Considere um trapézio curvilíneo limitado pelo eixo Ox, uma curva y \u003d f (x) e duas linhas retas: x \u003d a e x \u003d b (Fig. 85). Tome um valor arbitrário de x (apenas não a e não b). Vamos dar-lhe um incremento h = dx e considerar uma faixa limitada pelas retas AB e CD, pelo eixo Ox e por um arco BD pertencente à curva considerada. Esta faixa será chamada de faixa elementar. A área de uma faixa elementar difere da área do retângulo ACQB por um triângulo curvilíneo BQD, e a área deste último é menor que a área do retângulo BQDM com lados BQ = =h= dx) QD=Ay e área igual a hAy = Ay dx. À medida que o lado h diminui, o lado Du também diminui e, simultaneamente com h, tende a zero. Portanto, a área do BQDM é infinitesimal de segunda ordem. A área da faixa elementar é o incremento de área, e a área do retângulo ACQB, igual a AB-AC==/(x) dx> é o diferencial de área. Portanto, encontramos a própria área integrando seu diferencial. Dentro dos limites da figura em consideração, a variável independente l: muda de a para b, de modo que a área requerida 5 será igual a 5= \f (x) dx. (I) Exemplo 1. Calcule a área limitada pela parábola y - 1 -x *, as linhas retas X \u003d - Fj-, x \u003d 1 e o eixo O * (Fig. 86). na Fig. 87. Fig. 86. 1 Aqui f(x) = 1 - l?, os limites de integração a = - et = 1, portanto 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemplo 2. Calcule a área limitada pela senóide y = sinXy, o eixo Ox e a reta (Fig. 87). Aplicando a fórmula (I), obtemos L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf com o eixo Ox (por exemplo, entre a origem e o ponto com a abcissa i). Observe que a partir de considerações geométricas fica claro que essa área será o dobro da área do exemplo anterior. No entanto, vamos fazer os cálculos: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o De fato, nossa suposição acabou sendo justa. Exemplo 4. Calcule a área limitada pela senóide e pelo eixo ^ Ox em um período (Fig. 88). Julgamentos preliminares de números ras sugerem que a área será quatro vezes maior do que no pr. 2. No entanto, depois de fazer os cálculos, obtemos “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Este resultado requer esclarecimento. Para esclarecer a essência do assunto, também calculamos a área limitada pela mesma senóide y \u003d sin l: e o eixo Ox variando de l a 2n. Aplicando a fórmula (I), obtemos Assim, vemos que esta área acabou por ser negativa. Comparando-o com a área calculada no Ex. 3, verificamos que seus valores absolutos são os mesmos, mas os sinais são diferentes. Se aplicarmos a propriedade V (ver Cap. XI, § 4), obteremos por acidente. Sempre a área abaixo do eixo x, desde que a variável independente mude da esquerda para a direita, é obtida calculando usando integrais negativas. Neste curso, sempre consideraremos áreas não sinalizadas. Portanto, a resposta no exemplo que acabamos de analisar será a seguinte: a área requerida é igual a 2 + |-2| = 4. Exemplo 5. Vamos calcular a área do BAB mostrado na Fig. 89. Esta área é limitada pelo eixo Ox, a parábola y = - xr e a reta y - = -x + \. Área de um trapézio curvilíneo A área procurada OAB consiste em duas partes: OAM e MAB. Como o ponto A é o ponto de interseção da parábola e da linha reta, encontraremos suas coordenadas resolvendo o sistema de equações 3 2 Y \u003d mx. (só precisamos encontrar a abcissa do ponto A). Resolvendo o sistema, encontramos l; =~. Portanto, a área deve ser calculada em partes, primeiro pl. OAM, e então pl. VAM: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (base de um trapézio curvilíneo) em n partes iguais; esta partição é viável com a ajuda dos pontos x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Vamos desenhar linhas através desses pontos paralelas ao eixo y. Então o trapézio curvilíneo dado será dividido em n partes, em n colunas estreitas. A área de todo o trapézio é igual à soma das áreas das colunas.

Considere separadamente a k-ésima coluna, ou seja trapézio curvilíneo, cuja base é um segmento. Vamos substituí-lo por um retângulo com a mesma base e altura igual a f(x k) (veja a figura). A área do retângulo é \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), onde \(\Delta x_k \) é o comprimento do segmento; é natural considerar o produto compilado como um valor aproximado da área da kth coluna.

