventos incompatíveis igualmente prováveis. O caso que faz com que o evento ocorra MAS , é chamado favorável ou favorável, ou seja. acontecendo W provoca um evento MAS , w A .

Definição. Probabilidade de um evento MAS chamado de razão do número m ocasiões favoráveis ​​a este evento, para número total n casos, ou seja,

Propriedades da probabilidade "clássica"

1. Axioma não negatividade : probabilidade de qualquer evento MASé não negativo, ou seja

R(MAS) ≥ 0.

2. Axioma normalização : probabilidade de determinado evento ( MAS= Ω) é igual a um:

3. Axioma aditividade : a probabilidade da soma incompatível eventos (ou a probabilidade de ocorrência de um dos dois eventos incompatíveis) é igual à soma das probabilidades desses eventos, ou seja, E se A B=Ø, então

Probabilidade do evento: R() = 1 – R(MAS).

Para a probabilidade de um evento que é a soma algum dois eventos MAS e NO, a fórmula correta é:

Se os eventos MAS e NO não pode ocorrer como resultado de um teste ao mesmo tempo, ou seja, em outras palavras, se A B – evento impossível, então eles são chamados incompatível ou incompatível , e depois R(A B) = 0 e a fórmula para a probabilidade da soma dos eventos assume uma forma particularmente simples:

Se os eventos MAS e NO podem ocorrer como resultado de um teste, eles são chamados compatível .

Algoritmo útil

Ao encontrar probabilidades usando a definição clássica de probabilidade, o seguinte algoritmo deve ser seguido.

1. É necessário entender claramente o que é o experimento.

2. Indique claramente qual é o evento MAS, cuja probabilidade deve ser encontrada.

3. Formule claramente o que constituirá um evento elementar no problema em consideração. Tendo formulado e definido um evento elementar, deve-se verificar três condições que devem ser satisfeitas por um conjunto de resultados, ou seja, Ω.

6. Seguindo a definição clássica de probabilidade, determine

Ao resolver problemas o erro mais comum é uma compreensão difusa do que é tomado como um evento elementar W , e a exatidão da construção do conjunto e a exatidão do cálculo da probabilidade de um evento dependem disso. Normalmente, na prática, o resultado mais simples é tomado como um evento elementar, que não pode ser “dividido” em outros mais simples.

Existem várias definições do conceito de probabilidade. Aqui está uma definição clássica. Está relacionado ao conceito de um resultado favorável. Esses resultados elementares (e.i.), no cat. ocorrer o evento de nosso interesse, chamaremos favorável a esse evento. Def.: Ver.yu evento A nomenclatura. a razão entre o número de resultados favoráveis ​​a esse evento e o número total de todos os igualmente possíveis incompatíveis e. i., formando um grupo completo. P(A) = m/n, onde m é o número de e. i., favorável ao evento A; n é o número de todos os e possíveis. e. testes. Da definição de probabilidade seguem suas propriedades:1)ver.(c) de um determinado evento é sempre igual a 1. evento é certo, então todos e. e. julgamentos favorecem este evento, ou seja, m=n. P(A)=n/n=1; 2) V. evento impossível. é igual a 0. Porque evento é impossível, então não há um único e. e., favorável a este evento, então m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) V. evento aleatorioé um valor não negativo entre 0 e 1, ou seja, 0

4. Frequência relativa. Estabilidade de frequência relativa.

A frequência relativa (FR) de um evento é a razão entre o número de tentativas em que o evento ocorreu e o número total de tentativas realmente realizadas. (NÃO ômega!!!). W(A) = m/n, onde m é o número de ocorrência do evento A, n é o número total de tentativas. A definição de probabilidade não requer que os testes sejam realmente realizados. A definição de RON pressupõe que os testes foram realmente realizados, ou seja, ver. calculado antes do experimento, e OC após o experimento. Se os experimentos forem realizados nas mesmas condições, em cada um dos gatos. o número de ensaios é grande o suficiente, então OC revela estabilidade St.. Esta propriedade consiste no fato de que em vários experimentos, o OR muda pouco, quanto menos, mais testes são realizados, flutuando em torno de um certo número constante. Este número é ver. ocorrência do evento. Este. Foi estabelecido experimentalmente que o SP pode ser tomado como um valor aproximado da probabilidade.