Se agora fizermos o mesmo com todas as outras colunas, chegaremos ao seguinte resultado: a área S de um determinado trapézio curvilíneo é aproximadamente igual à área S n de uma figura escalonada composta de n retângulos (veja a figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aqui, por uma questão de uniformidade de notação, consideramos que a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - comprimento do segmento , \(\Delta x_1 \) - comprimento do segmento , etc; enquanto, como concordamos acima, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Então, \(S \approx S_n \), e essa igualdade aproximada é mais precisa, quanto maior n.
Por definição, acredita-se que a área desejada do trapézio curvilíneo seja igual ao limite da sequência (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tarefa 2(sobre mover um ponto)
Um ponto material se move em linha reta. A dependência da velocidade em relação ao tempo é expressa pela fórmula v = v(t). Encontre o deslocamento de um ponto no intervalo de tempo [a; b].
Decisão. Se o movimento fosse uniforme, então o problema seria resolvido de forma muito simples: s = vt, ou seja. s = v(b-a). Para o movimento irregular, deve-se usar as mesmas idéias nas quais a solução do problema anterior foi baseada.
1) Divida o intervalo de tempo [a; b] em n partes iguais.
2) Considere um intervalo de tempo e assuma que durante este intervalo de tempo a velocidade foi constante, tal como no instante t k . Assim, assumimos que v = v(t k).
3) Encontre o valor aproximado do deslocamento do ponto ao longo do intervalo de tempo, este valor aproximado será denotado por s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encontre o valor aproximado do deslocamento s:
\(s \approx S_n \) onde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) O deslocamento necessário é igual ao limite da sequência (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Vamos resumir. As soluções de vários problemas foram reduzidas ao mesmo modelo matemático. Muitos problemas de vários campos da ciência e tecnologia levam ao mesmo modelo no processo de solução. Assim, este modelo matemático deve ser especialmente estudado.

O conceito de integral definida

Vamos dar uma descrição matemática do modelo que foi construído nos três problemas considerados para a função y = f(x), que é contínua (mas não necessariamente não negativa, como foi assumido nos problemas considerados) no segmento [ uma; b]:
1) dividir o segmento [a; b] em n partes iguais;
2) soma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcule $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

No curso da análise matemática, provou-se que esse limite existe no caso de uma função contínua (ou contínua por partes). Ele é chamado uma integral definida da função y = f(x) sobre o segmento [a; b] e são indicados assim:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Os números aeb são chamados de limites de integração (inferior e superior, respectivamente).

Vamos voltar às tarefas discutidas acima. A definição de área dada no problema 1 pode agora ser reescrita da seguinte forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aqui S é a área do trapézio curvilíneo mostrado na figura acima. Isso é o que significado geométrico da integral definida.

A definição do deslocamento s de um ponto que se move em linha reta com velocidade v = v(t) no intervalo de tempo de t = a a t = b, dado no Problema 2, pode ser reescrita da seguinte forma:

Fórmula de Newton-Leibniz

Para começar, vamos responder à pergunta: qual é a relação entre uma integral definida e uma antiderivada?

A resposta pode ser encontrada no problema 2. Por um lado, o deslocamento s de um ponto que se move ao longo de uma linha reta com velocidade v = v(t) em um intervalo de tempo de t = a a t = b e é calculado por a fórmula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Por outro lado, a coordenada do ponto móvel é a antiderivada da velocidade - vamos denotar s(t); portanto, o deslocamento s é expresso pela fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado, obtemos:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
onde s(t) é a primitiva para v(t).

O seguinte teorema foi provado no curso da análise matemática.
Teorema. Se a função y = f(x) é contínua no segmento [a; b], então a fórmula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
onde F(x) é a primitiva de f(x).

Esta fórmula é geralmente chamada Fórmula de Newton-Leibniz em homenagem ao físico inglês Isaac Newton (1643-1727) e ao filósofo alemão Gottfried Leibniz (1646-1716), que o receberam independentemente um do outro e quase simultaneamente.

Na prática, em vez de escrever F(b) - F(a), eles usam a notação \(\left. F(x)\right|_a^b \) (às vezes é chamado de dupla substituição) e, consequentemente, reescrever a fórmula de Newton-Leibniz desta forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \esquerda. F(x)\right|_a^b \)

Calculando uma integral definida, primeiro encontre a primitiva e depois faça uma dupla substituição.

Com base na fórmula de Newton-Leibniz, pode-se obter duas propriedades de uma integral definida.

Propriedade 1. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calculando as áreas de figuras planas usando uma integral definida

Usando a integral, você pode calcular a área não apenas de trapézios curvilíneos, mas também de figuras planas de um tipo mais complexo, como a mostrada na figura. A figura P é limitada por linhas retas x = a, x = b e gráficos de funções contínuas y = f(x), y = g(x), e no segmento [a; b] vale a desigualdade \(g(x) \leq f(x) \). Para calcular a área S de tal figura, procederemos da seguinte forma:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Então, a área S da figura limitada pelas linhas retas x = a, x = b e os gráficos das funções y = f(x), y = g(x), contínua no segmento e tal que para qualquer x de o segmento [a; b] a desigualdade \(g(x) \leq f(x) \) é satisfeita, é calculada pela fórmula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela de integrais indefinidas (antiderivadas) de algumas funções

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

Palavras-chave: integral, trapézio curvilíneo, área de figuras delimitadas por lírios

Equipamento: quadro branco, computador, projetor multimídia

Tipo de lição: aula-aula

lições objetivas:

• educacional: formar uma cultura de trabalho mental, criar uma situação de sucesso para cada aluno, formar uma motivação positiva para a aprendizagem; desenvolver a capacidade de falar e ouvir os outros.
• em desenvolvimento: a formação da independência do pensamento do aluno na aplicação do conhecimento em várias situações, a capacidade de analisar e tirar conclusões, o desenvolvimento da lógica, o desenvolvimento da capacidade de formular perguntas corretamente e encontrar respostas para elas. Melhorar a formação de competências computacionais, de cálculo, desenvolver o pensamento dos alunos no decurso da realização das tarefas propostas, desenvolver uma cultura algorítmica.
• educacional: formar conceitos sobre um trapézio curvilíneo, sobre uma integral, dominar as habilidades de cálculo das áreas de figuras planas

Método de ensino: explicativo e ilustrativo.

Durante as aulas

Nas aulas anteriores, aprendemos como calcular as áreas de figuras cujos limites são linhas quebradas. Na matemática, existem métodos que permitem calcular a área de figuras delimitadas por curvas. Tais figuras são chamadas de trapézios curvilíneos e sua área é calculada usando antiderivadas.

trapézio curvilíneo ( slide 1)

Um trapézio curvilíneo é uma figura limitada pelo gráfico da função, ( u.i.), Em linha reta x = a e x = b e abscissa

Vários tipos de trapézios curvilíneos ( slide 2)

Consideramos vários tipos de trapézios curvilíneos e notamos: uma das linhas é degenerada em um ponto, o papel da função limitante é desempenhado pela linha

Área de um trapézio curvilíneo (slide 3)

Corrigir a extremidade esquerda do intervalo uma, e certo X vamos mudar, ou seja, movemos a parede direita do trapézio curvilíneo e obtemos uma figura variável. A área de um trapézio curvilíneo variável limitado pelo gráfico da função é a antiderivada F para função f

E no segmento [ uma; b] a área do trapézio curvilíneo formado pela função f,é igual ao incremento da primitiva desta função:

Exercício 1:

Encontre a área de um trapézio curvilíneo limitado pelo gráfico de uma função: f(x) = x 2 e direto y=0, x=1, x=2.

Decisão: ( de acordo com o algoritmo do slide 3)

Desenhe um gráfico da função e das linhas

Encontre uma das primitivas da função f(x) = x 2 :

Autoverificação de slides

Integrante

Considere um trapézio curvilíneo dado pela função f no segmento [ uma; b]. Vamos quebrar este segmento em várias partes. A área de todo o trapézio será dividida na soma das áreas dos trapézios curvilíneos menores. ( slide 5). Cada um desses trapézios pode ser considerado aproximadamente um retângulo. A soma das áreas desses retângulos dá uma ideia aproximada de toda a área do trapézio curvilíneo. Quanto menor quebramos o segmento [ uma; b], mais precisamente calculamos a área.

Escrevemos essas considerações na forma de fórmulas.

Divida o segmento [ uma; b] em n partes com pontos x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Comprimento k-º denotar por xk = xk - xk-1. Vamos resumir

Geometricamente, essa soma é a área da figura sombreada na figura ( sh.m.)

As somas da forma são chamadas de somas integrais para a função f. (esq.m.)

As somas integrais dão um valor aproximado da área. O valor exato é obtido passando ao limite. Imagine que refinamos a partição do segmento [ uma; b] para que os comprimentos de todos os pequenos segmentos tendam a zero. Em seguida, a área da figura composta se aproximará da área do trapézio curvilíneo. Podemos dizer que a área de um trapézio curvilíneo é igual ao limite das somas integrais, Sk.t. (esq.m.) ou integral, ou seja,

Definição:

integral de função f(x) a partir de uma antes bé chamado de limite das somas integrais

= (esq.m.)

Fórmula de Newton-Leibniz.