5. Probabilidade estatística.

A definição clássica de probabilidade assume que o número de resultados elementares de uma tentativa é finito. Na prática, os testes são frequentemente encontrados, o número de resultados possíveis é um gato. infinitamente. Em tais casos definição clássica não aplicável. Junto com o clássico def. usar estatística. Def.: Estado. ver. (r.v.) eventos - frequência relativa (RC) ou um número próximo a ela. Probabilidades St-va decorrentes do clássico. as definições são mantidas na estatística. Se o evento for confiável, então seu OC = 1, ou seja, st.v. também =1. Se o evento for impossível, então ROI = 0, ou seja, st.v. também = 0. Para qualquer evento 0W(A) 1, sl-no. st.v. situa-se entre 0 e 1. Para a existência do st.v. necessário: 1) a capacidade de realizar, pelo menos fundamentalmente, é ilimitada. o número de tentativas em cada um dos gatos. o evento ocorre ou não ocorre; 2) a estabilidade do OR da ocorrência de um evento em diferentes séries de um número suficientemente grande de tentativas. A desvantagem da estatística definições é a ambiguidade do art. Por exemplo, se, como resultado de um número suficientemente grande de testes, o OR estiver muito próximo de 0,6, esse número pode ser considerado como st.v. Mas como probabilidade de um evento, pode-se tomar não apenas 0,6, mas também 0,59 e 0,61.

O tema da teoria das probabilidades. Tentativas. Classificação do evento.

A teoria da probabilidade é um ramo da matemática que estuda os padrões que ocorrem em testes homogêneos de massa (MOTs).

Um teste é um complexo de quaisquer condições, ações.

MY - estes são testes que teoricamente podem ser continuados indefinidamente (estudo, enquetes, sorteio).

O resultado do teste é o resultado possível do teste.

Um evento é uma abstração do resultado de um teste (se um fenômeno ocorreu no MY ou não).

Por exemplo, jogar uma moeda é um teste, enquanto o aparecimento de uma “águia” é um evento.

O evento é geralmente denotado por grandes lat. letras A, B, C.

TIPOS DE EVENTOS:

1. Um determinado evento é chamado de evento que ocorrerá com qualquer resultado do teste.

2. Impossível - não acontecerá sob nenhum resultado do teste.

3. Aleatório - pode ou não ocorrer como resultado do teste.

por exemplo, um dado é lançado.

Evento A - o número de pontos não é > 6: significativo.

Evento B - pontuação > 6: impossível.

Evento C - 1 a 6: Aleatório.

EVENTOS ALEATÓRIOS

1. Equivalentes - aqueles para os quais há igualdade de resultados individuais do teste.

por exemplo, extrair um rei, ás, rainha, valete de um baralho de cartas.

2. As únicas possíveis são aquelas se pelo menos uma delas ocorrer com certeza no teste.

Por exemplo, há 2 crianças em uma família: A - 2 meninos, B - 2 meninas, C - 1 me 1 d.

Combinatória. Fórmulas básicas de combinatória.

Combinatória é a ciência dos compostos. Uma conexão é entendida como qualquer conjunto de elementos de um determinado conjunto.

Por exemplo, muitos alunos sentados na platéia.

Todos os compostos são divididos em 3 grupos:

1) Alojamento. R-mi de n el-t em m () são chamados de compostos que diferem um do outro na composição do el-t ou na ordem da conexão do el-t ou em ambos.

Anm = n!/(n-m)!

Uma tarefa. Quantos números diferentes de 2 dígitos podem ser feitos a partir de um conjunto de dígitos (1; 2; 3; 4), de modo que os dígitos do número sejam diferentes.

E de 4 por 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12

2) Combinações. Combinações de n elementos por m são compostos que diferem uns dos outros apenas na composição dos elementos (a ordem não é importante)

De n a m = n!/m!*(n-m)!

Uma tarefa. De quantas maneiras um grupo de 30 pessoas pode distribuir vouchers para o sanatório Ussuri.

C de 30 por 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.

3) Permutações (Pn). Permutações de n elementos são compostos que incluem todos os n elementos e diferem uns dos outros apenas na ordem de sua conexão.

Uma tarefa. De quantas maneiras 6 cadetes podem ser alinhados na parada?

REGRA DA SOMA - se o objeto a pode ser escolhido do conjunto de s maneiras diferentes, e o objeto b de r maneiras diferentes, então a escolha de um dos elementos a ou barra pode ser feita de diferentes r+s maneiras.