Lembre-se que o limite das somas integrais é igual à área de um trapézio curvilíneo, então podemos escrever:

Sk.t. = (esq.m.)

Por outro lado, a área de um trapézio curvilíneo é calculada pela fórmula

S para t. (esq.m.)

Comparando essas fórmulas, temos:

= (esq.m.)

Essa igualdade é chamada de fórmula de Newton-Leibniz.

Para facilitar os cálculos, a fórmula é escrita como:

= = (esq.m.)

Tarefas: (sch.m.)

1. Calcule a integral usando a fórmula de Newton-Leibniz: ( verifique o slide 5)

2. Compile as integrais de acordo com o desenho ( confira no slide 6)

3. Encontre a área de uma figura delimitada por linhas: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7)

Encontrar as áreas de figuras planas ( slide 8)

Como encontrar a área de figuras que não são trapézios curvilíneos?

Sejam dadas duas funções, cujos gráficos você vê no slide . (esq.m.) Encontre a área da figura sombreada . (esq.m.). A figura em questão é um trapézio curvilíneo? E como você pode encontrar sua área, usando a propriedade de aditividade da área? Considere dois trapézios curvilíneos e subtraia a área do outro da área de um deles ( u.i.)

Vamos fazer um algoritmo para encontrar a área da animação no slide:

1. Funções de plotagem
2. Projete os pontos de interseção dos gráficos no eixo x
3. Sombreie a figura obtida cruzando os gráficos
4. Encontre trapézios curvilíneos cuja interseção ou união é a figura dada.
5. Calcule a área de cada
6. Encontrar diferença ou soma de áreas

Tarefa oral: Como obter a área de uma figura sombreada (dizer usando animação, slide 8 e 9)

Trabalho de casa: Elabore o resumo, nº 353 (a), nº 364 (a).

Bibliografia

1. Álgebra e o início da análise: um livro didático para as séries 9-11 da escola noturna (turno) / ed. G.D. Glazer. - M: Iluminismo, 1983.
2. Bashmakov M.I. Álgebra e o início da análise: um livro didático para as séries 10-11 do ensino médio / Bashmakov M.I. - M: Iluminismo, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matemática: um livro didático para instituições iniciantes. e média prof. educação / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
4. Kolmogorov A. N. Álgebra e o início da análise: um livro para 10-11 células. instituições educacionais / A.N. Kolmogorov. - M: Iluminismo, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Como fazer uma apresentação para a aula? / S.L. Ostrovsky. – M.: Primeiro de setembro de 2010.

Trabalhos concluídos

ESTES TRABALHOS

Muito já ficou para trás e agora você é um graduado, se, é claro, escrever sua tese no prazo. Mas a vida é uma coisa que só agora fica claro para você que, deixando de ser um estudante, você perderá todas as alegrias de estudante, muitas das quais você não experimentou, adiando tudo e deixando para depois. E agora, em vez de recuperar o atraso, você está mexendo na sua tese? Existe uma ótima saída: baixe a tese que você precisa em nosso site - e você terá instantaneamente muito tempo livre!
Trabalhos de diploma foram defendidos com sucesso nas principais universidades da República do Cazaquistão.
Custo do trabalho de 20 000 tenge

TRABALHOS DO CURSO

O projeto do curso é o primeiro trabalho prático sério. É com a redação de um trabalho de conclusão de curso que se inicia a preparação para o desenvolvimento de projetos de graduação. Se um aluno aprende a expor corretamente o conteúdo do tópico em um projeto de curso e a redigi-lo corretamente, no futuro ele não terá problemas para escrever relatórios, compilar teses ou realizar outras tarefas práticas. Com o intuito de auxiliar os alunos na escrita deste tipo de trabalho estudantil e esclarecer as dúvidas que surgem no decurso da sua elaboração, de facto, foi criada esta secção de informação.
Custo do trabalho de 2 500 tenge

TESES DE MESTRADO

Atualmente, nas instituições de ensino superior do Cazaquistão e dos países da CEI, é muito comum o estágio de ensino profissional superior, que segue após o bacharelado - o mestrado. Na magistratura, os alunos estudam com o objetivo de obter um mestrado, que é reconhecido na maioria dos países do mundo mais do que um diploma de bacharel, e também é reconhecido por empregadores estrangeiros. O resultado da formação na magistratura é a defesa de uma dissertação de mestrado.
Forneceremos material analítico e textual atualizado, o preço inclui 2 artigos científicos e um resumo.
Custo do trabalho de 35 000 tenge

RELATÓRIOS DE PRÁTICA

Depois de concluir qualquer tipo de prática do aluno (educacional, industrial, graduação), é necessário um relatório. Este documento será uma confirmação do trabalho prático do aluno e a base para a formação da avaliação para a prática. Normalmente, para elaborar um relatório de estágio, é necessário recolher e analisar informação sobre a empresa, considerar a estrutura e horário de trabalho da organização em que decorre o estágio, elaborar um plano de calendário e descrever as suas atividades práticas.
Vamos ajudá-lo a redigir um relatório sobre o estágio, tendo em conta as especificidades das atividades de uma determinada empresa.