REGRA DO PRODUTO - se o objeto a pode ser escolhido de diferentes s maneiras e após cada escolha o objeto b pode ser escolhido de diferentes r maneiras, então a escolha de um par de elementos pode ser feita de diferentes r*s maneiras (a e b = r*s).

A definição clássica de probabilidade. Propriedades de probabilidade.

A probabilidade de um evento A é a razão entre o número de resultados favoráveis ​​a esse evento e o número total de todos os resultados elementares incompatíveis igualmente possíveis que formam grupo completo(P(A)=m/n).

PROPRIEDADES IN-TI:

1) V-t evento certo = 1.

Porque D é um determinado evento, então cada resultado possível do teste favorece o evento, ou seja, m=n.

P(D) = m/n = n/n = 1/

2) O valor de um evento impossível é zero. Porque evento N é impossível, então nenhum dos resultados elementares favorece o evento, ou seja, m=0.

P(D) = m/n = 0/n = 0/

3) O número de um evento aleatório é um número positivo entre 0 e 1. Um evento aleatório S é favorecido apenas por um elemento do número total. resultados do teste, ou seja, 0

0

Assim, in-th de qualquer evento satisfaz a dupla desigualdade: 0<=P(A)<=1.

Frequência relativa. Estabilidade de frequências relativas. Definição estatística de probabilidade.

A frequência relativa de um evento é a razão entre o número de tentativas em que o evento ocorreu e o número total de tentativas realmente realizadas.

W(A)=m/n, onde m é o número de ocorrência do evento, n é o número total de tentativas.

V-Th sugere, e a frequência relativa é corrigida. V-Th não exige que os eventos sejam realizados, e a frequência relativa - exige. Em outras palavras, os eventos in-th são calculados antes dos experimentos e rel. frequência depois.

ESTABILIDADE de frequência relativa.

Observações de longo prazo mostraram que se os experimentos são realizados sob as mesmas condições, em cada um dos quais o número de testes é suficientemente grande, então a frequência relativa exibe a propriedade de estabilidade.

Esta propriedade consiste no fato de que em vários experimentos a frequência relativa muda pouco, flutuando em torno de um certo número constante.

Descobriu-se que este número constante é a ocorrência do evento W(A) = P(A).

A parte ESTATÍSTICA de um evento é o número em torno do qual se agrupam as frequências relativas deste evento, e sob condições constantes e um aumento ilimitado no número de testes, a frequência relativa difere ligeiramente deste número.

chamado frequência relativa ( ou frequência) desenvolvimentos MAS na série de experimentos em consideração.

A frequência relativa de um evento tem o seguinte propriedades:

1. A frequência de qualquer evento está entre zero e um, ou seja,

2. A frequência de um evento impossível é zero, ou seja,

3. A frequência de um determinado evento é 1, ou seja,

4. A frequência da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma da frequência
esses eventos, ou seja, se então

A frequência tem outra propriedade fundamental chamada propriedade de estabilidade estatística: com um aumento no número de experimentos (ou seja, n) leva valores próximos a algum número constante (dizem: a frequência se estabiliza, aproximando-se de um determinado número, a frequência flutua em torno de um determinado número ou seus valores se agrupam em torno de um determinado número).

Assim, por exemplo, no experimento (K. Pearson) jogando uma moeda - a frequência relativa do aparecimento do brasão em 12.000 e 24.000 lançamentos acabou sendo 0,5015 e 0,5005, respectivamente, ou seja, a frequência se aproxima do número . A frequência do nascimento de um menino, como mostram as observações, flutua em torno do número 0,515.

Observe que a teoria da probabilidade estuda apenas aqueles fenômenos aleatórios de massa com um resultado incerto, para os quais a estabilidade da frequência relativa é assumida.

Definição estatística de probabilidade

Para o estudo matemático de um evento aleatório, é necessário introduzir algum tipo de avaliação quantitativa do evento. É claro que alguns eventos são mais prováveis ​​(“mais prováveis”) de ocorrer do que outros. Tal avaliação é probabilidade do evento, Essa. um número que expressa o grau de possibilidade de sua ocorrência no experimento em consideração. Existem várias definições matemáticas de probabilidade, todas as quais se complementam e generalizam umas às outras.

Considere um experimento que pode ser repetido inúmeras vezes (eles dizem: “testes repetidos estão sendo realizados”) em que algum evento é observado MAS.

Probabilidade Estatística desenvolvimentos MAS chamado o número em torno do qual a frequência relativa do evento flutua A para um número suficientemente grande de tentativas (experimentos).

Probabilidade do evento MAS indicado pelo símbolo R(MAS). De acordo com esta definição:

.

(1.2)

Justificativa matemática da proximidade da frequência relativa e probabilidade R(MAS) algum evento MASé o teorema de J. Bernoulli.

Probabilidades R(MAS) as propriedades 1-4 da frequência relativa são atribuídas:

1. A probabilidade estatística de qualquer evento situa-se entre zero e um, ou seja,

2. A probabilidade estatística de um evento impossível é zero, ou seja,

3. A probabilidade estatística de um determinado evento é igual a 1, ou seja.

4. A probabilidade estatística da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma da frequência desses eventos, ou seja, se então

O método estatístico para determinar a probabilidade, com base na experiência real, revela completamente o conteúdo desse conceito. A desvantagem da definição estatística é a ambiguidade da probabilidade estatística; assim, no exemplo do lançamento de uma moeda, não apenas o número 0,5, mas também 0,49 ou 0,51, etc., podem ser considerados como uma probabilidade. Para determinar a probabilidade de forma confiável, você precisa fazer um grande número de testes, o que nem sempre é fácil ou barato.

A definição clássica de probabilidade

Existe uma maneira simples de determinar a probabilidade de um evento, com base na equiprobabilidade de um número finito de resultados da experiência. Faça o experimento com n resultados, que podem ser representados como grupo completo de equipprováveis ​​incompatíveis eventos. Tais resultados são chamados chances, chances, eventos elementares, uma experiência - clássico. Diz-se que tal experiência é reduzida a quadro de casos ou esquema de urna(já que o problema probabilístico para tal experimento pode ser substituído por um problema equivalente com urnas contendo bolas de cores diferentes).

Caso w que faz com que o evento ocorra MAS, é chamado favorável(ou favorável) a ele, ou seja, o caso w envolve o evento UMA: .

Probabilidade de um evento MAS chamado de razão do número m casos favoráveis ​​a este evento, ao número total n casos, ou seja,

.

(1.3)

Junto com a designação R(MAS) para a probabilidade de um evento MAS notação é usada R, ou seja p=p(MAS).

O seguinte segue da definição clássica de probabilidade. propriedades:

1. A probabilidade de qualquer evento situa-se entre zero e um, ou seja,

2. A probabilidade de um evento impossível é zero, ou seja,

3. A probabilidade de um determinado evento é igual a 1, ou seja.

4. A probabilidade da soma de eventos incompatíveis é igual à soma da frequência desses eventos, ou seja, se então

Exemplo 1.3. Uma urna contém 12 bolas brancas e 8 pretas. Qual é a probabilidade de uma bola retirada ao acaso ser branca?

Solução:

Deixar MAS- um evento que consiste no fato de que uma bola branca é sorteada. É claro que é o número de todos os casos igualmente possíveis. Número de vezes favorável ao evento MAS, é igual a 12, ou seja. . Portanto, pela fórmula (1.3) temos: , ou seja. .

Definição geométrica de probabilidades

A definição geométrica de probabilidade é usada no caso em que os resultados da experiência são igualmente possíveis, e o PES é um conjunto infinito incontável. Consideremos algum domínio Ω no plano com área , e dentro do domínio Ω , região D com área SD(Ver Fig. 6).

Um ponto é escolhido aleatoriamente no domínio Ω X. Essa escolha pode ser interpretada como ponto de arremesso X para a regiãoΩ. Neste caso, o acerto de um ponto na região Ω é um evento confiável, em D- aleatória. Supõe-se que todos os pontos do domínio Ω são iguais em direitos (todos os eventos elementares são igualmente possíveis), ou seja. que o ponto lançado pode cair em qualquer ponto da região Ω e a probabilidade de cair na região D proporcional à área desta região e não depende de sua localização e forma. Deixe o evento , ou seja, o ponto arremessado cairá na área D.

Arroz. 6

probabilidade geométrica desenvolvimentos MASé chamado de razão de área D para a área do domínio Ω, ou seja.

no segundo:

por onde mes medidas, eu, V) áreas.

A probabilidade geométrica tem tudo propriedades inerente à definição clássica:

1. A probabilidade geométrica de qualquer evento situa-se entre zero e um, ou seja,

2. A probabilidade geométrica de um evento impossível é zero, ou seja,

3. A probabilidade geométrica de um determinado evento é igual a 1, ou seja.

4. A probabilidade geométrica da soma dos eventos incompatíveis é igual à soma da frequência desses eventos, ou seja. se então

A definição clássica de probabilidade

Probabilidade - um dos conceitos básicos da teoria das probabilidades. Existem várias definições deste conceito. Probabilidade é um número que caracteriza o grau de possibilidade de ocorrência de um evento.