Exemplo 1 . Calcule a área da figura delimitada por linhas: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, e x = 2

Vamos construir uma figura (veja a Fig.) Construímos uma linha reta x + 2y - 4 \u003d 0 ao longo de dois pontos A (4; 0) e B (0; 2). Expressando y em termos de x, obtemos y \u003d -0,5x + 2. De acordo com a fórmula (1), onde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, temos encontrar

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. unidades

Exemplo 2 Calcule a área da figura delimitada por linhas: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 e y \u003d 0.

Decisão. Vamos construir uma figura.

Vamos construir uma linha reta x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Vamos construir uma linha reta x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Encontre o ponto de intersecção das linhas resolvendo o sistema de equações:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Para calcular a área necessária, dividimos o triângulo AMC em dois triângulos AMN e NMC, pois quando x muda de A para N, a área é limitada por uma linha reta, e quando x muda de N para C, é uma linha reta

Para o triângulo AMN temos: ; y \u003d 0,5x + 2, ou seja, f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Para o triângulo NMC temos: y = - x + 5, ou seja, f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculando a área de cada um dos triângulos e somando os resultados, encontramos:

quadrado unidades

quadrado unidades

9 + 4, 5 = 13,5 m² unidades Verifique: = 0,5AC = 0,5 sq. unidades

Exemplo 3 Calcule a área de uma figura delimitada por linhas: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

NO este casoé necessário calcular a área de um trapézio curvilíneo limitado por uma parábola y = x 2 , linhas retas x \u003d 2 e x \u003d 3 e o eixo Ox (veja a Fig.) De acordo com a fórmula (1), encontramos a área de um trapézio curvilíneo

= = 6kv. unidades

Exemplo 4 Calcule a área de uma figura delimitada por linhas: y \u003d - x 2 + 4 e y = 0

Vamos construir uma figura. A área desejada está entre a parábola y \u003d - x 2 + 4 e eixo Oh.

Encontre os pontos de intersecção da parábola com o eixo x. Assumindo y \u003d 0, encontramos x \u003d Como essa figura é simétrica em relação ao eixo Oy, calculamos a área da figura localizada à direita do eixo Oy e dobramos o resultado: \u003d + 4x] quadrado unidades 2 = 2 m² unidades

Exemplo 5 Calcule a área de uma figura delimitada por linhas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aqui é necessário calcular a área do trapézio curvilíneo limitado pelo ramo superior da parábola y 2 \u003d x, o eixo Ox e linhas retas x \u003d 1x \u003d 4 (veja a Fig.)

De acordo com a fórmula (1), onde f(x) = a = 1 e b = 4, temos = (= unidades quadradas

Exemplo 6 . Calcule a área da figura delimitada por linhas: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

A área desejada é limitada por uma senóide de meia onda e pelo eixo Ox (ver Fig.).

Temos - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metros quadrados. unidades

Exemplo 7 Calcule a área da figura delimitada por linhas: y \u003d - 6x, y \u003d 0 e x \u003d 4.

A figura está localizada sob o eixo Ox (ver Fig.).

Portanto, sua área é encontrada pela fórmula (3)

= =

Exemplo 8 Calcule a área da figura delimitada pelas linhas: y \u003d e x \u003d 2. Construiremos a curva y \u003d por pontos (veja a figura). Assim, a área da figura é encontrada pela fórmula (4)

Exemplo 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aqui você precisa calcular a área limitada pelo círculo x 2 + y 2 = r 2 , ou seja, a área de um círculo de raio r centrado na origem. Vamos encontrar a quarta parte desta área, tomando os limites de integração de 0

dor; temos: 1 = = [

Conseqüentemente, 1 =

Exemplo 10 Calcule a área da figura delimitada por linhas: y \u003d x 2 e y = 2x

Esta figura é limitada pela parábola y \u003d x 2 e linha reta y \u003d 2x (veja a Fig.) Para determinar os pontos de interseção das linhas dadas, resolvemos o sistema de equações: x 2 – 2x = 0 x = 0 e x = 2

Usando a fórmula (5) para encontrar a área, obtemos

= }