Cada um dos resultados de teste possíveis é chamado resultado elementar (evento elementar). Designações: …,

Aqueles resultados elementares nos quais ocorre o evento que nos interessa, chamaremos de favorável.

Exemplo: Uma urna contém 10 bolas idênticas, sendo 4 pretas e 6 brancas. Evento - uma bola branca é retirada da urna. O número de resultados favoráveis ​​em que as bolas brancas serão retiradas da urna é 4.

A razão entre o número de resultados elementares favoráveis ​​ao evento e seu número total é chamada de probabilidade do evento; notação Em nosso exemplo

Probabilidade de um evento chame a razão do número de resultados favoráveis ​​a este evento para o número total de todos os resultados elementares incompatíveis igualmente possíveis que formam um grupo completo,

onde é o número de resultados elementares que favorecem o evento; o número de todos os resultados elementares possíveis do teste.

Propriedades de probabilidade:

1. A probabilidade de um determinado evento é igual a um, ou seja,

2. A probabilidade de um evento impossível é zero, ou seja, e.

3. A probabilidade de um evento aleatório é um número positivo entre zero e um, ou seja, e.

ou

Levando em conta as propriedades 1 e 2, a probabilidade de qualquer evento satisfaz a desigualdade

4 . Fórmulas básicas de combinatória

A combinatória estuda o número de combinações sujeitas a certas condições que podem ser constituídas por um determinado conjunto finito de elementos de natureza arbitrária. Ao calcular probabilidades diretamente, as fórmulas combinatórias são frequentemente usadas. Apresentamos o mais comumente usado deles.

Permutações combinações de nomes consistindo nos mesmos elementos diferentes e diferindo apenas na ordem de seu arranjo.

Número de todas as permutações possíveis

Onde Aceita-se que

Exemplo. O número de números de três dígitos, quando cada dígito é incluído na imagem de um número de três dígitos apenas uma vez, é

Canais chamadas combinações compostas de elementos diferentes por elementos que diferem na composição dos elementos ou em sua ordem. Número de todos os canais possíveis

Exemplo. O número de sinais de 6 bandeiras de cores diferentes, tomadas por 2:

Combinações chamadas combinações compostas de elementos diferentes por elementos que diferem em pelo menos um elemento. Número de combinações

Exemplo. Número de maneiras de selecionar duas peças de uma caixa contendo 10 peças:

Os números de posicionamentos, permutações e combinações estão relacionados por igualdade

Ao resolver problemas, a combinatória usa as seguintes regras:

Regra de soma. Se algum objeto pode ser selecionado de um conjunto de objetos de várias maneiras, e outro objeto pode ser escolhido de várias maneiras, então , ou pode ser escolhido de várias maneiras.

Regra do produto. Se um objeto pode ser selecionado de uma coleção de objetos de várias maneiras e, após cada seleção, o objeto pode ser escolhido de várias maneiras, então um par de objetos nessa ordem pode ser escolhido de várias maneiras.

Frequência relativa também é o conceito básico da teoria da probabilidade.

Frequência relativa eventos são a razão entre o número de tentativas em que o evento apareceu e o número total de tentativas realmente realizadas e é determinado pela fórmula

,

onde é o número de ocorrências do evento em tentativas, o número total de tentativas.

Comparando as definições de probabilidade e frequência relativa, concluímos que a definição de probabilidade não requer teste, e a definição de frequência relativa envolve o teste real.

Observações de longo prazo mostram que ao realizar experimentos nas mesmas condições, a frequência relativa tem a propriedade de estabilidade. Esta propriedade consiste no fato de que em diferentes séries de experimentos a freqüência relativa de testes varia pouco de série para série, flutuando em torno de um certo número constante. Este número constante é a probabilidade de que o evento ocorra.

A definição clássica de probabilidade tem algumas desvantagens:

1) o número de resultados elementares do teste é finito, na prática esse número pode ser infinito;

2) muitas vezes o resultado do teste não pode ser representado como um conjunto de eventos elementares;

Por essas razões, juntamente com a definição clássica de probabilidade, uma definição estatística é usada: dentro qualidade probabilidade estatística eventos assumem uma frequência relativa.